高等数学下册期末试题

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高等数学下期末试题(七套附答案)

高等数学下期末试题(七套附答案)

⾼等数学下期末试题(七套附答案)⾼等数学(下)试卷⼀⼀、填空题(每空3分,共15分)(1)函数的定义域为(2)已知函数,则(3)交换积分次序,=(4)已知是连接两点的直线段,则(5)已知微分⽅程,则其通解为⼆、选择题(每空3分,共15分)(1)设直线为,平⾯为,则() A. 平⾏于 B. 在上 C.垂直于D. 与斜交(2)设是由⽅程确定,则在点处的() A.B.C. D.(3)已知是由曲⾯及平⾯所围成的闭区域,将在柱⾯坐标系下化成三次积分为() A. B. C.D.(4)已知幂级数,则其收敛半径()A.B. C.D.三、计算题(每题8分,共48分)1、求过直线:且平⾏于直线:的平⾯⽅程2、已知,求,3、设,利⽤极坐标求4、求函数的极值5、计算曲线积分,其中为摆线从点到的⼀段弧 6、求微分⽅程满⾜的特解得分阅卷⼈四.解答题(共22分)1、利⽤⾼斯公式计算,其中由圆锥⾯与上半球⾯所围成的⽴体表⾯的外侧2、(1)判别级数的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;()(2)在求幂级数的和函数()⾼等数学(下)试卷⼆⼀.填空题(每空3分,共15分)(1)函数的定义域为;(2)已知函数,则在处的全微分;之间的⼀段弧,则;(5)已知微分⽅程,则其通解为 .⼆.选择题(每空3分,共15分)(1)设直线为,平⾯为,则与的夹⾓为();A. B. C. D.(2)设是由⽅程确定,则(); A.B.C. D.(3)微分⽅程的特解的形式为(); A.B.C. D.(4)已知是由球⾯所围成的闭区域, 将在球⾯坐标系下化成三次积分为(); A B.C.D.(5)已知幂级数,则其收敛半径().B. C.D.三.计算题(每题8分,共48分)得分阅卷⼈5、求过且与两平⾯和平⾏的直线⽅程.6、已知,求,.8、求函数的极值.得分9、利⽤格林公式计算,其中为沿上半圆周、从到的弧段.6、求微分⽅程的通解.四.解答题(共22分)1、(1)()判别级数的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;(2)()在区间内求幂级数的和函数 .2、利⽤⾼斯公式计算,为抛物⾯的下侧⾼等数学(下)模拟试卷三⼀.填空题(每空3分,共15分)1、函数的定义域为.2、= .3、已知,在处的微分 .4、定积分 .5、求由⽅程所确定的隐函数的导数 .⼆.选择题(每空3分,共15分)1、是函数的间断点(A)可去(B)跳跃(C)⽆穷(D)振荡2、积分= .(A) (B)(C) 0 (D) 13、函数在内的单调性是。

