最新2.2谓词公式与解释
谓词公式与翻译(精)
（4）谓词
P（x）为P（a）= 0，P（b）= 1；
Q（x，y）为Q（a，a）= 0，Q（a，b）= Q（b，a）= Q（b，b）
= 1；
L（x，y）为L（a，b）=L（b，a）= 0，L（a，a）= L（b，b）=
1。
求下列公式在解释I下的真值
2）x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））；
在解释I下
5
2.3 谓词公式与翻译
由例可知，对于命题翻译成谓词公式时，机动性很大，由于对个 体描述性质的刻划深度不同，就可翻译成不同形式的谓词公式。
例如：这只大红书柜摆满了那些古书
解法1：
解法2：
设：F(x,y): x摆满了y
设：F(x,y): x摆满了y
R(x): x是大红书柜
x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））
=（ P（f（a））∧Q（a，f（a）））∨（ P（f（b））∧Q（b，f
（b）））
=（ P（b）∧Q（a，b））∨（ P（a）∧Q（b，a））
=（ 1∧1）∨（ 0∧1）
= 1∨0
= 1 2019/6/3
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【例2.2.1】给定解释I如下
（1）U =｛a，b｝；
人总是要犯错误的。
解：设F(x)：x犯错误，M(x)：x是人。则上句符
号化为：
(a) ┒(x)(M(x)⋀┒F(x)) (b) x(M(x)→F(x)) 【例2】尽管有人聪明但未必一切人都聪明。
解：设P(x)：x聪明，M(x)：x是人。则上句符号 化为：
2019/6/3 x(M(x)⋀P(x))⋀┒(x(M(x)→P(x)))
2019/6/3
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2.3 谓词公式与翻译
谓词 基本推理公式
谓词基本推理公式
谓词逻辑是逻辑学中的一种形式系统，它使用谓词来表达命题的性质和关系。
基本推理公式是谓词逻辑中的一些基本规则，用于推导命题的真假。
以下是几个常用的谓词逻辑基本推理公式：
1. 交换律：A→B ↔ B→A
2. 结合律：(A→B)→C ↔ A→(B→C)
3. 吸收律：A→(B∧C) ↔ (A→B)∧(A→C)
4. 分配律：(A∧B)→C ↔ A→(B→C)
5. 重写律：A→B ↔ ¬B→¬A
6. 否定引入律：¬(A∧B) ↔ (¬A∧¬B)
7. 否定消去律：¬¬A ↔ A
8. 双条件引入律：A↔B ↔ (A→B)∧(B→A)
9. 双条件消去律：A↔B ↔ (A∧B)∨(¬A∧¬B)
10. 全称量词引入律：∀x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
11. 存在量词引入律：∃x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
这些基本推理公式是谓词逻辑的基础，可以用于推导其他命题的真假。
在具体使用时，需要根据命题的具体情况进行选择和应用。
第2节逻辑代数(下)：谓词演算
第2章逻辑代数（下）：谓词演算谓词演算大体概念2.1.1 个体谓词演算中把一切讨论对象都称为个体(individuals)，它们能够是客观世界中的具体客体，也能够是抽象的客体，诸如数字、符号等。
确信的个体经常使用a，b，c等小写字母或字母串表示。
a，b，c等小写字母或字母串称为个体常元(constants)。
不确信的个体经常使用字母x，y，z，u，v，w等来表示。
它们被称为个体变元，或变元(variables)。
谓词演算中把讨论对象——个体的全部称为个体域(domain of individuals)，经常使用字母D表示，并约定个体域都是非空的集合。
当讨论对象未作具体指定，而是泛指一切客体时，个体域特称为全总域(universe)，用字母U表示。
当给定个体域时，常元表示该域中的一个确信的成员，而变元那么能够取该域中的任何一个成员为其值。
表示D上运算的运算符与常元、变元可组成所谓个体项(terms)。
例如，数学中的代数式a2+b，x2c等。
由于在咱们讨论的谓词演算中，其变元只能取值个体对象，不能取值函数、命题或谓词，因此，它又常被叫做一阶谓词演算。
2.1.2 谓词2.1.3 量词谓词演算中的量词(quantifiers)指数学中经常使用的数量词“所有的”（或“每一个”）和“有”（或“存在”），用符号和来表示，别离称为全称量词和存在量词。
