二次函数速记口诀.docx
运用口诀判断二次函数的系数关系式.docx
运用口诀判断二次函数的系数关系式学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍儿个口诀来帮助同学们解惑.1.基础四看“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数.“四看”是对二次函数y=ax? + bx+c (aHO)的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图彖直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用.例1二次函数y = ax2+bx+c(aH0)的图象如图1所示，则下列说法不正确的是( )(A)b2-4ac>0 (B)a>()(C)c>0 (D)b<0分析根据“基础四看”，由抛物线开口向上，故a>0；由对称轴在y轴的右侧，则a、b异号,故bvO：由抛物线与y轴交于负半轴，故c<0；由抛物线与x轴有两个交点，故b2-4ac>0. 所以本题答案是C.分析对于几个函数图象组合的辨别，笔者常用的一种方法是“才盾排除法”.对A屮的图象分析可得：在抛物线屮，a>().b>0,c>0；在直线屮，a>0,b>0,无矛盾, 可为备选答案.对B中的图象分析可得：在抛物线中，a<0,b<0,c<0；在直线中，a>0.b=0,有矛盾, 故排除.对C中的图象分析可得：在抛物线中，a>0,b<0,c>0；在直线中, a<0,b>0,有矛盾, 故排除.对D中的图象分析可得，在抛物线中，av(),b>0,c<0；在直线中, av(),b<(),有矛盾，故排除.所以本题答案是A.注从上面介绍中可以看到，对于某个二次函数y=ax2+bx+c(aH0)的图象我们可以对单独的a、b、c与△进行直接判断，同时也可以对a、b、c的简单乘除组合式进行符号判断.但如果遇到关于a、b、c间的一些加减组合式又如何来处理呢？2.组合二看（1）三全看点在a、b、c间的加减组合式中,最常见的如“a+b+c”，“a-b+c”，“4a+2b+c”，“4a —2b+c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1,这时只要取x为b前的系数代入二次函数y = ax2+bx+c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可.（2）有缺看轴当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决.少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c,则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b,则可利用对称轴提供的a、b 间转换信息，把a （或b）用b （或a）代换即可.例3已知二次函数（aHO）的图彖如图3所示，有下列4个结论：©2a+b=0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④3a+c>0.其中正确的结论有（）（A）l 个（B）2 个（C）3 个D. 4 个分析本题中的②③三个字母都在，且符合“三全看点”的特征，其中②变形后为a —b+c>0,由f（—1 ）<0»知a—b+c<0»不符合；③中由f（2）>0,知4“+2b+c>0,符合要求.本题中的①④字母不全，且符合“有缺看轴”的特征, 其中①少c,可直接找对称轴, 由对称轴方程为直线x=~ —= 1,即2a+b=0,符合要求；而④少b,显然是利用对称2a轴方程中b=—2a这个关系式，将原来式子中的b代换成了s,我们可能根据“三全看点” 中a、b间系数的关系进行推演，不难找到其原有的式子，或为a-b+c,或为9a+3b+c, 再任取其一判断，可得3a+c<0,不符合.所以本题答案是B.例4如图4,已知二次函数y = ax?+bx+c的图象与x轴相交于（xi，0）,（X2，0）两点,且O<xi<l, 1<X2<2,与y轴相交于（0, 一2）・下列结论：©2a+b>l；②3a+b>0；③a+b<2；④b2+8a>0；⑤a—b>2.其中正确结论的个数为（（A）l 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个分析本题有一个重要数据条件“与y轴相交于（0, —2）”，即c=—2.所以本题不少选项中的C 为一2所取代，如在③中要判断3+ b<2是否正确，就是要看a+b —2<0是否正确，即判断“a+b+c",所以可以取x=l 得 a+b+c>0,即 a+b —2>0,故③错误；同样在⑤和①中，可将原来要判断的式子变为“a—b+c”与“4a+2b+c”，分别取x =—1与x=2,即知①⑤都是错误的.由④所给的%2 + 8a>0n 可联想到“抛物线与x 轴有两个交点”，所以由b 2-4ac>0即 得④正确.