高考数学仿射变换习题汇编

1．（2014•新课标I）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭

圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

2.（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．

（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．

3．（2016•北京）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．

4．（2016•四川）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．

（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．

5．（2015•新课标II）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l 与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

6．（2014•湖南）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：﹣=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F 2F4|=﹣1．

（Ⅰ）求C1、C2的方程；

（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

7．（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；

（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

8.（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．

（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；

（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．