为了用全称量词表示个体域中所有（每一个）个体知足一元谓词P，用存在量词表示有（存在）个体知足一元谓词P，还需利用变元：xP(x) 读作“所有（任意，每一个）x知足P(x)”，表示个体域中所有的个体知足谓词P(x)。
x P(x) 读作“有（存在，至少有一个）x知足P(x)”，表示个体域中至少有一个体知足谓词P(x)。
当量词用于一谓词填式或复合的谓词表达式时，该谓词或复合的谓词表达式称为量词的辖域(domains of quantifiers)。
因此，量词的辖域或是紧邻其右边的那个谓词；或是其右边第一对括号内的表达式。
离散数学第2章 谓词逻辑
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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谓词公式与翻译(精)
xP(x)→x Q(x)) ┒(x)P(x) ⋁x Q(x)
定义2:
设A为谓词公式，若在任何解释下，A的真值都为真，则 称A为永真式；
若至少存在一种解释，使A的真值为真，则称A为可满足 式；
若在任何解释下，A的真值都为假，则称A为矛盾式，矛 盾式也称不可满足式。
2019/6显/3 然，永真式是可满足式。
2019/6/3
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2.3 谓词公式与翻译
2．谓词公式的解释 定义 谓词公式的一个解释I，由下面4部分组成 1）非空的论域U； 2）U中的特定的个体常项； 3）U上特定的函数； 4）U上特定的谓词。
若将谓词公式中的个体常项，函数和谓词分别指定 为U中的特定个体常项，U上特定的函数和U上特定的谓 词，即为该公式在解释I下的真值。
彐x(P(z)∧R(x,z)) 但是彐x(P(x)∧R(x,x))与彐x(P(z)∧R(x,y))这两种代入都是与
规则不符的。
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2.5谓词公式的等价与蕴涵
1、谓词逻辑中常见的等价与蕴含关系 谓词公式的赋值:
在谓词公式中常包含命题变元和客体变元，当客体 变元由确定的客体所取代，命题变元用确定的命题 所取代时，就称作对谓词公式的赋值。一个谓词公 式经过赋值以后，就成为具有确定真值T或F的命 题。
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(1)命题逻辑中等价和蕴含的推广
在命题演算中，任一永真公式，其中同一命题变元， 用同一公式取代时，其结果也是永真公式。我们可以 把这个情况推广到谓词公式之中，当谓词演算中的公 式代替命题演算中永真公式的变元时，所得的谓词公 式即为有效公式，故命题演算中的等价公式表和蕴含 式表都可推广到谓词演算中使用。
例题 2 对x(P(x)→R(x,y))∧Q(x,y)换名。 解 可换名为： z(P(z)→R(z,y))∧Q(x,y)， 但不能改名为： y(P(y)→R(y,y))∧Q(x,y) 以及 z(P(z)→R(x,y))∧Q(x,y)。
2.2--谓词逻辑表示法
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7. 谓词逻辑表示知识的举例
例1：用谓词逻辑表示下列知识： 武汉是一个美丽的城市，但她不是一个沿海城市。 如果马亮是男孩，张红是女孩，则马亮比张红长得 高。 解：按照知识表示步骤，用谓词公式表示上述知识。 第一步：定义谓词如下： BCity(x)：x是一个美丽的城市 HCity(x)：x是一个沿海城市 Boy(x):x是男孩 Girl(x):x是女孩 High(x,y):x比y长得高
标点符号、括号、逻辑联结词、常量符 号集、变量符号集、n元函数符号集、n 元谓词符号集、量词
·谓词演算
合法表达式 (原子公式、合式公式)， 表达式的演算化简方法，标准式 (合取 的前束范式或析取的前束范式)
2013-7-9
智能信息处理联合实验室制作
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人工智能
·语法元素
常量符号。
变量符号。
函数符号。
谓词符号。
联结词： ┐、∧、∨、→、 。
量词： 全称量词、 存在量词。和 后面跟着的x叫做量词的指导变元。
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2 基本概念
函数符号与谓词符号 · 若函数符号f中包含的个体数目为n,则称f
为n元函数符号。 若谓词符号P中包含的个体数目为n,则称P为 n元谓词符号。 如：father(x)是一元函数,less(x,y)是二 元谓词. 一般一元谓词表达了个体的性质,而多元谓 词表达了个体之间的关系.