只有②的辨别可用“有缺看轴”的方法，此抛物线的对称轴为直线x=- —,由“抛1Q物线与 X 轴相交于(XI ，0),(X2, 0)两点,且 OVX]V1, 1VX1V2"可知“一 且“抛物线下口向下”知“a<0”，故有“a+b 〉0”或“3a+b<0”，可得②错误.所以本题答案是A.注 与“基础四看”相比，“组合二看”的要求显然高的多，尤其是出现字母有缺时, 更要求同学们能充分把握函数图象中所给的信息.3・取值计算当解题感到无从下手时，可以尝试収值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据 (或范围)，取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断.例5从如图5所示的二次函数y=ax2 + bx+c (aHO)的图象中，观察得出了下面五 条信息：①“b>0；②a+b+cvO ；③b+2c>0；④a —2b+4c>0；⑤a — — b.你认为其中正确信息的个数有() (A)2 个 (B)3 个(C)4 个 (D)5 个分析 本题可用“取值法”判断.4 |根据对称轴収(一上，0)、(-, 0)两点，再任取与y3 34 29 3即得8= ——, b = —— , c= 1.把它代入到①~⑤中，即可知都是正确的. 所以本题答案是D.注 用“取值法”在解决此类问题时，通常只要取一组适合条件的点求出解析式即可,2 2a 2轴正半轴上的一个交点(0, 1),可求出但如果遇到抛物线在某特定范围内变化吋，要判断某些字母的取值范围时，我们还要采用“取临界值法”加以研究.例6如图6所示，抛物线y = ax? + bx + c 与x 轴交于点A( —1, 0),顶点坐标为(1, n),与y 轴的交点在(0, 2)、(0, 3)之间(包括端点).有下列结论：①当x>3时，y<0；② 2 Q3a+b>0；③一IWaW ——:④—WnW4.其中正确的有()3 3(A)l 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个分析 本题由対称可知抛物线与x 轴的另一个交点为 (3, 0),故①是正确的.由对称轴为直线x= —— =1,知b=—2a,则3a+b = 2a 3a-2a=a<0,故②是错误的.这里③④用逻辑判断就比较难，这时我们可以使用“取值法”.因为“抛物线与y 轴 的交点在(0, 2)、(0, 3)之间(包括端点)”，故可以使用“取临界值法”，分别取(0, 2), (0, 3)与(一1, 0), (3, 0)进行计算，可求出它们所对应的两个抛物线的解析式为2 2所以可知一lWaW —— ,即③④都是正确的.3 3 所以本题答案是C.上述方法有吋计算量较大，但仍有一定的实用性，笔者希望大家能够了解和掌握.和 y=—（X —1）2+4,。
初中二次函数知识点记忆口诀
初中二次函数知识点记忆口诀
二次函数是初中数学中一个很重要的知识点，下面整理了一些二次函数的相关知识点，供大家参考。
二次函数图像与性质
二次方程零换y，二次函数便出现；
全体实数定义域，图像叫做抛物线；
抛物线有对称轴，两边单调正相反；
开口、顶点和交点,它们确定图象现；
开口、大小由a断,c与Y轴来相见；
b的符号较特别，符号与a相关联；
顶点非高即最低。
上低下高很显眼，
如果要画抛物线，平移也可去描点；
提取配方定顶点，两条途径再挑选，
若要平移也不难，先画基础抛物线，
列表描点后连线，平移规律记心间，
左加右减括号内，号外上加下要减。
二次函数的三种表达式
一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B （x₂，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
h=-b/2a
k=(4ac-b²)/4a
x₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a
二次函数的平移规律口诀
加左减右，加上减下。
意思就是当二次函数写成下面这个样子时：
y=a(x+b)²+c，只要将y=ax²的函数图像按以下规律平移。
(1)b>0时，图像向左平移b个单位(加左)。
(2)b<0时，图像向右平移b个单位(减右)。
(3)c>0时，图像向上平移c个单位(加上)。
(4)c<0时，图像向下平移c个单位(减下)。
初中二次函数知识点详解助记口诀
关于y轴对称，x变成-x，y不变 。
关于原点对称，x变成-x，y变 成-y。
伸缩变换规律
横向伸缩
自变量的系数变化。系数大于1是横向压缩；系数 小于1是横向拉伸。
纵向伸缩
函数值的系数变化。系数大于1是纵向拉伸；系数 小于1是纵向压缩。
04
二次函数与一元二次方程关系
Chapter
一元二次方程根与系数关系
01
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的根 $x_1, x_2$ 与系数 $a, b, c$ 的关系为：$x_1 + x_2 = -frac{b}{a}, quad x_1 times x_2 = frac{c}{a}$
