(完整版)信号与系统的公式汇总分类
信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念公式
总结
Last updated on the afternoon of January 3, 2021
信号与系统重点概念及公式总结：
第一章：概论
1.信号：信号是消息的表现形式。（消息是信号的具体内容）
2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：
1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部；
或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为
复数的辐角。（复平面）
2.欧拉公式：
wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解
1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n =
如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21
21
2==≠=⎰⎰
则称集合F 为正交函数集
如果n i K i ,2,11
==，则称F 为标准正交函数集。 如果F 中的函数为复数函数
条件变为：n
i K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121
**==⋅≠=⋅⎰⎰
其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。2.正交函数集的物理意义：
一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；
正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；
信号与系统 典型公式
F[ f1 (t )] F1 ( )
F[ f2 (t )] F2 ()
则
F[ f1 (t )* f2 (t )] F1 () F2 ()
频域卷积定理
若
F[ f1 (t )] F1 ( )
F[ f2 (t )] F2 ()
则
1 F[ f1 (t ) f2 (t )] F1 ( )* F2 ( ) 2
t2 t1
一、三角函数形式的傅里叶级数（FS） 设f(t)为一周期信号，周期为T1,则
2 f (t) a0 [ancos( n1t ) bnsin( n1t )] 1 T1 n 1
1 t0 T1 a0 f(t)dt ——直流分量 T1 t0 2 t0 T1 an f(t)cos n1t dt t0 T1 n 1,2, 2 t0 T1 bn f(t)sin n1t dt t0 T1
注： (t ) 0， (t )(t t 0 )(t 0 0) 0 0
f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
若f(t)也是冲激函数，则乘积无意义,如 (t ) (t ), (t t0 ) (t t0 ) 无意义
4 δ(t)的性质
0 u (t ) 1 t0 t0
1
j t
信号与系统常用卷积公式
信号与系统常用卷积公式
在信号与系统的学习中，卷积是一个重要的概念。卷积是指将两个信号或函数进行积分，得到一个新的信号或函数的过程。
卷积运算常用的卷积公式为：
(f * g)(t) = ∫ -∞ ∞ f(τ) * g(t-τ) dτ
其中，f(t)和g(t)是两个信号或函数，(f * g)(t)表示两个信号或函数的卷积结果，t是卷积运算的变量。
通过这个公式，我们可以计算出两个信号或函数的卷积结果。
卷积运算在信号与系统中有着广泛的应用，例如可以用来求解系统的输出信号、计算系统的转移函数等。
(完整版),信号与系统-公式总结,推荐文档
※※3
t
※※4 ※5 ※6
eat sin t cos t
像函数 F (s) [ f (t)] 1
1
s 1 s2 1 sa s2 2 s s2 2
3 拉普拉斯的基本性质 性质 ※※1 时间平移 ※2 频率频移 ※3 时域微分
4 复频域微分
5 复频域积分
※6 时域卷积
时域 f (t) t 0 f (t t0 )u(t t0 )
的圆内；
★ 双边序列的 ROC 为 R1 z R2 的圆环。
★ 有限长序列的 ROC 为整个 z 平面 （可能除去 z = 0 和 z = ）；
3. 典型信号的 Z 变换
(1) x(n) (n), X (z) 1， z 0
(2) x(n) u(n), X (z) z , z 1 z 1
rzi (t) 2rzi (t)
Crzi (t)
3 冲激响应 h(t) 的计算 （1）已知电路图，求 h(t)
Step1:明确系统输入（激励），系统输出（响应）
L jwL或Ls Step2:电气元件 L 和 C，变成变换域 C 1 或 1
jWC CS
Step3: 系统函数 H () R() 或 H (s) R(s)
第一章 信号分析的理论基础
1．周期信号的判断： x(t) x(t T )
信号正交判断：
t2
信号与系统的公式汇总分类
线
性
af1(t) + bf2 (t) ↔ aF1( jω) + bF2 ( jω)
af1 (t) + bf 2 (t) ↔ aF1(s) + bF2 (s)
af1(k) + bf 2 (k) ↔ aF1 (z) + bF2 (z)
