椭圆常见结论求解离心率
快速求离心率12个二级结论
快速求离心率12个二级结论在物理学中，离心率是描述椭圆轨道形状的一个重要参数。
它可以通过多种方法进行计算，本文将介绍12个二级结论，帮助读者快速求解离心率。
以下是这些结论：1. 椭圆轨道的离心率定义为焦点之间的距离与长轴长度的比值。
即e = c/a，其中e表示离心率，c表示焦点之间的距离，a表示长轴长度。
2. 椭圆轨道的离心率范围在0到1之间，当离心率为0时，轨道为圆形，当离心率为1时，轨道为抛物线。
3. 焦距可以通过离心率与长轴的乘积得到，即c = ae。
4. 当离心率小于1时，椭圆轨道的焦点在轨道内部。
当离心率等于1时，焦点位于抛物线的顶点上。
5. 椭圆轨道的半长轴长度可以通过长轴长度和离心率计算得出，即b = a√(1-e^2)。
6. 椭圆轨道的半短轴长度可以通过半长轴长度和离心率计算得出，即c = b√(1-e^2)。
7. 离心率可以通过焦点之间的距离和轨道长度的比值求解，即e = 1 - (r_min/r_max)，其中r_min表示轨道的最小半径，r_max表示轨道的最大半径。
8. 当离心率小于1时，椭圆轨道的最小半径和最大半径分别为r_min = a(1-e)和r_max = a(1+e)。
9. 当离心率等于1时，抛物线轨道的最小半径为r_min = a，最大半径趋于无穷大。
10. 椭圆轨道的周长可以通过半长轴、半短轴和椭圆的周长公式计算得出，即C = 4aE(e)，其中E(e)表示第二类完全椭圆积分。
11. 椭圆轨道的面积可以通过半长轴和半短轴的乘积和π计算得出，即S = πab。
12. 当离心率接近于1时，椭圆轨道的形状趋近于一条直线。
当离心率趋近于0时，椭圆轨道的形状趋近于一条圆。
通过以上12个二级结论，读者可以快速求解椭圆轨道的离心率，并对其形状有一个清晰的了解。
离心率的求解在天体力学、航天工程等领域有着广泛的应用，对于研究天体运动和设计轨道具有重要意义。
椭圆上一点到两焦点的连线夹角为钝角求离心率范围
椭圆是一种常见的几何形状，其特点是具有两个焦点和一条长轴和短轴。
在椭圆上任意一点到两个焦点的连线与长轴的夹角被称为离心率。
当这个夹角是钝角时，我们需要求解离心率的范围。
我们来了解一下椭圆的基本性质。
椭圆是一个闭合曲线，其形状由长轴和短轴的长度决定。
设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则离心率e的定义为c/a。
根据离心率的定义，我们知道离心率是一个与椭圆形状相关的参数，它描述了椭圆的瘦胖程度。
当离心率接近于0时，椭圆几乎退化为一个圆；当离心率接近于1时，椭圆变得很扁。
现在，让我们来设想一个椭圆上的一点P，以及它到两个焦点F1和F2的连线。
根据题目要求，这两条连线与长轴的夹角应当是一个钝角。
在几何学中，我们知道，两条向量的夹角可以表示为它们的点积除以它们的模的乘积的反余弦值。
我们可以利用这个夹角条件来求解离心率的范围。
设椭圆的焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0)，椭圆上任意一点的坐标为(x,y)。
根据向量的定义，点P到焦点F1和F2的连线可以表示为向量PF1和PF2，它们分别为(x+c,y)和(x-c,y)。
根据向量的点积公式，这两条向量的点积为(x+c)*(x-c)+(y*y)，模的乘积为根号下((x+c)²+y²)和根号下((x-c)²+y²)。
将点积和模的乘积代入夹角的定义式中，我们可以得到这个钝角夹角的表达式。
接下来，我们需要将这个夹角条件转化为关于离心率的表达式，并进一步求解离心率的范围。
这一部分需要一些复杂的代数运算和三角函数的知识，因此我将在后续的文章中着重讨论。
至此，我们已经初步探讨了椭圆上一点到两焦点的连线夹角为钝角的问题，也介绍了离心率的基本概念和几何意义。
接下来，我将继续深入讨论这个问题，并共享我的个人观点和理解。
在接下来的文章中，我将陆续展开对椭圆离心率与夹角的关系的分析，并以渐进的方式探讨其数学性质和几何意义。
通过对这些性质和意义的深入理解，我们可以更好地把握椭圆的几何特征，从而为相关领域的研究和应用提供更为丰富的依据和启示。
椭圆的13个经典结论
椭圆的13个经典结论
椭圆被广泛应用于科学和工程领域。
下面是椭圆的13个经典结论：
1. 椭圆是一种闭合的曲线，它与两个焦点的距离之和是固定的，这个固定值称为椭圆的长轴。
