21.3 实际问题与一元二次方程(第1课时)

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21.3 实际问题与一元二次方程(第1课时)教案

21.3实际问题与一元二次方程（1）【教学目标】知识与技能：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．过程与方法：经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述情感态度价值观：1.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，2.了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．【学习重难点】教学重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题教学难点：发现传播问题中的等量关系【教学过程】一、自主学习1、解一元二次方程都是有哪些方法？2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答说明：为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题作好铺垫．二、合作学习【探究1】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？思考：（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“两轮传染”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了人；第一轮传染后，共有人患了流感；在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每一个人又传染了人，那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感.（4）根据等量关系列方程并求解解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得x1=10， x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．(5)为什么要舍去一解？（6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？说明：使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．【探究2】两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？思考：（1）怎样理解下降额和下降率的关系？（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了元，此时成本为元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为元。

九年级数学上册21一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第一课时增长率与单循环赛类问题

第10页
11．一个容器中盛满12 L纯药液，倒出纯药液后，用水加满，再倒出等量液体，再用水加满，此时容器中药液与水之比为1∶3，问每次倒出液体多少升．
第11页
12．(济宁)某地年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，年在年基础上增加投入资金1 600万元． (1)从年到年，该地投入异地安置资金年平均增加率为多少？
【解】设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，依据题意，得1 000×8×400＋(a－1 000)×5×400≥5 000 000，解得a≥1 900，答：今年该地最少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励．
第8页
(2)若该县教育经费投入还将保持相同年平均增加率，请你预算年该县投入教育经费多少万元．【解】因为年该县投入教育经费为8 640万元，且增加率为20%，所以预算年该县投入教育经费为：y＝8 640×(1＋20%)＝10 368(万元)，
答：预算年该县投入教育经费10 368万元．
第9页
．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第7页
*8.某省农作物秸秆资源巨大，但合理利用量十分有限，年利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定该省每年产出农作物秸秆总量不变，且合理利用量增加率相同，要使年利用率提升到60%，则每年增长率为____4_1_%_____.（取 2≈1.41） 9．为深入发展基础教育，自年以来，某县加大了教育经费投入，年该县投入教育经费6 000万元.年投入教育经费8 640万元．假设该县这两年投入教育经费年平均增加率相同． (1)求这两年该县投入教育经费年平均增加率；【解】设该县投入教育经费年平均增加率为x，依据题意得：6 000(1＋x)2＝8 640，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)，答：该县投入教育经费年平均增加率为20%.

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第1课时教学设计

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第1课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第1课时，主要介绍了如何将实际问题转化为一元二次方程，并通过求解方程得到实际问题的解答。

本节课的内容是学生对一元二次方程知识的进一步拓展和应用，有助于提高学生的数学应用能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的基本概念、解法和应用。

但实际问题与一元二次方程的结合，对学生而言是一个新的挑战。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生对实际问题转化为数学问题的能力的培养，引导学生学会用数学的眼光看待实际问题。

三. 教学目标1.理解实际问题与一元二次方程之间的关系，学会将实际问题转化为一元二次方程。

2.掌握一元二次方程的解法，并能应用于实际问题的解答。

3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学应用能力。

四. 教学重难点1.教学重点：实际问题转化为一元二次方程的方法。

2.教学难点：如何引导学生发现实际问题与一元二次方程之间的联系。

五. 教学方法1.案例分析法：通过分析具体案例，引导学生发现实际问题与一元二次方程之间的关系。

2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。

3.合作交流法：鼓励学生之间相互讨论、分享心得，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实际问题与一元二次方程之间的关系。

2.案例素材：准备一些实际问题，作为教学案例。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的实际问题，引导学生思考实际问题与数学问题之间的关系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师展示几个实际问题，让学生尝试将其转化为一元二次方程。

学生在课堂上进行讨论，分享自己的思路。

教师引导学生总结实际问题转化为一元二次方程的方法。

3.操练（10分钟）教师给出一些实际问题，学生独立将其转化为一元二次方程，并求解。

21.3 实际问题与一元二次方程(1)

新增： x(1+x)人
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
x+1+x(x+1)=121
x1=10, x2=-12(舍)
分享用了
什么方法
解该方程？
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人
思考1：如果按照该传染速度，经过三轮后有多少人受患流感?
121× + = ( + ) =
人教版.九年级上册
21.3 实际问题与一元二次方程
（第1课时）
复习引入
1.回顾应用题的解题过程，解决应用题有那些基本的步骤？
审、设、列、解、验、答
2.审题时，怎样才算审清题意？有那些辅助审题的方法？
三
知
1.知已知量和未知量
设未
知数
2.知各个量之间的关系
3.知等量关系
列方程
三
辅
1.列表法
2.画图
3.语言分析
多少个分支？
探究：利用收获的知识，分析问题并分享你的分析过程？
主干
1支
枝干
x支
小支干
总数：1+x+
支
解：每个枝干画出x个分支.
+ + =
x1=9, x2=-8(舍)
答：每个枝干画出9个分支
2.某种电脑病毒传播非常快，某学校有2台电脑被感染，经过
两轮感染后就会有50台电脑被感染，请你用学过的知识分析，
( + )
变式练习
变式1：若有3人患了流感,经过两轮传染后共有108人患了流感,
每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
( + ) =

