椭圆的简单几何性质

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椭圆的第二定义及简单几何性质

二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右；左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。

2.2.2椭圆的简单几何性质

知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.

2.1.2-椭圆的简单几何性质2

16 k 9 k
C）
A.长轴长 B.离心率 C.焦距 D.准线方程
小结：椭圆的第一，第二定义要灵活运用。
布置作业：P42 A组5、6
椭圆的第二定义
复习提问：椭圆的几何性质，x2 /a2+y2 /b2=1 ⑴范围：︱x︱≤a，︱y︱≤b （a为长半轴，b为短半轴）。
⑵对称性：椭圆关于X轴对称，关于Y轴对称。关于原点对称，原点为椭圆的对称中心。
⑶顶点坐标：顶点坐标为（a，0），（-a，0），（0，b），（0， -b）。 ⑷离心率：e=c/a，0＜e＜1，a＞c＞0
2.椭圆x2/a2+y2/b2=1的两焦点F1，F2三等分准线间的距离, 则它的
离心率为（B ）
A.√3/2 B.√3/3 C.√6/3 D.√6/6 3.如果椭圆x2/25+y2/9=1上有一点p到它的左准线的距离为2.5,
那么p到右焦点的距离为 8
4.常数的轨迹称为椭圆。 F称为椭圆的焦点，
Y M
定直线称为与F相应的准线。由于椭圆有两个焦点，所以椭圆有两
oF
X
条准线,这两条准线均垂直于长轴。
椭圆的第二定义的数学语言可用下式来表达：MF e
点拔（1）上式蕴含方程和转化这两种数学思想。
d
（2）点M到焦点F的距离称为焦半径。
（3）焦半径公式：MF a exM
椭圆的标准方程。
x2
y2
思考：若方程 m2 (m 1)2 1 表示准线平行于
x轴的椭圆，求m的取值范围。
例3：已知点P在椭圆5x2+9y2=45上，点A（1，1）是
椭圆内一点，椭圆的右焦点F，当点P位于何处时，
PA
3 2
PF
取得最小值。

椭圆的简单几何性质

探究四：从图中可以发现两个椭圆的扁平程度不一，那么椭圆的扁平程度如何刻画？
Hale Waihona Puke （1）定义：（椭圆的焦距与长轴长的比）叫 e e 做椭圆的离心率，用（）表示，即（） = c （）; a （2）由于a>c>0，所以离心率e的取值范围是（0 <e<1）；（3）若e越接近1，则c越接近a，从而越（小），因而椭圆越（扁）；
（1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。
（2）分类讨论的数学思想
作业：
1. P49 习题2.2 A组第3、9题
2. 课时训练本节内容
问题：飞船在太空的轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆,近地点A距地面200km,远地点B距地面350km,而我们地球的半径R=6371km.根据这些条件,我们能否求出其轨迹方程呢?
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
b a2 c2
若e越接近0，则c越接近0，从而越（大），因而椭圆越接近于（圆）.
b a2 c2
定
义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|)
y
y M F2 x
F1 O F2
M x
图
形
F1
O
标准方程范围
x2 y2 2 1 2 a b
a xa
x y a b 0 2 2 1 b a
0 ,其长轴长是短轴长例2 椭圆的一个顶点为 A2，的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
0 为长轴端点时，a 解：（1）当 A2，

3.1.2椭圆的简单几何性质

OF
y1 c
1 c2 ，即 b2
2
c
1 c ，a2 2
c2
1 2
c2
，解得
e
c a
6. 3
综上所述，可得 2 e 6 .故选：A
2
3
5．直线 x－y＋1＝0 被椭圆 x2 ＋y2＝1 所截得的弦长|AB|等于（）
3
A． 3 2 2
B． 2 C． 2 2
D． 3 2
【答案】A
x y 1 0,
（）
A． 3 2
B． 2 2
C． 5 3
D． 6 3
【答案】B 【解析】由题意：椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，所以 b=c.
则 a b2 c2 2c ，所以离心率 e c 2 .
a2 故选：B
2．已知圆 M
: x2
y2
2mx 3 0m 0
的半径为 2 ，椭圆C :
则
x1＋x2＝－
4 3
，
故 AB
的中点横坐标
x0＝
x1
2
x2
＝－ 2 3
.
纵坐标
y0＝x0＋1＝－
2 3
＋1＝
1 3
.
例题分析2
已知椭圆的离心率为
1 2
，焦点是(－3，0)和(3，0)，则椭圆方程为（
）
A． x2 ＋ y2 ＝1 36 27
B． x2 ＋ y2 ＝1 63
C． x2 ＋ y2 ＝1 27 36
x2 a2
y2 3
1 的左焦点为
F c,0 ，若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线l 与圆 M 相切，则椭圆C 的长轴长为（）
A． 3 2

1.椭圆的几何性质(简单性质)

e =
c a
a2=b2+c2
已知椭圆方程为16x =400，例1、已知椭圆方程为16x2+25y2=400，则它的长轴长是： 10 ；短轴长是短轴长是： 8 ；它的长轴长是短轴长是
焦距是：焦距是
6
；离心率等于离心率等于：离心率等于
焦点坐标是：焦点坐标是
(±3, 0) ；顶点坐标是 (±5, 0) (0, ±4) ；顶点坐标是：顶点坐标是
x2 y2 + = 1 的两个焦点为 1 、F2 ，过左焦点作的两个焦点为F 椭圆 45 20
直线与椭圆交于A，两点，的面积为20，直线与椭圆交于，B 两点，若△ AB F2 的面积为，求直线的方程。求直线的方程。
y
（x1 , y1） A
o
（x2 , y2） B F1 F2
x
作业
1.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，已知椭圆的中心在原点轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（，），），求轴是短轴的三倍，且椭圆经过点（3，0），求椭圆的方程. 椭圆的方程 2 2 x + 2 y = 4 的左焦点作倾斜角为 30 0 2.过椭圆过椭圆的直线AB，求线段AB的长度的长度. 的直线，求线段的长度
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
3、椭圆的顶点、
x a
2 2
y2 + = 1( a > b > 0 ) 2 b
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 y

第8讲：椭圆的简单几何性质

第8讲：椭圆的简单几何性质基本知识点1 椭圆的范围以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22221,1x y a b≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||.x a y b ≤≤ 这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内(如图2.2－8)．2 椭圆的对称性以椭圆与22221(0)x y a b a b+=>>为例．（1）．椭圆的对称轴：坐标轴．（2）．椭圆的对称中心：原点O (0，0)．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．3 椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．（1）．椭圆的顶点令0x =，得y b =±；令0y =，得x a =±.这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点．因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．（2）．椭圆的长轴、短轴线段A 1A 2叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长．线段B 1B 2叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．4 椭圆的离心率（1）．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作2.2c c e a a == （2）．范围：因为0a c >>．所以01,c a<<即(0,1)e ∈. 5 直线与椭圆的位置关系（1）．直线与椭圆的三种位置关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离．（2）．直线与椭圆的位置关系的判断：直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式△来判定：△0>⇔直线与椭圆相交；△0=⇔直线与椭圆相切；△0<⇔直线与椭圆相离．（3）．弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦．若直线y kx b =+与椭圆相交于不同的两点1122(,),(,),A x y B x y 则直线被椭圆所截得的弦长公式为212||1||AB k x x =+-或 1221||1||AB y y k =+-.性质的应用应用点一由方程求椭圆的几何性质例1. 求椭圆 22925225x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．应用点二由椭圆的几何性质求方程例2（1）已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍。

