高中数学知识点精讲精析不等关系

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高中数学知识点精讲精析不等式的基本性质

4.1不等式的基本性质1．不等式的基本性质： ①对称性：a>b b<a; ②传递性：a>b,b>c a>c; ③可加性：a>b a+c>b+c; ④加法法则：a>b,c>d a+c>b+d; ⑤可乘性：a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 ac<bc; ⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ac>bd;⑦倒数法则：a>b,ab>0 ; ⑧乘方法则：a>b>0 an>bn;⑨开方法则：a>b>0 ;⑩绝对值不等式的性质： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 2．基本不等式（以下√表示根号，＾表示指数）如果a 、b 都为实数，那么a 平方+b 平方≥2ab，当且仅当a=b 时等号成立证明如下： ∵（a-b)^2≥0 ∴a^2+b^2-2ab≥0 ∴a^2+b^2≥2ab如果a 、b 、c 都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c 时等号成立如果a 、b 都是正数，那么（a+b ）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b 时等号成立。

（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立。

）和定积最大：当a+b=S 时，ab≤S^2/4（a=b 取等）积定和最小：当ab=P 是，a+b≥2√P（a=b 取等）ba 11<⇒nn b a >⇒均值不等式：如果a,b 都为正数，那么√(( a 平方+b 平方)/2)≥（a+b ）/2 ≥√ab≥2/（1/a+1/b)（当且仅当a=b 时等号成立。

）( 其中√(( a 平方+b 平方)/2)叫正数a,b 的平方平均数也叫正数a,b 的加权平均数；（a+b ）/2叫正数a,b 的算数平均数；√ab 正数a,b 的几何平均数；2/（1/a+1/b)叫正数a,b 的调和平均数。

第二章2.1-2.3不等关系;不等式的基本性质;不等式的解集

一、考点突破1. 了解不等式的意义，能够根据具体问题中的数量关系理出不等式（组）；2. 理解并掌握不等式的基本性质，能够利用不等式的基本性质比较两个数（或式子）的大小；3. 了解一元一次不等式（组）的解的意义，能够利用不等式的基本性质解不等式，且能够在数轴上表示或判定其解集．二、重难点提示重点：不等式的基本性质及应用其解不等式，并在数轴上表示出不等式的解集。

难点：理解方程与不等式之间的区别和联系。

微课程1：不等关系【考点精讲】考点1：不等式的定义：一般地，用不等号连接的式子叫不等式。

考点2：不等号：＞，≥，<，≤，≠说明：（1）用“≥”来表示的字眼：“不小于”，“至少”“不低于”……；（2）用“≤”来表示的字眼：“不大于”，“至多”“不超过”……。

考点3：列不等式考点4：不等式和方程的区别：（1）从定义上来看，不等式是表示不等关系的式子；而方程是含有未知数的等式；（2）从符号上来看，不等式是用“＞”“＜”“≥”或“≤”来表示的；而方程是用“＝”来连接两边的式子的；（3）从是否含有未知数上来看，不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数；而方程则必须含有未知数。

【典例精析】例题1 用适当的符号表示下列关系：（1）x的13与x的2倍的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的体重不比小刚轻。

思路导航：（1）非正数用“≤”表示；（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；（5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重，用“≥”表示。

答案：（1）120;3x x +≤－x ）元，则84(10)72x x +-≤点评：本题考查列不等式，解题关键是将现实生活中的事件与数学思想联系起来，列出不等关系式。

注意本题的不等关系为：至少含有4200单位的维生素C ，购买甲、乙两种原料的费用不超过72元。

专题2.1 等式与不等式(精讲精析篇)(解析版)

专题2.1等式与不等式（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 不等式的性质及应用1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 2．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 3．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 4.不等式性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．【典例1】（2018·上海高考真题）已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”， ∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件．故选：A ．【典例2】（2018·上海曹杨二中高一期末）如果,a b c d >>，则下列不等式成立的是（）A.a c b d ->-B.a c b d +>+C.a b d c> D.ac bd >【答案】B 【解析】A 项，当54,31a b c d =>==>=时，2,3a c b d -=-=，则a c b d -<-，故A 项不一定成立；因为,a b c d >>，两式相加得a c b d +>+，故B 项一定成立；当21,11a b c d =>==>=-时，2,1a bd c =-=，则a b d c<，故C 项不一定成立； D 项，当12,34a b c d =->=-=->=-时，3,8ac bd ==，则ac bd <，故D 项不一定成立；故选：B 【典例3】若,则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ∵，∴又，∴∴ 故选：D 【特别提醒】考查的命题角度，主要有三个，比较数（式）值的大小、不等式的性质、不等式的性质与其它知识点的交汇．热门考点02 一元二次不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． *2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)()()0f x g x ＞()()()0)00(·f x g x ⇔＜＞＜；(2)()()0f x g x ≥ ()0≤⇔()()()0(0)0f x g x g x ≥≤⎧≠⋅⎪⎨⎪⎩3．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【典例4】（（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．详解：由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【典例5】（2018·上海曹杨二中高一期末）若集合{}31,2,3,4,0,1x A B xx R x ⎧⎫-==<∈⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂=__________；【答案】{}1,2 【解析】由301x x -<+⇒ (3)(1)0x x -+< ⇒ 13x ，所以}{13,B x x x R =-<<∈，又因为{}1,2,3,4A =，所以}{1,2A B ⋂=. 故答案为：{}1,2【典例6】（2015·广东高考真题（文））不等式的解集为．（用区间表示）【答案】【解析】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．【特别提醒】随着学习的深入，对一元二次不等式的解法解法的独立考查，越来越少，往往作为一种工具、技能，与其它知识点交汇考查．热门考点03 一元二次不等式恒成立问题1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略 (1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，b 2－4ac ＜0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )＞0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．*(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .*3．一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．【典例7】若关于x 的不等式222321x x a a -+>--对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】{}13a a -<< 【解析】分析：根据题意可知，只需223x x -+的最小值大于221a a --即可，解不等式即可求出．详解：因为()2223122y x x x =-+=-+，所以2212a a --<，解得13a -<<.故答案为：{}13a a -<<．【典例8】（2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+，由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【典例9】【2018河南南阳第一中学模拟】已知当11a -≤≤时， ()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是_____________. 【答案】()(),13,-∞⋃+∞【解析】设()()()2244g a x a x x =-+-+，由于()24420x a x a +-+->恒成立，所以()0g a >，因此()()10{ 10g g ->->，整理得22560{ 320x x x x -+>-+>，解得13x x 或，即实数的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.【总结提升】三道例题，分别代表如下类型：（1）一元二次不等式在R 上的恒成立问题（2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题．（3）一元二次不等式给定参数范围的恒成立问题.在这三种类型中，转化与化归思想的应用意识要强，要体会具体转化方法的应用热门考点04 绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）形如|ax ＋b|≥|cx ＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．（2）形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 ①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集②|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)， |ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【典例10】（2019·天津高考真题（理））设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故选B.【典例11】（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为______. 【答案】2a ≤ 【解析】由绝对值不等式的性质可得： 1111112-++=-++≥-++=x x x x x x ，又关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ，即11x x a -++≥恒成立；所以只需2a ≤. 故答案为： 2a ≤【典例12】解下列不等式：（1）343x ->；（2）523x -≤；（3）115x x ++-≤．【答案】(1)17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）[]1,4（3）55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】分析：根据公式()0x a a x a >>⇔>或x a <-，()0x a a a x a ≤>⇔-≤≤可以解出（1）（2）；利用零点分段法可以解出（3）.详解：（1）343343x x ->⇔->或343x -<-，解得73x >或13x <，所以不等式的解集为17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）5233253x x -≤⇔-≤-≤，解得14x ≤≤，所以不等式的解集为[]1,4；（3）原不等式等价为1115x x x ≥⎧⎨++-≤⎩ 或11115x x x -<<⎧⎨++-≤⎩ 或()1115x x x ≤-⎧⎨-++-≤⎩解得512x ≤≤或11x -<<或512x -≤≤-，即5522x -≤≤，所以不等式的解集为55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【总结提升】1.绝对值不等式的常用解法有：定义法，公式法，零点分段法，数形结合法，以及平方法.2. 形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点12x a x b ＝和＝的距离之和大于c 的全体，|||||()||.|x a x b x a x b a b ≥－＋－－－－＝－(3)图象法：作出函数12||||y x a x b y c ＝－＋－和＝的图象，结合图象求解．热门考点05 基本（均值）不等式及其应用1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2．条件最值的求解通常有三种方法一是“配凑法”.常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数等，以便于应用基本不等式. 二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．三是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解. *3. 利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【典例13】（2019·浙江高考真题）若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【典例14】（2019·上海交大附中高一期末）已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】分析：由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值．详解：由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，212()()3322x yx y x yx y y x +=++=+++，当且仅当2x =1y =时取到等号．故答案为：3+．【典例15】（2019·江苏高一月考）周长为12的矩形，其面积的最大值为（） A.6 B.7C.8D.9【答案】D 【解析】设矩形的长宽分别为 x ，y ，则2(x +y )=12，化为x +y =6.292x y S xy +⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，当且仅当 x =y =3 时取等号.因此面积的最大值是 9.故选：D.【典例16】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝，∴11+=1+=2+a b b a a a+.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立．【总结提升】1.基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围． 2. 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．热门考点06．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减；在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增；在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称【典例17】（2019·北京临川学校高二期末（文））若函数f(x)＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是（） A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8，40]【答案】C 【解析】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =，且抛物线的开口向上， ∵函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5] 上为单调函数， ∴18k ≤或58k≥，解得8k ≤或40k ≥，∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋．故选C ．【典例18】（浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届联考）】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】【解析】去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，，，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【总结提升】1.研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⎝⎛⎭⎫A ⊆⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞，即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)． 2.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．热门考点07. 三个“二次”之间的关系（1）关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集；若二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则一元二次不等式f (x )>0或f (x )<0的解集，就是分别使二次函数f (x )的函数值为正值或负值时自变量x 的取值的集合．（2）三个“二次”之间的关系：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f (x )>0求方程f (x )＝0的解有两个不等的实数解x 1，x 2有两个相等的实数解x 1＝x 2没有实数解或f (x )< 0的步骤画函数y ＝f (x )的示意图得不等式的解集f (x )>0__{x |x <x 1 或x >x 2}__ {x |x ≠－b2a} Rf (x )<0__{x |x 1<x <x 2}____∅____∅__【典例19】（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）3x =-或1x =.（2）(1,2] 【解析】（1）因为()f x 的值域为[)0,+∞，所以()22min 1110242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭. 因为0a >，所以2a =，则()221f x x x =++.因为()4f x =，所以2214x x ++=，即2230x x +-=，解得3x =-或1x =.（2）()()()2221g x f x mf x m ⎡⎤=-+-⎣⎦在[]2,1-上有三个零点等价于方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根. 因为()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以()1f x m =+或()1f x m =-. 因为2a =，所以()221f x x x =++.结合()f x 在[]2,1-上的图象可知，要使方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根，则()1f x m =+在[]2,1-上有一个实数根，()1f x m =-在[]2,1-上有两个不等实数根，即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，解得12m <≤.故m 的取值范围为(]1,2.【典例20】（2015·浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】（1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--. 【规律总结】一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．巩固提升1.（2017·浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2．（2019·上海市吴淞中学高一月考）设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2|230B x Z x x =∈--<，则()A B =U（）A.{}0,1,2,3B.{}5C.{}1,2,4D.{}0,3,4,5【答案】D 【解析】{}{}{}2|230|130,1,2B x Z x x x Z x =∈--<=∈-<<=，所以{}1,2A B =，所以(){}0,3,4,5UA B =，故选：D.3.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项.4．（2019·上海曹杨二中高一月考）如果a ，b ，c ，满足c b a <<，且0ac <，那么下列不等式不成立的是（） A.ab ac > B.()0c b a ->C.2ab ab <D.()0ac a c -<【答案】C 【解析】因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，因此ab ac >；A 正确；又0b a -<，所以()0c b a ->；B 正确；当13b =时，219=b ，此时2ab ab >，C 错误；因为0a c ->，所以()0ac a c -<；D 正确. 故选：C5．（2018·上海市川沙中学高一期末）若2x =是方程222160x ax b ++-=的解，则ab 的最大值是（） A.16 B.12C.8D.4【答案】D 【解析】因为2x =是方程222160x ax b ++-=的解，所以822160++-=a b ，即4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时，取等号. 故选：D6．（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知{}|0A x x =≥，{}2|10B x x bx =++=，若AB =∅，则实数b 的取值范围是（） A.{}|2b b ≥ B.{}|2b b ≥ C.{}|22b b -<< D.{}|2b b >-【答案】D 【解析】 ∵AB =∅，∴方程210x bx ++= 有两负根或无根，则240b b ⎧-⎨-<⎩ 或240b -<，解得：2b ≥ 或22b -<<， ∴实数b 的取值范围是{}|2b b >- 故选：D7．已知关于x 的不等式210x x a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A.5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】记()21f x x x a =-+-，则原问题等价于二次函数()21f x x x a =-+-的最小值大于或等于0．而()21524f x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当12x =时，()min 54f x a =-，所以504a -≥，即54a ≥．故选：D ．8．（2014·全国高考真题（文））不等式组(2)0{1x x x +><的解集为( )A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >【答案】C 【解析】(2)020{{01111x x x x x x x +>-∴∴<<<-<<或，所以不等式的解集为{|01}x x <<9．若关于x 的不等式2162a b x x b a+<+对任意的0a >，0b >恒成立，则实数x 的取值范围是（） A.{}20x x -<< B.{|2x x <-或}0x > C.{}42x x -<< D.{|4x x <-或}2x >【答案】C 【解析】因为0a >，0b >，所以161628a b a bb a b a+⋅=（当且仅当4a b =时等号成立），所以由题意，得228x x +<，解得42x -<<，故选：C10.（2019·上海市莘庄中学高一期中）已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.【答案】2 【解析】因为2xy =，所以2y x=222222216448x y x x x x ⎛⎫+= =++≥⎝⎭=⎪当且仅当2216x x=，即2x =时，224x y +取得最小值. 故答案为：211.（2018·上海高一期末）设{}2=320A x x x -+≤，(]=,B n -∞，如果AB =∅，则实数n 的取值范围是_________. 【答案】1n < 【解析】由题知,{}12A x x =≤≤{}B x x n =≤,A B =∅,∴ 作图如下：由图得,n<1. 故答案为：n<112．（2019·上海闵行中学高一期中）若关于x 的不等式0x bx a-<-的解集是(2,3)，则a b +=________ 【答案】5 【解析】因为不等式0x bx a-<-的解集是(2,3) 即2,3x x ==是方程()()0x b x a --=的解所以2,3b a ==或2,3a b == 则5a b += 故答案为:513.（2019·海南高一期中）设0x >，0y >，且18x y +=，则xy 的最大值为_______. 【答案】81 【解析】0x ，0y >，2x yxy +∴≥ 即2812x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当9x y ==时等号成立，()max 81xy ∴=. 故答案为：8114．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+.（1）若函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，求实数k 的取值范围; （2）若()0f x >对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）(,3][1,)-∞-⋃-+∞（2）()1,3-【解析】（1）由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知，函数()f x 图象的对称轴为1x k =-.因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，所以12k -≤或14k -≥，解得3k ≤-或1k ≥-，所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞.（2）解法一：若()0f x >对—切实数x 都成立，则∆<0，所以24(1)160k --<，化简得2230k k --<，解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.解法二：若()0f x >对一切实数x 都成立，则min ()0f x >，所以2min 164(1)()04k f x --=>，化简得2230k k --<，解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.15.（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知全集U =R ，集合{}2|340A x x x =+-≤，{}|11B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =，求()U A B ；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）(){}|40U B A x x =-≤<；（2）[]3,0- 【解析】（1）若1m =，则{}|02B x x =≤≤，所以{|0U B x x =<或}2x >，又因为{}|41A x x =-≤≤，所以(){}|40U B A x x =-≤< .（2）由（1）得，{}|41A x x =-≤≤，又因为B A ⊆，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩ ，解得[]3,0m ∈-. 16．（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ，求k 的取值范围.【答案】[)1,9【解析】当10k -=，即1k =时，原不等式可化为20>，显然恒成立，满足题意；当10k -≠，即1k ≠时，由不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ，可得：()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，即1(1)(9)0k k k >⎧⎨--<⎩，解得：19k <<. 综上，k 的取值范围是[)1,9.。