2. 椭圆的中心是长轴的中点。
3. 椭圆的短轴是椭圆的宽度，是长轴的垂直线段。
4. 椭圆的离心率是一个无量纲常数，用来描述椭圆的形状，它等于长轴和短轴之间的差值与长轴之和的比值。
5. 椭圆的离心率小于1，当离心率等于0时，椭圆变成一个圆。
6. 椭圆的面积是长轴和短轴的乘积乘以π的一半。
7. 椭圆的周长没有一个简单的公式，但可以使用椭圆积分来计算。
8. 椭圆可以用焦点和一条线段来定义，这条线段被称为椭圆的直径。
9. 椭圆和直线之间的交点称为椭圆的交点。
10. 椭圆可以被切成两个相等的部分，这两个部分称为椭圆的半个。
11. 椭圆的焦点和直径的中点固定在椭圆上。
12. 椭圆是一种二次曲线，可以使用一元二次方程来表示。
13. 椭圆在几何上具有对称性，椭圆的每个点都可以通过椭圆的中心与另一点的对称轴来进行对称。
椭圆离心率的公式ab
椭圆离心率的公式ab
椭圆离心率公式是用于描述椭圆形状的一个重要公式，它由椭圆的长轴a和短轴b计算得出。
在本文中，我们将详细介绍椭圆离心率的公式ab，并讨论其意义和用途。
首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆是一个平面图形，由两个焦点和所有到这两个焦点距离之和相等的点组成。
椭圆还有两个主轴，一个长轴和一个短轴，分别穿过椭圆的两个焦点。
椭圆的离心率是描述椭圆形状的一个参数，它可以用长轴a和短轴b来计算，公式为：
离心率e = (a² - b²) / a
该公式的意义是，椭圆的离心率是椭圆长轴a和短轴b的比值，再减去一个1。
也就是说，它表示了椭圆形状的“扁程度”，在0到1之间取值。
当离心率为0时，椭圆退化为圆形；当离心率为1时，椭圆变为一条线段。
椭圆离心率的公式ab在工程中有着广泛的应用。
在航天领域中，离心率可以用于描述卫星轨道的形状和轨道的稳定性。
如果轨道的离心率太高，卫星可能会偏离原本的轨道，造成通信中断或失去控制。
因此，离心率是卫星轨道设计中需要重点考虑的因素之一。
此外，在光学领域中，椭圆形的反射镜和折射镜常用于望远镜和激光器等设备中。
由于椭圆形的特殊性质，可以实现多种反射和折射
路径，从而实现光束的聚焦和成像。
离心率是决定椭圆镜形状的重要因素之一，其大小决定了镜面反射或折射的程度和方向，进而影响到光学系统的性能和精度。
总之，椭圆离心率的公式ab是描述椭圆形状的一个重要工具，在航天、光学等领域中得到广泛应用。
了解这个公式的意义和用途，能够帮助我们更好地理解和应用椭圆形状，进而提升工作效率和创新能力。
椭圆离心率求法大全
椭圆离心率求法大全
椭圆离心率又叫做偏心率，是衡量椭圆的对称性的重要特征值，表示椭圆的离心程度，离心率值越大椭圆形状越扁，可以表示为0≤E≤1，其中较接近圆形的图形偏心率接近0，而较远离圆形图形的离心率则更接近1。
下面是求椭圆离心率的公式及求法：
（1）根据椭圆的标准方程：
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
，其中a为长轴，b为短轴，可以求出椭圆的离心率E，公式为：
（2）也可以根据椭圆的几何定义求出离心率：
椭圆的离心率按照以下公式求出：
其中，e表示椭圆的外径c与内径b的绝对值的差值，e=|c-b|。
（3）根据椭圆的离心率及长短轴的比值，可以得出椭圆的长轴a和短轴b的关系：
a=b/E
（4）可以根据椭圆的中心坐标和其上任意点坐标进行求椭圆离心率计算：
（i）得到椭圆的中心坐标（h,k），任意点坐标为（x,y），并设椭圆的离心率为E。
（ii）根据点（h,k）和点（x,y）求椭圆的半长轴长：
a = $\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}$
（iii）半短轴长可以求得：
（iv）根据半长轴长a及半短轴长b求离心率：
根据以上公式及求法，可以计算出椭圆的离心率。
注意，离心率在[0,1]之间，较接
近圆形的图形偏心率接近0，而较远离圆形图形的离心率则更接近1。
椭圆常结论及其结论(完全版)
2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c y l 22:=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度：ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OM b k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
