专题8数轴穿根法
穿针引线的画法
穿针引线法
穿针引线法,又称“数轴穿根法”或“数轴标根法”
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”
上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2
画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2
奇透偶不透即假如有两个解都是同一个数字。
这个数字要按照两个数字穿。
如（x-1)^2=0 两个解都是1 ，那么穿的时候不要透过1
可以简单记为，秘籍口诀：或“自上而下，从右到左，奇次根一穿而过，偶次根一穿不过”。
1。
数轴标根法又称数轴穿根法或穿针引线法
“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”是高次不等式的简单解法当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x －an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f （x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图1（图片自上而下依次为图一，二，三，四）。
步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
（如图四）奇过偶不过就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过（X-1)^2. 0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
高次不等式的解法
高次不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2)解:(1)(2){x x< 1 3或【例f(x)＜0)解：顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】? ．用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的系数必为正；②对于．．．．．．．．．．偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．但注意．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如．．．．图．(5．．－．2)．．．．（5） (x2-1)(x2-5x-6)> 0例3、解下列不等式：⑴(x2-1)(x-1)(x2-x-2)<0；⑵(x+1)2(x-2)2(x-1)≥0；⑶(x-1)2(x2-x-2)≤0；例4、解不等式：2232712x xx x-+≤-+-例5、解不等式：22911721x xx x-+≥-+例6、解不等式：2256032x x x x +-≥-+ 例7、解不等式：2121332x x x x ++>-- 例8、解不等式：22331x x x ->++（不能十字相乘分解因式；无法分解因式） 例9、解下列不等式。
⑴x+2+101-x >7+101-x ； ⑵2328+--x x x ≥1；3212135。
数轴穿根法的口诀
数轴穿根法的口诀
以下是五个符合要求的口诀：
《数轴穿根法口诀一》
奇穿偶不穿，这话要记全。
从右往左看，数轴铺眼前。
遇到一个根，奇数就穿线。
若是偶数个，轻轻放旁边。
不等式求解，此法最灵验。
就像走迷宫，路线清晰见。
小朋友们呀，快来记心间。
《数轴穿根法口诀二》
数轴穿根并不难，记住步骤很简单。
先把方程变一边，零点全部找出来。
从大到小排排队，一奇一穿像钻洞。
二偶不穿像站岗，求解范围快快看。
如同游戏玩通关，轻松愉快掌握它。
《数轴穿根法口诀三》
要想用穿根法，顺序不能差。
先把因式分解啦，数轴上面来安家。
奇数根呀用力穿，像箭一样飞向前。
偶数根呀别着急，在那旁边歇一歇。
不等式里用一用，答案马上就出现。
《数轴穿根法口诀四》
数轴穿根有妙招，听我慢慢说诀窍。
因式分解是基础，各个零点要清楚。
沿着数轴向前走，奇数穿根别回头。
偶数如同小云朵，飘在旁边不捣乱。
范围一看就知晓，数学世界真奇妙。
《数轴穿根法口诀五》
小朋友们听我说，数轴穿根有法则。
一找零点排排站，二看奇偶定规则。
奇数就像勇敢者，直接穿过去探索。
偶数好似小乖乖，安静待着不瞎穿。
这样就能解难题，快乐学习笑嘻嘻。
数轴穿根法
数轴穿根法穿根法的奇过偶不过定律：还有关于分号的问题：“数轴穿着根法”又称“数轴标根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式展开移项，使右侧为0。
（特别注意：一定必须确保x前的系数为正数）比如：将x^3-2x^2-x+2>0化成(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号改成等号求出所有根。
比如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标示出各根。
