6.2.4等差数列应用举例(课件)

合集下载

2024届高考一轮复习数学课件(新人教B版)：等差数列

所以 Sn＋1－ Sn＝(n＋1) a1－n a1＝ a1(常数)，
所以数列{ Sn}是等差数列. ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{ Sn}是等差数列.
设数列{an}的公差为d，则 Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝12n2d＋a1－d2n.
因为数列{ Sn}是等差数列，所以数列{ Sn}的通项公式是关于 n 的一次函数，
教材改编题
1.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于
A.－2
B.－1
√C.1
D.2
设等差数列{an}的公差为 d，由题意得151＝＝aa1＋1＋74dd，，解得ad1＝＝－192，. ∴an＝－2n＋21. ∴a10＝－2×10＋21＝1.
教材改编题
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12
A.aa94＝－1
√C.aa93＝－1
B.aa83＝－1 D.aa140＝－1
由aa85＝－2 得 a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0，所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0，因为a5≠0，a6＝0，所以 a3≠0，aa93＝－1.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例 4 (1)设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意的
则 a1－d2＝0，即 d＝2a1，所以 a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{ Sn}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{ Sn}的公差为 d，d>0，则 S2－ S1＝ 4a1－ a1＝d，得 a1＝d2，所以 Sn＝ S1＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.

等差数列的性质和应用PPT优秀课件

解 a n： S nS n 1(n2 ) a nn 2 2 n (n 1 )22 (n 1 )2 n 3(n2 （ )* ）
又当 n1时， a1 S1 1适合 (*) an 2n3，此a时 n1an 2 an为等差数 . 列
16
思考 :若此题S改 n n为 22n2, 试判断{a数 n}是列否成数等列 ?差
解 :由题意得 :
a1 S1 1, a2 1, a3 3 而2a2 a1 a3 ,
故{an }不成等差数列.
事实a上 n 12， n3
n1 n2
17
评注：
1.利用 an S n S n1 (n 2)解题时一定要注意验证 a1是否适合通项公式 .
19
例3:设等差{数 an}的列前 n项和S为 n, 若a5 5a3,则SS95 ______
解：
9(a1 a9)
S9 2 9a5 959
S5 5(a1a5) 5 a3 5
2
评注：S在n
a1
an 2
n中可利用性质
将a1 an转换成数列中另外之两和.项
20
例4:若数{a列 n}为等差数列 Sp ， Sq,且
(pq, p,qN) 求Spq
解:
Sp
Sq pa1
Sk,S2kSk,S3kS2k成等差数列？。如何证
略证S：k a1
ak 2
k
(1)
S2kSk
ak1

ak2
a2k
ak1 a2k 2
k
(2)
(S31k )(S23k得 )a2S k： k 12a(S 3k3kkS2k)k 2a1aka2k(13)a3k
解：由推广的通项公知式：

中职教育-数学(基础模块)下册第六章数列.ppt

根据高斯算法的启示，对于公差为d的等差数列，其前n项和
可表示为 Sn a1 (a1 d ) (a①1 2d ) [a1 (n 1)d ]，
Sn an (an d ) (②an 2d ) [an (n 1)d ]．
…
…
将①②两式相加可得
…
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) n个
．
于是
a2
a1q
16 3
3 2
8．
➢例题解析
例2 求等比数列11,3.3,0.99，…的第4项和第5 项．
… …
观察
所以，数列的一般形式可以写成
a1 ，a2 ，a3 ，，an ，
简记为{an}．其中，反映各项在数列中位置的数字0,1,2,3，…，n
分别称为对应各项的项数．
项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列．上面的例子中，数列②④为有穷数列，数列①③为无穷数列．
➢6.1.2 数列的通项公
59 3n 1， n 20．
因此，该数列的第20项为59．
➢例题解析
例3 在等差数列{an}中，公差d=5， a9=38，求首项a1。
解：
因d=5，故设等差数列的通项公式为
an a1 5(n 1) ．
因a9=38，故
38 a1 5 (9 1) ． a1 2 ．
➢例题解析
例4 某市出租车的计价标准为1.2元 /km，起步价为10元，即最初的4 km （不含4 km）计价10元．如果某人在该市坐出租车去14 km处的地方，需要支付解多：少车费？
观察上面的数列，可以发现，从第2项开始，数列中每一项与其前一项的比都等于2．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的比都等于同一常数，那么，这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，用字母q 表示．

等差数列(讲解部分)

(1)
(2)
解析 (1)由Sn=3×2n-3,n∈N*,得 (i)当n=1时,a1=S1=3×21-3=3. (ii)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3×2n-3)-(3×2n-1-3)=3×(2n-2n-1)=3×2n-1(*).又当n=1时,a1 =3也满足(*)式.
所以,对任意n∈N*,都有an=3×2n-1. (2)解法一:设等差数列{bn}的首项为b1,公差为d,由(1)得b2=a5=3×25-1=48,b11= S3=3×23-3=21.
由等差数列的通项公式得
bb121
= b1 = b1
+ d = 48, +10d = 21,
解得
bd1
= =
51, -3.
所以bn=54-3n.
∵bn+1-bn=-3<0,
∴bn随着n的增大而减小,
令bn=0,解得n=18,∴当n≤17的bn>0,当n>19时,bn<0.
所以Tn有最大值,无最小值,且T18(或T17)为Tn的最大值,
考点二等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和. (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有am+an=ap+aq. (2)等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列. (3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
T18=18(b12+ b18 ) =9×(51+0)=459.
解法二:由解法一可知Tn=51n+