性
性
性
af1(k) + bf2(k) ↔ aF1(e jθ ) + bF2(e jθ )
Z 变换对（单边）
∞
∑ F (z) = f (k)z −k
k =0
象函数
函数
f (k), k ≥ 0
δ (t)
1
δ (k)
1
δ (k − m), m ≥ 0
δ ′(t)
s
1
z
ε (k − m), m ≥ 0
z −1
ε (t)
1 s
ε (k)
z
k 2ε (k)
z −1
tε (t) t nε (t) e −αtε (t) te −αt ε (t)
频 域
微
分
分
微
dF(e jθ ) kf (k) ↔ j
dθ
分
时 域
∫t f (x)dx, f (−∞) = 0 ↔ F ( jω) + πF (0)δ (ω)
信号与系统概念公式总结
信号与系统概念，公式集：
第一章：概论
1.信号：信号是消息的表现形式。（消息是信号的具体内容）
2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：
1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；
或C=|C|e j φ
，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为
复数的辐角。（复平面）
2.欧拉公式：
wt j wt e jwt
sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解
1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F
n =
如果满足：
n
i K dt t f j i dt t f t f i
T T i T T j i 2,1)(0)()(2
1
2
12
==≠=⎰
⎰
则称集合F 为正交函数集 如果n i K i
,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数
条件变为：
n
i K dt t f t f j
i dt t f t f i
T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2
1
2
1*
*==⋅≠=⋅⎰
⎰
其中)(*
t f i 为
)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：
一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；
正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；
点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数
在这个坐标系统中的坐标。
考研信号与系统公式分类与汇总(最实用版)
1 2πδ (ω)
δ ′(t) δ (n) (t)
jω ( jω)n
ε (t)
tε (t)
e−αtε (t) te−αtε (t),α > 0 cos(ω0t) sin(ω0t) 1 t
|t |
1 + πδ (ω) jω
频域 卷积 时域 差分 频域 微分 时域 累加
∫ f1 (k )
f 2 (k )
↔
1 2π
2π F1(e jψ )F2 (e j(ψ −θ ) )dψ
f (k) − f (k −1) ↔ (1− e jθ )F (e jθ )
kf (k) ↔ j dF (e jθ ) dθ
∑ ∑ ∞ f (k)
k =−∞
f (∞) = lim(z −1)F (z) （右边信号）
z→1
帕斯 瓦尔
∑ ∫ ∞ | f (k) |2 = 1 | F (e jθ ) |2 dθ
k = −∞
2π 2π
连续傅里叶变换对
∫ F ( jω) = ∞ f (t)e− jωt dt −∞
函数
f (t)
傅里叶变换 F ( jω)
δ (t) 1
f (at + b) ↔
1
e
j
bω a
F
(
j
ω
)
|a|
a
信号与系统常用公式
信号与系统常⽤公式
常⽤公式第⼀章
判断周期信号⽅法
两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之⽐T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最⼩公倍数。
2/2/2/(2/),/N N M M N πβπβ
πβπβπβ==仅当为整数时正弦序列才具有周期当为有理数时正弦序列仍具有周期性，其周期为取使为整数的最⼩整数当2为⽆理数时正弦序列不具有周期性，
1、连续正弦信号⼀定是周期信号，⽽正弦序列不⼀定是周期序列。
2、两连续周期信号之和不⼀定是周期信号，⽽两周期序列之和⼀定是周期序列。
信号的能量 def
2
()E f t dt +∞
-∞=?
信号的平均功率 def
2
/2/2
1lim ()T T T
P f t dt T +-→∞=? 冲激函数的特性
'''()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ=- ()()(0)()f t t f t δδ=
()()()()f t t a f a t a δδ-=- ()()(0),f t t dt f δ∞-∞
=?
()()()f t t a dt f a δ∞
-∞
-=?