椭圆双曲线共焦点离心率结论
椭圆双曲线共焦点离心率结论
椭圆双曲线：
1. 定义：椭圆双曲线是一种数论对象，它可以用$y^2=x^3+ax+b$的形
式表示，又称做Weierstrass椭圆双曲线，其中a、b是常数。
2. 特点：和椭圆类似，椭圆双曲线也具有两个焦点和长短轴，但与传
统的椭圆不同，它由一系列点组成，而不是单一点。
3. 离心率：椭圆双曲线的离心率常用$e=\frac{2c^2}{a^2+b^2}$来表示，其中a、b、c是椭圆双曲线的长短轴、重心距等参数，它的取值范围在
1到无穷大之间，如果离心率e=1，则该椭圆双曲线称为椭圆形椭圆双
曲线，1<e<无穷大时，椭圆双曲线称为双曲线椭圆双曲线。
4. 共焦点：椭圆双曲线有两个焦点，对称轴有两个共焦点，即它们之
间的距离相等，可以用公式$2c^2=a^2+b^2$来表示。
5. 结论：椭圆双曲线的参数a、b、c以及离心率e与共焦点之间存在特定关系，即$2c^2=a^2+b^2$,$e=\frac{2c^2}{a^2+b^2}$，离心率的值可
以用来判断这类椭圆双曲线是否为椭圆形双曲线或双曲线椭圆双曲线。
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
2.2.2椭圆的简单几何性质2——离心率问题
练习：
x2 y 2 (3)设 F1F2 是椭圆 E : 2 2 1(a b 0) 的左、右焦点 , a b
ABF2 为等边三角 过F 1 作轴的垂线与椭圆交于 A,B 两点 ,
形 ,则 E 的离心率为 __________.
x2 y 2 (4)[2013 辽 宁 ] 已 知 椭 圆 C : 2 2 1(a b 0) 的 左 焦 点 为 a b
变式2：已知椭圆
x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F 、F , 1 2 a 2 b2
o F PF = 60 若椭圆上存在一点P,使得 , 则椭圆离心率e的范围 1 2 o F PF = 120 1 2 是 .
总结：
1．椭圆离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆的离 心率；二是求椭圆离心率的取值范围。 2．求椭圆的离心率：只需要由条件得到一个关于基本 量 a，b，c，e 的一个方程，就可以从中求出离心率． 3．求椭圆的离心率的取值范围：通常可以从两个方面 来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、 角的大小等；二是通过设椭圆点的坐标，利用椭圆 本身的范围，列出不等式．
椭圆的焦点三角形问题 2 2 x y 例 3.椭圆 点 P 为椭圆上的点， 1的焦点为 F1、F2 ， 25 9 (1) 满足F1PF2 为直角的点 P 的个数； (2)当 F1 PF2 为钝角时，求点 P 的横坐标的取值范围；
(3)若 F1PF2 的内切圆半径为 1 ，求 PF 的值. 1 PF2
2
x2 y 2 (1)(12 新课标 )设 F1F2 是椭圆 E : 2 2 1(a b 0) a b
3a 的左、右焦点 , P 为直线 x 上一点 , F2 PF 1 是底角 2
椭圆离心率题型总结
椭圆离心率题型：一）求离心率1）用定义（求出a,c 或找到c/a ）求离心率1、已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .求椭圆C 的离心率;【答案】解:122a PF PF =+==所以,a =又由已知,1c =, 所以椭圆C 的离心率2c e a===2、（12）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）【解析】选C解： ∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==3、（12辽理）已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=+b a b y a x 上，C的焦距为4，则它的离心率为 ．【答案】24、（06应准线距离为1，则该椭圆的离心率为 。