高等数学(下册)期末复习试题及答案

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题(共21分 每小题3分)1.曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z .2.直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π. 3.设函数22232),,(z y x z y x f ++=,则=)1,1,1(grad f }6,4,2{.4.设级数∑∞=1n n u 收敛,则=∞→n n u lim 0.5.设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+.6.全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 Cxy =.7.写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*.二、解答题(共18分 每小题6分)1.求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程.解:设所求平面的法向量为n,则{}3,2,1111121=--=k j i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2.将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分,其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域.解: πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ (6分)3.计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22,其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题(共35分 每题7分)1.设vue z =,而22y x u +=,xy v =,求z d .解:)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2.函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定,求yzx z ∂∂∂∂,.解:令xyz e z y x F z-=),,(, (2分)则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F zz -= (5分)xye yzF F x z zz x -=-=∂∂, xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂. (7分) 3.计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ,其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段.解:添加有向辅助线段OA ,有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ,根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)ππ=-⋅=022 (7分)4.设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关,其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ,求)(x f .解: 由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+, 即xe xf x f =-')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=, (6分) 代入初始条件,解得1=C ,所以)1()(+=x e x f x . (7分)5.判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性.解: 因为 )!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛. (7分)四、(7分)计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ,其中∑是上半球面221z y x --=的上侧.解:添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ,取下侧,则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=. (7分)五、(6分)在半径为R 的圆的内接三角形中,求其面积为最大的三角形.解:设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,,则π2=++z y x ,且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=, 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x .此时,其边长为R R 3232=⋅. 由于实际问题存在最大值且驻点唯一,故当内接三角形为等边三角形时其面积最大. (6分)六、(8分)求级数∑∞=1n nnx 的收敛域,并求其和函数.解: 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ,故收敛半径为1=R . (2分) 当1-=x 时,根据莱布尼茨判别法,级数收敛; 当1=x 时, 级数为调和级数,发散.故原级数的收敛域为)1,1[-. (5分)设和为)(x S ,即∑∞==1)(n nnx x S ,求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11, (6分) 再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=,)11(<≤-x (8分) 七、(5分)设函数)(x f 在正实轴上连续,且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立.如果3)1(=f ,求)(x f . 解:等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立.令1=y ,且因3)1(=f ,故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(. (3分)由于上式右边可导,所以左边也可导.两边求导,得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f .故通解为 C x x f +=ln 3)(.当1=x 时,3)1(=f ,故3=C . 因此所求的函数为 )1(l n 3)(+=x x f . (5分)八. (5分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程. 解1:由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解,xxe 是非齐次方程的一个特解,故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式,得x x xe e x f 2)(-=,因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2:由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解,xxe 是非齐次方程的一个特解,故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解,从而有 x x x x e C e C xe e y --++='2212,x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ,得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题(共30分 每小题3分)1.xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x .2.设函数22),,(z yz x z y x f ++=,则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--.3.直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π. 4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分,则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰-22120d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ.5. 设L 是圆周22x x y -=,取正向,则曲线积分=+-⎰Ly x x y d dπ2.6. 幂级数∑∞=--11)1(n nn n x 的收敛半径1=R .7.设级数∑∞=1n n u 收敛,则=∞→n n u lim 0.8.设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π.9.全微分方程0d d =+y y x x 的通解为Cxy =.10.写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*.二、解答题(共42分 每小题6分)1.求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03202z y x z y x 的平面方程.解:设所求平面的法向量为n ,则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分) 所求平面方程为 032=++z y x (2分)2.函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定,求xz ∂∂. 解:令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=, (2分)则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z . (2分))32c o s (33)32c o s (1z y x z y x F F x z z x -+--+-=-=∂∂ . (2分) 3.计算⎰⎰Dxy σd ,其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域.解法一: 原式⎰⎰=211d ]d [xx y xy (2分)x y x x d ]2[2112⎰⋅=x xx d )22(213⎰-= 811]48[2124=-=x x . (4分)解法二: 原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=-=y y .(同上类似分)4.计算⎰⎰--Dy x y x d d 122,其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.解: 选极坐标系原式⎰⎰-=2012d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r ---⋅=⎰π6π= (3分) 5.计算⎰Γ-+-z x y yz x z y d d 2d )(222,其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧.解:原式⎰⋅-⋅+-=122564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰-=146d )23(t t t 1057]5273[t t -=351= (3分)6.判断级数∑∞=-1212n n n 的敛散性. 解: 因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim11-+=+∞→+∞→ (3分) 121<=, (2分) 故该级数收敛. (1分) 7.求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解. 解:特征方程 0432=--r r ,特征根 1,421-==r r通解为 x xe C e C y -+=241, (3分)x xe C e C y --='2414,代入初始条件得 1,121=-=C C ,所以特解x x e e y -+-=4.(3分)三、(8分)计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ,其中∑是上半球面221z y x --=的上侧.解:添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ,取下侧,则在由1∑和∑所围成的 空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x ⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=. (2分) 四、(8分)设曲线积分⎰-+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内与路径无关,其中)(x f 可导,且满足1)1(=f ,求)(x f .解:由xQy P ∂∂=∂∂, 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=,即1)(21)(=+'x f xx f , (3分) 所以)d ()(d 21d 21C xeex f x x x x +=⎰⎰-⎰)(2121C dx x x+=⎰-)32(2321C x x+=-, (3分)代入初始条件,解得31=C ,所以xx x f 3132)(+=. (2分)五、(6分)求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值. 解:⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处,,092>=-AC B 故)0,0(f 非极值;在点)1,1(处,,0272<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值. (3分)六、(6分)试证:曲面)(xyxf z =上任一点处的切平面都过原点.证:因),()(xyf x y x y f x z '-=∂∂ )(1)(x y f x x y f x y z '=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ,有)(0000x y f x z =,得切平面方程为))(())](()([)(00000000000000y y x yf x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0000000=-'+'-z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点. (3分)07A一、 填空题(每小题3分,共21分).1.设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ,已知a 与b垂直,则=λ1-2.设3),(,2,3π===b a b a ,则=-b a 6-3.yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4.过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x5.二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D6.函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=,则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7.设xy e z=,则=dz )(xdy ydx e xy +8.设),(x y x xf u =,f 具有连续偏导数,则=∂∂x u21f xyxf f -+ 9.曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{10.交换积分顺序:⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(xdyy x f dx11.闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成,将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (r dz z r r f rdr d12.设L 为下半圆周21x y--=,则=+⎰ds y xL )(22π13.设L 为取正向圆周922=+y x,则=-+-⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18-14.设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<-=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15.若0lim ≠∞→nn u ,则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散16.级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是 收敛17.设一般项级数∑∞=1n n u ,已知∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=1n n u 的敛散性是 绝对收敛18.微分方程05)(23=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程19.微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221--+20.微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、(共5分)设xy v y x u v u z ===,,ln 2,求yz x z ∂∂∂∂,解:]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222--=⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、(共5分) 设022=-++xyz z y x ,求xz∂∂ 解:令xyz z y x z y x F 22),,(-++=x y zyzxyz F x -=xyzxyxyz F z -=xyxyz xyz yz F F x zz x --=-=∂∂ 四、(共5分)计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ,其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解:y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==xyx xdy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x 五、(共6分)计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )1cos ()sin (,其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解:添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ,根据格林 公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰-+--=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212-=a π 381a π= 六、(共6分)求幂级数∑∞=-13)3(n nn n x 的收敛域 解:对绝对值级数,用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111-=-⋅+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<-x 时,即60<<x ,原级数绝对收敛 当1331>-x 时,即60><x x 或,原级数发散 当0=x 时,根据莱布尼兹判别法,级数∑∞=-1)1(n nn收敛当6=x时,级数∑∞=11n n发散,故收敛域为)6,0[七、(共5分) 计算dxdy z⎰⎰∑2,其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解:∑在xoy 面的投影xy D :0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2dxdy y x xyD )1(22--+=⎰⎰rdr r d )1(20102⎰⎰-=πθ412⋅=π8π=八、(共7分)设0)1(=f ,求)(x f 使dy x f ydx x f x x )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分,并求),(y x u解:由x Q y P ∂∂=∂∂,得)()(1ln x f x f x x '=+,即x x f xx f ln )(1)(=-' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰---带入初始条件,解得0=C,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=xyxdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、(共60分 每题3分)1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ,}2 ,1 ,{-=λb ,已知a 与b平行,则=λ3-.2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=-+bz a y x . 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b -=3.4. 设一平面经过点)1,1,1(,且与直线⎩⎨⎧=+=--03042z y y x 垂直,则此平面方程为032=-+z y x .5. 二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x .6. 设xye z =,则=z d )d d (y x x y e xy +.7. 函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=,则=)1,0,1(grad f )1,0,1(.8.设(,)y u xf x x =,f 具有连续导数,则u x ∂=∂12yf xf f x''+-.9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n{}4,0,2-. 10. 交换积分顺序:⎰⎰=1d ),(d x y y x f x ⎰⎰101d ),(d yx y x f y .11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成,将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ.12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积,则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3.13. 设L 为上半圆周21x y -=,则=+⎰Ls y x d )(22π.14. 设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π.15. 若lim 0n n u →∞≠,则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 . 16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是 收敛 .17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是 收敛 . 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程. 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)(21x C C e x +.20.微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(-+=.三、(共5分)函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定,求xz∂∂. 解:令=),,(z y x F z z y x 4222-++, (1分)则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)zxF F x z z x -=-=∂∂2 (2分) 五、(共6分)计算曲线积分⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22,其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+.解:添加有向辅助线段,它与上半圆周围成的闭区域记为D ,根据格林公式⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+---+-=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰-22d x x 3823212132-=-⋅⋅=ππ (3分)七、(共6设0)1(=f ,确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分.解: 由xQy P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f x x f x '=-, 即 xxx f x x f s i n )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰-)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰- (2分) )cos (1C x x+-=, (1分) 代入初始条件,解得1cos =C ,所以)cos 1(cos 1)(x xx f -=. (1分) 八、(共6分) 计算⎰⎰∑y x z d d 2,其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分.解:⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰--=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰----xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰--=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅-=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题(共24分 每小题3分)1.设{}1111,,p n m s =,{}2221,,p n m s =分别为直线1L ,2L 的方向向量,则1L 与2L 垂直的充要条件是 (A )(A )0212121=++p p n n m m (B )212121p p n n m m ==(C )1212121=++p p n n m m (D )1212121=++p pn n m m 2.Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )(A )12+=y z (B )22x y z +=(C )122++=x y z (D )x y z +=23.二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为 (B )(A ){}02|),(2>-x y y x (B ){}012|),(2>+-x y y x (C ){}012|),(2≤+-x y y x (D ){}0,0|),(≥>y x y x4.交换积分顺序:1d (,)d yy f x y x =⎰⎰ ( A )(A )dy y x f dx x ⎰⎰110),((B )dx y x f dy y ⎰⎰110),((C )dx y x f dy y⎰⎰110),((D )dy y x f dx x⎰⎰110),(5.空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成,则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= ( C ) (A )2 (B )2π (C )38π (D )34π 6.函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定,则xz∂∂= ( D ) (A )zy -2 (B )y x-2 (C )zz-2 (D )zx-27.幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是 ( C )(A )][3,3- (B )](3,0(C ) [)3,3- (D )()3,3-8.已知微分方程xe y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*,则它的通解是( B )(A )x xe x C x C ++221(B )x x x xe e C e C ++-221(C )x e x C x C ++221(D )x x x xe e C e C ++-21二、填空题(共15分 每小题3分)1.曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x . 2.若lim 0n n u →∞≠,则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 . 3.级数∑∞=12cos n nn的敛散性是 绝对收敛 . 4.二元函数2221sin)(),(xy x y x f +=,当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。

高数下册期末试题及答案

高数下册期末试题及答案

高数下册期末试题及答案第一部分:选择题(共50题,每题2分,共100分)1. 某函数的导函数为f(x)=3x^2+2x-1,则该函数f(x)在x=1处的导数值为多少?A. 6B. 7C. 8D. 92. 下列哪个极限是不存在的?A. lim(x→∞) 1/(1+x)B. lim(x→0) sin(1/x)C. lim(x→1) (x-1)/(x-1)D. lim(x→∞) e^(-x)3. 物体在空气中自由下落的速度v(t)与时间t之间的关系可以用下列哪个微分方程描述?A. v'(t) = g - kv(t)B. v'(t) = g - ktC. v'(t) = g - kv(t)^2D. v'(t) = g - k/v(t)...第二部分:填空题(共30题,每题3分,共90分)31. 若a=3,b=-2,则方程组3x+ay=1,bx-2y=5的解为x=___,y=___。

32. 设函数f(x)=sin(x),则f''(x) = ___。

33. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则必在该区间上有___。

...第三部分:解答题(共4题,每题15分,共60分)问题一:已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 1,求f(x)的极值及对应的取值范围。

