最新苏教版高中数学必修二课件：1.3.1 空间几何体的表面积
苏教版高中数学必修二课件1.3.1空间几何体的表面积
例1 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝2．沿长 方体表面A→C1，求最短路线长．
D1
C1
D1 A1
D A
C1
B1
C1
C
B
C
例2 如图所示正方体纸盒的展开图中，线段AB，
CD在原正方体中的位置关系是() D
A．平行
B．垂直
C．相交且成60角
A
D．异面且成60角
作业：
P57习题1.3第1，3，8．
C D
B
判断．
1．侧棱与高相等的棱柱是直棱柱．
T
2．有一个侧面垂直于底面的三棱柱是直三棱柱．
F
3．正棱柱的侧面是正方形．
F
4．有两个相交侧面垂直于底面的四棱柱是直四棱柱．
T
5．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥．
F
例3 圆锥的半径为r，母线为4r，M是底面圆上任意一点，从M拉一 根绳子，环绕圆锥的侧面再回到M，最短绳长为多少？
高中数学课件
灿若寒星整理制作
高中数学必修2
复习回顾与情境创设：
简单几何体点、线、面的位置关系几何体的结构特征
怎样计算一些简单几何体的表面积和体积呢？
本节课要解决的问题：
柱、锥、台、球的表面积计算公式．
正棱柱、正棱锥、正棱台等定义．
棱柱 侧棱和底面垂直 直棱柱
*斜棱柱
底面是正多边形
正棱柱
M O *沿母线OM展开圆锥侧面
M
例4 一个直角梯形上底、下底和高之比为2:4:．5将此直角梯形以垂直于
底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和 侧面积之比．
例5 正四棱台的高是12cm，两底面边长之差为10cm，全面积为512cm2， 求底面的边长．
高中数学 1.31.3.1 空间几何体的表面积课件 苏教版必修2
面图形，棱锥的侧面展开图是由___三__角__形_______构成的平
面图形，棱台的侧面展开图是由____梯__形________构成的平
面图形．
栏
目
2．多面体的底__面__积__与__侧__面__积__的__和__叫做多面体的表面
链 接
积(又称全面积)．特别：①S柱体侧＝_______C_h________(C是 底周长，h是高)；②S锥体侧＝__12_C_h_′_____(C为底周长，h′为
熟练掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是记忆
和应用公式的关键，要谨记：圆柱的侧面展开图是矩形，
圆锥的侧面展开图是扇形，圆台的侧面展开图是由一大
栏 目
链
扇形截去一个小扇形所得到的一个扇环．
接
四、球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径)
记忆公式时要借助于球的截面圆进行记忆，即球
面面积等于它的大圆面积的4倍，另外公式的推导中应 栏
平面上，得到它们的侧面展开图；从各个侧面的多边形的几何特征上推导
出公式．
三、圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
①S圆柱表＝2πR2＋2πRl＝2πR(R＋l)(R为底面圆的半
径，l为圆柱的母线长)；
栏
②S圆锥表＝πR2＋πRl＝πR(R＋l)(R为底面圆的半径，
目 链
接
l为圆锥的母线长)；
③S圆台表＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)(R为下底面圆的半径， r为上底面圆的半径，l为圆台的母线长)．
链 接
斗是正四棱台形，(如右图所示)，它的两底面边长分别为
80 mm和440 mm，高为200 mm，制造这样一个下料斗需
多大铁板？
栏 目 链 接
1.了解柱、锥、台、球的表面积的计算方法. 2.能用柱、锥、台、球的表面积公式解决有关问题.
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第3节空间几何体的表面积和体积教学课件
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合作探究 提素养
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棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
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由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
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自主预习 探新知
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1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
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台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
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[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
苏教版高中数学必修二课件1.3《空间几何体的表面积与体积》(第1课时)ppt
B.4cm
C.5cm
D.6cm
3.若一个棱台的上、下底分别是边长为1cm 和3cm的正方形,侧棱长为2cm,则棱台的侧 面积为() D A. 4 6cm2
2 4 3 cm C.
B. 8 6cm2
2 8 3 cm D.
4.一个直角三角形的直角边分别为12与5, 以较长的直角边为轴,旋转而成的圆锥的侧 面积为() C
学习目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公 式.提高学生的空间想象能力和几何直观能力 ,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的 兴趣. 2.掌握简单几何体的表面积的求法,提高学生 的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的 能力.
重点 了解柱体锥体的表面积计算公式. 难点 柱体锥体台体的表面积计算公式的应用.
A.60 B.78 C. 65 D.156
5.五棱台的上、下底面均是正五边形,边长分 别是8cm和18cm,侧面是全等的等腰梯形,侧 780 棱长是13cm,求它的侧面面积______.
am2 6.已知圆锥的表面积为,且它的侧面展开图是 2 一个半圆,求这个圆锥的底面半径____. 3a
O′
l
O r
2r
圆锥的侧面展开图是一个扇形：
r 如果圆柱的底面半径为，母线为，那么它的表 l 面积为
S S S r rl r底 (r S l) 表面 扇
2
S
l
2r
O
圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于 上、下两个底面和加上侧面的面积，即
S Sr S S ( r S上底 r l rl ) 表面 下底 扇环
思考
在初中,我们已经学习了正方体和长方体的 表面积,以及它们的展开图,你知道上述几何 体的展开图与其表面积的关系吗?
