学年高中数学第3章3.1第1课时数系的扩充与复数的概念课时作业新人教B版选修22

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第3章 3.1第1课时 数系的扩充与复数的概念课时作业 新人教B 版选修2-2一、选择题1．下列说法中正确的个数是( )①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集．A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] ①②④正确，故选C. 2．下列说法正确的是( )A ．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B ．a i 是纯虚数C ．如果复数x ＋y i 是实数，则x ＝0，y ＝0D ．复数a ＋b i 不是实数 [答案] A[解析] 两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等．故选A.3．(2015·沈阳高二检测)已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 本题考查纯虚数的概念，解题的关键是弄清充分条件，必要条件等概念．当a＝b ＝0时，复数为0，是实数，故B 不正确；由(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≠0，a －b ＝0⇒a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0为该复数为纯虚数的充要条件，∴a ＝b 是该复数为纯虚数的必要不充分条件．4．复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或－1 B ．0 C ．1 D ．－1[答案] D[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D.5．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i (a 、b ∈R )为纯虚数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a >0且a ＝±b[答案] D[解析] a 2－b 2＝0，且a ＋|a |≠0.6．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D ．k π2＋π4(k ∈Z ) [答案] B[解析] 由⎩⎨⎧sin2θ－1＝02cos θ＋1≠0得⎩⎪⎨⎪⎧2θ＝2k π＋π2θ≠2k π＋π±π4(k ∈Z )∴θ＝2k π＋π4.故选B.7．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D ．2＋2i[答案] A[解析] 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i ，实部为－3，所以选A. 8．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．－2[答案] A[解析] 解法一：由x 2－1＝0得，x ＝±1，当x ＝－1时，x 2＋3x ＋2＝0，不合题意，当x ＝1时，满足，故选A.解法二：检验法：x ＝1时，原复数为6i 满足，排除C 、D ；x ＝－1时，原复数为0，不满足，排除B.故选A.二、填空题9．满足方程x 2－2x －3＋(9y 2－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点的个数是________． [答案] 2[解析] 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3或x ＝－1，y ＝13.∴(x ，y )表示的点为(3，13)，(－1，13)，共有2个．10．设C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，全集U ＝C ，那么下面结论正确的个数是________．①A ∪B ＝C ；② ∁U A ＝B ；③A ∩∁U B ＝C ；④C ∪B ＝C . [答案] 1[解析] 只有④正确．11．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈Z )，且z ＜0，则k ＝________. [答案] 2[解析] ∵z ＜0，k ∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k ＜0k 2－5k ＋6＝0∴k ＝2.三、解答题12．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.[解析] 由m 2＋5m ＋6＝0得，m ＝－2或m ＝－3，由m 2－2m －15＝0得m ＝5或m ＝－3. (1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数，∴m ＝5或－3； (2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数，∴m ≠5且m ≠－3.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是纯虚数，∴m ＝－2.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是0，∴m ＝－3.一、选择题1．下列命题中哪个是真命题( ) A ．－1的平方根只有一个 B ．i 是1的四次方根 C ．i 是－1的立方根 D ．i 是方程x 6－1＝0的根 [答案] B[解析] ∵(±i)2＝－1，∴－1的平方根有两个，故A 错；∵i 3＝－i≠－1.∴i 不是－1的立方根；∴C 错；∵i 6＝i 2＝－1，∴i 6－1≠0，故i 不是方程x 6－1＝0的根，故D 错； ∵i 4＝1，∴i 是1的四次方根．故选B.2．(2015·锦州期中)若(m －1)＋(3m ＋2)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．1或2 C ．0 D ．－1、1、2[答案] A[解析] 因为(m －1)＋(3m ＋2)i 是纯虚数，所以m －1＝0且3m ＋2≠0，解得m ＝1. 3．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( ) A.π4B ．π4或54πC ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )[答案] D[解析] 由复数相等的条件得cos θ＝sin θ. ∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )．故选D.4．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2[答案] C[解析] ①因为a 2－a －2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数．解得a ≠－1且a ≠2. ②当a 2－a －2＝0，且|a －1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝2，a ＝0或a ＝2.∴a ＝2.综上可知，当a ≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数．故选C. 二、填空题5．若x <y ＜0且xy －(x 2＋y 2)i ＝2－5i ，则x ＝______，y ＝________. [答案] －2 －1[解析] 由复数相等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝2x 2＋y 2＝5，∵x ＜y ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1.6．若复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________.[答案] －1 [解析] ∵z <0即⎩⎪⎨⎪⎧m <0m 2－1＝0，∴m ＝－1.7．复数z ＝sin θ－1＋i(1－2cos θ)且θ∈(0，π)，若z 为实数，则θ的值为________；若z 为纯虚数，则θ的值是________．[答案]π3 π2[解析] z ∈R 时，1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝12，∵0<θ<π，∴θ＝π3；z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－1＝01－2cos θ≠0，又∵θ∈(0，π)，∴θ＝π2.三、解答题8．求适合方程(x ＋y )2＋[(x －y )2－3(x －y )]i ＝9－2i 的实数x 、y 的值． [解析] 由两复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＝9x －y2－x －y ＝－2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－3x －y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－3x －y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－12y ＝－52或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2.9．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ－3sin θ)i(λ∈R )．若z 1＝z 2，证明：－916≤λ≤7.[解析] 由复数相等的条件， 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ4－m 2＝λ－3sin θ，∴λ＝4－4cos 2θ＋3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋382－916，当sin θ＝－38时，λmin＝－916；当sin θ＝1时，λmax＝7.∴－916≤λ≤7.。