比如：-112第四步：图画穿着根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方沿着根，往左下画线，然后又沿着“次右跟”上去，一上一下依次沿着各根。
第五步：观测不等号，如果不等号为“>”，则挑数轴上方，穿着跟线以内的范围；如果不等号为“0的木。
在数轴上标根得：-112图画穿着根线：由右上方已经开始穿着根。
因为不等号威“>”则挑数轴上方，穿着跟线以内的范围。
即为：-12。
编辑本段穿根法的奇过偶不过定律：就是当不等式中所含存有单独的x偶幂项时，例如(x^2)或(x^4)时，穿根线就是不沿着0点的。
但是对于x奇数幂项，就要沿着0点了。
除了一种情况就是比如：（x-1)^2.当不等式里发生这种部分时，线就是不沿着1点的。
但是对于例如（x-1)^3的式子，穿根线要过1点。
也就是奇过偶不过。
可以直观记为“奇沿着，偶冲回”。
编辑本段还有关于分号的问题：当不等式移项后，可能将就是分式，同样就是可以用穿着根法的，轻易把分号下面的乘上来，变为乘法式子。
稳步用穿着根法，但是特别注意，求解无法使原来分式下面的式子等同于0数轴的促进作用（观测地下通道）规定了原点，正方向，单位长度的直线，叫作数轴。
在某一事物上通过某一维度的评估，可以将事物分为很多相同的层次予以重新认识。
这样，能更加精确，详尽地叙述事物的本质。
数轴穿根法十二字口诀
数轴穿根法十二字口诀数轴穿根法是解不等式的一种常用方法，掌握好它能让解题变得轻松又高效。
说起这数轴穿根法啊，有个十二字口诀，那就是“从右往左，自上而下，奇穿偶回”。
先来说说“从右往左”。
这就好比我们走路，一般习惯先迈右脚，数轴穿根也一样，从数轴的右边开始。
比如说有个不等式：$(x - 1)(x +2)(x - 3) > 0$，我们先把方程$(x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0$的根找出来，分别是 1、-2、3 。
那从右往左，就先从 3 这个根开始。
“自上而下”呢，其实就是在穿根的时候，要从上往下穿。
还是拿刚才那个不等式举例，从 3 开始穿，因为是大于 0 ，所以数轴上方是我们要的区间。
再讲讲“奇穿偶回”。
奇数个根就穿过去，偶数个根就折回来。
比如说$(x - 1)(x + 2)^2 > 0$，1 是奇数个根，穿过去；-2 是偶数个根，就不穿，折回来。
我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生怎么都弄不明白。
我就拿了根绳子在黑板上比划，把绳子当成数轴，用粉笔头当根，一点点给他演示。
那孩子瞪着大眼睛，一脸迷茫，我又换了个方式给他讲，终于，他恍然大悟，脸上露出了开心的笑容。
那一刻，我也特别有成就感。
在实际解题中，数轴穿根法能帮我们快速找到不等式的解集。
比如说解不等式$(x - 2)(x + 1)(x - 4) < 0$，先求出根 2、-1、4 ，然后从右往左，4 开始穿，因为是小于 0 ，所以数轴下方是我们要的区间。
注意到2 是奇数个根，穿过去；-1 是奇数个根，也穿过去。
这样就能很快得出解集。
总之，数轴穿根法这十二字口诀简单又实用。
只要多练习，多琢磨，就能熟练掌握，解题的时候就能又快又准。
希望同学们都能把这个方法运用得炉火纯青，让数学学习变得更轻松愉快！。
数轴穿根法解高次不等式是高一数学
数轴穿根法解高次不等式是高一数学数轴穿根法是解高次不等式的一种方法，主要用于解决一元高次不等式。
该方法利用了数轴上的数值关系，并通过将不等式化简为一系列一次不等式来求解。
在高中数学中，该方法通常在初步学习代数运算之后介绍给学生，帮助他们理解并解决高次不等式的问题。
首先，我们来看一个简单的一次不等式：2x+5>0。
对于这个不等式，我们可以通过求解方程2x+5=0，找到不等式的解集。
将不等式化简为方程的思想引导我们来考虑一元高次不等式，例如x^2+3x-4>0。
为了解这个不等式，学生可以首先找到不等式的根，即使它等于0。
为了找到不等式的根，我们可以先求方程x^2+3x-4=0的解。
解这个方程可以得到x=1和x=-4两个解。
接下来，我们可以将数轴上的点1和-4用线段分割成三个部分，分别是(-∞,-4)，(-4,1)，和(1,+∞)。
由于我们要求的是不等式大于0的解集，所以我们只需要关注x^2+3x-4>0在数轴上处于大于0的部分。
现在，我们可以选择数轴上的一个点，例如-5，在这个点上代入不等式的原始形式，即(-5)^2+3*(-5)-4>0。
计算得到1>0，这说明当x=-5时，不等式大于0成立。
接下来，我们可以选择一个数轴上的点，例如0，代入不等式的原始形式，即0^2+3*0-4>0。
计算得到-4>0，这意味着当x=0时，不等式大于0不成立。
继续选择数轴上的一个点，例如2，代入不等式的原始形式，即2^2+3*2-4>0。
计算得到9>0，这表示当x=2时，不等式大于0成立。
通过以上的计算和分析，我们可以得出结论：不等式x^2+3x-4>0的解集为(-∞,-4)并(1, +∞)。
数轴穿根法的基本思想是将不等式化简为一系列一次不等式，并在数轴上进行分段讨论。
这种方法的优势是直观，通过观察和计算可以得出解集。
而且，这种方法在解决几乎所有的高次不等式时都适用。