数学苏教版必修2 第1章1.3.1 空间几何体的表面积 课件(32张)
3．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一 个高为x cm的内接圆柱． (1)求圆锥的侧面积； (2)当x为何值时，圆柱侧面积最大？求出最大值．
解：(1)母线 l＝ 22＋62＝2 10 cm，S 侧面积＝πrl＝π×2×2 10 ＝4 10π cm2； (2)设圆柱的底面半径为 r cm，则2r＝6－6 x，∴r＝2－x3，
2．如图所示，已知直角梯形 ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°， AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以 AB 所在直线为轴旋 转一周所得几何体的表面积． 解：以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台， 其上底半径是 4 cm，下底半径是 16 cm， 母线 DC＝ 52＋16－42＝13 (cm)， ∴该几何体的表面积为 π(4＋16)×13＋π×42＋π×162 ＝532π(cm2)．
则圆柱的侧面积为 S＝2π2－x3·x＝－23π(x－3)2＋6π，
∴当 x＝3 cm 时，S 最大＝6π cm2.
规范解答 组合体表面积的计算
(本题满分 14 分)如图，从底面半径为 2a，高为 3a 的 圆柱中，挖去一个底面半径为 a 且与圆柱等高的圆锥，求圆柱 的表面积 S1 与挖去圆锥后的几何体的表面积 S2 之比．
第1章 立体几何初步
1．3 空间几何体的表面积和体积
1．3.1 空间几何体的表面积
第1章 立体几何初步
学习导航
1.了解柱、锥、台的侧面展开图及它们的内在联 系． 学习 2．理解侧面展开图与几何体的表面积之间的关 目标 系．(难点) 3．掌握柱、锥、台侧面积的计算公式，会求简单 几何体的表面积．(重点)
(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 圆柱表面积：S圆柱＝___2_π_r_2＋__2_π_r_l_＝__2_π_r_(r_＋__l_) __ 圆锥表面积：S圆锥＝ ___π_r_2_＋__π_r_l＝__π_r_(_r_＋__l)_____ 圆台表面积：S圆台＝ ____π_(r_′__2_＋__r_2＋__r_′__l_＋__rl_)__
1.3.1空间几何体的侧面积与表面积
(3)棱锥的侧面展开图（eg:正三棱锥）
h'
h'
1 S正 棱 锥 侧 ＝ ch' 2
(4)棱锥的展开图（eg:正五棱锥）
展开图
h'
S表面积 S侧 S底
h'
(5)棱台的侧面展开图（eg:正三棱台）
类比梯形的面积
h'
h'
1 S正 棱 台 侧 ＝ （c c' )h' 2
(6)棱台的展开图（eg:正五棱台）
例3 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆 底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长 15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取 3.14，结果精确到1 cm2 ）？
20cm
解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：
2 15 cm 15 2 15 20 1.5 S 15 15 2 2 2 2
r 'O’
l
2r '
2 r
r
O
S ( r r r l rl )
2 '
'2
S ( r r 2 r ' l rl )
'2
r' x r xl
r 'O’
l
x
2r '
2 r
rx r ' x r ' l
r
O
S侧 r(l x) r ' x (rl rx r ' x)
• 棱柱: 直棱柱(侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱) 正棱柱(底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱)
苏教版必修2高中数学1.3.1《空间几何体的表面积》ppt课件
复习回顾与情境创设：
简单几何体点、线、面的位置关系几何体的结构特征
怎样计算一些简单几何体的表面积和体积呢？
本节课要解决的问题：
柱、锥、台、球的表面积计算公式．
正棱柱、正棱锥、正棱台等定义．
棱柱 侧棱和底面垂直
直棱柱
*斜棱柱
底面是正多边形
正棱柱
(各侧面为全等的矩形)
棱锥 底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心
A．平行
B．垂直
C．相交且成60角
A
D．异面且成60角
Hale Waihona Puke C DB判断．
1．侧棱与高相等的棱柱是直棱柱．
T
2．有一个侧面垂直于底面的三棱柱是直三棱柱．
F
3．正棱柱的侧面是正方形．
F
4．有两个相交侧面垂直于底面的四棱柱是直四棱柱．
T
5．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥．
F
例3 圆锥的半径为r，母线为4r，M是底面圆上任意一点，从M拉一 根绳子，环绕圆锥的侧面再回到M，最短绳长为多少？
作业：
P63-64习题1.3第1，3，8．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/27
苏教版 高中数学必修第二册 空间图形的表面积 课件3
解 上部分圆锥体的母线长为 1.22＋2.52 m，
其侧面积为 S1＝π×52× 1.22＋2.52(m2).
下部分圆柱体的侧面积为S2＝π×5×1.8(m2).
∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为
S
＝
S1
＋
S2
＝
π×
5 2
× 1.22＋2.52＋π×5×1.8
≈50.03(m2).
(1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它由哪些简 单空间图形组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量， 注意方程思想的应用. (2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理 地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实 际物体究竟是哪种空间图形，哪些面计算在内，哪些面在实 际中没有.
圆台
上底面面积：S上底＝ πr′2 ，
下底面面积：S下底＝ πr2 ， 侧面积：S侧＝ π(r′l＋rl) ， 表面积：S＝_π_(_r′__2_＋__r_2_＋__r′__l_＋__r_l)_
简单组合体的表面积
例1 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如 图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要 多少篷布？(精确到0.01 m2，π取3.14)
cb
h
h
a
a
bc
S直棱柱侧＝（a b c) h ch
棱锥： 正棱锥： 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.
S正
棱
锥
侧＝
1 2
ch'
h'
棱台： 正棱台： 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和
底面之间的部分叫正棱台.
