整式加减讲义

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整式及其加减运算一对一辅导讲义

课题整式及其加减运算授课日期及时
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教学目的1.掌握单项式，单项式的系数、次数的概念；
2.多项式，多项式的项、次数，常数项的概念及整式的概念
3、能进行整式的简单加减运算
教学内容
一、检查作业：
检查上次布置的作业：
1、上次布置了关于代数式的一些习题，检查学生完成情况，对其不懂的题目进行
讲解。

2、检查学生日校作业完成情况，对其做不来的题目进行点拨辅导。

二、知识整理：
（一）相关概念：
单项式；由数及字母或字母及字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或字母也叫做单项式，如0,1,a
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；
多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式；
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；
多项式的次数：次数最高的项的次数就是这个多项式的次数；
整式：单项式、多项式统称为整式。

注意：特别强调等分母含有字母的代数式不是整式。

（二）、例题解析：
考点1：单项式、多项式及整式的概念：
例：判断题：
(1) 2x 是关于x 的一次两项式． ( )
(2)－3不是单项式．( )
(3)单项式的系数是0．( )
(4)x3＋y3是6次多项式．( )
(5)多项式是整式．( )
答案：（1）错（2）错（3）错（4）错（5）对
变式：下列说法正确的是（B ）
A ．3 x 2―25的项是3x 2，2x ，5
B ．3x －3
y 及2 x 2―2－5都是多项式。

《整式的加减》讲义

《整式的加减》讲义一、整式的相关概念1、单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

例如，5，a，3x²等都是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如，单项式 3x²的系数是 3，次数是 2。

2、多项式几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。

例如，多项式 2x²＋ 3x 1 有三项，分别是 2x²，3x 和－1，其中－1 是常数项，次数最高项是 2x²，次数为 2，所以这个多项式的次数是 2。

3、整式单项式和多项式统称为整式。

二、同类项1、定义所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

例如，5x²y 和－3x²y 是同类项，4 和－7 是同类项。

2、合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。

例如：3x²＋ 2x²＝（3 ＋ 2)x²＝ 5x²三、整式的加减1、去括号法则（1）括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；例如：a ＋（b ＋ c) ＝ a ＋ b ＋ c（2）括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。

例如：a （b c) ＝ a b ＋ c2、整式的加减运算步骤（1）如果有括号，先去括号；（2）然后合并同类项。

例如：（3x² 5x ＋ 2) （2x²＋ x 3)＝ 3x² 5x ＋ 2 2x² x ＋ 3＝（3x² 2x²) ＋（－5x x) ＋（2 ＋ 3)＝ x² 6x ＋ 5四、整式加减的应用1、实际问题中的列式在解决实际问题时，经常需要根据题意列出整式，然后进行整式的加减运算来求解。

整式的加减讲义

整式得加减讲义知识要点一、整式得有关概念 1.单项式(1)概念:注意:单项式中数与字母或字母与字母之间就是乘积关系,例如:2x 可以瞧成12x ⋅,所以2x就是单项式;而2x 表示2与x 得商,所以2x不就是单项式,凡就是分母中含有字母得就一定不就是单项式、 (2)系数:单项式中得数字因数叫做这个单项式得系数、例如:212x y -得系数就是12-;2r π得系数就是2.π 注意:①单项式得系数包括其前面得符号;②当一个单项式得系数就是1或1-时,“1”通常省略不写,但符号不能省略、如:23,xy a b c -等;③π就是数字,不就是字母、(3)次数:一个单项式中,所有字母指数得与叫做这个单项式得次数、注意:①计算单项式得次数时,不要漏掉字母得指数为1得情况、如322xy z 得次数为1326++=,而不就是5;②切勿加上系数上得指数,如522xy 得次数就是3,而不就是8;322x y π-得次数就是5,而不就是6、2.多项式(1)概念:几个单项式得与叫做多项式、其含义就是:①必须由单项式组成;②体现与得运算法则、(2)项:在多项式中,每一个单项式叫做多项式得项,其中不含字母得项叫常数项;一个多项式含有几个单项式就叫几项式、例如:2231x y --共含有有三项,分别就是22,3,1x y --,所以2231x y --就是一个三项式、注意:多项式得项包括它前面得符号,如上例中常数项就是1-,而不就是1、 (3)次数:多项式中,次数最高项得次数,就就是这个多项式得次数、注意:要防止把多项式得次数与单项式得次数相混淆,而误认为多项式得次数就是各项次数之与、例如:多项式2242235x y x y xy -+中,222x y 得次数就是4,43x y -得次数就是5,25xy 得次数就是3,故此多项式得次数就是5,而不就是45312++=、3.整式:单项式与多项式统称做整式、4.降幂排列与升幂排列(1)降幂排列:把一个多项式按某一个字母得指数从大到小得顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母得降幂排列、(2)把一个多项式按某一个字母得指数从小到大得顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母得升幂排列、注意:①降(升)幂排列得根据就是:加法得交换律与结合律;②把一个多项式按降(升)幂重新排列,移动多项式得项时,需连同项得符号一起移动;③在进行多项式得排列时,要先确定按哪个字母得指数来排列、例如:多项式24423332xy x y x y x y ----按x 得升幂排列为:42233432y xy x y x y x -+---;按y 得降幂排列为:42323432y x y xy x y x --+--、二、整式得加减1.同类项:所含得字母相同,并且相同字母得指数也分别相同得项叫做同类项、注意:同类项与其系数及字母得排列顺序无关、例如:232a b 与323b a -就是同类项;而232a b 与325a b 却不就是同类项,因为相同得字母得指数不同、2.合并同类项(1)概念:把多项式中相同得项合并成一项叫做合并同类项、注意:①合并同类项时,只能把同类项合并成一项,不就是同类项得不能合并,如235a b ab +=显然不正确;②不能合并得项,在每步运算中不要漏掉、(2)法则:合并同类项就就是把同类项得系数相加,所得得结果作为系数,字母与字母得指数保持不变、注意:①合并同类项,只就是系数上得变化,字母与字母得指数不变,不能将字母得指数相加;②合并同类项得依据就是加法交换律、结合律及乘法分配律;③两个同类项合并后得结果与原来得两个单项式仍就是同类项或者就是0、3.去括号与填括号(1)去括号法则:括号前面就是“＋”,把括号与它前面得“＋”去掉,括号内得各项都不变号;括号前面就是“－”,把括号与它前面得“－”去掉,括号内得各项都改变符号、注意:①去括号得依据就是乘法分配律,当括号前面有数字因数时,应先利用分配律计算,切勿漏乘;②明确法则中得“都”字,变符号时,各项都变;若不变符号,各项都不变、例如:()();a b c a b c a b c a b c +-=+---=-+;③当出现多层括号时,一般由里向外逐层去括号,如遇特殊情况,为了简便运算也可由外向内逐层去括号、 (2)填括号法则:所添括号前面就是“＋”号,添到括号内得各项都不变号;所添括号前面就是“－”号,添到括号内得各项都改变符号、注意:①添括号就是添上括号与括号前面得“＋”或“－”,它不就是原来多项式得某一项得符号“移”出来得;②添括号与去括号得过程正好相反,添括号就是否正确,可用去括号来检验、例如:()();.a b c a b c a b c a b c +-=+--+=--4.整式得加减整式得加减实质上就是去括号与合并同类项,其一般步骤就是: (1)如果有括号,那么先去括号;(2)如果有同类项,再合并同类项、注意:整式运算得结果仍就是整式、基础巩固1下列说法正确得就是( )A.单项式23x -得系数就是3-B.单项式3242π2ab -得指数就是7C.1x就是单项式 D.单项式可能不含有字母 2多项式2332320.53x y x y y x ---就是次项式,关于字母y 得最高次数项就是 ,关于字母x 得最高次项得系数 ,把多项式按x 得降幂排列。