3.2.2-椭圆的简单几何性质

F2．已知 ⊥ 1 2 ， 1 = 2.8cm， 1 2 = 4.5cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口
BAC所在椭圆的方程．
解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为
2
2
+
2
2
= 1( > > 0)．
由题，2c=4.5，c=2.25.
在Rt △ 1 2 中， 2 =
2
（2）因为2 2 + 2 = 8，所以
8
+
2
4
因为 2 = 2 − 2 ，
即 = 2 − 2 = 8 − 4 = 2，
所以椭圆的焦点坐标为(0,2)和(0, −2)
= 1，焦点在轴，所以 2 = 8， b2 4 ，
目标检测
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： e= ．

范围： 0<e<1
e越接近1，c越接近a， = 2 − 2 越小，因
此椭圆越扁平；
e越接近0，c越接近0， = 2 − 2 越大，因
此椭圆越接近于圆；
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，
图形变为圆，方程为 2 + 2 = 2 .
典型例题
1
2
+ 1 2
2
=
2.82 + 4.52
由椭圆性质知， 1 + 2 = 2.
1
1
=
1 + 2 = 2.8 + 2.82 + 4.52 ≈ 4.1
2
2
=
2 − 2 =
4.12 − 2.252 ≈ 3.4
所以，所求的椭圆方程为
2
4.12

椭圆的简单几何性质(讲课)

1.范围:
(0,b)
从图形上看: a x a, b y b.
从方程上看:
x2 a2
1
y2 b2
1

x2

a2

a

x

a;
y2 b2
1
x2 a2
1
y2

b2

b
y

b
故整个椭圆位于y b, x a所围成的矩形内.
y

y2 b2
1(a
b

0)
x2 b2

y2 a2
1(a
b
0)
范围 a x a,b y b b x b,a y a
对称性顶点坐标焦点坐标半轴长
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
(a,0) ,(0,b) (b,0) , (0,a)
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的
动点的轨迹叫做椭圆.
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
当焦点在Y轴上时
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
顶点：椭圆与它的对称轴
B2 (0,b)
的四个交点，叫做椭圆的
顶点. 长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴
A1
(-a，0) F1
和短轴.
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
b
a

椭圆性质

椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b a2 c2
越小，因此椭圆越扁；
y
O
x
4．离心率椭圆的焦距与长轴长的比
e

c
，叫做
椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b a2 c2 越小，因此椭圆越扁；
A1 b a A2 F1 O c F2 x
B1
3．顶点线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
a叫做椭圆的长半轴长．
y
b叫做椭圆的短半轴长．
B2
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1| ＝|B2F2|＝a．
A1 b a A2 F1 O c F2 x
2.1.2椭圆的简单几何性质
§2.1 椭圆
1.在平面内到两定点F1、椭圆
.这两定点叫做椭圆
的焦点，两焦点间的距离叫焦距 .
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0,c>0，且a，c为常数；（1）若 a>c ，则集合P
，
10 2 A.
3
5 1 B.
3
C. 5 1 2
D. 10 2 2
3. 综合练习：
1. 以正方形ABCD的相对顶点A、C为
焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中
点，则该椭圆的离心率为（ D ）
，
10 2 A.
3
5 1 B.
3
C. 5 1 2
D. 10 2 2
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

椭圆的简单几何性质ppt课件

研究直线与椭圆的位置关系的思路方法
1．研究直线与椭圆的位置关系，可联立直线与椭圆的方程，消元后用判别式讨论． 2．求直线被椭圆截得的弦长，一般利用弦长公式，对于与坐标轴平行的直线，直接求交点坐标即可求解． 3．有关弦长的最值问题，可以运用二次函数性质、一元二次方程的判别式、基本不等式等来求解.
m
4
4.已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左､右焦点分别为 F1 ，F2
，A
15 2
,
1 2
在椭圆
B C 上，且 AF1 AF2 ，则椭圆 C 的长轴长为( )
A. 5
B. 2 5
C. 5 或 3
D.2 5 或2 3
解析：由 AF1
AF2 ，得
OA
1 2
F1F2
，所以c
3.1.2 椭圆的简单几何性质
学习目标
01 掌握椭圆的范围、对称点、顶点、离心率等简单性质 02 能利用椭圆的简单性质求椭圆方程 03 能用椭圆的简单性质分析解决有关问题 04 理解数形结合思想
学习重点
椭圆的几何性质
学习重点
y2 b2
1 (a
b
0) 的长半轴长为
a，半焦距为
c.利
y
用信息技术，保持长半轴长 a 不变，改变椭圆的半焦距
c，可以发现，c 越接近 a，椭圆越扁平.类似地，保持 c
O
x
不变，改变 a 的大小，则 a 越接近 c，椭圆越扁平；而
当 a，c 扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.
这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.

