椭圆常见结论求解离心率

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快速求离心率12个二级结论

快速求离心率12个二级结论在物理学中，离心率是描述椭圆轨道形状的一个重要参数。它可以通过多种方法进行计算，本文将介绍12个二级结论，帮助读者快速求解离心率。以下是这些结论：

1. 椭圆轨道的离心率定义为焦点之间的距离与长轴长度的比值。即

e = c/a，其中e表示离心率，c表示焦点之间的距离，a表示长轴长度。

2. 椭圆轨道的离心率范围在0到1之间，当离心率为0时，轨道为圆形，当离心率为1时，轨道为抛物线。

3. 焦距可以通过离心率与长轴的乘积得到，即c = ae。

4. 当离心率小于1时，椭圆轨道的焦点在轨道内部。当离心率等于1时，焦点位于抛物线的顶点上。

5. 椭圆轨道的半长轴长度可以通过长轴长度和离心率计算得出，即

b = a√(1-e^2)。

6. 椭圆轨道的半短轴长度可以通过半长轴长度和离心率计算得出，即c = b√(1-e^2)。

7. 离心率可以通过焦点之间的距离和轨道长度的比值求解，即e = 1 - (r_min/r_max)，其中r_min表示轨道的最小半径，r_max表示轨道的最大半径。

8. 当离心率小于1时，椭圆轨道的最小半径和最大半径分别为

r_min = a(1-e)和r_max = a(1+e)。

9. 当离心率等于1时，抛物线轨道的最小半径为r_min = a，最大半

径趋于无穷大。

10. 椭圆轨道的周长可以通过半长轴、半短轴和椭圆的周长公式计

算得出，即C = 4aE(e)，其中E(e)表示第二类完全椭圆积分。

11. 椭圆轨道的面积可以通过半长轴和半短轴的乘积和π计算得出，即S = πab。

求解椭圆离心率的常见方法

ʏ河南省郑州市第二高级中学韦道田

椭圆的离心率是椭圆的重要几何性质之一,下面就求解椭圆的离心率(或取值范围)

给出几种重要方法,供同学们参考㊂

一㊁利用椭圆离心率的定义求解

例1 (1)

在平面直角坐标系中,椭圆x 2

a 2+y

1(a >b >0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径的圆,过点P a

c ,0

作圆的两条

切线且互相垂直,则离心率e =

㊂

(2)设M 为椭圆x 2

a 2+y

2=1(a >b >0

)上一点,F 1,F 2为两个焦点,过M 作M F 1ʅx 轴,

且øF 1M F 2=60ʎ,则椭圆的离心率为( )

㊂A.12 B .22 C .33 D .

2图1

解析:(1)