整式的加减-讲义(教师版)

整式的加减一、课堂目标1．理解同类项的概念，会合并同类项；2．掌握去括号法则和添括号法则，会进行简单的去括号运算；3．会用合并同类项、去括号等方法进行整式加减计算．【备注】【目标解读】a.关联知识：有理数章节学习了有理数相关计算，本章整式的加减进一步学习式的计算，有理数计算是后续学习中计算相关内容的基础．整式的的计算是初中阶段式相关运算的基础．除了本章的整式加减，后续还会学习整式的乘除，分式的加减与乘除、二次根式的加减与乘除等式相关的运算内容．b.本讲解读：本讲重点内容是整式的加减运算，掌握合并同类项及去括号的方法．本讲的难点是熟练应用合并同类项及去括号进行加减计算，并且计算准确．c.能力素养：培养学生数感、符号意思和运算能力．二、知识引入在之前的学习中我们已经掌握了整式的相关概念，也掌握了如何用代数式表示实际问题，例如之前我们学过的买笔问题，一根铅笔元，小明买10根，一共需要。

那么如果小红也买铅笔，买了5根，需要.但是请问小明小红一共需要多少元呢？如果要解决这个问题，我们的学习就需要再进一步，学习如何利用整式来进行计算以及解决实际问题。

元元【备注】【教学建议】1、一共：元；2、那么能化简吗，老师可以就此向学生提问，并举几个例子引导学生找到化简这个式子的方法．如利用运算律化简可得：；利用运算律化简可得：；所以仿照上述方法可得：．那么也可以用上述方法化简即．还可以让学生在试着举出几个例子，并总结举出的例子满足什么条件时，可以利用上述方法化简．三、知识讲解1. 合并同类项同类项定义所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，称为同类项．例如：与互为同类项．【注意】所有的常数项都是同类项．【备注】【教学建议】同类项是对两个或多个单项式进行分析判断的．同类项的特征为“两相同，两无关”．相同是指所含字母相同，相同字母的指数相同；无关是指与系数的大小无关，与字母的排列顺序无关．例如：与是同类项，与是同类项．【注意】同类项不能单独存在，至少对应两项而言．经典例题1A.与 B.与C.与 D.与（1）（2）解答：下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是（）．如果与是同类项，则或．【备注】【教学建议】（1）（2）【解析】【标注】【答案】（1）（2）B;同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同．【知识点】同类项的定义【知识点】由同类项求参数的值【知识点】整式的定义同类项中，相同字母的指数一定相等，根据这个规律可以处理含参问题．思路梳理知识点：1、 2、 3、题目练习11.与．（）2.与．（）3.与．（）4.与．（）5.与．（）6.与．（）7.与．（）8.与．（）9.与．（）10.与．（）1.【标注】判断下列各组式子是否是同类项，如果是同类项，在括号里填“”，不是同类项，在括号里填“”．【答案】××✓××✓✓✓××【知识点】同类项的定义1.和．2.和．3.和．4.和．5.和．6.和．2.【解析】判断下列式子是不是同类项．【答案】YNYYYN 略．【标注】【知识点】同类项的定义A.B.C.D.3.【解析】【标注】若与是同类项，那么（）．【答案】C ∵与是同类项，∴，，解得：，，∴，故选：．【知识点】由同类项求参数的值4.【解析】【标注】若与是同类项，则．【答案】∵与是同类项，∴，，解得：，，故．故答案为：．【知识点】由同类项求参数的值合并同类项合并同类项定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．合并同类项步骤：。