数轴标根法及习题
数轴标根法及习题文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-数轴穿根法一、概念简介1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
（如下图所示）三、奇过偶不过就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。
数轴穿根法[1]
![数轴穿根法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/b72706838762caaedd33d4b0.png)
数轴穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。
(数轴右方无穷远处,x值是无穷大的,当然代数式值是正的了.然后向左过一个点,那么有一个因式的值会是负的,其它的还是正的,因为在这一区间的x值比左比的所有根都要大,只比右边的一个小,所以代数式的值是负的,)第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿跟线以内的范围。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号威“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
穿根法的奇过偶不过定律：就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时(是针对整数次幂的不等式来说的，对于分数指数幂不能用)，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。
也是奇过偶不过。
可以简单记为“奇穿过，偶弹回”。
还有关于分号的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，直接把分号下面的乘上来，变成乘法式子。
继续用穿根法，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0数轴标根法附图“数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
高一数学 “数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”
穿针引线大法“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。
准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
释义、“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。
准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x－an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f（x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法“。
用途、用于解简单高次不等式。
穿针引线法解高次不等式用法、当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x－an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f（x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法“。
使用步骤、第一步通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证最高次数项的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步将不等号换成等号解出所有根。
穿根法
穿根前应注意，每项 系数均为 每项X系数均为 每项 正， 如(2-x)(x-1)<0 穿根法的奇过偶不过定律：可 以简单记为“奇穿过，偶弹回 奇穿过， 奇穿过 偶弹回” 或“自上而下，从右到左，奇次 自上而下， 自上而下 从右到左， 跟一穿而过，偶次跟一穿不过” 跟一穿而过，偶次跟 分解因式。（注意：一定要保证x 前的系数为正数）
例如： x − 7 x > 30
2
第二步：将不等号换成等号解出所有 根。 第三步：在数轴上从左到右依次标出 各根。
第四步：画穿根线：以数轴为标准， 从“最右根”的右上方穿过根，往 左下画线，然后又穿过“次右根” 上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为 “>”，则取数轴上方，穿根线以内的范 围； 如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根 线以内的范围。
穿根法的基本步骤
穿根法的基本步骤
嘿，咱今儿个就来讲讲穿根法的那些事儿哈！
你知道不，穿根法就像是给不等式解这个小调皮穿上线，让它乖乖