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注意:
在命题逻辑中，每个表达式都是句 子，表示事实。 在谓词逻辑中，有句子，但是也有 项，表示对象。常量符号、变量和 函数符号用于表示项，量词和谓词 符号用于构造句子。
《应用离散数学》方景龙版-2.2 谓词公式及其解释
§2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
（1）))()((y x Q x P x ，→∀ （2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀（3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀解 （1）x ∀中的x 是指导变元；量词x ∀的辖域是),()(y x Q x P →；x 是约束变元，y 是自由变元。
（2）x ∀中的x ，y ∃中的y 都是指导变元；x ∀的辖域是)(y x P ，，y ∃的辖域是)(y x Q ，；)(y x P ，中的x 是x ∀的约束变元，y 是自由变元；)(y x Q ，中的x 是自由变元，y 是y ∃的约束变元。
（3）x ∀中的x ，y ∃中的y 以及x ∃中的x 都是指导变元；x ∀的辖域是))()((z y Q y x P y ，，∧∃，y ∃的辖域是)()(z y Q y x P ，，∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；)(y x P ，中的x ，y 都是约束变元；)(z y Q ，中的y 是约束变元；z 是自由变元，)(z y x R ，，中的x 为约束变元，y ，z 是自由变元。
2. 设个体域}21{，=D ，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面谓词公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。
（1）))()((x Q x P x →∀（2）))()((x Q x P x ∧∃解（1）解释1I ：个体域}21{，=D ，0:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
（2）解释2I ：个体域}21{，=D ，2:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
3. 对下面的谓词公式，分别给出一个使其为真和为假的解释。
（1）)))()(()((y x R y Q y x P x ，∧∃→∀ （2）)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀解 （1）成真解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(<x x P ,2:)(>y y Q ,3:),(>+y x y x R 。
谓词公式的分类与解释
第二节 谓词公式的分类与解释为了给出谓词公式的定义，先给出项和原子公式的定义。
定义2.1 项：（1） 个体常项和个体变项是项；（2） 设),...,,(21n x x x ϕ是任意的n 元函数，n t t t ,...,,21是项，则),...,,(21n t t t ϕ是项；（3） 有限地使用（1），（2）形成的符号串是项。
定义2.2 设),...,,(21n x x x R 是任意的n 元谓词，n t t t ,...,,21是项，则称),...,,(21n t t t R 是原子公式。
定义2.3合式公式：（1） 原子公式是合式公式；（2） 若A 是合式公式，则)(A ¬也是合式公式；（3） 若B A ,是合式公式，则)(),(),(),(B A B A B A B A ↔→∨∧也是合式公式；（4） 若A 是合式公式，则(),()xA xA ∀∃也是合式公式。
其中x 为任意的个体变项；（5） 有限次地应用（1）～（4）形成的字符串是合式公式。
这样定义的合式公式又称作谓词公式，简称公式。
合式公式的最外层括号可以省去。
定义2.4（1） 在公式xA ∀和xA ∃中，A 是相应量词的辖域，x 称为指导变量。
（2） 在公式xA ∀和xA ∃中，x 的所有出现都是约束出现的，不是约束出现的变项称为自由出现的。
例如：在公式))),,()((),((z y x L y G y y x F x ∧∃→∀中，∀的辖域为))),,()((),((z y x L y G y y x F ∧∃→∃的辖域为)),,()((z y x L y G ∧x ∀中的x 和y ∃中的y 都是指导变量。
x 的出现都是约束的，),(y x F 中的y 是自由出现的，)(y G 与),,(z y x L 中的y 是约束出现的，z 的出现是自由的。
一般情况下，在一个谓词公式A 中，除了可能含若干个个体常项，函数常项，谓词常 项外，还可能含个体变项，函数变项，谓词变项等。
离散数学-谓词逻辑
2-2.6 命题的符号化
在谓词演算中，命题的符号化比较复杂，命题的 符号表达式与论域有关系。例如 1.每个自然数都是整数。 (1).如果论域是自然数集合 N，令 I(x)：x 是整数，则命题的表达式为 xI(x) (2).如果论域扩大为全总个体域时，上述表达式xI(x)表示“所有客体都是整数”，显然这是假的命题，此 表达式已经不能表达原命题了。因此需要添加谓词 N(x)：x 是自然数，用于表明 x 的特性，于是命题的符 号表达式为: x(N(x)→I(x)) 4