[解法一]：通径：22b a= 根据焦准距有21b c =②；①式除以②式，得22221b c a b =，于是2e =[解法二]：（老手的方法）2||/2||12AF eAD ===椭圆的第二定义5、（江西）椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1，F 2。
若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.13.55利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+.又已知1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =.故55c e a==.即椭圆的离心率为55.2)、根据题设条件构造a 、c 的齐次式方程，解出e 。
椭圆离心率知识点总结
椭圆离心率知识点总结椭圆的离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它是一个介于0和1之间的实数，用e表示。
离心率越接近0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近1，椭圆越拉长。
在本文中，我们将深入探讨椭圆离心率的相关知识点，包括椭圆的定义、离心率的计算方法、离心率与椭圆形状的关系、离心率的物理意义等方面。
椭圆的定义椭圆是平面上一点到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的轨迹。
这两个固定点分别称为焦点，记为F1和F2，它们之间的距离是2a。
设椭圆的两个焦点为F1和F2，两个焦点之间的距离是2c，椭圆的长轴是2a，短轴是2b。
椭圆的离心率定义为e=c/a。
由此可见，椭圆的离心率是通过椭圆焦点的位置和长短轴的长度来确定的。
离心率的计算方法椭圆的离心率可以通过焦点和长、短轴的关系来计算。
设椭圆的长轴是2a，短轴是2b，焦点之间的距离是2c。
根据椭圆的定义，可以得到等式：2a=2c由此可得c=a。
根据离心率的定义e=c/a，可以得到椭圆的离心率为e=1。
这说明椭圆的离心率是与长短轴的长短关系相关的一个重要参数。
离心率与椭圆形状的关系椭圆的离心率与其形状之间存在着密切的关系。
当离心率e=0时，表示椭圆的两个焦点和中心重合，此时椭圆的形状接近于圆形。
当离心率e=1时，表示椭圆的两个焦点距离中心的距离等于椭圆的长轴。
此时椭圆的形状呈现出拉长的状态。
因此，离心率可以描述椭圆形状的长短关系，离心率越小，椭圆形状越接近于圆形，离心率越大，椭圆形状越拉长。
离心率的物理意义离心率不仅是描述椭圆形状的重要参数，还具有较为重要的物理意义。
在天体力学中，椭圆的离心率是描述行星轨道形状的一个重要参数。
离心率接近于0的行星轨道呈现出近似圆形的形状，这种轨道称为圆轨道；离心率接近于1的行星轨道呈现出椭圆形的形状，这种轨道称为椭圆轨道。
因此，离心率可以描述行星轨道形状的长短关系，离心率越小，轨道形状越接近于圆形，离心率越大，轨道形状越拉长。
在天文学中，通过测量行星轨道的离心率，可以进一步探索行星的运动规律及轨道形状，从而深入了解行星的运动规律和轨道形状。
专题：椭圆的离心率解法大全
e 的取值范围。
解:设 Px, y , F1 c,0 , F2 c,0
法 1:利用椭圆范围。
由 F1P F2P 得 x 2
y2
c2 ，将这个方程与椭圆方程联立,消去ｙ,可解得 x 2 a 2c2 a 2b 2 a2 b2
a 2 (c2 a 2 ) 。 e2
由椭圆的性质知 0 x 2 a 2 ，得以e [ 2 ，1）。 2
1
1
,由
a sin cos 2 sin
4
12
,
4
得
2 e 2
6。 3
６,如图,在平面直角坐标系
xoy
中，
A1
,
A2
,
B1,
B2
为椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的四个顶点， F
为其右焦
点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率
分析:此题有角的值,可以考虑正弦定理的应用。
解:由正弦定理：错误! ＝ 错误! PF2 sin PF1F2
根据和比性质：
错误!＝ 错误! 变形得： 错误! =错误! 2c =e 2a
∠PＦ１F2 ＝7５°∠PＦ2Ｆ1 =１５°
ｅ＝
sin９0° sin75°+sｉn15°
=错误!