椭圆几何性质的总结方法

椭圆几何性质的总结方法摘要本文总结了椭圆的几何性质，并提供了一种简单的方法来理解和应用这些性质。

通过掌握这些方法，读者将能够更好地理解椭圆的特点和应用。

引言椭圆是数学中重要且广泛应用的几何形状之一。

它具有许多独特的性质，因此在各个领域都被广泛应用，包括工程学、天文学和物理学等。

椭圆的基本定义椭圆是一个平面上的封闭曲线，其到两个焦点的距离之和是常数。

通过这个定义，我们可以得出以下几个重要的性质。

1. 焦点性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且和椭圆的中心点对称。

这个性质在很多应用中起到重要的作用。

焦点性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且和椭圆的中心点对称。

这个性质在很多应用中起到重要的作用。

2. 几何性质：椭圆的长轴和短轴是互相垂直的，并且长轴是短轴的两倍长。

这个性质使得椭圆在计算和建模中易于处理。

几何性质：椭圆的长轴和短轴是互相垂直的，并且长轴是短轴的两倍长。

这个性质使得椭圆在计算和建模中易于处理。

3. 离心率性质：椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的参数，取值范围在0到1之间。

接近0的离心率表示椭圆形状接近于圆形，而接近1的离心率表示椭圆形状拉长。

离心率性质：椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的参数，取值范围在0到1之间。

接近0的离心率表示椭圆形状接近于圆形，而接近1的离心率表示椭圆形状拉长。

总结方法为了更好地理解和应用椭圆的性质，可以采取以下几个简单的方法。

1. 绘图法：通过绘制椭圆的图形，可以直观地观察到其性质，包括焦点位置、长短轴的关系和离心率等。

绘图方法是理解椭圆性质的基础。

绘图法：通过绘制椭圆的图形，可以直观地观察到其性质，包括焦点位置、长短轴的关系和离心率等。

绘图方法是理解椭圆性质的基础。

2. 数学公式：掌握椭圆的数学公式，包括焦点坐标、长轴和短轴长度、离心率等，可以更深入地理解椭圆的性质，并能够进行更复杂的计算和推导。

数学公式：掌握椭圆的数学公式，包括焦点坐标、长轴和短轴长度、离心率等，可以更深入地理解椭圆的性质，并能够进行更复杂的计算和推导。

高中数学选择性必修椭圆的简单几何性质

知识点高中数学选择性必修椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质对称轴)0,0由==<<aeb01)可知,当e越趋近于1时,ab越趋近于0,椭圆越扁；当e越趋近于0时,ab越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当=a b时,=c0,两焦点重合,图形变为圆,方程为＋=x y a222重难点1椭圆的有界性1．椭圆+=x y 92522522上的点P x y ,)(的横、纵坐标的范围分别为（） A ．≤≤x y 3,5 B ．≤≤x y 35,11C ．≤≤x y 5,3D ．≤≤x y 53,11【答案】C【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断【详解】由+=x y 92522522，得+=x y 259122，所以椭圆的标准方程为+=x y 259122，则==a b 5,3，因为点P x y ,)(在椭圆上，所以≤≤x y 5,3．故选：C2．已知椭圆的标准方程为+=x y 10064122，则椭圆上的点P 到椭圆中心O 的距离OP 的取值范围为（） A ．6,10][ B ．6,8][ C ．8,10][ D ．16,20][【答案】C【分析】方法一：设点P x y ,00)(，则=OP P 在椭圆上，得OP ，结合x 0的范围可得结果；方法二：设=θx 10cos 0，=θy 8sin 0，∈πθ0,2)[，结合三角函数的性质可得结果.【详解】方法一：设点P x y ,00)(，则=OP 由椭圆的范围，知≤=x a 100，≤=y b 80.∵点P 在椭圆上，∴+=x y 1006410022，则=−y x 2564160022，∴OP . ∵≤≤x 010002，∴≤+≤x 256464100902，即≤≤OP 810. 方法二：设=θx 10cos 0，=θy 8sin 0，∈πθ0,2)[，则===OP ，因为∈θcos 0,12][，所以≤≤OP 810.故选：C.3．已知椭圆+=>>a b C a b x y :1(0)2222，下顶点为B ，点M 为C 上的任意一点，则MB 的最大值是（）A ．2B C D ．b 2【答案】A【分析】设M x y (,)00，得到+=b b x y 31220022，求得⎝⎭ ⎪=−−+⎛⎫MB y b b 22290222，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由椭圆C 的离心率e 3ab ，所以椭圆的方程为+=b bx y 312222，设M x y (,)00，则+=b bx y 31220022，可得=−y b x 3300222，又由点−B b 0,)(，可得=++=−++⎝⎭⎪=−−+⎛⎫MB y b b b y x y b b y (2323)29()0002222002222，因为−≤≤b y b 0，所以=MB b 292max 2，所以=MB 2max . 故选：A.4．已知P 点是椭圆+=x y 42122上的动点，A 点坐标为⎝⎭ ⎪⎛⎫2,01，则PA ||的最小值为（）A ．47BC ．23D ．25【答案】B【分析】根据题意利用两点间距离公式结合椭圆方程运算求解.【详解】设P x y ,00)(，则=PA ||因为P 点在椭圆+=x y 42122上，则+=x y 4210022，记=−y x 220022，所以==PA ||又因为=−+y x x 2419002开口向上，对称轴=x 10，且∈−x 2,20][，所以当=x 10时，PA ||. 故选：B.5．设F 1、F 2分别是椭圆+=y x4122的左、右焦点，若Q 是该椭圆上的一个动点，则⋅QF QF 12的最大值和最小值分别为（）A ．1与−2B ．2与−2C ．1与−1D ．2与−1【答案】A【分析】设点Q x y ,)(，则−≤≤x 22，且=−y x4122，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得⋅QF QF 12的最大值和最小值.【详解】在椭圆+=y x 4122中，=a 2，=b 1，==c F 1)(、F 2)，设点Q x y ,)(，则−≤≤x 22，且=−y x4122，则≤≤x 042，所以，(QF x y =−−−3,1)，(3,QF x y =−−2)，所以，(QF QF x x y x y x ⋅=−−−++−=+−=+−−⎝⎭ ⎪⎛⎫x 4333131222222)()()=−x 4232，所以，当=x 0时，⋅QF QF 12取最小值−2，当=±x 2时，⋅QF QF 12取最大值1. 故选：A.6．（多选）已知曲线C ：+=x y 4142，则（）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 有4个顶点C ．曲线C 的面积小于椭圆+=x y 4122的面积D ．曲线C 的面积大于圆+=x y 122的面积【答案】ABD【分析】研究曲线C 的对称性并求出与坐标轴的交点，可判断AB ；由曲线C 中x 的范围可求得y 得范围，进而与椭圆以及圆比较，可判断CD【详解】用-x 替换x ，化简后式子不变，则曲线C 关于y 轴对称；用-y 替换y ，化简后式子不变，则曲线C 关于x 轴对称；用-x ，-y 分别替换x ，y ，化简后式子仍不变，则曲线C 关于原点对称，曲线C 仅有两条对称轴，易求两条对称轴与曲线C 的交点分别为±1,0)(，±0,2)(，故曲线C 有4个顶点，故AB 正确；易知曲线C 中x 的范围为−1,1][，所以=≥y故椭圆上的点在曲线C 内部或在曲线C 上，故椭圆的面积小于曲线C 的面积，同理曲线C 的面积大于圆的面积，故C 错误，D 正确．故选：ABD ．7．已知点(m ,n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则m 的取值范围是．【答案】⎣⎡【分析】先把椭圆方程变为标准方程，再根据椭圆的范围求解.【详解】因为点(m ,n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆+=x y 38122上，所以点(m ,n )满足椭圆的范围≤x y因此≤m ，即≤m ．故答案为：⎣⎡.重难点2椭圆的对称性8．已知椭圆+=C x y 259:122的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线=y kx 与椭圆C 交于A ，B两点，若=AB F F 12，则1ABF 的面积等于（） A ．18 B ．10 C ．9 D ．6【答案】C【分析】四边形AF BF 12是矩形，设=AF m 1，=AF n 2，由椭圆的定义及勾股定理可求得mn =18，则△AF F 12的面积是=mn 291，又1ABF 的面积与△AF F 12的面积相等，即可得出答案.【详解】据题意，四边形AF BF 12是矩形，设=AF m 1，=AF n 2，则有+=m n 10，+==m n c (2)64222，由此可得mn =18，所以△AF F 12的面积是=mn 291，又1ABF 的面积与△AF F 12的面积相等，所以1ABF 的面积等于9. 故选：C ．9．（多选）已知点(3,2)在椭圆+=a b x y 12222上，则下列各点一定在该椭圆上的是（）A ．