则 E(a)∈{T,F}。
• 2-2.2 原子谓词公式
定义：称 n 元谓词 P(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式。例如 P、Q(x) 、 A(x,f(x))、B(x,y,a) 都是原子谓词 公式。
2-2.3 谓词合式公式 (WFF)(Well Formed Formulas)
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1.原子谓词公式是合式公式。 2.如果 A 是合式公式，则A 也是合式公式。 3.如果 A、B 是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(AB)都是合式公式。 4.如果 A 是合式公式，x 是Ａ中的任何客体变元，则xＡ和xＡ也是合式公式。 5.只有有限次地按规则(1)至(4)求得的公式才是合式公式。 谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式。 下面都是合式公式： P、(P→Q)、(Q(x)∧P)、x(A(x)→B(x))、xC(x) 而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x • • 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边有括号，则此括号不能省。 注意：公式x(A(x)→B(x))中x 后边的括号不是最外层括号，所以不可以省略。
2-2.4 量词的作用域(辖域)
定义：在谓词公式中，量词的作用范围称为量词的作用域，也叫量词的辖域。 • • 例如 xA(x)中x 的辖域为 A(x). x((P(x)∧Q(x))→yR(x,y))中 x 的辖域是((P(x)∧Q(x))→yR(x,y)) y 的辖域为 R(x,y)。 • 一般地， • • • 如果量词后边只是一个原子谓词公式时，该量词的辖域就是此原子谓词公式。 如果量词后边是括号，则此括号所表示的区域就是该量词的辖域。 如果多个量词紧挨着出现，则后边的量词及其辖域就是前边量词的辖域。 xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
谓词公式的解释
小结
例2.8
给定解释I如下：
1 个体域为实数集合R； 2 R中的特定元素a=0； 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy； 4 R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，公式分别解释为： 1） xF(f(x, a), g(x, a)) 解释为：
在实数集合R中，x(x+0=x0)
把这样得到的公式记作A*。称A*为A在I下的解释，或A在I下被解释成A*。
例2.8
给定解释I如下：
1 个体域为实数集合R； 2 R中的特定元素a=0； 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy； 4 R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，求下列各式的真值：
1）xF(f(x, a), g(x, a)) 2） xy(F(f(x, y), g(x, y))F(x, y)) 3 ）xF(g(x, y), a)
定理2.2 重言式的代换实例都是逻辑有效的，永假式的代换实例都是不可满足的。
பைடு நூலகம்2.9
判断下列公式中，哪些是逻辑 有效的，哪些是不可满足的？ 1）xF(x)(xyG(x,y)xF(x)) 2）(xF(x)yG(y))yG(y) 3）x(F(x)G(x))
分析——两种思路 1 公式的解释； （2）定理2.2。
离散数学 章节2 谓词逻辑
2.4 谓词公式的推理演算
2.4.1
基本概念与基本公式
定义2.12 设A1,A2，…,An,B是谓词公 式，如果对A1,A2,…,An都取值1的任何解释， B必取值1，则称由前提A1,A2,…,An到B结论 的推理是有效的（正确的），或者称B是前 提A1,A2,…,An的逻辑结论（有效结论）， 记为 A1，A2， ，An B （ A1 A2 An B）。
例如，设R(x,y,z)是三元谓词，z、 f(z)、g(x,y)是三个项，则 R(z,f(z),g(x,y))就是一个原子公式。
定义2.5 的符号串：
谓词公式是按下列规则定义
（1）0和1是谓词公式； （2）原子公式是谓词公式；
（3）若A、B是谓词公式， 则A 、 B 、A B 、A B 、 A B 是谓词公式；
（3）所有相应于Di的项都是有限次 使用（1），（2）得到的符号串。
例如，设f和g分别表示一元和二元函 数，a是个体常元，x，y是个体变元，则a， x，y，f(x)，g(x,y)，g(f(x),x))， f(g(x,y))等都是项。
定义2.4 设P(x1,x2,x3,…,xn)是n元 谓词，ti(1≤i≤n)是相应于个体变元xi的 个体域Di的项，则称P(t1,t2,t3,…,tn)为 原子谓词公式，简称原子公式。
定理2.11 设A,B是两个谓词公式，则 A=B的充要条件是 A B 且 B A 。 这个定理的证明可由谓词公式的等价定义 2.10和推理定义2.12直接得到。
