2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷,有答案)

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2013年高考广东省理科数学试题

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,24．已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310 110则X 的数学期望EX = ( )A .32B ．2C ．52D ．3 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143C ．163D ．66．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 221x =B ．221x y -=C ．221x y -= D．221x =正视图俯视图侧视图第5题图.AED CBO第15题图8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分(一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．1 7 92 0 1 53 0第17题图某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值； (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . .CO BDEAC DOBE'A图1图2已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N = {}2,0,2-,故选D ．2．【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．3．【解析】C ；2442iz i i +==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 4．【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ． 5．【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =+⨯=,,故选B ． 6．【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ． 7．【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ． 8．【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题： 9．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-.10．【解析】1-；求导得1y k x'=+,依题意10k +=,所以1k =-. 11．【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7.12.【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=. 或:()57383220a a a a +=+=13.【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线. 14.(坐标系与参数方程选讲选做题)【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其.AED CBO第15题图sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 15. (几何证明选讲选做题)【解析】ABC CDE ∆∆ ,所以AB BCCD DE =,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =三、解答题:16．【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 17．（本小题满分12分）【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=. 18．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==由翻折不变性可知A D '=所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角. 结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而2A H '==所以cos OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--. 向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -( (00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--19．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n =+-⨯=,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=--- 此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11171714244n n =++-=-<综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .20．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 21．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x xf x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:x(),0-∞0 ()0,ln 2ln 2 ()ln 2,+∞()f x ' +-+()f x极大值极小值右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞.(Ⅱ) ()()()1222x x x xf x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1kM f f k k e k==---令()()311k h k k e k =--+,则()()3kh k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=>⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”. 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =。

