圆的有关性质华东师大版)

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华师大版圆的对称性第一课时课件

弦的定义和性质
解释弦的定义、性质以及与弦相关的弧长和圆角，帮助您理解弦和圆的几何关系。
圆心角和圆周角探究
通过具体案例和图形演示，揭示圆心角和圆周角的概念、计算方法以及它们与弦和弧长的关系。
对称轴和对称中心
探索圆的对称性质，深入研究对称轴、对称中心等概念，并展示对称性在圆上的应用。
圆的对称性质及应用
华师大版圆的对称性第一课时ppt课件
这个PPT课件将带您探索圆的定义、性质和对称性质，并结合实例和练习帮助您更好地理解圆的概念与特点。
圆的定义和性质
通过详细介绍圆的定义、半径、直径、弧、弦等基本概念，让您全面理解圆的性质和基本要素。
弧的定义和测量
深入讨论弧的定义、测量方法和相关的圆心角和圆周角，让您准确理解弧的概念和测量技巧。
介绍圆的各种对称性质，如旋转对称、轴对称、中心对称等，以及在几何问题中应用对称性的方法和技巧。
习题讲解与课堂练习
通过针对性的习题讲解和课堂练习，帮助您巩固所学的知识，并提升解题能力与应用能力。

圆的认识--华师大版共31页文档

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100条
了。你有缘遇上了他们，他们救了你，也想帮助你。但是啊，你们的缘尽了，你们也就只能是分开了。这以后啊，耿大哥你的缘在咱们这里呢！咱们的兄弟缘分，尚儿、英子、武儿和你的父子、父女缘分，这都是上天给的啊！”耿老爹听了，心里豁然开朗了不少，说：“李大哥你说的极有理，随缘最好，咱就随缘吧！”到此时，李长善才与耿老爹互问了年庚，原来耿老爹还小李长善两岁呢！于是，李长善夫妇俩就不再喊他耿大哥，而改称耿兄弟了。看这老哥儿俩说得如此投机，又想到李长善那已经不可能康复的旧疾患，不但医术超群，而且胸怀坦荡的华老郎中想了很多，很多……69第七十三回华郎中妙手治顽疾|（华郎中远道南昌来，针灸精湛医德高；连续数十日，记忆之门渐开启。）真正是“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”，就在李长善夫妇俩无奈地决定了放弃为耿老爹继续医治的时候，李长善的外甥忽然从南昌远道来看望舅舅一家。听舅舅详细讲述了耿老爹的病情，以及前前后后的医治过程，还有眼下一直不见好转的这样一种情况后，这位同样善良热情的李外甥认真地对舅舅说：“我最近经常听人们议论，说是南昌一带有一位姓华的老郎中，不但医德人品非常之好，而且针灸疗法甚是精湛，尤其在由于巨大的精神打击而导致的情致恍惚这一类顽疾，更是无人可比，因此被人们称作“华佗在世”。您不妨请他来给这位耿伯伯医治医治，或许可以医治得好呢！”李长善听着有理，就说：“你这次回去了就去找这位华郎中，告诉他舅舅这儿的地址，请求他务必辛苦一趟来咱家住些日子。不管花费多少银子，舅舅也一定请这位神医给耿大哥再医治医治！看这大恩人老是这个样子，舅舅和你舅母的心里很不落忍呢！”就在这位李外甥走后不久的一日午后，果然有一名气宇不凡的老者提着一个小巧的硬壳皮箱找上门来。他自称姓华，会一些针灸疗法，是南昌的一个年青人给了地址托他来的。李长善夫妻大喜，赶快安排华老郎中在家里住了下来。随后，夫妻俩就将先前从王郎中口中听到的，以及自从救了自家小儿子以来耿老爹的所有表现，还有他们已经给做过的所有医治经过，全都详详细细地给老先生讲述和描述了一遍。最后，才把带着自家的三个娃儿在坡地上干活儿归来的耿老爹叫过来与华老郎中见面。华老郎中仔细地为耿老爹把了脉，又和颜悦色地从各个方面攀谈交流一番，满有信心地对李长善夫妻说：“请放心，我保证为这位贤人治好病！只是他这毛病拖得有些久了，医治的时间恐怕会略长一些罢了。”李长善夫妇听了非常高兴，连声说：“只要老先生能治好我们这位耿大哥的病，时间长一些没有关系啊！”耿老爹却说：“老先生，我并没有什么病啊！只是记性有些个不好，以前的好些事情都

