三角函数高考题及练习题(含标准答案)

三角函数高考题及练习题(含答案)

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三角函数高考题及练习题（含答案）

1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及性质．

2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．

3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．

1. 函数y ＝2sin 2⎝

⎛⎭⎫x －π

4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)

函数．

答案：π 奇

解析：y ＝－cos ⎝

⎛⎭⎫2x －π

2＝－sin2x.

2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________． 答案：3

解析：在(0，＋∞)内作出函数y ＝lgx 、y ＝sinx 的图象，即可得到答案．

3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)，⎝

⎛⎭⎫|φ|<π

2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________．

答案：π4

解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π

2

，所

以φ＝π4

.

4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣

⎡⎦⎤0，π

3上的最大值是2，则ω＝________．

答案：34

解析：由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f(x)在⎣

⎡⎦⎤0，π

3上单调递增，且在这个区间

上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝3

4

.

题型二 三角函数定义及应用问题

例1 设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π.

(1) 若点P 的坐标是⎝⎛⎭

⎫12，3

2，求f(θ)的值；

(2) 若点P(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪

⎧x ＋y ≥1，

x ≤1，

y ≤1

上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求

函数f(θ)的最小值和最大值．

解：(1) 根据三角函数定义得sin θ＝

32，cos θ＝1

2

，∴ f (θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝π

3

，从而求出 f(θ)＝2)．

(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝

⎛⎭⎫θ＋π

6，

∴ 当θ＝0，f (θ)min ＝1；当θ＝π

3

，f (θ)max ＝2.

(注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y ＝Asin (ωx ＋φ)的形式)

如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别

与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、25

5

.求：

(1) tan (α＋β)的值； (2) α＋2β的值．

解：由题意得cos α＝210，cos β＝25

5，α、β∈⎝

⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α

＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55

， 因此tan α＝7，tan β＝1

2

.

(1) tan (α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β

＝7＋121－7×

12

＝－3.

(2) tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝－3＋

12

1－（－3）×

1

2

＝－1.

又α＋2β∈⎝

⎛⎭⎫0，3π

2，所以α＋2β＝3π4.

题型二 三角函数的图象与解析式问题

例2 函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A 、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示． (1) 求f(0)的值；

(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间⎣

⎡⎦⎤0，π

3上的取值范围．

解：(1)由题图可知A ＝2，

∵ T 4＝7π12－π3＝π

4，∴ ω＝2.又2×7π12＋φ＝2k π＋3π2

，

∴ φ＝2k π＋π

3

(k ∈Z )，

∴ f(0)＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2k π＋π3＝6

2.

(2) φ＝π3，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3.因为0≤x ≤π3，所以π3≤2x ＋π3≤π，所以

0≤sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π

3≤1，即f(x)的取值范围为[0，2]．

(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)

已知函数f(x)＝Asin ωx ＋Bcos ωx(A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x ＝1

3

时，f(x)max ＝2.

(1) 求f(x)的解析式；

(2) 在闭区间⎣⎡⎦⎤

214，234上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．

解：(1) 因为f(x)＝A 2＋B 2sin (ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2π

ω

＝2，ω＝π.

又当x ＝13时，f(x)max ＝2，知1

3π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π6

(k ∈Z )，所以f(x)＝

2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝

⎛⎭⎫πx ＋π

6(k ∈Z )．

故f(x)的解析式为f(x)＝2sin ⎝

⎛⎭⎫πx ＋π

6.

(2) 当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称

轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤65

12

.

又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上存在f(x)的对称轴，其方程为x ＝163

. 题型三 三角函数的性质与图象的移动问题

例3 把函数f(x)＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2x 的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m>0)，

所得函数的图象关于直线x ＝17π

8

对称．

(1) 求m 的最小值；

(2) 证明：当x ∈⎝

⎛⎭⎫

－17π8，－

15π8时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；

(3) 设x 1，x 2∈(0，π)，x 1≠x 2，且f(x 1)＝f(x 2)＝1，求x 1＋x 2的值．

(1) 解：f(x)＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2x ＝1－cos2x 2－sin2x ＋3·1＋cos2x

2

＝cos2x －sin2x

＋2＝2cos ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π

4＋2.

因为将f(x)的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m>0)，得到g(x)＝2⎣

⎡⎦⎤2（x ＋m ）＋π

4＋2

的图象，又g(x)的图象关于直线x ＝17π

8

对称，