13年广东高考理科数学试题及答案OK

正视图俯视图侧视图图1绝密★启用前试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式121(3V S S h =++,其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合{}R x x x x M ∈=+=,022 {}R x x x x N ∈=-=,022，则M N = （）A 、{}0B 、{}2,0C 、{}0,2-D 、{}2,0,2-2、定义域为R 的四个函数3x y =，x y 2=，12+=x y ，x y sin 2=中，奇函数的个数是（）A 、4B 、3C 、2D 、1 3、若复数z 满足i iz 42+=，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（）A 、)4,2(B 、)4,2(-C 、)2,4(-D 、)2,4( 4、已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望=)(X E （）5 ）A 、4B 、314 C 、316D 、6D6、设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题正确的是（） A 、若m n αβαβ⊥⊂⊂，，，则m n ⊥ B 、若m n αβαβ⊂⊂∥，，，则m n ∥ C 、若m n m n αβ⊥⊂⊂，，，则αβ⊥ D 、若m m n n αβ⊥，∥，∥，则αβ⊥7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为)0,3(F 离心率等于23，则C 的方程是（） A 、15422=-y x B 、15422=-y x C 、15222=-y x D 、15222=-y x 8、设整数4≥n ，集合{}n X ,,3,2,1 =令集合{}(,,),,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立，若),,(),,(x w z z y x 和都在S中，则下列选项正确的是（）A 、S w y x S w z y ∉∈),,(,),,(B 、 S w y x S w z y ∈∈),,(,),,(C 、S w y x S w z y ∈∉),,(,),,(D 、 w y x S w z y ∉∉),,(,),,(二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20（一）必做题（9-13题）9、不等式022<-+x x 的解集为．10、若曲线x kx y ln +=在点),1(k 处的切线平行于x 轴，则=k ．11、执行图2所示的流程框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为． 12．在等差数列{}n a 中，已知1083=+a a ，则=+753a a ．13、给定区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+0444:x y x y x D ，令点集{}000000(,),,(,)D T x y D x y Z x y z x y =∈∈=+是在上取得最大值或最小值的点，则T 中的点共确定条不同的直线；（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14、（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==)(sin 2cos 2为参数t ty t x ，C 在点)1,1(处的切线为l ,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为． 15、（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D ，使BC =CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E ，若AB =6，DE =2，则BC = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知函数()),12f x x π=-x R ∈，（1）求()6f π-的值；（2）若33cos ,(,2)52πθθπ=∈，求(2)3f πθ+17、（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．图4BC图6O18、（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A 90=︒，6BC=，D，E分别是AC，AB上的点，CD BE== O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎'A BCDE-，其中'A O=（1）证明：'A O⊥平面BCDE；（2）求二面角'A CD B--平面角的余弦值．19、（本小题满分14分）设数列{}na的前n项和为nS，已知11a=，2*1212,33nnSa n n n Nn+=---∈，（1）求2a的值；（2）求数列{}na的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1211174na a a++⋅⋅⋅+<．20、（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)(0)F c c >到直线:20l x y --=，设P 为直线l 上的点，过点P 做抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点；（1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB ；（3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值21、（本小题满分14分）设函数2()(1)()x f x x e kx k R =--∈，（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案数学（理科）一、选择题1-5：D 、C 、C 、A 、B ； 6-8：D 、B 、B ；二、填空题9、(-2,1) 10、-1 11、7 12、20 13、6 14、2)4(sin =+πθρ 15、32三、解答题16、（1）由题意1222)4cos(2)126cos(2)6(=⨯=-=--=-ππππf （2）∵)2,23(,53cos ππθθ∈=，∴54-sin =θ．∴252453)54(2cos sin 22sin ,2571)53(21-cos 22cos 22-=⨯-⨯==-=-⨯==θθθθθ∴)4sin 2sin 4cos 2(cos 2)42cos(2)1232cos(2)32(πθπθπθππθπθ-=+=-+=+f2517)2524(2572sin 2cos )2sin 222cos 22(2=---=-=-=θθθθ． 17、（1）样本均值为226302521201917=+++++=x ．（2）根据题意，抽取的6名员工中优秀员工有2人，优秀员工所占比例为3162=，故12名员工中优秀员工人数为41231=⨯（人）．（3）记事件A 为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工”，由于优秀员工4人，非优秀员工为8人，故事件A 发生的概率为33166684)(2121814=⨯==C C C A P ，即抽取的工人中恰有一名为优秀员工的概率为3316．18、（1）折叠前连接OA 交DE 于F ，∵折叠前△ABC 为等腰直角三角形，且斜边BC =6，所以OA ⊥BC ，OA=3，AC =BC =23 又2==BE CD∴BC ∥DE ，22==AE AD∴OA ⊥DE ，22==AE AD ∴AF =2，OF =1 折叠后DE ⊥OF ，DE ⊥A ′F ，OF ∩A ′F =F∴DE ⊥面A ′OF ，又OF A O A '⊂'面 ∴DE ⊥A ′O又A ′F =2，OF =1，A ′O =3∴△A ′OF 为直角三角形，且∠A ′OF =90° ∴A ′O ⊥OF ，又BCDE DE 面⊂，BCDE OF 面⊂，且DE ∩OF =F ， ∴A ′O ⊥面BCDE ．（2）过O 做OH ⊥交CD 的延长线于H ，连接H A '，∴OH =22AO =223，230)3()223(2222=+=+'='OH O A H A ∵∠A ′HO 即为二面角B CD A --'的平面角，故cos ∠A ′HO=5153023=='H A OH ． 19、（1）令*21,32312N n n n a n S n n ∈---=+中n =1得,32131221---=a a ∴42212=+=a a（2）由*21,32312N n n n a n S n n ∈---=+；得)2)(1(612326121231++-=---=++n n n na n n n na S n n n∴)3)(2)(1(612)1(21+++-+=++n n n a n S n n两式相减得)2)(1(2122)1(121++--+=-+++n n na a n S S n n n n∴)2)(1(2122)1(121++--+=+++n n na a n a n n n∴)2)(1(212)2(2)1(12++++=+++n n a n a n n n∴11212++=+++n an a n n ，∴11212=+-+++n a n a n n又由（1）知112,22,111221=-==aa a a∴为公差的等差数列，为首相，是以11⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n ∴n na n =．∴)(*2N n n a n ∈=．（3）∵)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<n n n n n n∴)1111(21)4121(21)311(2111312111111222321+--++-+-+<++++=++++n n na a a a n 47)111(2147)111211(211<++-=+--++=n n n n 20、（1）依题意得0,22322>=--c c ，∴1=c ．