解答:首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x,令其等于零,得到极值点x=0和x=2。

将这两个极值点代入原函数f(x),可以求得f(0) = 1和f(2) = -1。

因此,函数f(x)的极值为1和-1,取值范围为[-1, 1]。

问题二:已知函数y = e^x / (1 + e^x),求该函数的反函数及其定义域。

解答:为求反函数,首先将y = e^x / (1 + e^x)改写为x = ln(y / (1-y))。

然后交换x和y,得到y = ln(x / (1-x))。

因此,函数y = ln(x / (1-x))为原函数的反函数。

高等数学下期末考试试卷

高等数学下期末考试试卷

高等数学下期末靠考试试卷一.选择题(共12分,每小题3分)1. 设方程z y x z y x 32)32sin(3++=++确定隐函数),(y x z z =,则=∂∂+∂∂yz x z ( )(A )1 (B )1- (C )3 (D )3- 2. 设),(y x f z =在点)0,0(处的偏导数,1)0,0(-=∂∂x f ,3)0,0(=∂∂y f则( ) (A ),3)0,0(dy dx dz +-= (B )),(y x f z =在点)0,0(的某邻域内有定义; (C )),(lim)0,0(),(y x f y x →存在; (D )曲线⎩⎨⎧==0),(:y y x f z C 在点))0,0(,0,0(f 有切向量)1-,0,1(=T.3. 由抛物面22y x z +=和平面4=z 围成的立体的体积为( ) (A )π8 (B )π332(C )π12 (D ) π16 4. 下列四个交错级数中绝对收敛的是( ) (A )11(1)sin3n n nπ∞-=-∑ (B)11(1)n n ∞-=-∑ (C )11(1)2sin3n nnn π∞-=-∑ (D)1(1)n n ∞-=-∑二.填空题(共24分,每小题3分) 1.设z =则)1,4(dz . 2.设函数23u xy z xyz =+-,则该函数在点(1,1,2)A 处沿从点(1,1,2)A 到(3,1,1)B -方向的方向导数为_________________________.3. 曲线sin ,1cos ,4sin 2tx t t y t z =-=-=在点)22,1,12(-π处法平面方程为 .4.交换二次积分2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰的积分次序,得__________________=I .5.设曲线L 方程为2(01)y x x =≤≤,则曲线积分______________.Lxds =⎰6.设∑为曲面1)z z =≤,则曲面积分22()__________x y ds ∑+=⎰⎰.7. 幂级数112nnn x ∞=∑的收敛域为_______________________. 8.微分方程2''11y x=+的通解为_______________________. 三、解答题:{共64分}1. (7分)设二元函数131),(23+++++=by ax y y e y x f x 在点)1,0(处取得极值. (1)确定常数b a ,的值;(2)求出函数),(y x f 的 所有极值,并指明是极大值还是极小值.2. (7分) 设函数 (,)yz y f xy x=,其中f 具有二阶连续偏导数,求2 z z x x y ∂∂∂∂∂、.3.(7分)计算二重积分Dydxdy ⎰⎰,其中D是由曲线x =0x =围成的平面闭区域.4.(7分)将函数()221)(x x f -=展成x 的幂级数,并写出可展区间.5.(7分)求微分方程cos sin (cos 5sin )0x xdy y x xe dx +-=满足初始条件2|4x y π==-的特解.6. (8分)求微分方程x e y y y -32=+'+''的通解.7. (8分)计算曲线积分⎰+++Lydy x dx y y cos )1(sin其中L 是曲线21x y -=由点)0,1(A 到点)0,1(-B 的一段弧.8.(7分)计算⎰⎰∑+-dxdy z dzdx z xy dydz yz x 22222,其中∑为曲面0)z a >与平面0z =所围立体的表面外側.9.(6分)设函数()f x 在(0,)+∞连续,5(1)2f =,且对所有,(0,)x t ∈+∞,满足条件111()()()xt x tf u du t f u du x f u du =+⎰⎰⎰,求()f x。