21-3实际问题与一元二次方程(第1课时传播问题)-

病源A 第1轮
第2轮传染后患病人数_1_+_2_+_(_1_+_2_)_×_2_人.
第2轮
合作探究
人教版数学九年级上册
探究1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 第1轮传染后患病人数_(_1_+_x_)_人;
第2轮传染后患病人数_[_1_+_x_+_(_1_+_x_)_x_]人. 规律发现
传染源第1轮传染后第2轮传染后的人数人数的人数 1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2
合作探究
人教版数学九年级上册
探究1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
课堂小结
人教版数学九年级上册
传播问题公式1：1+x+x(1+x)=(1+x)2 传播问题公式2： 1+x+x2 列一元二次方程解应用题的步骤: 1.审:理解题意,明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系. 2.设:根据题意,可直接设未知数,也可间接设未知数. 3.列:根据题中的等量关系,用含所设未知数的代数式表示其他未知量,从而列出方程. 4.解:准确求出方程的解. 5.验:检验所求出的根是否符合方程和实际问题. 6.答:写出答案.
A．x+(x+1)x=36
B．1+x+(1+x)x＝36
C．1+x+x2=36
D．x+(x+1)2＝36
课堂检测

九年级数学：实际问题与一元二次方程第一课时教案

21.3实际问题与一元二次方程（1）一、教学目标1.会利用一元二次方程解决传播问题.2.培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识.二、教学重点和难点1.重点：利用一元二次方程解决传播问题.2.难点：根据传播问题列方程.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有人得流感.(2)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有人得流感.【(1)题答案为11，121，(2)题答案为1+x，1+x+x(x+1)，先让生自己做，然后师进行讲解】（二）创设情境，导入新课师：和一元一次方程一样，利用一元二次方程可以解决实际问题，上节课我们做了一个例题，本节课我们再来看一个例题.（三）尝试指导，讲授新课（师出示下面的例题）例有一人得了流感，经过两轮传染后，共有121人得了流感，每轮传染中平均每一个人传染了几个人？师：大家把这个题目好好默读几遍.（生默读）师：谁能不看黑板说出题目的意思？生：……（让几名同学说）师：这个题目怎么设？生：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.（师板书：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人）师：（在黑板的其它地方板书：第一轮后）设平均一个人传染了x个人，那么第一轮后，共有多少人得了流感？生：1+x.（多让几名同学回答，然后师板书：1+x）师：（在黑板的其它地方板书：第二轮后）那么第二轮后，共有多少人得了流感？（让生思考一会儿再叫学生）生：1+x+x(1+x).（多让几名同学回答，然后师板书：1+x+x(1+x)）师：下面大家根据题目的意思列一列方程.（生列方程，师巡视）师：（板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？生：1+x+x(1+x)=121（生答师板书：1+x+x(1+x)=121）.师：（指方程）这是一个一元二次方程，怎么解这个方程？大家试着解一解.（生解方程）师：解出来的结果是什么？生：x1=10，x2=-12（生答师板书：x1=10，x2=-12）.师：（指方程）解这个方程是有讲究的，很多同学用公式法解，发现数字比较大，解起来比较麻烦.实际上我们可以用直接开平方法来解.怎么用直接平方法来解？（稍停）师：（指准1+x+x(1+x)=121）1+x+x(1+x)有公因式1+x，我们把1+x提取出来，得到(1+x)(1+x)（边讲边在其它地方板书：(1+x)(1+x)），可见方程可以化成(1+x)2=121（边讲边在其它地方板书：(1+x)2=121），用直接开平方法解这个方程，容易求出x1=10，x2=-12.师：方程中的x表示每个人传染的人数，所以x2=-12不符合题目的意思，要舍去（板书：（不合题意，舍去））.师：最后还要答.（板书：答：每轮传染中平均每个人传染了10个人）师：下面请大家自己来做一个练习.（三）试探练习，回授调节2.完成下面的解题过程：有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了几个人？解：设每轮传播中平均一个人传播了x个人.根据题意列方程，得.提公因式，得( )2=.解方程，得x1=，x2=（不合题意，舍去）.答：每轮传播中平均一个人传播了个人.3.一个人知道某个消息，设每轮传播中一个人传播了x个人，填空：(1)经过一轮传播后，共有人知道这个消息；(2)经过两轮传播后，共有人知道这个消息；(3)经过三轮传播后，共有人知道这个消息；(4)请猜想，经过十轮传播后，共有人知道这个消息.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了利用一元二次方程解决传播问题.俗话说：一传十，十传百.这一传十，十传百是怎么么传的？（指准方程）用方程来表示就是(1+x)2=121.如果传了三轮，就成了(1+x)3；如果传了十轮，就成了(1+x)10.（作业：P21习题1(3)(4)、4，4题中91改为81）四、板书设计（略）。

21.3 实际问题与一元二次方程(第1课时)

情感与态度目标：进一步使学生深刻体会转化及设未知数列方程的思想方法．
四、教学重点
学会用列方程的方法解决有关增长率问题．
五、教学难点
有关增长率之间的数量关系
六、教学方法
自主、合作、探究
七、教具
多媒体
八、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
激情导入
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个
小组评价与总结
这节课你有什么收获？
你能说说本节课所研究的“传播问题”的基本特征吗？解决此类问题的关键步骤是什么？
“传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播．解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传
染源个数，以及这一轮被传染的总数．
九、作业：教科书复习题21第7题．
十、课后反思
5）如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少个人患流感？
121+121×10 = 1 331（人）
小组合作
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
达标测评
例1、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?
（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．

21.3 实际问题与一元二次方程 2024-2025学年人教版数学九年级上册

行第二次降价？
解：（2）设第一次降价售出 a 件，则第二次降价售出
（20－ a ）件.由题意，得
[60（1－10％）－40] a ＋（48.6－40）×（20－ a ）

≥200，解得 a ≥5 .