பைடு நூலகம்
h' h'
高中数学 1.3.1空间几何体的表面积课件 苏教版必修2
1 2
ch'
S圆柱侧 cl 2rl
S圆锥侧
1 2
cl
rl
S圆台侧
1 2
(c
c' )l
(r
r ' )l
第十九页，共19页。
第四页，共19页。
直棱柱 ：侧棱和底面垂直 (léngzh (chuízhí)的棱柱
ù)
第五页，共19页。
直棱柱 (lé ngzh ù)
：侧棱和底面垂直 (chuízhí)的棱柱
第六页，共19页。
直棱柱 ：侧棱和底面垂直(chuízhí)
(lé ngz
的棱柱
hù )
3 3
2 1
4
1
2
S直棱柱侧 ch
斜高h’ 第十页，共19页。
侧面展开
c'
c
第十一页，共19页。
S正棱台侧
1 2
(c
c')h'
c c'
c' 0
S直棱柱侧 ch
S正棱锥侧
1 2
ch'
第十二页，共19页。
l r
S圆柱侧 cl 2rl
第十三页，共19页。
c l
r
S圆锥侧
1 2
cl
rl
第十四页，共19页。
c'
l
r'
c
r
第十七页，共19页。
例2 有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管， 用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点 (duān diǎn)落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最 短长度为多少厘米？（精确到0.1cm）
D
C
高中数学苏教版必修二 1.3.1 空间几何体的表面积 (16张)1
C’=0
S圆台侧＝
1（c＋c' 2
)l
C’=C
S圆柱侧＝cl
例2
一个直角梯形的上底，下底和高之比为2：4：5。 将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成 一个圆台，求这个圆台上底面积，下底面积和侧 面积之比。
O’
B
O
C
A
例3、如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝4，BC＝3，AA1＝2．沿长方体表面 A→C1，求最短路线长．
D1
C1
D1 A1
D A
C1 B1
C B
C1
C1
C
例4、圆锥的半径为r，母线为4r，M是底 面圆上任意一点，从M拉一根绳子，环绕 圆锥的侧面再回到M，最短绳长为多M少？
O
M
* 沿母线OM展开圆锥侧面
小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展 开图的形状是关键；
2、对应的面积公式
S正棱锥侧＝
1 2
ch'
S圆锥侧＝
A
A
B
A
B
C
DB
CC
D
分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形.
矩形
等腰三角形
等腰梯形
旋转体
思考：把圆柱的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
r
l
长方形
宽＝ l
长 ＝2r
S 圆柱侧 S 长方形 ＝ 2 rl
旋转体
思考：把圆锥的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
A
h
db
h
h
a Ba
bd
直棱柱的侧面展开图是矩形
高中数学 1.3.1空间几何体的表面积课件 苏教版必修2
典例
►变式训练
1．长方体石块ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为5、4、
3米，一只蚂蚁由长方体的表面沿顶点A到顶点C1所走的 最短路程为________米．
学习
栏
目 链
预习
接
典例
分析：蚂蚁沿着表面行走．利用长方体的平面展开图知 识进行求解． 解析：将图所示的长方体相邻两个面展开有三种情形 (注：将右侧面剪开，即剪开棱BB1、B1C1、C1C，可 得图(1)．其余类同)．
学习
栏
目 链
预习
接
典例
解析：正四棱锥 PABCD 的高 PO，斜高 PE，底面边心距 OE 组 成 Rt△POE.
∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
∴PE＝sinO3E0°＝4 (cm)．
∴S 棱锥侧＝12ch′＝21×4×4×4＝32(cm2)， S 表面积＝S 侧＋S 底＝32＋16＝48(cm2)．
∴在△APA1 中，AA1＝ 3.
∴A1M＋MN＋NA 的最小值为 3.
规律总结：简单的多面体可以沿着它的某些棱剪开展成 平面图形，同样，圆柱、圆锥及圆台也可以沿着其母线 剪开展成平面图形．借助这些几何体的平面展开图，我 们不仅可以计算它们的表面积而且可以讨论一些最短路 线问题．
学习
栏
目 链
预习
接
学习
栏
目 链
预习
接
典例
►变式训练
6．已知过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离为球半
径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．
学习
解析：如图，设截面圆心为O′，连接O′A，设球半径为R，
栏 目 链
预习
接
典例
则
苏教版数学必修二新素养同步课件：1.3.1 空间几何体的表面积
3.旋转体的侧面积、表面积公式
第1章 立体几何初步
（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式
S 圆柱侧＝___c_l_____＝___2_π_r_l___，其中 l 为圆柱的母线长，c 为
底面圆的周长，r 为底面圆的半径. 1
S 圆锥侧＝____2_c_l ___＝____π_rl____，其中 c，r 分别为圆锥底面圆
栏目 导引
第1章 立体几何初步
2.几个特殊多面体的侧面积公式 S 直棱柱侧＝____c_h____，其中 c 为直棱柱的底面周长，h 为直棱 柱的高.
1 S 正棱锥侧＝___2_c_h_′ ___，其中 c 为正棱锥的底面周长，h′为斜高. S 正棱台侧＝___12_（__c_＋__c′_）__h_′_____，其中 c′、c 分别为正棱台的上、 下底面的周长，h′为斜高.
栏目 导引
第1章 立体几何初步
（1）求多面体的表面积，可以先求侧面积，再求底面积.求侧 面积，要清楚各侧面的形状，并找出求面积的条件；求底面 积要清楚底面多边形的形状及求面积的条件. （2）依据正三棱锥和正三角形的性质，画出正三棱锥的高、 斜高，从而求出斜高，这是解决此类问题的关键.
栏目 导引
第1章 立体几何初步
所以SS圆 圆柱 锥表 表＝πR2π·r22＋R＋2ππr2R2＝（
4πr2 2＋1）πR2
＝（ 2＋4r12）×4r2＝ 21＋1＝ 2－1.
栏目 导引
第1章 立体几何初步
（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们的侧面展开图的 面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与 原旋转体的关系，是掌握它们的表面积公式及解决有关问题 的关键. （2）解旋转体的有关问题时，常常需要画出其轴截面，将空 间问题转化为平面问题.
苏教版高中数学必修2课件 1.3.1 空间几何体的表面积课件3
课
主
导 学
BD＝ BD21－DD21＝ 81－25＝2 14.
时 作 业
课 堂 互 动 探 究
又由菱形的性质可知，OC⊥OB，且 OC＝5 2，OB＝ 14，
教
∴BC＝ OC2＋OB2＝ 50＋14＝8 cm.