高等数学下册期末考试题及答案

高等数学下册期末考试题及答案

高等数学下册期末考试题及答案一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= .2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 .3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 .4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds .5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++⎰⎰∑ds y x )122( .6、微分方程x y xy dx dy tan+=的通解为 . 7、方程04)4(=-y y 的通解为 . 8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 .二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续;(B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在;(C )yy x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时,是无穷小; (D ))()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x .2、设),()(x yxf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ∂∂+∂∂等于( ) (A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 .3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdVI 等于( )(A )4⎰⎰⎰22013cos sin ππϕϕϕθdrr d d ;(B )⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdrr d d ;(C )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin drr d d ;(D )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin drr d d .4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=( ) (A )⎰⎰-20cos 202244πθθa drr a d ; (B )⎰⎰-20cos 202244πθθa drr a r d ;(C )⎰⎰-2cos 202248πθθa drr a r d ; (D )⎰⎰--22cos 20224ππθθa drr a r d .5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成,L 取正向,函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数,则⎰=+LQdy Pdx )((A )⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(; (B )⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(; (C )⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Q x P )(; (D )⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y P x Q )(.6、下列说法中错误的是( ) (A )方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程;(B ) 方程x y dx dyx dx dy ysin =+是一阶微分方程;(C )方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程; (D )方程x y x dx dy 221=+是伯努利方程.7、已知曲线)(x y y =经过原点,且在原点处的切线与直线062=++y x 平行,而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ,则曲线的方程为=y ( )(A )x e x 2sin -; (B ))2cos 2(sin x x e x -; (C ))2sin 2(cos x x e x -; (D )x e x 2sin .8、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n nu( )(A )收敛; (B )发散; (C )不一定; (D )绝对收敛. 三、求解下列问题(共计15分)1、(7分)设g f ,均为连续可微函数.)(),,(xy x g v xy x f u +==,求y ux u ∂∂∂∂,. 2、(8分)设⎰+-=t x tx dzz f t x u )(),(,求t ux u ∂∂∂∂,. 四、求解下列问题(共计15分).1、计算=I ⎰⎰-2022xy dye dx .(7分)2、计算⎰⎰⎰Ω+=dVy x I )(22,其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域(8分)五、(13分)计算⎰++-=L y x ydxxdy I 22,其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向.六、(9分)设对任意)(,,x f y x 满足方程)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+,且)0(f '存在,求)(x f .七、(8分)求级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛区间.高等数学(下册)考试试卷(二)1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+,则=∂∂+∂∂y z x z .2、=+-→→xyxy y x 93lim 03、设⎰⎰=202),(xxdyy x f dx I ,交换积分次序后,=I .4、设)(u f 为可微函数,且,0)0(=f 则⎰⎰≤+→=++222)(1lim 223t y x t d y x f t σπ .5、设L 为取正向的圆周422=+y x ,则曲线积分 ⎰=-++Lx x dy x ye dx ye y )2()1( .6、设→→→+++++=k xy z j xz y i yz x )()()(222,则=A div .7、通解为xx e c e c y 221-+=的微分方程是 .二、选择题(每小题2分,共计16分).1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x y x xy y x f ,则在点(0,0)处( )(A )连续且偏导数存在; (B )连续但偏导数不存在; (C )不连续但偏导数存在; (D )不连续且偏导数不存在. 2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数,且满足02≠∂∂∂y x u 及 +∂∂22x u 022=∂∂y u ,则( )(A )最大值点和最小值点必定都在D 的内部; (B )最大值点和最小值点必定都在D 的边界上; (C )最大值点在D 的内部,最小值点在D 的边界上; (D )最小值点在D 的内部,最大值点在D 的边界上.3、设平面区域D :1)1()2(22≤-+-y x ,若⎰⎰+=Dd y x I σ21)(,⎰⎰+=Dd y x I σ32)(则有( )(A )21I I <; (B ) 21I I =; (C )21I I >; (D )不能比较.4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域,则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32 =( )(A )3611; (B )3621; (C )3631 ; (D )3641.5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ )(βα≤≤t ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ, 则曲线积分⎰=Lds y x f ),(( )(A) ⎰βαψϕdtt t f ))(),((; (B)⎰'+'αβψϕψϕdtt t t t f )()())(),((22 ;(C) ⎰'+'βαψϕψϕdtt t t t f )()())(),((22; (D)⎰αβψϕdt t t f ))(),((.6、设∑是取外侧的单位球面1222=++z y x , 则曲面积分 ⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz =( )(A) 0 ; (B) π2 ; (C)π ; (D)π4.7、下列方程中,设21,y y 是它的解,可以推知21y y +也是它的解的方程是( )(A) 0)()(=++'x q y x p y ; (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ; (C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''; (D) 0)()(=+'+''x q y x p y .8、设级数∑∞=1n na为一交错级数,则( )(A)该级数必收敛; (B)该级数必发散;(C)该级数可能收敛也可能发散; (D)若)0(0→→n a n ,则必收敛.三、求解下列问题(共计15分)1、(8分)求函数)ln(22z y x u ++=在点A (0,1,0)沿A 指向点B (3,-2,2)的方向的方向导数.2、(7分)求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值.四、求解下列问题(共计15分)1、(7分)计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ,其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域.2、(8分)设)(x f 为连续函数,定义⎰⎰⎰Ω++=dvy x f z t F )]([)(222,其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω,求dt dF. 五、求解下列问题(15分)1、(8分)求⎰-+-=Lx x dym y e dx my y e I )cos ()sin (,其中L 是从A (a ,0)经2x ax y -=到O (0,0)的弧.2、(7分)计算⎰⎰∑++=dxdyz dzdx y dydz x I 222,其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧. 六、(15分)设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数,并使曲线积分⎰'++-'Lx dyx ydx xe x x )(])(2)(3[2ϕϕϕ与路径无关,求函数)(x ϕ.高等数学(下册)考试试卷(三)一、填空题(每小题3分,共计24分)1、设⎰=yzxzt dte u 2, 则=∂∂z u.2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点(0,0)处沿)2,1(=l 的方向导数)0,0(lf ∂∂= .3、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体,如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dvz y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分,则I= .4、设),(y x f 为连续函数,则=I ⎰⎰=+→Dt d y x f t σπ),(1lim 2,其中222:t y x D ≤+.5、⎰=+Lds y x )(22 ,其中222:a y x L =+.6、设Ω是一空间有界区域,其边界曲面Ω∂是由有限块分片光滑的曲面所组成,如果函数),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数,则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式: , 该关系式称为 公式.7、微分方程96962+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*y . 8、若级数∑∞=--11)1(n pn n 发散,则p .二、选择题(每小题2分,共计16分)1、设),(b a f x '存在,则x b x a f b a x f x ),(),(lim--+→=( )(A )),(b a f x ';(B )0;(C )2),(b a f x ';(D )21),(b a f x '.2、设2yx z =,结论正确的是( )(A )022>∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ; (B )022=∂∂∂-∂∂∂x y zy x z ; (C )022<∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ; (D )022≠∂∂∂-∂∂∂x y zy x z .3、若),(y x f 为关于x 的奇函数,积分域D 关于y 轴对称,对称部分记为21,D D ,),(y x f 在D 上连续,则⎰⎰=Dd y x f σ),(( )(A )0;(B )2⎰⎰1),(D d y x f σ;(C )4⎰⎰1),(D d y x f σ; (D)2⎰⎰2),(D d y x f σ.4、设Ω:2222R z y x ≤++,则⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x )(22=( )(A )538R π; (B )534R π; (C )5158R π; (D )51516Rπ.5、设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ,在点),(y x 处的线密度为),(y x ρ,则曲线弧L的重心的x 坐标x 为( )(A)x =⎰Ldsy x x M),(1ρ; (B )x =⎰Ldxy x x M),(1ρ;(C )x =⎰Ldsy x x ),(ρ; (D )x =⎰LxdsM1, 其中M 为曲线弧L的质量.6、设∑为柱面122=+y x 和1,0,0===z y x 在第一卦限所围成部分的外侧,则 曲面积分⎰⎰∑++ydxdzx xzdydz zdxdy y22=( )(A )0; (B )4π-; (C )245π; (D )4π.7、方程)(2x f y y ='-''的特解可设为( )(A )A ,若1)(=x f ; (B )x Ae ,若x e x f =)(; (C )E Dx Cx Bx Ax ++++234,若x x x f 2)(2-=; (D ))5cos 5sin (x B x A x +,若x x f 5sin )(=.8、设⎩⎨⎧≤<<≤--=ππx x x f 010,1)(,则它的Fourier 展开式中的n a 等于( )(A )])1(1[2n n --π; (B )0; (C )πn 1; (D )πn 4.三、(12分)设tt x f y ),,(=为由方程 0),,(=t y x F 确定的y x ,的函数,其中F f ,具有一阶连续偏导数,求dx dy.四、(8分)在椭圆4422=+y x 上求一点,使其到直线0632=-+y x 的距离最短. 五、(8分)求圆柱面y y x 222=+被锥面22y x z +=和平面0=z 割下部分的面积A.六、(12分)计算⎰⎰∑=xyzdxdyI ,其中∑为球面1222=++z y x 的0,0≥≥y x 部分 的外侧.七、(10分)设xx d x df 2sin 1)(cos )(cos +=,求)(x f .八、(10分)将函数)1ln()(32x x x x f +++=展开成x 的幂级数.高等数学(下册)考试试卷(一)参考答案一、1、当10<<a 时,1022≤+<y x ;当1>a 时,122≥+y x ; 2、负号; 3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ; 4、dt t t )()(22ψϕ'+';5、180π;6、Cx x y=sin;7、xxe C e C x C x C y 2423212sin 2cos -+++=; 8、1;二、1、D ; 2、D ; 3、C ; 4、B ; 5、D ; 6、B ; 7、A ; 8、C ;三、1、21f y f x u '+'=∂∂;)(xy x g x y u +'=∂∂;2、)()(t x f t x f x u --+=∂∂;)()(t x f t x f t u-++=∂∂;四、1、)1(214220220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y yy xy ;2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ2020212022132233142rdz r dr d dz r dr d I柱面坐标;五、令2222,y x xQ y x y P +=+-=则x Qy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)(,)0,0(),(≠y x ;于是①当L 所围成的区域D 中不含O (0,0)时,x Q y P ∂∂∂∂,在D 内连续.所以由Green 公式得:I=0;②当L 所围成的区域D 中含O (0,0)时,x Qy P ∂∂∂∂,在D 内除O (0,0)外都连续,此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ,逆时针方向,并假设*D 为+L 及-l 所围成区域,则πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x D ll L llL dxdy y Px Q Green I 公式六、由所给条件易得:)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(lim 0 x f x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'= 即 )0()(1)(2f x f x f '=+'c x f x f +⋅'=∴)0()(arctan 即 ])0(tan[)(c x f x f +'=又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(tan()(x f x f '=∴ 七、令t x =-2,考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t Θ212321232lim t n t n t n n n =++++∞→∴当12<t 即1<t 时,亦即31<<x 时所给级数绝对收敛;当1<t 即3>x 或1<x 时,原级数发散;当1-=t 即1=x 时,级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛;当1=t 即3=x 时,级数∑∞=+-1121)1(n n n 收敛;∴级数的半径为R=1,收敛区间为[1,3].高等数学(下册)考试试卷(二)参考答案一、1、1; 2、-1/6; 3、⎰⎰⎰⎰+202/4222/),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ; 4、)0(32f ';5、π8-;6、)(2z y x ++;7、02=-'+''y y y ;8、0;二、1、C ; 2、B ; 3、A ; 4、D ; 5、C ; 6、D ; 7、B ; 8、C ;三、1、函数)ln(22z y x u ++=在点A (1,0,1)处可微,且 )1,0,1(221z y x xuA ++=∂∂2/1=; 01)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂z y y z y x y uA ;2/11)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂zy z z y x z uA 而),1,2,2(-==AB l 所以)31,32,32(-=ο,故在A 点沿=方向导数为: =∂∂A l uA x u ∂∂αcos ⋅+A y u ∂∂βcos ⋅+A z u ∂∂γcos ⋅ .2/13121)32(03221=⋅+-⋅+⋅=2、由⎪⎩⎪⎨⎧=--==-+--='0)24(0)1()4(22y x x f xy y x xy f y x 得D 内的驻点为),1,2(0M 且4)1,2(=f ,又0)0,(,0),0(==x f y f而当0,0,6≥≥=+y x y x 时,)60(122),(23≤≤-=x x x y x f令0)122(23='-x x 得4,021==x x 于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f),(y x f ∴在D 上的最大值为4)1,2(=f ,最小值为.64)2,4(-=f四、1、Ω的联立不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤-≤≤≤≤Ωy x z x y x 101010: 所以⎰⎰⎰---++++=1010103)1(x y x z y x dz dy dx I ⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]41)1(1[21 ⎰-=--+=101652ln 21)4311(21dx x x2、在柱面坐标系中⎰⎰⎰+=πθ200022)]([)(t h rdz r f z dr d t F ⎰+=t dr r h r r hf 032]31)([2π 所以 ]31)([232t h t t hf dt dF +=π]31)([222h t f ht +=π五、1、连接→OA ,由Green 公式得: ⎰⎰⎰-+=OA OA L I ⎰⎰-=+OA OA L⎰⎰=≥≤+++-0,220)cos cos (y ax y x x x Green dxdy m y e y e 公式281a m π=2、作辅助曲面⎩⎨⎧≤+=∑2221:a y x a z ,上侧,则由Gauss 公式得:⎰⎰∑=I +⎰⎰∑1⎰⎰∑-1=⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-11=⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤+≤+-++a z z y x a y x dxdya dxdydz z y x 0,2222222)(2=⎰⎰⎰≤+-az y x a zdxdy dz 042222π 4043212a a dz z a πππ-=-=⎰六、由题意得:)()(2)(32x xe x x x ϕϕϕ''=+-' 即x xe x x x 2)(2)(3)(=+'-''ϕϕϕ特征方程0232=+-r r ,特征根2,121==r r对应齐次方程的通解为:x x e c e c y 221+= 又因为2=λ是特征根.故其特解可设为:x e B Ax x y 2*)(+= 代入方程并整理得:1,21-==B A即 x e x x y 2*)2(21-=故所求函数为:x x x e x x e c e c x 2221)2(21)(-++=ϕ高等数学(下册)考试试卷(三)参考答案 一、1、2222z x z y xe ye -; 2、5; 3、⎰⎰⎰------1111102222),,(x x y x dz z y x f dy dx ;4、325);0,0(a f π、; 6、⎰⎰⎰⎰⎰+Ω∂Ω++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P )(, Gauss 公式; 7、C Bx Ax ++2 8、0≤P .二、1、C ; 2、B ; 3、A ; 4、C ; 5、A ; 6、D ; 7、B ; 8、B三、由于dt t x f dx t x f dy t x ),(),('+'=,0='+'+'dt F dy F dx F t y x 由上两式消去dt ,即得: y t t x t t x F f F F f F f dx dy ''+'''-'⋅'=四、设),(y x 为椭圆4422=+y x 上任一点,则该点到直线0632=-+y x 的距离为 13326yx d --= ;令)44()326(222-++--=y x y x L λ,于是由: ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+---==+---=04408)326(602)326(422y x L y y x L x y x L y x λλλ 得条件驻点:)53,58(),53,58(),53,58(),53,38(4321----M M M M 依题意,椭圆到直线一定有最短距离存在,其中1313133261min =--=M y x d 即为所求. 五、曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=y y x y x z 22222在yoz 面上的 投影为⎩⎨⎧=≤≤=0)0(22x z y y z于是所割下部分在yoz 面上的投影域为:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤y z y D yz 2020:, y由图形的对称性,所求面积为第一卦限部分的两倍.σd z x y x A yz D ⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(12 x ⎰⎰⎰⎰=-=-=yz D y y y dz dy y y dydz 21202282222六、将∑分为上半部分2211:y x z --=∑和下半部分2221:y x z ---=∑,21,∑∑在面xoy 上的投影域都为:,0,0,1:22≥≥≤+y x y x D xy于是: ⎰⎰⎰⎰∑--=1221dxdy y x xyzdxdy xyD 1511cos sin 201022=⋅-⋅=⎰⎰ρρρθθρθπd d 极坐标; ⎰⎰⎰⎰∑=----=2151))(1(22dxdy y x xy xyzdxdy xy D , ⎰⎰⎰⎰∑∑+=∴21I =152 七、因为x x d x df 2sin 1)(cos )(cos ==,即x x f 2sin 1)(cos +='所以22)(x x f -=' c x x x f +-=∴3312)(八、)1ln()1ln()]1)(1ln[()(22x x x x x f +++=++=Θ 又]1,1(,)1()1ln(11-∈-=+∑∞=-u u n u n n n ∴∑∑∞=∞=---∈-+-=11211]1,1(,)1()1()(n n n n n n x x n x n x f ∑∞=--∈+-=11]1,1(),1()1(n n n n x x x n。