高中数学必修五-不等关系与不等式

不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<as B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<cb，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。

高中数学知识点精讲精析基本不等式与最大(小)值

3.3.2 基本不等式与最大（小）值1.最值定理（1）如果积是定值，那么当时，和有最小值；（2）如果和是定值，那么当时，积有最大值。

证明：∵都是正数，∴。

（1）积为定值时，有，∴ 上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值。

（2）和为定值时，有，∴。

上式当时，取“=”号，因此，当时，积有最大值。

2. 使用均值定理的注意事项① 应用基本不等式求最值方便、快捷，但必须注意条件 “一正、二定、三相等”，即涉及的变量都是正数，其次是和（平方和）为定值或积为定值，然后必须注意等号可以成立。

如的最小值是5；但使用均值不等式容易误解为是4，因为不成立（不能取“=”）。

② 在使用基本不等式时，要注意它们多次使用再相加相乘的时候，等号成立的条件是否一致。

如下例4，要保证两次均值不等式的取等条件相同（同时满足）。

③ 在使用基本不等式求最值的时候，如果等号成立的条件不具备，应考虑用函数的单调性来解决。

如求的最小值，可利用函数的单调性来解决。

例1：正数、满足 =1，求的最大值。

【解析】∵ ，当且仅当即 xy P y x =y x +P 2y x +S y x =xy 241S y x 、xy y x ≥+2xy P y x ≥+2P y x 2≥+y x =y x =y x +P 2y x +2S xy ≤241S xy ≤y x =y x =xy 241S x x 22sin 4sin +x x 22sin 4sin =xx 22sin 4sin +x x x f 4)(+=a b b a +)1)(1(++b a 232)1()1()1)(1(=+++≤++b a b a ⎩⎨⎧=++=+1)1()1(b a b a时取得“=”。

∴ 的最大值是。

【小结】(1)本题是求“积”的最大值，常规是向“和”或“平方和”转化，并根据“和”或“平方和”是否是定值，做出选择。

(2)要利用=1，就必须去掉根号，因此要向“平方和”转化，那么应用变式①也就顺理成章了。

高中数学知识点精讲精析命题及其关系

1.1 命题及其关系1.命题的构成――条件和结论定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．2．命题的分类――真命题、假命题的定义．真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．强调：(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。

3．定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．小结：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

4．四种命题的形式原命题：若P，则q．则：逆命题：若q，则P．否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢P．5．①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：6.1不等式

张喜林制[选取日期]2015年高考一轮复习热点难点精讲精析：6.1不等式一、不等关系与不等式（一）应用不等式表示不等关系 ※相关链接※1、将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系。

常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表：2、注意区分“不等关系”和“不等式”的异同，不等关系强调的是关系，可用表示，不等式则是表现不等关系的式子，对于实际问题中的不等关系可以从“不超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把握，并考虑到实际意义。

※例题解析※〖例〗某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车。

根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式。

思路解析：把握关键点，不超过1000万元，且A 、B 两种车型分别至少5辆、6辆，则不等关系不难表示，要注意取值范围。

解答：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则 ,.,,+≤+≤⎧⎧⎪⎪≥≥⎪⎪⎨⎨≥≥⎪⎪⎪⎪∈∈⎩⎩40x 90y 10004x 9y 100x 5x 5y 6y 6x y Nx y N（二）比较大小 ※相关链接※比较实数或代数式的大小的方法主要是作差法和作商法。

1、“作差法”的一般步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断符号；（4）得出结论。

用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法。

常用的结论有，，等。

当两个式子都为正时，有时也可以先平方再作差。

2、作商法的一般步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商与1的大小；（4）得出结论。

注：当商与1的大小确定后必须对商式的分母的正负做出判断方可得出结论，如：，；3、特例法若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路.※例题解析※〖例〗（1）（2012·南平模拟）若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是( )()()()l ++-22a bb A a 1b 1B 1a11C g a b 0D 33（）＞（）＜（）＞（）＜(2)已知a 1,a 2∈(0,1)，记M=a 1a 2,N=a 1+a 2-1，则M 与N 的大小关系是( )（A ）M ＜N （B ）M ＞N （）M=N （D ）不确定（3）已知a ＞b ＞0，比较a a b b 与a b b a 的大小.【方法诠释】(1)运用特殊值验证即可.（2）可用作差法求解.(3)利用作商法求解判断. 解析：(1)选D.令,=-1a 2b=-1,则A 、B 、均不成立，故选D. (2)选B.∵M-N=a 1a 2-a 1-a 2+1=a 1(a 2-1)-(a 2-1) =(a 1-1)(a 2-1) 又a 1,a 2∈(0,1)，故(a 1-1)(a 2-1)＞0,故M ＞N.(3)∵()---==a b a b a bb a a b a b a a a b b b，又a ＞b ＞0,故,a1b＞a-b ＞0,∴(),-a ba 1b＞即,a b b a a b 1a b ＞又a b b a ＞0,∴a a b b ＞a b b a ,∴a a b b 与a b b a 的大小关系为：a a b b ＞a b b a .（三）不等式性质的应用〖例〗（1）（2011·浙江高考）若a 、b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“11a b b a＜或＞”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ()充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（2）已知函数f(x)=ax 2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4，求 f(-2)的取值范围.【方法诠释】(1)利用不等式的基本性质进行判断.(2)利用待定系数法寻找f(-2)与f(-1)，f(1)之间的关系，即用f(-1)，f(1)整体表示f(-2)，再利用不等式的性质求f(-2)的取值范围.解析：(1)选A.0＜ab ＜1可分为两种情况:当a ＞0,b ＞0时，由0＜ab ＜1两边同除以b 可得;1a b＜当a ＜0,b ＜0时，两边同除以a 可得.1b a ＞∴“0＜ab ＜1”是“11a b b a＜或＞”的充分条件，反之，当11a b b a ＜或＞时，可能有ab ＜0,∴“0＜ab ＜1”是“11a b b a＜或＞”的不必要条件，故应为充分不必要条件.(2)方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m 、n 为待定系数)，则4a-2b=m(a-b)+n(a+b). 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. 于是得+==⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩m n 4m 3n m 2n 1，解得，∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 即5≤f(-2)≤10. 方法二:()()()()()(),,..⎧=-+⎪-=-⎧⎪⎪⎨⎨=+⎪⎪⎩=--⎪⎩1a f 1f 1f 1a b 21f 1a b b f 1f 12［］即［］ ∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 即5≤f(-2)≤10.（四）不等式的证明〖例〗已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证 (a +a 1)(b +b 1)≥425。

高三数学第一轮复习 04：基本不等式

高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。

2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。

即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。

[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。

4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。

人教版高中数学精讲精练必修一2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(精讲)(解析版)