听话。
那它到底咋弄呢？听我给你慢慢道来。
首先呢，咱得把不等式变成标准形式，就像给它洗把脸，整干净咯。
把高次项系数变成正的，这样好操作呀。
然后，找出这个式子的根。
这根就像是一个个小关键点，可重要啦！咋找呢？解方程呗！把这些根都找出来，标记在数轴上。
这就好比在
数轴上给这些根安了家。
接下来，就开始穿线啦！从最右边开始，想象一下，拿着一根线，
从上往下穿。
遇到根的时候，咋办呢？嘿，这可有讲究了。
如果这个
根是奇数次的，那就穿过去，就像给它来个痛快的；要是偶数次的呢，那就像给它挠痒痒，别穿过去，就在那蹭一蹭。
这穿线的过程就好像走迷宫，得小心谨慎，别走错路咯！穿完线，
哇塞，不等式的解集就一目了然啦！数轴上面线在的地方就是解集的
范围。
你说这穿根法是不是挺有意思的？就像玩游戏一样，一步步解开不
等式的神秘面纱。
咱举个例子哈，比如说一个不等式，咱把它整理好了，找到了根。
然后在数轴上标出来，开始穿线。
哎呀，就看着那线在数轴上穿来穿去，最后解集就出来啦！是不是感觉很神奇呀？
这穿根法啊，就像是一把钥匙，能打开不等式解集的大门。
学会了它，咱解不等式就更得心应手啦！别小看这小小的穿根法，它的用处
可大着呢！
反正啊，记住这些步骤，多练练，你肯定能掌握得牢牢的。
以后再
遇到不等式，就不会头疼啦，轻松搞定！你还等啥呢，赶紧去试试吧！就这么着，咱这穿根法的基本步骤就给你唠完啦！。
数轴穿根法导数
数轴穿根法导数数轴穿根法是一种解决不等式问题的方法，其基本思想是利用数轴上的点来表示不等式的解集。
对于一元二次不等式，我们可以使用数轴穿根法来求解。
首先，我们需要找到不等式的根，即解方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个解 x1 和 x2。
然后，我们将这两个根在数轴上标出，并使用穿根法来确定不等式的解集。
具体步骤如下：1. 找到不等式的根 x1 和 x2。
2. 在数轴上标出这两个根，并将数轴分为三个区间：x < x1、x1 < x < x2 和 x > x2。
3. 根据不等式的符号变化情况，确定不等式的解集。
如果 a > 0，则当 x < x1 时，f(x) > 0；当 x1 < x < x2 时，f(x) < 0；当 x > x2 时，f(x) > 0。
如果 a < 0，则当 x < x1 时，f(x) < 0；当 x1 < x < x2 时，f(x) > 0；当 x > x2 时，f(x) < 0。
4. 根据以上情况，我们可以得出不等式的解集为 (x | x < x1) ∪ (x | x > x2)。
对于导数问题，我们可以使用数轴穿根法来求解函数的单调性。
具体步骤如下：1. 求出函数的导数 f'(x)。
2. 找到导数的零点，即解方程 f'(x) = 0 的解。
3. 在数轴上标出这些零点，并将数轴分为若干个区间。
4. 在每个区间上判断 f'(x) 的符号，确定函数的单调性。
如果 f'(x) > 0，则函数在该区间上单调递增；如果 f'(x) < 0，则函数在该区间上单调递减。
5. 根据以上情况，我们可以得出函数的单调性结论。
简单高次不等式的解法：数轴穿根法、猜根、多项式的竖式除法
简单高次不等式的解法：数轴穿根法、猜根、多项式的竖式除法在高中数学的学习过程中有时候会接触到简单高次（一般为3次）不等式问题，本文就和大家一起来探讨一下，如何解简单高次不等式一、该不等式所对应的多项式已经因式分解，能轻易知道其零点，如下题此种情况可以直接利用数轴穿根法步骤1：先画数轴步骤2：在数轴上标出零点步骤3：开始穿根，若最高次项系数为正，则从右上方开始穿根，若最高次项系数为负，则从右下方开始穿根，画波浪线如下图所示【本题最高次项系数为正，所以从右上方开始】步骤4：读取解集，上正下负，所以本题的解为为了让大家能更直观的理解，请看下图【用作图软件画出的精确图形】，手绘的草图虽然不够精确，但是对该不等式最终的解是没有影响的下面我们再看一个例题此例与上面那个题类似，但是该四次多项式的4个根中有两个相等的根“0”，那么是不是有所不一样呢？我们先看看用作图软件画出的精准图形，看看它所对应的四次函数图像长什么样吧！我们发现数轴穿根时，在“0”这个地方并没有穿过去，而是与数轴相切了，那么这是不是偶然现象呢！我们可以自己动手多做几个“实验”就知道了【常见的函数画图软件有：几何画板（Windows版），goodgrapher（ios版），desmos（ios版），mathlab图形计算器（安卓版）等等，有兴趣的同学可以自己动手试试看】相信聪明的你在自己操作之后应该找出了其中的规律：奇穿偶切如果某个根的个数为奇数，则画波浪线时要在该根处穿过数轴如果某个根的个数为偶数，则画波浪线时在该根处不穿过数轴，即与数轴相切在掌握此规律后我们再做此类题就应该很轻松了，比如你能在草稿纸上画出它的大致图像吗？写出它的解集时需要注意“=”哟你写对了吗？二：如果所给的高次不等式没有因式分解，而是像下面这个题似的，我们又该怎么办呢？那么在这种时候我们需要冷静，需要知道如果在高中阶段出现这种三次不等式，它的解一定不会太复杂【如果太复杂的话，就不是高中阶段能解决的了】，我们只需猜根即可，一般猜1，-1，2，-2等整数值，比如本题我们将1代入，发现左边等于0，说明有一个根是1，进而得出该多项式有x-1这个因式，当我们猜出一个根，是否还需要继续猜呢？一般不需要，因为很多的时候我们无法猜出所有的根，就算猜出所有的根，也无法判断每个根具体的个数。