(完整word版)高等数学下册期末考试试题及答案,推荐文档

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高数高等数学A(下册)期末考试试题、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上)r r r r r r r r r1、已知向量a、b满足a b 0, a 2, b 2,则ab .32、设z xln(xy),贝U ---- 2x y2 23、曲面x y z 9在点(1,2, 4)处的切平面万程为 .4、设f(x)是周期为2的周期函数,它在[,)上的表达式为f(x) x,则f(x)的傅里叶级数在x 3处收敛于,在x 处收敛于.5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则L(x y)ds .※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级.・1!■■■■■・ MM ■・・・・・■■■■■ ■ ■・・・■:■»■■■■■、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分)C 2 c 2 2 c... 2x 3y z 9» j ....... .. ..1、求曲线2 2 2在点M0 (1, 1,2)处的切线及法平面方程.z 3x y.. 2 2 一 2 2 一2、求由曲面z 2x 2y及z 6 x y所围成的立体体积.n 1 一3、判定级数(1)n ln --- 是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?n 1 n2x .......... z z4、设z f (xy,—) sin y ,其中f具有二阶连续偏导数,求一, ------- -y x x ydS 2 2 2 25、计算曲面积分——,其中是球面x y z a被平面z h (0 h a)截出的顶部.z、(本题满分9分)抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.(本题满分10分)计算曲线积分Je x siny m)dx (e x cosy mx)dy ,其中m为常数,L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x2 y2 ax (a 0).四、(本题满分10分)n求哥级数4—的收敛域及和函数.n i 3 n五、(本题满分10分)计算曲面积分| 2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy,2 2其中为曲面z 1 x y (z 0)的上侧.六、(本题满分6分)设f(x)为连续函数,f (0) a, F(t) [z f(x2 y2 z2)]dv,其中t是由曲面z xx y2t与z t2x2y2所围成的闭区域,求lim F(t ) t3备注:①考试时间为2小时;②考试结束时,请每位考生按卷面不得带走试卷。

高等数学下期期末考试题及答案

高等数学下期期末考试题及答案

1、函数2224ln(1)x y z x y -=--的定义域为{}222(,)014x y x y y x <+<≤且。

3、函数sin ,xy z e =则)(cos xdy ydx e e xy xy +。

4、设22(),z f x y =+其中f 具有二阶导数,则''4'22f y f +。

5、积分()2111____1______2y xI dx e dy e ==-⎰⎰。

6、设质点在空间中的位置函数22()(1,4,1)r f t t t t ==+-,则质点在时刻2t =秒时的速度大小为34。

7、设L 是任意一光滑曲线,若线积分x x La ydx e dy +⎰与积分路径无关,则a=e 。

8、22_____x y Leds +=⎰a ae π2;其中L 为圆周cos ,sin ,(02)x a t y a t t π==≤≤。

9、曲面u xyz =在点(1,1,1)处沿函数增加最快的方向的方向导数为3。

10、曲面3ze z xy -+=在点(2,1,0)处的法线方程为02112zy x =-=-。

11、已知Ω为半径为R的球体,∑取其外侧球面,则_____xdydz ydzdx zdxdy ∑+-=⎰⎰334R π。

12、数项级数21(1)ln nn n∞=-∑(绝对还是条件)条件收敛。

13、2114x +的幂级数展式为)21()4(20<-∑∞=x x nn n 。

14、设a 、b 、c 为单位向量,且满足0a b c ++=,则..._____a b b c c a ++=-3/2。

15、设()f x 是周期为2π的函数,且它在[),ππ-上的表达式为1,0()2,0x f x x ππ-≤<⎧=⎨≤<⎩,则由收敛定理,()f x 的傅丽叶级数在x k π=()k z ∈处收敛于______3/2。