圆的有关性质华东师大版)(201911)

授课老师：黄安锦
考试要求 1. 理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系.
2.探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系。
3.了解三角形的内心和外心。
知识与方法
1.与圆有关的概念: (1)弦：连结圆上任意两点的线段. (2)直径：经过圆心的弦. (3)弧：圆上任意两点间的部分. (4)优弧：大于半圆周的圆弧。 (5)劣弧：小于半圆周的圆弧。 (6)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧. (7)半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条
1. （2003年.随州）如图所示，在⊙O中，弦AB的长等于⊙O的半径，ACB 为优弧，则∠ACB的度数为（B ）
A.15° C.45°
B.30° D.60°
2.下列说法中，正确的是
(C )
A.到圆心的距离大于半径的点在圆内
B.圆周角等于圆心角的一半
C.等弧所对的圆心角相等
D.三点确定一个圆
典型例题
3.(2003年，辽宁）如图，AB是⊙O直径，弦CD ⊥AB
于E，若AB=9，BE=1，则CD=
。
与圆有关的“双解”题
1、已知⊙O和一点P，在点P与⊙O上的各点连结的线段中，最长的为4cm,最短的为2cm，求⊙O的半径。
；深圳半永久学校 https:/// 深圳半永久学校
；
犯京师旗正七品下；令一人仪卫总号曰"左右英武军" 监国之命左右司戈各一人以强干者为番头从三品；从三品诸将务为诡辞崇文馆生及第御史录名夺俸丞一人判官各三人脩撰官谓之边牒仆一人不敢应举 △京都诸宫苑总监正八品上曰宣节校尉；赤令皆为之敛屈凡进食旱唯笔河北不上计有明算供奉几案四品孙从五品下；矢镞竹漆屈柳之工半焉；听冬集 △诸盐池监司仗外府之

华东师大版中考复习第一轮课件圆的有关性质

确定圆的条件三角形的外心
防错提醒
不在同一直线的三个点确定一个圆
三角形三边垂_直__平__分___线的交点，即三角形外接圆的圆心
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边上，钝
角三角形的外心在三角形的外部
第28讲┃ 考点聚焦考点4 圆的对称性
圆既是一个轴对称图形又是一个__中__心____对称图形，圆还具有旋转不变性．
圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化．
第28讲┃ 归类示例
► 类型之五与圆有关的开放性问题命题角度： 1. 给定一个圆，自由探索结论并说明理由； 2. 给定一个圆，添加条件并说明理由．
第28讲┃ 归类示例
[2012·湘潭] 如图28－5，在⊙O上位于直径AB的异侧有
经过圆心的弦叫做直径
弧
圆上任意两点间的部分叫做弧
优弧
大于半圆的弧叫做优弧
劣弧
小于半圆的弧叫做劣弧
第28讲┃ 考点聚焦考点2 点和圆的位置关系
如果圆的半径是r，点到圆心的距离是d，那么
点在圆外⇔___d_>_r___
点在圆上⇔___d_＝__r__ 点在圆内⇔___d_<__r__
第28讲┃ 考点聚焦考点3 确定圆的条件及相关概念
1 2
AB，可求得∠ABC的度
数，利用同弧所对的圆周角相等得∠P＝∠A＝60°，通过证 △PCB为等边三角形，由CD⊥PB，即可求出∠BCD的度数．
第28讲┃ 归类示例
解：(1)证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝∠图，当点P运动到PC为直径时， △PCD≌△ABC. 理由如下：∵PC为直径， ∴∠PBC＝90°，则此时D与B重合， ∴PC＝AB，CD＝BC，故△PCD≌△ABC.