02
判别式 $Delta = b^2 - 4ac$，当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根 ；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程无实 根。
平移规律要记牢，左加右减常 数项。
伸缩变换看系数，横纵坐标同 比例。
图像变换规律助记口诀
01
02
03
04
抛物线平移规律清，左 加右减纵不变。
伸缩变换看系数，横坐 标变纵不变。
对称轴和顶点变，开口 方向和宽窄见。
实际应用多体验，数形 结合思维显。
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初中二次函数知识点详解助记口诀
汇报人：XXX 2024-01-28
目录
• 二次函数基本概念与性质 • 二次函数解析式与求法 • 二次函数图像变换规律 • 二次函数与一元二次方程关系 • 二次函数在实际问题中应用 • 助记口诀及学习技巧分享
2018中考数学知识点：二次函数速记口诀
新一轮中考复习备考周期正式开始，为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！
二次函数速记口诀
二次方程零换y，二次函数便出现。
A定开口及大小，开口向上是正数。
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
提取配方定顶点，平移描点皆成图。
列表描点后连线，三点大致定全图。
若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小随基础。
注】基础抛物线
全体实数定义域，图像叫做抛物线。
抛物线有对称轴，两边单调正相反。
A定开口及大小，线轴交点叫顶点。
顶点非高即最低。上低下高很显眼。
如果要画抛物线，平移也可去描点，
提取配方定顶点，两条途径再挑选。
列表描点后连线，平移规律记心间。
左加右减括号内，号外上加下要减。
二次方程零换y，就得到二次函数。
图像叫抛物线，定义域全体实数。
中考数学二次函数超全知识点记忆口诀
中考数学二次函数超全知识点记忆口诀1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系 （3分） 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
【数学知识点】初中二次函数知识点记忆口诀
【数学知识点】初中二次函数知识点记忆口诀
二次函数是初中数学中一个很重要的知识点，下面整理了一些二次函数的相关知识点，供大家参考。
二次方程零换y，二次函数便出现；
全体实数定义域，图像叫做抛物线；
抛物线有对称轴，两边单调正相反；
开口、顶点和交点,它们确定图象现；
开口、大小由a断,c与Y轴来相见；
b的符号较特别，符号与a相关联；
顶点非高即最低。
上低下高很显眼，
如果要画抛物线，平移也可去描点；
提取配方定顶点，两条途径再挑选，
若要平移也不难，先画基础抛物线，
列表描点后连线，平移规律记心间，
左加右减括号内，号外上加下要减。
一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
h=-b/2a
k=(4ac-b²)/4a
x₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a
加左减右，加上减下。
意思就是当二次函数写成下面这个样子时：
y=a(x+b)²+c，只要将y=ax²的函数图像按以下规律平移。
(1)b>0时，图像向左平移b个单位(加左)。
(2)b<0时，图像向右平移b个单位(减右)。
(3)c>0时，图像向上平移c个单位(加上)。
(4)c<0时，图像向下平移c个单位(减下)。
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二次函数的图象与性质记忆大全
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质记忆大全
1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：
2.函数y=ax2+c(a≠0)的图象及其性质:
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是，对称轴是直线
(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点是它的最低点.
(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右上升. (1)当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸，顶点是它的最高点.
(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降.
抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用
决定对称轴的位置，对称轴是直线。
学习二次函数口诀
学习二次函数口诀：一口二轴三顶点交点之后再增减口：抛物线开口轴：对称轴顶点坐标公式交点：图像与坐标轴的交点，包括与x轴y轴的交点增减性：在对称轴两侧的y随x的增加怎样变化的二次函数的图象与性质二次函数开口方向对称轴顶点增减性最大（小）值y = ax2 a>0时，开口向上；a<0抛时，开口向下。
x=0 y=0（0，0）当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小。
当a>0时，当x=0时，y=0；当a<0时，当x=0时，y=0；y = ax2+c x=0 （0，c）当a>0时，当x=0时，y=c；当a<0时，当x=0时，y=c；y = a（x-h）2 x=h （h，0）当a>0时，当x=h时，y最小=0；当a<0时，当x=h时，y最大=0；y = a（x-h）2 +k x=h （h，k）当a>0时，当x=h时，y最小=k；当a<0时，当x=h时，y最大=k；y = ax2+bx+c x= （），顶点坐标（，）当a>0时，当x=h时，y最小=k；当a<0时，当x=h时，y最大=k；其中h= ，k=★二次函数y = ax2、y = ax2+c、y = a（x-h）2以及y = a （x-h）2 +k的形状相同，只是位置不同，相互之间可以通过平移得到，一般式y = ax2+bx+c可以通过配方化成y = a（x-h）2 +k 的形式。
（上加下减，左加右减）3.二次函数的解析式二次函数解析式常见有三种形式：①一般式：y = ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）②顶点式：y = a（x-h）2 +k（a、h、k是常数，且a≠0）③交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a、x1、x2是常数，且a≠0，x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）。
二次函数知识点总结[1].docx
![二次函数知识点总结[1].docx](https://img.taocdn.com/s3/m/f078e9030912a2161479295c.png)
1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以x为自变量的二次函数y( m2 ) x2m2m2的图像经过原点，则m的值是
2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数ykxb的图像在第一、 二、三象限内， 那么函数ykx2bx1的图像大致是 （）
3
当b
0
时，
b
0
，即抛物线的对称轴在
y轴右侧；
2 a
当b
0
时，
b
0
，即抛物线的对称轴就是
y轴；
2 a
当b
0
时，
b
0
，即抛物线对称轴在y轴的左侧．
2 a
总结起来，在a确定的前提下，
b决定了抛物线对称轴的位置．
ab的符号的判定：对称轴
x
b
0，在y轴的右侧则ab
0，概括的说就是
在y轴左边则ab
2a
“左同右异”
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
bx c（a，b，c为常数，a
0）；
2
k（a，h，k为常数，a
0）；
h )
x )( x
x
)（a
0，x
，x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
顺口溜总结二次函数学习方法
顺口溜总结二次函数学习方法二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）是初中数学学习的重点，同时也是难点，其知识点比较多，又不大容易理解和记忆。
在学习中需要理解和熟记的内容有——（1）定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数。
（2）图象：是一条以直线x=-b/2a为对称轴，顶点在（-b/2a，（4ac-b2）/4a）的抛物线。
（3）性质：①a>0时，图象开口向上，当x<-b/2a时，y随x增大而减小；当x=-b/2a时，y最小值=（4ac-b2）/4a；当x>-b/2a时，y随x增大而增大。
②a<0时，图象开口向下，当x<-b/2a时，y随x增大而增大；当x=-b/2a时，y最大值=（4ac-b2）/4a；当x>-b/2a时，y随x增大而减小。
（4）三种表达：①一般形式（也称三点式）：y=ax2+bx+c（a≠0）；②配方形式（也称顶点式）：y=a（x-m）2+n，顶点为（m，n）；③两根形式（也称交点式）：y=a（x-x1）(x-x2)，x1，x2是方程ax2+bx+c =0的两根（或者说是抛物线与x轴两交点的横坐标）。
（5）图象与a、b、c的符号。
现将这些性质编成如下顺口溜：二次函数抛物线，既是重点亦难点；定义图象和性质，一一分清记心间。
