山东师范大学附属中学2017届高三上学期第三次模拟考试数学(理)试题

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山东省高三第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

山东省师大附中2017届高三第三次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足2zi i =-，i 为虚数单位，则z =（） A ． 2i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i --2.已知集合1{|()1}2xA x =≤，2{|280}B x x x =--≤，则AB =（）A ．{|20}x x -≤≤B ．{|24}x x ≤≤C ．{|04}x x ≤≤D ．{|2}x x ≤-3.直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为（） A ．272 B ． 9 C ． 92 D ．2744.已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的最小正周期是π，若将其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()y f x =的图象（） A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于直线12x π=对称C. 关于点5(,0)12π对称 D ．关于直线512x π=对称 5.下列说法错误的是（）A ．对于命题2:,10p x R x x ∀∈++>，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈++≤ B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C.若命题p q ∧为假命题，则,p q 都是假命题D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”6.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是（）A ．,a bB ．,a c C. ,c b D ．,b d7.点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线段的中点的轨迹方程是（） A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C. 22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y ++-=8.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（）A ． 29B ． 31 C. 33 D ．369.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P是双曲线上在第一象限内的点，直线2,PO PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点,M N ，12||2||PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A 10.已知函数()f x 满足1()()f x f x=，且当1[,1]x π∈时，()ln f x x =，若当1[,]x ππ∈时，函数()()g x f x ax =-与x 轴有交点，则实数a 的取值范围是（）A ．ln [,0]ππ-B ．1[,]2ππ-- C. 1ln [,]πππ- D ．[ln ,0]ππ-第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知实数,x y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则3y x -的最小值为．12.若经过抛物线24y x =焦点的直线l 与圆22(4)4x y -+=相切，则直线l 的斜率为． 13.已知1sin()cos 63παα--=，则cos(2)3πα+= ． 14.函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则5[()]2f f = ．15.在ABC ∆中，点D 满足34BD BC =，当点E 在射线AD （不含点A ）上移动时，若AE AB AC λμ=+，则1λμ+的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．（1）求角C ；（2）若c =ABC ∆ABC ∆的周长． 17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥底面ABC ，14CC AB AC BC ====，D 为线段AC 的中点．（1）求证：直线1//AB 平面1BC D ；（2）求三棱锥1D C CB -的体积．18. 已知正项数列{}n a 满足11a =，且*1()21nn n a a n N a +=∈+．（1）证明数列1{}na 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n nb n a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若二面角M BQ C --大小为30，求线段QM 的长．20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F，且点(-在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB =-恒成立，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数2()2ln f x m x x =-，()2ln xg x e m x =-，()m R ∈，ln 20.693=．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在最大值M ，()g x 存在最小值N ，且M N ≥，求证：2e m >．试卷答案一、选择题1-5: DCCDC 6-10: AABBD二、填空题11. 13-12. 79 14. 12-15．3三、解答题16.（1）2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理得：2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=2cos sin()sin C A B C +=∵A B C π++=，,,(0,)a b c π∈，∴sin()sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C = ∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-221722a b ab =+-2()37a b ab +-=1sin 2S ab C ===，∴6ab = ∴2()187a b +-=，5a b +=∴ABC ∆周长为5a b c ++=17.（1）连接1B C 交1BC 于点M ，连接DM ，在1ACB ∆中，D 为AC 中点，M 为1BC 中点，所以1//DM AB ，又因为1AB ⊄平面1BC D ，DM ⊂平面1BC D所以1//AB 平面1BC D（2）因为1CC ⊥底面ABC ，所以1CC 为三棱锥1C DBC -的高，所以11113D C CB C BCD BCD V V S CC --∆==⨯112432=⨯⨯⨯=18.（1）∵121n n n a a a +=+，∴1112n n a a +=+，∴1112n na a +-=又111a =，∴数列1{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列 ∴121nn a =-，∴*1()21n a n N n =∈- （2）由（1）知，111(1)(1)()(21)(21)42121nn n n b n n n n =-=⨯-⨯+-+-+∴123n n T b b b b =++++111111111[()()()(1)()]41335572121n n n =-+++-+++-+-+ 11[1(1)]421n n =-+-+ 19.（1）∵//AD BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴//CD BQ又∵90ADC ∠=，∴90AQB ∠=，即QB AD ⊥. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =∴BQ ⊥平面PAD ，∵BQ ⊂平面PQB ， ∴平面PQB ⊥平面PAD .（2）∵PA PD =，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥ ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD = ∴PQ ⊥平面ABCD如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =又PQ，∴设(1PM PC λλ==-，[0,1]λ∈(,)()QM QP PM λλ=+=+-=-又QB =，设平面MBQ 的法向量为(,,)m x y z =)0x y z λ=-+=⎪⎩取(3,0,)1m λλ=- ∵二面角M BQ C --为30，∴33cos30||24||||m n m n λ==⇒=∴3(4QM =-，∴线段QM 20.