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）一.一元二次不等式的概念一元二次不等式定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0，其中a ，b ，c 均为常数，a ≠0解集ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为正数的自变量x 的取值集合ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为负数的自变量x 的取值集合ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于或等于0的自变量x 的取值集合ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值小于或等于0的自变量x 的取值集合注意事项：（1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数.(2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0.二.“三个二次”的关系一元二次不等式，a 为正值来定形；对应方程根求好，心中想想抛物线；大于异根取两边，小于异根夹中间；大于等根根去掉，小于等根空集成；大于无根取全体，小于无根不可能！注意事项：“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)．四.一元二次不等式恒成立问题1.当未说明不等式为一元二次不等式时，有①不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立＝b ＝0，>0>0，<0；②不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立＝b ＝0，<0<0，<0.2.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0在x ∈{x |m ≤x ≤n }时恒成立，等价于当m ≤x ≤n 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x >0，<0.3.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.一．解不含参数的一元二次不等式的方法1.若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.2.若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解.二．解含参数的一元二次不等式的方法1.讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式；2.判断方程的个数：判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；3.写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式注意事项：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．考点一解不含参数的一元二次不等式【例1】（2023·湖南）解下列不等式：(1)2362x x -+≤(2)29610x x -+>(3)2610x x <-(4)21212x x -<+-≤【答案】(1)⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭(2)11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(3)∅(4)[3,2)(0,1]-- 【解析】（1）2362x x -+≤，即2223620203x x x x -+≥⇔-+≥，配方可得21(1)3x -≥，解得33,,33x ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭（2）29610x x -+>，即2(31)0x ->，解得11,,33x ⎛⎫⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2610x x <-，即26100x x -+<，而220610(3)11x x x >-+=-+≥，从而不等式无解，即解集为∅；（4）22121220x x x x -<+-≤⇔+>且2230x x +-≤同时成立.由220x x +>解得()(),20,x ∈-∞-⋃+∞，由2230x x +-≤，即(1)(3)0x x -+≤，解得[3,1]x ∈-.于是[3,2)(0,1]x ∈--【一隅三反】（2023·内蒙古赤峰）解下列不等式：(1)22530x x +-<；(2)2362x x -+≤；(3)5132x x +≤-；(4)()()()12253x x x x --<-+(5)2230x x +->(6)24410x x -+-≥(7)2440x x -+>；(8)23520x x +-->；(9)22730x x ++>；(10)221x x <-.【答案】(1)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2),11⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭(3)[)13,3-(4)()(),11,-∞+∞ (5)()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(6)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(7)()(),22,-∞+∞ (8)2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭(9)()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭(10)∅【解析】（1）22530x x +-< ，()()2130x x ∴-+<，132x ∴-<<，即不等式的解集为13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2362x x -+≤ ，23620x x -∴+≥，解得13x ≤-或13x ≥+；即不等式的解集为33,1133⎛⎡⎫-∞++∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；（3）5132x x +≤- ，()153230x x x ⎧+≤-⎪∴⎨⎪->⎩或()153230x x x ⎧+≥-⎪⎨⎪-<⎩解得133x -≤<，即不等式的解集为[)13,3-；（4）()()()12253x x x x --<-+ ，整理得2210x x -+>，解得1x ≠，即不等式的解集为()(),11,-∞+∞ .（5）由2230x x +->可得()()2310x x +->，所以1x >或32x <-，即解集为()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（6）由24410x x -+-≥可得()2210x -≤，所以12x =，即解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（7）2440x x -+>可化为()220x ->，解得2x ≠，所以不等式的解集为()(),22,-∞+∞ .（8）23520x x +-->可化为23520x x +<-，即()()3210x x --<，解得213x <<，所以不等式的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭.（9）22730x x ++>可化为()()2130x x ++>，解得3x <-或12x >-，所以不等式的解集为()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭.（10）221x x <-可化为2210x x -+<，因为不等式对应的方程的判别式()214270∆=--⨯=-<，所以不等式的解集为∅．考点二解含参数的一元二次不等式【例2-1】（2023·河北）解下列关于x 的不等式()()20x x a --≤【答案】答案见解析【解析】由()()20x x a --=，可得2x =或x a =，则：当2a <时，原不等式解集为{|2}x a x ≤≤；当2a =时，原不等式解集为{2}；当2a >时，原不等式解集为{|2}x x a ≤≤；【例2-2】（2023·安徽）解关于x 的不等式2(1)10(R)ax a x a -++<∈.【答案】答案见解析【解析】原不等式变为(1)(1)0ax x --<，①当0a >时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以当1a >时，解得11x a <<；当1a =时，解集为∅；当01a <<时，解得11x a<<②当0a =时，原不等式等价于10x -+<，即1x >.③当0a <时，11a <，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x >或1x a <.综上，当01a <<时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎩⎭∣，当1a =时，不等式的解集为∅，当1a >时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣，当0a =时，不等式的解集为{1}x x >∣，当a<0时，不等式的解集为{1xx a<∣或1}x >.【例2-3】（2023·广东深圳）解关于x 的不等式2210x mx m -++>.【答案】答案见解析【解析】不等式对应方程2210x mx m -++=的判别式22(24141()())m m m m ∆--=-=+-，（1）当0∆>，即m >m <由于方程2210x mx m -++=的根是x m =，所以不等式的解集是{|x x m <或x m >；（2）当Δ0=，即m ={|R x x ∈且}x m ≠；（3）当Δ0<m <R ，故12m >或12m <时，不等式的解集是{|x x m <x m >；12m ±=时，不等式的解集为{|R x x ∈且}x m ≠；m <<时，不等式的解集为R .【例2-4】（2023·湖南长沙）若关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．112a <≤B ．12a <<C ．12a ≤<D ．11a -<<【答案】C【解析】不等式2242ax x ax -<-化为()22420ax a x -++<，即()()2120x ax --<，当0a =时，不等式化为()()2120x --<，得12x >，有无数个整数解，不符合题意；当0a >时，由关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解，可知122a<，不等式()()2120x ax --<的解为122x a <<，由题意，212a<≤，解得12a ≤<；当a<0时，不等式()()2120x ax --<的解为12x >或2x a<，有无数个整数解，不符合题意．综上，实数a 的取值范围是12a ≤<.故选：C 【一隅三反】1．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中恰有2个整数，则实数a 的取值范围（）A ．(1,0][2,3)-⋃B ．[2,1)(3,4]--C ．()(]2,13,4--⋃D ．[1,0)(2,3]- 【答案】B【解析】不等式2(1)0x a x a -++<化为(1)()0x x a --<，当1a =时，不等式无解，当1a <时，不等式解为1<<a x ，这里有且只有2个整数，则21a -≤<-，当1a >时，不等式解为1x a <<，这里有且只有2个整数，则34a <≤，综上a 的取值范围是[2,1)(3,4]-- ．故选：B .2．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->【答案】答案见解析【解析】原不等式可化为[(1)][2(1)]0x a x a -+-->.当12(1)a a +>-，即3a <时，1x a >+或2(1)x a <-；当12(1)a a +=-，即3a =时，4x ≠；当12(1)a a +<-，即3a >时，2(1)x a >-或1x a <+.综上，当3a <时，解集为{1x x a >+∣或2(1)}x a <-；当3a =时，解集为{4}xx ≠∣；当3a >时，解集为{2(1)xx a >-∣或1}x a <+.3．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于x 的不等式()22210ax a x -++>．【答案】答案见解析【解析】当a<0时，原不等式为()2221(21)(1)0ax a x x ax -++-=--+<，解集为11{|}2x x a <<；当0a =时，原不等式为210x -+>，解集为1{|}2x x <；当0a >时，原不等式为()2221(21)(1)0ax a x x ax -++=-->，若112a >，即02a <<时，解集为1{|2x x <或1}x a>；若112a =，即2a =时，解集为1{|}2x x ≠；若112a <，即2a >时，解集为1{|x x a<或1}2x >；综上，a<0解集为11{|}2x x a <<；0a =解集为1{|}2x x <；02a <<解集为1{|2x x <或1}x a>；2a =解集为1{|}2x x ≠；2a >解集为1{|x x a<或1}2x >.4．（2023·上海）解关于x 的不等式210x ax -+≤.【答案】答案见解析【解析】由题意知24a ∆=-，①当240a ->，即2a >或2a <-时，方程210x ax -+=的两根为2a x =，所以解集为x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭；②若240a -=，即2a =±时，当2a =时，原不等式可化为2210x x -+≤，即()210x -≤，所以1x =，当2a =-时，原不等式可化为2210x x ++≤，即()210x +≤，所以=1x -；③当240a -<，即22a -<<时，原不等式的解集为∅；综上，当2a >或2a <-时，原不等式的解集为2a x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭；当2a =时，原不等式的解集为{1}；当2a =-时，原不等式的解集为{}1-；当22a -<<时，原不等式的解集为∅.考点三三个“二次”之间的关系【例3-1】（2023春·河南）已知,,a b c ∈R ，且0a ≠，关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(3,2)-，则关于x 的不等式20cx ax b ++>的解集为（）A ．11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】因为不等式20ax bx c ++>，0a ≠的解集为(3,2)-，所以a<0且321326bac a⎧-=-+=-⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩即6b a c a =⎧⎨=-⎩，不等式20cx ax b ++>等价于260ax ax a -++>，即2610x x -->，()()21310x x -+>，解得13x <-或12x >，所以不等式20cx ax b ++>的解集为：11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C ．【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）若一元二次不等式20ax bx c ++>的解集是{}|12x x -<<，则一元二次不等式20cx bx a ++>的解集是（）A ．1|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或B ．1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．1|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或D ．1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由一元二次不等式20ax bx c ++>的解集是{}|12x x -<<可得1,2-是20ax bx c ++=的两个根，且0,a <所以2,1b c a a -==-，所以20cx bx a ++>可化为210c bx x a a++<，即2210x x --+<，解得1x <-或12x >.故选：C 2．（2023·湖南）若不等式20ax x c -->的解集为{}32x x -<<，则函数2y ax x c =+-的图象与x 轴的交点为（）A ．()3,0和()2,0-B ．()2,0-C ．()3,0D ．2-和3【答案】A【解析】若不等式20ax x c -->的解集为{}32x x -<<，则方程20ax x c --=的两个根为123,2x x =-=且0a <，13232a c a ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得16a c =-⎧⎨=-⎩，则函数226y ax x c x x =+-=-++，令260y x x =-++=，解得2x =-或3x =，故函数2y ax x c =+-的图象与x 轴的交点为()2,0-和()3,0.故选：A.3．（2022秋·天津）已知不等式897x +<和不等式22ax bx +>的解集相同，则实数a b 、的值分别为（）A ．810--、B ．49--、C ．19-、D ．12-、【答案】B【解析】8977897x x +<⇒-<+<，解得124x -<<-，因为，不等式897x +<和不等式22ax bx +>的解集相同，故220ax bx +-=的两根为-2或14-，且a<0，由韦达定理得：()1241224b a a ⎧⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：49a b =-⎧⎨=-⎩，故选：B.考点四一元二次不等式恒成立【例4-1】（2023贵州省安顺市）若命题“0x ∃∈R ，20020x x a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】命题“0x ∃∈R ，20020x x a --<”的否定为：“x ∀∈R ，220x x a --≥”，该命题为真命题.所以，应有()()2Δ241440a a =--⨯⨯-=+≤，所以1a ≤-.故选：A.【例4-2】（2023·云南红河）不等式210ax ax a -++>对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．[)0,∞+C ．()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[4,0,)3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】①当0a =时，10>成立，②当0a ≠时，只需()2Δ410a a a a >⎧⎨=-+<⎩，解得0a >，综上可得0a ≥，即实数a 的取值范围为[)0,∞+.故选：B ．【例4-3】（2023·河南）若不等式2(1)3a x x +≤+对于[0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[0,3]B ．[0,2]C ．(,2]-∞D ．(,3]-∞【答案】C 【解析】原不等式可化为231x a x +≤+，设()231x f x x +=+，则()()212124f x x x x +-=-++412221x x =++-≥=+，当且仅当411x x +=+，且0x ≥，即1x =时，函数()f x 有最小值为2.因为()a f x ≤恒成立，所以2a ≤.故选：C.【一隅三反】1．（2023·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）若命题“2(1,1),20x x x a ∀∈--->”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤-B ．1a <-C ．3a ≤D ．3a <【答案】A【解析】由命题“2(1,1),20x x x a ∀∈--->”为真命题，即不等式22a x x <-在(1,1-上恒成立，设()22,(1,1)f x x x x =-∈-，根据二次函数的性质，可得()min (1)1f x f <=-，所以1a ≤-.故选：A.2．（2023·西藏）命题()0:0,p x ∃∈+∞，使得20010x x λ-+<成立.若p 是假命题，则实数λ的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[]22-,D ．(][),22,-∞-+∞U 【答案】A【解析】因为命题()0:0,p x ∃∈+∞，使得20010x x λ-+<成立，所以命题p 的否定为：()0,x ∀∈+∞，210x x λ-+≥成立，而p 是假命题，故命题p 的否定为真命题．所以1x x λ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当11x x x =⇒=时，等号成立，所以2λ≤，即(],2λ∈-∞.故选：A.3．（2022秋·高一校考单元测试）任意[]1,1x ∈-，使得不等式212x x m -+≥恒成立.则实数m 取值范围是（）A ．14m ≥B ．14m ≤C ．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．2m ≤【答案】B【解析】因为对任意[]1,1x ∈-，不等式212x x m -+≥恒成立.所以2min 12x x m ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，其中[]1,1x ∈-，设212y x x =-+，[]1,1x ∈-，因为22111224y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当12x =时，函数212y x x =-+，[]1,1x ∈-取最小值，最小值为14，所以14m ≤，故选：B.4．（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）若[]04x ∃∈,，使得不等式220x x a -+>成立，则实数a 的取值范围（）A ．1a >-B ．1a >C ．8a >D ．8a >-【答案】D 【解析】因为[]04x ∃∈,，使得不等式220x x a -+>成立，所以[]04x ∃∈,，使得不等式2+2a x x >-成立，令2()2f x x x =-+，[]0,4x ∈，因为对称轴为1x =，[]0,4x ∈，所以min ()(4)8f x f ==-，所以8a >-，所以实数a 的取值范围为()8,-+∞.故选：D.考点五一元二次不等式的实际应用【例5】（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车的刹车距离s （单位：m ）与车速x （单位：km/h ）之间分别有如下关系：20.010.1s x x =-甲，20.0050.05s x x =-乙，问：甲、乙两车有无超速现象？【答案】甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．【解析】由题意得，对于甲车，20.010.112x x -<，即21012000x x --<，而0x >，解得040x <<，甲车未超过规定限速，同理对于乙车，20.0050.0510x x ->，21020000x x -->，而0x >，解得50x >，乙车超过规定限速．答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．【一隅三反】1．（2023·陕西）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（）A ．20≤x ≤30B ．20≤x ≤45C ．15≤x ≤30D ．15≤x ≤45【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为y 元，则y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500(0＜x ＜80)．由题意，知－2x 2＋130x －500≥1300，即x 2－65x ＋900≤0，解得：20≤x ≤45，所以日销量x 的取值范围是20≤x ≤45．故选：B ．2．（2023·浙江温州）某种汽车在水泥路面上的刹车距离s （单位：m ）和汽车刹车前的车速v （单位：km /h ）之间有如下关系：21120160s v v =+，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40m ，则这辆汽车刹车前的车速至少为（）（精确到1km /h ）A ．76km /hB ．77km /hC ．78km /hD ．80km /h【答案】B【解析】设这辆汽车刹车前的车速为km /h v ，根据题意，有2114020160s v v =+>，移项整理，得28401600v v -⨯>+，0v >解得476.09v >-+≈．所以这辆汽车刹车前的速度至少为77km /h ．故选：B3．（2022秋·天津滨海新·高一校考期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x （单位：元）的取值范围是（）A ．{1520}xx <<∣B ．{1218}x x ≤<∣C ．{1020}xx ≤<∣D ．{}|1016x x ≤<【答案】A 【解析】结合题意易知，[302(15)]400x x --⋅>,即2302000x x -+<，解得1020x <<，因为15x >，所以1520x <<，这批台灯的销隹单价x 的取值范围是{1520}xx <<∣，故选：A.考点六根的分布【例6】（2023·湖北）关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围．(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内；(4)一个根小于2，一个根大于4；(5)两个根都在(0,2)内．【答案】(1)01m <≤(2)1m <(3)405m -<<(4)45<-m (5)213m <≤【解析】（1）令2()(3)f x x m x m =+-+，设()0f x =的两个根为12,x x .由题得()12122300Δ340x x m x x m m m ⎧+=->⎪⎪=>⎨⎪=--≥⎪⎩，解得01m <≤.（2）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根大于1，一个根小于1，则(1)220f m =-<，解得1m <（3）若方程2(3)0x m x m +-+=一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内，则(2)100(0)0(4)540f m f m f m -=->⎧⎪=<⎨⎪=+>⎩，解得405m -<<（4）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根小于2，一个根大于4，则(2)320(4)540f m f m =-<⎧⎨=+<⎩，解得45<-m （5）若方程2(3)0x m x m +-+=的两个根都在(0,2)内，则()()()22320003022Δ340f m f m m m m ⎧=->⎪=>⎪⎪-⎨<-<⎪⎪=--≥⎪⎩，解得213m <≤【一隅三反】1．（2023·江苏南京）（多选）设m 为实数，已知关于x 的方程()2310mx m x +-+=，则下列说法正确的是（）A ．当3m =时，方程的两个实数根之和为0B ．方程无实数根的一个必要条件是1m >C ．方程有两个不相等的正根的充要条件是01m <<D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m <【答案】BCD【解析】对于A 选项，3m =时2310x +=无实根，A 错误；对于B 选项，当0m =时方程有实根，当0m ≠时，方程无实根则2(3)40m m --<，解得19m <<，一个必要条件是1m >，B 正确；对于C 选项，方程有两个不等正根，则0m ≠，0∆>，30m m ->，10m >，解得01m <<；对于D 选项，方程有一个正根和一个负根，则0m ≠，10m<，解得0m <，D 正确；故选：BCD.2．（2022秋·湖北武汉·高一校考期中）已知一元二次方程2210ax x ++=．(1)写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”的充要条件；(2)写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明．【答案】(1)a<0(2)方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件可以是1a <，证明见解析【解析】（1）若方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根，则Δ44010a a =->⎧⎪⎨<⎪⎩，即10a a <⎧⎨<⎩，<0a ∴．∴方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充要条件是a<0．（2）方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件是1a <，证明：若方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根，则由（1）知其充要条件为0<a ，从而1a <，故必要性成立．若01a <<，则方程2210ax x ++=中，440a ∆=->，1210x x a⋅=>，∴方程2210ax x ++=有两个同号根，∴充分性不成立，故1a <是方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件．3．（2022秋·江西·高一统考阶段练习）若关于x 的不等式240x mx m -+<的解集为()12,x x ．(1)当=1m 时，求121144x x +--的值；(2)若10x >，20x >，求1211x x +的值；(3)在（2）的条件下，求124x x +的最小值．【答案】(1)4-；(2)4；(3)94．【解析】（1）由题意，关于x 的方程2410x x -+=有两个根1x ，2x ，所以1212Δ=12>0+=4=1x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，故()12121212811444441611616x x x x x x x x +--+===----++-+．（2）由题意，关于x 方程240x mx m -+=有两个正根，由韦达定理知21212Δ=1640+=4>0=>0m m x x m x x m -≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得14m ≥，所以1212121144x x m x x x x m ++===.（3）由（2），12114x x +=，且10x >，20x >，所以()211212121241111441444x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而21x x 、120x x >，所以211244x x x x +=≥，当且仅当122x x =，且12124x x x x +=，即134x =，238x =取等号，此时实数91324m =>符合条件，故12944x x +≥，且当932m =时，取得最小值94．。