−−3,2)(B ．−3,2)(C ．−3,2)(D ．2,3)(【答案】ABC【分析】根据椭圆的对称性求得结果.【详解】由椭圆关于x 轴，y 轴，原点对称可知，只有点(2，3)不在椭圆上．故选：ABC.10．已知F 1，F 2为椭圆C ：+=x y 249122的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且=F F PQ 12，则四边形PFQF 12的面积为．【答案】18【分析】判断满足条件的点P Q ,存在，再借助对称的性质确定四边形形状，利用椭圆定义求解作答.【详解】椭圆C ：+=x y 249122的长短半轴长==a b 3，半焦距=c b ，于是椭圆C 上存在点到原点距离等于椭圆半焦距c ，由P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，得四边形PFQF 12为平行四边形，又=F F PQ 12，则12PFQF 为矩形，即有+===PF PF F F c ||||||(2)6012122222，而+==PF PF a ||||212PFQF 12的面积 ==+−+=S PF PF PF PF PF PF 2||||[(||||)(||||)]181121212222.故答案为：1811．已知F F ,12为椭圆+=C x y 167:122的两个焦点，P Q ,为C 上关于坐标原点对称的两点，且=F F PQ 12，则△PF Q 1的内切圆半径为．【答案】1【分析】利用椭圆的对称性和条件，得出四边形PF QF 21为矩形，设设==PF m FQ n ,11，根据条件建立方程得到=mn 14，再利用等面积法即可求出结果.【详解】因为椭圆+=C x y 167:122，所以==a c 4,3，连接QF QF PF PF ,,,1212，由椭圆的对称性知，PF F Q PF FQ //,//1221，又=F F PQ 12，所以四边形PF QF 21为矩形，设==PF m FQ n ,11，则⎩+==⎨⎧+==m n c m n a 43628222，得到=mn 14，设△PF Q 1的内切圆半径为r ，则11122PF Qr PF FQ PQ S mn ++==11)(，得到⨯+=r (86)14，解得=r 1.故答案为：1.12．−+=G x y r :2222)(是椭圆+=O y x 16:122内接ABC 的内切圆，且ABC 在y 轴右侧，则=r . 【答案】32【分析】根据题意作出图形，利用内切圆的性质及点B 在椭圆上建立方程求解. 【详解】由题意，ABC 在y 轴右侧，作出图形，如图，由椭圆及圆的对称性知，⊥BC x 轴，设−B r y (2,)0，过圆心G 作⊥GD AB 于点D ，BC 交x 轴于H ，由椭圆方程知=OA 4，所以=−=AG 422，∴==AD =+AH r 2，又B 在椭圆上，所以=−=−+−y r r r 16161(2)1240222，又=AD AH GD HB +=r y 20，可得y 0，所以−=+−+r r r r r 164124(2)2222，化简可得+−=r r 1581202，解得=r 32，或=−r 56（舍去）. 故答案为：3213．已知，F F 12分别是椭圆+=>>a b C a b x y :1(0)2222的左、右焦点，P (是椭圆C 上一点，且1PF PF ⋅=212.(1)求椭圆C 的方程；(2)延长PF PF ,12，并与椭圆C 分别相交于M N ,两点，求PMN 的面积.【答案】(1)+=y x 2122【分析】（1）由数量积关系建立关于c 的方程，再由点P 2(在椭圆上，联立关于a b ,22的方程组求解即可；（2）由（1）知⊥PF x 2轴，由对称性可得N 点坐标，再联立直线PF 1与椭圆C 的方程，解出M 坐标，进而求得面积.【详解】（1）221,,1,PF c PF c ⎛⎫⎛⎫=−−−=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212，则(PF PF c c ⋅=−−−+=22111112)()，解得=c 1. 由⎩=+⎪⎨⎪+=⎧a b a b 1,21,112222解得==a b 2,122，故椭圆C 的方程为+=y x 2122.（2）由（1）可知，直线PF 2的方程为=x 1，根据对称性可知⎝⎭⎛N 21,. 直线PF 1的方程为=+y x 41)，联立方程组⎩⎪=+⎪⎨⎪⎪+=⎧y x yx 1,21,22)整理得+−=x x 52702，解得=x 1或−=x 57，则⎭⎝ −⎛M 5,7. PMNS=⨯−−⎣⎦⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫⎡⎤25117重难点3椭圆的焦距与长轴、短轴14．曲线+=x y 259122与曲线−−+=<k kk x y 2591(9)22的（）.A ．长轴长相等B ．焦距相等C ．离心率相等D ．短轴长相等【答案】B【分析】通过方程分别研究两曲线的相关性质，比较即可.【详解】曲线+=x y 259122是焦点在x 轴上的椭圆，则===a b c 5,3,4，长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率=a c 54. 曲线−−+=<k kk x y 2591(9)22，由<k 9得−>−>k k 90,250，且−>−k k 259，故曲线−−+=<k k k x y 2591(9)22也是焦点在x 轴上的椭圆，∴===a b c c 16,42，长轴长、离心率、短轴长均与k 有关，不一定与曲线+=x y 259122的相同；而其焦距为8，与曲线+=x y 259122的焦距相同.故选：B.15．椭圆+=x y 259122与椭圆+=x y 226122的（）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】D【分析】分别求出两个椭圆的长短半轴长、半焦距、离心率，即可判断作答.【详解】椭圆+=x y 259122的焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为54.椭圆+=x y 226122的焦点在x 轴上，长轴长为8，所以两椭圆焦距相等. 故选：D.16．若椭圆=x my ＋122的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为，焦点坐标为．【答案】41/0.25 0,( 【分析】根据题意可得=a b 422，再结合方程可得==ma b ,1122，运算求解即可. 【详解】设椭圆的长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2，由题意可得：=⨯a b 222，则=a b 422，因为椭圆方程为=x my ＋122，即=mx y ＋1122，且焦点在y 轴上，则==ma b ,1122，可得==ma 412，解得=m 41，所以==c0,(．故答案为：41；0,(.17．求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：(1)+=x y 3624122； (2)+=x y 832422．【答案】(1)=a 212，=b，焦点坐标为−(，=e 3(2)=a 2=b(0,，=e 【分析】根据椭圆的几何性质求得正确答案.【详解】（1）由>3624可知这个椭圆的焦点在x 轴上，且==a b 36,2422，因此长轴长=a 212，半短轴长=b ．又因为=−=−=c a b 362412222，即=c ．因此，椭圆的焦点坐标为−(．离心率===a e c （2）已知椭圆的方程可化为+=x y 38122，由>83可知这个椭圆的焦点在y 轴上，且==a b 8,223因此长轴长=a 2，半短轴长=b ．又因为=−=−=c a b 835222，即c因此，椭圆的焦点坐标为(0,．离心率===a e c 18．求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率：(1)+=x y 69122；(2)+=x y 169144122； (3)+=x y 49122. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析【分析】（1）首先确定焦点位置在y 轴上，即可计算出a b c ,,的大小，即可求出结果；（2）根据标准方程可知其焦点在x 轴上，确定a b c ,,的大小算出结果即可；（3）将方程变形成标准方程形式，确定焦点位置在x 轴上，即可求出结果.【详解】（1）由椭圆方程+=x y 69122可知其焦点在y 轴上，所以==a b 3,=c所以该椭圆长轴长为=a 26，短轴长为=b 2=c 2上下顶点坐标为−0,3,0,3)()(，左右顶点坐标为,))(；上下焦点坐标为,0,((，离心率==a e c （2）由椭圆方程+=x y 169144122可知其焦点在x 轴上，可得==a b 13,12，则=c 5，所以该椭圆长轴长为=a 226，短轴长为=b 224，焦距为=c 210；上下顶点坐标为−0,12,0,12)()(，左右顶点坐标为−13,0,13,0)()(；左右焦点坐标为−5,0,5,0)()(，离心率==a e c 135. （3）将椭圆方程+=x y 49122整理变形成标准方程可得+=x y 4911122，易知其焦点在x 轴上，所以==a b 23,11，则=c 6，所以该椭圆长轴长为=a 21，短轴长为=b 322，焦距为=c 2；上下顶点坐标为⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−⎛⎫⎛⎫330,,0,11，左右顶点坐标为⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪−⎛⎫⎛⎫22,0,,011；左右焦点坐标为⎝⎭⎝⎭⎪⎪ ⎪⎪⎛⎫⎫,，离心率==a e c 重难点4利用椭圆的几何性质求标准方程19．