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高考总复习人教A版 · (理)
【例1】
已知函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x.
(1)在给定的坐标系中，作出函数f(x)在区间[0，π]上的 图象． (2)求函数f(x)在区间[－ ，0]上的最大值和最小值．
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变 式 迁 移 2 (2009· 北 京 卷 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ 2sin(π － x)cosx. (1)求 f(x)的最小正周期； π π (2)求 f(x)在区间[－6，2]上的最大值和最小值．
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(1)求二次函数在给定闭区间上的最值时，要注意对
称轴与给定区间的关系，当对称轴在给定的区间内时，在
对称轴处取一最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值； 当对称轴不在给定的闭区间内时，在区间的两个端点处取 得最值．(2)解决本题的关键是根据函数式的特点，灵活运 用“1”的代换，把函数式转化为只与正切函数有关的式子.
数图象的关键点有什么关系？ 提示：y＝sinx与y＝cosx的对称轴方程中的x都是它们 取得最大值或最小值时相应的 x ，对称中心的横坐标都是 它们的零点.
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π 1．下列函数中，周期为2的是 ( x A．y＝sin2 B．y＝sin2x x C．y＝cos D．y＝cos4x 4
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3π π 思路分析：(1)把 sin 变换成 sin ，然后利用两角和的余 4 4 弦公式解决；(2)正弦函数图象两相邻对称轴之间的距离是半 个周期，根据这点求出 ω，也就确定了函数 f(x)的解析式，若 要平移函数图象使其为偶函数， 则只保证 y 轴为这个函数图象 的一条对称轴即可．
5 答案：5 4π＋2kπ(k∈Z)
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π π 4．函数 y＝cos(x＋3)，x∈(0，3]的值域是________． π π π 2 解析：∵0<x≤3，∴3<x＋3≤3π， 又 y＝cosx 在[0，π]上是减函数， 2 π π ∴cos π≤cos(x＋ )<cos ， 3 3 3 1 1 即－2≤y<2.
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π 2π 5π 8π (2)描点：描出点(－ ，0)，( ，2)，( ，0)，( ，－2)， 3 3 3 3 11π ( ，0)． 3 (3)连线：用平滑的曲线将这五个点连接起来，最后将其 向两端伸展，得到图象如下图．
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函 数 值 域
y＝sinx {y|－1≤y≤1}
y＝cosx {y|－1≤y≤1}
y＝tanx R
单 调 性
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函 数
y＝sinx
y＝cosx
y ＝tanx
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x 变式迁移 1 用五点作图法画出函数 y＝ 3sin ＋ 2 x cos 的图象． 2
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x π 解：(1)列表：将函数解析式化简为 y＝2sin( ＋ )，列表 2 6 如下：
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3．函数y＝3－2cos(x－ 此时x＝________.
)的最大值为________，
π 解析：y＝3－2cos(x－4)的最大值为 5， π π 此时 cos(x－4)＝－1，即 x－4＝π＋2kπ(k∈Z)， 5 ∴x＝4π＋2kπ(k∈Z)．
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图象如下图：
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π 3 π π (2)∵－2≤x≤0，∴－4π≤2x＋4≤4， π 3 ∴当 2x＋4＝－4π， π 即 x＝－2时，f(x)有最小值，f(x)min＝－1， π 当 2x＋4＝0， π 即 x＝－ 时，f(x)有最大值，f(x)max＝ 2， 8 π 即 f(x)在[－ ，0]上的最小值为－1，最大值为 2. 2
2
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思路分析：(1)式可以看做关于 sinx的二次函数，故可 以用配方法解决，需要注意sinx的有界性；
(2)式切化弦后不好处理，结合式子特点，可把1换成
sin2x ＋ cos2x ，统一为关于 tanx 的二次函数求最值，这里要 注意x有范围限制，可由其确定tanx的取值范围．
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1．周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数 f(x) ，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取 定义域内的每一个值时，都有 数f(x)就叫做周期函数． 周期．
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f(x＋T)＝f(x)
思路分析：(1)把 f(x)化简为 f(x)＝Acos(ωx＋φ)的形式，然 后列表，画图象． π (2)先求出 ωx＋φ 在[－2，0]上的范围，然后根据单调性 求解．
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解：(1)f(x)＝cos2x －2sinxcosx －sin2x＝cos2x－ sin2x＝ 2 π cos(2x＋4)． 列表： π π π 3 9 π 2π 2x＋4 4 2 2π 4π π 3 5 7 x 0 π π π π 8 8 8 8 f(x) 1 0 － 2 0 2 1
，那么函
非零常数T
叫做这个函数的
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(2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个 最小正数 小正周期．
就 叫 做 f(x) 的 最
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如果函数y＝f(x)的周期是T，那么函数y＝f(ωx)(ω≠0)
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π 3π 解：(1)由 cos cosφ－sin sinφ＝0 得 4 4 π π cos4cosφ－sin4sinφ＝0， π 即 cos( ＋φ)＝0. 4 π π 又|φ|<2，∴φ＝4.
2
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sin2x＋cos2x 1 (2)化简可得 f(x) ＝ 2 ＋2tanx＋ 1＝ ＋2tanx cos x cos2x ＋1＝tan2x＋1＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1， π π 因为 x∈[－ ， ]，tanx∈[－ 3，1]．显然，当 tanx＝ 3 4 π －1，即 x＝－ 时，函数有最小值 1；当 tanx＝1，即 x＝ 4 π 时，函数有最大值 5. 4
最 值
无最值
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函数 奇偶性
y＝sinx 奇
y＝cosx 偶
y＝tanx 奇
对称中心 对 称 性 对称轴 无
周期
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2π
2π
π
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正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函
பைடு நூலகம்
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5 【例 2】 (1)已知函数 y＝－sin x＋ 3sinx＋ ，求其取得 4 最大值和最小值时的 x，并说出最大值和最小值是什么； π π 1 (2)若 x∈[－3，4]，求函数 f(x)＝cos2x＋2tanx＋1 的最值 及相应的 x 值．
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5 32 解：(1)y＝－sin x＋ 3sinx＋ ＝－(sinx－ ) ＋2，因为 4 2 3 π 2π －1≤sinx≤1， 所以当 sinx＝ 2 ， 即 x＝2kπ＋3或 2kπ＋ 3 ， k∈Z 时，ymax＝2； π 1 当 sinx＝－1，即 x＝2kπ－2，k∈Z 时，ymin＝4－ 3.
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1.能画出 y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx 的图象，了解 三角函数的周期性． 考 2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π)上的性 纲 质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点 要 求 等)，理解正切函数在区间(－π，π)内的单调性． 2 2 1.三角函数的图象在每年的高考中都有考查， 应熟 热 练掌握各个三角函数的图象． 点 2．三角函数的周期性、最值、单调性是高考重点 提 考查的内容，应重点掌握． 示 3．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题.