师 备
课
∴这个棱柱的侧面积为 4×(8×5)＝160 cm2.
资 源
菜单
SJ ·数学 必修2
教
学
易
教 法
错
(2013·连云港检测)已知一直棱柱底面是菱形，该棱柱的 易
分
误
析
体对角线长分别为 15 cm,9 cm，高为 5 cm，求这个棱柱的侧
辨 析
教
学 方 案
面积． 【解】
如图所示，不妨设 AC1＝15 cm，BD1＝9 cm，
当 堂 双
设
基
计 则由直棱柱的性质可知：
达
标
课
前 自
AC＝ AC21－CC21＝ 225－25＝10 2.
案
双
设 计
角度来认识空间几何体，目的在于使学生了解空间几何体的
基 达
标
课 前
表面积计算方法．教学时，教师可采用问题引导教学法，借
自
课
主 导
助多媒体和实物展示，一步步地引导学生认识几何体(直棱
时 作
学
业
柱、正棱锥、正棱台)的结构特征和柱、锥、台体的展开图，
课 堂 互 动 探 究
教
让学生在探究柱体、锥体、台体的表面积计算的形成过程 师
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
SJ ·数学 必修2
教
高中数学苏教版必修2讲义：第一章 1.3 空间几何体的表面积和体积
第1课时空间几何体的表面积(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱．(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱．(3)正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥．(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分.观察下列多面体：问题1：直棱柱的侧面展开图是什么？提示：以底面周长为长，高为宽的矩形．问题2：正棱锥的侧面展开图是什么？提示：若干个全等的等腰三角形．问题3：正棱台的侧面展开图是什么？提示：若干个全等的等腰梯形．几个特殊的多面体的侧面积公式(1)S 直棱柱侧＝ch (h 为直棱柱的高)； (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(h ′为斜高)；(3)S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′(h ′为斜高).观察下列旋转体：问题1：圆柱的侧面展开图是什么？ 提示：以底面周长为长，高为宽的矩形． 问题2：圆锥的侧面展开图是什么？ 提示：扇形．问题3：圆台的侧面展开图是什么？ 提示：扇环．几种旋转体的侧面积公式 (1)S 圆柱侧＝cl ＝2πrl ． (2)S 圆锥侧＝12cl ＝πrl ．(3)S 圆台侧＝12(c ＋c ′)h ＝π(r ＋r ′)l ．1．柱、锥、台的表面积即全面积应为侧面积与底面积的和．2．柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特性，必要时要展开． 3．柱、锥、台的侧面积之间的关系(1)正棱柱、正棱锥、正棱台侧面积之间的关系： S 正棱柱侧――→h ′＝hc ′＝cS 正棱台侧――→c ′＝0S 正棱锥侧. (2)圆柱、圆锥、圆台表面积之间的关系： S 圆柱侧――→r 1＝r 2S 圆台侧――→r 1＝0S 圆锥侧.[例1] 正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积．[思路点拨] 由S 侧与S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．[精解详析] 如图，设PO ＝3，PE 是斜高，∵S 侧＝2S 底，∴4·12·BC ·PE ＝2BC 2.∴BC ＝PE .在Rt △POE 中，PO ＝3，OE ＝12BC ＝12PE .∴9＋(PE2)2＝PE 2.∴PE ＝2 3.∴S 底＝BC 2＝PE 2＝(23)2＝12. S 侧＝2S 底＝2×12＝24. ∴S 表＝S 底＋S 侧＝12＋24＝36.[一点通] 求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．1．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为________．解析：三棱锥的每个面(正三角形)的面积都是34，所以三棱锥 的表面积为4×34＝ 3. ★★答案★★： 32．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是________．解析：设直棱柱底面边长为a ，高为h ，则h ＝6－2＝2，a ＝2×22＝1， 所以S 棱柱侧＝4×1×2＝8. ★★答案★★：83．正四棱台的高是12 cm ，两底面边长之差为10 cm ，表面积为512 cm 2，求底面的边长．解：如图，设上底面边长为x cm ，则下底面边长为(x ＋10)cm ，在Rt △E 1FE 中，EF ＝x ＋10－x2＝5(cm)．∵E 1F ＝12 cm ，∴斜高E 1E ＝13 cm. ∴S 侧＝4×12(x ＋x ＋10)×13＝52(x ＋5)，S 表＝52(x ＋5)＋x 2＋(x ＋10)2＝2x 2＋72x ＋360. ∵S 表＝512 cm 2， ∴2x 2＋72x ＋360＝512. 解得x 1＝－38(舍去)，x 2＝2. ∴x 2＋10＝12.∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm 、12 cm.[例2] 圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？[思路点拨] 解答本题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．[精解详析]如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，∴S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．故圆台的表面积为1 100πcm2.[一点通](1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面．(2)对于与旋转体有关的组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的半径和母线长，注意方程思想的应用．4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是________．解析：根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.★★答案★★：3π5．如图所示，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．解：设圆柱的底面半径为x，圆锥高h＝42－22＝23，画轴截面积图(如图)，则3 23＝2－x2.故圆锥内接圆柱的底半径x＝1.则圆柱的表面积S＝2π·12＋2π·1·3＝(2＋23)π.6．一个直角梯形的上、下底的半径和高的比为1∶2∶3，求它绕垂直于上、下底的腰旋转后形成的圆台的上底面积、下底面积和侧面积的比．解：如图所示，设上、下底的半径和高分别为x、2x、3x，则母线长l＝（2x－x）2＋（3x）2＝2x，∴S上底＝πx2，S下底＝π(2x)2＝4πx2，S侧＝π(x＋2x)·2x＝6πx2，∴圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶4∶6.1．正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．2．棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积可由大小棱锥侧面积作差得到．3．旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系．在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用．课下能力提升(十)1．一个圆锥的底面半径为2，高为23，则圆锥的侧面积为________．解析：S侧＝πRl＝π×2×（23）2＋22＝8π.★★答案★★：8π2．正三棱锥的底面边长为a，高为33a，则此棱锥的侧面积为________．解析：如图，在正三棱锥S-ABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连结AO并延长与BC相交于点M，连结SM，SM即为斜高h′，在Rt△SMO中，h ′＝（33a ）2＋（36a ）2＝156a ，所以侧面积S ＝3×12×156a ×a ＝154a 2. ★★答案★★：154a 23．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．解析：设圆台的上、下底面半径分别为r ′、r ，则母线l ＝12(r ′＋r )．∴S 侧＝π(r ＋r ′)·l ＝π·2l ·l ＝2πl 2＝32π.∴l ＝4.★★答案★★：44．一个圆柱的底面面积是S ，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________．解析：设圆柱的底面半径为R ，则S ＝πR 2，R ＝Sπ，底面周长c ＝2πR . 