三角形的四心

平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具.本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。

在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

结论1：是三角形的重心所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0202,,BC D GD GB GC GA GB GC GA GB GC GA GD G AD G BF CE G ABC =+++=⇔-=+∴-=∆证明：设中点为，则这表明，在中线上同理可得在中线上故为的重心结论2：1P ()31()()()()030ABC PG PA PB PC G ABC PG PA PB PC PG PA PG PB PG PC GA GB GC G ABC ∆=++⇔∆=++⇔-+-+-=⇔++=⇔∆若为所在平面内一点，则是的重心证明：是的重心A'GAB例1． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例2． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证明CGPC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++=∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）） 例3 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

例题4 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.【解析】 由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心.例５ 在△ABC 内求一点P ，使222AP BP CP ++最小．分析 如图２，构造向量解决．取,CA a CB b ==为基向量，设CP x =，222222222,,()()113[()]()33AP x a BP x b AP BP CP x a x b xx a b a b a b =-=-∴++=-+-+=-+++-+． 当1()3x a b =+时，222AP BP CP ++最小，此时，即1()3OP OA OB OC =++，则点P 为△ABC 的重心．CP图２AB例6．若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心.求证OC OB OA OH ++=.证明 若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图. 连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD .∴AB AD ⊥，BC CD ⊥.又垂心为H ，BC AH ⊥，AB CH ⊥， ∴AH ∥CD ，CH ∥AD ，∴四边形AHCD 为平行四边形，∴OC DO DC AH +==，故OC OB OA AH OA OH ++=+=.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”； （2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例7． 设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 求证 OH OG 31=证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔)(31OC OB OA OG ++=按垂心定理 OC OB OA OH ++= 由此可得 OH OG 31=. 例题7. 如图1，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =，AN yAC =，则113x y+=。

证 点G 是ABC ∆的重心，知0GA GB GC ++=，得()()0AG AB AG AC AG -+-+-=，有1()3AG AB AC =+。

又M ，N ，G 三点共线（A 不在直线MN 上），于是存在,λμ，使得(1)AG AM AN λμλμ=++=且， 有AG xAB yAC λμ=+=1()3AB AC +，得113x y λμλμ+=⎧⎪⎨==⎪⎩，于是得113x y +=。

例题8（2008年山东调考）设O 为△ABC 内一点，OA +OB 2+3OC =0，求△AOB 的面积与△AOC 的面积之比如图1，过点A 作OC 的平行线交BO 的延长线于B '，作OB 的平行线交OC 延长线于C '．则OA =C O '+B O '．由已知OA +OB 2+3OC =0，得OA =-2OB -3OC ．所以B O '=-2OB ，C O '=-3OC ．从而 ||||OB OB '=21||C O OC '=31． 所以，B AO AOB S S '∆∆=||||OB OB '=21，C AO AOC S S '∆∆=||||OC OC ' =31．而B AO S '∆=C AO S '∆，故AOC AOB S S ∆∆=23评注：以上解法是直接根据平面向量的基本定理，将OB ，OC 作为平面向量的一组基底，向量OA 则由它们线性表示．此种解法颇具有通性通法，极易掌握．下面我们将该问题拓展到一般情况．设O 为△ABC 内一点，1λ，2λ，3λ均为正实数，若1λOA +2λOB +3λOC =0，则有ABC AOB S S ∆∆=3213λλλλ++，ABC BOC S S ∆∆=3211λλλλ++，ABCAOC S S ∆∆=3212λλλλ++．证明：如图1，由已知1λOA +2λOB +3λOC =0，得OA =-12λλOB -13λλOC过点A 作OC 的平行线交BO 延长线于B '点，作OB 的平行线交CO 延长线于C '点．则OA =C O '+B O '，∴B O '=-12λλOB ，C O '=-13λλOC ．从而||||OB OB '=21λλ，||||OC OC '=31λλ．所以B AO AOB S S '∆∆=||||OB OB '=21λλ，C AO AOC S S '∆∆=||||OC OC '=31λλ．又∵B AO S '∆=C AO S '∆，∴AOC AOB S S ∆∆=23λλ．同理可证：BOC AOB S S ∆∆=13λλ，AOC BOC S S ∆∆=21λλ． ∴ABC AOB S S ∆∆=3213λλλλ++，ABC BOC S S ∆∆=3211λλλλ++，ABC AOC S S ∆∆=3212λλλλ++，得证．三、拓展：设O 为△ABC 所在平面内一点，且有1λOA +2λOB +3λOC =0（1λ，2λ，3λ∈R ）则有||:||:||::321λλλ=∆∆∆AOB AOC BOC S S S ． 二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：H ABC HA HB HB HC HC HA H ABC ∆⋅=⋅=⋅⇔∆若为所在平面内一点，则是的垂心为三角形垂心故同理，有证明：H AB HC CB HA AC HB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：22222222222222H ()()ABC HA BC HB AC HC AB H ABC HA BC HB CA HA HB HC HB HC HA HB HC HC HAHA H ∆+=+=+⇔∆+=++-=+-⇔⋅=⋅⋅若为所在平面内一点，则是的垂心证明：由得，同理可证得，3B HB HC HC HA =⋅=⋅由结论可知命题成立例题9 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．【解析】 由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.例题10 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AC C AB B λ⎛⎫⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭， (0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．A图⑶图⑷【解析】 由题意cos cos AB AC AP AC C AB B λ⎛⎫⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由于0cos cos AB AC BC AC C AB B λ⎛⎫⎪+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷. 三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。

用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：命题成立证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆ 结论6：)()()O ABC OA OB BA OB OC CB OC OA AC O ABC ∆+⋅=+⋅=+⋅⇔∆若是所在平面内一点，则（是的外心222222222222()()()()()OA OB BA OA OB OA OB OA OB OB OC CB OB OC OC OA AC OC OAOA OB OB OC OC OA OA OB +⋅=+-=-∴+⋅=-+⋅=--=-=-⇒=证明：故OC O ABC =∆故为的外心例题11 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心．【解析】 若222OA OB OC ==，则222OA OB OC ==，∴OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心，如图⑺。