穿根法解高次不等式
For personal use only in study andresearch; not for commercial useFor personal use only in study andresearch; not for commercial use穿根法解高次不等式一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2)x2-4x+13x2-7x+2 ≤1解:(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}.(2) 变形为 (2x-1)(x-1)≥0 根据穿根法如图不等式解集为{x x< 1 3 或 1 2≤x ≤1或x>2}.【例2】 解不等式：(1)2x 3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．的解法转化为不含重根的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)不．等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．其法如图．．．．．(5．．－．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”2)．．．．二．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
(完整版)数轴标根法及习题
数轴穿根法一、看法简介1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2.正确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右侧的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法4.为了形象地表现正负值的变化规律，能够画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤第一步：经过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：必然要保证x 前的系数为正数）比方：将 x^3-2x^2-x+2>0 化为 (x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
比方： (x-2)(x-1)(x+1)=0 的根为： x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
比方： -1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，尔后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，若是不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；若是不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x 的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶但是。
比方：若求 (x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得： -1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“ >”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1 或 x>2。
（以以下图所示）三、奇过偶但是就是当不等式中含有单独的x 偶数幂项时，如(x^2) 或(x^4) 时，穿根线是不穿过 0 点的。
但是对于 X 奇数幂项，就要穿过 0 点了。
还有一种情况就是比方：（X-1)^2. 当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1 点的。
但是对于如（ X-1)^3 的式子，穿根线要过 1 点。
也是奇过偶但是。
能够简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题:数轴穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步:通过不等式得诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0、(注意:一定要保证x 前得系数为正数)例如: (x －２)(ｘ—1)(x+１)＞0第二步:将不等号换成等号解出所有根。