()()11()()n n n at t a a δδ=
001
()()t at t t a a
δδ-=- 000()()()()f k k k f k k k δδ-=-
()()
()()(1)(0)n n n t f t dt f
δ∞
∞
∞
=-?-
动态系统是线性系统的条件
可分解性 {}{}{}{}()()()0,()(0),0f x y y y T f T x ?=?+?=?+ 零状态线性 {}{}{}{}{}{}12120,()()0,()0,()T af t bf t aT f bT f +=? + 零输⼊线性 {}{}{}{}{}{}1212(0)(0),0(0),0(0),0T ax bx aT x bT x +=+
信号与系统公式大全
单位样值信号卷积特性
x(n) (n) x(n) x(n) (n 1) x(n 1) x(n) (n k) x(n k)
时间常数： 1
二、冲激信号
冲激信号 A (t)
筛选特性 取样特性 展缩特性
一般定义
A (t) 0 A (t)
t0 t0
A (t)dt A
f (t) (t t0) f (t0) (t t0)
f (t) (t t0)dt f (t0)
积分特性
u(t )
f
(t)
t
f
(
)d
冲激偶卷积 '(t) f (t) f '(t)
tn1 u(t) f (t) t t f (t)dt dt f (n) (t)
x(k) x(n)u(n)
(n 1)!
k
f (t) K t
实指数信号
0, 0
f (t) Ket t
信号与系统1.5 系统的分类(一)-讲义
x1[k] 离散系统
y1[k] x2[k] 离散系统
y2[k]
x1[k ] + x2[k ] 离散系统
y1[k ] + y2[k ]
2.线性系统与非线性系统
线性系统：具有线性特性的系统。 均匀特性 与 叠加特性
非线性系统：不具有线性特性的系统。
2.线性系统与非线性系统
线性系统举例
+L
+
x(t)
i(t)
-
R vR(t) x(t)
-
iR (t) R
iL (t) L
iC (t) C
+ vC (t)
-
Ui
Vi SIN
C15 470p
R21 200k gnd
C16
470p R19 200k
R22 180k VC C
8
2 3
R20 130k
U1A LF353
1 TP1 3
C17 470p
dt
dt
Ky(t)
满足 均匀特性
2.线性系统与非线性系统
[例1]已知连续时间系统的输入x(t)与输出y(t) 关系如下，试判
断这些系统是否为线性系统。 (1) y(t) 3x(t) + 4 (2) y(t) 4x2 (t)
解：(3) 考察叠加特性
(3) y(t) 2 dx(t) + x(t) dt
信号与系统基本概念和分类
信号与系统基本概念和分类
在现代通信领域，信号与系统是一门基础而重要的学科。理解信号
与系统的基本概念和分类对于深入研究通信原理和系统设计至关重要。本文将介绍信号与系统的基本概念和分类，并探讨其在实际应用中的
重要性。
一、信号的基本概念
信号是信息的载体，可以通过某种形式或载体传递。信号的基本概
念包括以下几个方面：
1. 信号的定义：信号是随时间变化的物理量。它可以是连续的、离
散的、周期的或非周期的。
2. 信号的特征：信号可以通过其振幅、频率、相位、时间等特征进
行描述。这些特征可以在频域或时域中进行观察和分析。
3. 信号的分类：信号可以分为连续信号和离散信号。连续信号在时
间和幅度上都是连续变化的，例如声音信号、电压信号等；离散信号
在时间和幅度上都是离散变化的，例如数字信号、脉冲信号等。
二、系统的基本概念
系统是对信号进行处理或传输的过程或设备。理解系统的基本概念
可以帮助我们分析和设计复杂的通信系统。以下是系统的基本概念：
1. 系统的定义：系统是由一组有序的组件或部件构成，它们相互作
用或协作以实现特定的功能。
2. 系统的输入与输出：系统接受输入信号，并根据某种规则对其进
行处理，产生输出信号。
3. 系统的状态：系统的状态是系统在某一时刻的描述，可以用于描
述系统的性能和行为。
三、信号与系统的分类
信号与系统可以根据不同的特征进行分类。以下是几种常见的分类
方式：
1. 按信号的数学表示方式分类：
a. 连续时间信号：用函数描述，例如正弦信号、指数信号等。
b. 离散时间信号：用序列描述，例如单位样本序列、冲激序列等。
信号与系统
3.3 非周期信号的傅里叶变换 频谱密度函数
F ( jω ) = ∫ 1 f (t ) = 2π
+∞ −∞
f ( t )e − jωt dt — —傅立叶正变换 F ( jω )e jωt dω — —傅立叶逆变换
∫
+∞
−∞
3.4 常用信号的傅里叶变换 3.5 傅立叶变换的性质