∵ a 为非负整数，∴ a 的最小值是6.
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
典例导思
根据题意，得60（1－ x ）2＝48.6，
解得 x 1＝0.1＝10％， x 2＝1.9（舍去）.
答：该商品每次降价的百分率为10％.
典例导思
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方
式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总
利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进
（1＋ x ）2.当问题变为下降（或减产）率为 x 时，第二
次减少后的数量则为 a （1－ x ）2.
知识导航
例如：某品牌某羽绒服在冬季来临之际涨价销售，10、
11月份的平均增长率为 x ，9月份的售价为1 000元，10
月份的售价为
元，11月份的售
1 000（1＋ x ）
价为
元.若11月份的售价为1
⁠
⁠
⁠
典例导思
题型二列一元二次方程解循环问题
例2 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两
队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的
个数是（ C ）
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
典例导思
3. 在一次同学聚会上，每两人都互赠了一份礼物，所有人共送
了210份礼物，则参加聚会的同学有
知识导航

九年级数学上册教学课件《实际问题与一元二次方程 (第1课时)》

能力提升题
1. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博
转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议
书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，
每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友
转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有
10
111个人参与了传播活动，则n=______.
课堂检测
C.1+x2 =73
B.1+x+x2=73
D.(1+x)²=73
课堂检测
21.3 实际问题与一元二次方程
3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上
甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传
染后128人患上甲肝，则x的值为（ D ）？
A.10
B.9
C.8
D.7
课堂检测
21.3 实际问题与一元二次方程
C. x(x-1)=1980
B. x(x+1)=1980
D.x(x-1)=1980
课堂检测
21.3 实际问题与一元二次方程
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个
枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分
支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题
意可列方程为（ B ）
A.1+x+x(1+x)=73
样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长
出多少小分支?
小
小
小
小
……
分
分
分
分
解:设每个支干长出x个小分
支
支
支
支
支, 则 1+x+x2=91.

21.3实际问题与一元二次方程1传播问题(教案)

-鼓励学生提出创新性的解题思路，培养学生的发散性思维。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程1——传播问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过信息或病毒传播的情况？”（如微信朋友圈的谣言传播、流感病毒传播等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索传播问题的奥秘。
4.培养学生数据分析素养，使学生能够通过对传播问题的研究，理解数据背后的规律，为现实生活中的类似问题提供解决思路。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解传播问题背景，能从实际问题中抽象出一元二次方程。
-通过案例分析，让学生明确如何从传播问题中提炼出一元二次方程，掌握方程构建的方法。
-强调一元二次方程在解决传播问题中的应用，如病毒传播、信息传播等。
3.通过传播问题，掌握解决实际问题时如何列出相关的一元二次方程，并求解。
4.分析以下案例：
（1）病毒传播问题：在某次疫情中，病毒通过接触传播，假设每个感染者在接触一个人后，有50%的概率将病毒传播给对方。如果已知病毒最初由一个人传播，求经过5次传播后，预计有多少人可能感染病毒。
（2）信息传播问题：在社交网络上，一个热门话题最初由一名用户发布，如果每个阅读该话题的用户有20%的概率转发，求经过3次转发后，预计有多少人看到该话题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

21.3实际问题与一元二次方程--传播问题(1)

21.3 实际问题与一元二次方程
———传播问题
世界上没有毫无理由的横空出世，所谓的运气好，不过是因为他们时刻准备着。
知识回顾
列方程解应用题时有哪些基本步骤？ ①审题； ②设未知数； ③根据等量关系列方程(组)； ④解方程(组)； ⑤检验作答.
探究
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
则n=___1_0__.
总结提升
列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程(组)解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件.方程的解必须进行实际题意的检验.
作业布置
1、课本习题21.3第1、4题做在练习本上； 2、课时练第一课时
第三轮 (1+x)2 (1+x)2x (1+(x1)+2+x()13+x)2x
第n轮
(1+x)n
通过上面问题的探究，你能归纳利用一元二次方程解决实际问题的步骤吗？
①审题； ②设未知数； ③根据等量关系列方程； ④解方程； ⑤检验作答.
自主练习
1、甲型流感病毒的传染性极强，某地因1 人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
解：每天平均一个人传染了x人. 列方程
1+x+(1+x)x=9.
解方程，得 x1=2，x2=-4（不合题意，舍去）.
答：每天平均一个人传染了2人.
再经过5天的传染后，这个地区一共将会有(1+x)7=37=2187人患甲型流感.

21.3+实际问题与一元二次方程第一课时传播问题-【高效课堂】2023-2024学年九年级数学上册同

新知探究
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意：
于是可列方程： 1+x+x(1+x)=121
解方程得 x1=10， x2=-12(不合题意舍去) 因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．
新知探究
5.为什么要舍去一解？
传播人数不可能负值，-12不合题意，故舍去。 6.如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？
思考：1.本题中有哪些数量关系？ 1人传染最后121人患了流感 2. 如何理解“两轮传染”？ 1人是传染源，经一轮传染后，这些人都是传染源；这些传染源再经一轮传染导致更多人患病。
新知探究
3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了__x___人；第一轮传染后，共有_1_+__x__人患了流感；在第二轮传染中，传染源是_1_+__x__人，这些人中每一个人又传染了 __x___人，第二轮传染后，共有_x_(_1_+_x_)__人患流感.
填空：若一人患流感，每轮能传染5个人，则第一轮过后共有_6__个人患了流感，第二轮过后共有__3_6_个人患了流感．
复习回顾
我们遇见过一些用列方程来解的实际应用问题，你能说说列方程解应用问题的步骤是怎样的吗？
审清题意
找等量关系
设未知数
列方程
解方程
验根
作答
新知探究
探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
谢谢观看
21.3 实际问题与一元二次方程第1课时传播问题
1个人
与（x-1）个人握手
每两人都握了一次手： 1 x(x 1) 次手