（1）由题意，1c =∵点(1,2-在椭圆C 上，∴根据椭圆的定义可得：22a ==a ⇒=2221b ac =-= ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）假设x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB =-恒成立.①当直线l 的斜率为0时，(A B ，则7,0)(2,0)16m m --=-∴22516m =，∴54m =±②当直线l 的斜率不存在时，(1,),(1,22A B -，则7(1(1,2216m m ---=- 215(1)164m m -=⇒=或34由①②可得：54m =下面证明54m =时，716QA QB =-恒成立.当直线l 的斜率为0时，结论成立；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y 直线方程代入椭圆方程，整理可得：22(2)210t y ty ++-=∴12222t y y t +=+，12212y y t =+， ∴112212125511(,)(,)()()4444QA QB x y x y ty ty y y =--=--+2121211(1)()416t y y t y y =+-++22222172(2)1616t t t --+=+=-+ 综上可知，x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB =-恒成立. 21.（1）由题意知，0x >，2'22()m x f x x-=，0m ≤时，'()0f x <，()f x 在(0,)+∞递减，0m >时，令'()0f x >0x ⇒<<'()0f x <x ⇒>∴()f x 在递增，在)+∞递减.（2）证明：'2()x xe mg x x-=，0m ≤时，'()0g x >恒成立，()g x 在(0,)+∞递增，无最小值，由（1）知，此时()f x 无最大值，故0m >. 令()2x u x xe m =-，则'()0x x u x e xe =+>， ∵(0)20u m =-<，2(2)2(1)0m u m m e =->，故存在唯一0(0,2)x m ∈，使得0()0u x =，即002x x e m =，列表如下：由（1）得：ln M f m m m ==-，000()2ln x N g x e m x ==-，由题意M N ≥，即00ln 2ln x n m m e m x -≥-，将002x x e m =代入上式有：0000000000ln 2ln 2222x x x x x x e x e x e x e e x -≥- 化简得：200003ln (ln 21)10222x x x x +-+-≥（*）构造函数23()ln (ln 21)1222x x h x x x =+-+-，'31()(ln 1)(ln 21)22h x x x =++-+，显然'()h x 单调递增，且'1(1)(4ln 2)02h =->，'19()5ln 2088h =-<，则存在唯一(0,1)t ∈，使得'()0h t =.且(0,)x t ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减；(,)x t ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增. 又1(1)ln 2102h =--<，故()0h x ≥只会在(,)t +∞有解，而(2)3ln 22(ln 21)2ln 20h =+-+=>故（*）的解是01x >，则0022x x e em =>.。

山东师大附中2017-2018学年高三上学期第三次模拟数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年山东师大附中高三（上）第三次模拟数学试卷（理科）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分）.1．设集合A={a，a2，﹣2}，B={2，4}，A∩B={4}，则a=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．2．在复平面内，复数z=（1+2i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设平面向量，，均为非零向量，则“•（﹣）=0”是“=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．125．已知p：函数y=2﹣a x+1（a＞0，a≠1）恒过定点（﹣1，1）：q：若函数f （x﹣1）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x=1对称．下列为真的是（）A．p∧q B．¬p∧¬q C．¬p∧q D．p∧¬q6．已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2 B．3 C．5 D．67．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角9．设=（）A．B．C．D．210．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，2）D．（1，2）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．在正项等比数列{a n}中，前n项和为=．12．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于．13．设=．14．在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．15．已知，动点P满足，且λμ≥0，|λ+μ|≤1，点P所在平面区域的面积为．三、解答题（本题满分75分）16．已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）在，求三角形的面积S△AB C．17．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，AP=，AB=AD=1，BC=2，．（I）求证：平面PAC⊥平面PDE（II）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．19．数列{a n}中，a1=3，a n+1=2a n+2．（I）求证：{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）设，求和S n=b1+b2+…+b n，并证明：．20．已知函数f（x）=（x+1）|lnx|．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥a（x﹣1）恒成立，求a的范围．21．设函数．（I）求函数y=f（x）的最大值；（II）对于任意的正整数n，求证：（III）当﹣1＜a＜b时，成立，求实数m的最小值．2015-2016学年山东师大附中高三（上）第三次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分）.1．设集合A={a，a2，﹣2}，B={2，4}，A∩B={4}，则a=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．【解答】解：∵A={a，a2，﹣2}，B={2，4}，A∩B={4}，∴a=4或a2=4，即a=2或﹣2，当a=2时，A={2，4，﹣2}，B={2，4}，此时A∩B={2，4}，不合题意；当a=﹣2时，A={﹣2，4，﹣2}，与集合互异性矛盾，舍去，则a=4，故选：C．2．在复平面内，复数z=（1+2i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，得到复数z对应点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴复数z=（1+2i）2对应的点的坐标为（﹣3，4），位于第二象限．故选：B．3．设平面向量，，均为非零向量，则“•（﹣）=0”是“=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量的数量积关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若=，则•（﹣）=0成立，必要性成立，若•（﹣）=0得•=•，则=不一定成立，充分性不成立．故“•（﹣）=0”是“=”的必要而不充分条件，故选：B．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列可得×6=36，从而求得a4=7，从而求得．【解答】解：∵S6=×6=36，a3=5，∴a4=7，∴a6=a4+（6﹣4）×（7﹣5）=11，故选：C．5．已知p：函数y=2﹣a x+1（a＞0，a≠1）恒过定点（﹣1，1）：q：若函数f （x﹣1）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x=1对称．下列为真的是（）A．p∧q B．¬p∧¬q C．¬p∧q D．p∧¬q【考点】复合的真假．【分析】复合的真假判定，解决的办法是先判断组成复合的简单的真假，再进一步进行判断，则答案可求．