整式的加减讲义

整式的加减复习讲义（第一课时，计39分钟）一、课前准备(自习10分钟)1、_________和_________统称整式。

2、所含_______相同，并且相同字母的_______也分别相等的项叫同类项。

所有的常数项_______（是/不是）同类项。

3、合并同类项的法则：把同类项的________相加，所得的结果作为____________，字母和字母的指数______________.4、去括号法则：（1）括号前是“+”号，把括号和前面的“+”号去掉，括号里各项都_______符号。

（2）括号前是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项都______符号。

5、添括号法则：（1）所添括号前面是“+”号，括号里各项都_________符号（2）所添括号前面是“－”号，括号里各项都_________符号6、整式的加减的一般步骤：（1）如果有括号，那么__________；（2）如果有同类项，那么___________。

二、知识点回顾（提问、讲解15分钟）代数式：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

单项式：像2a -，2πr ，213x y -，abc -，237x yz ，…，这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式。

单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数。

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。

多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项。

多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

整式：单项式和多项式统称为整式整式运算合并同类项：把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变。

三、讲与练板块一单项式与多项式【例1】用代数式表示a 与-5的差的2倍是( )（5分钟）A 、a-(-5)×2B 、a+(-5)×2C 、2(a-5）D 、2(a+5）练习：1、某班共有学生x 人，其中女生人数占35％，那么男生人数是（）A 、35％xB 、(1－35％)xC 、35%xD 、135%x - 2、一个两位数，十位上的数字是x ，个位上的数字是y ，如果把十位上的数与个位上的数对调，所得的两位数是（）A 、yxB 、y+xC 、10y+xD 、10x+y【例2】下列说法正确的是( )（3分钟）A ．单项式23x -的系数是3-B ．单项式3242π2ab -的指数是7 C ．1x是单项式 D ．单项式可能不含有字母练习：单项式2335a bc -的系数是______，次数是______；【例3】多项式2332320.53x y x y y x ---是次项式，关于字母y 的最高次数项是，关于字母x 的最高次项的系数，把多项式按x 的降幂排列。

第三章整式及其加减讲义

第三章整式及其加减讲义第1讲字母能表示什么【基础知识精讲】1．字母表示数的意义：（1）用字母表示数是从算术到代数的一个重大转变，为研究问题带来方便；（2）用字母表示数就是将表示基本数量关系的文字语言转化为数学语言；（3）用字母表示数是代数的实质。

2．用字母表示数有以下几个特点：（1）任意性：字母可以表示任意数或式；（2）限制性：字母取值应使具体代数式有意义；（3）确定性：字母取值一旦确定，代数式的值也随之确定；（4）抽象性：字母取代数据更准确地反映事物的规律，更具有一般性。