定理2.12 设A，B是两个谓词公式， 则 A B的充要条件是 A B 是永真式。
2.4.2
演绎推理方法
（1）US规则（全称量词消去规则）
谓词公式是由原子公式，逻辑连接词， 量词和圆括号等组成的符号串，命题逻辑 中的命题公式仅是它的特例，所以命题逻 辑包含于谓词逻辑之中。
谓词公式与个体变元
2.2 谓词公式与解释谓词公式：谓词演算的合式公式。
2.2 谓词公式与解释定义2.8P(t1, t2, …,t n)称为谓词演算的原子谓词公式，其中，P是谓词，t1, t2, …, t n是个体变元、个体常元或任意的n元函数。
定义2.91）原子谓词公式是谓词公式；2）若A是谓词公式，则(﹁A）也是谓词公式；3）若A和B都是谓词公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)都是谓词公式；4）若A是谓词公式，x是任何个体变元，则∀xA和∃xA都是谓词公式；5）只有经过有限次地应用规则1），2），3），4）所得到的公式是谓词公式。
2.2.1 谓词公式的定义根据运算的优先级，有些括号可以适当的去掉如：F(x)F(x)∨⌝G(x,y)∀x(F(x)→G(x))∃x∀y(F(x)→G(y)∧L(x,y))都是谓词公式。
2.2.2 自由与约束定义2.１０对于谓词公式∀xA或∃xA来说，x称为量词∀x或量词∃x的指导变元或作用变元。
A称为相应量词的辖域。
在∀x和∃x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，所有约束出现的变元称为约束变元。
A 中不是约束出现的其他变元均称为是自由出现的，所有自由出现的变元为自由变元。
例2.5说明下列各式中量词的辖域与变元约束的情况：1）∀xF(y)2）∀x(F(x)→G(x))3）∀x(F(x)→∃yG(x, y))4）∀x∀y(F(x, y)∧G(y, z))∧∃xF(x, y)5）∀x(F(x)∧∃xG(x, z)→∃yH(x, y))∨G(x, y)6）∀x(F(x)↔G(x))∧∃xH(x)∧R(x)2.2.2 自由与约束解：1）∀xF(y)∀x的辖域是F(y)，其中y为自由出现。
2）∀x(F(x)→G(x))∀x的辖域是F(x)→G(x), x为约束出现。
3）∀x(F(x)→∃yG(x, y))∀x的辖域是F(x)→∃yG(x, y), ∃y的辖域是G(x, y)，其中x, y都为约束出现。
离散数学_谓词逻辑
(3) 当个体域为全体整数的集合时： 令P(x): x是正的。N(x): x是负的。则（3）符 号化为 （x）(P(x)∨N(x)) 当个体域为全总个体域时： 令I(x): x是整数。则（3）符号化为 （x）(I(x)(P(x)∨N(x))).
全称量词的一些重要性质： 设P是任意的命题，F(x)与A(x,y)均为谓词， 则有：
【例】设 P 表示命题：张辉是工人。 Q 表示命题：李明是工人。 仅仅从命题符号 P 和 Q 看不出张辉和李明 都是工人这一特性。 【例】 x=3 ? x+y=z ? f(x)=0 ?
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression) 谓词：用来刻划个体的性质或个体之间的相互关系的词。 例如在下面命题中： （1）张明是个劳动模范。 （2）李华是个劳动模范。 刻划客体的性质 （3）王红是个大学生。 （4）小李比小赵高2cm。 （5）点a在b与c之间。 刻划客体之间的相互关系 （6）阿杜与阿寺同岁。 （7） x与y具有关系L。 “是个劳动模范”、“是个大学生”、“…比…高2cm”、 “… 在…与…之间”、“…与…具有关系L”都是谓词。
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
（2）当个体域为人类集合时： 令G(x): x活百岁以上。则（2）符号化为 （ x）G(x) 当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（2）符号化为 （x） (M(x) ∧ G(x))
存在量词的一些重要性质： 设P是任意的命题，F(x)与A(x,y)均为谓词， 则有：
谓词逻辑——精选推荐
第二章谓词逻辑在命题逻辑中，我们把原子命题看作命题演算和推理的基本单位，是不可再分的整体。
因而命题逻辑无法研究命题的内部结构及命题之间的内在联系，甚至无法有效地研究一些简单的推理。
例如，著名的“苏格拉底三段论”：凡是人都是要死的；苏格拉底是人；所以苏格拉底是要死的。
我们知道，这个推理是正确的，但用命题逻辑无法说明这一点。
设p:凡人都是要死的；q：苏格拉底是人；r：苏格拉底是要死的。
则“苏格拉底三段论”可符号化为（p∧q）→r。
显然（p∧q）→r不是重言式。
因此，为了能够进一步深入地研究推理，需要对原子命题做进一步的分析。
2.1 谓词逻辑的基本概念2.1.1 个体与谓词我们可以将原子命题的结构分解为个体和谓词。
定义2.1-1 个体(Individual)：个体是我们思维的对象，它是具有独立意义、可以独立存在的客体。
谓词(Predicate)：谓词是表示一个个体的性质或若干个个体之间的关系的词。
个体和谓词一起构成了原子命题中的主谓结构。
例2.1-1⑪海水是咸的。
⑫张强与张亮是兄弟。
⑬无锡位于上海与南京之间。