故圆柱的侧面积为S 圆柱侧＝c 2＝(2πR )2＝4π2Sπ＝4πS .★★答案★★：4πS5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为________．解析：设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D 1AB 1C 为正四面体，每个面都是边长为2的正三角形，其表面积为4×12×2×62＝23，所以三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为1∶ 3.★★答案★★：1∶ 36．以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径．解：如图所示，设圆柱底面圆的半径为R ，高为h ，则圆锥的底面半径为R ，高为h ，设圆锥母线长为l ，则有l ＝R 2＋h 2.①依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2πRh ＝6，πRl ＝5，②由①②，得R ＝2ππ，即圆柱的底面半径为2ππ.7．设正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的全面积．解：设正三棱锥底面边长为a ，斜高为h ′，如图所示，过O 作OE ⊥AB ，则SE ⊥AB ，即SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴12×3a ×h ′＝34a 2×2，∴a ＝3h ′. ∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2， ∴32＋(36×3h ′)2＝h ′2. ∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6. ∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 全＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3. 8.如图所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1)?解：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3＝9.3(m 2)，半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(12)2≈1.6(m 2)， 所以S 1＋S 2≈9.3＋1.6＝10.9(m 2)． 10．9×150≈1 635(朵)．答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花．第2课时 空间几何体的体积观察下列几何体：问题1：你能否求出上述几何体的体积吗？ 提示：能．问题2：要求上述几何体的体积，需要知道什么？ 提示：底面积和高．柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体体积：V 柱体＝Sh ．其中S 为柱体的底面积，h 为高． (2)锥体体积：V 锥体＝13Sh ．其中S 为锥体的底面积，h 为高．(3)台体体积：V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．其中S ，S ′分别为台体的两底面面积，h 为台体的高.2009年12月4日，阿迪达斯和国际足联在开普敦共同发布2010年南非世界杯官方比赛用球“JABULANI ”，“JABULANI ”源于非洲祖鲁语，意为“普天同庆”，新的比赛用球在技术上取得历史性突破，设计上融入了南非元素．问题1：根据球的形成定义，体育比赛中用到的足球与数学中的球有何不同？ 提示：比赛中的足球是空心的，而数学中的球是实体球． 问题2：给你一个足球能否计算出这个足球表皮面积和体积？ 提示：能，只要知道球的半径即可求出．1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3．1．求柱、锥、台的体积要注意底面积与高的确定，必要时注意分割． 2．柱体、锥体、台体之间体积公式的关系3．要求球的表面积，只需求出球的半径．4．球的体积与球的半径的立方成正比，即球的体积是关于球的半径的增函数．[例1] (1)底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长为2.且与该侧面内的底边所成的角为45°，求此三棱柱的体积．(2)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝ 2.求此四棱锥的体积．[思路点拨] (1)由条件求出高和底面边长，再利用公式求体积；(2)解本题的关键是求四棱锥的高，可证明P A ⊥底面ABCD ，再利用公式求体积．[精解详析] (1)如图，由条件知此三棱柱为正三棱柱．∵正三棱柱的面对角线AB 1＝2. ∠B 1AB ＝45°.∴AB ＝2×sin 45°＝2＝BB 1. ∴V 三棱柱＝S △ABC ·BB 1＝34×(2)2×2＝62. (2)在△P AD 中，P A ＝AD ＝1，PD ＝2， ∴P A 2＋AD 2＝PD 2.∴P A ⊥AD ，又P A ⊥CD ，且AD ∩CD ＝D ， ∴P A ⊥平面ABCD ，从而P A 是底面ABCD 上的高， ∴V 四棱锥＝13S 正方形ABCD ·P A ＝13×12×1＝13.[一点通] 求柱体、锥体的体积，关键是求其高，对柱体而言，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成直角三角形，对棱锥而言，求高时，往往要用到线面垂直的判定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线段的长度．1．一圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240°，则该圆锥的体积为________． 解析：设圆锥侧面展开图的弧长为l ， 则l ＝240°×π×1180°＝4π3.设圆锥的底面半径为r ，则4π3＝2πr ，r ＝23.V ＝π3·⎝⎛⎭⎫232·12－49＝4π33·59＝4581π. ★★答案★★：4581π2．一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为________．解析：设正方体棱长为1，则S 正方体侧＝S 圆柱侧＝4， 设圆柱的底面半径为r ，则2πr ×1＝4，r ＝2π，V 正方体＝1，V 圆柱＝π⎝⎛⎭⎫2π2·1＝4π.∴V 正方体∶V 圆柱＝π∶4. ★★答案★★：π∶4[例2] 圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[思路点拨] 解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题．[精解详析]如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm ， 于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)． 圆台的高h ＝BC＝BD 2－（OD －AB ）2 ＝102－（6－4）2＝46(cm)，V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π)＝3046π3(cm 3)．[一点通] 求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．3．正四棱台两底面边长为20 cm 和10 cm ，侧面积为780 cm 2，求其体积． 解：如图所示，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，连结E 1E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1，O 分别是上，下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形．S 侧＝4×12×(10＋20)·E 1E ，即780＝60E 1E ，解得E 1E ＝13 (cm)．在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5 (cm)，OE ＝12AB ＝10 (cm)，所以O 1O ＝E 1E 2－（OE －O 1E 1）2＝132－52＝12(cm)．所以V ＝13×12×(102＋202＋102×202)＝2800(cm 3).[例3] 一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2.求球的表面积．[思路点拨] 由于题中没有说明截面的位置，故需分类讨论．[精解详析] (1)当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质知，AO 1∥BO 2，且O 1，O 2分别为两截面圆的圆心， 则OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2.设球的半径为R.因为圆O2的面积为49π，即π·O2B2＝49π，所以O2B＝7.同理，因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20.