高中数学变化率与导数(第1课时)优质课PPT课件

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高中数学第一章导数及其应用 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念课件新人教A版选修22(1)

【精彩点拨】 (1)由 Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝f(2＋0.1)－f(2)可得． (2) 求Δx＝x2－x1 → 求Δy＝fx2－fx1 → 计算ΔΔxy 【自主解答】 (1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B
(2)自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)的平均变化率为 f22－－f11＝2＋12－11＋1＝12；自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为 f55－－f33＝5＋15－23＋13＝1145. 因为12<1145，所以函数 f(x)＝x＋1x在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值变化得较快．
阶
阶
段
段
一
三
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
学
阶段二
业
分
1.1.2 导数的概念
层
测
评
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点) 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点) 4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)
图 1-1-1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由 Δx＝x2－x1，知 Δx 可以为 0.( ) (2)Δy＝f(x2)－f(x1)是 Δx＝x2－x1 相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( ) (3)对山坡的上、下两点 A，B 中，ΔΔyx＝yx22－－yx11可以近似刻画山坡的陡峭程度．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√

高中导数课件

• 表示什么？
y f(x2) f(x2)-f(x1) f(x1)
x2-x1
B
A x x1 x2
直线AB的斜率
O
Tankertanker Design
做两个题吧！
• 1 、已知函数的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点 2 f ( x) x x ,则 =（） B(1 x,2 y) y / x • A 3 B 3 - x • C D 2 2 3 （ x ） 3 x ( x ) • 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 •
v 13 .149 v 13.1049 v 13 .10049 v 13 .100049 v 13.1000049
当△t =0.001时,
当△t =0.0001时,
△t = 0.00001, △t =0.000001, ……
当△t = –0.0001时,
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001, ……
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
h v t h( 2 t ) h( 2) 13.1 4.9t t
Tankertanker Design
平均变化率的几何意义
这段时间内 t 0 时，在 v 4.9t 13.1 当△t = – 0.01时，当△t = – 0.001时,

人教A版高中数学选修22变化率与导数PPT课件

x
x
（1）求y f ( x x)；（2）求 y .
x
例2 求函数 y=5x2+6在区间[2，2+△x]上的平均变化率.
解：y f (2 x) f (2)
[5(2 x)2 6] (5 22 6)
不能写成 △x2
5(x)2 20x
所以平均变化率为 y 5x 20 x
课堂练习
解：(1) f (3) f (1) 9 1 4
31
2
(2) f (2) f (1) 4 1 3
21
1
(3) f (1.1) f (1) 1.21 1 2.1
1.1 1
0.1
例2 求函数 y=5x2+6在区间[2，2+△x]上的平均变化率.
分析：平均变化率= y f ( x x)
x 0
y x
解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数的定义,
所以,
同理可得
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.
练习
(1)求函数 f(x)=1/x 在x=1处的导数； 1
(3)质点运动规律为s=t2+3,求质点t=3的瞬时速度。
解：(3) s 3 t 2 32 t 2 6t

高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.1.1变化率与导数》课件

fx0－3Δx－fx0 lim · 3 3Δx Δx→0
)．
1 ＝3f′(x0)＝1，所以 f′(x0)＝3，故选 D.
课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练
在导数的定义 f′(x0)＝
fx0＋Δx－fx0 lim 中，Δx 是 Δ x Δx→0
分子 f(x0＋Δx)与 f(x0)中的两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.初学者在求解此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号的一致性． fx0－3Δx－fx0 [正解] 因为 lim Δx Δx→0 ＝－
课前探究学习
课堂讲练互动
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3．对导数概念的理解 Δy 导数是在点 x＝x0 处及其附近Δx的极限，是一个局部概念，y ＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)是一个确定的数．注意：(1)某点导数的概念包含两层含义： Δy ① lim 存在(惟一确定的值)，则称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可 Δ x → Δx 0 Δy 导，②若 lim Δx不存在，则函数 y＝f(x)在 x＝x0 处不可导． Δx→0
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求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量 Δx 与函数值的增量 Δy，求平均变化率的主要步骤是： (1)先计算函数值的改变量 Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量 Δx＝x1－x0. Δy fx1－fx0 (3)得平均变化率Δx＝ . x1－x0

人教A版高中数学选修1-1 第三章3.1.1 变化率问题教学课件 (共21张PPT)