16、已知直线1211:123x y z L +-+==,平面:0S x y z +-=,则线面之间的位置关系为平行。

高数下册 期末试题及答案

高数下册 期末试题及答案

高数下册期末试题及答案第一题:已知函数 f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 1,求 f(x) 的导函数。

解析:要求 f(x) 的导函数,即求 f'(x)。

根据求导法则,对于多项式函数 f(x) = ax^n:1. 当 n 不等于 0 时,f'(x) = anx^(n-1)。

2. 当 n 等于 0 时,f'(x) = 0(常数项的导数为 0)。

所以,对于 f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 1:f'(x) = d/dx (2x^3 - 4x^2 + 3x + 1)= 6x^2 - 8x + 3。

答案:f'(x) = 6x^2 - 8x + 3。

第二题:已知函数 f(x) = e^x * ln(x),求其不定积分。

解析:要求函数 f(x) 的不定积分,即求∫ f(x) dx。

根据积分法则,对于函数 f(x) = e^x * ln(x):1. 对于∫ e^x dx,由指数函数的积分法则得知∫ e^x dx = e^x + C1(其中 C1 为常数)。

2. 对于∫ ln(x) dx,由对数函数的积分法则得知∫ ln(x) d x = x * ln(x) - x + C2(其中 C2 为常数)。

所以,对于 f(x) = e^x * ln(x):∫ f(x) dx = ∫ (e^x * ln(x)) dx= ∫ e^x dx * ∫ ln(x) dx= (e^x + C1) * (x * ln(x) - x + C2)= xe^x * ln(x) - xe^x + e^x * ln(x) - e^x + C(x)(其中 C(x) 为常数)。

答案:∫ f(x) d x = xe^x * ln(x) - xe^x + e^x * ln(x) - e^x + C(x)。

第三题:已知函数 f(x) = sin^2(x) + cos^2(x),证明 f'(x) = 0。

高等数学下期末试题(七套附答案)

高等数学下期末试题(七套附答案)

x1 y 2 z3
x2
1、 求过直线 L1 : 1
0
1 且平行于直线 L 2 : 2
z
z
2、 已知 z f ( xy2 , x2 y) ,求 x , y
D
3、 设
{( x, y) x2
y2
4} ,利用极坐标求
x2dxdy
D
C. (ax b) cex
y1 z 1 1 的平面方程
1 / 22
4、 求函数 f (x, y) e2x ( x y2 2 y) 的极值
1 1x
x0
1 1 ex 1
2
x0
f (x
求0
x 2 及 y2 x 所围图形的面积;
1)dx (6 )
( 2)求所围图形绕 x 轴旋转一周所得的体积。 (6 )
高等数学(下)模拟试卷四
一. 填空题 (每空 3 分,共 15 分)
1 y
1 x2
1、 函数
x
的定义域为
.
e axdx, a 0
2、 0=Fra bibliotek.z
3 .已知 z
e xy ,则
(1,0 )
x

4 .设 L 为 x2
y 2 1 上点 1,0 到
1,0 的上半弧段,则
2ds
L

e
ln x
dx f ( x, y)dy
5 .交换积分顺序 1
0

( 1) n
6 . 级数 n 1 n 是绝对收敛还是条件收敛?

7 .微分方程 y sin x 的通解为

二.选择题 (每空 3 分,共 15 分)
x
2
d 2y
1、已知 y 1 t ,求 dx2

高数下册期末考试题及答案

高数下册期末考试题及答案

高数下册期末考试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 函数 \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) 的导数是:A. \( 2x/(x^2 + 1) \)B. \( 2x/x^2 + 1 \)C. \( 2x/(x^2 - 1) \)D. \( 2x/(x^2 + 1)^2 \)答案:A2. 已知 \( e^x \) 的泰勒展开式为 \( 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots \),那么 \( e^{-x} \) 的泰勒展开式是:A. \( 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + \cdots \)B. \( 1 + x - x^2/2! + x^3/3! - \cdots \)C. \( 1 - x - x^2/2! + x^3/3! - \cdots \)D. \( 1 + x + x^2/2! - x^3/3! + \cdots \)答案:A3. 若 \( \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} \),则 \( \int_0^1 x^3 dx \) 的值是:A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( \frac{1}{6} \)D. \( \frac{1}{7} \)答案:A4. 曲线 \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 2 \) 处的切线斜率是:A. 0B. 1C. 2D. -1答案:B5. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \),则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 等于:A. 1B. 2C. 4D. 8答案:B二、填空题(每题3分,共15分)6. 若 \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \),则 \( f'(x) = \) ________。

高数期末考试题及答案下册

高数期末考试题及答案下册

高数期末考试题及答案下册一、选择题(每题2分,共20分)1. 若函数f(x)在点x=a处连续,则下列说法正确的是:A. f(a)存在B. 左极限lim(x→a-) f(x)存在C. 右极限lim(x→a+) f(x)存在D. 所有选项都正确答案:D2. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上是:A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案:C3. 若f(x)=sin(x),则f'(x)是:A. cos(x)B. -sin(x)C. x*cos(x)D. x*sin(x)答案:A4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数为:A. 0B. 1C. 2D. 3答案:D5. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标为:A. (1,1)B. (2,8)C. (4,16)D. (0,0)答案:B6. 若∫(0,1) f(x)dx = 2,则∫(0,1) x*f(x)dx的值为:A. 0B. 1C. 2D. 无法确定答案:B7. 函数f(x)=ln(x)的泰勒展开式在x=0处的前两项为:A. 1-xB. x-x^2/2C. -x^2/2D. -1-x答案:D8. 若函数f(x)在区间(a,b)内可导,且f'(x)>0,则f(x)在该区间内是:A. 单调递减函数B. 单调递增函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案:B9. 函数f(x)=e^x的无穷级数展开式为:A. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...B. 1-x+x^2-x^3+...C. 1+x-x^2+x^3-...D. 1-x-x^2+x^3-...答案:A10. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则∫(a,b) f(x)dx:A. 一定存在B. 可能不存在C. 等于0D. 等于f(a)-f(b)答案:A二、填空题(每题2分,共20分)1. 若函数f(x)在点x=a处可导,则f'(a)表示______。

高数下学期期末考试卷子

高数下学期期末考试卷子

高数下学期期末考试卷子一、选择题(每题2分,共20分)1. 函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的极限值是:A. 0B. 1C. +∞或-∞D. 无法确定2. 若函数f(x)在点x=a处连续,则下列说法正确的是:A. 极限lim(x→a)f(x)存在B. f(a)=0C. f(a)=aD. 函数f(x)在点x=a处可导3. 曲线y=x^2与直线y=4x-5的交点个数是:A. 0B. 1C. 2D. 34. 若曲线y=\(\sqrt{x}\)在点x=4处的切线斜率为:A. \(\frac{1}{4}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{1}{\sqrt{4}}\)D. 25. 微分方程\(\frac{dy}{dx}=x-y\)的通解是:A. \(y=\frac{x^2}{2}+C\)B. \(y=\frac{x^2}{2}-C\)C. \(y=\frac{1}{x}+C\)D. \(y=x^2+C\)...(此处省略其他选择题)二、填空题(每空1分,共10分)1. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则定积分∫_a^b f(x)dx表示_。

2. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的导数是_。

3. 若曲线y=x^3-2x^2+x与x轴相交,则交点的横坐标是_。

...(此处省略其他填空题)三、解答题(共70分)1. 计算定积分∫_0^1 (2x+1)dx,并说明其几何意义。

(10分)2. 求函数f(x)=\(\frac{1}{3}x^3-2x^2+x\)的极值点,并讨论其单调性。

(15分)3. 解微分方程\(\frac{dy}{dx}+2y=x^2e^x\),其中初始条件为y(0)=1。

(15分)4. 证明:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则至少存在一点c∈(a,b),使得f'(c)=0。

高数下学期期末试题(含答案)3套

高数下学期期末试题(含答案)3套

高等数学期末考试试卷1一、单项选择题(6×3分)1、设直线,平面,那么与之间的夹角为( )A.0B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的()A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件3、设函数,则等于()A. B.C. D.4、二次积分交换次序后为()A. B.C. D.5、若幂级数在处收敛,则该级数在处()A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解,若,则在处()A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题(7×3分)1、设=(4,-3,4),=(2,2,1),则向量在上的投影=2、设,,那么3、D 为,时,4、设是球面,则=5、函数展开为的幂级数为6、=7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分)1、设,其中具有二阶导数,且其一阶导数不为 1,求。