∴抛物线焦点坐标为（0,1），抛物线解析式为x 2=4y（2）设A （x 1，421x ），B （x 2，422x ），∴可设A 、B 中点坐标为M )82(222121x x x x ++，所以直线PA ：424)(22112111x x x x x x x y -=+-=，直线PB ：424)(22222222x x x x x x x y -=+-=两式相减得)2(244202121212221x x x x x x x x x x +--=-+-= ∵21x x ≠，∴0221≠-x x ，0221=+-x x x∴2210x x x +=， ∴0212x x x =+将P （0x ，0x -2）带入PA ：42211x x x y -=得4422221212110x x x x x x x =-+=-∴84021-=x x x∴2428168482)(8020020212212221+-=+-=-+=+x x x x x x x x x x ∴A 、B 中点坐标为M （0x ，242020+-x x ）∴直线AB 的斜率24)(4021122122x x x x x x x k AB =+=--= 故直线AB 的方程为22242)(20002000+-=+-+-=x x x x x x x x y ．（3）由于A 点到焦点F 的距离等于A 点到准线y =-1的距离，∴|AF |=1421+x ，|BF |=1422+x 29)23(2962142)2(14)4()14)(14(200200202022212212221+-=+-=++-+-=+++=++=⋅x x x x x x x x x x x x BF AF∴当230=x 时，BF AF ⋅取最小值29．21、（1）k =1时2)1()(x e x x f x --=∴)2(2)1()(-=--+='x x x e x x e x e x f当x <0时02<-x e ，故0)2()(>-='x e x x f ,)(x f 单调递增；0< x <ln2时02>-x e ，故0)2()(<-='x e x x f ，)(x f 单调递减； x>ln2时02>-x e ，故0)2()(>-='x e x x f ，)(x f 单调递增；综上，)(x f 的单调增区间为)0,(-∞和),2(ln +∞，单调减区间为)2ln ,0(．（2）)2(2)1()(k e x kx e x e x f x x x -=--+='∵121≤<k ，∴221≤<k 由（1）可知)(x f 的在（0，ln2k ）上单调递减，在（ln2k ，+∞）上单调递增设)121(，2ln )(≤<-=x x x x g ，则xx x g 11221)(-=-=' ∵121≤<x ，∴211<≤x ，∴0111≤-<-x∴x x x g 2ln )(-=在⎥⎦⎤⎝⎛121，上单调递减．∵121≤<k ， ∴02ln 1)1()(>-=>g k g ∴02ln >-k k 即k k 2ln > ∴)(x f 的在（0，ln2k ）上单调递减，在（ln2k ，k ）上单调递增． ∴)(x f 的在[0，k ]上的最大值应在端点处取得．而1)0(-=f ，1)1(2)1()(3-=<--=f k e k k f k ∴当x =0时)(x f 取最大值1-．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (理科) word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =++,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N =U ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N =U {}2,0,2-,故选D ．2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( ) A . 4 B ．3 C ．2 D ．1 【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A . ()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2- D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ．4．已知离散型随机变量X 的分布列为X 12 3 P35310110则X 的数学期望EX = ( )A . 32B ．2C ．52 D ．3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ．5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4 B ．143C ．163D ．6 【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =⨯=,故选B ．6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．正视图俯视图侧视图第5题图7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是( ) A . 214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -=D ．212x = 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =L .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( ) A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题) 9．不等式220x x +-<的解集为___________．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-.10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【解析】1-；求导得1y k x'=+,依题意10k +=,所以1k =-.11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7.12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____. 【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=.或:()57383220a a a a +=+=13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈.AED CBO第15题图1 7 92 0 1 5是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若 6AB =,2ED =,则BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆:,所以AB BCCD DE=,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-,所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭.17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.CD OBE 'AH(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD === 连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O =I ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故OH =,从而A H '==所以cos OH A HO A H '∠=='所以二面角A CD '-向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=u u u r ,(1,DA '=-u u u u r. C O BD E A C D OBE'A图1 图2设(),,n x y z =r为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩r u u u rr u u uu r ,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y xz =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =-r 由(Ⅰ) 知,(OA '=u u u r为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'==='r u u u rr u u u r r u u u r ,即二面角A CD B '--.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L . 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =；(Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n an n n=+-⨯=,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L 11171714244n n =++-=-<综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L .20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311kh k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。

