8.1 回归分析的概念

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误差理论与数据处理-第八章回归分析

1 N

N i 1
xi

N i 1
yi

42.03240
hxx

1 d12
hxx

42
hyy

1 d22
hyy

0.4206483
hxy

1 d1d2
hxy

4.203240
5.计算 b、b0
b

hxy hxx

0.100077
; b0

y
bx

0.00017
j1 i1
（8-24）（8-25）（8-26）（8-27）
显著性检验的步骤：
误差理论
与数据处理
首先用误差平方和 QE 对失拟平方和 QL 进
行F1 检验，作变量
F1

QL QE
vQL vQE
1.F1 F vQL, vQE 的情况
此时认为检验结果显著，失拟误差相对于
测量误差不能忽略。分为以下几种情况：
yˆ b0 bxi 对均值 y 的偏离情况，即 y 随 x 变化产生的线性变化在总的离差平方和中所起的作
用。Q 称为剩余平方和，反映测量值 y1, y2, , yN
对回归直线的偏离情况，即其他因素引起的 y
的变化在总的离差平方和中所起的作用。
1.回归方程的方差分析（Ⅱ）
误差理论
与数据处理
（1）影响y的因素除x外，至少还有一个不能忽
数c或乘（除）一个常数d。
设 xi 为原始数据，xi为变换后的数据，令
xi d1xi c1, yi d2yi c2
则有
xi

c1

一元线性回归模型

2
1 n ˆ xi )2 = 1 ( Lyy − bLxy ). ˆ ˆ 即 σ = ∑ ( yi − a − b ˆ n i =1 n
2
n σ 2. 而σ 的无偏估计是 ˆ n−2
2
∴σ ˆ
*2
n 1 2 ˆ σ = ( Lyy − bLxy ). = ˆ n−2 n−2
ex1. 设有一组观察值如下，求回归方程设有一组观察值如下，求回归方程.
ˆ ˆ ˆ 对于x0可得 y0 = a + bx0 , 称其为 Y0的点预测.
( 2) Y0的区间估计 : 选取 T =
σ* ˆ
ˆ Y0 − y0 ~ t ( n − 2) 2 1 ( x0 − x ) 1+ + n Lxx
对于任意给定的 0 < α < 1, 有 P { T < tα ( n − 2)} = 1 − α .
研究变量间的相关关系，确定回归函数，研究变量间的相关关系，确定回归函数，由此预测和控制变量的变化范围等就是回归分析。制变量的变化范围等就是回归分析。研究两个变量间的相关关系，称为一元回归分析；研究两个变量间的相关关系，称为一元回归分析；研究多个变量间的相关关系，称为多元回归分析；研究多个变量间的相关关系，称为多元回归分析；若回归函数为线性函数，则称为线性回归分析。若回归函数为线性函数，则称为线性回归分析。
所以y与之间显著地存在线性关系之间显著地存在线性关系. 所以与x之间显著地存在线性关系
四、一元线性回归模型的应用—预测与控制一元线性回归模型的应用预测与控制 1. 预测问题
(根据 = a + bx + ε , 研究 = x0时如何估计 0 ) Y x Y
(1) Y0的点估计 :

高等数学电子教案

高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种规则，将一个非空数集（定义域）中的每一个元素对应到另一个非空数集（值域）中的唯一元素。

函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个确定的值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim(x→a)f(x)=L。

极限的性质：保号性、传递性、夹逼性等。

1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代数法、几何法、泰勒公式等。

极限的运算法则：加减法、乘除法、复合函数的极限等。

1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于0，称f(x)为无穷小。

无穷大的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于正无穷或负无穷，称f(x)为无穷大。

第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或df/dx，表示函数在该点的瞬时变化率。

导数的几何意义：函数图像在某点处的切线斜率。

2.2 导数的计算基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数。

导数的运算法则：和差法、乘法法、链式法则等。

2.3 微分的概念与计算微分的定义：函数f(x)在点x处的微小变化量，记作df(x)。

微分的计算：微分的基本公式df(x)=f'(x)dx，以及微分的运算法则。

2.4 微分方程的概念与解法微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。

微分方程的解法：分离变量法、积分因子法等。

第三章：积分与面积3.1 不定积分的概念与计算不定积分的定义：函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，表示f(x)与x轴之间区域的面积。

基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数等的不定积分。

3.2 定积分的概念与计算定积分的定义：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx，表示f(x)在[a,b]区间上的累积面积。