3.8 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 一、理想低通滤波器的频域特性 e − jω t 0 − jϕ ( ω ) = H ( jω ) =| H ( jω ) | e 0 | ω |< ω c 1 | H ( j ω ) |= | ω |≥ ω c 0
（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为ω1= 是周期信号 ω1= πs cos3t是周期信号 其角频率和周期分别为ω2= 是周期信号， cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为ω2= 3 rad/s ， T2= 2π/ ω2= (2π/3) s 由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍 数2π。 sinπt的周期分别为 的周期分别为T1= πs， s，由于T1/T2 T1/T2为 （2） cos2t 和sinπt的周期分别为T1= πs， T2= 2 s，由于T1/T2为 无理数， f2(t)为非周期信号 为非周期信号。 无理数，故f2(t)为非周期信号。
信号与系统-公式总结 (含要点、题型)
第一章 绪论
1．周期信号的判断：)()(T t x t x += 2T π
ω
=
两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
(会判断信号是否为周期信号，并求周期信号的周期) 小题 (选择或者填空) 2、信号的能量 def
2
()E
f t dt +∞
-∞
=⎰
信号的平均功率 def
2
/2
/2
1lim ()T T T P f t dt T +-→∞=⎰
（会判断信号是功率信号还是能量信号）小题 3、 线性和非线性、时变和非时变系统判别 （1）线性和非线性
先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
()()()()11221122C e t C e t C r t C r t +↔+
（2）时变系统与时不变系统 时不变性：
先时移，再经系统＝先经系统，再时移
()()00e t t r t t -↔-
4 对线性时不变系统，响应)()()(t r t r t r zs zi +=，其中)(t r zi 为零输入响应，)(t r zs 为零状态响应。当激励进行放大或者缩小时，零状态响应也相应地放大或者缩小，当初始条件放大或者缩小时，零输入响应也响应地放大或者缩小。需要会利用系统的线性特性分别计算系统的零输入响应和零状态响应。 （会利用系统的线性特性求解系统的零输入响应和零状态响应）简单计算 响应可分解为：零输入响应＋零状态响应, )()()(t r t r t r zs zi +=。
5、
会画()u t 平移以后的()u t 以及经过运算以后的()u t 的波形，比如(2)(3)u t u t +-- 6、
信号与系统的公式汇总分类 - 副本
信号与系统公式性质
1连续傅里叶变换
⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞--=
=ω
ωπ
ωωωd e j F t f dt
e
t f j F t j t
j )(21)()()(
2连续拉普拉斯变换(单边) ⎰⎰∞
+∞
-∞
-==-j j st st
ds e s F j t f dt
e t
f s F σσπ)(21)()()(0
3离散Z 变换(单边) ⎰∑≥=
=-∞
=-L
k k k
k dz z z F j k f z k f z F 0,)(21
)()()(10π
4离散傅里叶变换
⎰∑=
=∞
-∞
=-πθθ
θθ
θ
π
2
)(21
)()()(d e e
F k f e k f e F k j j k k
j j 线性 )()()()(2121ωωj bF j aF t bf t af +↔+
线性 )()()()(2121s bF s aF t bf t af +↔+
线性 )()()()(2121z bF z aF k bf k af +↔+
线性 )()()()(2121θ
θj j e bF e aF k bf k af +↔+
时移
)()(00ωωj F e t t f t j ±↔± 时移
)()(00s F e t t f st ±↔± 时移
)()(z F z m k f m ±↔±（双边） 时移
)()(θθj m j e F e m k f ±↔± 频移 ))(()(00ωωω j F t f e t j ↔±
频移 )()(00s s F t f e t s ↔±
频移 )()(00z e F k f e j k j ωω ↔±（尺度变换）