【解答】解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），∴函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，∴p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f （x﹣1）向左平移了1各单位，∴f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，∴q假，则￢q真．综上可知，￢p∧￢q为真．故选：B．6．已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2 B．3 C．5 D．6【考点】简单线性规划．【分析】设z=•=x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=•，则z=x+2y，即y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B（0，3），y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．代入z=x+2y=0+2×3=6．即•的最大值最大值为6．故选：D7．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x=的图象向右平移个单位，得到y==的图象．故选：A．8．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．9．设=（）A．B．C．D．2【考点】数列与向量的综合．【分析】运用三角函数的诱导公式，化简向量，，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：=（cos，sin+cos）=（cos，﹣sin+cos）=（，），=（cos，sin+cos）=（cos0，sin0+cos0）=（1，1），即有•=×1+×1=﹣．故选：B．10．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，2）D．（1，2）【考点】抽象函数及其应用．【分析】由f（x+2）=f（x），得到函数的周期是2，利用函数的周期性和奇偶性作出函数f（x）的图象，由ax+2a﹣f（x）=0等价为f（x）=a（x+2），利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，等价为f（x）=a（x+2）有四个不相等的实数根，即函数y=f（x）和g（x）=a（x+2），有四个不相同的交点，∵f（x+2）=f（x），∴函数的周期是2，当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，此时f（﹣x）=﹣2x，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=﹣2x=f（x），即f（x）=﹣2x，﹣1≤x≤0，作出函数f（x）和g（x）的图象，当g（x）经过A（1，2）时，两个图象有3个交点，此时g（1）=3a=，解得a=当g（x）经过B（3，2）时，两个图象有5个交点，此时g（3）=5a=2，解得a=，要使在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则，故选：A二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．在正项等比数列{a n}中，前n项和为=．【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的性质列出方程组，求出首项和公比，即可求出S5的值．【解答】解：∵正项等比数列{a n}中，前n项和为S n，a5=，a6+a7=3，∴，解得q=2，a1=，∴S5===．故答案为：．12．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于4π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，易S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的直径（半径），代入球的表面积公式即可得到答案．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵SA=AB=1，BC=，∴2R==2∴球O的表面积S=4•πR2=4π故答案为：4π13．设=．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．【分析】由三角函数公式化简可得sin（α﹣β）=sin（﹣α），由角的范围和正弦函数的单调性可得．【解答】解：∵α，β∈（0，），且tanα=，∴=，∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=cosα，∴sin（α﹣β）=cosα=sin（﹣α），∵α，β∈（0，），∴α﹣β∈（﹣，），∴﹣α∈（0，），∵函数y=sinx在x∈（﹣，）单调递增，∴由sin（α﹣β）=sin（﹣α）可得α﹣β=﹣α，变形可得2α﹣β=故答案为：．14．在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．【考点】余弦定理的应用．【分析】利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．15．已知，动点P满足，且λμ≥0，|λ+μ|≤1，点P所在平面区域的面积为5．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据条件可以求出，可分别以线段AB，AC所在直线为λ轴，μ轴，建立坐标系，然后以向量为一组基底，可得到P（λ，μ），根据条件λ，μ≥0时便有0≤λ+μ≤1，这样便可得到对应的P点所在区域为△ABC及其内部，并可求出S△AB C，而λ，μ≤0，﹣1≤λ+μ≤0时便可得到对应的点P所在区域面积等于S△AB C，这样即可求出点P 所在平面区域的面积．【解答】解：，；∴；∴；如图，分别以边AB，AC所在的直线为λ轴，μ轴建立如图所示坐标系：以向量为一组基底，则P点的坐标为P（λ，μ）；若λ≥0，μ≥0，则0≤λ+μ≤1，对应的P点所在区域为图中阴影部分所示；；同理，λ≤0，μ≤0时，﹣1≤λ+μ≤0，此时点P所在区域面积应等于；∴点P所在平面区域的面积为5．故答案为：5．三、解答题（本题满分75分）16．已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）在，求三角形的面积S△AB C．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．【分析】（1）利用二倍角公式化简得f（x）=sin（2x+）+，结合正弦函数的单调区间列出不等式解出；（2）根据f（A）=1解出A，代入向量的数量积公式解出AB•AC，代入面积公式．【解答】解：（1）=，令∴f（x）的单调增区间为．（2），，∴．∵=AB•AC•cosA=4，∴AB•AC=8，∴．17．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（2）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=．当2＜x＜5时，﹣3＜2x﹣7＜3．所以﹣3≤f（x）≤3．（2）由（1）可知，当x≤2时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x＜5}；当x≥5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x≤6}．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，AP=，AB=AD=1，BC=2，．（I）求证：平面PAC⊥平面PDE（II）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PAC⊥平面PDE．（2）求出平面PDE的法向量，利用向师法能求出直线PC与平面PDE所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，建立空间直角坐标系，则，，，∴DE⊥AC，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DE，∴DE⊥平面PAC，DE⊂平面PDE，∴平面PAC⊥平面PDE．解：（2）设平面PDE的法向量为，，则，设直线PC与平面PDE所成角为θ，，∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为．19．数列{a n}中，a1=3，a n+1=2a n+2．（I）求证：{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）设，求和S n=b1+b2+…+b n，并证明：．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）把原数列递推式变形，可得{a n+2}是等比数列，求出其通项公式后可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入，整理后利用错位相减法求S n=b1+b2+…+b n，然后放缩得答案．【解答】（Ⅰ）证明：由a n+1=2a n+2，得a n+1+2=2（a n+2），∵a1+2=5≠0，∴，∴{a n+2}是首项为5，公比为2的等比数列，则，∴；（Ⅱ）解：，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣②①﹣②得：．