人教版九年级上册(新)数学同步教案21.3 实际问题与一元二次方程 (第1课时)

21.3实际问题与一元二次方程(第1课时)一、内容和内容解析1．内容列一元二次方程解决实际问题．2．内容解析本节课学习如何用一元二次方程解决实际问题．分析两轮传播中每个周期内相应的数量关系，从而将实际问题转化为数学问题，再次体现数学建模思想．在此过程中培养分析问题和运用一元二次方程解决实际问题的能力．本课时中解方程属于已学内容，因此教学重点是分析实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程．二、目标和目标解析1．目标(1)能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程；(2)通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．2．目标解析达成目标(1)的标志是：通过审题，分析出“传播问题”中每个周期的传播源和传播后的总数各是什么，从而选择合适的未知数，列出相应的代数式；分析等量关系，正确列出方程，解决实际问题．达成目标(2)的标志是：对用方程解决实际问题的步骤(审、设、列、解、验、答)及需注意的事项进行回顾、总结和深化．体会一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型．三、教学问题诊断分析九年级学生已具备一定的建模思想，也接触了一些实际问题，了解将实际问题转化为数学问题的一般步骤，积累了一定的解题经验和方法．本课时的实际问题中的数量关系比之前遇到过的更复杂一些，学生理解题意的困难是：“第一轮”，“第二轮”中的传染源及被传染总人数是多少．在弄清问题背景，明确数量关系后，还要解决第二轮被传染总人数的代数式如何表示的问题．练习第2题，学生可能将此题与前面所学细菌繁殖类型混淆，从而列出1＋x＋x(1＋x)＝91．可采用图示分析植物主干与分支再长出分支的意义．四、教学过程设计1．分析“传播问题”的特征问题1列方程解应用题的一般步骤是什么？师生活动：教师提问，学生回答．设计意图：回顾列方程解应用题的一般步骤．问题2观察生活中的细胞分裂以及疾病传播这类问题，“传播”这类问题具有什么特征？展示以“细胞分裂”为背景的图片，学生观察图片，说明细胞分裂过程，教师进行适当补充：细胞在分裂过程中，由1个分裂为2个，再分裂成4个，如此分裂下去…展示以“疾病传染”为背景的图片，学生观察图片，教师介绍问题背景：甲流肆虐期间，有确诊病例后要对密切接触者进行筛查，以防止扩大传染范围．设计意图：从实际问题中归纳“传播”类问题的特征．2．解决“传播问题”问题3有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?师生活动：学生独立思考，回答．教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题．追问1：(1)本题要解决什么问题？(传播问题)(2)已知条件中描述数量关系的语句有哪些？(有一人患了流感；经过两轮传染后共有121人患了流感；每轮传染中平均一个人传染了几个人．)(3)“第一轮”，“第二轮”中传染源人数和被传染人数各是多少？如何表示？(第一轮传染源人数为1人，被传染人数为x人；第二轮传染源人数为(x＋1)人，被传染人数为x(x＋1)人．)设计意图：本问题是在问题2的基础上，针对具体情景分析其中的数量关系．学生理解的难点就是“第一轮”、“第二轮”的含义，以及如何表示每一轮传染源人数和被传染人数．因此在此处设问，以帮助学生理解．追问2：你能发现本题中的等量关系吗？你能解决这个问题吗？师生活动：学生独立思考完成，再分组交流．等量关系：1＋第一轮新被传染的人数＋第二轮新被传染人数＝121．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．根据题意得1＋x＋x(1＋x)＝121．解得：x1＝10，x2＝－12(舍去)．答：平均一个人传染了10个人．设计意图：让学生经历完整的解题过程，提高分析和解决问题的能力．追问3：按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?师生活动：学生独立思考、回答，得出121＋121×10＝1331人．设计意图：让学生进一步熟悉“传播问题”的特征．3．练习、巩固教科书第22页练习4．师生活动：由学生独立完成，再进行全班交流．要整理出解题的基本思路：审、设、列、解、验、答，从而提高学生分析和解决此类问题的能力．4．小结问题4你能所说本节课所研究的“传播问题”的基本特征吗？解决此类问题的关键步骤是什么？师生活动：学生先思考再作答，教师帮助整理．得出：“传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播．解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．设计意图：通过归纳，明确“传播问题”的基本特征，以及解决此类问题的一般过程和方法．5．布置作业教科书第25页复习题21第7题．6．目标检测设计某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？设计意图：检测“传播问题”的掌握情况．。

21.3.1 实际问题与一元二次方程(一)传播、比赛、握手问题(分层练习)(解析版)

21.3.1 实际问题与一元二次方程（一）传播、比赛、握手问题一、单选题：1．某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设共有x 个班级参赛，根据题意得：()1152x x -=，解得：16x =，25x =-（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛，故答案为：A.【分析】先判断出本题是一元二次方程实际问题的“单循环”问题，直接套用公式12x x -（）=总次数，列出一元二次方程求解即可。