3．应注意的问题：（1）同一问题中不同的数或量要用不同字母表示，以示区别；（2）不同问题中的数或量可用同一字母来表示。

典型例题：[例1]已知一个圆柱的底面半径为r，高与底面半径相等，则圆柱的侧面积和体积分别为多少？[例2]如图所示，用字母表示阴影部分的面积。

[例3]如图，正方形的边长a=4cm，求阴影部分面积。

[例4]用字母表示：（1）所有偶数；（2）所有奇数。

【同步达纲练习】一．填空题：1．如果早上测得某病人的体温为t℃，傍晚时病人的体温下降了0.5℃，则傍晚时病人的体温为______________。

2．一辆卡车的行驶速度为v千米/小时，则卡车行驶2小时经过的路程为_____________千米，行驶n小时经过的路程为____________千米。

3．如果一项工程需要投入资金a万元，经过技术改造，可以节约资金100万元，则实际投入资金____________万元。

4．小王今年m岁，小李比小王小3岁，5年后小李_______岁。

5．商店运来一批梨，共9箱，每箱n个，则共有_______个梨．6．一个正方体边长为a，则它的体积是_______．7．一个梯形，上底为3cm，下底为5cm，高为h cm，则它的面积是_______cm2．8．一客车行驶在长240千米的公路，设它行驶完共用a个小时，则它的速度是每小时______千米．9．零乘任何数得零，用字母表示为_____．10．“龟兔赛跑”，龟兔每小时的行程分别为a千米、b千米，经过t小时后，龟兔相距_____千米．11．某水果市场，苹果的零售价为每斤2元，一人要买x斤苹果需付款__________元，另一人付资y元，需给苹果__________斤．12．一个有31排，每排29个座位的电影院，演a场电影，场场座无虚席，共出售电影票______张，如果每张电影票售价b元，则电影院收入__________元．13．某水果批发商，第一天以每斤3元的价格，出售西瓜m斤，第二天又以每斤2元的价格出售西瓜n斤，则该水果批发商，这两天卖出西瓜的平均售价为_____．二、选择题1．用字母表示加法交换律，错误的是（）A．a＋b＝b＋a B．m＋n＝n＋mC．p·q＝q·p D．x＋y＝y＋x2．如果m表示奇数，n表示偶数，则m＋n表示（）A．奇数B．偶数C．合数D．质数3．两同心圆，大圆半径为R，小圆半径为r，则阴影部分的面积为（）A．πR2 B．πr2C．π（R2＋r2）D．π（R2－r2）4．数轴上点A位于原点的右侧，所对应的实数为a（a＜3），则位于原点左侧，与A点距离为3的点B所对应的实数为（）A．3－a B．a－3C．a＋3 D．－35．下列数值一定为正数的是（）A．｜a｜＋｜b｜B．a2＋b21C．｜a｜－｜b｜D．｜a｜＋26．比较a＋b与a－b的大小，叙述正确的是（）A．a＋b≥a－b B．a＋b＞a－bC．由a的大小确定D．由b的大小确定7．原产量n 千克增产20%之后的产量应为（） A ．（1-20%）n 千克 B ．（1＋20%）n 千克 C ．n ＋20%千克 D ．n ×20%千克8．甲乙两人岁数的年龄和等于甲乙两人年龄差的3倍，甲x 岁，乙y 岁，则他们的年龄和如何用年龄差表示（） A ．（x ＋y ） B ．（x -y ） C ．3（x -y ） D ．3（x ＋y ）9．三角形一边为a ＋3，另一边为a ＋7，它的周长是2a ＋b ＋23，求第三边（） A ．b -13 B ．2a ＋13 C ．b ＋13 D ．a ＋b -13 10．公路全长P 米，骑车n 小时可到，如想提前一小时到，则需每小时走_______米．（） A ．nP＋1 B ．1-n PC ．1+nP PD ．1+n P 三、根据题意用字母表示下列各式：1．平行四边形高a ，底b ，求面积．______________________________。