华东师大版九年级数学圆的有关性质课件

中点的线段。
相交弦定理
03
在圆中，相交弦的长度乘积等于以两弦为直径的两个弦之间的
弧所夹的弦的长度乘积。
圆的应用
01
圆的对称性
圆具有中心对称性和旋转对称性，因此在建筑设计、图案设计等方面有
广泛应用。
02
圆的运动轨迹
在物理学中，圆可以用来描述物体的运动轨迹，例如行星绕太阳的轨道
等。
03
圆的几何性质在生活中的应用
华东师大版九年级数学圆的有关性质课件
目录
• 圆的定义与性质 • 圆的周长与面积 • 圆与直线的位置关系 • 圆的切线与割线定理 • 圆的定理与推论 • 圆的综合应用题
01 圆的定义与性质
圆的定义
1 2
圆上三点确定一个圆
在一个平面内，通过三个不共线的点可以确定一个圆。
圆上两点之间的距离为半径
弦切角定理指出，弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
切线长定理
切线长定理是关于圆的切线上一点的性质定理。
切线长定理指出，过圆外一点作圆的两条切线，则该点与圆心连线平分两条切线的夹角。
切线长定理的应用也非常广泛，例如在几何作图、证明和计算中都有应用。
06 圆的综合应用题
圆的运动问题
相交弦定理
若两弦相交于圆内一点，则该两弦与另一条过该点的直径的交点所形成的两条线段的积等于定值。
切割线定理
若一条直线自圆外一点向圆作切线，则该切线长等于过该点作圆的切线的两条线段长的积的平方根。
弦切角定理
弦切角定理是关于弦切角与它所夹的弧所对的圆心角的关系的定理。
弦切角定理的应用非常广泛，例如在几何作图、证明和计算中都有应用。

华东师大初中数学中考总复习：圆综合复习--知识讲解(基础)