2．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（）A ．6人B ．7人C ．8人D ．9人【答案】B【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设参加活动的同学有 x 人，由题意得： (1)42x x -= ，解得 7x = 或 6x =- （不符题意，舍去），即参加活动的同学有7人，故答案为：B.【分析】设参加活动的同学有 x 人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为 (1)x - 张，再根据“共送贺卡 42 张”建立方程，然后解方程即可得.3．某小组有若干人，新年大家互相发一条微信祝福，已知全组共发微信72条，则这个小组的人数为（） A ．7人B ．8人C ．9人D ．10人【答案】C【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设这个小组的人数为x 人，则每人需发送（x ﹣1）条微信，依题意得：x （x ﹣1）＝72，整理得：x 2﹣x ﹣72＝0，解得：x 1＝﹣8（不合题意，舍去），x 2＝9.故答案为：C.【分析】根据相等关系“人数×每一个人发送微信的数量= 全组共发微信的条数72”可列方程求解.4．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（） A ．12x （x+1）＝110B ．12x （x ﹣1）＝110 C ．x （x+1）＝110D ．x （x ﹣1）＝110【答案】D【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设有x 个队参赛，则x （x ﹣1）＝110.故答案为：D.【分析】设有x 个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程.5．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为（）A ．()128x x +=B ．()11282x x -=C ．()128x x -=D ．()11282x x +=【答案】B【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛，∴方程为12x(x-1)=28.故答案为：B.【分析】首先计算出比赛的总场数，然后根据球队总数×每支球队比赛的场数÷2就可列出方程.6．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（）A．x（x+1）=182B．x（x-1）=182C．2x（x+1）=182D．x（x-1）=182×2【答案】B【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x-1）件，那么x名同学共赠：x（x-1）件，所以，x（x-1）=182．故选B．【分析】先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程．二、填空题：7．某种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为 .【答案】1+a+a2【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，可得该植物的主干，支干和小分支的总数为：1+a+a2.故答案为：1+a+a2【分析】设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，则小分支为2a，所以可得总数=主干+支干+小分支。

初中数学九年级上册 21.3 实际问题与一元二次方程(第1课时)关于增长率问题、数字问题

一次降低后的值为 a(1-x),两次降低后的值为 a(1-x)2 .
名师指导解答平均增长率问题、平均降低率问题,要注意
弄清基数和增长(降低)的次数.
课标要求知识梳理
2.数字问题 (1)三个连续整数:若设中间的一个数为 x,则另两个数分别为 x-1,x+1. (2)三个连续偶数:若设中间的一个数为 x,则另两个数分别为 x-2,
x+2 .
(3)两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别是 a,b,则这个两位数可表示为 10a+b.
(4)三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别是 a,b,c,则
这个三位数可表示为100a+10b+c . 名师指导解答数字问题一般采用“间接设元法”.
1
2
3
4
5
1.某商品原价 200 元,连续两次降价 a%后,售价为 148 元,下列所列方程正确的是( ) A.200(1+a%)2=148 B.200(1-a%)2=148 C.200(1-2a%)=148 D.200(1-a2%)=148
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时关于增长率问题、数字问题的应用题
课标要求知识梳理
1.能够根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程解决实际问题, 体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
2.能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.
课标要求知识梳理
1.平均增长率问题与平均降低率问题 (1)平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为 a,平均增长率为 x,则一次增长后的值为 a(1+x),两次增长后的值为 a(1+x)2. (2)平均降低率是指降低数与基数的比.若基数为 a,平均降低率为 x,则

人教版九年级数学上21.3《实际问题与一元二次方程》第一课时参考教案(

21.3实际问题与一元二次方程（1）一、教学目标1.会利用一元二次方程解决传播问题.2.培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识.二、教学重点和难点1.重点：利用一元二次方程解决传播问题.2.难点：根据传播问题列方程.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有人得流感.(2)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有人得流感.【(1)题答案为11，121，(2)题答案为1+x，1+x+x(x+1)，先让生自己做，然后师进行讲解】（二）创设情境，导入新课师：和一元一次方程一样，利用一元二次方程可以解决实际问题，上节课我们做了一个例题，本节课我们再来看一个例题.（三）尝试指导，讲授新课（师出示下面的例题）例有一人得了流感，经过两轮传染后，共有121人得了流感，每轮传染中平均每一个人传染了几个人？师：大家把这个题目好好默读几遍.（生默读）师：谁能不看黑板说出题目的意思？生：……（让几名同学说）师：这个题目怎么设？生：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.（师板书：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人）师：（在黑板的其它地方板书：第一轮后）设平均一个人传染了x个人，那么第一轮后，共有多少人得了流感？生：1+x.（多让几名同学回答，然后师板书：1+x）师：（在黑板的其它地方板书：第二轮后）那么第二轮后，共有多少人得了流感？（让生思考一会儿再叫学生）生：1+x+x(1+x).（多让几名同学回答，然后师板书：1+x+x(1+x)）师：下面大家根据题目的意思列一列方程.（生列方程，师巡视）师：（板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？生：1+x+x(1+x)=121（生答师板书：1+x+x(1+x)=121）.师：（指方程）这是一个一元二次方程，怎么解这个方程？大家试着解一解.（生解方程）师：解出来的结果是什么？生：x1=10，x2=-12（生答师板书：x1=10，x2=-12）.师：（指方程）解这个方程是有讲究的，很多同学用公式法解，发现数字比较大，解起来比较麻烦.实际上我们可以用直接开平方法来解.怎么用直接平方法来解？（稍停）师：（指准1+x+x(1+x)=121）1+x+x(1+x)有公因式1+x，我们把1+x提取出来，得到(1+x)(1+x)（边讲边在其它地方板书：(1+x)(1+x)），可见方程可以化成(1+x)2=121（边讲边在其它地方板书：(1+x)2=121），用直接开平方法解这个方程，容易求出x1=10，x2=-12.师：方程中的x表示每个人传染的人数，所以x2=-12不符合题目的意思，要舍去（板书：（不合题意，舍去））.师：最后还要答.（板书：答：每轮传染中平均每个人传染了10个人）师：下面请大家自己来做一个练习.（三）试探练习，回授调节2.完成下面的解题过程：有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了几个人？解：设每轮传播中平均一个人传播了x个人.根据题意列方程，得.提公因式，得( )2= .解方程，得x1= ，x2= （不合题意，舍去）.答：每轮传播中平均一个人传播了个人.3.一个人知道某个消息，设每轮传播中一个人传播了x个人，填空：(1)经过一轮传播后，共有人知道这个消息；(2)经过两轮传播后，共有人知道这个消息；(3)经过三轮传播后，共有人知道这个消息；(4)请猜想，经过十轮传播后，共有人知道这个消息.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了利用一元二次方程解决传播问题.俗话说：一传十，十传百.这一传十，十传百是怎么么传的？（指准方程）用方程来表示就是(1+x)2=121.如果传了三轮，就成了(1+x)3；如果传了十轮，就成了(1+x)10.（作业：P21习题1(3)(4)、4，4题中91改为81）四、板书设计（略）。