2013年高考理科数学广东卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(广东卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013广东，理1)设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( )．A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2}2．(2013广东，理2)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )．A ．4B ．3C ．2D ．13．(2013广东，理3)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )．A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2) 4．(2013广东，理4)则X 的数学期望E (X )＝( )．A ．32B ．2C ．52 D ．35．(2013广东，理5)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )．A ．4B ．143C ．163 D ．66．(2013广东，理6)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β 7．(2013广东，理7)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )． A ．2214x -= B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x =8．(2013广东，理8)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是( )．A ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∉SB ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∈SC ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∈SD ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∉S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题)9．(2013广东，理9)不等式x 2＋x －2＜0的解集为__________．10．(2013广东，理10)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝__________. 11．(2013广东，理11)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为__________． 12．(2013广东，理12)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝__________.13．(2013广东，理13)给定区域D ：44,4,0.x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定__________条不同的直线．(二)选择题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(2013广东，理14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为,,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为__________．15．(2013广东，理15)(几何证明选讲选做题)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝__________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(2013广东，理16)(本小题满分12分)已知函数π()12f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求π6f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (2)若cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，求π23f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.17．(2013广东，理17)(本小题满分12分)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．18．(2013广东，理18)(本小题满分14分)如图(1)，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图(2)所示的四棱锥A′BCDE，其中A′O图(1) 图(2)(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值．19．(2013广东，理19)(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2121233n n S a n n n +=---，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++< .20．(2013广东，理20)(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为2.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．21．(2013广东，理21)(本小题满分14分)设函数f(x)＝(x－1)e x－kx2(k∈R)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k∈1,12⎛⎤⎥⎝⎦时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(广东卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：D解析：∵M ＝{－2,0}，N ＝{0,2}， ∴M ∪N ＝{－2,0,2}． 2．答案：C解析：y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数；y ＝x 2＋1为偶函数； y ＝2x 为非奇非偶函数．所以共有2个奇函数，故选C ． 3．答案：C解析：由i z ＝2＋4i ，得z ＝24i (24i)(i)i i (i)++⋅-=⋅-＝4－2i ，故z 对应点的坐标为(4，－2)．4．答案：A 解析：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32. 5．答案：B解析：方法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示，其中上、下底面分别是边长为1,2的正方形，且DD 1⊥面ABCD ，上底面面积S 1＝12＝1，下底面面积S 2＝22＝4. 又∵DD 1＝2，∴V 台＝13(S 1＋S 2)h＝13(1143.方法二：由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示．在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1都为正方形， AB ＝2，A 1B 1＝1，且D 1D ⊥平面ABCD ，D 1D ＝2.分别延长四棱台各个侧棱交于点O ，设OD 1＝x ，因为△OD 1C 1∽△ODC ，所以111OD D C OD DC =，即122x x =+，解得x ＝2.1111ABCD A B C D V -＝V 棱锥O －ABCD －1111O A B C D V -棱锥＝13×2×2×4－13×1×1×2＝143. 6．答案：D解析：选项A 中，m 与n 还可能平行或异面，故不正确；选项B 中，m 与n 还可能异面，故不正确；选项C 中，α与β还可能平行或相交，故不正确；选项D 中，∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α. 又n ∥β，∴α⊥β.故选D ． 7．答案：B解析：由曲线C 的右焦点为F (3,0)，知c ＝3. 由离心率32e =，知32c a =，则a ＝2，故b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线C的方程为221 45x y-=.8．答案：B解析：由(x，y，z)∈S，不妨取x＜y＜z，要使(z，w，x)∈S，则w＜x＜z或x＜z＜w.当w＜x＜z时，w＜x＜y＜z，故(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.当x＜z＜w时，x＜y＜z＜w，故(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.综上可知，(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题)9．答案：{x|－2＜x＜1}解析：x2＋x－2＜0即(x＋2)(x－1)＜0，解得－2＜x＜1，故原不等式的解集为{x|－2＜x＜1}．10．答案：－1解析：y′＝k＋1x.因为曲线在点(1，k)处的切线平行于x轴，所以切线斜率为零，由导数的几何意义得y′|x＝1＝0，故k＋1＝0，即k＝－1. 11．答案：7解析：i＝1，s＝1，i≤4，s＝1＋0＝1；i＝2，s＝1，i≤4，s＝1＋1＝2；i＝3，s＝2，i≤4，s＝2＋2＝4；i＝4，s＝4，i≤4，s＝4＋3＝7；i＝5，此时i＞4，故s＝7.12．答案：20解析：因为数列{a n}的等差数列，所以由等差数列的性质得a3＋a8＝a5＋a6＝a4＋a7＝10.所以3a5＋a7＝a5＋2a5＋a7＝a5＋a4＋a6＋a7＝2×10＝20.13．答案：6解析：由区域D：44,4,0,x yx yx+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩画出可行域如图所示．满足条件的(x0，y0)有(0,1)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T中的点共确定6条不同的直线．(二)选择题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．答案：πsin4ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭解析：∵曲线C的参数方程为,x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，∴其普通方程为x 2＋y 2＝2.又点(1,1)在曲线C 上，∴切线l 的斜率k ＝－1.故l 的方程为x ＋y －2＝0，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，即πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭15．答案：解析：连接OC ．∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC ．又BC ＝CD ，∴AB ＝AD ＝6，∠BAC ＝∠CAD ．又CE 为圆O 的切线，则OC ⊥CE . ∵∠ACE 为弦切角，∴∠ACE ＝∠B ． ∴∠ACE ＋∠CAD ＝90°.∴CE ⊥AD ．又AC ⊥CD ，∴CD 2＝ED ·AD ＝2×6＝12，即CD＝∴BC＝三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．解：(1)πππ6612f ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ144⎛⎫-== ⎪⎝⎭.(2)πππ223312f θθ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π24θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 2θ－sin 2θ.因为cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin θ＝45-.所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425-，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725-.所以π23f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 2θ－sin 2θ＝72417252525⎛⎫---= ⎪⎝⎭. 17．解：(1)样本均值为171920212530132=2266+++++=.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为2163=，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P (A )＝1148212C C 16C 33=.18．解：(1)由题意，得OC ＝3，AC＝AD＝如图，连结OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理可得OD=.由翻折不变性可知A ′D＝所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD ．同理可证A ′O ⊥OE ，又OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)传统法：过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连结A ′H ，因为A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′H ⊥CD ．所以∠A ′HO 为二面角A ′CDB 的平面角．结合题图(1)可知，H 为AC 中点，故OH＝2，从而A ′H2=，所以cos ∠A ′HO＝5OH A H ='所以二面角A ′－CD －B的平面角的余弦值为5. 向量法：以O 点为原点，建立空间直角坐标系O －xyz 如图所示．则A，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)，所以CA ' ＝(0,3，DA '＝(－1,2．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD 的法向量，则0,0,CA DA ⎧⋅'=⎪⎨⋅'=⎪⎩ n n即30,20,y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩解得,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩令x ＝1，得n ＝(1，－1．由(1)知，OA '＝(0,0为平面CDB 的一个法向量，所以cos 〈n ，OA '〉＝5OA OA ⋅'=='n n ，即二面角A ′－CD －B19．解：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ， 2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即111n n a a n n+-=+.又21121a a-=，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为1的等差数列，所以n a n＝1＋(n －1)×1＝n .所以a n ＝n 2.(3)当n ＝1时，1171<4a =；当n ＝2时，12111571444a a +=+=<；当n ≥3时，21111111n a n n n n n =<=-(-)-，此时12111na a a +++ ＝222111*********+<1434423341n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ＝1117171+4244n n +-=-<.综上，对一切正整数n ，有1211174n a a a +++< . 20．解：(1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ，2=，结合c ＞0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)221212,44x x y y ⎛⎫== ⎪⎝⎭其中，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝12x(x －x 1)，即y ＝12x x －212x ＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0，同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0，因为切线PA ，PB 均过点P (x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0.所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解．所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.联立方程002220,4,x x y y x y --=⎧⎨=⎩ 消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 02)y ＋y 02＝0.由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 02－2y 0，y 1y 2＝y 02，所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 02＋x 02－2y 0＋1.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2.所以y 02＋x 02－2y 0＋1＝2y 02＋2y 0＋5 ＝2019222y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 所以当y 0＝12-时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92. 21．解：(1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2，当x 变化时，(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln(2k )，令g (k )＝ln(2k )－k ，k ∈1,12⎛⎤⎥⎝⎦，则g ′(k )＝1k －1＝1k k-≥0，所以g (k )在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增．所以g (k )≤ln 2－1＝ln 2－ln e ＜0.从而ln(2k )＜k ，所以ln(2k )∈(0，k )．所以当x ∈(0，ln(2k ))时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln(2k )，＋∞)时，f ′(x )＞0；所以M ＝max{f (0)，f (k )}＝max{－1，(k －1)e k －k 3}．令h (k )＝(k －1)e k －k 3＋1，则h ′(k )＝k (e k －3k )，令φ(k )＝e k －3k ，则φ′(k )＝e k －3≤e－3＜0.所以φ(k )在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，而12ϕ⎛⎫⎪⎝⎭·φ(1)＝32⎫⎪⎭(e －3)＜0，所以存在x 0∈1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦使得φ(x 0)＝0，且当k ∈01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，φ(k )＞0，当k ∈(x 0,1)时，φ(k )＜0，所以φ(k )在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在(x 0,1)上单调递减．因为17>028h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，h (1)＝0，所以h (k )≥0在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，当且仅当k ＝1时取得“＝”．综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k －k 3.。