例如:(x-2)(ｘ-１)(x+1)=0得根为:x ＝２,x ＝1,x=—1第三步:在数轴上从左到右依次标出各根、例如:-1 １ ２第三步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根"得右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右跟”上去,一上一下依次穿过各根、第四步:观察不等号,如果不等号为“＞”,则取数轴上方,穿根线以内得范围;如果不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内得范围。
例如:若求(x －2)(x-1)(ｘ+1)>0得解。
因为不等号威“〉”则取数轴上方,穿根线以内得范围。
即:－１<x<１或x>2、 穿根法得奇过偶不过定律: “奇穿过,偶弹回”。
还有关于分式得问题:当不等式移项后,可能就是分式,同样就是可以用穿根法得,但就是注意,解不能让原来分式下面得式子等于０专项训练:1、解不等式ﻩ解析:１)一边就是因式乘积、另一边就是零得形式,其中各因式未知数得系数为正。
2)因式、、得根分别就是、、。
在数轴上把它们标出(如图1)。
3)从最大根3得右上方开始,穿线(图象,)。
4)数轴上方曲线对应得得取值区间,为得解集,数轴下方曲线对应得得取值区间,为得解集。
不等式得解集为。
在上述解题过程中,学生存在得疑问往往有:为什么各因式中未知数得系数为正;为什么从最大根得右上方开始穿线;为什么数轴上方曲线对应得得集合就是大于零不等式得解集,数轴下方曲线对应得集合就是小于零不等式得解集。
2、解不等式解析:1)一边就是因式乘积、另一边就是零得形式,其中各因式未知数得系数为正。
2)因式、、得根分别为、、,在数轴上把它们标出(如图２)。
３)从最大根3得右上方开始向左依次穿线,次数为奇数得因式得根一次性穿过,次数为偶数得因式得根穿而不过。
4)数轴上方曲线对应得得取值区间,为得解集,数轴下方曲线对应得得取值范围,为得解集、得解集为一、数轴标根法解不等式例１。
解下列不等式1。
(x－１)(x-２)(x＋3)＞0 2。
(x—１)(x－2)(ｘ＋３)〈03。
(1—ｘ)(x—2)(x+1) 4。
(x－ 1)２(ｘ－２)3 (x＋１)二．分式不等式思考 (１)解集就是否相同,为什么？(2)解集就是否相同,为什么？解:方法1:利用符号法则转化为一元一次不等式组,进而进行比较。
方法2:在分母不为0得前提下,两边同乘以分母得平方。
通过例1,得出解分式不等式得基本思路:等价转化为整式不等式(组):(１) (2)例2.解下列不等式1. 2。
3。
4、５. 6.三、含绝对值得不等式得解法|x｜>a(ａ〉0)_＿____＿＿__＿＿_＿＿_ ｜x|<a(ａ＞0)＿_＿_____＿_______ 例3:解下列不等式１、 2。
３.｜x2—2x|>x ２、 4.巩固练习1. 解不等式2、解不等式3、不等式得解集就是4 、(２012 山东理)若不等式得解集为,则实数＿_＿__＿___＿。
５、解不等式(２ｘ- １)２(x—2)３(x+1)6. 解不等式(３— x)2(x-2)(ｘ+1) 7不等式解法１5种典型例题典型例题一例１解不等式:(1);(2)。
分析:如果多项式可分解为个一次式得积,则一元高次不等式(或)可用“穿根法”求解,但要注意处理好有重根得情况.解:(1)原不等式可化为把方程得三个根顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图得阴影部分、∴原不等式解集为(2)原不等式等价于∴原不等式解集为说明:用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中得系数必为正;②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根得不等式,也可直接用“穿根法",但注意“奇穿偶不穿”,其法如图。
典型例题二例2 解下列分式不等式:(１); (2)分析:当分式不等式化为时,要注意它得等价变形① ; ②(1)解:原不等式等价于用“穿根法”∴原不等式解集为。
(２)解法一:原不等式等价于,∴原不等式解集为。
解法二:原不等式等价于用“穿根法"∴原不等式解集为典型例题三例３解不等式分析:解此题得关键就是去绝对值符号,而去绝对值符号有两种方法:一就是根据绝对值得意义;二就是根据绝对值得性质:或,因此本题有如下两种解法.解法一:原不等式,即∴或,故原不等式得解集为.解法二:原不等式等价于即∴.典型例题四例4解不等式.分析:这就是一个分式不等式,其左边就是两个关于二次式得商,由商得符号法则,它等价于下列两个不等式组:或,所以,原不等式得解集就是上面两个不等式级得解集得并集。
也可用数轴标根法求解.解法一:原不等式等价下面两个不等式级得并集:或或或或或.∴原不等式解集就是.解法二:原不等式化为。
画数轴,找因式根,分区间,定符号。
符号∴原不等式解集就是。
说明:解法一要注意求两个等价不等式组得解集就是求每组两个不等式得交集,再求两组得解得并集,否则会产生误解、解法二中,“定符号"就是关键、当每个因式得系数为正值时,最右边区间一定就是正值,其她各区间正负相间;也可以先决定含0得区间符号,其她各区间正负相间.在解题时要正确运用、典型例题五例5解不等式.分析:不等式左右两边都就是含有得代数式,必须先把它们移到一边,使另一边为0再解、解:移项整理,将原不等式化为、由恒成立,知原不等式等价于、解之,得原不等式得解集为、说明:此题易出现去分母得得错误解法.避免误解得方法就是移项使一边为０再解。