第八章相关与回归分析

相关系数的特点：
相关系数的取值在-1与1之间。相关系数的取值在之间。 =0时表明X 没有线性相关关系。当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系。表明X 当时，表明X与Y存在一定的线性相关关系；表明X 为正相关; 若表明X与Y 为正相关; 表明X 为负相关。若表明X与Y 为负相关。表明X 完全线性相关；当时，表明X与Y完全线性相关； r=1，完全正相关；若r=1，称X与Y完全正相关； r=完全负相关。若r=-1，称X与Y完全负相关
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2 11 10.8 10.6 10.4 10.2 10 0 5 10
相关关系的类型
25
● 从变量相关关系变化的方向方向看方向正相关——变量同方向变化正相关负相关——变量反方向变化负相关 ● 从变量相关的程度看完全相关不完全相关不相关
x
最小二乘法 ˆ ˆ (α 和 β 的计算公式)
根据最小二乘法，根据最小二乘法，可得求解和的公式如下
最小二乘估计的性质 ——高斯马尔可夫定理高斯—马尔可夫定理前提：在基本假定满足时
最小二乘估计是因变量的线性函数线性函数最小二乘估计是无偏估计无偏估计，即无偏估计在所有的线性无偏估计中，回归系数的最小二乘估计的方差最小方差最小。方差最小
结论：
回归系数的最小二乘估计是最佳线性无偏估计最佳线性无偏估计
四、简单线性回归模型的检验
回归模型的检验包括：回归模型的检验包括：理论意义检验：理论意义检验：主要涉及参数估计值的符号和取值区间，检验它们与实质性科学的理论以及人们的实践经验是否相符。一级检验：一级检验：又称统计学检验，利用统计学的抽样理论来检验样本回归方程的可靠性，具体分为拟合优度检验和显著性检验。二级检验：二级检验：又称计量经济学检验，它是对标准线性回归模型的假设条件是否满足进行检验，包括自相关检验、异方差检验、多重共线性检验等。

回归分析方法

回归分析方法
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它用于研究自
变量和因变量之间的关系。

回归分析方法可以帮助我们预测和解释
变量之间的关系，从而更好地理解数据的特征和趋势。

在本文中，
我们将介绍回归分析的基本概念、常见的回归模型以及如何进行回
归分析。

首先，回归分析的基本概念包括自变量和因变量。

自变量是研
究者可以控制或观察到的变量，而因变量是研究者希望预测或解释
的变量。

回归分析旨在通过自变量的变化来预测或解释因变量的变化，从而揭示它们之间的关系。

常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。

线性回归是最简单的回归模型之一，它假设自变量和因变量之间的
关系是线性的。

多元线性回归则允许多个自变量对因变量产生影响，逻辑回归则用于因变量是二元变量的情况，例如成功与失败、生存
与死亡等。

进行回归分析时，我们需要收集数据、建立模型、进行拟合和
检验模型的拟合优度。

在收集数据时，我们需要确保数据的质量和
完整性，避免因为数据缺失或异常值而影响分析结果。

建立模型时，我们需要选择合适的自变量和因变量，并根据实际情况选择合适的
回归模型。

进行拟合和检验模型的拟合优度时，我们需要根据实际
情况选择合适的统计指标和方法，例如残差分析、R方值等。

总之，回归分析方法是一种重要的数据分析方法，它可以帮助
我们预测和解释变量之间的关系。

通过本文的介绍，相信读者对回
归分析有了更深入的了解，希望能够在实际工作中灵活运用回归分
析方法，为决策提供更可靠的依据。

回归分析知识点总结框架

回归分析知识点总结框架一、引言1.1 背景介绍1.2 研究目的1.3 研究意义1.4 文章结构二、回归分析的基本概念2.1 回归分析的定义2.2 回归分析的基本原理2.3 简单线性回归与多元线性回归的区别2.4 回归分析的应用领域三、回归分析的基本假设3.1 线性关系假设3.2 多重共线性假设3.3 随机误差项的假设3.4 检验回归模型的假设条件四、简单线性回归4.1 简单线性回归的模型4.2 参数估计4.3 拟合优度的度量4.4 假设检验4.5 模型诊断4.6 模型应用与解释五、多元线性回归5.1 多元线性回归的模型5.2 参数估计5.3 拟合优度的度量5.4 假设检验5.5 多重共线性的诊断和处理 5.6 异方差的诊断和处理5.7 模型的解释与应用六、回归模型的诊断6.1 残差分析6.2 异方差性检验6.3 多重共线性检验6.4 模型的适用性检验6.5 模型的稳健性检验七、回归分析的应用案例7.1 教育经济学中的回归分析 7.2 医学研究中的回归分析7.3 金融领域中的回归分析7.4 市场营销中的回归分析7.5 社会科学研究中的回归分析八、高级回归模型8.1 非线性回归模型8.2 广义线性模型8.3 自变量选择与建模8.4 时间序列回归分析8.5 多层次回归分析九、回归分析软件的应用9.1 SPSS中的回归分析9.2 SAS中的回归分析9.3 R语言中的回归分析9.4 Python中的回归分析9.5 MATLAB中的回归分析十、结论与展望10.1 研究总结10.2 研究不足10.3 未来研究方向十一、参考文献十二、附录以上是回归分析知识点总结的框枋，每个部分可以进一步细化，写入详细的内容来进行阐述。