∴；∵，∴{S n}单调递增，则，∴．20．已知函数f（x）=（x+1）|lnx|．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥a（x﹣1）恒成立，求a的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）通过x≥1与0＜x＜1，化简函数的表达式，求出函数的导数，判断导数的符号，推出函数的单调性．（II）利用x≥1，转化f（x）≥a（x﹣1）为（x+1）lnx﹣a（x﹣1）≥0，构造函数g（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），求出函数的导数，利用（I）的结果，推出a的范围．【解答】解：（I）当，f（x）在（1，+∞）上递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，，f′（x）在（0，1）递增，f′（x）＜f′（1）=﹣2＜0，f（x）在（0，1）上递减所以f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）x≥1，f（x）=（x+1）lnx，f（x）≥a（x﹣1）⇔（x+1）lnx﹣a（x﹣1）≥0设由（I）知，g′（x）在（1，+∞）上递增，g′（x）≥g′（1）=2﹣a若2﹣a≥0，即a≤2，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上递增，∴g（x）≥g（1）=0，所以不等式成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＞2，存在x0∈（1，+∞），使得g′（x0）=0，当x∈[1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）是减函数，∴g（x）＜g（1）=0，这与题设矛盾﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述，a≤2．21．设函数．（I）求函数y=f（x）的最大值；（II）对于任意的正整数n，求证：（III）当﹣1＜a＜b时，成立，求实数m的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明；比较法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值，也为最值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知≤，令x=n可得＜，即为＜=﹣，运用累加法，即可得证；（Ⅲ）由题意可得f（b）﹣mb＜f（a）﹣ma，即有函数上是减函数，求出导数h′（x）≤0在（﹣1，0）恒成立，求出导数，可得最大值，即可得到所求m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数为，当x＜0，f'（x）＞0，f（x）递增；x＞0，f'（x）＜0，f（x）递减．即有x=0处取得最大值，即f（x）≤f（0）=1，∴f（x）ma x=1；（Ⅱ）证明：由（1）知，，，则；（Ⅲ）当，即函数上是减函数，，，当x∈（﹣1，1），u′（x）＜0，u（x）递减；x∈（1，+∞），u′（x）＞0，u（x）递增．则，u（x）＜u（﹣1）=e，所以m≥e，即m的最小值为e．2016年7月3日。

2017届山东师范大学附属中学高三上学期第二次模拟考试理科数学(详细答案版)

2017届山东师范大学附属中学高三上学期第二次模拟考试理科数学一、选择题：共10题1．复数z=2−i1+i的共轭复数对应的点在复平面内位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】主要考查复数代数形式的乘除运算和复数的代数表示法及其几何意义.∵z=2−i1+i =2−i1−i1+i1−i=1−3i2=12−32i,∴z =12+32i.∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为12,32,在第一象限.故选D.2．设集合A={x||x+1|<3},集合B={x|x2−x−6≤0},则A∩B=A.{x|2≤x≤3}B.{x|−2≤x≤3}C.{x|−2≤x<2}D.{x|−4<x≤3}【答案】C【解析】本题主要考查集合的基本运算.由集合A={x||x+1|<3}={x|−4<x<2},集合B={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3},则A∩B={x|−2≤x<2},故选C.3．设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y−1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充分条件与必要条件及两直线位置关系.由直线l1:ax+2y−1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行,得a1=2a+1≠−14得a=1或a=−2,则“a=1”是“直线l1:ax+2y−1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件,故选A.4．已知f(x)=x+1x−1,f(a)=2,则f(−a)=A.−4B.−2C.−1D.−3【答案】A【解析】本题主要考查函数的性质.依题意,f(x)=x+1x −1,f(a)=a+1a−1=2,则f(−a)=−(a+1a)−1=−4,故选A.5．在ΔABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60∘,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若AO=λA B+μBC,则λ+μ=A.1B.12C.43D.23【答案】D【解析】本题主要考查平面向量基本定理.在△ABD中,BD=12AB=1,又BC=3,则BD=13BC,得AD=AB+BD=AB+13BC,由O为AD的中点得AO=12AD=12AB+16BC,由AO=λA B+μBC得λ=12,μ=16得λ+μ=23,故选D.6．在等差数列{a n}中,a9=12a12+3,则数列{a n}的前11项和S11=A.21B.48C.66D.132【答案】C【解析】本题主要考查等差数列.依题意,在等差数列{a n}中,a9=12a12+3,则2a9=a12+ 6,又2a9=a12+a6,则a6=6,得S11=11a6=66,故选C.7．已知正数x,y满足2x−y≤0x−3y+5≥0,则z=(14)x⋅(12)y的最小值为A.1B.1423 C.116D.132【答案】C【解析】本题主要考查简单的线性规划问题.作出由不等式组2x−y≤0x−3y+5≥0表示的平面区域,得当目标函数m=2x+y过点A(1,2)时,m取最大值为4,又由z=(14)x⋅12y=(1 2)x+2y的最小值为116,故选C.8．在ΔABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示ΔABC的面积,若S=14(b2+c2−a2),则∠A=A.90∘B.60∘C.45∘D.30∘【答案】C【解析】本题主要考查正弦定理.由正弦定理可知a cos B+b cos A=2R sin A cos B+2R sin B cos A=2R sin(A+B)=2R sin C=2R sin2C,得sin C=1,C=90°.又S=14(b2+c2−a2),解得a=b,因此B=45°,故选C.9．直线y=kx+3与圆(x−3)2+(y−2)2=4相交于M、N两点,若|MN|≥23,则k 的取值范围是A.[−34,0] B.[−∞,−34]∪[0,+∞)C.[−33,33] D.[−23,0]【答案】A【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.设圆心(3,2)到直线y=kx+3的距离为d,由弦长公式得,MN=24−d2⩾23,故d⩽1,即|3k−2+3|k2+1⩽1,化简得8k(k+34)⩽0,得−34⩽k⩽0,故选A.10．设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对∀x∈(0,+∞)都有f(f(x)−ln x)= e+1,则方程f(x)−f′(x)=e的实数解所在的区间是A.(0,1e ) B.(1e,1) C.(1,e) D.(e,3)【答案】C【解析】本题主要考查函数的零点及导数在研究函数中的应用.由f (x )是定义在(0,+∞)上单调函数,且对∀x ∈(0,+∞),都有f (f (x )−ln x )=e +1,得设f (x )−ln x =t ,则f (t )=e +1,即f (x )=ln x +t ,令x =t ,则f (t )=ln t +t =e +1,则t =e ,即f (x )=ln x +e ,函数的导数f′(x )=1x ,则由f (x )−f′(x )=e 得ln x +e −1x =e ,即ln x −1x =0,设 (x )=ln x −1x ,则 (1)=ln1−1=−1<0, (e)=lne −1e =1−1e >0,得函数 (x )在(1,e)上存在一个零点,即方程f (x )−f′(x )=e 的实数解所在的区间是(1,e),故选C.二、填空题：共5题11．已知由曲线y = x ,直线y =2−x 和x 轴所围成图形的面积为S ,则S =_______.【答案】76【解析】本题主要考查定积分.