什么问题吗？
平均速度只是粗略地描述这段时间内运动员
运动的快慢，不能反映他在这段时间里运动状态，
需要用瞬时速度描述运动状态。
考察t=2附近的平均速度 t 0时,在2 t, 2这段时间内
v
h(2)
h(2
t)
4.9t 2
13.1t
2 (2 t)
t
4.9t 13.1
通过列表看出平均速度的变化趋势：
记作f ' (x0 )或y' x x0 ,即
lim lim f
'(x0 )
x0
y x
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
例1将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种
不同产品，需要对原由进行冷却和加热。如
果第 x(h)时，原油的温度（单位：0C）
为 y f (x) x2 7x 15(0 x 8).计算第2(h)和第 6(h)时，原油温度的瞬时变化率，并说明它
o
t
问题二:高台跳水
计算 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v
h(t) 4.9t2 6.5t 10 h
(1)在0 t 0.5这段时间里
v h(0.5) h(0) 4.05(m / s) 0.5 0
(2)在1 t 2这段时间里
o
t
v h(2) h(1) 8.2(m / s) 2 1

高中数学课件第一章导数及其应用 1.1变化率问题

❖ （①表示并列关系。一般不译，有时可译为“又”。②表示递进关系。可译为“并且”或“而且”。④表示承接关系。可译为“就”、“接着”，或不译。⑤表示转折关系。可译为“但是”、“却”。⑥表示假设关系。可译为“如果”、“假如”。⑦表示修饰关系，即连接状语。可不译。 ⑧用作代词。只用作第二人称，一般作定语，译为“你的”；偶尔也作主语，译为“你”。）
T(℃) 30
C(34, 33.4)
20
B(32, 18.6)
10
2 A(1, 3.5)
02
10
20
30 34 t(天)
分析：如上图：（1）选择该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，
℃，由此可知
；
（2）选择该市2004年4月18日最高气温 ℃与4月20日 ℃进行比较，
(2)已知某质点按规律 s 2t2 2t （s：单位为 m，t 单位为 s）做直线运动，求： ①该质点在前3s 内的平均速度； ②该质点在前2s 到3s 内的平均速度．
解： ①由题意知 t 3， s s(3) s(0) 2 32 2 3 (2 02 2 0) 24 ，
2 1
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小。
显然 0.62>0.16
思考? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

高中数学第一章导数及其应用 1.1.1 变化率问题课件新人教A版选修22

可以表示为ΔΔyx．
• 1．(2018·凉州区校级期末)在平均变化率的定义中，自变 D量的增量Δx满足( )
• A．Δx＜0
B．Δx＞0
• C．Δx＝0 D．Δx≠0
• [解析] 由导数的定义，可得自变量x的增量Δx可以是正数
、负数，不可以是0．
• 故选D．
• 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数 D值的改变量Δy＝( )
• A．f(x0＋Δx)
B．f(x0)＋Δx
• C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
• [解析] 函数值的改变量Δy是表示函数y＝f(x)在x＝x0＋Δx 的函数值与x＝x0的函数值之差，因此有Δy＝f(x0＋Δx)－ f(x0)．
• 3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1， xB＝1．1，则函数f(x)从CA点到B点的平均变化率为( )
[解析] 当自变量 x 从 0 变化到 Δx 时，函数的平均变化率为 k1＝sinΔxΔx－sin0 ＝sinΔΔx x．
当自变量 x 从π2变化到π2＋Δx 时，函数的平均变化率为 k2＝sinπ2＋ΔΔxx－sinπ2＝cosΔΔxx－1．由于是在 x＝0 和 x＝π2的附近的平均变化率，可知|Δx|较小，但 Δx 既可为正，又可为负．
• A．4 B．4x
• C．4．2 D．4．02

高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率课件北师大版选修1_10222260

f1－f－1 2－1 1 函数 f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝ 2 ＝2. 1－－1
x＋3 ，－1≤x≤1， 2 由函数 f(x)的图像知，f(x)＝ x＋1，1<x≤3.
3 f2－f0 3－2 3 所以函数 f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝ 2 ＝4. 2－0
陡峭程度有何关系？答案
思考2
怎样理解自变量的增量、函数值的增量？
答案
(1)自变量的增量：用Δx表示，即Δx＝x2－x1，表示自变量相对
于x1的“增加量”.
(2) 函数值的增量：用 Δy 表示，即 Δy ＝ f(x2) － f(x1) ，也表示为
f(x1＋Δx)－f(x1)，表示函数值在x1的“增加量”.
Δs 1 所以 Δt ＝v0－gt0－2gΔt. Δs 当 Δt 趋于 0 时， Δt 趋于 v0－gt0，
故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.
(1)求瞬时速度的步骤
反思与感悟
①求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
Δs ②求平均速度 v＝ Δt ； Δs ③当 Δt 趋于 0 时，平均速度 Δt 趋于瞬时速度. Δy (2)求当 Δx 无限趋近于 0 时Δx的值 ①在表达式中，可把 Δx 作为一个数来参加运算； Δy ②求出Δx的表达式后，Δx 无限趋近于 0 就是令 Δx＝0，求出结果即可.