设OO1＝x，则OO2＝(x＋9)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，所以，x2＋202＝(x＋9)2＋72，解得x＝15.即R2＝x2＋202＝252.故S球＝4πR2＝2 500π.所以，球的表面积为2 500πcm2.(2)当截面位于球心O的两侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥O2B.设球的半径为R.因为圆O2的面积为49π，即π·O2B2＝49π，所以O2B＝7.同理，因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20.设O1O＝x，则OO2＝(9－x)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋72.所以x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2 500πcm2.[一点通]球的截面性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面，本题利用球的截面将立体几何问题转化为平面几何问题，借助于直角三角形中的勾股定理解决问题．4．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为________ cm3.解析：设球半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面的距离为(R－2) cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝43πR3＝43π×53＝500π3cm3.★★答案★★：500π35．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为________．解析：过球心作球的截面，如图所示，设球的半径为R，截面圆的半径为r，则有r＝R2－⎝⎛⎭⎫R22＝32R，则球的表面积为4πR2，截面的面积为π⎝⎛⎭⎫32R2＝34πR2，所以截面的面积与球的表面积的比为34πR24πR2＝316.★★答案★★：3166．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积和体积是多少？解：设球的半径为R，则由已知得(2R)2＝32＋42＋52，故R2＝252，∴R＝522，∴S球＝4πR2＝50π，∴V球＝43πR3＝43π·(522)3＝12532π.1．求柱、锥、台体的体积时，由条件画出直观图，然后根据几何体的特点恰当进行割补，可能使复杂问题变得直观易求．2．求球与多面体的组合问题，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图．3．球的截面是一个圆面、圆心与球心的连线与截面圆垂直，且满足d ＝R 2－r 2(d 为球心到截面圆的距离)．课下能力提升(十一)1．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为________．解析：设球的半径为r ，则圆锥的底面半径是3r ，设圆锥的高为h ，则43πr 3＝13π(3r )2h ，解得h ＝49r ，所以圆锥的高与底面半径之比为427.★★答案★★：4272．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________． 解析：设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ， 由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1， 所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π. ★★答案★★：2π3．(福建高考)三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P -ABC 的体积等于________．解析：依题意有，三棱锥P -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·|P A |＝13×34×22×3＝ 3.★★答案★★： 34．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．解析：V ＝V 大圆锥－V 小圆锥＝13π(3)2(1＋1.5－1)＝32π.★★答案★★：32π5．(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2， 则正方体的棱长为________．解析：设正方体的棱长为x ，其外接球的半径为R ，则由球的体积为9π2，得43πR 3＝9π2，解得R ＝32.由2R ＝3x ，得x ＝2R3＝ 3.★★答案★★： 36．如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面AC 的距离为2，求该多面体的体积．解：如图，设G ，H 分别是AB ，DC 的中点，连结EG ，EB ，EC ，EH ，HG ，HB ，∵EF ∥AB ，EF ＝12AB ＝GB ，∴四边形GBFE 为平行四边形，则EG ∥FB ，同理可得EH ∥FC ，GH ∥BC ，得三棱柱EGH -FBC 和棱锥E AGHD . 依题意V E AGHD ＝13S AGHD ×2＝13×3×32×2＝3， 而V EGH FBC ＝3V B EGH ＝3×12V E BCHG ＝32V E AGHD ＝92，∴V 多面体＝V E AGHD ＋V EGH FBC ＝152.7．已知正四棱台两底面面积分别为80 cm 2和245 cm 2，截得这个正四棱台的原棱锥的高是35 cm ，求正四棱台的体积．解：如图，SO ＝35，A ′O ′＝25，AO ＝752，由SO ′SO ＝A ′O ′AO ，得SO ′＝35×25752＝20.∴OO ′＝15.∴V 正四棱台＝13×15×(80＋80×245＋245)＝2 325.即正四棱台的体积为2 325 cm 3.8．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．(1)证明：平面P AC ⊥平面PBD ；(2)若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P -ABCD 的体积． 解：(1)证明：因为PH 是四棱锥P -ABCD 的高，所以AC ⊥PH .又AC ⊥BD ，PH ，BD 都在平面PBD 内，且PH ∩BD ＝H ， 所以AC ⊥平面PBD ，故平面P AC ⊥平面PBD .(2)因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6，所以HA ＝HB ＝ 3. 因为∠APB ＝∠ADB ＝60°， 所以P A ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝1， 可得PH ＝ 3.等腰梯形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋233.一、空间几何体1．多面体与旋转体(1)棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱”．(2)有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥．注意：一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体．(3)棱台是利用棱锥来定义的，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个称之为棱台，截面叫做上底面，原棱锥的底面叫做下底面．注意：解决台体常用“台还原成锥”的思想．(4)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转一周而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．2．直观图画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z 轴，最大区别是空间几何体的直观图有实线与虚线之分，而平面图形的直观图全为实线．二、平面的基本性质1．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内A∈α，B∈α⇒AB⊂α公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α公理3的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．三个公理的主要作用(1)公理1的作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内．②用直线检验平面．(2)公理2的作用：①判定两个平面是否相交；②证明点共线．(3)公理3的作用：①确定平面；②证明点线共面．三、空间直线与直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．注意：两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种．1．