高教版中职数学(基础模块)下册6.2《等差数列》ppt课件4

(2)证明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，∴an＋2－an＋1＝2p(n ＋1)＋p＋q.又(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p 为一个常数，
∴数列{an＋1－an}是等差数列．
类型二等差数列基本量的计算
例 2.在等差数列{an}中， (1)已知 a15＝33，a45＝153，求 an； (2)已知 a6＝10，S5＝5，求 Sn； (3)已知前 3 项和为 12，前 3 项积为 48，且 d＞0，
(3)设该等差数列的项数为 n，则 a1＋a2＋a3＋a4＝36，an ＋an－1＋an－2＋an－3＝124，
a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3， ∴4(a1＋an)＝160，即 a1＋an＝40. ∴Sn＝n（a12＋an）＝20n＝780，解得 n＝39.故填 39.
(4)解法一：令 Sn＝An2＋Bn，则
(5)等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn， S3n－S2n，…为等差数列，公差为 n2d.
(6)若等差数列的项数为 2n，则有
S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1.
(2015·重庆)在等差数列 {an} 中，若 a2＝4，a4＝2，则 a6＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．6
设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若对于所有的正整数 n，都有 Sn＝n（a1＋ 2 an），证明{an} 是等差数列．
证明：当 n≥2 时，由题设知 an＝Sn－Sn－1＝n（a12＋an）－（n－1）（2a1＋an－1）＝12[a1＋nan－(n－1)an－1]，同理 an＋1＝12[a1＋(n＋1)an＋1－nan]．从而 an＋1－an＝12[(n＋1)an＋1－2nan＋(n－1)an－1]. 等差数列的定义

等差数列求和(共24张PPT)

例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。

03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差数列的通项公式进行化简，最终得到等差数列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的项进行倒序相加，再利用等差数列的通项公式进行化简，最终得到等差数列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个常数被称为公差。

《全国七年级数学课件：“等差数列”的学习》

在整个课件的学习过程中，我们将总结等差数列的重要要点，并提供一些学习时需要注意的事项和技巧。
更多拓展：等差数列在日常生活中的应用
等差数列不仅存在于数学中，它们也在我们的日常生活中发挥着重要作用。让我们一起来探索它们的应用领域吧！
附录：常用等差数列பைடு நூலகம்式及公差的取值
在附录中，我们将提供一些常用的等差数列公式，以及一些常见的公差取值范围。这些工具将在我们的学习和问题求解中起到重要作用。
等差数列的定义及重要特征
等差数列具有一些重要的特征，例如：公差恒定、首项和通项的求解方法。这些特征帮助我们更好地理解等差数列的性质和规律。
公差的概念及求法
公差是等差数列中相邻两项之间的差值。在这一部分，我们将学习如何计算公差，并探索公差对等差数列的影响。
求等差数列中的各项值方法
1
通项公式
利用通项公式，我们可以轻松地计算等差数列中任意项的值。
算术级数的和公式及应用
通过应用已知的和公式，我们可以求解算术级数的和，从而解决一些挑战性的问题。让我们一起来学习和探索吧！
算术序列与算术级数的联系
算术序列是等差数列的特殊情况，其中只包含正整数。在这一部分，我们将比较算术序列和算术级数的性质，并探讨两者之间的联系与区别。
等差数列的例题解析
通过解析一些实例题，我们将运用之前学到的知识，深入理解等差数列的性质和求解方法。准备好迎接挑战了吗？
答疑与互动：同学们的问题及解答
在这一部分，我们将回答同学们在学习过程中遇到的问题，并与大家进行互动课堂。让我们一起来解决问题，共同进步。
案例分享：优秀作业的展示和点评
在这个环节，我们将展示一些同学们提交的优秀作业，并给予他们鼓励和点评。让我们一起欣赏和学习他们的杰出表现。

等差数列的应用PPT教学课件_1

●重点难点重点：等差数列前 n 项和公式的掌握与应用．难点：灵活运用求和公式解决问题．
课 1.掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点) 标 2.会求等差数列前n项和的最值问题．(重点、易解错点) 读 3.能用裂项相消法求和．(难点)
等差数列前n项和的性质
【问题导思】已知等差数列{an}，其前 n 项和为 Sn. 1．a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 成等差数列吗？【提示】 a3＋a4＝(a1＋a2)＋4d，a5＋a6＝(a3＋a4)＋4d， ∴(a5＋a6)－(a3＋a4)＝(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d，即 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 构成等差数列．
∴S11＋S12＋…＋S1n＝121－13＋12－14＋
13－15＋…＋n－1 1－n＋1 1＋1n－n＋1 2
＝
1 2
1＋12－n＋1 1－n＋1 2＝34－2n＋2n1＋n3＋2.
1．若数列{an}是等差数列，公差为 d(d≠0)，则和式 Tn＝a11a2 ＋a21a3＋a31a4＋…＋an－11an可用裂项法求和，具体过程如下：
思
想
教
方
学
法
教
技
法
巧
分
析
当
堂
双
课
基
前自
第 2 课时等差数列的综合应用
达标
主
导
课
学
后
知
能
课
检
堂
测
互
动
教
探
师
究
备
课
资
源
●三维目标 1．知识与技能进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前 n 项和公式研究 Sn 的最值．初步体验函数思想在解决数列问题中的应用．