如图1

,切线互相垂直,又半径O A ʅP A ,所以әO A P 是等腰直角三角形㊂因为2c

,即c =1,所以a 2

=a 2

,|O P |=2

|O A |,a 2

=2a ,则a =2㊂所以e =c a =

㊂(2)设|M F 1|=d ,因为øF 1M F 2=60ʎ

,所以|M F 2|=2d ,|F 1F 2|=3d ㊂因此e =

2c 2a =|F 1F 2||M F 1|+|M F 2|=3d d +2d =

,选C ㊂点评:e =

2a =

|F 1F 2||P F 1|+|P F 2|

,其中F 1,F 2为椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点㊂

二㊁利用圆锥曲线的统一定义求解

依据e =|M F |

d ,其中|M F |表示椭圆上的点M 到焦点F 的距离,d 表示椭圆上的点

(完整版)椭圆经典结论

极速秒杀法-------椭圆经典结论

[结论1]：椭圆焦点三角形周长：122PFF =2a 2,=4a c MNF +V V

周长周长； [例题]：（1）椭圆22

131

x y +=，点A,B 经过椭圆左焦点，2ABF ∆的周长。

解：2AB F V 周长

（2）过椭圆22

1259

x y +=左焦点作直线与椭圆交于AB ，若22AF +BF =12AB ，求的值。解：2AB =4a=12+AB AB =8F ∴V 周长。

[结论2]：焦点三角形离心率：121222F F c e a PF PF ==+；1221cos 2=PFF =PF F cos 2e αβ

αβαβ+=∠∠-（，）； [例题]：（1）过椭圆22221x y a b

+=左焦点作x 轴的垂线与椭圆交于P ，若1260F PF ∠=o ，求离心率。

解：121222F F c e a PF PF ====+ 。（2）过椭圆22

112m

x y +=右焦点2F 作x 轴的垂线与椭圆交于A,B ，若1ABF ∆为正三角形，求椭圆方程。

解：3090cos cos 22=83090cos cos 22e m αβ

αβ++==--o o

o o 。（3）已知正方形ABCD ，求以A ，B 为焦点且过C ，D 的椭圆的离心率。

解：1212212F F c e a PF PF ====+ 。（4）在三角形ABC 中，AB=BC ，7cos 18B =-

，求以A,B 为焦点，且过C 的椭圆的离心率。解：2122122552359328

F F t t c t AC AC e t a PF PF t =∴=∴====++ 。（5）设22

椭圆中离心率求解的常见题型

的离心率是_______ . 解析由图形可知等腰直角三角形的直角顶点只能是 b2
点,2，即，1，2 = ；，2，即2 c=—，解得椭圆的离心率为e =
/2 -1.
三、
在
离心率的值
例3如图所示，在平面直
角坐
中，< ,<2 , =1 , =2
2
2
为
兀 + b = 1 （ - > b > 0）
-
的
点，,为其右焦点，直
一个焦点，若椭圆中心到/的距离为其短轴长的+,则该椭
圆的离心率为_______ .
解析
中的顶点必然是短轴的端点，由椭圆
的对称性可知，不
Z过椭圆的上顶点跟右焦点，则
直线/的方程为丄+十=1，即b%+cy-bc=0.贝»椭圆中心
C
0
到直线Z的距离Y = 曇=»2b，则椭圆的离心率为
1 _=亍
题组训练一* 1•已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心
是________.
解
由题意，可得弦AB =
也，点，1到直线0的距离Y = ■”--
c=b，即2b = b，解得椭圆的离心率为_土
题组训练三
在给定椭圆中，过焦点且于长轴的弦长为//,焦点
到相应准线的距 1，则该椭圆的离心
.
解析由题意，可得过焦点且于长轴的长为

求椭圆离心率范围的常见题型及解析

解析解题关键：挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e

的不等式。

一、利用曲线的范围，建立不等关系

已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$右

顶点为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。

小改写：已知椭圆方程

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右顶点为A，

点P在椭圆上，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值

范围。

二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系

已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足所有点P总在椭圆

内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。

小改写：已知F1、F2是椭圆

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的两个焦点，满

足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。

三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系

已知$\triangle ABC$的顶点B为椭圆

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆

的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。

小改写：已知椭圆方程

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，短轴的一个端

点为B，另两个顶点也在椭圆上，$\triangle ABC$的重心恰好

求椭圆离心率常用的三种方法

椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭

圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类

问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，

侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求

椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.

一、公式法

我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=

a.因此要

求椭圆

+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方

程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.

例1.已知椭圆E:

+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短

轴长的2倍，则E的离心率为_______.

解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，

所以2a=4b，所以

2，

可得e=

本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数

a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、

b、c之间的

关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的

离心率.

例2.已知椭圆C：

+y2b2=1()

a>b>0的右焦点为

F()

2,0，P为椭圆的左顶点，且|

|PF=5，则椭圆C的离心

率为（）.

A.23

B.12

C.25

D.13

解：因为椭圆的右焦点为F()

2,0，所以c=2，

因为P为椭圆的左顶点，

所以|

|PF=a+c=a+2=5，解得a=3，

所以椭圆C的离心率为e=

3.故选A.

我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点

的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问

题的答案.

二、几何性质法

几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在

求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将

椭圆离心率求法总结

椭圆离心率的解法

一、运用几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜

｜BO ｜④

e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜

｜AO ｜

评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO

｜= a2

∴有③。

题目1：椭圆x2 a2 +y2

b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭

圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？

思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c

c+3c=2a ∴e= c

= 3-1

变形1：椭圆x2 a2 +y2

=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正

三角形，求椭圆离心率？

解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1

变形2: 椭圆x2 a2 +y2

b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一

点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？

椭圆离心率求法

离心率的五种求法

椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出a 、c ，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式a

e =

来解决。例1：已知双曲线1222

=-y a

x 〔0>a 〕的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心

率为〔〕

23 B. 23 C. 2

D. 332

解：抛物线x y 62

-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线2

3122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，

解得2=c ，3=

a ，3

a c e ，故选D

变式练习1：假设椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为〔〕

43 B. 32 C. 21 D. 4

1 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，

1=c ，所以离心率2

==a c e .故选C.