证明线线平行的方法 (1)线线平行的定义；(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行； (3)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b ； (4)线面垂直的性质定理：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ； (5)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b .2．证明线线垂直的方法(1)线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；(2)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 四、空间直线与平面的位置关系空间中直线与平面有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行． 注意：直线在平面外包括平行和相交两种关系． 1．证明线面平行的方法 (1)线面平行的定义；(2)判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α； (3)平面与平面平行的性质：α∥β，a ⊂α⇒a ∥β. 2．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)面面平行的性质：α∥β，l ⊥α⇒l ⊥β；(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β . 五、空间平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系有且只有平行和相交两种． 1．证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝A ⇒α∥β； (3)线面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面平行．2．证明面面垂直的方法(1)面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； (2)面面垂直的判定定理：a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β. 3．证明空间线面平行或垂直需注意三点 (1)由已知想性质，由求证想判定； (2)适当添加辅助线(面)；(3)用定理时先明确条件，再由定理得出相应结论． 六、空间几何体的表面积和体积1．棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系S 正棱台侧＝12（c ＋c ′）h ′ ――→c ′＝0 S 正棱锥侧＝12ch ′――→c ＝c ′h ＝h ′S 正棱柱侧＝ch 2．圆锥、圆台、圆柱的侧面积公式间的联系S 圆台侧＝π（r ′＋r ）l ――→r ′＝0 S 圆锥侧＝πrl ――→r ′＝rS 圆柱侧＝2πrl 3．锥、台、柱的体积之间的联系V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ――→S 上＝0 V 锥体＝13Sh ――→S 上＝S下V 柱体＝Sh 4．球的表面积与体积 设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，体积V ＝43πR 3.一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列几何体是旋转体的是________．①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． 答案：①④2．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线________．解析：由于直线分别位于两平行平面内，因此它们无公共点，因此它们平行或异面． 答案：平行或异面3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长l ＝3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．解析：设圆台较小底面半径为r ，则S 侧面积＝π(r ＋3r )l ＝84π，r ＝7. 答案：74．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，解得a ＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长22等于球的直径，则球的半径是2，则此球的体积为43π(2)3＝823π.答案：823π5．一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是________．解析：如图所示，将△A ′B ′C ′还原后为△ABC ，由于O ′C ′＝2C ′D ′＝2×1×32＝62，所以CO ＝2O ′C ′＝ 6.∴S △ABC ＝12×1×6＝62.答案：626．如图，如果MC ⊥菱形ABCD 所在的平面，那么MA 与BD 的位置关系是________．解析：连结AC ，由于四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又MC ⊥平面ABCD ，所以MC ⊥BD ，又MC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面AMC ，所以MA ⊥BD .答案：垂直7．已知直线a ∥平面α，平面α∥平面β，则直线a 与平面β的位置关系为________． 解析：∵a ∥α，α∥β，∴a ∥β或a ⊂β. 答案：a ∥β或a ⊂β8．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m ，则全面积的最大值为________． 解析：设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则有2l ＋2πr ＝2m . ∴S 全＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr (m －πr )＝(π－π2)r 2＋πrm . ∴当r ＝πm 2（π2－π）＝m2（π－1）时，S 全有最大值πm 24（π－1）.答案：πm 24（π－1）9．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于________．解析：如图设点A 为圆O 和圆K 公共弦的中点，则在Rt △OAK 中，∠OAK 为圆O 和圆K 所在的平面所成的二面角的一个平面角，即∠OAK ＝60°.由OK ＝32，可得OA ＝3，设球的半径为R ，则(3)2＋⎝⎛⎭⎫R 22＝R 2，解得R ＝2，因此球的表面积为4π·R 2＝16π.答案：16π10．如图，二面角α-l -β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连结OB ，OC ，则OC ⊥l .设AB 与β所成角为θ，则∠ABO ＝θ， 由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.答案：3411．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中错误的是________．①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n .解析：对于①，m ，n 均为直线，其中m ，n 平行于α，则m ，n 可以相交也可以异面，故①不正确；对于②，③，α，β还可能相交，故②，③错；对于④，m ⊥α，n ⊥α，则同垂直于一个平面的两条直线平行，故④正确．答案：①②③12．若一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比是________．解析：设球的半径为R ，圆柱、圆锥的底面半径为r ，高为h ，则r ＝R ，h ＝2R ，V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3，V圆锥＝13πR 2×2R ＝23πR 3，所以V 圆柱∶V 球∶V圆锥＝2πR 3∶43πR 3∶23πR 3＝3∶2∶1.答案：3∶2∶113.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .解析：由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x ，由Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ，得ACA 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a.整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a . 答案：a 或2a14．球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC 的体积的最大值为________．