2013年高考理科数学广东卷-答案

M N=-{2,0,2}z①，x②，y③三个式子中恰有一个成立；x④，z⑤，w⑥+=条不同的直线．故可确定51612AB DE=，【提示】观察图形，根据已知条件，利用圆的性质，通过相似三角形求距离．cos45OC CD︒=，所以OD OE O⊥交CDCD-的平面角．CD B中点，故OH5A H'5所以(0,3,CA '=，(1,2,DA '=-设(,,)n x y z =00n CA n DA ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即⎩，得(1,1,n =-由（Ⅰ）知，(0,0,OA '=315,5||||35n OA n OA n OA ''==='22211111111111111434423341n a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭14244n n =++-=-< 174n a ++<项的关系式和首项，求第二项；根据题设条件，利用递推公式求通项公1(AF BF y =联立方程24x y⎨=⎪⎩12|||AF BF y y =02y =+，|||AF BF 取得最小值，且最小值为根据两直线的交点，联立两直线求直线方程；由直线与抛物线的位置关系得到关系式，求最小值．ln 21ln ≤-=k <，所以(0,ln(2))k 时，),)k +∞时，max{(0),f f 3e 30-<(1)e ϕ⎫⎛=⎪ ⎭⎝所以存在01,12x ⎛∈ ⎝【考点】利用导数求函数的单调区间，利用函数单调性求最值。