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=＼f(ｓin Ｆ1PF2 ，sｉｎ Ｆ1F2P ＋sｉn PF1F2 )
∣MF∣=∣MＯ∣,则椭圆的离心率是 3 1
４,椭圆错误! +错误!=1(ａ>ｂ >0)的两焦点为 F１ 、Ｆ2 ，以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两
椭圆离心率常见求法整理归纳
1.设行4 = 1G∕>∕7>O)的左.右焦点，若椭圆上存在点A ,使Cr IyZ斤AF2 =90」且|4可=3PlE则椭圆的离心率为____________________ .2.设椭圆C：) + * = l (a>b>0)的左、右焦点分别为斤,巧，P是C上的点,P巧丄F1F2, ZP斥竹=30。
，则椭圆C的离心率为 _____________________ .3.设斤、耳分别是椭圆C± + ∙^ = l(">b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF∣的中点在y轴上，若ZPF I F2 = 30 ,则椭圆的离心率为___________________ .7 74.已知椭圆—+ —= 1 (a>b>0)的两个焦点为F r F,,以斥只为边作正三角形，若椭Cr Zr圆恰好平分正三角形的另外两条边，且闪可=4,则"等于 ______________________ .2 25.椭圆丄τ + =τ = l(α>b>0)的左、右顶点分别是A, B,左、右焦点分别是U F=•若Cr b~I AF I 1,1 F1F21,1斤Bl成等比数列，则此椭圆的离心率为____________ .6.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D , 且BF=2FD,则C的离心率为_________________ .7.设椭圆C:* +沪l(">b>0)的左右焦点为F lf F2,作竹作X轴的垂线与C交于A, B两点，F0与y轴交于点£>,若AD丄F1B,则椭圆C的离心率等于_____________________ .8.过点M(Ij)作斜率为一丄的直线与椭圆C：二+二=1(。
>〃>0)相交于43,若M2 Cr Zr是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为 _______ ・9.椭圆c： 4+4=Cr Iy= ∖(a>b>0)左右焦F1,F2,若椭圆C上恰有4个不同的点P,使得ΔPF I F2为等腰三角形，则C的离心率的取值范用是______________510. 设椭圆C ：4 + ^T = l(«>^>0)的两个焦点分别为F C F 2,过片且斜率为2的直线交椭圆C 于P 、0两点，若厶PF x F 2为直角三角形，则椭圆C 的离心率为 _____________ .11. 直线y = Ox 与椭圆二+ = = l(α>b>O)相交于A 、3两点，过点A 作X 轴的垂线,2 6Γ Ir垂足恰好是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率是 ______________ .12. 设椭圆(7:卡+ 沪1(。
椭圆离心率总结汇总
.2关于椭圆离心率设 P (x , y )，又知 F 1 ( c , 0), F 2 (C , 0)，则F1P(x c ，y)， F 2P (x c ，y) 由 F i PF 2 90，知 F 1P F 2P ， 则 F i P F 2P0，即(x c)(x c) y 2222得x y c2 2 2|PFj IPF 2I 2IPF 1IIPF 2I 4ax2设椭圆 2a2 y b 2 1( a b0) 的左、右焦点分别为 F 1、 圆上存在点 P ,使F 1PF 290 , 求离心率e 的取值范围。
解法1:利用曲线范围，如果椭将这个方程与椭圆方程联立，消去2 2 2, 22a c a bx2,2a b 但由椭圆范围及 知0y ,可解得F 1PF 2902 2 x a2 2 2. 2a ca b2Z2―a b可得 从而得b 2，即c 2 c 2 e a 且 c 2 a 2.2|PFj IPF 2I 2a所以e解法2:由椭圆定义知【I"，°利用二次方程有实根2又由 F 1PF 2 90，知IPF 』IPF 2I 2 3 IM 4c 2 则可得 IPF 1IIPF 2I 2(a 2 c 2) 这样，IPFJ 与IPF 2I 是方程u 2 2au 2(a 2 c 2)0的两个实根，因此又IPF 1I IPF 2I 2a ，IF 1F 2I 2c ,则有c e - 1 a sinsin而0 I I 9045从而可得—e 123 sin cos —2 24a 2 8(a 2 c 2)e 2c 2 1a 2 2因此e2，1)解法3:利用三角函数有界性 记 PF 1F 2， PF 2 F 1IPF 1I IPF 2IIFFIsin sin sin 90，由正弦定理有IPF 1I IPF 2Isin sinIF 1 F 2I1、、2cos —cos解法4:利用焦半径由焦半径公式得| PF 11 a ex ， |PF 2| a ex又由 |PF 1|2 |PF 2|2 |F 1 F 2|2，所以有2小222^2 2^2a 2cx ex a 2cx ex 4cc 22 2c a2e且x a ，则知0222c a 22ae 2［云，D2 2 2 2 2 2 24a |PF i | IPF 2I 2| PF 1IIPF 2I 2（|PFj 門| ） 2厅问 8c得与-所以有e [―2， 1) a 2 2 2解法6:巧用图形的几何特性由F 1PF 2 90，知点P 在以厅汗2| 2c 为直径的圆上。
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2c∴有③。
题目1：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e=c a= 3-1变形1：椭圆x2 a2 +y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF1｜=b2a｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= ba 又 ∵b=a2-c2∴a2=5c2 e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。
椭圆离心率求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
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椭圆离心率a
c
e =的求法
1.椭圆方程()01:22
22>>=+b a b