由曲线y = x ,直线y =2−x 和x 轴所围成的图形的面积为 x 10dx +∫(2−x )21dx =23x 32∣01+(2x −12x 2)|12=23+2−32=76,故填76.12．已知平面向量a ,b 的夹角为2π3,|a |=2,|b |=1,则|a +2b |=___________.【答案】2【解析】本题主要考查平面向量数量积.依题意,平面向量a ,b 的夹角为2π3,|a |=2,|b |=1,则|a +2b |2=a 2+4a ⋅b +4b 2=22+4×2×1×cos 2π3+4×12=4,故|a +2b |=2,故填2.13．已知过点P (2,2)的直线与圆(x −1)2+y 2=5相切,且与直线ax −y +1=0垂直,则a =__________. 【答案】2【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.依题意,由点P (2,2)满足圆(x −1)2+y 2=5的方程,则点P 在圆上,又过点P (2,2)的直线与圆(x −1)2+y 2=5相切,且与直线ax −y +1=0垂直,则切点与圆心连线与直线ax −y +1=0平行,故直线ax −y +1=0的斜率a =2−02−1=2.故填2.14．若cos(75∘+α)=13,则sin(60∘+2α)=__________.【答案】79【解析】本题主要考查诱导公式及二倍角公式.依题意,cos(75∘+α)=13,则cos(150∘+2α)=2cos2(α+75∘)−1=2×(13)2−1=−79,sin(60∘+2α)=−cos(90∘+60∘+2α)=−cos(150∘+2α)=79,故填79.15．已知函数f(x)=|lg(x+1)|,实数a,b满足:a<b,且f(a)=f(−b+1b+2),则f(8a+2b+ 11)取最小值时,a+b的值为__________.【答案】−12【解析】本题主要考查函数的性质.由f(a)=f(−b+1b+2),得|lg(a+1)|=|lg(−b+1b+2)+1)|=|lg1b+2)|=|lg(b+2)|,得a+1=b+2,或(a+1)(b+2)=1,又a＜b,则a+1≠b+2,得(a+1)(b+2)=1．又由f(a)=|lg(a+1)|有意义知a+1＞0,从而0＜a+1＜b+1＜b+2,于是0＜a+1＜1＜b+2．则f(8a+2b+11)|lg(8a+2b+12)|=|lg[8(a+1)+2(b+2)]|=|lg(8b+2+2(b+2))|≥|lg28b+2×2(b+2)|=|lg8|,当且仅当8 b+2=2(b+2)即b=0时取“=”,此时a=−12,则a+b=−12,故填−12.三、解答题：共6题16．已知函数f(x)=A sin(ωx+φ),(A>0,ω>0,0<φ<π2),x∈R,f(x)的最小值为−4,f(0)=22,且相邻两条对称轴之间的距离为π.(I)当x∈[−π2,π2]时,求函数f(x)的最大值和最小值;(II)若x∈(π2,π),且f(x)=1,求cos(x+5π12)的值.【答案】(Ⅰ)由题意知f(x)=4sin(x+π4)当x∈[−π2,π2]时,x+π4∈[−π4,3π4],∴sin(x+π4)∈[−22,1]∴f(x)min=−22,f(x)max=4.(Ⅱ)∵f(x)=4sin(x+π4)=1,∴sin(x+π4)=14,∵x∈(π2,π),∴x+π4∈(3π4,5π4),∴cos(x+π4)=−154∴cos(x+5π12)=cos(x+π4+π6)=32cos(x+π4)−12sin(x+π4),=32×(−154)−12×14=−35−18【解析】本题主要考查三角函数最值及两角和与差的三角公式.(Ⅰ)由题意知f(x)= 4sin(x+π4),利用整体思想求得函数f(x)的最大值和最小值.(Ⅱ)由(x)=1求得sin(x+π4)=14,cos(x+π4)=−154,利用两角和与差的三角公式求得cos(x+5π12)的值.17．数列{a n}的前n项和为S n,已知S n+1=S n+a n+2,a1,a2,a5成等比数列.(I)求数列{a n}的通项公式;(II)若数列{b n}满足b na n=(2)1+a n,求数列{b n}的前n项和T n.【答案】(I)∴数列{a n}是公差为2的等差数列;又a1,a2,a5成等比数列,∴a1⋅(a1+4d)=(a1+d)2⇒a1⋅(a1+8)=(a1+2)2∴a1=1,∴a n=2n−1 (n∈N∗)(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:bn=2n−1⋅22n=2n−1⋅2n∴T n=b1+b2+b3+⋯+b n−1+b n=1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋯+2n−3⋅2n−1+2n−1⋅2n ∴2T n=1⋅22+3⋅23+5⋅24+⋯+(2n−3)⋅2n+(2n−1)⋅2n+1错位相减得:−T n=2+2(22+23+⋯+2n)−(2n−1)⋅2n+1=2+2×4(1−2n−1)1−2−(2n−1)⋅2n+1=2+2n+2−8−(2n−1)⋅2n+1=−6−(2n−3)⋅2n+1∴T n=(2n−3)⋅2n+1+6【解析】本题主要考查数列求通项及数列求和.(I)由数列{a n}是公差为2的等差数列,又a1,a2,a5成等比数列,得a1⋅(a1+4d)=(a1+d)2,求得a1的值,从而求得数列{a n}的通项公式.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:b n=2n−1⋅22n=2n−1⋅2n,利用错位相减法求得数列{b n}的前n项和T n.18．已知m=(3sin x,cos x),n=(cos x,cos x),x∈R,设f(x)=m⋅n.(I)求f(x)的解析式及单调递增区间;(II)在ΔABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,b+c=2,f(A)=1,求ΔABC的面积.【答案】(I)∵f(x)=3sin x⋅cos x+cos2x=32sin2x+1+cos2x2=sin(2x+π6)+12令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ⇒−π3+kπ≤x≤π6+kπ,(k∈Z)∴f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ] (k∈Z)(Ⅱ)由f(A)=sin(2A+π6)+12=1⇒sin(2A+π6)=12,又∵A∈(0,π),∴2A+π6∈(π6,13π6)∴2A+π6=5π6⇒A=π3∴a2=b2+c2−2bc⋅cos A=(b+c)2−2bc⋅(1+cos A)∴bc=1,∴SΔABC=12bc⋅sin A=34【解析】本题主要考查二倍角公式、三角函数性质、余弦定理、三角形面积公式.(I)利用平面向量数量积求得f(x)=3sin x⋅cos x+cos2x利用二倍角公式结合两角和与差的三角公式求得f(x)=sin(2x+π6)+12,利用整体思想结合正弦函数性质求得函数的单调增区间.(Ⅱ)利用f(A)=1求得角A的值,然后利用余弦定理求得bc的值,再利用三角形面积公式求得ΔABC的面积.19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1=2,S5=30,数列{b n}的前n项和为T n,且T n=2n−1.(I)求数列{a n},{b n}的通项公式;(II)设c n=ln b n+(−1)n ln S n,求数列{c n}的前n项和M n.【答案】(Ⅰ)∵{a n}是等差数列,∴S5=5a1+5×42d⇒30=5×2+10d⇒d=2∴a n=2n数列{b n}的前n项和为T n,且T n=2n−1.∴b1=1,n≥2时b n=T n−T n−1=2n−1,∴b n=2n−1(n∈N∗)(Ⅱ)S n=2⋅n(n+1)2=n(n+1)c n=ln b n+(−1)n ln S n=ln(2n−1)+(−1)n ln[n(n+1)]=(n−1)ln2+(−1)n[ln n+ln(n+1)]∴M n=ln2×[0+1+2+⋯+(n−1)]+N n=n(n−1)2ln2+N n其中N n=−(ln1+ln2)+(ln2+ln3)−(ln3+ln4)+⋯+(−1)n[ln n+ln(n+1)]=(−1)n ln(n+1)∴M n=n(n−1)2ln2+(−1)n ln(n+1)【解析】本题主要考查数列的通项公式及数列求和.(Ⅰ)由S5=5a1+5×42d求得公差d的值,从而求得数列{a n}的通项公式,由数列{b n}的前n项和为T n,且T n=2n−1,b1=1,n≥2时b n=T n−T n−1=2n−1,从而求得数列{b n}的通项公式.(Ⅱ)由S n=2⋅n(n+1)2=n(n+ 1)求得c n=(n−1)ln2+(−1)n[ln n+ln(n+1)],利用分组求和求得数列{c n}的前n项和M n.20．已知经过P(4,−2),Q(−1,3)两点的圆C半径小于5,且在y轴上截得的线段长为43, (I)求圆C的方程;(II)已知直线l//PQ,若l与圆C交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求直线l的方程.