2016-2017学年高中数学第2章变化率与导数1变化的快慢与变化率课件北师大版选修

6分 8分
12分
(1)求函数的平均变化率，由公式代入直接求解即可，关键是弄清楚自变量的改变量Δx与函数值的改变量Δy.
(2)瞬时变化率就是当Δx趋于0时平均变化率的值，可用逼近法估计，也可以直接利用定义求解．
1．圆的面积随半径的变化而变化，试写出圆的面积在半径等于2 cm时的瞬时变化率．
度．
(3)求函数y＝f(x)在x＝x0处瞬时变化率的步骤： ①求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． ②求函数的平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0. ③当Δx趋近于0时，求ΔΔxy趋近的常数．
1．已知函数f(x)＝2x2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1
＋Δx,1＋Δy)，则ΔΔxy等于( )
Δy Δx
也趋于一个定值，它与Δx无关，只与函数y
＝f(x)及x0有关(函数f(x)不为常函数时)，这个定值即为y＝f(x)在 x0处的瞬时变化率．
(2)若某物体运动的路程与时间的关系式是s＝s(t)，当Δt趋
近于0时，函数s＝s(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率
st0＋Δt－st0 Δt
趋近于常数；把这个常数称为t0时刻的瞬时速
[思路导引]
自变量的改变量对应函数值的改变量 Δx＝x0＋Δx－x0 ――→ Δy＝fx0＋Δx－fx0
―→ 函数的平均变化率ΔΔyx ―→ Δx趋于0 ―→ ΔΔyx趋于常数

高二数学人教A版选修22课件第一章11第1课时变化率问题导数的概念

3
3V 4π.
①当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是
多少？
提示wenku.baidu.comr11－－0r0≈0.62(dm/L)．
②当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球的平均膨胀率是多少？
提示：r22－－1r1≈0.16(dm/L)．
③当空气容量从V1 增加到V2时，气球的平均膨胀率又是多少？
提示：rVV22－－Vr1V1.
1.1 变化率与导数
第1课时变化率问题、导数的概念
[核心必知] 1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2～P6的内容，回答下列问题． (1)气球膨胀率
气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数
关系是V(r)＝
4 3
πr3，如果将半径r表示为体积V的函数，那么
r(V)＝
0，平均变化率ΔΔxy可正、可负、可为零．
(3)在高台跳水中，如何求在[1,1＋Δt]这段时间内的平
均速度 v ？当Δt趋近于0时，平均速度 v 有什么样的变化趋
势？
提示：
v
＝
v1＋Δt－v1 1＋Δt－1
.当Δt趋近于0时，平均速度
v 即为t＝1时的瞬时速度．
(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？
∵ΔΔxy＝3ΔxΔ2＋x 4Δx＝3Δx＋4， ∴y′|x＝1＝ ΔΔxy＝ (3Δx＋4)＝4.

【课件】变化率问题第一课时+课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

莱
布
牛
尼
顿
茨
牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日），爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家、数学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》。
莱布尼茨（1646年7月1日－1716年11月14日），德国哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。
(1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度；
(2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度.
（教材P61.2)
解：(1) v h(2) h(1) 0.9 22 0.912 2.7. 21
∴在1 t 2这段时间里，火箭爬高的平均速度为2.7m / s.
(2) lim h(10 t) h(10) lim(0.9t 18) 18.
(t0 t) t0
4.9
2t0t
4.9 t2 t
4.8
t
4.9
t 2
(9.8t0 t
4.8)t
4.9
t
(9.8t0
4.8)
lim h(t0 t) h(t0 ) t0 (t0 t) t0
9.8t0 4.8
因此运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度为9.8t0 4.8.
方法归纳
解: (1)
Δs = S(1 + Δt) - S(1) = (1 + Δt)2 + (1 + Δt) + 1 - (12 + 1 + 1) = Δt + 3，

高中数学5-1-2导数的概念及其几何意义第1课时导数的概念课件新人教A版选择性必修第二册

3．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为 ( )
A．Δx＋2
B．Δx＋3
C．2Δx＋(Δx)2
D．3Δx＋(Δx)2
【答案】B 【解析】Δy＝(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－12－1＝(Δx)2＋3Δx，所以ΔΔyx＝
(Δx)2Δ＋x 3Δx＝Δx＋3.
导数的概念(瞬时变化率)
c＝Δlxim→0f(x0＋2ΔΔxx)－f(x0)＝2Δlxim→0f(x0＋22ΔΔxx)－f(x0)＝2f′(x0)． d＝Δlxim→0f(x0＋Δx)2－Δxf(x0－Δx)＝Δlxim→0f((xx00＋＋ΔΔxx))－－(f(xx00－－ΔΔxx))＝f′(x0)． e＝Δlxim→0f(xx)－－fx(0x0)，把 x 变成 x0＋Δx 即得到标准定义式，故 e＝f′(x0)．故 a＝d＝e.故选 B．
(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
【预习自测】
1．在求平均变化率中，自变量的增量Δx满足
A．Δx＞0
B．Δx＜0
C．Δx＝0
D．Δx≠0
【答案】D
()
2．若自变量x的增量为Δx，求下列函数的增量Δy. (1)y＝ax＋b； (2)y＝ln x. 解：(1)Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝[a(x＋Δx)＋b]－(ax＋b)＝aΔx. (2)Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝ln(x＋Δx)－ln x＝ln1＋Δxx.