第三章整式的加减培优讲义华东师大版七年级数学上册

整式的加减培优讲义考点1.利用整体思想化简求值典例精析（2022秋•旌阳区校级期中）阅读材料：我们知道，4x ﹣2x +x ＝（4﹣2+1）x ＝3x ，类似地，我们把（a +b ）看成一个整体，则4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把（a ﹣b ）2看成一个整体，合并3（a ﹣b ）2﹣6（a ﹣b ）2+5（a ﹣b ）2的结果是．（2）当x ＝1时，代数式a 2x 3+bx ﹣5的值为2，则当x ＝﹣1时，求代数式2a 2x 3+2bx ﹣10的值．拓广探索：（3）求2（3m 2+n ）﹣3（2m 2﹣mn ）﹣（4mn ﹣2m ）的值，其中m +n ＝3，mn ＝﹣9．方法归纳整式化简求值时，若无法直接求出字母的值，且整式的某部分与已知条件中的某部分相似，可利用整体思想解题，应用此方法，一般先将求值式变形为与已知条件相似或者相同，或者成倍数关系的形式，再利用整体代入的方法求解.针对训练1.如果代数式8y 2﹣4y +6的值是﹣10，那么代数式2y 2﹣y ﹣4的值等于（）A ．0B ．﹣5C ．﹣8D ．8 2.对于任意的有理数a ，b ，如果满足a 2+b 3=a+b 2+3，那么我们称这一对数a ，b 为“相随数对”，记为（a ，b ）．若（m ，n ）是“相随数对”，则2[4m +（2n +1）]+m ＝（）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．33.（2022秋•黄陂区期中）当x ＝2时，代数式ax 3﹣bx ﹣1的值为﹣15，则当x ＝﹣1时，代数式16ax 2+4bx +3的值为．4.（2022秋•济南期末）已知m ﹣n ＝2，mn ＝﹣5，则3（mn ﹣n ）﹣（mn ﹣3m ）的值为．5.先化简，再求值．若m 2+3mn ＝﹣5，则代数式5m 2﹣[5m 2﹣（2m 2﹣mn ）﹣7mn +7]的值．6.（2023秋•大连期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）．解：原式＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．参照本题阅读材料的做法解答：（1）把（a ﹣b ）6看成一个整体，合并3（a ﹣b ）6﹣5（a ﹣b ）6+7（a ﹣b ）6的结果是．（2）已知x 2﹣2y ＝1，求3x 2﹣6y ﹣2023的值．（3）已知a ﹣2b ＝3，2b ﹣c ＝﹣4，c ﹣d ＝10，求（a ﹣c ）+（2b ﹣d ）﹣（2b ﹣c ）的值．7.（2022秋•公主岭市期中）[阅读理解]若代数式x 2+x +3的值为7，求代数式2x 2+2x ﹣3的值．小明采用的方法如下：由题意得x 2+x +3＝7，则有x 2+x ＝4，2x 2+2x ﹣3＝2（x 2+x ）﹣3＝2×4﹣3＝5．所以代数式2x 2+2x ﹣3的值为5．[方法运用]（1）若代数式x 2+x +1的值为10，求代数式﹣2x 2﹣2x +3的值．（2）当x ＝2时，代数式ax 3+bx +4的值为9，当x ＝﹣2时，求代数式ax 3+bx +3的值．[拓展应用]若a 2﹣ab ＝26，ab ﹣b 2＝﹣16，则代数式a 2﹣2ab +b 2的值为．8.（2023秋•深圳期中）在代数式求值问题中，整体思想运用十分广泛，如：已知代数式5a +3b ＝﹣4，求代数式2（a +b ）+4（2a +b ）+3的值．解法如下：原式＝2a +2b +8a +4b +3＝10a +6b +3＝2（5a +3b ）+3＝2×（﹣4）+3＝﹣5．利用整体思想，完成下面的问题：（1）已知﹣m 2＝m ，则m 2+m +1＝；（2）已知m ﹣n ＝2，求2（n ﹣m ）﹣4m +4n ﹣3的值．（3）已知m 2+2mn ＝﹣2，mn ﹣n 2＝﹣4，求3m 2+92mn +32n 2的值．例.（2022秋•北京期末）我们规定：使得a ﹣b ＝2ab 成立的一对数a ，b 为“有趣数对”，记为（a ，b ）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”．（1）数对（1，13），（1.5，3），（−12，﹣1）中，是“有趣数对”的是；（2）若（k ，﹣3）是“有趣数对”，求k 的值；（3）若（m ，n ）是“有趣数对”，求代数式8[3mn −12m ﹣2（mn ﹣1）]﹣4（3m 2﹣n ）+12m 2的值．方法归纳三步解决“新定义”问题 (1)审题——提取信息提取关键词，明确“新定义”的概念、原理、方法、步骤和结论；(2)理解——以旧引新利用“例子”及“旧知识”理解和正确运用“新定义”;(3)转化——迁移应用类比“新定义”中的概念、原理、方法、步骤和结论，解决题目中需要解决的问题.针对训练1.（2022秋•桥西区校级期末）定义一种新运算：a ⊗b ＝a ﹣2b ．例如2⊗3＝2﹣2×3＝﹣4，则x ⊗（﹣y ）化简后的结果是（）A ．x +2yB ．2x ﹣yC ．x ﹣2yD ．2x +y 2.（2022秋•荆门期末）定义一个新运算f （a ，b ）={a +b(a ＜b)a −b(a ＞b)，已知a 2＝4，b ＝1，则f （a ，b ）＝．3.（2023•北碚区校级开学）对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“逊敏数”．例如：m ＝7523，满足2+3＝5，2×2+3＝7，所以7523是“逊敏数”；m ＝9624，满足2+4＝6，但2×2+4＝8≠9，所以9624不是“逊敏数”．（1）判断7431和6541是不是“逊敏数”，并说明理由；（2）若m 是“逊敏数”，且m 与12的和能被13整除，求满足条件的所有“逊敏数”m ．4.（2022秋•港北区期中）定义：若m +n ＝2，则称m 与n 是关于2的平衡数．（1）3与是关于2的平衡数；5﹣x 与（用含x 的整式表示）是关于2的平衡数．（2）若A ＝2x 2﹣3（x 2+x ）+4，B ＝2x ﹣[3x ﹣（4x +x 2）﹣2]，判断A 与B 是否是关于2的平衡数，并说明理由．5.（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a ＞b ＞c ．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若F(A)+G(A)16为整数，求出满足条件的所有数A ．例.（2022秋•霞浦县期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．（1）按图示规律完成下表：图形1 2 3 4 5 … 火柴棒根数 5 9 13 …（2）按照这种方式搭下去，搭第n 个图形需要根火柴棒．（用含n 的代数式表示）（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．方法归纳图形变化规律问题解决图形变化规律问题可以从“形”和“数”两个角度入手，通过逐一观察图，分析和归纳出图形或数字的变化规律，从而得出答案.这体现了从特殊到一般的数学思想. 针对训练1.（2022秋•新城区校级期中）按一定规律排列的单项式：x 3，2x 5，3x 7，4x 9，5x 11，6x 13……第n （n ≥1，n 为正整数）个单项式是（）A ．nx n +1B ．nx 2n +1C ．nx 2n ﹣1D ．x 2n +12.（2022秋•泗水县期末）学校举办图画展览，需要依次把图画作品横着钉成一排（如图所示），图中圆点表示图钉，照这样的规律，当需要的图钉颗数为2022颗时，则所钉图画作品的数量为（）A ．1011张B ．1010张C ．1009张D ．1012张3.（2022•大同模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由相同的正方形和相同的圆组成的，正方形涂有阴影，依此规律，则第n 个图案中有个圆．（用含有n 的代数式表示）4.如图，第1个图形需要3个棋子，第2个图形需要8个棋子，第3个图形需要15个棋子，…，按照这样规律第n 个图形需要个棋子（用含n 的代数式表示）．5.（2023•沙县一模）用棋子摆出下列一组图形（如图），按图上所显示的规律继续摆下去，摆到第个图形时，这组图形总共用了枚棋子．6.观察下面三行数：2，﹣4，8，﹣16，32，…①1，﹣5，7，﹣17，31，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行数按什么规律排列，请直接写出第n 个数为（n 是正整数）．（2）第②行数与第①行数有什么关系，请直接写出第②行第n 个数为（n 是正整数）．第③行数与第①行数有什么关系，请直接写出第③行第n 个数为（n 是正整数）．（3）取每行数的第21个数，分别设为a ，b ，c ，求12a +12b +2c 的值．。

整式的加减讲义

第2章整式的加减1．从用字母表示数逐渐提升到准确规范列代数式.（1）用字母表示数的意义：可以简明地表示数学运算定律；可以简明地表示公式；简明地表示问题中的数量关系．（2）用字母表示数要注意：同一个问题中不同数或数量要用不同的字母表示；不同问题中不同数或数量可以用相同的字母表示，但相同字母表示的含义是不同的；用同一个字母表示数，往往不只是一个值，而是若干个或无数个值，也就是同一个字母可以表示不同的数值；用字母表示数具有任意性，也有局限性，如：式子中的a不能等于１；用多个字母表示某一问题中的数量关系时，字母的取值互相制约，如：式子中，字母a或b可以任意取值，但a，b却不能取相同的数值．（3）要求严格按照以下书写代数式的几点要求书写.①代数式中数与字母、字母与字母相乘时，通常应省略乘号。