【答案】(Ⅰ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令x=0⇒y2+Ey+F=0∴y1+y2=−E,y1⋅y2=F,∴43=|y1−y2|=(y1+y2)2−4y1⋅y2=E2−4F∴E2−4F=48…………①又圆过P(4,−2),Q(−1,3)两点,∴16+4+4D−2E+F=0 1+9−D+3E+F=0⇒4D−2E+F=−20−D+3E+F=−10⇒2E+F=−12…………②由①②得:D=2E=0F=−12或D=−10E=−8F=4∵圆的半径小于5,∴圆的方程为x2+y2−2x−12=0(Ⅱ)k PQ=3−(−2)−1−4=−1,∴设l的方程为:x+y+m=0由x+y+m=0x2+y2−2x−12=0⇒2x2+(2m−2)x+m2−12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1−m,x1⋅x2=m2−122∵以AB为直径的圆过原点,∴OA⊥OB,即OA→⋅OB→=0∴x1⋅x2+y1⋅y2=x1⋅x2+(−x1−m)⋅(−x2−m)=0整理得:m2+m−12=0⇒m=3或m=−4,且m=3或m=−4均满足Δ>0∴l的方程为x+y+3=0或x+y−4=0【解析】本题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系.(Ⅰ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令x=0得y2+Ey+F=0,则y1+y2=−E,y1⋅y2=F,则43=|y1−y2|=(y1+y2)2−4y1⋅y2= E2−4F,求得E2−4F=48又圆过P(4,−2),Q(−1,3)两点,代入圆的方程,解方程组求得D,E,F的值,从而求得圆的方程.(Ⅱ)先求得直线PQ的斜率,设l的方程为:x+y+m=0,代入圆的方程,结合韦达定理及平面向量数量积求得m的值,从而求得直线方程.21．已知函数f(x)=e x,g(x)=mx+n.(I)设 (x)=f(x)−g(x).①若函数 (x)在x=0处的切线过点(1,0),求m+n的值;②当n=0时,若函数 (x)在(−1,+∞)上没有零点,求m的取值范围;(II)设函数r(x)=1f(x)+nxg(x),且n=4m(m>0),求证:当x≥0时,r(x)≥1.【答案】(Ⅰ)①由题意得 ′(x)=e x−m,∴k= ′(0)=1−m又 (0)=1−n,∴函数 (x)在x=0处的切线方程为y−(1−n)=(1−m)x,将点(1,0)代入,得m+n=2②当n=0时,可得 ′(x)=e x−m,∵x>−1,∴e x>1e,当m≤1e时, ′(x)=e x−m>0,∴函数 (x)在(−1,+∞)上单调递增,而 (0)=1,所以只需 (−1)=1e +m≥0⇒m≥−1e,∴−1e≤m≤1e当m>1e时, ′(x)=e x−m=0⇒x=ln m∈(−1,+∞),x∈(−1,ln m), ′(x)<0, (x)单调递减;x∈(ln m,+∞)时, ′(x)>0, (x)单调递增, ∴ (x)在(−1,+∞)上有最小值, (x)min= (ln m)=m−m ln m,令m−m ln m>0⇒m<e,所以1e<m<e,综上可知:−1e≤m<e(Ⅱ)由题意,r(x)=1f(x)+nxg(x)=1e x+nmxx+nm=1e x+4xx+4,而r(x)=1e x +4xx+4≥1等价于e x(3x−4)+x+4,令F(x)=e x(3x−4)+x+4,则F(0)=0,且F′(x)=e x(3x−1)+1,F′(0)=0,令G(x)=F′(x),则G′(x)=e x(3x+2),∵x≥0,∴G′(x)>0,∴F′(x)在[0,+∞)上单调递增,∴F′(x)≥F′(0)=0,∴F(x)在[0,+∞)上单调递增,即F(x)≥F(0)=0,即x≥0时,r(x)≥1【解析】本题主要考查导数的几何意义、函数的零点及导数在研究函数中的应用.(Ⅰ)①对函数 (x)求导得k= ′(0)=1−m,又 (0)=1−n,求得函数 (x)在x=0处的切线方程,将点(1,0)代入,求得m+n的值.②当n=0时,可得 ′(x)=e x−m,对参数m分情况讨论,求得函数的单调性,利用单调性结合函数图像求得函数的最小值,利用函数的最小值大于零,求得m的取值范围.(Ⅱ)由题意,r(x)=1e x +4xx+4,利用r(x)=1e x+4xx+4≥1等价于e x(3x−4)+x+4,令F(x)=e x(3x−4)+x+4,则F(0)=0,对函数求导,利用函数的单调性结合函数图像求得F(x)≥F(0)=0,从而求得证得结论.。

2017年山东师大附中高考数学三模试卷(理科)

2017年山东师大附中高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A．2﹣i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）已知集合，B={x|x2﹣2x﹣8≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣2≤x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x≤4}D．{x|x≤﹣2}3．（5分）直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．4．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称5．（5分）下列命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”6．（5分）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d7．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=18．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．29 B．31 C．33 D．369．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=f（）且当x∈[，1]时，f（x）=lnx，若当x∈[]时，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，0]B．[﹣πlnπ，0]C．[﹣，]D．[﹣，﹣]二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知实数x，y满足，则的最小值为．12．（5分）若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则直线l的斜率为．13．（5分）已知，则=．14．（5分）函数f（x）=，则f[f]=．15．（5分）在△ABC中，点D满足=，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若=λ+μ，则λ+的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，CC1=AB=AC=BC=4，D为线段AC的中点．（Ⅰ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1；（Ⅲ）求三棱锥D﹣C1CB的体积．18．（12分）已知正项数列{a n}满足，a1=1，a n+1=（n∈N+）．（1）证明数列{}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（﹣1）n•n•a n•a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．20．（13分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．2017年山东师大附中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A．2﹣i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z•i=2﹣i，得．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（5分）已知集合，B={x|x2﹣2x﹣8≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣2≤x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x≤4}D．{x|x≤﹣2}【分析】解不等式求出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合={x|x≥0}，B={x|x2﹣2x﹣8≤0}={x|﹣2≤x≤4}，则A∩B={x|0≤x≤4}．故选：C．【点评】本题考查了解不等式与求交集的运算问题，是基础题．3．（5分）直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．【分析】此类题目需先求出两曲线的交点，进而确定积分区间，再依据函数图象的上下位置确定出被积函数，最后依据微积分基本定理求出面积即可．【解答】解：由已知，联立直线与曲线方程得到解得或则围成图形的面积为====故选：C．【点评】本题主要考查了微积分基本定理，属于基础题．4．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f （x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．5．（5分）下列命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”【分析】利用命题的否定判断A的正误；充要条件判断B的正误；复合命题的真假判断C的正误；四种命题的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，满足命题的否定关系，正确；对于B，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，满足“x=1”⇒“x2﹣3x+2=0”，反之，不成立，所以B正确；对于C，若命题p∧q为假命题，则p，q至少一个是假命题，所以C不正确；对于D，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，满足逆否命题的形式，正确．