等差数列综合练习题 百度文库

【点睛】
思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.
24．BD
【分析】
根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．
【详解】
因为数列 满足 ， ，
；
；
；
数列 是周期为3的数列，且前3项为 ， ，3；
A．数列 的前n项和为 B．数列 的通项公式为
C．数列 为递增数列D．数列 为递增数列
22．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”，记 为数列 的前n项和，则下列结论正确的是（）
【详解】
由题意知： ， ，又 成等比数列，
∴ ，解之得 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
故选：B
【点睛】
思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量
1、由 成等比，即 ；
2、等差数列前n项和公式 的应用.
5．C
【分析】
根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求 .
【详解】
由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为 ，粗的一端的重量为 ，可知 ， ，
根据等差数列的性质可知 ，
中间三尺为 .
故选：C
【点睛】
本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型.
6．A
【分析】
转化条件为 ，由等差数列的定义及通项公式可得 ，求得满足 的项后即可得解.
A． B．
C．数列 的最大项为 D．
13．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺
A． B． C． D．
A．8B．4C．12D．16
10．设等差数列 的前 项和为 ， 且 ，则当 取最小值时， 的值为（）
A． B． C． D． 或
11．已知正项数列 满足 ， ，数列 满足 ，记 的前n项和为 ，则 的值为（）
A．1B．2C．3D．4
12．已知数列 的前 项和为 ， ， 且 ，满足 ，数列 的前 项和为 ，则下列说法中错误的是（）
29．公差为 的等差数列 ，其前 项和为 ， ， ，下列说法正确的有（）
A． B． C． 中 最大D．
30．设公差不为0的等差数列 的前n项和为 ，若 ，则下列各式的值为0的是（）
A． B． C． D．
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一、等差数列选择题
1．A
【分析】
利用等差数列的性质结合已知解得 ，进一步求得 ．
【详解】
因为 ，所以 ，
又 ，所以数列 是以 为首项，公差为2的等差数列，
所以 ，所以 ，
令 ，解得 ，
所以 ，其余各项均大于0，
所以 .
故选：A.
【点睛】
解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足 的项，即可得解.
7．B
【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】
因为数列 为等差数列， ， ，
则公差为 ，
因此通项公式为 .
故选：C.
二、多选题
21．ABC
【分析】
数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，可得： ，化为： ，利用等差数列的通项公式可得 ， ， 时， ，进而求出 ．
【详解】
数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，
∴ ，化为： ，
∴数列 是等差数列，公差为4，
B． 是等方差数列
C．若 是等方差数列，则 （ ， 为常数）也是等方差数列
D．若 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
28．首项为正数，公差不为0的等差数列 ，其前 项和为 ，现有下列4个命题中正确的有（）
A．若 ，则 ；
B．若 ，则使 的最大的n为15
C．若 ， ，则 中 最大
D．若 ，则
B．若 ，则使 的最大的n为15；
C．若 ， ，则 中 最大；
D．若 ，则 .
26．记 为等差数列 的前n项和.已知 ，则（）
A． B． C． D．
27．（多选题）在数列 中，若 ，（ ， ， 为常数），则称 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若 是等差数列，则 是等方差数列
A．3斤B．6斤C．9斤D．12斤
6．已知数列 的前 项和为 ， ，且满足 ，若 ， ， ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．0
7．设等差数列 的前 项和为 ，公差 ，且 ，则 （）
A．2B．3C．4D．5
8．设数列 的前 项和 .则 的值为（）．
A． B． C． D．
9．数列 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大 ，则该数列的项数是（）
【详解】
因为 为等差数列 的前 项和，公差 ， ，
所以 ，
解得 .
故选：B.
8．C
【分析】
利用 得出数列 的通项公差，然后求解 .
【详解】
由 得， ， ，
所以 ，
所以 ，故 .
故选：C.
【点睛】
本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用 求解即可.
9．A
【分析】
设项数为2n，由题意可得 ，及 可求解．
【点睛】
熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前 项和的基本量运算是解题关键.
18．D
【分析】
由等差数列的通项公式及前 项和公式求出 和 ，即可求得 .
【详解】
解：设数列 的首项为 ，公差为 ，
则由 ， ，
得： ，
即 ，
解得： ，
.
故选：D.
19．B
【分析】
利用 求出 时 的表达式，然后验证 的值是否适合，最后写出 的式子即可.
14．设等差数列 、 的前 项和分别是 、 .若 ，则 的值为（）
A． B． C．1D．2
15．设等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （）
A．15B．20C．25D．30
16．已知 是公差为2的等差数列，前5项和 ，若 ，则 （）
A．4B．6C．7D．8
17．在等差数列 中， ，则 的前 项和 （）
【点睛】
由 求 时， ，注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式求解．
15．B
【分析】
设出数列 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到 ，然后代入求和公式即可求解
【详解】
设等差数列 的公差为 ，则由已知可得 ，
所以
故选：B
对A，写出数列的前6项为 ，故A正确；
对B， ，故B正确；
对C，由 ， ， ，……， ，
可得： .故 是斐波那契数列中的第2020项.