2、求过曲线上一点(1,2,0)的切平面方程。

3、计算二重积分,其中4、求曲线积分,其中是沿曲线由点(0,1)到点(2,1)的弧段。

25、求级数的和。

四、综合题(10分)曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3,求此曲线方程。

五、证明题 (6分)设收敛,证明级数绝对收敛。

一、单项选择题(6×3分)1、 A2、 C3、 C4、 B5、 A6、 D二、填空题(7×3分)1、22、3、 4 、5、6、0 7、三、计算题(5×9分)1、解:令则,故2、解:令则所以切平面的法向量为:切平面方程为:3、解:===4、解:令,则当,即在x 轴上方时,线积分与路径无关,选择由(0,1)到(2,1)则===5、解:令则,即令,则有=四、综合题(10分)4解:设曲线上任一点为,则过的切线方程为:在轴上的截距为过的法线方程为:在轴上的截距为依题意有由的任意性,即,得到这是一阶齐次微分方程,变形为: (1)令则,代入(1)得:分离变量得:解得:即为所求的曲线方程。

(完整word版)高数下期末考试及解答(8份)

(完整word版)高数下期末考试及解答(8份)

课程名称 高等数学试卷 (I )一、填空(14分)1.设f(x),0,00,sin 2⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x x则=→)(lim 0x f x 。

2.曲线y=x 3上切线斜率等于3的点是 。

3.x x y ln 22-=区间 上单调减少。

4.)1(lim 0xctgx x -→= 。

5.⎰+dx x x )1(1= 。

6.过点A (2,-3,4)且与y 轴垂直相交的直线方程为 。

二、完成下列各题(40分) 1.)11ln 1(lim 1--→x x x 2.已知:dxdy x x y e xy求,2cos ln =+ 3.计算:⎰++dx x x 294124.计算:⎰dx x 2)(arcsin5.计算:⎰eedx x x12ln三、求函数f(x)=123+--x x x 在[-1,2]上的最大值与最小值(8分) 四、证明:当x>0时,xarctgxx +>+1)1ln( (8分) 五、设f(x)在[a ,b]上连续,证明:⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()( (8分)六、求曲线x y ln =当x 在区间(2,6)内的一条切线,使得该切线与x y ln =以及x=2,x=6所围成的图形的面积最小。

(8分)七、求过点(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z-10=0又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程。

(8分)八、求抛物线x y 82=与其上点(2,4)处的法线所围成图形的面积。

并求该图形在x 轴上方部分绕y 轴旋转后所得旋转体的体积。

(6分)课程名称 高等数学试卷 (I )九、填空(14分)1.0 2.(1,+1),(-1,-1) 3.(0,)2π4.0 5.2arctg x +C 6.⎩⎨⎧-==32y xz十、完成下列各题(40分) 1.))1(ln ln 1(lim )11ln 1(lim 11---=--→→x x xx x x x x (2')=x x xxx ln )1(111lim1+--→ (2')=211ln 11limln 11lim11=⋅++=+--→→xx x x x x x x x (4') 2.等式两边对x 求导x x y x y y x y e xy 2sin 21ln )(-=⋅+'+'+ (3') xy xyye xyx x xe y ---=+'2sin 2)ln ( (3')xxe ye x yx y xyxy ln 2sin 2+++-=' =xx e x xye y x x xyxyln 2sin 22+++- (2') 3.⎰⎰++=++=++''C x arctg dx x dx x x 525125)2(1294132)5(24.⎰⎰--=dx xxx x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin (3')=⎰--+)1(11arcsin )(arcsin 22x d xxx x⎰-+=)12(arcsin )(arcsin 22x xd x x (2')=⎰----+dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsin (2')=C x x x x x +--+2arcsin 12)(arcsin 22 (1')5.⎰⎰=+==='''ee e ee e x x xd x x 11)2(13)3(2)3(2323131|3ln ln ln ln三、(8分)令)1)(13(123)(2-+=--='x x x x x f (2') 得:1,3121=-=x x (1')01111)1(,273213191271)31(=+--==++--=-f f (2')31248)2(,01111)1(=+--==++--=-f f (2')最大值为3,最小值为0 四、(8分)证明:令xarctgxx x f +-+=1)1ln()( (1') 22)1(1111)(x arctgx x xx x f +-++-+='=222)1(1)1(x arctgx x x x ++++ (3') Θx>0时,,0)(>'x f ∴ x>0时,f(x)递增 (2') 又f(0)=0, ∴当x>0时,f(x)>0 (1')即xarctgxx +>+1)1ln( (1') 五、(8分)⎰⎰-+-+-=-+babax b a d x b a f dx x b a f )()()( (2')令t=a+b-x ,则x=a+b-t ,代入上式 (3')⎰⎰⎰⎰==-=-+bab ab abadx x f dt t f dt t f dx x b a f )()()()( (3')六、(8分)设该切线的切点对应处,则0x x =该切线为:)(1ln 000x x x x y -=- (2') 则x=2时,切线上)2(1ln 0001x x x y -+= x=6时,切线上)6(1ln 0002x x x y -+= (2') 围成图形面积为:)]2(1ln 2[421000x x x S -+⋅==,416ln 400-+x x 令0164200=-='x x S (2') ,411,400===x k x 该切线为:)4(414ln -=-x y (2') 七、(8分)平面3x-4y+z-10=0的法矢量}1,4,3{-=→n (1') 设交点为),,(000z y x (即两直线交点)则所求直线的方向矢量为}4,,1{000-+z y x (1')则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-+-+223210)4(4)1(3000000z y x z y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧===321915000z y x (3')所求直线的方向矢量为{16,19,28} (1') 所求直线为:28419161-==+z y x (2')八、(6分)在x y 82=两边对x 求导,xy y y 84,82='='当x=2时,1|2='=x y ,则法线的斜率为-1法线方程为:y=-1(x-2)+4=-x+6 (2')与抛物线的另一个交点为:(18,-12) (1') 所围成圆形如图,它的面积为 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+=+=12241228182168D D y x xdy dx dx dy d d S σσ=⎰⎰-++-+-4121822)86()82(dx x x dy y =18223182********|3222|6|2|24162x x x y ⋅++--⋅-=)316144(12108)1622()3872(32-+---+--+=14496160840++---=32 (2')法线与x 轴交于⎰⎰-=-=624022218)0,6(dy y dx x V V V ππΛ =]|24|3[403623y x -π =)24643872(--π=)383872(--π=π3200(3')一、填空(14分)1、 若)1(x x f +=2x +21x+3,则=)(x f 2、 设=)(x f 12-x e ,则)(x f ''= 3.xxx 3sin 5sin limπ→=4、设点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点,则=a ,=b5、=+⎰x t dxd sin 021 6、在xoz 面上的曲线13222=+z x 绕z 轴旋转所得曲面方程是二、完成下列各题(35分)1、2)1(lim 1xtgx x π-→2、⎰+dx x x 2473、xdx x ⎰2sin4、dx xx⎰+3122115、dx x x ex⎰-2)(ln 11三、求曲线)1ln(2x y +=的拐点。

高数下期末考试题及答案

高数下期末考试题及答案

高数下期末考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[0, 6]上的值域是:A. [2, 9]B. [3, 9]C. [1, 9]D. [2, 12]答案:C2. 若f(x)=3x^2+2x-5,求f(-1)的值:A. -12B. -8C. -4D. -2答案:A3. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1, 4)处的切线斜率是:A. 0B. 1C. 2D. 3答案:D4. 根据定积分的性质,∫[0, 1] x dx等于:A. 0B. 1/2C. 1D. 2答案:B5. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续,且∫[a, b] f(x) dx = 5,那么∫[a, b] 2f(x) dx等于:A. 10B. 5C. 2D. 1答案:A6. 函数y=sin(x)在区间[0, π]上的原函数是:A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. 2sin(x) + C答案:A7. 若∫[0, 1] f(x) dx = 3,且f(x) = 6x - 2,求∫[0, 1] x(6x -2) dx的值:A. 7B. 8C. 9D. 10答案:C8. 曲线y=x^2与直线y=4x在点(2, 4)处的切线相同,求该点处的切线方程:A. y = 4x - 4B. y = 8x - 12C. y = 4xD. y = x^2答案:A9. 若f(x)=x^3-3x^2+2x,求f'(x)的值:A. 3x^2-6x+2B. x^2-6x+2C. 3x^2-9xD. x^3-3x答案:A10. 若f(x)=e^x,求f'(x)的值:A. e^xB. x*e^xC. e^-xD. 1答案:A二、填空题(每题2分,共20分)11. 若f(x)=x^2-4x+3,则f'(x)=________。