F ，A 分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且∠=OFA 3cos 2，则椭圆的标准方程为（）A ．+=x y 3620122B ．+=x y 95122C ．+=x y 2036221或+=x y 3620122D ．+=x y 95221或+=x y 59122【答案】D【分析】数学结合，分焦点在x 轴上与焦点在y 轴上进行计算. 【详解】当焦点在x 轴上时，2223OFc c OFAAFac b cos ，因为=a 26，所以=a 3，=c 2，所以=−=−=b a c 945222，所以椭圆方程为+=x y 95122；同理，当焦点在y 轴上时，椭圆方程为+=x y 59122.故选：D20．与椭圆+=x y 943622有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为，离心率为．【答案】 +=x y 61226【分析】设所求椭圆方程为+=a by x 12222，求得=c ，根据题意求得=b 1，得到=a 62，求得椭圆的标准方程，进而得到离心率.【详解】由椭圆+=x y 943622可化为+=x y 49122，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0,，故可设所求椭圆方程为+=>>a b a b y x 1(0)2222，则=c ，又由=b 22，即=b 1，所以=+=a b c 6222，则所求椭圆的标准方程为+=x y6122，所以离心率为==e 6.故答案为：+=x y 6122；6. 21．已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q (2,1)且与椭圆+=x y 94122有公共的焦点，求椭圆的标准方程．=122．【分析】解法一：由题意设方程为+=>>a ba b x y 1(0)2222，然后根据题意可得−=a b 522和+=a b14122，求出a b ,22，从而可求得椭圆方程，解法二：由题意设+++=>−k kk x y 941(4)22，然后将Q (2,1)代入椭圆方程求出k ，从而可求出椭圆方程. 【详解】解法一：由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x 轴上，设方程为+=>>a b a b x y 1(0)2222，由+=x y 94122，得=−=c 9452，所以−=a b 522，① 又Q (2,1)在椭圆上，则+=a b 14122，②由①②解得：==a b 522=122．解法二：由已知设所求的椭圆的标准方程是：+++=>−k kk x y 941(4)22，则+++=k k94141，整理得：++=k k 81102，解得==−−±k 248因为>−k 4，所以=−+k 4+=122．22．已知椭圆+=C x y 94:1122的左右焦点分别为F 1、F 2.(1)求椭圆C 1的长轴长、短轴长和焦点坐标；(2)若点P 在椭圆C 1上，且−=PF PF 212，求△PF F12的外接圆的方程； (3)求过点−3,2)(且与椭圆C 1有相同焦点的椭圆方程.【答案】(1)长轴长6；短轴长4；F 1)(，F 2)(2)+=x y 522(3)+=x y 1510122【分析】（1）根据方程求a b c ,,，即可得结果；（2）根据椭圆定义可得+=PF PF 612，结合题意可求PF PF ,12，进而可得三角形PF F 12是直角三角形，即可求外接圆方程；（3）根据题意设椭圆方程，代入点−3,2)(运算求解即可.【详解】（1）由题意可得：==a b 3,2，则==c故长轴长=a 26，短轴长=b 24，焦点坐标F 1)(，F 2).（2）若点P 在椭圆C 1上，则+=PF PF 612， ∵−=PF PF 212 所以=PF 41，=PF 22，又∵=F F 12+=PF PF F F 1212222，即三角形PF F 12是直角三角形，∴三角形PF F 12的外接圆心为O 0,0)(，半径=r c +=x y 522.（3）由题意设所求椭圆方程为+++=>−m mm x y 941422)(，代入点−3,2)(得+++=m m94194，解得=m 6，=−m 6（舍去），所以所求方程为+=x y 1510122.23．若一椭圆以原点为中心，一个焦点坐标为)圆的标准方程．【答案】+=y x 3122【分析】根据题意可得=c=a 2，利用待定系数法即可求解.【详解】由题可设椭圆的标准方程为+=a bx y 12222,因为椭圆一个焦点坐标为)则有⎩⎪=⎨⎪=+⎧a a b 2222解得⎩=⎨=⎧b a 1322, 故椭圆的标准方程为+=y x 3122.24．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A 3,0)(，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．【答案】+=y x 9122或+=y x819122【分析】分类讨论焦点所在的位置，结合题意列式求解即可.【详解】若椭圆的焦点在x 轴上，则设椭圆方程为+=>>a ba b x y 102222)(，由题意得⎩⎪+=⎨⎪⎧=⨯a b a b19023222，解得⎩=⎨⎧=b a 13，所以椭圆的标准方程为+=y x 9122；若椭圆的焦点在y 轴上，则设椭圆方程为+=>>a ba b y x 102222)(，由题意得⎩⎪+=⎨⎪⎧=⨯a b a b10923222，解得⎩=⎨⎧=b a 39，所以椭圆的标准方程为+=y x 819122；综上所述，椭圆的标准方程为+=y x 9122或+=y x 819122．重难点5求椭圆的离心率25．已知F 是椭圆+=>>a ba b x y 102222)(的左焦点，若过F 的直线l 与圆+=x y b 222相切，且l 的倾斜角为150，则椭圆的离心率是（）A B C ．21D 【答案】A【分析】根据直线与圆相切的位置关系可构造b c ,的齐次方程，结合椭圆a b c ,,关系可求得离心率e .【详解】由题意知：−>F c c ,00)()(，则直线=+l y x c :)，即++=x c 0，l 与圆+=x y b 222相切，=b ，即=c b 2，∴==−c b a c 4442222，∴==a e c 54222，∴椭圆的离心率=e . 故选：A.26．F 1，F 2是椭圆E ：+=>>a ba b x y102222)(的左，右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点N在x 轴上，满足∠=∠=︒F MN F MN 4512，=NF NF 3412，则椭圆E 的离心率为 . 【答案】75【分析】根据∠=∠=︒F MN F MN 4512，得到⊥F M F M 12，且MN 是∠F MF 12的角平分线，再结合=NF NF 3412和角平分线定理得到=F M F M 3421，然后在△F MF Rt 12中，利用勾股定理求解.【详解】解：因为∠=∠=︒F MN F MN 4512，所以⊥F M F M 12，则MN 是∠F MF 12的角平分线，所以=F M F NF M F N2211，又因为=NF NF 3412，所以=F M F M 3421，设==x M x F M F 4,312，由椭圆定义得+=F M F M a 212，即+=x x a 432，解得=x a 72，则==a a F M F M 77,8612，则⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪+=⎛⎫⎛⎫a a c 77486222，所以=a c 492522，则==a e c 75，故答案为：7527．已知O 为坐标原点，F F ,12为椭圆+=>>a ba b x y1(0)2222的左、右焦点，=F F 612，P 是椭圆上异于顶点的一点，点Q 是以PF 2为底的等腰△F PF 12的内切圆的圆心，过F 1作⊥F M PQ 1于点M ，=OM 1，则椭圆的离心率为 . 【答案】53/0.6【分析】延长F M 1交PF 2延长线于点N ，可得≅PF M PNM △△1，OM 为12F F N 的中位线，从而可得==PF PN ||||61，==F N OM ||2||22，再由椭圆的定义可求出a 的值，由=ae c即可求出椭圆的离心率. 【详解】因为=F F 612，即=c 26，所以=c 3，因为点Q 是以PF 2为底的等腰三角形F PF 12内切圆的圆心，则==PF F F 6112，所以PQ 为∠F PF 12的角平分线，延长F M 1交PF 2延长线于点N ，在1PF M 与PMN 中，⎩∠=∠=⎪⎨=⎪⎧∠=∠PMF PMN PM PM F PM NPM 9011，所以≅PF M PNM △△1，所以==PF PN ||||61，=MF MN 1，所以M 为F N 1的中点，又O 为F F 12的中点，所以OM 为12F F N 的中位线，所以==F N OM ||2||22，则=−=PF ||6242，所以+=+==PF PF a ||||6410212，即=a 5，所以==a e c 53. 故答案为：53.28．已知F F ,12是椭圆+=>>a bE a b x y :1(0)2222的左，右焦点，E 上两点A B ,满足32,2AF F B AF AF ==2212，则E 的离心率为．【分析】根据所给线段的长度关系及椭圆的定义，求出1ABF 的边长，利用余弦定理求B cos ，在21F BF 中再由余弦定理即可求出离心率.