高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修2_2

自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高
度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).
思考1 答作Δy.
若旅游者从点 A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记
思考2
答
怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
答案
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
Δy fx2－fx1 (1)定义式：Δx＝ . x2－x1
(2)实质：函数值的增量与自变量增量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. (4)几何意义：已知 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率
解析答案
(2)物体的初速度v0；解求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度. ∵物体在t＝0附近的平均变化率为
Δs s0＋Δt－s0 ＝ Δt Δt
29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32 ＝3Δt－18，＝ Δt
Δs ∴ lim ＝－ 18 ， → Δ t Δt 0
Δs ＝－ 12 ，＝3Δt－12. ∴ lim Δt→0 Δt
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12.
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.

最新-四川省成都市新都一中高中2021届数学人教A版选修22课件：第一章导数及其应用01变化率与导数

变化率与导数的概念
• 议一议:根据《问题情境》，设运动员相对于
水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)
存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求当t
＝2 s时运动员的瞬时速度.
• 【解析】在t∈[2，2＋Δt]这段时间里，运动
(＋)－()
员的平均速度为
＝－13.1－4.9Δt
•

(2)当t＝2，Δt趋于0时，瞬时速度为＝14.

No.1 middle school ，my love ！
第1课时
变化率与导数的概念
• 预学4:导数的概念
• 函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率的定义:一
般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

( ＋)－( )
• 想一想: (x2＋2Δx＋1)＝
.
→
• 【解析】当Δx→0时，x2＋2Δx＋1→x2＋1，
• ∴ (x2＋2Δx＋1)＝x2＋1.
→
• 【答案】x2＋1
No.1 middle school ，my love ！
第1课时
变化率与导数的概念
• 1.平均变化率
• 例1、已知函数f(x)＝x2＋x，分别计算f(x)在
变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平
( )－( )
均变化率为

高中数学导数及其应用第一节变化率与导数人教版选修1-1.ppt

瞬时速度，那么如何求函数f(x)在
x=x0点的瞬时变化率呢？
可知:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：
lim
△x 0
f(x0+△x)－f(x0)
△x
=
lim
△x 0
△f △x
导数
函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：
lim
△x 0
f(x0+△x)－f(x0)
△x
lim
= △x 0
△f △x
我们称它为函数f(x)在x=x0处的导数．
问题３：瞬时速度
物体自由落体的运动方程是: S(t)=12 gt2,
如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？
解：取一小段时间：［3,3+△t]
△Ｓ= 1 g(3+△t)2－ 9 g
2
2
V
=
△Ｓ △t
g (6+△t) 2
问题３：瞬时速度
解：取一小段时间：［3,3+△t]
△Ｓ= 1 g(3+△t)2－ 9 g
问题2 高台跳水
人们发现, 在高台跳水运动中, 运动员相对于水
面的高度 h 单位: m与起跳后的时间t单位: s
存在函数关系ht 4.9t2 6.5t 10.
如果我们用运动员某段时间内的平均速度v描
述其运动状态,那么
在0 t 0.5这段时间里,

高中数学第三章变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件5 北师大版选修1-1

物体所走的路程从s(t0)变为s(t1)，这段时间内物体
的平均速度是
平均速度=
s（t1）-s（t t1-t0
） 0.
K12课件
9
第二个问题中，我们用一段时间内体温的平均变化率刻画了体温变化的快慢，当时间从x0变为x1时，体温从y(x0)变为y(x1)，体温的平均变化率 = y（x1）-y（x0）.

0.5 10

0.05(℃
min).
这里出现了负号，它表示体温下降了，显然，绝对值
越大，下降得越快，这里，体温从20 min到30 min这
段时间下降得比0 min到20 min这段时间要快.
K12课件
8
分析
上面的第一个问题中，我们用一段时间内物体的平均
速度刻画了物体运动的快慢，当时间从t0变为t1时，
第三章变化率与导数 §1 变化的快慢与变化率
K12课件
1
世界上变化无处不在，如何刻画事物变化的快慢呢？
银杏树高:15米树龄:1 000年
﹤ 雨后春笋高:15厘米
K12课件时间:两天
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1.理解函数平均变化率及瞬时变化率的概念.
2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率及某一点
的瞬时变化率.（重点） 3.理解平均变化率及瞬时变化率的意义，能够解释
(2)瞬时变化率的意义
瞬时变化率刻画的是函数在_一__点__处变化的快慢.