三种表达很重要，解题当中常用到，因题而异灵活选，事关解题繁与简。
一般三点用一般，有关顶点用配方，涉及两根用交点，a的大小都不变。
性质理解并不难，抓住顶点是关键，确定开口大方向，画出图象找拐点。
三项系数定符号，a的符号最明了，开口方向看清楚，向上为正下为负。
确定b号较麻烦，a的符号要用上，轻轻画出对称轴，它在y轴哪一边？左边b与a同号，右边两者恰相反，左同右异要记牢，c的符号y轴找。
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黄冈中学“没有学不好滴数学”系列之十二二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）内含 <全文看完后再决定下不下载>十二个知识点最新原创助记口诀用心背后就知好二次函数疑难问题一扫光简洁实用直指中考高分知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当ba≠时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0x⇔y>,0>点P(x,y)在第二象限0⇔yx<,0>点P(x,y)在第三象限0x⇔y,0<<点P(x,y)在第四象限0x⇔y,0<>2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上0⇔y，x为任意实数=点P(x,y)在y轴上0⇔x，y为任意实数=点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上⇔x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于22yx+知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
二次函数配方口诀.doc
二次函数配方口诀求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴方程、最大值或最小值等都需要运用配方法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，其中配方是学习中的难点，这里的配方虽然与一元二次方程的配方有点类似，但不尽相同，不少初学者茫然无措．现将配方过程归纳为如下口诀，方便大家的学习．二次系数先提取，常数暂且往后移；一次系数取一半，平方以后再加减；前三配方四相乘，最后再算常数项．口诀解析：二次系数先提取，常数暂且往后移的意思是：把y=ax2+bx+c的二次项系数a作为公因式提取，常数项c放到括号外的后面，化为：一次系数取一半，平方以后再加减的意思是：在括号内的x2+bx/a，取一次项的系数b/a的一半b/(2a)，加上和减去它的平方[b/(2a)]2，化为：前三配方四相乘的意思是：具体运用看如下例子：例1 把y=2x2-3x-5化为y=a(x-h)2+k的形式.解：二次系数先提取，常数暂且往后移，得：y=2(x2-3x/2)-5；一次系数取一半，平方以后再加减得：y=2(x2-3x/2+9/16-9/16)-5；前三配方后相乘，得y=2(x-3/2)2-9/16×2-5；再加后面常数项，得：y=2(x-3/2)2-49/8.例2 用配方法求二次函数y=-x2+4x+1的图象顶点坐标．解：根据配方口诀，得：y=-( x2-4x)+1=-( x2-4x+4-4)+1=-[ (x-2)2-4]+1=-(x-2)2-4×(-1)+1=-(x-2)2+5.所以顶点坐标为（2，5）．例3 求二次函数y=3x2/2+9x-7的最小值．解：根据配方口诀，得：y=3/2(x2+6x)-7=3/2(x2+6x+9-9)-7=3/2[(x+3)2-9]-7=3/2(x+3)2-9×3/2-7=3/2(x+3)2-41/2，因为a=3/20，所以当x=-3时，y最小值=-41/2.例4 求抛物线y=ax2-4ax+1的对称轴方程．解：y=a(x2-4x)+1=a(x2-4x+4-4)+1=a[(x-2)2-4]+1=a(x-2)2-4a+1，所以对称轴方程为x=2.。
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二次函数速记口诀二次方程零换y,二次函数便出现。
全体实数定义域，图像叫做抛物线。
抛物线有对称轴，两边单调止相反。
A定开口及大小，线轴交点叫顶点。
顶点非高即最低。
上低下高很显眼。
如果要画抛物线，平移也可去描点, 提収配方定顶点，两条途径再挑选。
列表描点后连线，平移规律记心间。
左加右减插号内，号外上加下要减。
二次方程零换y,就得到二次函数。
图像叫做抛物线，立义域全体实数。
A定开口及大小，开口向上是正数。
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