【详解】如图，因为32AF F B =22，所以可设==AF t F B t ||2,||322，又=AF AF 212，所以=AF t ||41，由椭圆定义，+==AF AF t a ||||6212，即=t a 3，又=−=−=BF a BF a a a ||2||212，即B 点为短轴端点，所以在1ABF 中，⋅⋅===+−++−a BF BA a B BF BA AF a a a a 322||||55cos 333||||||()()24111222222，又在21F BF 中，⋅⋅===−=−+−BF BF a a B e a c BF BF F F 2||||25cos 12243||||||121212222222，解得=e或=e （舍去）.29．椭圆+=>>a bC a b x y :1(0)2222的左、右焦点分别为F F ,12，上顶点为A ，直线AF 1与椭圆C 交于另一点B ，若︒∠=AF B 1202，则椭圆C 的离心率为．【分析】设=BF m 1，再在△ABF 2中根据余弦定理结合椭圆的定义可得=m a 76，再分别在△AF F 12与△BF F 12列出余弦定理，根据∠+∠=AF F BF F 1801212化简即可.【详解】由椭圆的性质可得==AF AF a 12，设=BF m 1，在△ABF 2中根据余弦定理结合椭圆的定义可得+=+−−−︒a m a a m a a m 222cos120222)()()(，即++=+−++−a am m a a am m a am 2442222222，整理可得=am a 762，即=m a 76，故=−=BF a m a 7282. 又∠+∠=AF F BF F 1801212，故1212AF F BF F ∠∠=−180，121212cos 180co AF F BF F BF F =−∠∠=−∠os s c )(，故⨯⎝⎭⎝⎭ ⨯=− ⎪⎪+−⎛⎫⎛⎫a c ac c a a 272677268222)(，即=−−ac a c c a 72474422，=−c a c 67222，故=c a 1322，故离心率=a c 13.30．已知椭圆C ：+=>>a b a b x y 102222)(的上顶点为B ，两个焦点为F 1，F 2，线段BF 2的垂直平分线过点F 1，则椭圆的离心率为．【答案】21/0.5【分析】求出线段BF 2的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得=a c 422，再结合=+a b c 222可求得离心率.【详解】如图，设BF 2的垂直平分线与BF 2交于点H ，由题，−F c ,01)(，F c ,02)(，B b 0,)(，则⎝⎭ ⎪⎛⎫H c b 22,，−−∴==−c c c k b b F H23201)(，−==−−c c k b b BF 002，12F H BF k k ⋅=−1，⎝⎭⎪∴⨯−=−⎛⎫c c b b 31，化简得，=b c 322，由=+a b c 222，解得=a c 422， ∴==a e c 41222，即=e 21.故答案为：21.31．（1）已知焦点在x 轴上的椭圆−+=kx y 94122的离心率为31，则k 的值为 .（2）设F 1，F 2是椭圆a bE a b y x+=>>:1(0)2222的两个焦点，P 为直线=y a 45上一点，△F PF 12是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为 . 【答案】 −485/0.625 【分析】（1）根据椭圆的离心率列方程，化简求得k 的值. （2）利用直角三角形的性质列方程，化简求得椭圆的离心率. 【详解】（1）依题意，<−<k 049，解得−<<k 54，又椭圆离心率为31=31，解得=−k 4，所以k 的值为−4. （2）如图所示，由图知︒∠=∠=PF F F PF 301221，所以︒∠=GF P 602，==F F PF c 2221，又因为=OG a 45，=OF c 2，所以=−GF a c 452，所以在△GF P Rt 2中，由︒=PF GF cos6022得=−c a c 22415，解得：=a c 85，所以椭圆E 的离心率为85.故答案为：−4；85重难点6求椭圆离心率的取值范围32．若椭圆上存在点P ，使得P 到椭圆两个焦点的距离之比为2:1，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率e 的取值范围是（）A ．⎣⎭⎪⎫B ．⎝⎦⎛C ．⎣⎭⎢⎪⎡⎫3,11D ．⎝⎦⎥ ⎛⎤30,1【答案】C【分析】根据条件设出P 到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即可求出结果.【详解】由题可设点P 到椭圆两个焦点的距离之分别m m 2,，所以+=m m a 22，得到=m a 32，又≥−m a c ，所以≥−a a c 32，得到≥c a 31，故≤<e 311.故选：C.33．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是．【答案】⎝⎦⎛【分析】由于该杯子中所盛水的体积为玻璃杯容积的一半，所以当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆的长轴端点分别位于杯底及杯口，根据已知数据可求出离心率的最大值，从而可得结果.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时=，短轴长为6厘米，∴椭圆离心率==e 5，∴⎝⎦ ∈⎛e .故答案为：⎝⎦⎛34．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足0MF MF ⋅=12的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．⎝⎭⎛20, B ．⎝⎦⎥ ⎛⎤20,1C ．0,1)(D ．⎣⎭⎪⎢⎪⎫2 【答案】A【分析】由0MF MF ⋅=12知M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆，根据M 点总在椭圆内部，可得<c b ，再根据椭圆的性质能够推导出椭圆离心率的取值范围．【详解】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a b c ,,， 0MF MF MF MF ⋅=⇒⊥1212，∴M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆，又M 点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即<c b ，<=−<c b a c c a ,2222222，∴=<a e c 21222，<<∴e 20．故选：A ．35．设F 1、F 2分别为椭圆+=>>a ba b x y102222)(的左、右焦点，椭圆上存在点M ，∠=αMF F 12，∠=βMF F 21，使得离心率=αβe sin sin ，则e 取值范围为．【答案】1,1)【分析】在12MF F ，由正弦定理结合条件有:=a MF c MF 21 ，再由MF2 的范围可求出离心率取值范围.【详解】由∠=αMF F 12，∠=βMF F 21，设=MF m 1，=MF n 2，在△MF F 12中，由正弦定理有：=βαm nsin sin ，离心率=αβe sin sin ，则==−a n n c m a n 2：解得：+=a cn a 22，由于−<<+a c MF a c 2，得+−<<+a c a c a a c 222)()()(，+−=−<a c a c a c a 2222)()(显然成立，由<+a a c 222)(<+a c ，即>c a 1)，得=>ae c1，所以椭圆离心率取值范围为1,1)．故答案为：1,1).36．已知点P 是椭圆C ：+=a b x y 12222>>a b 0)( 上动点，点A 是椭圆C 的上顶点．当P 为下顶点时，PA 取到最大值b 2，则椭圆C 的离心率的取值范围为．【答案】⎝⎦⎛20,【分析】设P x y ,00)( ，则PA 2可化为⎝⎭ ⎪−++++⎛⎫b c cy a b c b b 2220222342，由=−y b 0 时，PA 2取得最大值，可得−≤−cb b 23，化简可得结果.【详解】由题意，A b 0,)( ，设P x y ,00)( ，因为+=a bx y 1220022 ，=+a b c 222 ，所以⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪=+−=−+−=−++++⎛⎫⎛⎫b b c c PA x y b a y b y a b c b b y 1222200000222222223422)()( ，−≤≤b y b 0 ，因为当=−y b 0 时，PA 2取得最大值，所以−≤−cb b 23 ，可得≥a c 222 ，即<≤e 0.故答案为：⎝⎦⎛20, . 37．已知椭圆C ：+=>>a ba b x y 102222)(的左焦点为F ，若F 关于直线=−y x 的对称点P 落在C 上或C 内，则椭圆C 的离心率的取值范围为 .【答案】⎝⎦⎛20, 【分析】由题意，求出椭圆左焦点关于=−y x 对称点的坐标，根据点和椭圆的位置关系找出不等关系，列出关于a b c ,,的不等式从而求解离心率范围.【详解】设C 的半焦距为c ，则−F c ,0)(关于直线=−y x 的对称点P 的坐标为c 0,)(，因为P 落在C 上或C 内，所以≥b c ，所以−=≥a c b c 2222，则≥a c 222，两边同时除以a 2，解得⎝⎦ ∈⎛e .故答案为：⎝⎦⎛.38．