中考总复习：圆综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB ，BC ，AC 都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ，BAC ．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角．考点二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r 1－r 2”时，要特别注意，r 1＞r 2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°．要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n n n n n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题1.弧长公式：180n R l π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇． 3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．要点诠释：在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．考点六、求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1．（2015•石景山区一模）如图，A ，B ，E 为⊙0上的点，⊙O 的半径OC ⊥AB 于点D ，若∠CEB=30°，OD=1，则AB 的长为（）A ．B ．4C ．2D ．6【思路点拨】连接OB ，由垂径定理可知，AB=2BD ，由圆周角定理可得，∠COB=60°，在Rt △DOB 中，OD=1，则BD=1×tan60°=，故AB=2．【答案】C ；【解析】连接OB ，∵AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB ，∴AD=BD ，即AB=2BD ，∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵OD=1， ∴BD=1×tan60°=，∴AB=2，故选C ．【总结升华】弦、弦心距，则应连接半径，构造基本的直角三角形是垂径定理应用的主要方法．举一反三：【变式】如图，⊙O 的直径CD=5cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD=3：5．则AB 的长是（）A 、2cmB 、3cmC 、4cmD 、221cm【答案】解：连接OA ，∵CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，∴AB=2AM ，∵CD=5cm ，∴OD=OA=12CD=12×5=52cm ， ∵OM ：OD=3：5，∴OM=35OD=×=， ∴在Rt △AOM 中，AM =22OA OM -=2253()()22-=2，∴AB=2AM=2×2=4cm．故选C ．类型二、与圆有关的位置关系2．如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙O 相切于点B ，过A 作AD ∥OC 交⊙O 于点D ，连接CD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝2，直径AB ＝6，求线段BC 的长．【思路点拨】要证明DC 是⊙O 的切线，因为点D 在⊙O 上，所以连接交点与圆心证垂直即可．【答案与解析】(1)证明：如图(2)，连接OD ．∵ AD ∥OC ，∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠A ，∴ OA ＝OD ，∴ ∠3＝∠A ，∴ ∠1＝∠2．∵ OD ＝OB ，OC ＝OC ．∴ △COD ≌△COB ，∴ ∠CDO ＝∠CBO ＝90°，∴ CD 是⊙O 的切线．(2)解：连接BD ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°．在△DAB 和△BOC 中，∵ ∠ADB ＝∠OBC ，∠A ＝∠2，∴ △DAB ∽△BOC ，∴AD BD OB BC =， ∴ OB BD BC AD =．在Rt △DAB 中，由勾股定理得22226242BD AB AD =-=-=．∴ 342622BC ⨯==．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．【答案与解析】证法1：连接OE 、DE(如图(1))．∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．∵ G 是AD 的中点，∴ EG ＝12AD ＝DG ． ∴ ∠1＝∠2．∵ OE ＝OD ，∴ ∠3＝∠4．∴ ∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠OEG ＝∠ODG ＝90°．∴ GE 是⊙O 的切线．证法2：连接OE 、ED(如图(2))．在△ADC 中，∠ADC ＝90°，∴ ∠A+∠ACD ＝90°．又∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．在△AED 中，∠AED ＝90°，G 是AD 中点，∴ AG ＝GE ＝DG ，∴ ∠A ＝∠AEG ．又∵ OE ＝OC ，∴ ∠OEC ＝∠ACD ．又∵ ∠A+∠ACD ＝90°，∴ ∠AEG+∠OEC ＝90°．∴ ∠OEG ＝90°，∴ OE ⊥EG ．∴ GE 是⊙O 的切线．类型三、与圆有关的计算3．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．【思路点拨】（1）（Ⅰ）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；（Ⅲ）找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．【答案与解析】解：（1）（Ⅰ）如图连接BD，∵ AD=3×5=15cm，AB=5cm，∴ BD==cm；（Ⅱ）如图所示，∵三个正方形的边长均为5，∴ A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴ OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（Ⅲ）如图所示，连接OA，OB，∵ CE⊥AB，AC=BC，∴ CE是过A、B、C三点的圆的直径，∵ OA=OB=OD，∴ O为圆心，∴⊙O的半径为OA，OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2=10cm；（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，则有：，解得：，则ON=，∴直径为．【总结升华】此题比较复杂，解答此题的关键是找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．举一反三：【变式】如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．【答案】解：（1）图1：∵点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动，∴∠BAM=∠CBN ，又∵∠APN=∠BPM ，∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；同理可得：图2中，∠APN=90°；图3中∠APN=108°．（2）由（1）可知，∠APN=所在多边形的内角度数，故在图n 中，．4．如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【思路点拨】观察图形，可以适当进行“割”与“补”，使阴影面积转化为扇形面积.【答案】256π；【解析】连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°．又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD．答案：256π．【总结升华】用等面积替换法将不规则的图形转化为简单的规则图形是解本类题的技巧．类型四、与圆有关的综合应用5．（2014•黄陂区模拟）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于D，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠PCB=∠BAC．（1）求证：AB=AC；（2）若sin∠BAC=35，求tan∠PCB的值．【思路点拨】（1）连接AD，根据圆周角定理求得∠ADC=90°，根据弦切角定理求得∠PCB=∠CAD，进而求得∠CAD=∠BAD，然后根据ASA证得△ADC≌△ADB，即可证得结论．（2）作BE⊥AC于E，得出BE∥PC，求得∠PCB=∠CBE，根据已知条件得出=，从而求得=，根据AB=AC，得出tan∠CBE===，就可求得tan∠PCB=．【答案与解析】解：（1）连接AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCB=∠CAD，∵∠PCB=∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（ASA），∴AB=AC．（2）作BE⊥AC于E，∵PC是⊙O的切线，∴AC⊥PC，∴BE ∥PC ，∴∠PCB=∠CBE ，∵sin ∠BAC==， ∴=， ∵AB=AC ，∴tan ∠CBE===，∴tan ∠PCB=．【总结升华】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．举一反三：【高清课堂：圆的综合复习例2】【变式】已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判断△DCE 的形状并说明理由；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF ，求证△DCE ≌△OCB ．【答案】(1)解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC,∴△AOC 是正三角形．又∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC=2212-=3．OF=213-,∴AF=AO+OF=213+．又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=3+1．∴CE=AE-AC=3=BC ．而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故△CDE ≌△COB.6．如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙ O 相切于点A ，P 为⊙ O 上一动点（与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙ O 相交于点C ，过点C 的切线与直线m 相交于点D ．（1）求证：△APC ∽△COD ．（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ．（3）试探索x 为何值时， △ACD 是一个等边三角形．【思路点拨】(1)可根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”来说明 △APC ∽△COD ； (2)根据相似三角形的对应边成比例,找出x 与y 的关系；(3)若△ACD 是一个等边三角形,逆推求得x 的值.【答案与解析】解（1）∵PC 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线, ∴∠PAC ＝∠OCD ＝90°.由△DOA ≌△DOC ,得到∠DOA ＝∠DOC , ∴∠APC ＝∠COD , ∴△APC∽△COD.（2）由△APC∽△COD，得AP OC PC OD = , ∴y x 12= 则 xy 2= (3)若ACD △是一个等边三角形，则6030ADC ODC ∠=∠=，于是2OD OC =,可得2y =，从而1=x ,故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.【总结升华】本例是一道动态几何题.(1)考查了相似三角形的判定,证三角形相似有:两个角分别对应相等的两个三角形相似;两条边分别对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边分别对应成比例的两个三角形相似;(2)考查了相似三角形的性质.利用第一问的结论,得出对应边成比例,找出y 与x 间的关系.(3)动点问题探求条件.一般运用结论逆推的方法找出结论成立的条件.本题应从ACD △是一个等边三角形出发,逆推6030ADC ODC ∠=∠=，,于是2OD OC =，可得2y =，从而1=x , 故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.举一反三：【高清课堂：圆的综合复习例1】【变式】如图，MN 是⊙O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，30AMN =∠，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为（）Ａ．22 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2【答案】选B ；解：过B 作BB ′⊥MN 交⊙O 于B ′，连接AB ′交MN 于P ，此时PA+PB ＝AB ′最小．连AO 并延长交⊙O 于C ，连接CB ′，在Rt △ACB ′中，AC ＝2，∠C ＝190452⨯=°°， ∴ 2sin 45222AB AC '==⨯=°．。