概率论--回归分析

是有 EY= f(X) ，所以能够用f(X) 作为Y旳近似。
当X为随机变量时，求Y对X旳条件期望，也有 E(Y|X)= f(X)
记
y=f(x)
则称 y=f(x) 为 Y对X旳回归方程
1、 f(x) 称为回归函数
2、随机误差 e 旳方差D e是回归模型旳主要参数， D e旳大小反应了f(X) 对Y 旳近似程度：
(3)所求回归直线为 yˆ ˆ0 ˆ1x
3、求最小二乘估计旳环节
(1)依所知数据求出
X
1 n
n
X
i 1
i
Y
1 n
n
Yi
i 1
L XX
n
(Xi
X )2
n
X
2 i
nX
2
i 1
i 1
n
n
n
LXY (X i X )(Yi Y ) (X i X )Yi X iYi nXY
i 1
i 1
i 1
Y= f(X1 ， X2 ， , Xp ) + e ，其中E e = 0
则称为多元回归模型
注：线性回归模型是在应用上最主要且在理论上发展最完善旳回归模型
一、一元线性回归模型：
1、理论模型：是指回归模型 Y= f(X)+e 中旳 f(X) 为线性函数，
即有
Y= β0+ β1 X+e
E e = 0 ，0 D e = σ2
可用R来检验X 与Y旳线性有关性。
给当定e~检N验(0水,σ2平),且，e1 选，用e2，统…计e量n相互F 独立( n时1，2R)当2R假2 设H0 :β0=0 成
立时，F~F(1,n-2)
假设H0 :β0=0 旳拒绝域为： P( P r ( n 2 ))

excel——回归分析

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第8章回归分析
8.1 线性回归分析的基本原理 8.2 图表分析与回归函数分析 8.3 Excel回归分析工具 8.4 多元回归分析 8.5 非线性回归分析
本章学习目标
u 回归分析的基本思想 u 利用Excel图表进行线性回归分析 u利用Excel回归分析工作表函数进行线性回归分
析 u利用Excel回归分析工具进行一元及多元线性回
预测值y的标准误差计算公式如下：
Syx
1
nn
2n
y2
2n y
xy n x2
x
y
2
2
x
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8.2.3 利用工作表函数进行回归分析
例8-4 在某大学一年级新生体检表中随机抽取10张，得到10名大学生的身高（x）和体重（y）的数据，如图8-10（“身高体重” 工作表）所示。用Excel提供的工作表函数进行相关计算。（1）在单元格A12~A15中分别输入“截距”、“斜率”、“测定系数”、“估计标准误差”。（2）在单元格B12中输入公式“=INTERCEPT(C2:C11,B2:B11)”，回车后显示-79.42015。（3）在单元格B13中输入公式“=SLOPE(C2:C11,B2:B11)”，回车后显示0.8041825。（4）在单元格B14中输入公式“=RSQ(C2:C11,B2:B11)”，回车后显示0.6817018。（5）在单元格B15中输入公式“=STEYX(C2:C11,B2:B11)”，回车后显示2.8180738。计算结果如图8-8所示。
（2）在“Y值输入区域”中输入“D1:D11”，在 “ X 值输入区域 ” 中输入 “ B1:C11”；选择 “标志”，置信度默认；在“输出选项”中选择“输出区域”，在其右边输入“A12”，单击 “确定”按钮输出结果，如图8-16所示。

统计学原理第8章相关与回归分析[精]