如图，椭圆+=>>a b a b x y 102222)(的左、右焦点分别为F F ,12，点A B ,分别是椭圆的右顶点和上顶点，若直线AB 上存在点P ，使得⊥PF PF 12，求椭圆离心率的取值范围．【答案】⎣⎭⎪⎪⎫【分析】直线AB 上存在点P ，使得⊥PF PF 12，则以O 点为圆心，OF 1为半径的圆总和线段AB 有公共点，即O 点到直线AB 的距离≤==d OF OF c 12，由此列不等式求解即可. 【详解】由题意可知A a ,0)(，B b 0,)(，则直线AB 方程为−−=−−a b x a y 00，整理得+−=bx ay ab 0，若直线AB 上存在点P ，使得⊥PF PF 12，则以O 点为圆心，OF 1为半径的圆总和线段AB 有公共点，即O 点到直线AB 的距离≤==d OF OF c 12，c ≤，即a b a c c b ≤+222222，又=−b a c 222，所以−≤+−a a c a c c a c 22222222)()(，整理得a c a c −≤22222)(，即−≤a c ac 22，又由=ae c且<<e 01可得+−≥e e 102，解得⎣⎭⎪⎪∈⎫e . 重难点7根据椭圆的离心率求参数39．已知F F ,12是椭圆+=>>a bC a b x y:1(0)2222的两个焦点，点M 在C 上，若C 的离心率⎝⎭⎪ ⎪∈⎛⎫e 2，则使△MF F 12为直角三角形的点M 有（）个 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D【分析】根据离心率取值范围可得>c b ，因此以F F 12为直径作圆与C 必有四个不同的交点，再分情况讨论直角位置即可求得符号题意的三角形个数.【详解】由<<e 21可得>>a c a c 2,212222，即>+c b c 2222，可得>c b 22，因此以F F 12为直径作圆与C 必有四个不同的交点，因此△MF F 12中以∠=︒F MF 9012的三角形有四个，除此之外以∠MF F 12为直角，∠MF F 21为直角的△MF F 12各有两个，所以存在使△MF F 12为直角三角形的点M 共有8个. 故选：D40．已知椭圆E ：+=>>a ba b x y 1(0)2222的离心率的取值范围是⎣⎭⎢⎪⎡⎫3,12，其左右焦点分别是F 1，F 2，若P 为椭圆上位于y 轴右侧的一点，则PF PF 21的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【分析】设=>λλPF PF (1)21，由椭圆的定义求得+=λPF a122，结合≥−PF a c 2，整理得+≥−λλe 11，进而得到+=−λλ1312，即可求解. 【详解】由题意，点P 是椭圆上位于y 轴右侧的一点，可得>PF PF 12，设=>λλPF PF (1)21，则=λPF PF 12，由椭圆的定义可知+=PF PF a 212，因此+=λPF a122，又因为F 2是右焦点，所以≥−PF a c 2，即+≥−λa c a 12，整理得+≥−λλe 11，所以+=−λλ1312，解得=λ5，即=PF PF 521. 故选：D.41．设椭圆+=>+=a C y a C y x x 4:1(1),:12122222的离心率分别为e e ,12．若=e 21，则a =（）AB C D【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由=e 21，得=e e 32122，因此=⨯−−a a 4341122，而>a 1，所以=a 故选：A42．若椭圆+=m C x y 2:122C 的长轴长为（）A．B ．3或C ．D ．【答案】D【分析】根据椭圆的离心率求出ab 22的值，对椭圆C 的焦点位置进行分类讨论，求出m 的值，即可求得椭圆C 的长轴长.【详解】因为⎝⎭⎪ ⎪===−==−⎛⎫a a a e c a b b 3312222222222，所以，=a b 3122.①若椭圆C 的焦点在x 轴上，则==a m b 32122，可得=m 6，则==a ，此时，椭圆C 的长轴长为②若椭圆C 的焦点在y 轴上，则==a b m 23122，可得=m 32，则=a此时，椭圆C 的长轴长为综上所述，椭圆C 的长轴长为故选：D.43．设椭圆+=>>m nm n x y 10,022)(的离心率为e ，则“=e 2”是“m n =4”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论m n ,判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可得答案.【详解】当>m n 时e m n =4；当<m n 时==e ，则=n m 4；所以=e m n =4，充分性不成立；当m n =4时，则==e ，必要性成立；综上，“=e 是“m n =4”的必要不充分条件. 故选：B44．椭圆+=t C x y :122（>t 0且≠t 1，则=t . 【答案】2或21【分析】对椭圆C 的焦点的位置进行分类讨论，根据离心率公式可得出关于实数t 的等式，即可解得实数t 的值.【详解】若椭圆C 的焦点在x 轴上，则=a 1，=b ==c此时，===a e c =t 21；若椭圆C 的焦点在y 轴上，则=a =b 1，==c此时，==a e c ，解得=t 2. 综上所述，=t 2或21. 故答案为：2或21.45．如图，椭圆+=>>a b a b x y 102222)(与过A 2,0)(，B 0,1)(的直线有且只有一个公共点P ，且椭圆的离心率=e .【答案】+=y x 22122【分析】首先联立直线与椭圆方程，并根据直线与椭圆的位置关系，得到a b ,22的关系式，再根据离心率，即可求解椭圆方程.【详解】由题意可知，直线AB 方程为=−+y x 211，联立⎩⎪+=⎪⎨⎪⎪=−+⎧a b x y y x 12112222，消去x ，得+−+−=b a y b y b a b 48402222222)(，因为直线AB 与椭圆相切，所以∆=−+−=b b a b a b 644440422222)()(，得+=a b 4422，又===⇒=a a e c b 4122，联立上面两式，解得：=a 22，=b 212，所以椭圆方程为+=y x 22122.重难点8椭圆的实际应用46．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点F 2处，灯丝与反射镜的顶点A 的距离=F A 2cm 2，过焦点F 2且垂直于轴的弦=BC 6.4cm ，在x 轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（）A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．13cm【答案】C【分析】利用右焦点到右顶点的距离及椭圆的通经，结合椭圆中a b c ,,三者的关系及焦距的定义即可求解.【详解】由题设知⎩⎪=+⎪⎨=⎪⎪⎧−=a b c a b a c 6.4222222，解得⎩=⎪⎨=⎪⎧=c b a 345，所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为=c 26．故选：C.47．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB ，且AB 过椭圆的下焦点，=AB 44米，桥塔最高点P 距桥面110米，则此椭圆的离心率为（）A ．31B ．52C ．32D ．54【答案】D【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为+=>>a ba b y x 1(0)2222，依题意可得⎩⎪=⎨⎪⎧+=ab ac 4421102，即可求出离心率. 【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，设椭圆方程为+=>>a ba b y x 1(0)2222，令=−y c ，即+=−a b xc 12222)(，解得=±a x b 2，依题意可得⎩⎪=⎨⎪⎧+=ab ac 4421102，所以⎩⎪=−⎨⎪⎧+=aa c a c 2211022，所以=−a a c 11022，所以==a e c 54．故选：D ．48．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在l 处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2m ，水面宽6m ，那么当水位上升1m 时，水面宽度为（）A ．B C ．D 【答案】A【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：+=x y 94122，求直线=y 1被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解.【详解】以图中水面所在的直线为x 轴，水面的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：+=x y 94122，当水位上升1m 时，水面的宽度也即当=y 1时，直线=y 1被椭圆所截的弦长.把=y 1代入椭圆方程可得：=x所以当水位上升1m 时，水面的宽度为，故选：A .49．2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为S 1，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离为S 2，地球的半径为R ，则该椭圆的短轴长为（用S 1，S 2，R 表示）．【答案】【分析】根据题意结合椭圆的性质分析运算.【详解】设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，。