变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为〔〕

23 B. 2

C. 23 D 2

解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，2

a c e ，因此选C 变式练习3：点P 〔-3，1〕在椭圆122

22=+b

y a x 〔0>>b a 〕的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的

光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为〔〕

33 B 31 C 22

椭圆离心率求法总结

椭圆离心率的解法

一、运用几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜

｜BF ｜③

｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜

｜AO ｜

评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO

｜=a,｜BO ｜=

∴有③。题目1：椭圆x2 a2 +y2

b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭

圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？

思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。

解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e=

= 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2

=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为

正三角形，求椭圆离心率？

解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1

变形2: 椭圆x2 a2 +y2

b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上

一点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？

求椭圆离心率范围的常见题型及解析

求椭圆离心率范围的常见题型解析

解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e 的不等式.

一、利用曲线的范围，建立不等关系

例1已知椭圆22

1(0)x y a b a b +=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂直于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围.

例2

已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为 ()

21,1-.

二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足

的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心

率的取值范围是（）Ａ．(0,1) Ｂ．

1(0,]2

Ｃ．2(0,)2 Ｄ．2[,1)2 x y

O F 1F 2

专题：椭圆的离心率解法大全

专题：椭圆的离心率

一，利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 2

21⎪⎭

⎫

⎝⎛-=a b e ）

1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e

2，椭圆

1422=+m y x 的离心率为2

1，则=m [解析]当焦点在x 轴上时，32124=⇒=-m m ；当焦点在y 轴上时，316

214=⇒=-m m

m ，综上3

m 或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是5

4，已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12

2=+n

y m x 的离心率为 [解析]由⇒⎪⎩

⎪⎨⎧≠=+=0

222

2mn n m n n

m n ⎩⎨

⎧==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 5，已知)0.0(12

1>>=+n m n

m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23

6，设椭圆22

22b

y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1

的距离，则椭圆的离心率是2

。

二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e

1，在∆Rt ABC 中，

90=∠A ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 (

)

36-=

2，如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且

901=∠BDB ,

则椭圆的离心率为( ) [解析]

快速求离心率12个二级结论

引言

离心率是描述椭圆形状的重要参数之一，它在天文学、物理学、工程

学等领域中都有广泛的应用。本文将介绍一种快速求解离心率的方法，并

列举了12个关于离心率的二级结论。

方法

1.首先，我们需要确定椭圆的长轴和短轴长度，记作a和b。

2.然后，使用公式\[e=\sq rt{1-\fr ac{b^2}{a^2}}\]计算离心率e。二级结论

1.离心率为0的椭圆即为圆形，其中长轴和短轴相等。

2.离心率大于0小于1的椭圆为真椭圆，长轴和短轴的长度不相等。

3.离心率为1的椭圆为抛物线，长轴和短轴长度无限大。

4.离心率大于1的椭圆为双曲线，长轴和短轴长度不相等。

5.离心率越接近于0，椭圆的形状越接近于圆形。

6.离心率越接近于1，椭圆的形状越扁平。

7.离心率越大，椭圆的形状越拉长。

8.拉伸一个圆形，使其形成椭圆，离心率一定大于0且小于1。

9.可以通过调整长轴和短轴的长度来改变椭圆的离心率。

10.在相同长轴和短轴长度下，离心率越大的椭圆，面积越大。

11.在相同长轴和短轴长度下，离心率越小的椭圆，周长越大。

12.离心率为0的椭圆可以看作是一个无限大的圆形。

结论

通过本文所介绍的方法，我们可以快速求解椭圆的离心率，并且了解了离心率的一些重要性质和结论。离心率在几何学和物理学中具有广泛的应用，对于我们研究和理解椭圆形状非常有帮助。

希望本文能对读者在理解离心率及其相关结论方面起到一定的帮助。

椭圆离心率题型-总结

的离心率;

【答案】2

4、（ 06山东）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为

,2，焦点到相应准线距离为 1,则该椭圆的离心

率为 _________ 。

占=1 （ a > b > 0）的左、右顶点分别是 AB 左、右焦点分别是 F 1, F 2。若|AF | , | F 1F 2I , | RB|

利用椭圆及等比数列的性质解题

.由椭圆的性质可知：

AF 」=a —c , RF 2 =2c , F 1B =

椭圆离心率题型:

b 2 2

一）求离心率

1）用定义（求出 a,c

1、已知椭圆C ：

或找到c/a ）求离心率 2

y 2

= 1,（a b 0）的两个焦点分别为 F i （-1,0）, F 2（1,0）,且椭圆C 经过点

【答案】解：2a =PF i + PF 2 =

1^ 1 2

所以，a =::貶.