精讲知识点

精讲知识点一、知识概述《折扣》①基本定义：折扣就是在原来售价的基础上降价销售。

打几折就意味着实际售价是原来售价的十分之几。

比如一件衣服原价100元，打八折的话，那现在的价格就是100元的十分之八，也就是80元。

②重要程度：在商业和生活购物场景中有广泛应用。

如果不懂折扣计算，在购物时就很容易被商家坑骗，也无法做到理性消费，是消费者必须掌握的基本数学知识。

③前置知识：要知道基本的四则运算（加法、减法、乘法、除法），因为计算折扣就会用到这些运算。

像前面提到衣服价格的计算，就用到了乘法。

④应用价值：在商场促销、网购的时候，可以帮我们快速算出商品的实际价格，还能比较不同折扣下哪个更划算。

比如在网上买东西有8折券或者满减券，不明白折扣就不知如何选择更省钱。

二、知识体系①知识图谱：在数学领域，折扣属于百分数相关知识的一部分。

与百分数的概念、乘除法运算都有关系。

就像百分数是折扣的数学根基，如果百分数都搞不明白，那折扣也就算不清楚。

②关联知识：与利润、成本、售价这些商业数学概念也相关联。

有时候商品成本加上预期利润后定出原价，再根据市场情况给个折扣来促销。

比如说一个成本80元的商品，商家想赚20元定了100元原价，年终促销打八折卖80元保本甩卖。

③重难点分析：重难点在于理解折扣和实际售价、原价的关系。

关键在于把折扣这个概念和分数、百分数换算理解透彻。

很多人看到一个复杂的促销方式就晕了，像满300减100又再打九折这种。

④考点分析：在考试中出现在数学应用题里比较常见。

考查方式可能是给原价和折扣率，让求实际售价；或者是已知实际售价和折扣，求原价。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：折扣就是商品按一定比例降价，表示降价多少的数。

折扣数值越小，说明降价越多，比如一折就是原价的十分之一，比八折降价幅度大得多。

②特征分析：折扣总是基于一个原有的价格设定的。

而且通常商家打折都有一定目的，比如清库存就可能打低折，新品为了吸引顾客，小折扣来吸引人气。

不等关系说课稿

不等关系说课稿引言概述：不等关系是数学中的一个重要概念，它描述了两个数之间的大小关系。

在数学的学习过程中，深入理解不等关系对于解决问题和推理判断都具有重要意义。

本文将从不等关系的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。

一、不等关系的定义1.1 不等关系的基本概念不等关系是指两个数之间的大小关系，可以分为大于、小于、大于等于、小于等于四种情况。

用符号表示时，大于用 ">"，小于用 "<"，大于等于用"≥"，小于等于用"≤"。

1.2 不等关系的传递性不等关系具有传递性，即如果a>b，b>c，则有a>c。

这个性质在解决问题时非常实用，可以简化推理过程。

1.3 不等关系的对称性不等关系不具有对称性，即a>b不一定意味着b<a。

这是因为不等关系是基于数的大小进行比较，而不是数的本身。

二、不等关系的性质2.1 不等关系的反身性不等关系具有反身性，即对于任意的数a，都有a≥a或者a≤a。

2.2 不等关系的传递闭包不等关系的传递闭包是指将不等关系中的传递性扩展到所有可能的数对上。

通过传递闭包，我们可以得到更多的不等关系。

2.3 不等关系的等价关系不等关系可以看做是等价关系的一种特殊情况。

等价关系具有自反性、对称性和传递性，而不等关系只具有自反性和传递性。

三、不等关系的应用3.1 不等关系在数学推理中的应用不等关系在数学推理中起到了重要的作用，可以匡助我们解决各种问题。

例如，在证明不等式时，我们可以利用不等关系的传递性和性质来进行推导。

3.2 不等关系在实际问题中的应用不等关系在实际问题中也有广泛的应用。

例如，在经济学中，不等关系可以描述不同商品的价格大小关系；在物理学中，不等关系可以描述物体的大小和分量关系等。

3.3 不等关系在计算机科学中的应用不等关系在计算机科学中也有重要的应用。

例如，在排序算法中，我们可以利用不等关系对元素进行比较和排序；在数据库查询中，不等关系可以用于筛选满足特定条件的数据。

高中数学五第三章《不等关系与不等式》(第2课时)【教案】

3。

1不等关系与不等式（2)一、教学目标：1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式(组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．3．情感、态度与价值观：通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．二、重难点：重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究—-发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线(二)过程与方法线（三）能力线。