⑪、⑫、⑬都是原子命题，其中海水、张强、张亮、无锡、上海和南京都是个体，“…是咸的”、“…与…是兄弟”和“…位于…与…之间”都是谓词。
⑪中的谓词描述了一个个体的性质，称为一元谓词，⑫中的谓词表示两个个体之间的关系，称为二元谓词，⑬中的谓词表示三个个体之间的关系，称为三元谓词。
依次类推，我们将描述n个个体之间关系的谓词称为n元谓词，通常用大写英文字母来表示谓词。
为方便起见，将命题称为零元谓词。
例如，例2.1-1中的三个谓词可符号化为：P(x)：x是咸的；Q(x，y)：x与y是兄弟；R(x，y，z)：x位于y和z之间。
这里P 、Q 和R表示的都是具体的谓词，称为谓词常元；否则称为谓词变元。
P(x)、Q(x，y)和R(x，y，z)等都是谓词表示的函数形式，通常称为谓词函数，简称为谓词。
然而，仅仅一个谓词，即使是谓词常元，也不能构成一个命题。
第二章谓词逻辑
(1).对应全称量词，刻划其对应个体域的特性 谓词作为蕴含式的前件加入；
(2).对应存在量词，刻划其对应个体域的特性 危险作为合取项加入。
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2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
•例2-5：符号化下列语句。
(1).天下乌鸦一般黑； (2).那位身体强健的，用功的，肯于思考问题的大学
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Hale Waihona Puke 2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
•例2-2：符号化如下命题。
P：上海是一个现代化城市； Q：甲是乙的父亲； R：3介于2和5之间； T：布什和萨达姆是同班同学。
• 注意：
(1).谓词中个体词的顺序是十分重要的，不能随意变 更。如前面的F (b, c)与F (c, b)的真值就不同；
(2).一元谓词用以描述一个个体的某种特性，而n元 谓词则用以描述n个个体之间的关系；
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2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
2.1.3谓词的语言翻译
设G (x)是关于x的一元谓词，D是其个体域， 任取x0∈D，则G (x0)是一个命题。
(x)G(x)是这样的一个命题:“对任意x， x∈D，G(x)都成立”其真值规定如下：
1对所 x 有 D ，的 都 G( 有 x 1) ( x)G (x) 0否则。
任意的n个项，则f(t1, t2, …, tn)是项； (3).所有的项都是有限次使用(1)，(2)得到的。
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2.2 谓词的合式公式及解释
我们定义的项，包括了常量，变量及函数。 例如，x，a，f(x, a)，f(g(x, a),b)，h(x)均是项。
函数的使用，能给谓词表示带来很大的方便。
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2.2--谓词逻辑表示法
注意：
谓词逻辑可以由原子和 5 种逻辑连接词，再加 上量词来构造复杂的符号表达式。这就是所谓的谓 词逻辑中的公式。
2014-3-2
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人工智能
一阶谓词逻辑的合式公式（可简称公式）可递 归定义如下：
(1)原子谓词公式是合式公式 (也称为原子公式)。
(2) 若 P、Q 是合式公式，则(┐ P)、(P∧Q)、(P∨Q)、 (P→Q)、(P←→ Q)也是合式公式。ຫໍສະໝຸດ 2014-3-28
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注意:
在命题逻辑中，每个表达式都是句 子，表示事实。 在谓词逻辑中，有句子，但是也有 项，表示对象。常量符号、变量和 函数符号用于表示项，量词和谓词 符号用于构造句子。
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4.语法
命题逻辑的符号包括以下几种：
值得注意的是：
一个谓词公式在其个体域上的解释不是唯一的。 例如，对公式G，若给出另一组真值指派如下：
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P(1,1)
P(1,2)
P(2,1)
P(2,2)
T
T
F
F
这也是公式G在D上的一个解释。从这个解释可以看出： 当x=1,y=1时,P(x,y)的真值为T; 当x=2,y=1时,P(x,y)的真值也为F; 同样 当x=1,y=2时,P(x,y)的真值为T; 当x=2,y=2时,P(x,y)的真值也为F;
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谓词逻辑
谓词逻辑：根据对象和对象上的谓词 （即对象的属性和对象之间的关系），通过 使用连接词和量词来表示世界。
离散数学19.谓词公式与翻译
下面都是合式公式： P，(P→Q)，(Q(x)∧P)，(x)(A(x)→B(x))，(x)C(x)
而下面都不是合式公式： xyP(x) ，P(x)∧Q(x)x.