又由已知，c = 1,所以椭圆C 的离心率e 二上

-2 y 2

2、（12）

设F 1F 2是椭圆E : —^ 2

~ 1（a b 0）的左、右焦点，P 为直线-

点，

丄F 2PF 1是底

角为30；的等腰三角形，则 E 的离心率为（

）【解析】选C

(B)

(C)-

(D)-

解：.■: F 2PF 1是底角为30的等腰三角形

3 c

n PF 2 = F 2F 1 = 2(_ a — c) = 2c= e = _

2 a

3、（ 12辽理）已知点（2，3）在双曲线 C ：

2 2

計i 0，®）上，C 的焦距为4，

则它的离心率为

2b 2

［解法一］:通径：仝- a

=、2①

根据焦准距有椭圆的第二定义

高中数学-高考数学离心率题型总结

高中数学高考数学离心率题型总结求解含直角三角形的椭圆离心率

二．典例剖析：

例.若椭圆)0(,122

22>>=+b a b

y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，求椭

圆离心率。

分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即2OF OP =，得到

21222222=

⇒=

⇒=+=e e c c b a 的结论。

变式1.在椭圆

)0(,12

>>=+b a b y a x 上有一点P 外〕，若21PF PF ⊥，求椭圆离心率取值X 围。

分析：点P 在椭圆上⇒b OP >；点P 在以O 为圆心，OP 为半径的圆上⇒

c OF OF OP ===21,所以得到c>b ，进而得到⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛∈⇒>⇒<+=1,222

1222222e e c c b a 的结论。

变式2.满足21PF PF ⊥的所有点P 都在椭圆

)0(,122

>>=+b a b

a x 内，求椭圆离心率取值X 围。

分析：满足21PF PF ⊥的所有点P 都在椭圆内⇒以O 为圆心，OP 为半径的圆都在椭圆

内⇒b c <，进而得到⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛∈⇒<⇒>+=22,02

1222222e e c c b a 的结论。

变式3.过椭圆)0(,122

22>>=+b a b

y a x 右焦点2F 的直线交椭圆于P 、两点且满足PQ PF ⊥1，若13

sin 1=∠QP F ，求该椭圆离心率。

分析：在前面例题1和变式的基础上，将线段2PF 拉长和椭圆交于点Q ，此时内含于椭

椭圆离心率常见求法整理归纳

1.设行

4 = 1G∕>∕7>O)的左.右焦点，若椭圆上

存在点A ,使Cr Iy

Z斤AF2 =90」且|4可=3PlE则椭圆的离心率为____________________ .

2.设椭圆C：) + * = l (a>b>0)的左、右焦点分别为斤,巧，P是C上的点,

P巧丄F1F2, ZP斥竹=30。，则椭圆C的离心率为 _____________________ .

3.设斤、耳分别是椭圆C± + ∙^ = l(">b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线

段PF∣的中点在y轴上，若ZPF I F2 = 30 ,则椭圆的离心率为___________________ .

7 7

4.已知椭圆—+ —= 1 (a>b>0)的两个焦点为F r F,,以斥只为边作正三角形，若椭

Cr Zr

圆恰好平分正三角形的另外两条边，且闪可=4,则"等于 ______________________ .

2 2

5.椭圆丄τ + =τ = l(α>b>0)的左、右顶点分别是A, B,左、右焦点分别是U F=•若

Cr b~

I AF I 1,1 F1F21,1斤Bl成等比数列，则此椭圆的离心率为____________ .

6.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D , 且BF=2FD,则C的离心率为_________________ .

7.设椭圆C:* +沪l(">b>0)的左右焦点为F lf F2,作竹作X轴的垂线与C交于

A, B两点，F0与y轴交于点£>,若AD丄F1B,则椭圆C的离心率等于_____________________ .

椭圆离心率

椭圆离心率练习

1.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若

75,151221=∠=∠F PF F PF ，

则椭圆的离心率为 2.椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于2

1∣AF ∣，则椭圆的离心率 3.A 、B 是椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点，且AB ⊥BF 2，则椭圆的离心率

4.已知直线L 过椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 的距离为2

a ，则椭圆的离心率 5．椭圆122222=+n y m x 和双曲线1222

22=-n

y m x 有公共焦点，则椭圆的离心率 6.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且

6021=∠PF F ，则椭圆离心率e

的取值范围 7.设椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存在一点Q ，使∠AQB=120º，则椭圆离心率e 的取值范围

8．椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 1的直线交椭圆于P 、Q 两点，且

OP ⊥OQ ，则椭圆的离心率e 的取值范围

9．已知椭圆M ：122

22=+b

y a x （a>b>0），D （2，1）是椭圆M 的一条弦AB 的中点，点 P （4，－1）在直线AB 上，求椭圆M 的离心率.

10．如图，从椭圆上一点P 向X

轴的一个端点A 和短轴的一个端点B 的连线与OP