21.3 实际问题与一元二次方程

21.3 实际问题与一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第1课时用一元二次方程解决传播类问题知识要点基础练知识点1传播类问题1.有一个人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人,则下列方程正确的是(C)A.1+x2=100B.x2=100C.(1+x)+x(1+x)=100D.(1+x)+(1+x)2=1002.今年冬天病毒性流感严重,巢湖一中的学生在一天中一个学生就能传染x个学生同时患上流感.若先有2人同时患上流感,2天后就有128个学生患上流感,则x的值为(C) A.11 B.6C.7D.8赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的解析式为(B) x(x+1)=28A.12B.1x(x-1)=282C.x(x+1)=28D.x(x-1)=28知识点3数字问题6.两个连续奇数的积是195,则这两个连续奇数的和是(C) A.28 B.24C.±28D.±247.两数之差为3,这两数的平方和为117,求这两数的积.解:根据题意列方程得x2+(x+3)2=117,解得x1=6,x2=-9.当x=6时,x+3=9;当x=-9时,x+3=-6.因此这两数的积为6×9=54,(-6)×(-9)=54.所以这两个数的积是54.综合能力提升练8.某班同学毕业时都向全班其他同学各送一张自己的照片表示留念,全班共送2070张照片.如果全班共有x名同学,根据题意,列出方程为(A)A.x(x-1)=2070B.x(x-1)=2070×2C.x(x+1)=2070D.2x(x+1)=20709.一个小组有若干人,新年互相打一个电话祝福,已知全组共打电话36次,则这个小组共有人数为(B) A.12 B.9C.16D.1810.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病,一轮传染为一天时间,红发养鸡场于某日发现一例,两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同,则每只病鸡传染健康鸡的只数为(C)A.10B.11C.12D.1311.新年当天,安徽屯溪中学的小明收到了一条祝福的短信,他准备发送给其他同学,每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信,此时收到这条短信的人共有157人,则小明发送短信的个数为(C)A.10B.11C.12D.1312.某种植物的主干长出a个支干,每个支干又长出同样数量的小分支,则主干、支干和小分支的总数为1+a+a2.13.小明在一个月历的一个竖列上勾出三个相邻的数,任意两数相乘后,再求和,得194,则这三个日期分别是2,9,16.14.中新网4月26日电,据法新社26日最新消息,墨西哥卫生部长称,可能已有81人死于猪流感(又称甲型H1N1流感).若有一人患某种流感,经过两轮传染后共有81人患流感,则每轮传染中平均一人传染了8人,若不加以控制,以这样的速度传播下去,经三轮传播,将有729人被传染.15.在一次象棋比赛中,实行单循环制(即每位选手都与其他选手比赛一局),每局赢者记2分,输者记0分,如果平局,两位选手各记1分.比赛结束后,统计比赛中全部选手的得分总和为90分,请求出这次比赛中共有多少名选手参加.解:设这次比赛中共有x名选手参加.x(x-1)=90,则2×12解得x=10或x=-9(舍去),答:共有10名选手参加.16.太湖中学机房有150台学生电脑和1台教师用电脑,现在教师用电脑被某种电脑病毒感染,这种电脑病毒传播速度非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有49台电脑被感染.那么每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑? 解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑,依题意得1+x+(1+x)x=49,整理得(1+x)2=49,则x+1=7或x+1=-7,解得x1=6,x2=-8(舍去).答:每轮感染中平均一台电脑会感染6台电脑.拓展探究突破练17.(毕节中考)一个容器盛满纯药液40 L,第一次倒出若干升后,用水加满;第二次又倒出同样体积的溶液,这时容器里只剩下纯药液10 L,则每次倒出的液体是20 L.18.某市计划举办青少年足球比赛,赛制采取双循环形式(即每两队之间都要打两场比赛),一共组织30场比赛.计分规则为胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.(1)该市举办方应该邀请多少支球队参赛?(2)此次比赛结束后,如果其中一支参赛球队共平了4场,负了2场,则该球队此次比赛的总积分是多少?解:(1)设该市举办方应邀请x支球队参赛,依题意得x(x-1)=30,解方程得x1=6,x2=-5(不合题意,舍去).答:该市举办方应邀请6支球队参赛.(2)(10-4-2)×3+4×1+2×0=16.答:该球队的总积分为16分.第2课时用一元二次方程解决增降类问题知识要点基础练知识点1变化类问题1.(六盘水中考)2019年某市仅教育费附加就投入7200万元,用于发展本市的教育,预计到2019年投入将达到9800万元,若每年增长率都为x,根据题意列方程为(B)A.7200(1+x)=9800B.7200(1+x)2=9800C.7200(1+x)+7200(1+x)2=9800D.7200x2=9800【变式拓展】为执行“两免一补”政策,某地区2019年投入教育经费2500万元,预计2019年,2019年两年共投入5775万元.设这两年投入教育经费的年平均增长率为x,那么下面列出的方程正确的是(D)A.2500x2=5775B.2500(1+x%)2=5775C.2500(1+x)2=5775D.2500(1+x)+2500(1+x)2=57752.为积极响应国家提出的“大众创业,万众创新”号召,黄山市加大了对“双创”工作的支持力度,据悉,2019年黄山市对这项拨款为1.5亿元,2019元的拨款达到2.16亿元,这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为20%.3.吴山镇2019年有绿地面积57.5公顷,该镇近几年不断增加绿地面积,2019年达到82.8公顷.(1)求该镇2019至2019年绿地面积的年平均增长率;(2)若年增长率保持不变,2019年该镇绿地面积能否达到100公顷?解:(1)设绿地面积的年平均增长率为x,根据意,得57.5(1+x)2=82.8,解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意,舍去),答:增长率为20%.(2)由题意,得82.8(1+0.2)=99.36公顷.答:2019年该镇绿地面积不能达到100公顷.知识点2利润类问题4.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元,若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x 株,则可以列出的方程是(A)A.