如，×常写成 “·”号或省略不写，而数与数相乘时，则不能将“×”写成“·”号或省略不写；②数与字母相乘，数应写在字母的前面，如5a不写成a5；③除法运算常写成分数形式；④带分数与字母相乘，应把带分数化为假分数；⑤当系数或字母的指数是1时，这个“1”通常不写.（４）尽可能熟记一些常用数的表达方式. 以下代数式中，m，n均为（正）整数.如：奇数2n-1或2n+1；偶数2n；三个连续整数一般写作n-1，n，n+1；三个连续偶数般写作2n-2，2n，2n+2；三个连续奇数般写作2n-1，2n+1，2n+3；被3整除的数写作3n；被5除商m余1的数5m+1；用表示数的正负性；2.单项式、多项式、整式及其相关概念可通过适当例题加深理解与强化.（1）单项式：数字或字母的积组成的式子例1判断下列各式中，哪些是单项式，并说出各单项式的系数、次数？，，，， 0，，通过此题，强调应注意以下几点：①单项式只能含有乘除（乘方）运算，除法运算只限于除数是数字（因为可以看作分数系数）的情况；在确定单项式的系数时别忘了符号和分母中的数字；②单独的一个数字和字母也是单项式；③单项式次数只与字母指数有关;④圆周率π是常数.（2）多项式：几个单项的和；整式：单项式和多项式统称为整式。

整式的加减讲义

第2节整式的加减【知识要点】1．同类项的含义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。

所有的常数项都是同类项两个相同：﹙1﹚所含字母相同；﹙2﹚相同字母的指数分别相同，两者缺一不可。

两个无关：﹙1﹚同类项与系数大小无关；﹙2﹚同类项与它们所含相同字母的顺序无关。

2．合并同类项：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。

如：a b b a -+-32中，a 2与a -是同类项，b -与b 3是同类项，可以合并同类项b a b a a b b a 2)31()12(32+=+-+-=-+- 合并同类项的注意点：①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0。

②合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并；不能合并的项，不能遗漏。

③合并后的多项式结果可以是单项式，也可以是多项式。

④书写按代数式的规范。

3．整式的加减：去括号法则：①括号前是“+”号，把括号和他前面的“+”号去掉后，括号理各项的符号都不改变 ②括号前是“－”号，把括号和他前面的“－”号去掉后，括号理各项的符号都要改变如：3()3a b a b +-=+-；3()3a b a b --=-+ 括号前有系数时去括号的方法：若代数式如32(2)a b ++，括号前有系数，应先进行乘法分配律，再去括号。

注意：①去括号时，括号与前面的“+”号或“－”号一起去掉 ② 括号前有数字因数，应把它与括号内各项相乘，切忌漏乘③ 去括号的实质是应用乘法分配律进行代数运算，“－”号可以看成系数为－1。

【学习目标】1.理解同类项概念，学会合并同类项；2.熟练整式的加减法，特别是去括号要注意性质符号的变化。

【典型例题】1．合并同类项【例1】下列各题的两个式子是不是同类项？并说明理由（1）26x -与254x（2）234y x 与327y x（3）－1000与π【分析】判断几个单项式是不是同类项，可用两条标准衡量：（1）单项式所含字母相同；（2）相同字母的指数也相同，两个条件缺一不可。

整式的加减讲义

整式的加减讲义本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March整式的加减讲义知识要点一、整式的有关概念1．单项式（1）概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如：可以看成，所以是单项式；而表示2与的商，所以不是单项式，凡是分母中含有字母的就一定不是单项式.（2）系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如：的系数是；的系数是注意：①单项式的系数包括其前面的符号；②当一个单项式的系数是1或时，“1”通常省略不写，但符号不能省略. 如：等；③是数字，不是字母.（3）次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.注意：①计算单项式的次数时，不要漏掉字母的指数为1的情况. 如的次数为，而不是5；②切勿加上系数上的指数，如的次数是3，而不是8；的次数是5，而不是6.2．多项式（1）概念：几个单项式的和叫做多项式. 其含义是：①必须由单项式组成；②体现和的运算法则.（2）项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几个单项式就叫几项式.例如：共含有有三项，分别是，所以是一个三项式.注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是，而不是1.（3）次数：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和. 例如：多项式中，的次数是4，的次数是5，的次数是3，故此多项式的次数是5，而不是.3．整式：单项式和多项式统称做整式.4．降幂排列与升幂排列（1）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列.（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列.2x 12x ⋅2x 2x x 2x 212x y -12-2r π2.π1-23,xy a b c -π322xy z 1326++=522xy 322x y π-2231x y --22,3,1x y --2231x y --1-2242235x y x y xy -+222x y 43x y -25xy 45312++=注意：①降（升）幂排列的根据是：加法的交换律和结合律；②把一个多项式按降（升）幂重新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；③在进行多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列. 例如：多项式按的升幂排列为：；按的降幂排列为：.二、整式的加减1．同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关. 例如：与是同类项；而与却不是同类项，因为相同的字母的指数不同.2．合并同类项（1）概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项.注意：①合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，如显然不正确；②不能合并的项，在每步运算中不要漏掉.（2）法则：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变.注意：①合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能将字母的指数相加；②合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律；③两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0.3．去括号与填括号（1）去括号法则：括号前面是“＋”，把括号和它前面的“＋”去掉，括号内的各项都不变号；括号前面是“－”，把括号和它前面的“－”去掉，括号内的各项都改变符号.注意：①去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利用分配律计算，切勿漏乘；②明确法则中的“都”字，变符号时，各项都变；若不变符号，各项都不变. 例如：；③当出现多层括号时，一般由里向外逐层去括号，如遇特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号.（2）填括号法则：所添括号前面是“＋”号，添到括号内的各项都不变号；所添括号前面是“－”号，添到括号内的各项都改变符号.注意：①添括号是添上括号和括号前面的“＋”或“－”，它不是原来多项式的某一项的符号“移”出来的；②添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可用去括号来检验. 例如：4．整式的加减整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是：（1）如果有括号，那么先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项.注意：整式运算的结果仍是整式.基础巩固1下列说法正确的是( )A．单项式23x-的系数是3- B．单项式3242π2ab-的指数是724423332xy x y x y x y----x42233432y xy x y x y x-+---y42323432y x y xy x y x--+--232a b323b a-232a b 325a b235a b ab+= ()();a b c a b c a b c a b c+-=+---=-+()();.a b c a b c a b c a b c+-=+--+=--C．1是单项式 D．单项式可能不含有字母x2多项式2332320.53x y x y y x ---是次项式，关于字母y 的最高次数项是，关于字母x 的最高次项的系数，把多项式按x 的降幂排列。