3.1.2椭圆的简单几何性质

3.1.2椭圆的简单几何性质学习目标1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单性质；2.能利用椭圆的简单几何性质来求椭圆的方程；3.能利用椭圆的简单几何性质分析简单有关问题；重点、难点：重点: 椭圆的几何性质．难点：椭圆性质的理解和应用.课前案问题导入1.椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？2.什么是椭圆的离心率？离心率的变化范围是什么？3.椭圆的离心率与椭圆的形状有何关系？课中案例1.求椭圆400251622=+yx的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。

变式练习：求椭圆81922=+yx的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标。

例2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过P （-3,0），Q(0,-2)两点（2）长轴长等于20，离心率等于53变式练习：求是和下列条件的椭圆的标准方程（1）过点（3,0），离心率e=36；（2）过点M （1,2），且与椭圆161222=+y x 有相同的离心率。

例3. （1）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（2）已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围思维导图课后案一、单选题1．椭圆22195x y +=的焦点的坐标为（）A．( B ．(2,0),(2,0)-C．(0,D ．(0,2),(0,2)-2．已知正数m 满足228m m -=，则椭圆221y x m+=的焦点坐标为（）A．(0)B．(0,C．(0)或(0)D．(0,或(0)3．直线:230l x by ++=过椭圆22:1010C x y +=的一个焦点，则b 的值是（）A ．1-B ．12C ．11-或D ．1122-或 4．椭圆2218x y m+=的焦距是2，则m 的值是（） A ．9B ．12或4C ．9或7D ．205．若椭圆221x my +=的焦距为2，则m 的值是（）A ．12B ．1C ．2D ．46．已知12,F F 分别是椭圆的左，右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点,M N ，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（）A1B．2CD．2二、填空题7．已知椭圆的一个焦点为()1,0F ，离心率为12，则椭圆的标准方程为_______． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E 的离心率是__________.9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形.若该三角形内切圆的半径为5b，则该椭圆的离心率为________.三、解答题10．已知椭圆C 的中心为O ，左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，右顶点为B ，且OB 、OA 、2OF 成等比数列.（1）求椭圆C 的离心率；（2）判断1F AB 的形状，并说明理由.。