集合论、图论重要习题100

例：1、设A,B是两个集合,B≠¢,试证:若A×B=B×B, 则A=B。

2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)∀n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。

(2)S(1)=1,∀n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。

5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。

则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。

(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；∀y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}⋃{{0}×N}。

6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。

（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。

f2不是单射，满射。

（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。

（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。

7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。

8、已知m个整数a1，a2，…，am，试证：存在两个整数k,l,0≤k<i≤m，使得ak+1+ak+2+…+al能被m整除。

9、设N={1,2,3,…},试构造两个映射f,g:N→N，使得fg=IN，但gf≠IN。

10、设N={1,2,3,…},试构造两个映射f,g:N→N，使得gf=IN，但fg≠IN。

11、设f:X→Y，证明：(1)f是单射⎛∀F∈2X，f–1(f(F))=F；(2)f是满射⎛∀E∈2Y，f(f–1(E))=E。

12、设f:X→Y，则(1)若存在唯一的一个映射g:Y→X,使得gf=IX,则f是可逆的吗？(2)若存在唯一的一个映射g:Y→X,使得fg=IY,则f是可逆的吗？13、(1)设X={1,2,3},Y={a,b},求X到Y满射的个数;(2)设X={1,2,3,4,5},Y={a,b},求X到Y的满射的个数;(3)设X={1,2,…,n},Y={a,b}，求X到Y的满射的个数;(4)设X={1,2,…,n},Y={y1,y2,…,ym},n≥m,若f:X→Y，求X到Y的满射的个数。

14、设X是一个集合，|X|＝n，求：(7) X上既不是自反的也不是反自反的关系有多少？(9) X上自反的或对称的关系有多少？(12)X上既不是对称的也不是反对称的关系有多少？15、设A={1,2,3}，R是A的幂集2A上的二元关系且R={(a,b)|a∩b≠¢}，则R不满足下列哪些性质？为什么？[aRb ⎛a∩b≠¢](1) 自反性(2) 反自反性(3) 对称性(4) 反对称性(5) 传递性16、设R是复数集合C上的一个二元关系且满足xRy⎛x-y=a+bi，a,b为非负整数，试确定R的性质。

17、设R为X上的二元关系，显然若R＝¢，则R是反自反的、对称和传递的；但若R≠¢且R是反自反的和对称的，则R不是传递的。

此题可变形为：但若R≠¢且R是反自反的和传递的,则R是反对称的。

18、设R是集合A上的反对称关系，则t(R)一定是反对称的吗？19、设R是集合A上的一个自反的和传递的关系；T是A上的一个关系，使得(a,b)∈T⎛(a,b)∈R且(b,a)∈R。

证明：T是A上的等价关系。

20、设R是A上的二元关系，S={(a,b)|∃c∈A,使得(a,c)∈R且(c,b)∈R}。

证明：若R是等价关系，则S也是等价关系。

说明：本题可以证明R＝S。

21、设{A1,A2,…,An}是集合A的划分，若Ai∩B≠φ，1≤i≤n，证明：{A1∩B,A2∩B,…,An∩B}是集合A∩B的划分。

22、设S={1,2,3,4},并设A＝S×S,在A上定义关系R为:(a,b)R(c,d) a+b=c+d。

证明:(1) R是A上的等价关系；(2) 计算A/R。

23、设集合A={a,b,c,d,e}上关系R定义如下：R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e),(c,c),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}。

1.写出R的关系矩阵；2.验证(A,R)是偏序集;3.画出Hasse图;4.若A上的关系如下：R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e),(c,c), (c,d),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}，则有如何？24、用对角线方法证明：若A是可数集，则2A是不可数集。

25、用对角线方法证明：所有0,1的无穷序列所构成的集合是不可数集。

26、设T是一棵树,T有3个度为3顶点,1个2度顶点，其余均是1度顶点。

则（1）求T有几个1度顶点？（2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。

27、设T是一棵树且△(T)≥k，证明T中至少有k个度为1顶点。

28、设G是一棵树且Δ(G)≥k，证明：G中至少有k个度为1的顶点。

29、一棵树T有n2个度为2的顶点，n3个度为3的顶点，…，nk个度为k的顶点，则T有多少个度为1的顶点？30、如图所示是彼德森图，回答问题：（1）图是否是自补图？（2）图是否是偶图？（3）图是否是欧拉图？（4）图是否是哈密顿图？（5）图是否是平面图？（6）图的色数是多少？31、证明：若每个顶点的度数大于等于3时，则不存在有7条边的平面连通图。