答案:2x-412. 曲线y=x^3-2x^2+x在x=1处的导数为________。

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中国传媒大学2016—2017学年第 二 学期期末考试试卷B 卷参考答案与评分标准考试科目: 高等数学A 课程编码: 123002 考试班级:2016级工科各班、光电信息科学考试方式: 闭卷4小题, 每小题4分, 共16分)1.曲线t t t e t z e y te x 2222,3,2===在对应于1-=t 点处的法平面方程是 。

答:01132=+--e y x2.设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为3,则∑∞=+-11)1(n n nx na的收敛区间为 。

答:)4,2(-3.设)(x f 是周期为π2的周期函数,它在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x x x f 000)(,则其傅立叶级数在π5=x 处收敛于 。

答:2π-4.设L 是圆周 )0(222>=+a a y x 负向一周,则曲线积分=-+-⎰dy y xy dx y x x L)()(3223 。

答:42a π-大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1. 若曲线x t y t z t ===cos ,sin ,22在对应于t =π2点处的一个切向量与oz 轴正方向成钝角,则此向量与xoy 平面夹角的正弦值为( A ) (A )112+π; (B )-+112π; (C )ππ12+; (D )-+ππ12。

2.设∑是球面2222R z y x =++的外侧,xy D 是xoy 面上的圆域222R y x ≤+,下述等式正确的是( D )。

⎰⎰⎰⎰--=∑xy D dxdy y x R y x zds y x A 2222222)(;(B )022=⎰⎰∑zdxdy y x ;⎰⎰⎰⎰+=+∑xyD dxdy y x dxdy y x C )()()(2222;⎰⎰⎰⎰--=∑xyD dxdy y x R zdxdy D 2222)(。

3.计算⎰⎰⎰Ω=zdv I ,其1,222=+=Ωz y x z 为中围成的立体,则正确的解法为( B )。

(A)⎰⎰⎰=1120zdz rdr d I πθ;(B)⎰⎰⎰=1120rzdz rdr d I πθ;(C)⎰⎰⎰=11020rrdr dz d I πθ; (D)⎰⎰⎰=12010zrdr d dz I πθ。

4.下列级数中,收敛的是( C )。

(A)∑∞=1222)!(n n n ; (B)∑∞=1!3n n n n n ; (C) ∑∞=22sin 1n n ππ; (D)∑∞=++1)2(1n n n n 。

6小题,每小题8分,总计48分) 1.(本小题8分)求过点)1,1,1(0M ,且与两直线,12:1⎩⎨⎧-==x z x y L ⎩⎨⎧-=-=1243:2x z x y L 都相交的直线L 。

解:先求交点;,21M M 将21,L L 的方程化为参数方程,12:1⎪⎩⎪⎨⎧-===t z t y tx L ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==1243:2t z t y t x L 设L 与它们的交点分别为)1,2,(1111-t t t M ,)12,43,(2222--t t t M , 3分 因为210,,M M M 三点共线,所以2010//M M M M ,即222531211212121--=--=--t t t t t t , 得2,021==t t ,所以)3,2,2(),1,0,0(21M M -, 6分直线211111:-=-=-z y x L 。

8分 2.(本小题8分) 求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分曲面的面积。

解:22:y x z +=∑,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=xz y x z 2222消去z ,得x y x 222=+,即1)1(22=+-y x ,则所求曲面在xoy 面投影如图因为21,,222222=+++=∂∂+=∂∂y x z z y x y yz y x x xz , 4分故πθθπ2222cos 2020===⎰⎰⎰⎰rdr d dxdy A D。

8分3、(本小题8分)设Ω是由22y x z +=及1=z 所围区域,试计算⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222。

解:⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222⎰⎰⎰=ϕππϕϕθcos 13420d sin d d r r 4分 =⎰πϕϕϕπ2404sin cos d 6分 =-π6221() 8分4、(本小题8分)计算⎰⎰∑+dS y x z 22,其中∑是由锥面2231y x z +=及平面1=z 所围成的锥体的表面。

解:在曲面2231y x z +=中,dxdy dxdy z z dS y x 32122=++=在平面1=z 中,dxdy dxdy z z dS y x =++=221 3分dxdy y x dxdy y x dS y x z DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+∑222222)(31 6分 πθθππ)3223(313022030320+=+=⎰⎰⎰⎰dr r d dr r d 8分 5.(本小题8分)计算曲面积分⎰⎰∑-+=dxdy z yzdzdx xzdydz I 22,其中∑是由曲面22y x z +=与222y x z --=所围成立体表面的外侧。

解:利用高斯公式有dxdydz zR y Q x P dxdy z yzdzdx xzdydz I )(22∂∂+∂∂+∂∂=-+=⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑3分 241cos sin 2sin cos )22(20440224020πϕϕϕπϕϕϕθπππ=⋅===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩr d drr r d d dxdydz z dxdydz z z z8分 6.(本小题8分) 将)11(2)(≤≤-+=x x x f 展成以2为周期的傅立叶级数。

解:将)(x f 进行周期延拓,)(x f 为偶函数,可展成余弦级数,0=∴n b ,5)2(210=+=⎰dx x a , 3分⎪⎩⎪⎨⎧-=--==--=-=+=⎰12)12(420]1)1[(2)1(cos 2cos )2(222222210k n k k n n n n nxdx x a n n ππππ6分∑∞=---=122)12()12cos(425)(k k xk x f ππ)11(≤≤-x 。

8分3小题,总计20分) 1、(本小题6分))(x f 在],0[a 上连续,(0>a ),证明20])([)()(2⎰⎰⎰=aaxadx x f dy y f dx x f 证明:将左边交换积分顺序,再利用定积分的性质⎰⎰⎰⎰⎰⎰==xa y a a xa dy y f dx x f dx x f dy y f dy y f dx x f 0)()(2)()(2)()(2 3分20])([)()()()()()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+=aa a x a a xa dx x f dy y f dx x f dy y f dx x f dy y f dx x f6分 2.(本小题7分) 验证dy e y x e dx e e y x y x y x ])1([])1[(++-+-++为某一函数的全微分,并求出这个函数。

证明:令y x y x e y x e Q e e y x P )1(,)1(++-=-++=,y x y x e e x Q e e y P -=∂∂-=∂∂,,因为yPx Q ∂∂=∂∂ 所以dy e y x e dx e e y x y x y x ])1([])1[(++-+-++为某一函数的全微分 4分 即dy e y x e dx e e y x du y x y x ])1([])1[(++-+-++=C dy e y x e dx e e y x u y x y x y x +++-+-++=⎰),()0,0(])1([])1[(C e e y x C dy e y x e dx e x y x y y x x x +-+=+++-+-+=⎰⎰))((])1([]1)1[(0。

7分 3.(本小题7分) 设),(y x z z =由方程0),(=--Φbz cy az cx 确定,其中),(v u Φ具有连续偏导数,证明c yzb x z a=∂∂+∂∂。

证明:方程0),(=--Φbz cy az cx 两边对y x ,求导 得0)()(21=∂∂-Φ+∂∂-Φxzb x z ac ,0)()(21=∂∂-Φ+∂∂-Φy z b c y z a解得211Φ+ΦΦ=∂∂b a c x z ,212Φ+ΦΦ=∂∂b a c y z5分 c b a bc b a ac y z b x z a=Φ+ΦΦ+Φ+ΦΦ=∂∂+∂∂212211 7分。

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