2013年高考理科数学广东卷

二、填空题：本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题(9～13 题) 9.不等式 x2 x 2＜0 的解集为 .
无
--------------------
10.若曲线 y kx ln x 在点 (1, k) 处的切线平行于 x 轴,则 1 3 5 C. 2 3 10 3 1 10 ( )
此
--------------------
卷
-------------------准考证号_____________
14 16 C. D.6 3 3 6.设 m , n 是两条不同的直线 , , 是两个不同的平面 .下列命题中正确的是
A .4 B. A.若 ⊥ , m , n ,则 m⊥n C.若 m⊥n , m , n ,则 ⊥
5 2
D .3
3a5 a7
数学试卷第 1 页（共 4 页）
x 4 y≥4 13.给定区域 D ： x y≤4 . 令点集 x≥0
18.（本小题满分 14 分）如图 5,在等腰直角三角形 ABC 中, A 90 , BC 6 , D , E 分别是 AC , AB 上的点 , CD BE 2 , O 为 BC 的中点 .将 △ADE 沿 DE 折起,得到如图 6 所示的四棱锥
C.
姓名________________
x2 y 2 1 2 5
D.
x2 y 2 1 2 5
答
--------------------
， 2， 3,…,n} .令集合 8.设整数 n≥4 ,集合 X {1
S {( x, y, z) | x, y, z X , 且三条件x y z, y z x, z x y恰有一个成立} .

2013年高考理数真题试卷(广东卷)

答案第2页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD.若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β5.（2013•广东）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于，则C 的方程是（）A. B. C. D.6.（2013•广东）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x ，y ，z ）|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ）都在S 中，则下列选项正确的是（）A.（y ，z ，w ）∈S ，（x ，y ，w ）∉S B.（y ，z ，w ）∈S ，（x ，y ，w ）∈S C.（y ，z ，w ）∉S ，（x ，y ，w ）∈SD.（y ，z ，w ）∉S ，（x ，y ，w ）∉S7.（2013•广东）若复数z 满足iz=2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（）A.（2，4）B.（2，﹣4）C.（4，﹣2）D.（4，2）8.（2013•广东）已知离散型随机变量X 的分布列为X 123P则X 的数学期望E （X ）=（）A.B.2C.D.3第Ⅱ卷主观题第Ⅱ卷的注释评卷人得分一、填空题（共7题)1.（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为．（答案第4页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．9.（2013•广东）已知函数，x ∈R ．（1）求的值；（2）若，，求．10.（2013•广东）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （x 0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．11.（2013•广东）设函数f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣kx 2（k ∈R ）．（1）当k=1时，求函数f （x ）的单调区间；第5页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）当时，求函数f （x ）在[0，k]上的最大值M ．12.（2013•广东）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，BC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE ，其中A′O=．（1）证明：A′O ⊥平面BCDE ；（2）求二面角A′﹣CD ﹣B 的平面角的余弦值．13.（2013•广东）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，，n ∈N *．（1）求a 2的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有．答案第6页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………参数答案1.【答案】：【解释】：2.【答案】：【解释】：3.【答案】：【解释】：4.【答案】：【解释】：第7页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5.【答案】：【解释】：6.【答案】：【解释】：答案第8页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………7.【答案】：【解释】：8.【答案】：【解释】：【答案】：【解释】：第9页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：【答案】：【解释】：【答案】：【解释】：答案第10页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：【答案】：【解释】：第11页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：（1）【答案】：（2）【答案】：（3）【答案】：【解释】：答案第12页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）【答案】：（2）【答案】：【解释】：（1）【答案】：（2）【答案】：第13页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（3）【答案】：【解释】：（1）【答案】：答案第14页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）【答案】：【解释】：第15页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）【答案】：（2）【答案】：答案第16页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第17页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：（1）【答案】：（2）【答案】：（3）【答案】：【解释】：。

2013年普通高等学校招生统一考试理科数学(广东卷)

数学（理科）试卷A 第3页（共4页）数学（理科）试卷A 第4页（共4试卷类型：A2013年普通高等学校招生统一考试（广东卷）数学 (理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式V ＝13（S 1＋S 1S 2＋S 2）h ，其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ⋃N ＝（）A ．{0}B ．{0，2}C ．{－2，0}D ．{－2，0，2}2．定义域为R 的四个函数y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1 3．若复数iz ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（）A ．(2，4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4，2) 4．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝（）A ．32B ．2C ．52D ．3 5．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（）A ．4B ．143C ．163D ．66．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则l ⊥β7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点F (3，0)，离心率等于32，则C 的方程是（）A ．x 24－y 25＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 22－y 25＝1D ．x 22－y 25＝18．设整数n ≥4，集合X ＝{1，2，3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三个条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}，若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是（）A ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∉SB ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈SC ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∈SD ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∉S二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（9~13题）9．不等式x 2＋x －2＜0的解集为_____________．10．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝_________．11．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s的值是_________．12．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 5＝10，则3a 3＋a 7＝_____．侧视图俯视图图1数学（理科）试卷A 第3页（共4页）数学（理科）试卷A 第4页（共4页）13．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4x ＋y ≤4 x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，x 0，y 0是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定______条不同的直线．（二）选做题（考生在14~15小题中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos ty ＝2sin t （t 为参数）．C 在为点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O上，延长BC 到D ，使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝2cos(x －π12)，x ∈R ．（1）求f (－π6)的值；（2）若cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，求f (2θ＋π3)．17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．18．（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点，将ΔADE 沿DE 折起，得到如图6所示的四棱锥A ′－BCDE ，其中A ′O ＝3．（1）证明：AO ⊥平面BCDE ；（2）求二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值．19．（本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n +1－13n 2―n ―23，n ∈N*．（1）求a 2的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74．20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．21．（本小题满分14分）设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2 (k ∈R )．（1）当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；（2）当k ∈(12，1]0时，求函数f (x )在 [0，k ]上的最大值M ．1 7 92 0 1 53 0图4BAEDC图6 图5A ′BOC。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)-数学(理)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟参考公式：台体的体积公式V=错误!未找到引用源。