y a x C 的右焦点为F ,过F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两
点，直线l 的倾斜角为60°，FB AF 2=,求椭圆的离心率？（焦半径公式11ex a PF +=，
22ex a PF -=的应用左加右减，弦长公式为直线的斜率k x x k d ,1212-+=）
2.椭圆方程()01:22
22>>=+b a b y a x C 的右焦点为F ,其右准线与x 轴的交点为A ,在椭圆上
存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ,则椭圆的离心率的范围？（焦准距c
b 2
的应用）
3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？（关于c a ,的二元二次方程02
2
=++pc nac ma 解法）
4.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴上的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D ,且
FD BF 2=,则C 的离心率为？（相似三角形性质：对应边成比例 的应用）
5.过椭圆()01:22
22>>=+b a b
y a x C 的左焦点F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上，且x BF ⊥轴，
直线AB 交y 轴于点P ，若PB AP 2=，则椭圆的离心率为？（相似三角形性质的应用）
6.过椭圆()01:22
22>>=+b a b
y a x C 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点，
若︒=∠6021PF F ，则椭圆的离心率为？（椭圆焦三角形面积)(2
tan 212
PF F b S ∠==θθ
）
7.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率？（椭圆基本性质2
2
2
c b a +=的应用）
8.椭圆142
2=+y x 的离心率为?（椭圆基本性质2
2
2
c b a +=的应用）
9.椭圆()01:22
22>>=+b a b
y a x C 的焦点为21,F F ，两条准线与x 轴的交点为N M ,，若
212F F MN ≤，则该椭圆的离心率的取值范围是？（椭圆基本性质222c b a +=的应用）
10.设21,F F 分别是椭圆()01:22
22>>=+b a b y a x C 的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，
使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距c
b 2
；垂直平分线性
质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；三角形性质：两边之和大于第三边 应用）
11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭
圆的离心率为？（通径a
b 22，焦准距
c a 2
）
12.已知椭圆()01:22
22>>=+b a b
y a x C 的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P 使
1
221sin sin F PF c
F PF a =
，则该椭圆的离心率的取值范围是？（正弦定理R C
c
B b A a 2sin sin sin ===，第一定义a PF PF 221=+）
13.在平面直角坐标系中，2121,,,B B A A 为椭圆的四个顶点，F 为其右焦点，直线21B A 与直线F B 1相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为？ （直线方程交点坐标）
14.在ABC ∆中，18
7
cos ,-
==B BC AB .若以B A ,为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率为？（余弦定理A bc c b a cos 22
2
2
-+=，第一定义）
15.已知正方形ABCD ，则以B A ,为焦点，且过两点D C ,的椭圆的离心率为？（通径a
b 2
2）
16.已知椭圆的焦距为c 2，以点O 为圆心，a 为半径作圆M 。
若过点⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛0,2c a P 作圆M 的
两条切线相互垂直，则该椭圆的离心率为？（基本性质）
17.已知21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，满足021=⋅MF MF 的点
M 总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是？（圆周角:圆直径所对的圆周角等于90°）
18.过椭圆左焦点F 且倾斜角为︒60的直线交椭圆于B A ,两点，若FB FA 2
3
=，则椭圆的离心率为?（焦半径公式，弦长公式212
1x x k -+）
19.已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为？
20.椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为？
21.已知椭圆的短轴的上下端点分别为21,B B ，左右焦点分别为21,F F ，长轴右端点为A ，若
02222=++B F B F A F ，则椭圆的离心率为?（向量坐标加减）
22.若以椭圆()01:22
22>>=+b a b y a x C 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线
交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距c
a 2
）
23.已知点()b A ,0，B 为椭圆()01:22
22>>=+b a b
y a x C 的左准线与x 轴的交点，若线段的
中点C 在椭圆上，则该椭圆的离心率为？
24.若斜率为22的直线l 与椭圆()01:22
22>>=+b a b y a x C 有两个不同的交点，且这两个交
点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为？（通径a
b 2
2）
25.已知B A ,两点分别是椭圆的左顶点和上顶点，而F 是椭圆C 的右焦点，若0=⋅BF AB ，则椭圆C 的离心率为？（两直线垂直，有121-=⋅k k ）。