整式的加减新课讲义教案

2.2整式的加减知识点一、同类项1、定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

例如：mn2与 3mn2是同类项； 2x2 y3与1y3 x 2是同类项；2与3 也是同类项。

22、定义理解：（1）同类项不一定是两项，也乐意是三项、四项或更多，但至少是两项；（2）辨别同类项要准确把准“两相同，两无关”，“两相同”是指： a.所含字母相同； b.相同字母的指数相同。

同时具备这两个条件的项就是同类项，缺一不可。

“两无关”是指： a. 与系数及系数的指数无关；b. 与字母的排列顺序无关。

（如22ab c b ca 实同类项）3与 4例 1、指出下列多项式中的同类项。

（ 1）3x 2 y 1 5 y 2x3；（ 2）3x2y 2xy21xy22yx 2；23知识点二、合并同类项（难点）1、定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

2、法则：字母及字母的指数均不变，只需把同类项的各系数相加即可。

3、步骤：（ 1）先判断哪些是同类项；（2）利用法则合并同类项；（3）写出合并同类项后的结果。

4、注意：（ 1）合并同类项之前要先判断哪些是同类项，当项数很多时，我们通常在同类项的下面作上相同的标记，（ x3x2 y xy23x2 y 4xy25y 3）这样就容易合并了；注意不要忘记没有同类项的项。

（2）同类项移动位置时，不要漏掉它的系数与符号，特别注意“—”号。

（3）当同类项的系数互为相反数时，合并结果为0.（4）当结果为多项式时，将其按某一个字母的升幂或降幂排列。

（5）同类项不一定是单项式，有时也可将一些多项式当成一个整体理解为同类项。

如： ( 2a 3b) 2( a b) 3(2a 3b)24( a b)例 2、合并下列多项式中的同类项。

（ 1）22 5 3225；（）322223 x x x x a a b ab a b ab b2知识点三、去括号1、去括号的法则：（ 1）看清括号前符号是“+”还是“—”；（ 2）括号前是“+”号，去括号后原括号内各项符号不变；括号前是“—”号，去括号后原括号内各项符号均变为相反的符号。

整式加减标准讲义

（2）添括号法则：所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前面是“ ”号，括到括号里的各项都改变符号。
如： a + b − c = + (a + b − c) ， −a − b + c = − (a + b − c)
（3）注意 A.拆开括号时要根据乘法分配律，将括号内的没一项分别乘以括号前的系数； B.括号前没有其他数字，根据符号把系数看做 1 或 1； C.括号外的系数是正数时，去括号后每一项系数的符号不变； D.括号外的系数是负数时，去括号后每一项系数的符号与原符号相反； E.对于多层括号，一般由里向外逐层去括号，有时也可根据“奇负偶正”的原则化简多重符号。
．
（6）已知 3a − 7b = −3 ，代数式 9a − 21b + 3 的值为
．
5
（7）当 x = 3 时，代数式 px3 + qx + 1 的值为 2019，则当 x = −3 时，代数式 px3 + qx + 1 的值
是
．
（8）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是 30，则输出的结果为 56，要
元：（用含 x 的代数式表示）
若该客户按方案②购买，需付款
元；（用含 x 的代数式表示）
（2）若 x = 10 ，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
6
5.小颖为妈妈准备了一份生日礼物，礼物外包装盒为长方体形状，长、宽、高分别为 a 、 b 、 c(a b c) ，为了美观，小颖决定在包装盒外用丝带打包装饰，她发现，可以用如图所示的三种打包方式，所需丝带的长度分别为 l1 ， l2 ， l3 （不计打结处丝带长度）．
C． 4ab − b2

(完整版)七年级数学整式的加减讲义

第二章整式的加减(1)一、本节学习指导本章不是太难，我们抓住几个“式”的概念，同学们对概念要反复推敲理解，然后多做一些练习题就能掌握。

二、知识要点课时1代数式学习要求：理解代数式的概念，掌握代数式的基本写法，能按要求列出代数式，会求代数式的值.1、代数式代数式的概念：由数和表示数的字母用运算符号连接成的式子称为代数式。