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，充要条件以及复合命题的真假，四种命题的逆否关系，基本知识的考查．6．（5分）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．【点评】本题很是新颖，三视图是一个常考的内容，对于几何体，它描述的应该熟悉，想想出它的样子，才能够作对此题．7．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选：A．【点评】本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．8．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．29 B．31 C．33 D．36【分析】利用a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求出数列的首项与公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a2•a3=2a1=a1q•=a1•a4，∴a4=2．∵a4与2a7的等差中项为，∴a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1==16．∴S5==31．故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．9．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=60°，可得∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵∠MF2N=60°，∴∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，∴c=a，∴e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线C的离心率，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=f（）且当x∈[，1]时，f（x）=lnx，若当x∈[]时，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，0]B．[﹣πlnπ，0]C．[﹣，]D．[﹣，﹣]【分析】由题意先求出设x∈[1，π]上的解析式，再用分段函数表示出函数f（x），根据对数函数的图象画出函数f（x）的图象，根据图象求出函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点时实数a的取值范围．【解答】解：设x∈[1，π]，则∈[，1]，因为f（x）=f（）且当x∈[，1]时，f（x）=lnx，所以f（x）=f（）=ln=﹣lnx，则f（x）=，在坐标系中画出函数f（x）的图象如图：因为函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，所以直线y=ax与函数f（x）的图象有交点，由图得，直线y=ax与y=f（x）的图象相交于点（，﹣lnπ），即有﹣lnπ=，解得a=﹣πlnπ．由图象可得，实数a的取值范围是：[﹣πlnπ，0]故选：B．【点评】本题考查了方程的根的存在性以及根的个数的判断，解答此题的关键是利用数形结合，使复杂的问题简单化．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知实数x，y满足，则的最小值为．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的定义，利用数形结合进行求解．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点与点E（3，0）的斜率，由图象知AE的斜率最小，由得，即A（0，1），此时的最小值为=，故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及直线斜率公式是解决本题的关键．12．（5分）若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则直线l的斜率为±．【分析】由题意设直线l为y=k（x﹣1），则圆心（4，0）到直线l的距离d=2，由此能求出直线l的斜率．【解答】解：∵抛物线y2=4x焦点F（1，0），经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，∴设直线l为y=k（x﹣1），则圆心（4，0）到直线l的距离d==2，解得直线l的斜率k=．故答案为：．【点评】本题考查直线的斜率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线、圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．13．（5分）已知，则=．【分析】根据三角恒等变换化简，得出sin（α+）的值，再利用二倍角公式求出的值．【解答】解：∵，∴sin cosα﹣cos sinα﹣cosα=﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣；∴=1﹣2sin2（α+）=1﹣2×=．故选：．【点评】本题考查了三角恒等变换与二倍角公式的应用问题，是基础题．14．（5分）函数f（x）=，则f[f]=﹣．【分析】由分段函数得f（）=，由此能求出f[f（）]的值．【解答】解：f（x）=，∴f（）=，f[f（）]=f（）=﹣2==﹣．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15．（5分）在△ABC中，点D满足=，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若=λ+μ，则λ+的最小值为．【分析】根据题意画出图形，利用、表示出，再利用表示出，求出λ与μ，利用基本不等式求出的最小值．【解答】解：如图所示，△ABC中，，∴=+=+=+（﹣）=+，又点E在射线AD（不含点A）上移动，设=k，k＞0，∴=+，又，∴，∴=+≥2=，当且仅当k=时取“=”；∴λ+的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与基本不等式的应用问题，是基础题目．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，CC1=AB=AC=BC=4，D为线段AC的中点．（Ⅰ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1；（Ⅲ）求三棱锥D﹣C1CB的体积．【分析】（I）连结B1C交BC1于点M，连结DM，根据中位线定理得出AB1∥DM，故而AB1∥平面BC1D；（II）由BD⊥AC，BD⊥CC1即可得出BD⊥平面AA1C1C，故平面BC1D⊥平面A1ACC1；（III）以△BCD作棱锥的底面，则CC1为棱锥的高，代入体积公式计算．【解答】证明：（Ⅰ）连结B1C交BC1于点M，连结DM，∵D为AC中点，M为B1C中点，∴DM∥AB1，又∵AB1⊄平面BC1D，DM⊂平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（Ⅱ）∵CC1⊥底面ABC，BD⊂底面ABC，∴CC1⊥BD．∵AB=BC，D为AC中点，∴BD⊥AC．又∵AC⊂A1ACC1，CC1⊂平面A1ACC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面A1ACC1，∵BD⊂平面C1DB，∴平面BC1D⊥平面A1ACC1．（Ⅲ）∵CD=，BC=4，BD⊥AC，∴BD==2．∵CC1⊥底面ABC，∴CC1为三棱锥C1﹣DBC的高，所以=．【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．18．（12分）已知正项数列{a n}满足，a1=1，a n+1=（n∈N+）．（1）证明数列{}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（﹣1）n•n•a n•a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）a1=1，a n+1=（n∈N+），两边取倒数可得﹣=2，即可证明，再利用等差数列的通项公式即可得出．（2）b n=（﹣1）n•n•a n•a n+1=（﹣1）n n=．对n分类讨论即可得出．【解答】（1）证明：∵a1=1，a n+1=（n∈N+），两边取倒数可得=2+，即﹣=2，∴数列{}为等差数列，首项为1，公差为2．∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，解得a n=．（2）解：b n=（﹣1）n•n•a n•a n+1=（﹣1）n n=．∴n=2k（k∈N*），数列{b n}的前n项和T n=T2k=﹣+…﹣+==．n=2k﹣1（k∈N*），数列{b n}的前n项和T n=T2k﹣1=﹣+…+﹣==﹣．综上可得：T n=（k∈N*）．