估计标准误差就是因变量的估计值yc与实际值y之间差异公的平均程度。记为Syx,它的基本公式为:
式
或
式中,Syx表示估计标准误差;下标yx表示y依x的回归方程; y是因变量的实际值;yc是因变量的估计值。
例8.4以例8.1的资料计算估计标准误差。
步骤： 1.设计一张计算表,将已知x的值代入回归方程求出对应的yc的值 2.计算离差y-yc并加以平方求和 3.求出估计标准误差Syx。
数关系。
当r=0时,表示x与y完全没有线性相关。
当0<|r|<1时,表示x与y存在着一定的线性相关。一般分四个
等级,判断标准如下:
若0<|r|<0.3,则称x与y为微弱相关;
若0.3<|r|<0.5, 则称x与y为低度相关;
若0.5<|r|<0.8, 则称x与y为显著相关;
若0.8<|r|<1, 则称x与y为高度相关。
8.3.2简单直线回归方程
a, b是待定参数利用最小二乘法得到a，b求值，再反解得到方程式
建立回归直线的过程：列计算表,求出∑xy,∑x2,∑y2,x,y; 计算Lxy,Lxx和Lyy的值;求出b和a的值并写出方程
例 8.2某工厂某产品的产量与单位成本资料见表8.2,试求单位成本依产量的回归直线方程。
★ 填空题 (1) 现象之间的相关关系，从相关因素的个数看，可分为()和()；从相关的形式
的两个回归方程。() (9) 估计标准误差指的就是因变量的估计值yc与实际值y之间的平均误差程度。() (10) 在任何相关条件下，都可以用相关系数r说明变量之间相关的密切程度。() (11) 若变量x与y的相关系数r1=-0.8，变量p与q的相关系数r2=-0.92，由于r1>r2，

统计学第八章线性回归分析

31
8.1.5 置信与预测区间
第八章线性回归分析
《统计学》
32
8.1.5 置信与预测区间
第八章线性回归分析
《统计学》
33
8.1.5 置信与预测区间
第八章线性回归分析
《统计学》
34
8.1.5 置信与预测区间
例8.4. 利用例8.1中的回归方程，计算车龄为48个月的二手车对数销售价格的置信水平为0.95的置信区间以及预测区间。解.
第八章线性回归分析
《统计学》
38
8.2.2.1 最小二乘估计
第八章线性回归分析
《统计学》
39
8.2.2.1 最小二乘估计
第八章线性回归分析
《统计学》
40
8.2.2.1 最小二乘估计
第八章线性回归分析
《统计学》
41
8.2.2.1 最小二乘估计
第八章线性回归分析
《统计学》
42
8.2.2 回归系数的统计推断
统计学
第八章线性回归分析
统计与管理学院
第八章线性回归分析
8.1 简单线性回归 8.2 多元线性回归 8.3 回归模型的评估 8.4 残差分析 8.5 变量选择
第八章线性回归分析
《统计学》
2
第八章线性回归分析
二手车价格预测
美一家大型丰田汽车经销商为打算购买丰田汽车的顾客提供了回收二手丰田车的选择，作为以旧换新的交易的一部分。
表: 二手丰田卡罗拉销售数据变量说明表
第八章线性回归分析
《统计学》
18
例8.1.（续）为了便于说明问题，暂时不考虑行驶里程(KM)低于500公里的数据，最终共1425个观测值。下表展示了部分数据。请根据数据建立销售价格关于车龄的回归方程，并根据回归方程预测车龄为48个月的二手丰田卡罗拉的销售价格。

spss在财务管理中的应用第8章回归分析

8.2 一元线性回归方程
8.2.2一元线性回归方程拟合度检验
1.回归模型的有效性检验
回归模型的有效性检验，就是对求得的回归方程进行显著性检验，看是否真
实地反映了变量间的线性关系。线性回归模型的有效性检验通常使用方差分
析的思想和方法进行。总平方和SST反应了因变量y的波动程度或者不确定性，它可以分解成回归平方和SSR和误差平方和SSE，即SST=SSR+SSE。
内平方和的大小（SSE，残差）；从“df”一栏可以知道各个部分的自由度。各自的平方和
除以其自由度便得到了“均方”一栏的数据，F值就是组间（回归）均方除以组内（残差）均方的取值。从结果上看F=1037.144，其检验的概率水平p=0.000，小于0.05的显著性水平，说明一元线性回归模型在0.05的显著水平上有统计意义。

（公式8.15）式中，SSR为回归平方和，SSE为误差平方和，n为样本数，k为自变量个数。F统计量服从第一个自由度为k，第二个自由度为n-k-1的F分布。同样的，如果F值到达显著水平，说明构建的回归方程是成立的，即自变量和因变量间存在线性关系。
8.3 多元线性回归方程
2.回归系数的显著性检验
步骤4：对回归方程进行参数检验。
SPSS会根据样本数据估算出回归模型的参数，同时对估算出的回归模型中的参数
进行检验，研究者需要根据检验的结果对参数做出取舍。

步骤5：利用回归方程进行预测。有了回归模型后，便可以依照回归模型在某种条件下对因变量取值进行预测了。
8.2 一元线性回归方程
在一元线性回归方程中，只有两个变量，一个为因变量，另一个为自变量，
前言
回归分析可以用下列方程表示，即