(等价命题：证明：不存在7条棱的凸多面体)32、设G是顶点p≥11的平面图，证明：G的补图Gc是非平面图。

(设G是顶点p≥11的图，证明：G与G的补图Gc至少有一个是非平面图。

)33、设G是边数q<30的平面图,证明:G中存在顶点v，使得degv≤4。

34、设G是(p,q)平面连通图，f个面，证明：（1）若p≥3，则f≤2p-4；（2）若δ(G)=4，则G中至少有6个顶点的度数小于等于5。

证: (1) p-q+f=2,q≤3p-6,从而有:f≤2p-4。

(2) 假设G中至多含有5个顶点的度数≤5，又δ(G)=4,所以5×4+6×(p-5)≤2q ，得q≥3p-5。

而q≤3p-6，从而有：3p-5≤3p-6，矛盾。

故假设不成立，因此G中至少有6个顶点的度数≤535、把平面分成n个区域，每两个区域都相邻,问n最大为多少？证：在每个区域放一个顶点，当两区域相邻时，就在相邻的两个顶点间连一条边，如此构造了一个平面图且是完全平面图，而最大的完全平面图为K４，所以n最大为4。

36、证明:当每个顶点的度数大于等于3时，不存在有7条边的简单连通平面图。

证：设G=(n，m)为简单连通平面图，有r个面。

若m=7，由欧拉公式知n+r=m+2=9(1) 而每个面至少由3条边围成，有3r≤2m，则r≤2m/3，因r是整数,故r≤４。

又对任意得顶点v∈V，degv≥3，有3n≤2m，故n≤2m/3，因为n是整数，故n≤４。

所以n+r≤４＋４=８与（１）矛盾，所以结论正确。

37、设G是一个没有三角形的平面图，则（1）证明：G中存在一个顶点v，使得degv≤3；（2）证明：G是4-可着色的。

38、设树T中有2n个度为1的顶点,有3n个度为2的顶点,有n个度为3的顶点,则这棵树T有几个顶点和几条边？39、设T是一棵树且△(T)≥k,证明:T中至少有k个度为1的顶点。

40、设G是一个(p,q)图, 若q≥p,证明G中必有圈。

41、证明:任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶。

(任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点。

)42、证明:恰有两个顶点度数为1的树必为一条通路。

43、设T=(V,A)是一个有根树,其每个顶点的出度不是0就是2。

若T有n0个叶子，试求T的弧的条数。

44、设T=(V,A)是一个正则二元树,若T有n0个叶子，试求的弧的条数。

45、设T是有n0个叶子的正则二元树，n2个出度为2的顶点，证明：n0=n2+1。

46、设T是有n0个叶子的二元树，出度为2的顶点为n2，证明：n0=n2+1。

47、设T是一个有p个顶点的正则二元树，求T的叶子数，其中p奇数。

48、证明：任一棵正则(满)二元树必有奇数个顶点。

49、菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？50、设G=(V,E)是连通图且顶点数为p,最小度数为δ，若p>2δ,则G中有一长至少为2δ的路。

51、设G=(V,E)是p(p>3)个顶点的简单无向图,设G中最长路L的长度为l(l≥2)，起点与终点分别为u,v，而且degu+degv≥p。

证明：G中必有与L不完全相同但长度也为L的路。

52、已知a,b,c,d,e,f,g7个人中，a会讲英语；b会讲英语和汉语；c会讲英语、意大利语和俄语；d会讲汉语和日语；e会讲意大利语和德语；f会讲俄语、日语和法语；g 会讲德语和法语。

能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈？53、设G为p个顶点的简单无向图。

则(1) 若G的边数q= (p-1)·(p-2)/2+2，证明G为哈密顿图。

(2) 若G的边数q= (p-1)·(p-2)/2+1，则G是否一定为哈密顿图？54、已知9个人v1,v2,…,v9，其中v1和两个人握过手，v2,v3,v4,v5各和3个人握过手，v6和4个人握过手，v7,v8各和5个人握过手，v9和6个人握过手。

证明:这9个人中一定可以找出3个人互相握过手。

55、(1)一棵无向树有ni个度数为i的顶点,i=1,2,…,k。

n2,n3,….nk均为已知数，问n1应为多少？(2)在(1)中，若nr(3≤r≤k)未知，nj(j≠r)均为已知数，问nr应为多少？56、设G是平面连通图，顶点为p面数f，证明:(1)若p≥3，则f≤2p-4。

(2)若δ(G)=4,则G中至少有6个顶点的度数≤5。