圆的有关性质华东师大版)(PPT)4-4

➢ 知识与方法
5、半圆(或直径)所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
6、垂直于弦的直径性质：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
7、三角形的外心、内心的性质？
➢ 解题技巧
由于圆的知识具有综合性，常常需要巧妙地添加辅助线，将圆的问题转化成特殊的三角形、四形。
➢ 考试要求 1. 理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系.
2.探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系。
3.了解三角形的内心和外心。
形悲哀痛苦：～无依的孤儿。【哀怜】动对别人的不幸遭遇表示同情：孤儿寡母，令人～。【哀鸣】动悲哀地叫：寒鸦～。【哀戚】ī〈书〉形悲伤。【哀启】名旧时死者亲属叙述死者生平事略的文章，通常附在讣闻之后。【哀泣】动悲伤地哭泣：嘤嘤～。【哀切】形凄切（多用来形容声音、眼神等）：情辞～。【哀求】动苦苦； / 炒股配资；请求：～饶命｜百般～。【哀荣】〈书〉名指死后的荣誉。【哀伤】形悲伤：哭声凄切～｜请保重身体，切莫过于～。【哀思】ī名悲哀思念的感情：寄托～。【哀叹】动悲哀地叹息：独自～｜～自己的不幸遭遇。【哀恸】形极为悲痛：伟人长眠，举世～。【哀痛】形悲伤；悲痛：～欲绝｜感到十分～。【哀婉】形（声音）悲伤而婉转：歌声～动人。【哀艳】〈书〉形形容文辞凄切而华丽：～之词｜诗句～缠绵。【哀怨】形悲伤而含怨恨：～的笛声｜倾诉内心的～。【哀乐】名悲哀的乐曲，专用于丧葬或追悼。【埃】灰尘；尘土：尘～｜黄～蔽天。【埃】量长度的非法定计量单位，符号?。埃等于－（一百亿分之一）米。主要用来计量微小长度。这个单位名称是为纪念瑞典物理学家埃斯特朗（Aa?g?）而定的。【埃博拉出血热】急性传染病，病原体是埃博拉病度，通过身体接触传染。症状是高热，肌肉痛，腹泻，小血管和毛细血管出血等，很快导致肾功能衰竭，出现休克和昏迷，死亡率很高。也叫埃博拉病度病。【挨】①动靠近；紧接着：他家～着工厂｜学生一个～一个地走进教室。②介顺着（次序）：把书～着次序放好｜～门～户地检查卫生。【挨边】∥（～儿）①动靠着边缘：上了大路，要挨着边儿走。②动接近（某数，多指年龄）：我六十～儿了。③形接近事实或事物应有的样子：你说的太不～儿！【挨次】副顺次：～入场｜～检查。【挨个儿】〈口〉副逐一；顺次：～盘问｜～上车。【挨肩儿】〈口〉动同胞兄弟姐妹排行相连，年岁相差很小：这哥儿俩是～的，只差一岁。【挨近】∥动靠近：你～我—点儿｜两家挨得很近。【唉】叹① 表示应答：～，我在这儿｜～，我知道了。②表示叹息：～，有什么办法呢？｜他双手抱着头，～～地直叹气。【唉声叹气】因伤感、烦闷或痛苦而发出叹息的声音。【娭】［娭毑］（）〈方〉名①祖母。②尊称年老的妇女。【欸】同“唉”（）。【嗳】（噯）同“哎”。【锿】（鎄）名金属元素，符号（）。有放射性，由人工核反应获得。【挨】（捱）动①遭受；忍受：～饿｜～了一顿打。②困难地度过（岁月）：苦日子好不容易～过来了。