(x+3)(4-0.5x)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15C.(x+4)(3-0.5x)=15D.(x+1)(4-0.5x)=155.(乌鲁木齐中考)某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,在顾客得实惠的前提下,商家还想获得6080元的利润,应将销售单价定为多少元?解:降价x元,则售价为(60-x)元,销售量为(300+20x)件,根据题意得(60-x-40)(300+20x)=6080,解得x1=1,x2=4,又顾客得实惠,故取x=4,即定价为56元.答:应将销售单价定价56元.综合能力提升练6.某文具店三月份销售铅笔100支,四、五两个月销售量连续增长.若月平均增长率为x,则该文具店五月份销售铅笔的支数是(B)A.100(1+x)B.100(1+x)2C.100(1+x2)D.100(1+2x)7.某商品的进价为每件20元.当售价为每件30元时,每天可卖出100件,现需降价处理,且经市场调查:每降价1元,每天可多卖出10件.现在要使每天利润为750元,每件商品应降价(D) A.2元 B.2.5元C.3元D.5元8.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%,则第三季度的产值比第一季度的产值增长了(D)A.2x%B.1+2x%C.(1+x%)x%D.(2+x%)x%【变式拓展】某种商品原价50元.因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售价为64.8元,则4,5月份两个月的月平均涨价率为20%.9.某企业今年第四季度中的12月份产值是10月份的1.44倍,为保证该季度的月产值增长率相同,12月产值是11月的1.2倍.10.安徽省某区某农户2019年的年收入为6万元,由于党的惠农政策的落实,2019年的年收入增加到9万元,2019与2019年的年平均增长率相同,如果按这样的增长率,该农户2019年的年收入为13.5万元.11.水果店销售某种水果,每千克可以获利20元,平均每天可售出100千克,若每千克的售价每降低2元,平均每天的销售量可增加20千克,水果店要确保平均每天获利2240元,且尽快减少水果的库存量,每千克的售价应降低6元.12.(巴中中考)某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个,定价每增加1元,销售量净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个,商店若将准备获利2019元,则应进货多少个?定价为多少元?解:设每个商品的定价是x元,由题意,得(x-40)[180-10(x-52)]=2019,整理,得x2-110x+3000=0,解得x1=50,x2=60.当x=50时,进货180-10(50-52)=200个>180个,不符合题意,舍去;当x=60时,进货180-10(60-52)=100个<180个,符合题意.答:该商品每个定价应为60元,进货为100个.13.为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”,某市加快了廉租房的建设力度.2019年市政府共投资2亿元人民币建设了8万平方米廉租房,预计到2019年年底,三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房,若在这两年内每年投资的增长率相同.(1)求每年该市市政府投资的增长率;(2)若这三年内的建设成本不变,求2019,2019这两年可以建设多少万平方米的廉租房?解:(1)设每年该市市政府投资的增长率为x,根据题意,得2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5,整理得x2+3x-1.75=0,解得x1=0.5,x2=-3.5(舍去),答:每年该市市政府投资的增长率为50%.(2)2019,2019这两年共建廉租房面积为=30(万平方米).(9.5-2)÷28答:2019,2019这两年可以建设30万平方米的廉租房.拓展探究突破练14.(朝阳中考)为满足市场需求,新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子,根据市场预测,该品牌粽子每个售价4元时,每天能出售500个,并且售价每上涨0.1元,其销售量将减少10个,为了维护消费者利益,物价部门规定,该品牌粽子售价不能超过进价的200%.请你利用所学知识,帮助超市给该品牌粽子定价,使超市每天的销售利润为800元.解:设每个粽子的定价为x元时,每天的利润为800元.)=800,根据题意,得(x-3)(500-10×x-40.1解得x1=7,x2=5.∵售价不能超过进价的200%,∴x≤3×200%,即x≤6,∴x=5.答:每个粽子的定价为5元时,每天的销售利润为800元.15.随着人们环保意识的不断增强,黄山市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计,某小区2019年年底拥有家庭电动自行车125辆,2019年年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.(1)若该小区2019年年底到2019年年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同,则该小区到2019年年底电动自行车将达到多少辆?(2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资3万元再建若干个停车位,据测算,建造费用分别为室内车位1000元/个,露天车位200元/个.考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,则该小区最多可建两种车位各多少个?试写出所有可能的方案.解:(1)设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x,则125(1+x)2=180,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).∴180(1+20%)=216(辆).答:该小区到2019年年底家庭电动自行车将达到216辆.(2)设该小区可建室内车位a个,露天车位b个,则{1000a +200b =30000, ①2a ≤b ≤2.5a . ② 由①得b=150-5a ,代入②得20≤a ≤1507, ∵a 是正整数,∴a=20或21.当a=20时,b=50;当a=21时,b=45.∴方案一:建室内车位20个,露天车位50个; 方案二:建室内车位21个,露天车位45个.第3课时用一元二次方程解决几何图形问题知识要点基础练知识点1 一般图形问题1.(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多10米.设绿地的宽为x 米,根据题意,可列方程为(B )A.x (x-10)=900B.x (x+10)=900C.10(x+10)=900D.2[x+(x+10)]=9002.