等差数列ppt课件

等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础概念，对于理解数列、函数等其他数学概念有着重要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数学运算中有着广泛的应用，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一些复杂的数学问题，例如求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项和为40，前8项和为64，求这个等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$，前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02

高三数学一轮复习优质课件2：6.2 等差数列及其前n项和

1 (n∈N*),
an 1
所以
bn1
bn
1 an1 1
1 an 1
(2
1 1
) 1
1 an 1
an 1 1.
an
an 1 an 1
15
又
b1
a1
1
, 2
所以数列{bn}是以 5 为首项,以1为公差的等差数列.
2
②由①知bn=n-
7 2
,
则an=
1
1 bn
1
2. 2n 7
设f(x)= 1 2 ,
{a2n-1+2a2n}是 (
)
A.公差为3的等差数列
B.公差为4的等差数列
C.公差为6的等差数列
D.公差为9的等差数列
(2)(2015·太原模拟)已知数列{an}中,
a1
3 5
,an
2 1 a n1
数列{bn}满足bn=
1 an 1
(n∈N*).
①求证:数列{bn}是等差数列;
(n≥2,n∈N*),
2.等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为a-d,a,a+d;若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
考点2 等差数列的判定与证明
【典例2】(1)(2015·防城港模拟)若{an}是公差为1的等差数列,则
②若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(n∈N*)是等差数列. ③Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm, S_3_m_-_S_2_m成等差数列.
④两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为

中专技校中职数学基础模块下册(全册)教学知识点复习PPT课件

从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于一个常数，那么，这个数列叫做等差数列.常数叫做等差数列的公差，一
般用字母 d 表示.
想一想
如果等差数列 a1, a2, , an 的公差为 d ，那么数列 an, an1, , a1 是否为等差数列，如果是等差数列，则公差是多少？
6.2.2 等差数列的通项公式
于项数 n 的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
思考
由数列的有限项探求通项公式时，通项公式是
唯一的吗？
6.2 等差数列
6.2.1 6.2.2 6.2.3
等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的前n项和
6.2.1 等差数列的概念
一般地，如果数列
a1, a2 ,, an ,
或 Sn
na1
n(n 1) d 2
练习
1.求等差数列 1, 5, 9，…的前 50 项的和.
2.在等差数列{an} 中， a4 6, a9 26 ，求数
列前 20 项的和 S20 .
6.3 等比数列
6.3.1 6.3.2 6.3.3
等比数列的概念等比数列的通项公式等比数列的前n项和
6.3.1 等比数列的概念
a
b
a
b
A
b
C
7.2.1 平面向量的加法
（2）向量加法的平行四边形法则：
设向量 a 与向量 b 不共线，在平面上任取一点 A ，首尾相接的作
AB a, BC b ，如果仍 A 以为起点，作向量 AD b ，则由 AD BC 可知，
量的方向呢？
7.2 平面向量的运算
7.2.1 7.2.2 7.2.3
平面向量的加法平面向量的减法平面向量的数乘运算

第六章 §6.2 等差数列-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件

则 S2－ S1＝ 4a1－ a1＝d，得 a1＝d 2，
所以 Sn＝ S1＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.
思维升华
判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列； (2)等差中项法：对于数列{an}，2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列； (3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列； (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立 ⇔{an}是等差数列.
第六章
§6.2 等差数列
课标要求
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 4.体会等差数列与一元函数的关系.
内容索引
第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型
设数列{an}的公差为d，则 Sn＝na1＋nn－2 1d＝12dn2＋a1－d2n.
因为数列{ Sn}是等差数列，所以数列{ Sn}的通项公式是关于 n 的一次函数，则 a1－d2＝0，即 d＝2a1，所以 a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{ Sn}是等差数列，a2＝3a1，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{ Sn}的公差为 d，d>0，
(2)(多选)(2023·郑州模拟)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，S5<S6，

专题6.2 等差数列及其前n项和(讲)(解析版)

专题6.2 等差数列及其前n 项和1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识点一等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)．知识点二等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)． (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．知识点三等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．知识点四等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．知识点五等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．【必会结论】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d, 则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)等差数列{a n }的前n 项和为S n, 则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等差数列，其公差为n 2d.考点一等差数列基本量的运算【典例1】【2019年高考全国I 卷理数】记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则( )A ．25n a n =- B ．310n a n =-C ．228n S n n=- D ．2122n S n n =-【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A 。