解析：记球O 的半径为R ，作SD ⊥AB 于D ，连线OD 、OS ，易求R ＝23，又SD ⊥平面ABC ，注意到SD ＝SO 2－OD 2＝R 2－OD 2，因此要使SD 最大，则需OD 最小，而OD 的最小值为12×23＝33，因此高SD 的最大值是⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫332＝1，又三棱锥S -ABC 的体积为13S △ABC ·SD ＝13×34×22×SD ＝33SD ，因此三棱锥S -ABC 的体积的最大值是33×1＝33.答案：33二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD ，圆柱侧面上从A 到C 的最短距离是多少？解：如图，底面半径为52cm ，母线长为5 cm.沿AB 展开，则C 、D 分别是BB ′、AA ′的中点． 依题意AD ＝π×52＝52π.∴AC ＝（52π）2＋52＝5 π2＋42. ∴圆柱侧面上从A 到C 的最短距离为5π2＋42cm.16．(14分)如图所示，已知ABCD 是矩形，E 是以DC 为直径的半圆周上一点，且平面CDE ⊥平面ABCD .求证：CE ⊥平面ADE .证明：∵E 是以DC 为直径的半圆周上一点，∴CE ⊥DE . 又∵平面CDE ⊥平面ABCD ，且AD ⊥DC ， ∴AD ⊥平面CDE .又CE ⊂面CDE ，∴AD ⊥CE .又DE ∩AD ＝D ，∴CE ⊥平面ADE .17．(14分)(新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C -A 1DE 的体积．解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D . 所以VC A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.18．(16分)已知等腰梯形PDCB 中(如图①)，PB ＝3，DC ＝1，PD ＝BC ＝2，A 为PB 边上一点，且DA ⊥PB .现将△P AD 沿AD 折起，使平面P AD ⊥平面ABCD (如图②)．(1)证明：平面P AD ⊥平面PCD ；(2)试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成两部分，其两部分体积比为V PDCMA ∶V M ACB ＝2∶1.解：(1)证明：依题意知，CD ⊥AD ， 又∵平面P AD ⊥平面ABCD ， ∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ， ∴平面P AD ⊥平面PCD . (2)由题意知P A ⊥平面ABCD ，∴平面P AB ⊥平面ABCD .如上图，在PB 上取一点M ，作MH ⊥AB ，则MH ⊥平面ABCD ，设MH ＝h ，。
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小结：
1 S三 棱 锥 ＝ ch' 2
1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键； 2、对应的侧面积公式
S圆锥=πrl
C’=0
1 S正 棱 台 ＝ （c＋c' )h' 2
r1=0
S圆台=π(r1+r2)l
C’=C
r1=r2
S圆柱=2πrl
S直棱柱 ＝ch' ch
作业:
1.一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱 长为4，求其侧面积. 2.正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成一 个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积. 3.圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧 面展开图的扇环的圆心角是1800，那么圆台的表面积 是多少？（结果中保留π）
A1 C1 B1
棱柱两底面的距离叫做棱柱 的高.
C A B
把直(正)三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什 么图形？侧面积怎么求？
h
c
a
b
h
h
b
a
c
S直棱柱侧＝（a b c) h ch
棱锥、棱台
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射 影是底面中心的棱锥. 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截， P 截面和底面之间的部分叫正棱台.
解：如图，S表示塔的顶点，O表示底
面中心，则SO是高，设SE是斜高。 在Rt△SOE中，由勾股定理得
SE=
1.5 2 0.85 1.13(m) 2
2
O
E
1 ' 1 2 S正棱锥侧 ch 1.5 4 1.13 3.4 m 2 2
把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么 图形?展开的图形与原图有什么关系？
将立方体纸盒沿某些棱剪开， 并使六个面连在一起，然后铺平。 你能画出铺平后的图形吗？ （看谁画最多）
思考题
C
B A
在长宽高分别是5米，4米，3米的长方体房间 里，一只蚂蚁要从长方体的顶点A沿表面爬行 到顶点C，怎样爬行路线最短？最短路程是多 少?
r
l
矩形
长＝ 2r
宽＝ l
S圆柱侧 S矩形＝2rl
把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图 形?展开的图形与原图有什么关系？
扇形 c
l
1 S圆锥侧＝S扇＝ cl rl 2
r
把圆台的侧面沿着一条母线展开，得到什么图 形?展开的图形与原图有什么关系？
扇环
r1
r2
l
S圆台侧 ＝S扇环＝（r1 r2 )l
h'
h'
思考:
正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：
c’=c
上底扩大
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 c ' c h ' 2
S 锥侧
1 ch ' 2
数学运用
例1 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m， 底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米的 铁板？（保留两位有效数字） S
A1 C1 D1 B1
A
h' C O A B D
h'
D
C
O
B
斜高：侧面等腰三角形底边上的高.
注:只有正棱锥和正棱台才有斜高.
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么 图形？侧面积怎么求？
h'
h'
1 S正 棱 锥 侧 ＝ ch' 2
把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
1 S正 棱 台 侧 ＝ （c c' )h' 2
1.3.1空间几何体的表面积
问题情境：
现泗阳纸盒厂接到生产一批“薯愿”包 装盒的订单，为了预估成本，现要对包 装盒的表面积进行计算，你知道如何计 算它的表面积吗？
事实上， “薯愿”包装盒是由一些平面 多边形围成的几何体. 它可以沿着包装 盒的某些棱将它剪开而展开成平面图形, 这个平面图形的面积就是它的表面积
分析: 可以把圆柱沿这条母线展开,将问题转化为平面几何的问题.
课堂练习：
1、已知正四棱柱的底面边长是3，侧面的对角 线长是 3 5 ，求这个正四棱柱的侧面积。 72 2、求底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积。 3 3 3、下列图形中，不是正方体的展开图的是 ( ) C
A B C D
课堂练习：
数学建构
多面体的平面展开图
多面体是由一些平面多边形围成的几何体. 一些多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开 而展开成平面图形,这个平面图形叫做该多面体 的平面展开图.
在下图中,哪些图形是空间几何体的 展开图?
(1)
（ 3）
(2)
棱柱
直棱柱： 侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.
4.如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC,CD的中 点,沿图中虚线折起来,它能围成怎样的几何体?
A D F B E C
三棱锥
3 5.用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒, r 2 那么这个圆锥筒的高是多少?
6.一个正三棱台的两个底面的边长分别等于8cm和 18cm,侧棱长等于13cm,求它的侧面积. 468cm2
思考: 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间 的联系与区别
r O
r1 O’
l
O
r1＝r2
上底扩大
l
r1＝0
上底缩小
l
S柱侧 2 rl
r2 O S台侧 (r1 r2 )l
r
O
S锥侧 rl
数学运用
例2 有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱 形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁 丝的两个端点落在圆柱的同m）