为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边 有括号，则此括号不能省. 注意：公式(x)(A(x)→B(x))中x后边的括号不是最外 层括号，所以不可以省略.
谓词公式与翻译
一、谓词合式公式
定义：称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式，其 中x1,x2,...,xn 是客体变元。
例如 Q, A(x) , A(x,y), A(x,f(x)), B(x,y,z), B(x,a,b) 都 是原子谓词公式。
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1）原子谓词公式是合式公式； 2）如果A是合式公式，则A也是合式公式； 3）如果A、B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、 (AB)都是合式公式； 4）如果A是合式公式，X是A中的任何客体变元，则(X) A和 (X) A也是合式公式； 5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
P(|x-a|,0))→Q(|f(x)-b|, )).
例1 在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡正数都大于零. （2）存在小于2的素数. （3）没有不能表示成分数的有理数. （4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩.
解：（1）令F(x): x是正数.M(x):x大于零. 则符号化为：（x）(F(x)M(x)).
（2）令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为： （x)(E(x)∧S(x)).
6
例2 对任意小的正数，存在一个正数，使得当
0<|x-a|<时，有|f(x)-b|<.此时称 lim f x b . xa 解：令P(x,y)表示“x大于y”, Q(x,y)表示“x小于y”,故 lim f x b 可命题符号化为： xa ( )( ) (x)(((P(,0)→P(,0))∧Q(|x-a|,)∧
离散数学ch2[2]谓词逻辑的等值
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把命题演算中的等价、永真性、可满足性等 概念加以推广，扩展到谓词演算中;
并给出获得谓词公式永真式的两个途径。
本节三个主要部分
1.基本定义 2.谓词演算的基本永真公式 3.谓词公式中的范式
2-2.1 基本定义:谓词公式的等价
定义：遍及客体域E等价
给定任何两个谓词公式A和B,E是它们共同的客体域。 在公式A和B中，若用确定的命题取代各个命题变元， 并给谓词公式的每个客体变元指派E中的每一个客体名称 由公式A和B所得到的命题都具有同样的真值， 则称谓词公式A和B遍及E是等价的，并记作遍及E有 A B。
2-2.1 基本定义
例：判断下列公式的种类
(1) xF(x)→xF(x) (2) xF(x)→(xyG(x,y)→xF(x)) (3) xF(x)→(xF(x)yG(y)) (4) ┐(F(x,y)→R(x,y))R(x,y)
用什么方法判断公式的种类？
解释、代换实例
2-2.1 基本定义
(1) xF(x)→xF(x)
2-2.3含有量词的等价式和蕴涵式
二、由已知永真公式通过转换公式获得 • 1.客体域有限时,去掉量词公式
当客体域有限时，如客体域D={a1,…，an}, 由量词意义可知，对任意A(x),都有:
xA(x) A(a1) …A(an)
xA(x) A(a1)… A(an)
2-2.3含有量词的等价式和蕴涵式
2-2.3含有量词的等价式和蕴涵式
3.量词辖域的扩展和收缩
a.xA(x)P x(A(x)P) b.xA(x)P x(A(x)P) c.xA(x)P x(A(x)P) d.xA(x)P x(A(x)P) 这里P是不含自由变元x的谓词公式。
证明1：因P的值与x无关。所以P由辖域内到辖域外，或 由辖域外进入到辖域内，不改变析取式和合取式的值。
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四、谓词公式的类型
西
设A是公式。如果A在任何的解释下都
华
大 是真的，则A是永真式；如果A在任何的
学 解释下都是假的，则A是永假式；如果A
在一些解释下为假，一些解释下为真，
则A是非永真的可满足式。
例如： x A(x) x A(x)是永真式； x A(x)∧x A(x）是永假式。
代换实例
西华设A0是含命题变元p1, p2, …, pn的命题逻辑公式，