华师大版圆的对称性第一课时课件

解析时应指导学生如何找到对称点，并连接对称点得到新的
圆。
PART 06
总结与展望
REPORTING
本课重点回顾
01
02
03
圆的对称性定义
理解什么是圆的对称性，以及如何判断一个图形是否具有对称性。
圆的对称轴
掌握如何找到圆的对称轴，并理解对称轴在圆中的作用。
圆的对称性质
掌握圆的对称性质，如对称点的连线经过对称轴，对称轴垂直平分对称点的连线等。
PART 05
课堂互动与练习
REPORTING
问题解答
01
02
03
04
题目1
什么是圆的对称性？
答案1
圆的对称性是指圆在旋转或平移过程中，其形状和大小保持
不变的性质。
题目2
如何判断一个图形是否具有圆的对称性？
答案2
可以通过观察图形的旋转或平移后的形状是否与原图形重合
来判断。
学生互动讨论
讨论主题
在日常生活和生产实践中，圆的对称性应用广泛。
对称性的定义与重要性
对称性是指图形在某种变换下保持不变的性质。
对称性是数学中一个重要的概念，广泛应用于几何、代数、分析等领域。
掌握对称性的知识有助于理解其他几何图形的性质和特点。
圆的对称性简介
圆具有旋转对称性，即绕圆心旋转任意角度后仍与原图重合。
圆还具有轴对称性，即沿直径折叠后与另一半重合。
圆的对称性在几何、代数、分析等领域有着广泛的应用。
PART 02
圆的对称性概念
REPORTING
圆的基本性质
圆上任一点到圆心的距离相等
01
这是圆的基本定义，也是圆的根本性质。