分为：二次函数与线段及角、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、面积等问题）重要思想：①分类讨论I 代表性题型：动态几何问题，存在性讨论问题;②转化思想（待泄系数）j 代表性题型：面积问题，二函数图彖与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离等；③最短路径j 代表性题型：利用二次函数的对称性求三角形的周长最小时点的坐标; ④ 尺规作图T 代表性题型：二次函数中求出直角三角形与等腰三角形时点的坐标，采用直 角三角板与圆规进行尺规作图分析；提取配方定顶点, 平移描点皆成图。
列表描点后连线, 三点大致定全图。
若要平移也不难, 先画基础抛物线,顶点移到新位置， 二次函数与儿何方法开口大小随基础。
⑤极端值思想-代表性题型：动态几何问题，动态函数问题；⑥数形结合思想-代表性题型：函数与几何综合题。
二次函数的常见考法(1) 考查一些带约束条件的二次函数最值；(2) 结合二次函数考查一些创新问题二次函数的实际应用在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中，有很多"利润最大"、"用料最少"、"开支最节约"、"线路最短"、"面积最大"等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值。
那么解决这类问题的一般步骤是：第一步：设自变量；第二步：建立函数解析式；第三步：确定自变量取值范围;第四步：根据顶点坐标公式或配方法求出最值（在自变量的取值范围内）。
二次函数丄.矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点“的坐标为（2, 1）. 一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为产/再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A. y=x z^8x+14B. y=x2- 8x+14C.D. y=x2 - 4x+32.抛物线y二ax牛bx+3 （a^O）过A（4, 4）, B（2, m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d,满足0< 1,则实数m的取值范围是（）A. m W2 或m>3B. m W 3 或4C. 2< m< 3D. 3< m<4若、怎鬲I n - 21=0,且二次函数y-ax^mx+n与x轴有交点，则a的取值范围f VWSA.A. a<8且aKOB. a刁8C. aW8且aHOD. aW84.函数V=x2- 3>:+4的图象与坐标轴的交点个数杲（）A. 0 个B. J.个C. 2 个D. 3 个5・在同一直角坐标系中，一次函y=ax+c和二次函数y二湫斗c的图象大致为）6.如图，直线尸婕+C与抛物线y二ax®b>：+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线xJ,且OA=OD.直线y二M+c与x轴交于点C （点C在点B的右侧）・则下列命题中正确命题的个数杲（）®abc>0；②3a+b>0；③-J.<kVO； ©k>a+b；⑤ac+k>0.左侧），与V 轴交于点c.将抛物线rn 绕点B 旋转丄妙，得到新的抛物线n,它的顶点为5与x 轴的另一个交点为仏若四边形ACAC 为矩形，则a, b 应满&若正实a 、b 满足ab 二a+b+3,贝IJ a 斗b ：的最小值为（ ）C. 9 D ・ 18二魅題（共10小題）9・当” 时,函数尸*1） J%是二次匪数.10. 已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点hl 在双豔尸号上，点N 在直线y 二-x+3上，设点閔坐标为（a, b ）,则y= - abx 2^ （a-H ）） x 的顶点坐标为 _______ ・11. 当-丄W>：W2时，二次函数®42kx+JL 的最小值是-丄，则k 的值可能是 _______ .1Z 若二次函数v=ax 活X-5与x 轴徵点，则4的取值范围 ______________ ・丄文如果函数尸b 的图象与函数y=>" 3|x-l| -4K - 3的图象曲三核点，则 b 的可能值是 ・14.如图是二次函数尸ax 斗bx+c （ aH 0）图竦的一部分，x=- 1是对称轴，有下 列判断：① b - 2a=0;② 4 a - 2b+c< 0;③ a - b+c= - 9a ；④若（-3> yi ）,（三, V2）是抛物线上两点，则巾>丫2,其中正确的序号是 _____________________________________ ・b>0）与x 轴于点A 、B （点心在点B 的足的关系式为（）A. ab=- 2B. ab=- 3C. ab= - 4D. ab=- 515.把y=2x2- 6x4-4配方成v,=a（ x - h）*的形式是_________ ・丄6・已知二次函数•尸ax斗Z七的图象如图所示，对称轴x二丄，下列结论中正确的是（写出所有正确结论的序号）①h> 0；②abc>0;③b，- 4ac>0;④a - b+c< 0;⑤4a+2b+c>0;⑥方程":斗b:・:+=0 有一根介于3和4之间.X=117.