“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程一、温故知新，1．同向不等式、异向不等式的概念:同向不等式:如:12+>+aa与32>；45<与7213-<+xx．异向不等式:如：332->+aa与6213+<+xx．2．数运算性质与大小顺序之间的关系:baba>⇔>-0;baba=⇔=-0；baba<⇔<-0．问题1.我们已学习过等式、不等式,同学们还记得等式的性质吗？回顾知识，提出问题，激发学生学习的兴趣。

学生;等式有这样的性质:等式两边都加上，或都减去，或都乘以,或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.个数,不等号的方向_________。

性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________。

（性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________。

师不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来。

（让三位同学板演）性质1：a ＜b a +c ＜b +c (或a -c ＜b -c ）；a ＞b a +c ＞b +c （或a —c＞b —c ）。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解46---不等式的性质

高考数学复习考点知识与题型专题讲解不等式知识结构图不等式的性质一元二次不等式不等式简单的线性规划基本不等式借助二次函数的图象三个二次的关系几上何截意距义的：倍是，直在线轴上截距的倍在轴可行域目标函数：构造一次函数 z = y −b ：构造斜率x−a：构造两点间的距离应用题证明：归结为一次型或点线距离型和定值，积最大；积定值，和最小应用时注意：一正二定三相等最值问题第一节不等式的性质考纲解读 1. 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2. 掌握不等式的性质及其应用，明确各个性质中结论成立的前提条件，理解绝对值不等式的性质.命题趋势探究1 / 10高考中单纯考查不等式性质的题目不多，但不等式知识几乎可以渗透到高考的每一个考点.不等式的性质是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它仍是高考的一个重点内容. 主要考查一下几点：①依据给定的条件，利用不等式的性质判断不等式或与证明不等式有关的结论是否成立；②利用不等式的性质与实数和函数的性质相结合，进行大小比较；③判断不等式中条件与结论之间的关系，是充分条件、必要条件还是充要条件；④求参数的取值范围；⑤证明不等式时往往使用不等式的推出特征，而解不等式时，则要求同解变形. 从命题的趋势来看，预测 2021 年本专题在高考中会有如下动向：（1）对不等式性质的考查一般不会直接命题，往往与其他知识相结合，如与指数函数、对数函数、数列等结合. （2）若直接命题，则通常比较容易，会出现在选择题或填空题中，若与其他知识相结合，则有可能在解答题中出现，作为求解或证明的一个步骤，为中档难度题.知识点精讲一、基本概念不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，他们在现实世界和日常生活中大量存在. 不等关系建立在表示数量的代数式之间，可以是常量、变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”等）连接的式子叫做不等式，其中“ ”或“ ”连接的不等式叫做严格不等式；用“ ”或“ ”连接的不等式叫做非严格的不等式. 不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立）和矛盾不等式（不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立）.2 / 10二、基本性质不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.1. 两个不等式的同向合成，一律为“ ”（充分不必要条件）（1）（传递性，注意找中间量）（2）（同向可加性）（3）（同正可乘性，注意条件为正）注：如，其逆命题不成立，如但是.2. 一个不等式的等价变形，一律为“ ”（充要条件），这是不等式解法的理论依据（1）.（2）（对称性）（3）（乘正保号性）（4）（5）（不等量加等量）（6）（乘方保号性，注意条件为正）（7）（开方保号性，注意条件为正）（8）（同号可倒性）；.最为重要的 3 条不等式性质为：①；②；③，在不等式问题中都有重要的3 / 10应用，但应注意他们的适用条件，可以用口诀“同向同正可乘；同号取倒需反向”来．．．．．．．．．．．．．记忆.题型 88 不等式的性质题型归纳及思路提示思路提示应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.例 7.1 对于实数，有以下命题：①若，则；②若，则；③若则；④若，则；⑤若，则. 其中真命题的个数是（）A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个分析：判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系.解析：①中值的正负或是否为零未知，因而判断不等关系缺乏依据，故该命题是假命题；②中，由可知，则，故该命题是真命题；③中，不等式两边同乘，可得，若同乘，可得，易知成立，故该命题为真命题；④中，由可知，故有，又因，由“同向同正可乘”性可知成立. 故该命题为真命题；⑤中，由已知，因为，故，又，所以，故该命题为4 / 10真命题. 综上所述，②③④⑤都是真命题，故选 C. 评注：准确记忆各性质成立的条件，是正确应用的前提. 在不等式的判断中，特殊值法是非常有效的方法，如变式 3.变式 1 设 A.，若 B.，则下列不等式中正确的是（）C.D.变式 2 设是非零实数，若，则下列不等式中成立的是（）A.B.C.D.变式 3 若，则下列结论中正确的是（）A. 和均不成立B.和均不成立C. 不等式和均不成立D. 不等式和均不成立变式 4 若 A.，且 B.，则下列代数式中值最大的是C.D.题型 89 比较数（式）的大小与比较法证明不等式5 / 10思路提示比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性. 比较法又分为作差比较法和作商比较法. 作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与 0 的大小；（4）下结论. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与 1 的大小；（4）下结论. 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于 0 或 1 比较大小. 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若，则；；；若，则；；；例 7.2 若且，试比较与的大小.解析：解法一：因为且，所以，所以， .解法二：，因为且，所以，又，所以.6 / 10变式 1 若，试比较与的大小变式 2 设且，试比较与的大小例 7.3 在锐角 A. C.中，若函数在上单调递减，则下列命题中正确的是（） B. D.解析：因为在锐角中有，由在上为单调递增函数，所以上单调递减，所以，且，故选 D.，又函数在变式 1 已知函数是上的偶函数，且在区间上是增函数，令，则（）A.B.C.D.变式 2 已知函数（）A. 一定大于 0B. 一定小于 0C. 等于 0，那么的值 D. 确定题型 90 已知不等式的关系，求目标式的取值范围思路提示7 / 10在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.例 7.4 已知，且，则的取值范围是.解析：解法一：令得，，解得.即.由得，所以.故值范围是 .解法二：本题还可以利用“线性规划”的方法求解.如图 7-1 所示，当直线过点时，取最大值，点的坐标为，所以；当直线过点时，取最小值，当的坐标为，所以，又本题不取边界，因此的取值范围是 .的取评注：不能求出独立的范围内，简单利用不等式性质求解，可结合后面线性规划理解并求解.8 / 10变式 1 已知且，变式 2 设为实数，满足，求的范围.，则的最大值是.1. 如果 A.满足最有效训练题 26（限时 45 分钟），且 B.，那么下列选项中不一定成立的是（）C.D.2. 设，则下列不等式中成立的是（）A.B.C.D.3. 已知 A.，并且，那么一定成立的是（）B.C.D.4. 若为实数，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5. 若，则的值是（）9 / 10A. 大于 0B. 等于 0C. 小于 0D. 符号不能确定6. 已知 A.，下列四个条件中，使得B.C.成立的必要而不充分条件是（） D.7. 已知四个条件：能推出成立的有个.8. 若，则的取值范围是.9. 已知下列三个不等式：① ；② ；③一个作为结论，则可能成个正确命题.，以其中两个作为条件，余下10. 已知且，求的取值范围.11. 设，且，求的取值范围.12. 若实数满足，试比较的大小.10 / 10。

等式性质与不等式性质 2022-2023学年高一必修一数学同步精讲系列(2019人教A版)(解析版)