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为75 cm2的矩形,问矩形的长和宽各是多少?解:设矩形的长为x cm,则矩形的宽为(20-x)cm,∵x>20-x,∴x>10.由题意得x(20-x)=75,整理得x2-20x+75=0,解得x1=5(舍去),x2=15,∴20-x=5.答:矩形的长为15 cm,宽为5 cm.知识点2边框与甬道问题3.如图,要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案,其中有两横两竖的彩条即图中的阴影部分,横竖彩条的宽度比为2∶1.如果要使阴影所占面积是图案面积的19,则竖彩条宽度为(A) 75A.1 cmB.2 cmC.19 cmD.1 cm或19 cm4.如图,在宽为40 m,长为70 m的矩形地面上修筑宽度相等的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2,求道路的宽.如果设道路的宽为x,根据题意,所列方程为(40-x)(70-x)=540.【变式拓展】某小区的一块长为26米,宽为15米的草坪内要修一条如图所示的宽度相同的甬道,使绿地的面积是甬道面积的4倍,则甬道的宽度为2米.5.如图所示,有一块矩形的广场,长为32米、宽20米,要在上面修筑同样宽的三条石子路(两条纵向,一条横向,横向与纵向互相垂直),这样把矩形广场分成大小不等的六块小矩形,并且总面积为570平方米,求道路的宽是多少米?解:设道路为x米宽,由题意得(32-2x)(20-x)=570,整理得x2-36x+35=0,解得x1=1,x2=35(舍去),答:道路为1米宽.综合能力提升练6.(哈尔滨中考)今年我市计划扩大城区绿地面积,现有一块长方形绿地,它的短边长为60 m,若将短边增大到与长边相等(长边不变),使扩大后的绿地的形状是正方形,则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m2.设扩大后的正方形绿地边长为x m,下面所列方程正确的是(A) A.x(x-60)=1600 B.x(x+60)=1600C.60(x+60)=1600D.60(x-60)=16007.安徽合肥市民为响应市委市政府提出的建设“绿色合肥”的号召,我市某单位准备将院内一块长30米,宽20米的长方形空地,建成一个矩形草坪,要求在草坪中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532平方米,那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)(D) A.1.2米 B.3米C.2米D.1米8.如图,在△ABC中,AC=50 m,BC=40 m,∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C以2 m/s 的速度匀速移动,同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线CB匀速移动,当△PCQ的面积等于300 m2时运动时间为(A)A.5秒B.20秒C.5秒或20秒D.不确定9.如图,在长为10,宽为8的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,则所截去小正方形的边长是2.10.如图,EF是一面长为18米的墙,用总长为32米的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地ABCD,中间用栅栏隔成同样三块.若围成的矩形ABCD 的面积为60平方米,则AB的长为12米. 11.如图,要设计一个形状为等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,高80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上、下底之间有两条纵向甬道,各甬道宽度相等,设甬道的宽为x米.(1)用含x的式子表示甬道的面积;(2)根据设计要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度(米)成正比,比例系数为5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么甬道宽度为多少米时,所建花坛费用为239万元?解:(1)甬道的面积为(120+180)÷2×x+2×80×x-2x2=(-2x2+310x)平方米.(2)根据题意,得×80-(-2x2+310x)+5.7x=239.0.02×180+1202整理,得2x2-25x+50=0,即(x-10)(2x-5)=0,解得x1=10,x2=2.5.∵x=10>6(舍去),∴x=2.5.答:甬道的宽度为2.5米时,所建花坛费用为239万元.12.(百色中考)在直角墙角AOB(OA⊥OB,且OA,OB长度不限)中,要砌20 m长的墙,与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓,且地面矩形AOBC的面积为96 m2.(1)求该地面矩形的长;(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位:m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块,若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙),用哪一种规格的地板砖费用较少?解:(1)设该地面矩形的长是x m,依题意得x(20-x)=96,解得x1=12,x2=8(舍去).答:该地面矩形的长是12米.(2)采用规格为0.80×0.80的地板砖所需的费用:[96÷(0.80×0.80)]×55=8250(元).采用规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用:[96÷(1.00×1.00)]×80=7680(元).因为8250>7680,所以采用规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用较少.拓展探究突破练13.小明是一位动手能力很强的同学,他用橡皮泥做成一个棱长为4 cm的正方体.(1)如图1所示,在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1 cm的正方形孔,打孔后的橡皮泥块的表面积为平方厘米;(2)如果在第(1)题打孔后,再在正面中心位置(如图2所示)从前到后打一个边长为1 cm 的正方形通孔,那么打孔后的橡皮泥块的表面积为平方厘米;(3)如果把(1)(2)中的边长为1 cm 的通孔均改为边长为a cm(a ≠1)的通孔,能否使橡皮泥块的表面积为118 cm 2?如果能,求出a ,如果不能,请说明理由.解:(1)110.(2)118.(3)能使橡皮泥块的表面积为118平方厘米. ∵S 1=96-2a 2+4a×4,S 2=S 1-4a 2+4×4a-4a 2, ∴96-2a 2+16a-8a 2+16a=118,整理得5a 2-16a+11=0,∴a 1=115,a 2=1.∵a ≠1,115<4, ∴当边长改为115 cm 时,表面积为118 cm 2.。