二次函数y二的图象如图所示，那么abo b2 - 4ao 2才b,才b+c四个代数式中，值为正数的有 _______________________________ 个.18・已知抛物线y=axS-bx-h：经过点（丄，2）与〔・丄，4）,则才c的值是_ ・三.（共5小题）19.如图所示，抛物线y=x^：.x+c经过A. B两点，汉、B两点的坐标分别为―1,0）、（0, - 3）.（1）求抛物线的函数解析式；（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DUDE,求出点D的坐标；（3）在第二间的条件下，在直线DE上存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与ADOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.20.已知抛物线y二-X斗bx+（与直线y- - 4x+n）相交于第一象限不同的两点，A（5,n） , B （e, f）（1）若点B的坐标为（3, 9）,求此抛物线的解析式;（2）将此抛物线平移，设平移后的抛物线为y=- x^+q,过点A与点（丄，2）, 且m - q=25,在平移过程中，若抛物线y= - x^bx+c向下平移了S （S>0）个单位长度，求S的取值范围.21・如图丄，对称轴为直线x二亍的抛物线经过B（2, 0）、C（0, 4）两点，抛物线与X轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限內抛物线上的一点，设四辺形COBP的面积为S,求S的最大值；（3）如图2,若M杲线段BC上一动点，在x轴杲否存在这样的点Q,使△MQC 为等腰三角形且△同QB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在,2Z设抛物线的解析式为、Z过点Bi （1, 0）作x轴的垂线，交抛物线于点Aid, 2）；过点B2（V 0）作X轴的垂线，交抛物线于点心・•・；过点B n（（斗）n丄，0）（n 为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点入，连接A n B nt p得RtA（1）求a的值；（2）直接写出线段A n B n, B n B n+i的长（用含n的式子表示）；（3）在系列RtAA h B n B h+1中，探究下列间题：①当n为何值时，肮△儿讪是等腰直角三角形？②设lWk<mWn（k, m均为正整数），间：是否存在Rt^A屁B*与Rt△几BJ甘相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由.考数学专项训练：基础知识点复习（得高分基础知识）09年中考数学学科统考应考策略09年中考数学实数冲刺第一轮复习09年中考数学实数的有关概念复习09年中考数学二次函数复习09年屮考数学二轮复习经典例题解析109年中考数学二轮复习经典例题解析209年中考数学代数式冲刺第一轮复习09年中考数学几何综合复习资料09年中考数学函数复习09年屮考数学函数复习专题09年中考数学分式冲刺第一轮复习09年中考数学分式复习09年中考数学分式方程和二次根式复习09年中考数学分解因式第一轮复习09年屮考数学列方程（组）解应用题复习09年中考数学利用角平分线定义解题09年中考数学动点的有关问题09年中考数学反比例一次函数复习09年中考数学各种题型的突破方法复习09年屮考数学命题动向与应考策略09年中考数学和圆有关的计算复习09年中考数学四边形复习专题09年中考数学四边形复习专题209年中考数学因式分解复习09年屮考数注图形与变换复习专题09年中考数学圆与圆的位置关系复习09年屮考数学圆复习专题09年中考数学圆柱圆锥圆台侧面积计算复习09年中考数学圆的有关性质复习09年中考数学中位线与面积复习覆盖与截取规律探索视图投影立体图形的展开图说理型试题复习轴对称配方法在代数中应用阅读型试题复习09年屮考数学专题复习资料109年中考数学专题复习资料209年中考数学专题复习资料309年中考数学专题复习资料409年中考数学专题复习资料509年屮考数学专题复习资料609年中考数学专题复习资料7如图：已知AB是©0的直径，BC是©0的切线，0C与⑥0相交于点D,连结AD并延长，与BC相交于点E。
(1)若BC= V3, CD = 1,求®0 的半径；(2)取BE的中点F,连结DF,求证：DF是⑥0的切线为边在第一象限内作等边 (1)求的面积；(2)如果在第二象限内有-点P (专)，试用含。
的式子表示四边形砂。
的面积, 并求出当的面积与△力％的面积相等时。
的值；(3) 在兀轴上，存在这样的点朋 使△仞矽为等腰三角形. 请直接写出所有符合要求的点〃的坐标.22.如图，抛物线y = ax 2+加+ c 经过点0(0,0) ,A(4,0) ,B(5,5),点C 是y 轴负半轴上—点，直线Z 经过B,C 两点，且tanZOCB = -9(1 )求抛物线的解析式； (2) 求直线/的解析式；(3)过0,B 两点作直线，如果P 是直线0B 上的一个动点，过点P 作直线PQ 平行于y 轴，交抛物线于点Q 。