2.1 等式性质与不等式性质知识点1：不等关系与不等式知识点①不等关系与不等式★☆☆不等关系及不等式【微点拨】用数学式子表达不等关系时，一定要在读懂题的要求下用准确的不等关系表达变量间的关系，特别要注意的是等号的包含与不包含.【经典剖析1】一般认为，民用住宅窗户面积a 与地板面积b 的比应不小于10%，即1110ab≤<，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m ，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示__________ 【答案】++a a mb b m<【分析】运用不等式的性质可得答案.【解析】若窗户面积与地板面积同时增加m ，采光效果变好了，用不等式表示为：++a a mbb m<，因为()()()()()+++0+++a b m a m b a b m a a m b b m b b m b b m ---==<，所以++a a mb b m<成立.故答案为：++a a mb b m<.【例题1】已知实数a＞b＞c，abc≠0，则下列结论一定正确的是（）A．B．ab＞bcC．D．ab+bc＞ac+b2【分析】利用举实例判断ABC，利用不等式的基本性质判断D．【解答】解：A，当a＝2，b＝﹣1，c＝﹣2时，则＜，∴A错误，B，当a＝2，b＝﹣1，c＝﹣2时，则ab＜bc，∴B错误，C，当a＝2，c＝﹣2时，则＞，∴C错误，D，∵a＞b＞c，abc≠0，∴ab+bc﹣（ac+b2）＝（a﹣b）（b﹣c）＞0，∴ab+bc＞ac+b2，∴D正确，故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，举实例法的应用，属于基础题．【例题2】铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（）A．a+b+c≤M B．a+b+c＞M C．a+b+c≥M D．a+b+c＜M【分析】根据题意列出不等式即可．【解答】解：∵长、宽、高之和不超过Mcm，长、宽、高分别为a、b、c，∴a+b+c≤M，故选：A．【点评】本题考查了不等关系与不等式，属于基础题．【例题3】已知0＜a＜1，b＜0，则下列大小关系正确的是（）A．ab＜1＜a2b B．1＜ab＜a2b C．ab＜a2b＜1D．a2b＜ab＜1【分析】根据不等式的性质及指数函数的单调性，判断各选项即可．【解答】解：∵0＜a＜1，b＜0，∴a2b＜1，∴AB错误；a＞a2，ab＜a2b＜1，∴C正确，D 错误．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．【例题4】已知a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（）A．2a＜2b B．ab＜b2C．a2＜b2D．【分析】利用不等式性质以及函数单调性，即可求解．【解答】解：对于A，y＝2x在R上单调递增，所以2a＜2b，故A正确．对于B，a＜b两边同乘一个负数b，故ab＞b2，故B错误．对于C，∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|，所以a2＞b2，故C错误．对于D，∵a＜b＜0，∴＞，故D错误．故选：A．【点评】本题主要考查不等式性质以及函数单调性，属于基础题．【例题5】已知ab＞0，且（a+b）（a3+b3）＝2，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【分析】利用作差法可判断AB选项；利用特殊值法可判断CD选项．【解答】解：因为（a+b）（a3+b3）﹣（a2+b2）2＝（a4+b4+ab3+a3b）﹣（a4+b4+2a2b2）＝ab3+a3b﹣2a2b2＝ab（a﹣b）2≥0，所以，（a2+b2）2≤2，因为a2+b2≥2ab＞0，则a2+b2≤，故A正确B错误；若a＝b＝，则（a+b）（a3+b3）＝2成立，但a+b＝2×＝，故C错误；若a＝b＝﹣，则（a+b）（a3+b3）＝2成立，则a+b不成立，故D错误．故选：A．【点评】本题考查不等式和不等关系结合作差法，属于基础题．【例题6】已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中，一定成立的是（）A．B．|a|＞|b|C．a2＞b2D．a3＞b3【分析】根据a，b，c∈R，且a＞b，取a＝1，b＝﹣1，即可排除错误选项．【解答】解：根据a，b∈R，且a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则，|a|＝|b|，a2＝b2，故排除ABC，故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．知识点2：实数大小比较知识点②实数的大小比较的依据★☆☆比较大小：两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b>0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b<0⇔a < b(a ，b ∈R )；一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b<1⇔a 0)．一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．【经典剖析1】已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M>NC ．M ＝ND ．不确定【解析】 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N>0.∴M>N.【答案】B【经典剖析2】设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A≤B B ．A≥BC ．A<BD ．A>B 【答案】B【解析】∵A≥0，B≥0，A 2－B 2＝a ＋2ab ＋b －(a ＋b )＝2ab ≥0，∴A≥B. 【经典剖析3】若0a b >>， 0c d <<，则一定有（） A.a b d c > B. a b c d < C. a b c d > D. abd c< 【答案】D【解析】因为0<<c d ,所以110,0c d c d ->-><<--又0>>a b ，所以0a bd c>>--,变形得<a bd c,选D. 【经典剖析4】若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________．【答案】a <b【解析】a b ＝18161618＝(1816)161162＝(98)16(12)16＝(982)16，∵982∈(0,1)，∴(982)16<1，∵1816>0,1618>0，∴1816<1618.即a<b. 【经典剖析5】已知a b c >>且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是（） A. 222a b c >> B. a b c b > C. ac bc > D. ab ac >【解析】已知a >b >c 且a +b +c =0，则a >0，c <0，对于A:令a =1，b =0，c =−1，不成立，对于B:令b =0，不成立，对于C:c <0，由a >b 得：ac <bc ，不成立，对于D:由b >c ，都乘以a ，得到ab >ac ，故选：D.【答案】D【例题1】已知0＜a ＜1，b ＜0，则下列大小关系正确的是（） A ．ab ＜b ＜a 2bB ．b ＜ab ＜a 2bC ．b ＜a 2b ＜abD ．a 2b ＜b ＜ab【分析】根据不等式性质，不等式两边同时乘负数，改变不等号，不等式两边同时乘正数，不改变不等号，可得答案．【解答】解：对于A ，因为0＜a ＜1，b ＜0，所以ab ＞b ，故错误；对于B ，因为0＜a ＜1，b＜0，所以ab＞b，又因为0＜a，所以a2b＞ab，则b＜ab＜a2b，故正确；易知C，D错误．故选：B．【点评】本题考查不等式比较大小，考查学生的运算能力，属于基础题．【例题2】设a＞0，b＞0，若a2+2a＝b2+3b，则（）A．a＜b B．a＞b C．2a＞3b D．3a＞4b【分析】根据条件可得出a2+3a＞b2+3b，可知f（x）＝x2+3x在（0，+∞）上单调递增，然后即可得出a，b的大小关系．【解答】解：因为a＞0，所以a2+3a＞a2+2a，所以a2+3a＞b2+3b，因为函数f（x）＝x2+3x，在（0，+∞）上单调递增且b＞0，所以a＞b．故选：B．【点评】本题考查了二次函数和一次函数的单调性，根据函数的单调性比较实数大小的方法，考查了计算能力，属于中档题．【例题3】已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】运用不等式的基本性质直接比较两数的大小．【解答】解：∵，，，∴由，且，故a＞b，由且，故a＞c，由且，故c ＞b，∴a＞c＞b，故选：B．【点评】本题考查了作差比较两数大小的基本方法，是基础题．【例题4】已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，则x，y的大小关系为（）A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．无法确定【分析】利用作差法直接化简判断即可．【解答】解：x﹣y＝a3﹣b﹣a2b+a＝a2（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+1），又a＜b，则a﹣b＜0，又a2+1＞0，则x﹣y＝（a﹣b）（a2+1）＜0，故x＜y．故选：B．【点评】本题主要考查利用作差法比较实数大小，考查运算求解能力，属于基础题．【例题5】（多选）若﹣1＜a＜b＜0，则（）A．a2+b2＞2ab B．C．D．【分析】由重要不等式判断A；举例法判断B；由正负关系判断C；作差法判断D．【解答】解：对于A，因为a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＞0（a≠b），所以a2+b2＞2ab，故正确；对于B，取a＝﹣，b＝﹣，满足﹣1＜a＜b＜0，则＝﹣2＞﹣3＝，故错误；对于C，因为﹣1＜a＜b＜0，所以a+b＜0，而2＞0，所以a+b＜2，故错误；对于D，因为a+﹣（b+）＝（a﹣b）+（﹣）＝（a﹣b）+＝（a﹣b）（1﹣）＝，因为﹣1＜a＜b＜0，所以a﹣b＜0，0＜ab＜1，所以＞0，即有为a+＞（b+），故正确．故选：AD．【点评】本题考查了重要不等式、不等式的性质及作差法比较两个数的大小，属于基础题．【例题6】（多选）如果a＜b＜0，c＜d＜0，那么下面一定成立的是（）A．a+d＜b+c B．ac＞bd C．ac2＞bc2D．【分析】由不等式的性质依次对四个选项判断即可．【解答】解：当a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣5，d＝﹣1时，a+d＞b+c，故选项A错误；∵a＜b ＜0，c＜d＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，﹣c＞﹣d＞0，∴ac＞bd，故选项B正确；∵a＜b，c2＞0，∴ac2＜bc2，故选项C错误；∵﹣a＞0，﹣c＞﹣d＞0，∴＞＞0，故选项D正确；故选：BD．【点评】本题考查了不等式性质的应用，属于基础题．【例题7】＞．（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】利用平方法求解即可．【解答】解：∵＝13+2，＝13+4＝13+2，∴＞，即＞．故答案为：＞．【点评】本题考查了利用平方法比较两式的大小，属于基础题．【例题8】若a＝（x+1）2，b＝x2+2x，则a、b的大小关系是a＞b．【分析】利用作差法即可比较a，b的大小．【解答】解：a﹣b＝（x+1）2﹣x2﹣2x＝1＞0，故a＞b．故答案为：a＞b．【点评】本题主要考查了利用比较法比较函数值大小，属于基础题．【例题9】已知M＝a2+4a+1，，则M＞N．（填“＞”或“＜”）【分析】直接利用作差法比较代数式的大小关系．【解答】解：已知M＝a2+4a+1，，则M﹣N＝＝＞0；故M＞N．故答案为：＞．【点评】本题考查的知识要点：代数式的大小比较，作差法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【例题10】比较大小：x 2﹣3x +9 ＞（x ﹣2）（x ﹣1）．（填≤；≥；＜；＞）【分析】直接利用作差法和函数的关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：设N ＝x 2﹣3x +9，M ＝（x ﹣2）（x ﹣1）＝x 2﹣3x +2，故N ﹣M ＝x 2﹣3x +9﹣x 2+3x ﹣2＝7．故N ＞M ；故答案为：＞．【点评】本题考查的知识要点：作差法，关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【例题11】已知P ＝a 2+2a ，Q ＝4a ﹣2，则P ＞ Q ．（填“＞”或“＜”）【分析】作差法化简P ﹣Q ＝a 2+2a ﹣4a +2＝（a ﹣1）2+1＞0，可得P ＞Q ．【解答】解：P ﹣Q ＝a 2+2a ﹣4a +2＝（a ﹣1）2+1＞0，故P ＞Q ，故答案为：＞．【点评】本题考查了作差法比较大小的应用，是基础题．知识点3：不等式的性质知识点③ 不等式的性质 ★★★ 不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a>b ，ab>0⇒1a <1b . ②a<0b>0,0<c<d ⇒a c >bd .④0<a<xb>0，m>0，则①b a b －m a －m (b －m>0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m>0)．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c⇔可乘性0a b c >⎫⎬>⎭⇒ac >bc 注意c 的符号0a b c >⎫⎬<⎭⇒ac <bc 同向可加性a b c d >⎫⎬>⎭⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性 00a b c d >>⎫⎬>>⎭⇒ac >bd⇒可乘方性 a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1) a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.【经典剖析1】对于实数a ，b ，c ，下列命题中的真命题是 A. 若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 B. a ＞b ＞0，则 C. a ＜b ＜0，则 D. a ＞b ，,则a ＞0，b ＜0【答案】D【解析】试题分析：选项A ，取c 等于0，由不等式可知若a ＞b ，则22ac bc =，故命题A 为假命题；选项B ，若b 0a ＞＞，则11a b <，故命题B 为假命题；命题C ，由0a b <<，则b a a b<，故命题C 为假命题；命题D ，由得，110a b ->即0b a ab->，而由a b >得0b a -<，故0ab <，即,a b 异号；又a b >，故a ＞0，b ＜0，命题D 为真命题．故选D ．考点：不等式的性质及命题的真假判断与应用.【经典剖析2】下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因.甲：因为-6<a<8，-4<b<2，所以-2<a-b<6.乙：因为2<b<3，所以13<1b<12，又因为-6<a<8，所以-2<ab<4.丙：因为2<a-b<4，所以-4<b-a<-2.又因为-2<a+b<2，所以0<a<3，-3<b<0，所以-3<a+b<3.【答案】甲乙丙做的都不对，理由见解析.【分析】根据不等式的性质逐一分析即可.【解析】甲同学做的不对.因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的.乙同学做的不对.因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道-6<a<8.不明确a值的正负.故不能将13<1b<12与-6<a<8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘.丙同学做的不对.同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形.丙同学将2<a-b<4与-2<a+b<2两边相加得0<a<3，又将-4<b-a<-2与-2<a+b<2两边相加得出-3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出-3<a+b<3，多次使用了这种转化，导致了a+b范围的扩大.【例题1】如果a+b+c＝0，且a＞b＞c．则下列说法中不可能成立的是（）A．b为正数，c为负数B．a为正数，b为负数C．a为正数，c为负数D．c为正数，a为负数【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的基本性质，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣3，满足a+b+c＝0，且a＞b＞c，故b为正数，c为负数可能成立，对于B，令a＝3，b＝﹣1，c＝﹣2，满足a+b+c＝0，且a＞b＞c，故a 为正数，b为负数可能成立，对于C，令a＝1，b＝0，c＝﹣1，满足a+b+c＝0，且a＞b＞c，故a为正数，c为负数可能成立，对于D，a+a+a＞a+b+c＝0，即3a＞0，解得a＞0，a+b+c ＞c+c+c＝3c，即c＜0，故D错误．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，以及特殊值法，属于基础题．【例题2】已知a为实数，则下列四个数中一定为非负实数的是（）A．a B．﹣a C．﹣|﹣a|D．|﹣a|【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解．【解答】解：对于A，当a＜0时，a不为非负实数，故A错误，对于B，当a＞0时，﹣a 不为非负实数，故B错误，对于C，当a＝3时，﹣|﹣a|不为非负实数，故C错误，对于D，|﹣a|≥0，满足题意，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．【例题3】已知a、b∈R，若a＜b，则（）A．a＜2b B．a3＜b3C．ab＜b2D．a﹣1＜b﹣1【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及函数的单调性，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝﹣2，b＝﹣1，满足a＜b，但a＝2b，故A错误，对于B，y＝f （x）＝x3在R上单调递增，∵a＜b，∴a3＜b3，故B正确，对于C，令a＝﹣2，b＝﹣1，满足a＜b，但ab＞b2，故C错误，对于D，令a＝，b＝，满足a＜b，但a﹣1＞b﹣1，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．【例题4】对任意实数a，b，c，d，命题：①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＞bc2，则a＞b；④若a3＞b3，ab＜0，则．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】取c＜0判断①，取c＝0判断②，利用不等式的基本性质判断③，判断a，b的正负判断④．【解答】解：对于①，若a＞b，c＜0，则ac＜bc，①错，对于②，若c＝0，则ac2＝bc2，②错，对于③，若ac2＞bc2，则c2＞0，由不等式的基本性质可得a＞b，③对，对于④，若a3＞b3，ab＜0，则a＞0＞b，则，④对，故选：C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．【例题5】（多选）已知△ABC的角A，B，C所对边长分别为a，b，c，A＞B，（a﹣b）（c﹣b）＜0，b+4c﹣bc＝0，则（）A．a＞c B．5＜a＜9C．b＞5D．c＞5【分析】在△ABC中结合边角关系及不等式的基本性质，进行判断即可．【解答】解：在△ABC中，∵A＞B，∴a＞b．∵（a﹣b）（c﹣b）＜0，∴c＜b＜a，故A正确．∵b+4c﹣bc＝0，∴，∴当b＝8时，c＝2，此时8＜a＜10，B错误．又，∴b＞5，c＜5，∴C正确，D错误（可用b＝8，c ＝2，判断D错误）．故选：AC．【点评】本题考查不等式的性质，考查学生的运算能力，属于基础题．【例题6】（多选）已知a＞b＞1，给出下列不等式正确的是（）A．B．C．a3+b3＞2a2b D．【分析】利用举实例法判断AC，利用不等式的基本性质判断BD．【解答】解：A，∵当a＝3，b＝2时，＝，＝，∴＞，∴A错误，B，∵a＞b＞1，∴a+﹣b﹣＝（a﹣b）+＝（a﹣b）（1﹣）＝（a﹣b）×＞0，∴a+＞b+，∴B正确，C，当a＝3，b＝2时，a3+b3＝35，2a2b＝36，∴a3+b3＜2a2b，∴C错误，D，∵a＞b＞1，∴＞＞0，∴a+＞b+，∴D正确，故选：BD．【点评】本题考查不等式的基本性质，举实例法的应用，属于基础题．【例题7】（多选）若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若ab＞0，则B．若a＞b，则ac＞bcC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则【分析】利用基本不等式求最值判断A，利用举实例法判断BD，利用不等式的性质判断C．【解答】解：对A：因为ab＞0，所以，故，当且仅当时，即a＝b时取等号，故A正确，对B：若a＝3，b＝2，c＝0时，满足a＞b，但ac＝bc＝0，故B错误，对C：若a＞|b|，当b＝0时，显然a2＞b2，当b≠0时，a＞|b|＞0，故a2＞b2，综上所述，定有a2＞b2，故C正确，对D：当a＝2，b＝﹣2时，满足a＞b，但＞，故D错误，故选：AC．【点评】本题考查不等式的性质，基本不等式求最值，属于中档题．【例题8】若a、b、c为实数，则下列命题正确的是．（填序号）①若a＞b，c＞d，则ac＞bd ②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2③若a＜b＜0，则④若a＜b＜0，则【分析】对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时才成立；对于②③由不等式性质可判断正误；对于④作差，通分可得到结果．【解答】解：对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，不等式才成立；对于②，∵a＜b＜0，∴a2＞ab，b2＜ab由不等式的传递性得到：a2＞ab＞b2，故②正确；③中在（﹣∞，0）上为减函数，因为a＜b＜0得f（a）＞f（b），故得到：，故③不正确，又，又a＜b＜0，∴，∴，故④不正确；故答案为：②．【点评】本题考查不等式的基本性质的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题．知识点4：利用不等式性质求范围的方法知识点④利用不等式的性质求范围★★★1.借助性质。