例如：ax+2b,—2a3等。

注意：(1 )、不包括等于号(=、)、不等号(疋、w、》、＜、＞)、约等号(2)、可以有绝对值。

例如：|x| ,卜2.25| 等。

书写要求：1. 数字和字母之间、字母和字母之间的乘号一般都简记为“•”或者省略不写。

如5冷可以写成5 -a或5a。

2. 把含有字母的乘法式子进行简写时，必须把数字写在字母之前。

如ax4省略乘号时应写成4a。

1 13. 带分数与字母相乘时，要省略乘号必须要把带分数化为假分数。

如2-乘以xy,应写成宁xy。

3 吉4. 在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写。

如x*y写作y ,。

x5. 如果结果是加减关系的代数式有单位须把结果用括号括起来，然后再写单位名称。

如温度由t C下降3C后是(t-3) C,而不能写成t-3C。

2、代数式求值的方法步骤：(1、代入：用具体数值代替代数式中的字母；(2、计算：按照代数式指明的运算计算出结果。

例题：1.下列代数式中，符合书写要求的是( 、A. a3 E. c. D. —a3 3试题分析：代数式的书写要求：1、数字因数在字母前面；2、数字因数是带分数是要化成假分数•所以A B都不对；小是除法运算不是代数式所以C不对；D符合书写要求•所以选D.2 •下列各式中，符合代数式书写格式的有()•a 2a 3, 3 a,—, 2 x, (x y) 5, a+b 厘米.b 3(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个3. 下列各式中哪些是代数式？哪些不是代数式？327 2 3(1) c X 1；( 2) a 2 ； (3); (4) S R ； (5) c ；( 6)°「35注意：单独一个数或一个字母也是代数式。

整式加减全章讲义

《整式加减》计算训练（1）－2(4a －3b )＋3(5b －3a ) （2）7xy ＋xy 3＋4＋6x － 25xy 3－5xy －3（3）－3（2a ＋3b ）－31（6a －12b ）（4）b a b a +--)5(2（5）)(4)()(3222222y z z y y x ---+- （6）()()323712p p p p p +---+（7）22225(3)2(7)a b ab a b ab --- （8）（4a 2－3a ＋1）－3（－a 3＋2a 2）（9） 3(2)(3)3ab a a b ab -+--+ （10）－4)142()346(22----+m m m m（11） )312(65++-a a （12）),23()2(342222c a ac b a c a ac b a +-+---（13） (2)()xy y y yx ---+ （14）-2（3a 2－4）＋（a 2－3a ）－（2a 2-5a ＋5）（15） 2237(43)2x x x x ⎡⎤----⎣⎦ （16）－[]12)1(32--+--n m m（17） 22112()822a ab a ab ab ⎡⎤--+-⎢⎥⎣⎦ （18）()[]22222223ab b a ab b a ---（19）3x －[5x ＋(3x －2)] （20）222[(1)1]1x x x -----（21）2213[5(3)2]42a a a a ---++ （22）3(-2x 2+3xy)-4[x 2-(2x 2-xy+y 2)]（23）化简再求值：)522(2)624(22-----a a a a 其中 1-=a .（24）化简再求值：()22463421x y xy xy x y ⎡⎤----+⎣⎦，其中12,2x y ==-（25）已知325A x x =-，2116B x x =-+，当1x =-时，求A ＋5B 的值。

整式的加减讲义

【整式的加减基础版讲义】第一节整式【单项式】导入：(1)若正方形的边长为a ，则正方形的面积是；(2)若三角形一边长为a ，并且这边上的高为h ，则这个三角形的面积为； (3)若x 表示正方形棱长，则正方形的体积是； (4)若m 表示一个有理数，则它的相反数是；(5)小明从每月的零花钱中贮存x 元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款元。

1．单项式：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。

单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5。

例题：判断下列各代数式哪些是单项式？ (1)21x ； (2)a bc ； (3)b 2； (4)－5a b 2； (5)y ； (6)－xy 2； (7)－5。

2．单项式系数和次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如：xy 2,这个单项式的次数是 3 次，而不是2次。

（单独的一个数的次数是0.）例题1：判断下列各代数式是否是单项式。

如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。

①x ＋1； ②x1； ③πr 2； ④－23a 2b 。

例题2：下面各题的判断是否正确？①－7xy 2的系数是7；②－x 2y 3与x 3没有系数；③－a b 3c 2的次数是0＋3＋2；④－a 3的系数是－1； ⑤－32x 2y 3的次数是7； ⑥31πr 2h 的系数是31。

【单项式系数应注意的问题】：① 单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面； ② 当单项式的系数是带分数时，要把带分数化成假分数； ③ 当单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； ④ 圆周率π是常数；⑤ 单项式的系数应包括它前面的“正”、“负”符号。

mn【多项式】导入：1．列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a 、b ，则长方形的周长是； (2)某班有男生x 人，女生21人，则这个班一共有学生人； (3)图中阴影部分的面积为_________；(4)鸡兔同笼，鸡a 只，兔b 只，则共有头个，脚只。

整式加减讲义

整式及其加减运算一对一辅导讲义

《整式的加减》 讲义

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整式的加减-讲义(教师版)

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第三章整式及其加减讲义

第三章整式的加减培优讲义华东师大版七年级数学上册

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整式的加减新课讲义教案

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整式加减 全章讲义

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《整式的加减》讲义

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