2.2谓词公式与解释
一、合式公式的定义：
原子公式： f(x1,x2,,xn) 为n元谓词符号，t1,t2,…,tn 是
项，则 f(t1,t2,,tn) 是原子公式；
西 合式公式的归纳定义：
华 大
1、任意的原子公式是公式
学 2、若A是公式，则xA、xA是公式；
3、若A、B是公式，则 A、A∧ B、A∨B、A → B、A B是 公式；
2. 对于某些简单的公式，特别对于简单的闭式，
西 华
可在假定给定任意解释的前提下该公式的真值
大 学
都为真（或者为假）来证明该公式是永真式
（或矛盾式）。
3. 要证明一个公式是可满足式，只要找到一个 解释，使得该公式的真值为真即可。同时为了 证明它不是永真式，只要找一个解释，使得该 公式的真值为假即可。
解释的说明
(1) 一个谓词公式如果不含自由变元,则在一个解释下, 可以得到确定的真值,不同的解释下可能得到不同的 真值。
(2) 公式的解释并不对变元进行指定,如果公式中含有自 由变元,即使对公式进行了一个指派,也得不到确定的 真值,其仅是个命题函数,但约束变元不受此限制。
3）有公式的解释定义可以看出,公式的解释有许多的解 释,当D为无限集时,公式有无限多个解释,根本不可能 将其一一列出,因而谓词逻辑的公式不可能有真值表 可列。
大
学 解：1、F(a) x F(x)是非永真的可满足式；
①设D={2}，a=2，F(x):x=2，显然此时为 真；
②设D=R，a=2，F(x):x=2，显然此时为假；
2、F(a) x F(x)是永真式。
则公式为： x y (x>y) y x(x>y)
学 =10=0，从而公式不是永真式；
2) 取解释I2为：D=R,F(x,y):x.y=0 则公式为：xy(x•y=0)yx(x•y=0) =11=1从而公式不是永假式；
可知，公式是非永真的可满足式。
思考题：
1、F(a) x F(x)
西 华
2、F(a) x F(x)
替换实例。容易知道P (Q P )
是永真式，从而x F(x) (x
yG(x,y) x F(x) )是永真式。
2) x F(x) x F(x)
设在任意的解释I下，
西 1） x F(x) 为真，则 a，使得 F(a)为真，使
华 大
得 x F(x)为真， 在这种情况下，x F(x)
学 x F(x)为真；
大 学
A1,
A2,
…,
An是一现所得到的一阶逻辑公式
A称为命题逻辑公式A0的替换实例。
定理：命题逻辑中的永真式的任意替换实例在一
阶逻辑中都是永真式；命题逻辑中的矛盾式的任
意替换实例在一阶逻辑中都是矛盾式 。
1、永真式和永假式的代入实例是永真、永假式；
解释举例1
给定解释I如下：
西 华 大 学
x(F(x) ∧ G(x,2))
(F(2) ∧ G(2,2)) ∧ (F(3) ∧ G(3,2))
y L(2,y) ∧ y L(3,y)
0∧ 11
(L(2,2)∨L(2,3)) ∧(L(3,2) ∨ L(3,3)) ( 1 ∨0 ) ∧(0 ∨ 1) 1
有限次地应用前三条，得到公式。
判断下列符号串是否为合式公式： 1. x(P(x) ∧ Q(x)) 2. xy(P(x) Q(y)) 3. yx∧ P(x) 4. x f(x) → x(g(x,y) ∨f(x) )
西 华 大 学
西 华 大 学
西 华 大 学
西 华 大 学
西 华 大 学
西 华 大 学
解释举例2
例2：已知指定一个解释N如下： (1)个体域为自然数集合DN (2)指定常项a=0 (3)DN上的指定函数f(x,y)=x+y,g(x,y)=x*y (4)指定谓词F(x,y)为x=y 在以上指定的解释N下,说明下列公式的真值
(1)xF(g(x,a),x) 即x(x*0=x)该命题假的
(2)xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)) 在解释N下此公式：xy(x+0=yy+0=x)此命题为真 (3)F(f(x,y),f(y,z))在解释N下该公式x+y=y+z 此时,x,y,z均为自由变元,解释不对自由变元进行指定。因而该 公式是命题函数,不是命题,真值不能确定。
2） x F(x) 为假，x F(x) x F(x)为真。
从而，在蕴涵式的前件x F(x) 为1或0的情况， 蕴涵式都为真。
又由解释I的任意性，知公式x F(x) x F(x)永真。
3) x y F(x,y) y x F(x,y)
西 1）取解释I1为：D=R,F(x,y):x>y
华 大
公式类型举例
西 判断下列公式的类型：
华
大 学
1)
x
F(x)
(x
yG(x,y)
x
F(x)
)
2) x F(x) x F(x)
3) x y F(x,y) y x F(x,y)
1) x F(x) (x yG(x,y) x F(x) )
西 华
解：显然该公式是：P (Q P ) 的
大 学