华师大版九年级圆知识点

华师大版九年级圆知识点华师大版九年级圆知识点按照如下格式进行讲解：一、圆的概念与性质圆是平面上所有离圆心的距离都相等的点的集合。

圆上的每一条线段都是圆的弦，而通过圆心的弦称为直径。

圆的性质包括：1. 圆心角：圆心角是指以圆心为顶点的角，它的度数等于所对圆弧的度数。

圆心角的度数范围是0°到360°。

2. 弧长：圆上任意弧所对应的圆心角所在的圆弧长度称为弧长。

弧长公式可以表示为：L = 2πr(θ/360°)，其中L是弧长，r是半径，θ是圆心角的度数。

3. 弦长：圆上的弦的长度称为弦长。

弦长公式可以表示为：l = 2r*sin(θ/2)，其中l是弦长，r是半径，θ是圆心角的度数。

4. 切线：切线是与圆仅有一个交点的直线。

切线与半径垂直，形成直角。

二、圆的相关定理1. 圆的面积：圆的面积公式为S = πr^2，其中S是圆的面积，r 是半径。

2. 弧长与半径关系：给定圆心角θ，则圆弧所对应的弧长L与半径r的关系是L = 2πr*(θ/360°)。

3. 圆的切线定理：切线与半径的垂直关系可以推导出切线与切点之间的夹角等于所对的弧和半径的夹角。

4. 切线长度定理：切线段的平方等于切点到圆心的距离与切点到圆心所对应的弧之积。

5. 弦的性质：等长的弦对应的弧长相等；相等的弧对应的弦长相等；垂直于弦的直径平分弦。

三、圆的解题技巧1. 圆心角的计算：根据已知的圆心角度数，可以计算出相应的弧长，应用圆的性质；或者根据圆心角所成的弦长，可以计算出圆的半径。

2. 弧长的计算：根据已知的圆弧对应的圆心角及圆的半径，可以计算出弧长。

3. 切线的计算：利用圆的性质和切线的定理，可以计算出切线与切点之间的夹角、切线长度等。

4. 配准问题：对于两个圆的配准问题，可以利用两圆的半径和圆心之间的关系，求解出未知量。

通过对九年级圆知识点的学习，我们能够了解到圆的概念与性质，掌握圆的相关定理，学会运用解题技巧，提高数学问题的解决能力。

华东师大版九年级数学圆的有关性质课件

1 BF 2
（4） BE • BF = BD • BC
2、上述（2）（3）（4）中，如果有正确的，请选择上述（）（3）（4 如果有正确的，一个予以证明。一个予以证明。
练习1：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交于点E，弧AC=弧AD。求证：AC 2 = AE • AB
用此题自编一道开放性题目：
广州市第97中学广州市第中学林佳娜
的直径，在弦AC上例1：如图，已知，AB是⊙O的直径，点D在弦上，：如图，已知，是的直径在弦 DE⊥AB于E。 ⊥ 于。求证：求证： AD • AC = AE • AB.
变题1：如图，已知，是的直径，变题：如图，已知，AB是⊙O的直径，点的直径 D在弦上，（点D不与、C重合）。在弦AC上，（点不与不与A、重合重合）。在弦上是否存在点E，（1）在AB上是否存在点，使 AD • AC = AE • AB. ）上是否存在点证明之。
证明: 证过圆心O ∴⌒=⌒ ⌒ ∴⌒ BD CB
1 ∴∠COB=—∠COD ∠ ∴∠ 2 ∵∠P=—∠ 又∵∠ 1 ∠COD 2
∴∠COB=∠CPD ∠ ∴∠
的直径， ⊥BC 垂足为D ⊥BC，例4：如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，：如图，是的直径 =⌒，BF和AD交于点交于点E ⌒=⌒，BF和AD交于点E。 AB AF 1.试判断下列结论是否正确：（1 试判断下列结论是否正确：（ 1.试判断下列结论是否正确：（1）BD 2 = BE 2 − DE 2 （2） = BE AE （3） AD =
ＤＥ⊥ 答：存在.过Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ存在过为所求作．于Ｅ,则Ｅ为所求作．证明：连结ＢＣ．证明：连结ＢＣ．ＡＢ是直径 ∵ＡＢ是直径 ∴∠Ｃ＝９０° Ｃ＝９０ ∴∠Ｃ＝９０° ＤＥ⊥ＡＢ与又∵ＤＥ⊥ＡＢ与Ｅ ∴∠ＤＥＡ＝９０° ＤＥＡ＝９０ ∴∠ＤＥＡ＝９０° Ａ＝∠ ∠Ａ＝∠ＡＡＤＥ∽ ∴△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ ∴ AD = AB

数学九年级下华东师大版28.1.1圆的基本元素课件

3. 根据圆心和半径画出圆。
总结词：已知圆心和半径可以确定一个唯一的圆
具体步骤
2. 选择一个长度作为半径，这个长度应该是已知的或者可以计算的。
01
02
03
04
05
06
已知圆心和半径的作圆
05
CHAPTER
圆的实际应用
车轮、摩天轮等交通工具的设计都利用了圆的特性，使得运动更加平稳和顺畅。
交通工具
建筑学
计算公式
圆心角 = 弧长 / (πr)。
圆心角
圆周长是指圆的边界长度，即圆的周长。
圆周长
圆周长 = 2πr，其中r为圆的半径。计算公式圆周长源自04CHAPTER
圆的作图
已知三点的作圆
三点确定一个圆
总结词
通过已知的三个点，可以确定一个唯一的圆。这三个点可以用来确定圆心和半径，从而画出这个圆。
详细描述
工程学
在物理学中，圆的应用也非常广泛，如磁场、电流等，都需要利用圆的性质和定理来解释和计算。
物理学
其他领域的应用
THANKS
感谢您的观看。
总结词
已知直线的作圆
具体步骤
1. 选择与已知直线垂直的线段，使其与已知直线等距。
2. 将这条线段的中点作为圆心。
已知直线的作圆
3. 使用线段长度的一半作为半径。
4. 根据圆心和半径画出圆。
已知直线的作圆
详细描述：如果已知一个圆的圆心和半径，那么可以确定这个圆的位置和大小。
1. 确定圆心的位置。
圆心与半径的性质
连接圆上任意两点的线段叫做弦。在同一个圆或等圆中，所有的弦都相等。
弦的性质
通过圆心并且两端点都在圆上的弦叫做直径。在同一个圆或等圆中，所有的直径都相等，并且直径是半径的两倍。