(S 1+21S S +S 2)h,其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高。

一、选择题：1. 设集合{}220,M x x x x R =+=∈， {}220,N x x x x R =-=∈，则M N =U （） A. {0} B. {0，2} C. {－2，0} D. {－2，0，2}2. 定义域为R 的四个函数32,2,1,2sin xy x y y x y x ===+=中，奇函数的个数是（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 13. 若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（） A. （2，4） B. （2，－4） C. （4，－2） D. （4，2）4. 已知离散型随机变量X 的分布列为X1 2 3P35 310 110则X 的数学期望()E X =（） A.32 B. 2 C. 52D. 3 5. 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（） A. 4 B. 143 C. 163D. 66. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A. 若,,,m n m n αβαβ⊥⊂⊂⊥则 B. //,,,//若则αβαβ⊂⊂m n m n C. ,,,m n m n αβαβ⊥⊂⊂⊥若则 D. ,//,//,若则αβαβ⊥⊥m m n n7. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于32，则C 的方程是（） A. 22145x y -= B. 22145x y -= C. 22125x y -= D. 22125x y -=122 俯视图正视图侧视图8. 设整数4n ≥，集合{}1,2,3,...,X n =，令集合{}(,,),,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立，若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在Ｓ中，则下列选项正确的是（）A. (,,),(,,)y z w S x y w S ∈∉B. (,,),(,,)y z w S x y w S ∈∈C. (,,),(,,)y z w S x y w S ∉∈D. (,,),(,,)y z w S x y w S ∉∉ 二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。

2013年广东高考理科数学试题及答案(word版)-推荐下载

在圆 O 上，延长 BC 到 D，使 BC CD，过 C 作圆 O 的切线交
AD 于 E，若 AB 6，DE 2，则 BC
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) 2 cos(x ), x R 12
2
3
10
D． 2,0,2
D．1
D． (4,2)
3
1
10
试卷类型：A
3 A． 2
B．2
5 C． 2
5．某四棱台的三视图如图 1 所示，则该四棱台的体积是（）
A．4
16
C．
3
6．设
m,
n
是两条不同的直线， ,
A．若，m，， n 则 m n
C．若 m n，m，， n 则
（一）必做题（9-13 题）
9．不等式 x 2 x 2 0 的解集为
10．若曲线 y kx ln x 在点 (1, k) 处的切线平行于
x 轴，则 k
11．执行图 2 所示的流程框图，若输入 n 的值为 4，
则输出 s 的值为
．
．
．
数学（理科）试卷 A 第 2 页（共 8 页）i i 1
2．定义域为 R 的四个函数 y x3 ， y 2 x ， y x 2 1 ， y 2 sin x 中，奇函数的个数是
（）
A．4
B．3
3．若复数 z 满足 iz 2 4i ，则在复平面内， z 对应的点的坐标是（）
A． (2,4)
4．已知离散型随机变量 X 的分布列为
则 X 的数学期望 E( X ) （）

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】数学【理科】逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( )A . {}0B 、{}0,2C 、{}2,0-D 、{}2,0,2-2、定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B 、3C 、2D 、13、若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B 、()2,4-C 、()4,2-D 、()4,24、已知离散型随机变量X 的分布列为X 12 3 P35310 110则X 的数学期望EX = ( )A .32 B 、2 C 、52D 、3 5、某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B 、143C 、163D 、66、设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B 、若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC 、若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D 、若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 A .2214x = B 、22145x y -= C 、22125x y -= D、2212x = 8、设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B 、(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈俯视侧视第5题图.AED CBO第15题图1 7 92 0 1 53 0第17题图C 、(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D 、(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30(一)必做题(9～13题)9、不等式220x x +-<的解集为___________、10、若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 11、执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.【二】选做题【14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分】14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、【本小题满分12分】已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、17、【本小题满分12分】某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18、【本小题满分14分】如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19、【本小题满分14分】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 20、【本小题满分14分】已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. .CO BD EA CDOB'A图1图221、【本小题满分14分】设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .CD OBE'AH2013年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】数学【理科】参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.DC CA B D BB二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9. ()2,1- 10. 1k =- 11. 7 12.20 13. 614.sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 15. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、【本小题满分12分】【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 17、【本小题满分12分】【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD 由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角. 结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而2A H '==所以cos OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '= ,(1,DA '=-设(),,n x y z = 为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y xz =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'='即二面角A CD B '--19、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 20、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,P A P B 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 21、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞.(Ⅱ)()()()1222x x x xf x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增,所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k h k k e k =--+,则()()3kh k k ek '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--.。