对D，斐波那契数列总有 ，则 ， ， ，……， ，
，故D正确；
故选：ABCD.
【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.
一、等差数列选择题
1．已知等差数列 满足 ， ，则 （）
A．10B．9C．8D．7
2．等差数列 中， ，公差 ，则 =（）
A．200B．100C．90D．80
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于（）
A．8B．10C．12D．14
4．等差数列 的公差为2，若 成等比数列，则 （）
13．D
【分析】
设该妇子织布每天增加 尺，由等差数列的前 项和公式即可求出结果
【详解】
设该妇子织布每天增加 尺，
由题意知 ，
解得 ．
故该女子织布每天增加 尺．
故选：D
14．C
【分析】
令 ， ，求出 ， ，进而求出 ， ，则 可得．
【详解】
令 ， ，
可得当 时， ，
，
当 ， ，符合 ，
故 ， ，
故 .
A．72B．90C．36D．45
5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（）
【详解】
在等差数列 中，设公差为 ，由 ， .
故选：A
2．C
【分析】
先求得 ，然后求得 .
【详解】
依题意 ，所以 .
故选：C
3．C
【分析】
利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】
{an}为等差数列，
S3＝12，即 ，解得 .
由 ，所以数列的公差 ，
所以 ，
所以 .
故选：C
4．B
【分析】
由题意结合 成等比数列，有 即可得 ，进而得到 、 ，即可求 .
【详解】
设等差数列 的项数为2n，
末项比首项大 ，
， ，
．
由 ，可得 ， ，
即项数是8，
故选：A.
10．B
【分析】
由题得出 ，则 ，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
由 得 ，则 ，
解得 ， ， ，
，对称轴为 ，开口向上，
当 时， 最小.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：求等差数列前n项和最值，由于等差数列 是关于 的二次函数，当 与 异号时， 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当 与 同号时， 在 取最值.
【详解】
， 当 时， ，
当 时， ，上式也成立，
，
故选：B.
【点睛】
易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即 ，算出之后一定要判断 时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.
20．C
【分析】
根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式.
12．D
【分析】
当 且 时，由 代入 可推导出数列 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列 的通项公式，由 可判断A选项的正误；利用 的表达式可判断BC选项的正误；求出 ，可判断D选项的正误.
【详解】
当 且 时，由 ，
由 可得 ，
整理得 （ 且 ）.
则 为以2为首项，以2为公差的等差数列 ， .
A． B．百度文库
C． D．
23．等差数列 的前 项和为 ， ，则下列结论一定正确的是（）
A． B． C．当 或 时， 取得最大值D．
24．已知数列 满足 ， ，则下列各数是 的项的有（）
A． B． C． D．
25．首项为正数，公差不为0的等差数列 ，其前 项和为 ，则下列4个命题中正确的有（）
A．若 ，则 ， ；
23．ABD
【分析】
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得 ，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．
【详解】
∵等差数列 的前 项和为 ， ，
∴ ，解得 ，
故 ，故A正确；
∵ ， ，故有 ，故B正确；
该数列的前 项和 ，它的最值，还跟 的值有关，故C错误；
由于 ， ，故 ，故D正确，
故选：ABD.
A中，当 时， ，A选项正确；
B中， 为等差数列，显然有 ，B选项正确；
C中，记 ，
，
，故 为递减数列，
，C选项正确；
D中， ， ， .
，D选项错误.
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：利用 与 的关系求通项，一般利用 来求解，在变形过程中要注意 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用 将递推关系转化为有关 的递推数列来求解.
∴ ，可得 ，
∴ 时， ，
，
对选项逐一进行分析可得，A，B，C三个选项错误，D选项正确.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为 ，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题
22．ABCD
【分析】
由题意可得数列 满足递推关系 ，对照四个选项可得正确答案.
【详解】
16．A
【分析】
由 求出 ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出 的值
【详解】
解：由题意得 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
故选：A
17．A
【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，得出 ，再由等差数列前 项和公式，即可得出结果.
【详解】
因为 为等差数列， ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：A.
A． B． C． D．
18．记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 等于（）
A．6B．7C．8D．10
19．已知数列 的前 项和 ，则 的通项公式为（）
A． B． C． D．
20．数列 为等差数列， ， ，则通项公式是（）
A． B． C． D．
二、多选题
21．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， ，则下列说法错误的是（）
11．B
【分析】
由题意可得 ，运用等差数列的通项公式可得 ，求得 ，然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
解：由 ， ，得 ，
所以数列 是以4为公差，以1为首项的等差数列，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前 项和，解题的关键是由已知条件得 ，从而数列 是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求 ， ，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题