另外,在解题过程中,对出现得二项式要注意其就是否有实根,以便分析不等式就是否有解,从而使求解过程科学合理。
典型例题六例６设,解关于得不等式、分析:进行分类讨论求解、解:当时,因一定成立,故原不等式得解集为、当时,原不等式化为;若时,解得;若时,解得.综上:当时,原不等式得解集为;当时,原不等式得解集为.说明:解不等式时,由于,因此不能完全按一元二次不等式得解法求解.因为当时,原不等式化为,此时不等式得解集为,所以解题时应分与两种情况来讨论。
在解出得两根为,后,认为,这也就是易出现得错误之处。
这时也应分情况来讨论:当时,;当时,。
典型例题七例7 解关于得不等式.分析:先按无理不等式得解法化为两个不等式组,然后分类讨论求解.解:原不等式或由,得:由判别式,故不等式得解就是.当时,,,不等式组(１)得解就是,不等式组(2)得解就是.当时,不等式组(1)无解,(2)得解就是。
综上可知,当时,原不等式得解集就是;当时,原不等式得解集就是、说明:本题分类讨论标准“,”就是依据“已知及(1)中‘,',(2)中‘,’”确定得.解含有参数得不等式就是不等式问题中得难点,也就是近几年高考得热点.一般地,分类讨论标准(解不等式)大多数情况下依“不等式组中得各不等式得解所对应得区间得端点”去确定.本题易误把原不等式等价于不等式.纠正错误得办法就是熟练掌握无理不等式基本类型得解法.典型例题八例8解不等式.分析:先去掉绝对值号,再找它得等价组并求各不等式得解,然后取它们得交集即可。
解答:去掉绝对值号得,∴原不等式等价于不等式组∴原不等式得解集为。
说明:解含绝对值得不等式,关键就是要把它化为不含绝对值得不等式,然后把不等式等价转化为不等式组,变成求不等式组得解、典型例题九例9解关于得不等式.分析:不等式中含有字母,故需分类讨论、但解题思路与一般得一元二次不等式得解法完全一样:求出方程得根,然后写出不等式得解,但由于方程得根含有字母,故需比较两根得大小,从而引出讨论.解:原不等式可化为.(1)当(即或)时,不等式得解集为:;(2)当(即)时,不等式得解集为:;(3)当(即或1)时,不等式得解集为: 、说明:对参数进行得讨论,就是根据解题得需要而自然引出得,并非一开始就对参数加以分类、讨论。
比如本题,为求不等式得解,需先求出方程得根,,因此不等式得解就就是小于小根或大于大根。
但与两根得大小不能确定,因此需要讨论,,三种情况、典型例题十例10已知不等式得解集就是、求不等式得解集.分析:按照一元二次不等式得一般解法,先确定系数得正负,然后求出方程得两根即可解之。
解:(解法１)由题可判断出,就是方程得两根,∴,、又得解集就是,说明、而,,∴.∴,即, 即、又,∴,∴得解集为、(解法2)由题意可判断出,就是方程得两根,∴.又得解集就是,说明、而,.对方程两边同除以得.令,该方程即为,它得两根为,,∴,.∴,,∴方程得两根为,.∵,∴.∴不等式得解集就是.说明:(１)万变不离其宗,解不等式得核心即就是确定首项系数得正负,求出相应得方程得根;(2)结合使用韦达定理,本题中只有,就是已知量,故所求不等式解集也用,表示,不等式系数,,得关系也用,表示出来;(３)注意解法2中用“变换”得方法求方程得根。
典型例题十二例１2 若不等式得解为,求、得值.分析:不等式本身比较复杂,要先对不等式进行同解变形,再根据解集列出关于、式子.解:∵,,∴原不等式化为。
依题意,∴、说明:解有关一元二次方程得不等式,要注意判断二次项系数得符号,结合韦达定理来解。
典型例题十三例１３不等式得解集为,求与得值.分析:此题为一元二次不等式逆向思维题,要使解集为,不等式需满足条件,,得两根为,.解法一:设得两根为,,由韦达定理得:由题意:∴,,此时满足,.解法二:构造解集为得一元二次不等式:,即,此不等式与原不等式应为同解不等式,故需满足: ∴,.说明:本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集得关系,同时还考查逆向思维得能力.对有关字母抽象问题,同学往往掌握得不好、典型例题十四例14 解关于得不等式.分析:本题考查一元一次不等式与一元二次不等式解法,因为含有字母系数,所以还考查分类思想.解:分以下情况讨论(1)当时,原不等式变为:,∴(2)当时,原不等式变为: ①①当时,①式变为,∴不等式得解为或、②当时,①式变为. ②∵,∴当时,,此时②得解为。
当时,,此时②得解为.说明:解本题要注意分类讨论思想得运用,关键就是要找到分类得标准,就本题来说有三级分类:分类应做到使所给参数得集合得并集为全集,交集为空集,要做到不重不漏。
另外,解本题还要注意在讨论时,解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解、典型例题十五例1５解不等式。
分析:无理不等式转化为有理不等式,要注意平方得条件与根式有意义得条件,一般情况下,可转化为或,而等价于:或.解:原不等式等价于下面两个不等式组:①②由①得,∴由②得∴,所以原不等式得解集为,即为、说明:本题也可以转化为型得不等式求解,注意:,这里,设全集,,则所求不等式得解集为得补集,由或。