高中数学不等关系教案

高中数学不等关系教案
一、教学内容分析：
不等关系是数学中常见的一种关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等不等关系。

本课程将介绍不等关系的定义、性质和应用，帮助学生掌握不等关系的相关知识和解题技巧。

二、教学目标：
1. 了解不等关系的定义和表示方法。

2. 掌握不等关系的性质和性质。

3. 能够灵活运用不等关系解决实际问题。

三、教学重点与难点：
重点：不等关系的定义和性质。

难点：不等关系在解决实际问题中的应用。

四、教学过程：
1. 导入：通过一个生活中的案例引导学生了解不等关系的概念，并讨论大于、小于、大于等于、小于等于等关系的表示方法。

2. 讲解：介绍不等关系的定义和性质，包括传递性、反对称性和反对称性等。

3. 练习：让学生做一些简单的不等关系的练习题，加深对不等关系的理解。

4. 拓展：引导学生探讨不等关系在不同领域的应用，如经济学、生活中的消费选择等。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调不等关系的重要性和应用价值。

五、作业布置：
1. 完成课堂练习题。

2. 思考生活中的实际问题，尝试用不等关系来解决。

六、教学反思：
在教学中应该注重引导学生理解不等关系的概念和性质，同时培养他们灵活运用不等关系解决实际问题的能力。

同时，可以通过丰富多样的教学活动，提高学生的学习兴趣和课堂参与度。

高中数学知识点精讲精析集合的基本关系

1.2 集合的基本关系1．包含（1）一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，即若a ∈A ，则a ∈B ，就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A.记作 A B （或B A ）这时我们就说集合A 是集合B 的子集.任何一个集合是它本身的子集，即A A2．相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A 中的元素，这时我们就说集合A 与集合B 相等，记作A ＝B.即若AB ，且B A ，则A ＝B即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB B A B A 任何一个集合是它本身的子集3．真子集（1）对于两个集合A 与B ，如果A B 且A ≠B ，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ）（2）空集是任何集合的子集，即对任意集合A ，都有：φA ；空集是任何非空集合的真子集，即若集合A ≠φ，则有φ A.4.空集的概念不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集例1 试写出集合A={1，2，3，4，5}的所有子集.分析：以子集所含元素的个数分别为0，1，2，3，4，5进行分类解答：共有32个：φ，{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{3，4，5}，{2，4，5}，{2，3，5}，{2，3，4}，{1，4，5}，{1，3，5}，{1，3，4}，{1，2，5}，{1，2，4}，{1，2，3}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，3，4，5}，{2，3，4，5}，{1，2，3，4，5}.思考：若已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集有多少个？真子集有多少个？⊆⊇⊆⊆⊆⊆⊆例1已知A=｛x|x=8m+14n，m.n∈Z｝，B=｛x|x=2k，k∈Z｝，问：（1）数2与集合A的关系如何?（2）集合A与集合B的关系如何?解：（1）2=8×2+14×（－1），且2∈Z，－1∈Z，2=8×（－5）+14×3，且－5∈Z，3∈Z等．所以2∈A．（2）任取x0∈B，则x0=2k，k∈Z．∵2k=8×（－5k）+14×3k，且－5k∈Z，3k∈Z，∴2k ∈A，即B ⊆A．任取y0∈A，则y0=8m+14n，m.n∈Z，∴y0=8m+14n=2（4m+7n），且4m+7n∈Z.∴8m+14n ∈B，即A⊆B．由B ⊆A且A⊆B，∴A=B．例2 下列四个命题：①Φ＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B例3 若M＝{x｜x＞1}，N＝{x｜x≥a}，且N⊆M，则（）A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1答案：A。

高一数学两种不等式的解法知识精讲

高一数学两种不等式的解法【本讲主要内容】两种不等式的解法绝对值不等式、一元二次不等式的解法【知识掌握】【知识点精析】1.的解集是；2.的解集是{}x x a x a＞，或＜-解绝对值不等式时要注意不要丢掉这部分解集。

或型的绝对值不等式，若把看成一个整体一个字母，就可以归结为或型绝对值不等式的解法。

3. 一元二次不等式的解法：一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a>0),△＝b 2－4ac,（1）△>0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)的两个根为：x 1,x 2，设x 1<x 2一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：{x ∣x<x 1或x>x 2}一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：{x ∣x 1<x<x 2}（2）△＝0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)的两个根为：x 1＝x 2一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：{x ∣x ≠x 1} 一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：。

（3）△<0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)无实根，一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：实数集R 一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：【解题方法指导】例1. 解不等式（）分析：此题关键在于绝对值符号里有字母系数，解题过程中要注意分类讨论．解：原不等式可化为即当时，解集为x a x a --⎧⎨⎩⎫⎬⎭51＜＜当时，解集为x a x a --⎧⎨⎩⎫⎬⎭15＜＜评析：1. 遇到字母系数要合理进行讨论，尤其是字母系数为负时，利用不等式性质化简不等式时一定要改变不等号的方向。

2. 若遇的系数为负的含绝对值不等式，如，等，可利用绝对值的性质将其转化为系数为正的情况去解，如将上述两不等式变为，后再解，以减小错误的发生率。

例2. 解不等式x x ++-214＜点拨一这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论。

高中数学知识点精讲精析绝对值不等式的解法

4.2.1绝对值不等式的解法1．含有绝对值的不等式的性质(1) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|证明：∵ -|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|,∴ -(|a|+|b|)≤a+b≤(|a|+|b|),|a+b|≤|a|+|b|........①又 a=a+b-b, |-b|=|b|∴ 由①得|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|，即|a|-|b|≤|a+b|.......②由①②得 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|由以上定理很容易推得以下的结论：(2) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|(3) |a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|2 几个基本不等式的解集(1) |x| -a<X0)(2) |x|>a x>a或x<-a(a>0)(3) |x-m|0) -a<X-M m-a<X<M+A(4) |x-m|>a(a>0) x-m>a或x-m<-a x>m+a 或 x<M-A3．绝对值的定义：|a|=由定义可知：|ab|=|a||b|, .4．绝对值不等式的解法(1)解含有绝对值不等式的基本思路，绝对值符号的存在是解不等式的一大障碍。

因此如何去掉绝对值符号使其转化为等价的不含绝对值符号的不等式是解决这类问题的关键，常采取划分区间逐段讨论，从而去掉绝对值符号转化为一般不等式，或利用绝对值表达的几何意义转化为图像或曲线为解决。

(2)几种主要的类型① |f(x)|>|g(x)| f2(x)>g2(x)② |f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x)③ |f(x)| -g(x)<F(X)④ 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解。

⑤ 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可以用图像法来解决5．关于“绝对值”的四则运算规律(1) |ab|=|a|·|b|(2)(3) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(4) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|在一般情况下，两个数的和或差的绝对值与这两个数的绝对值的和差是不相等的，但在某些情况下，可以取等号。

高一数学复习知识点讲解教案5--- 等式性质与不等式性质

高一数学复习知识点讲解教案等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.课程目标1.掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3.通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、两个实数比较大小的方法作差法 {a −b >0⟺a >b a −b =0⟺a =b a −b <0⟺a <b作商法{ ab >1⟺a >bab =1⟺a =b a b <1⟺a <b2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三题型一不等式性质应用例1判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( )(3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( )(7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）× 解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ；（2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ；（3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2（4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb 【答案】（1）>（2） <（3） <（4） < 题型二比较大小例2(1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小(2).已知a >b >0,c >0,求c a>cb。