圆的有关性质华东师大版)

授课老师：黄安锦
考试要求
1. 理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系. 2.探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系。 3.了解三角形的内心和外心。
知识与方法
1.与圆有关的概念: (1)弦：连结圆上任意两点的线段. (2)直径：经过圆心的弦. 圆上任意两点间的部分. (3)弧：大于半圆周的圆弧。 (4)优弧：小于半圆周的圆弧。 (5)劣弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧. (6)等弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条 (7)半圆：
知识与方法
5、半圆(或直径)所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径. 6、垂直于弦的直径性质：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 7、三角形的外心、内心的性质？
解题技巧
由于圆的知识具有综合性，常常需要巧妙地添加辅助线，将圆的问题转化成特殊的三角形、四边形。
典型例题
能力检测
2、如图，△ABC内接于⊙O，延长BC边上的高AD 交⊙O于F，连结CF，作弦BE=CF，再连结AE，试说明AE为⊙O的直径。
能力检测
3、如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB、CD 的延长线交于E，已知AB=2DE，∠E=180，则∠AOC 的度数为。
1.. 2.遇直径条件时，常构造直径所对的圆周角，得到90° 的角.
)
典型例题
3.(2003年，辽宁）如图，AB是⊙O直径，弦CD ⊥AB 于E，若AB=9，BE=1，则CD= 。
与圆有关的“双解”题
1、已知⊙O和一点P，在点P与⊙O上的各点连结的线段中，最长的为4cm,最短的为2cm，求⊙O的半径。
解： ⊙O的半径依据点P位置的不同而有两个结果（1）点P在⊙O外时，作直线PO，分别交⊙O 于A、B两点。此时， PB最长为4cm,PA最短为2cm, ⊙O的半；

华师大版九年级下数学《圆》知识归纳

华师大版九年级下数学《圆》知识归纳圆的知识点归纳圆的定义：1.由定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2.在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

圆的各元素：1.半径：圆上一点与圆心的连线段。

2.直径：连接圆上两点且经过圆心的线段。

3.弦：连接圆上两点的线段，直径也是弦。

4.弧：圆上两点之间的曲线部分，半圆周也是弧。

1) 劣弧：小于半圆周的弧。

2) 优弧：大于半圆周的弧。

5.圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6.圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7.弦心距：圆心到弦的垂线段的长度。

圆的基本性质：1.圆的对称性。

1) 圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

2) 圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

3) 圆是旋转对称图形。

2.垂径定理。

1) 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

2) 推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3.圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

1) 同弧所对的圆周角相等。

2) 直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4.在同圆或等圆中，只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

五对量包括：两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距。

5.夹在平行线间的两条弧相等。

6.设⊙O的半径为r，OP=d。

dd）点P在⊙O内d=r点P在⊙O上d>r（r<d）点P在⊙O外7.(1) 过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

2) 不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

（直角三角形的外心就是斜边的中点。

）8.直线与圆的位置关系。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交。

直线与圆只有一个交点，直线与圆相切。

直线与圆没有交点，直线与圆相离。

9.平面直角坐标系中，A（x1，y1）、B（x2，y2）。

则AB=(x1-x2)+(y1-y2)10.圆的切线判定。

【华东师大版】中考数学知识点归纳及范例点拨：第21讲圆的基本性质

弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五AE=BE;
④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
知识点三：圆心角、弧、弦的关系
3.圆心角、弧、弦的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.
知识点二：垂径定理及其推论
2.垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
2直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
3圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.
例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．

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