2013广东高考真题及答案全集

2013广东高考数学（理科）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =（）A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是（） A . 4 B ．3 C ．2 D ．13．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是（） A . ()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2-D ．()4,24．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望EX =（） A .32B ．2C ．52D ．35．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（） A . 4B ．143C ．163D ．66．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（） A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥俯侧7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（）A . 2214x =B ．22145x y -=C ．22125x y -=D．2212x =8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是（）A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______.12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. (坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数), C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则l 的极坐标方程为_____________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =______.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人； (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.21．（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) (有答案)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,24．已知离散型随机变量X 的分布列为X 12 3 P35310 110则X 的数学期望EX = ( )A .32 B ．2 C ．52D ．3 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143C ．163D ．66．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 A .2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D．2212x = 8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈俯视侧视第5题图.AED CBO第15题图1 7 92 0 1 53 0第17题图C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30(一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值..CO BD EA CDOB'A图1图221．（本小题满分14分）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .CD OBE'AH2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.DC CA B D BB二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9. ()2,1- 10. 1k =- 11. 7 12.20 13. 614.sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 15. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 17．（本小题满分12分）【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD 由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE .(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而2A H '==所以cos OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,3n OA n OA n OA '⋅'==⋅'即二面角A CD B '--19．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n =<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 20．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,=0c >, 解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,P A P B 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 21．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞.(Ⅱ)()()()1222x x x xf x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增,所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k h k k e k =--+,则()()3kh k k e k '=-,令()3k k e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷)

实用文档2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以MN ={}2,0,2-,故选D ．2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．1【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )实用文档A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 4．已知离散型随机变量X 的分布列为X1 2 3 P35 310110则X 的数学期望EX = ( )A . 32B ．2C ．52D ．3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ． 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143C ．163D ．6【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =+⨯=,,故选B ．俯视侧视第5题图实用文档6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x -= B ．22145x y -= C ．22125x y -=D．2212x = 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ． 8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈实用文档【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分(一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-. 10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【解析】1-；求导得1y k x'=+,依题意10k +=,所以1k =-.实用文档11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______. 【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=.或:()57383220a a a a +=+=13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定条不同的直线.【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参实用文档.AED CBO第15题数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆,所以AB BCCD DE=,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,x ∈R . (Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．实用文档1 7 92 0 1 53 0第17题图【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.实用文档C D OBE'AH【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ； .COB DEACDOBE'A图1图2实用文档(Ⅱ)求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OCAC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE .(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CDB '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而A H '==所以cos OHA HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=-实用文档设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,53n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦. 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,实用文档()()()()321122111133n n S n a n n n -=------- 两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-= 故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.实用文档(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解.所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.实用文档(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+ 又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 21．（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .【解析】(Ⅰ) 当1k =时,实用文档()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知, (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3k k e k ϕ=-,则()330k k e e ϕ'=-<-<实用文档所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。

2013年高考理科数学广东卷-答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)-数学(理科)试卷真题

绝密★启用前试卷类型：A 2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式，其中分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，，则（）A. {0}B. {0，2}C. {－2，0}D. {－2，0，2}2. 定义域为R的四个函数中，奇函数的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 13. 若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是（）A. （2，4）B. （2，－4）C. （4，－2）D. （4，2）4.则X的数学期望（）A. B. 2 C. D. 35. 某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（）正视图侧视图俯视图A. 4B. 143C.163D. 66. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若B.C. D.7. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A. B. C. D.8. 设整数，集合，令集合，若和都在Ｓ中，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。

2013高考真题理数广东卷

绝密★启用前试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔讲试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式V=(S1+S2+)h,其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=∣x∣x2+2x=0,x∈R},N={x∣x2-2x=0,x∈R},则M∪N=A. {0}B. {0，2}C. {-2,0} D {-2,0,2}2.定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中，奇函数的个数是A. 4B.3C. 2D.13.若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是A. （2,4）B.（2,-4）C. (4,-2) D(4,2)4.已知离散型随机变量X的分布列为1 2 3P则X的数学期望E（X）=A. B. 2 C. D 3X5．某四棱太的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是A ．4B ．C ．D ．66．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若α⊥β，mα，nβ，则m ⊥ n B ．若α∥β，mα，nβ，则m ∥nC ．若m ⊥ n ，m α，n β，则α⊥βD ．若m α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于32，则C 的方程是 A ．= 1 B ．= 1 C ．= 1 D ．=18.设整数n ≥4，集合X=｛1，2，3……，n ｝。