专题2.1不等式的性质及常见不等式解法（精讲）（解析版）

专题2.1不等式的性质及常见不等式解法（精讲）（解析版）专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法【考纲要求】1.不等关系：了解现实世界和⽇常⽣活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.⼀元⼆次不等式：(1)会从实际情境中抽象出⼀元⼆次不等式模型.(2)通过函数图像了解⼀元⼆次不等式与相应的⼆次函数、⼀元⼆次⽅程的联系.(3)会解⼀元⼆次不等式.3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应⽤.5．培养学⽣的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核⼼数学素养.【知识清单】1．实数的⼤⼩(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数⽐左边点对应的实数⼤.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a2．不等关系与不等式我们⽤数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表⽰它们之间的不等关系，含有这些符号的式⼦，叫做不等式.3．不等式的性质(1)性质1：如果a>b，那么b如果bb.即a>b?b(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性质6：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (7)性质7：如果a >b >0，那么a n >b n ，(n ∈N ，n ≥2)． (8)性质8：如果a >b >0，那么n a >nb ，(n ∈N ，n ≥2)． 4．⼀元⼆次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有⼀个未知数，并且知数的最⾼次数是2的不等式，称为⼀元⼆次不等式． (2)形式：①ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)；②ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)；③ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)；④ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)．(3)⼀元⼆次不等式的解集的概念：⼀般地，使某个⼀元⼆次不等式成⽴的x 的值叫做这个不等式的解，⼀元⼆次不等式的所有解组成的集合叫做这个⼀元⼆次不等式的解集. 5．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分⼦、分母都是关于x 的多项式的不等式称为__分式不等式__. f (x )g (x )>0?f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0?f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0??f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ?f (x )·g (x )__>__0或?f (x )＝0g (x )≠0.f (x )g (x )≤0f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0?f (x )·g (x )__<__0或?f (x )＝0g (x )≠0. 6．简单的⾼次不等式的解法⾼次不等式：不等式最⾼次项的次数⾼于2，这样的不等式称为⾼次不等式. 解法：穿根法①将f (x )最⾼次项系数化为正数；②将f (x )分解为若⼲个⼀次因式的积或⼆次不可分因式的积；③将每⼀个⼀次因式的根标在数轴上，⾃上⽽下，从右向左依次通过每⼀点画曲线(注意重根情况，偶次⽅根穿⽽不过，奇次⽅根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 7.不等式恒成⽴问题 1．⼀元⼆次不等式恒成⽴问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成⽴(或解集为R )时，满⾜ a >0Δ<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成⽴(或解集为R )时，满⾜a >0Δ≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成⽴(或解集为R )时，满⾜a <0Δ<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成⽴(或解集为R )时，满⾜?a <0Δ≤0.2．含参数的⼀元⼆次不等式恒成⽴．若能够分离参数成k f (x )形式．则可以转化为函数值域求解．设f (x )的最⼤值为M ，最⼩值为m .(1)k f (x )恒成⽴?k >M ，k ≥f (x )恒成⽴?k ≥M . 8．绝对值不等式的解法1．形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利⽤两边平⽅的形式转化为⼆次不等式求解． 2．形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a 与|x|(2)|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ?－c≤ax ＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ?ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 9．绝对值不等式的应⽤如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成⽴．【考点梳理】考点⼀：⽤不等式表⽰不等关系【典例1】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提⾼0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样⽤不等式表⽰销售的总收⼊仍不低于20万元？【答案】见解析【解析】提价后杂志的定价为x 元，则销售的总收⼊为(8－x －2.50.1×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收⼊不低于20万元”⽤不等式可以表⽰为：(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20.【规律总结】⽤不等式(组)表⽰实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题⽬，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“⾄少”“⾄多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件⽤不等式表⽰．【变式探究】某钢铁⼚要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照⽣产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．试写出满⾜上述所有不等关系的不等式．【答案】见解析【解析】分析：应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表⽰上述不等关系．详解：设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，依题意，可得不等式组：500x ＋600y ≤4 0003x ≥yx ≥0y ≥0，即5x ＋6y ≤403x ≥y x ≥0y ≥0考点⼆：⽐较数或式⼦的⼤⼩【典例2】(1)⽐较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的⼤⼩； (2)设a ∈R 且a ≠0，⽐较a 与1a 的⼤⼩．【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a.【领悟技法】 1.⽐较⼤⼩的常⽤⽅法 (1)作差法⼀般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采⽤配⽅、因式分解、通分、有理化等⽅法把差式变成积式或者完全平⽅式．当两个式⼦都为正数时，有时也可以先平⽅再作差． (2)作商法⼀般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的⼤⼩关系；④结论． (3)函数的单调性法将要⽐较的两个数作为⼀个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出⼤⼩关系．【变式探究】已知x ＜y ＜0，⽐较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的⼤⼩．【答案】见解析【解析】∵x ＜y ＜0，xy ＞0，x －y ＜0，∴(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝－2xy (x －y )＞0，∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )．考点三：不等式性质的应⽤【典例3】（2020·⿊龙江省佳⽊斯⼀中⾼⼀期中（理））对于任意实数a b c d ,,,，下列正确的结论为（）A ．若,0a b c >≠，则ac bc >；B ．若a b >，则22ac bc >；C ．若a b >，则11a b <； D ．若0a b <<，则b a a b<．【答案】D 【解析】A ：根据不等式的基本性质可知：只有当0c >时，才能由a b >推出ac bc >，故本选项结论不正确；B ：若0c时，由a b >推出22ac bc =，故本选项结论不正确；C ：若3,0a b ==时，显然满⾜a b >，但是1b没有意义，故本选项结论不正确； D ：22()()b a b a b a b a a b ab ab-+--==，因为0a b <<，所以0,0,0b a ab a b ->>+<，因此0b a b aa b a b-【典例4】若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 【答案】B【解析】⽅法⼀易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln44ln3＝log 8164＜1，所以a ＞b ； b c ＝5ln44ln5＝log 6251 024＞1，所以b ＞c .即c ＜b ＜a . ⽅法⼆对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x2，易知当x ＞e 时，函数f (x )单调递减．因为e ＜3＜4＜5，所以f (3)＞f (4)＞f (5)，即c ＜b ＜a .【典例5】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4”，则f (－2)的取值范围是．【答案】[5,10]【解析】⽅法⼀(待定系数法)设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得 m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得?m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．⼜因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. ⽅法⼆(解⽅程组法)由?f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．⼜因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)⾸先要注意不等式成⽴的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采⽤特值法进⾏排除，注意取值要遵循以下原则：⼀是满⾜题设条件；⼆是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进⾏证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举⼀反例． 2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应⽤．(2)应⽤不等式的性质进⾏推证时，应注意紧扣不等式的性质成⽴的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 3．求取值范围(1)建⽴待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利⽤不等式的性质进⾏运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使⽤这种转化，就有可能扩⼤其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应⽤最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以⼀个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．【变式探究】1.（2020·陕西省西安中学⾼⼆期中（⽂））已知0a b <<，则下列不等式成⽴的是（） A ．22a b ∴>（所以A 选项是错误的. 2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以B 选项是错误的.11a b -=110,.b a ab a b ->∴>所以C 选项是错误的. 1b a -=0, 1.b a b a a -<∴<所以D 选项是正确的. D 故选：.2. （2020·江西省崇义中学⾼⼀开学考试（⽂））下列结论正确的是（） A ．若ac bc >，则a b >B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D【答案】C 【解析】对于A 选项，若0c <，由ac bc >，可得a b <，A 选项错误；对于B 选项，取2a =-，1b =，则88a b >满⾜，但a b <，B 选项错误；对于C 选项，若a b >，0c <，由不等式的性质可得ac bc <，C 选项正确；对于D ，D 选项错误.故选：C. 3.已知12b的取值范围．【错解】∵123.【辨析】错解中直接将12b 的取值范围⽽致错．【正解】∵1515.⼜12b <4.【易错警⽰】错⽤不等式的性质致错. 考点四：⼀元⼆次不等式的解法【典例6】（2020·全国⾼考真题（⽂））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，⼜因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D. 【规律⽅法】1.解⼀元⼆次不等式的⼀般步骤(1)化：把不等式变形为⼆次项系数⼤于零的标准形式． (2)判：计算对应⽅程的判别式．(3)求：求出对应的⼀元⼆次⽅程的根，或根据判别式说明⽅程有没有实根． (4)写：利⽤“⼤于取两边，⼩于取中间”写出不等式的解集． 2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进⾏分类讨论．(1)若⼆次项系数为常数，⾸先确定⼆次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进⾏分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进⾏分类讨论．(2)若⼆次项系数为参数，则应先考虑⼆次项系数是否为零，确定不等式是不是⼆次不等式，然后再讨论⼆次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对⽅程的根进⾏讨论，⽐较⼤⼩，以便写出解集．【易错警⽰】忽视⼆次项系数的符号致误【变式探究】1．（2019·全国⾼考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?=（）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ?=-<<．故选C ．2. （2020·⿊龙江省⼤庆实验中学⾼三⼀模（⽂））已知集合1|03x A x x -?=≥??-??，集合{|15}B x N x =∈-≤≤，则A B =（）A ．{0,1,4,5}B ．{0,1,3,4,5}C ．{1,0,1,4,5}-D ．{1,3,4,5}【答案】A 【解析】因为集合{1|033x A x x x x -?=≥=??-??或}1x ≤，集合{|15}{0,1,2,3,4,5}B x N x =∈-≤≤=，所以A B ={0,1,4,5}.故选：A考点五：绝对值不等式的解法【典例7】（2020·江苏省⾼考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．【答案】2(2,)3- 【解析】1224x x x <-??---?++21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x <<所以解集为：2(2,)3-【典例8】（2020·周⼝市中英⽂学校⾼⼆⽉考（⽂））(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集；(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为51|33x x ?-<，求a 的值.【答案】(1) {x |x ≤－3或x ≥2} (2) a ＝－3 【解析】(1)当x <－2时,不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5,解得x ≤－3；当－2≤x <1时,不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5,即3≥5,⽆解；当x ≥1时,不等式等价于x －1＋x ＋2≥5,解得x ≥2. 综上,不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3,∴－10时,15x a a -<< , 153a -=-,且513a =⽆解；当a ＝0时,x ∈R ,与已知条件不符；当a <0时,51x a a <<-,553a =-,且113a -=, 解得a ＝－3. 【规律⽅法】形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利⽤绝对值号内式⼦对应⽅程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设ac(c>0)的⼏何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和⼤于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解．【变式探究】1.（2017天津，⽂2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（）（A ）充分⽽不必要条件（B ）必要⽽不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤?≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项. 2.（2014·⼴东⾼考真题（理））不等式的解集为 .【答案】(][),32,-∞-?+∞. 【解析】令()12f x x x =-++，则()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>，（1）当2x <-时，由()5f x ≥得215x --≥，解得3x ≤-，此时有3x ≤-；（2）当21x -≤≤时，()3f x =，此时不等式⽆解；（3）当1x >时，由()5f x ≥得215x +≥，解得2x ≥，此时有2x ≥；综上所述，不等式的解集为(][),32,-∞-?+∞. 考点六：绝对值不等式的应⽤如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成⽴．【典例9】（2020·陕西省西安中学⾼⼆期中（理））已知不等式53m x x ≤-+-对⼀切x ∈R 恒成⽴，则实数m 的取值范围为（） A ．2m ≤B ．2m ≥C ．8m ≤-D ．8m ≥-【答案】A【解析】()()-+-≥---=，∴根据题意可得2x x x x53532m≤.故选：A【典例10】（2018年理新课标I卷）已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成⽴，求的取值范围．【答案】(1).(2)．【解析】分析：(1)将代⼊函数解析式，求得，利⽤零点分段将解析式化为，然后利⽤分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中⼀个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.（2）当时成⽴等价于当时成⽴．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题⼀类是⽐较简单的不等式，往往可通过平⽅法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利⽤绝对值三⾓不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另⼀类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利⽤⼀般情况成⽴，则特殊情况也成⽴的思想，或利⽤⼀元⼆次⽅程的根的分布等⽅法来证明．2.含绝对值不等式的应⽤中的数学思想(1)利⽤“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利⽤函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种⽅法(1)转化法：转化为分段函数进⽽利⽤分段函数的性质求解.(2)利⽤绝对值三⾓不等式进⾏“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利⽤绝对值的⼏何意义. 【变式探究】1．（2020·宁夏回族⾃治区⾼三其他（理））已知函数()|21||2|f x x x =-+-． (1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成⽴，求实数a 的值范围．【答案】(1) 17,33??- ；(2) 15,44??-【解析】(1)由题，()133,211,2233,2x x f x x x x x ?-+≤??=+<-≥；当12x ≤时，334x -+<，解得1132x -<≤；当122x <<时，14x +<恒成⽴，解得122x <<；当2x ≥时，334x -<，解得723x ≤<.综上有3 137x -<<.故实数x 的取值范围为17,33??-(2)因为()133,211,2233,2x x f x x x x x ?-+≤??=+<-≥，当12x ≤时，()1322f x f ??≥= ；当122x <<时，()332f x <<；当2x ≥时，()()23f x f ≥=. 故()f x 的最⼩值为3 2.故3212a -<，即332122a -<-<，解得1544a -<<.故实数a 的值范围为15,44??-2.已知函数f(x)=|x?1|．（1）解不等式f(x)+f(x+4)≥8；（2）若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba)．【答案】(1) {x|x≤?5或x≥3} (2)见解析【解析】（1）f(x)+f(x+4)=|x?1|+|x+3|={?2x?2,x1,当x当?3≤x≤1时，f(x)≥8不成⽴；当x>1时，由2x+2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤?5或x≥3}.（2）f(ab)>|a|f(ba)，即|ab?1|>|a?b|．因为|a|<1，|b|<1，所以|ab?1|2?|a?b|2=(a2b2?2ab+1)?(a2?2ab+b2)=(a2?1)(b2?1)>0，所以|ab?1|>|a?b|，故所证不等式成⽴．。