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、“裂项求和”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．【分析】（Ⅰ）由题意易证QB⊥AD，由面面垂直的性质可得BQ⊥平面PAD，可得结论；（Ⅱ）易证PQ⊥平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系，则可得相关点的坐标，可得向量和的坐标，可得夹角的余弦值，由反三角函数可得答案；（Ⅲ）可得平面BQC的法向量为，又可求得平面MBQ法向量为，结合题意可得λ的方程，解方程可得λ，可得所求．【解答】解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ又∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则Q（0，0，0），A（1，0，0），，，C（﹣1，，0）∵M是PC中点，∴，∴设异面直线AP与BM所成角为θ则cosθ==，∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为，由，且0≤λ≤1，得，又，∴平面MBQ法向量为．∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴．∴|QM|=【点评】本题考查空间角，涉及平面与平面垂直的判定，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（13分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可．【解答】解：（1）由题意，c=1∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=∴b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①当直线l的斜率不存在时，，，则•=﹣，∴∴m=或m=②由①②可得m=．下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣∴=（x1﹣，y1）•（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+=+=﹣综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查存在性问题，解题的关键的先猜后证，有一定的难度．21．（14分）已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，构造函数u（x）=xe x﹣2m，求出M，N的表达式，构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，根据函数的单调性证出结论．【解答】解：（1）由题意x＞0，f′（x）=，m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，m＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）证明：g′（x）=，m≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，无最小值，由（1）得f（x）无最大值，故m＞0，令u（x）=xe x﹣2m，u′（x）=e x+xe x＞0，u（0）=﹣2m＜0，u（2m）=2m（e2m﹣1）＞0，故唯一存在x0∈（0，2m），使得u（x0）=0，即m=，列表如下：由（1）得：M=f（）=mlnm﹣m，且N=g（x0）=﹣2mlnx0，由题设M≥N，即mlnm﹣m≥﹣2mlnx0，将m=代入上式有：ln﹣≥﹣2（）lnx0，化简得：x0lnx0+﹣（ln2+1）﹣1≥0，（*），构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，h′（x）=（lnx+1）+x﹣（ln2+1），而h′（x）递增，h′（1）=（4﹣ln2）＞0，当x＞0，h′（）=﹣5ln2＜0，则唯一存在t∈（0，1），使得h′（t）=0，则当x∈（0，t），h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（t，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，又h（1）=﹣ln2﹣1＜0，故h（x）≥0只会在（t，+∞）有解，而h（2）=3ln2+2﹣（ln2+1）﹣1=2ln2＞0，故（*）的解是x0＞1，则m=＞．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用有解函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．。

山东省山师附中高三数学第三次模拟考试理新人教B版

2013年12月本试卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题纸指定位置上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题纸上每题对应的答题区域内，答在试卷卷上无效。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集{}{},13,2U U R A x x B x x A C B ==<≤=>⋂集合，则等于 A.{}12x x <≤B.{}12x x ≤<C.{}12x x ≤≤D.{}13x x ≤≤2.在等差数列{}n a 中，12012a =-，其前n 项和为12102012,2,n S a a S -=若则的值等于 A.2010-B.2011-C.2012-D.2013-3.函数sin sin 2y x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是 A.2πB.πC.2D.4π4.定义在R 上的奇函数()()()()3,01,2,xf x f x f x x f x +=<≤=满足当则()2012f =A.2-B.2C.12-D.125.直线l 与圆222410x y x y ++-+=相交于A,B 两点，若弦AB 的中点()2,3-，则直线l 的方程为： A.30x y +-=B.10x y +-=C.50x y -+=D.50x y --=6.用数学归纳法证明4221232n n n ++++⋅⋅⋅+=，则当1n k =+时左端应在n=k 的基础上加上 A.21k + B.()21k +C.()()42112k k +++D.()()()()22221231k k k k ++++++⋅⋅⋅++7.若a 、b 为实数，则“1ab <”是“10a b<<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件8.已知a b >，函数()()()f x x a x b =--的图象如右图所示，则函数()()log a g x a b =+的图象可能为9.设11,2450.50.9,log 0.3,a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是 A.a c >>bB.b a >>cC.a b >>cD .c a >>b10.二项式62x x ⎛⎝的展开式中的常数项为A.120B.120-C.160D.160-11.设x,y 满足约束条件36020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则32a b+ A.4 B.83C.113D.25612.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()3,,16OP OA OB R λμλμλμ=+∈=，则该双曲线的离心率为 323523D.98第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.函数()()32112f x x x x =-++在点，处的切线与函数()2g x x =围成的图形的面积等于_____________；14.将a,b,c 三个字母填写到3×3方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有_________种.(用数值作答)15.在ABC ∆中，若1,3,BA BC AB AC AB AC BC BC⋅==+==，则_________16.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对()()()42x R f x f x f ∀∈+=+都有成立。

山东省山东师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期第三次模拟考试文数试题 Word版含解析

2017-2018学年第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈，则集合M N ⋂=（） A. {}0B. {}0,1C. {}1,2D. {}0,2【答案】D 【解析】试题分析：由题意，得{0,2,4}N =，所以{0,2}M N = ，故选D ．考点：集合的交集运算．2.若,a b c >∈R ，则下列中成立的是（） A. 22ac bc ≥ B.1ab> C.11a b< D. ac bc >【答案】A考点：不等式的性质．3.在等比数列{}n a 中，若2345894,16,a a a a a a +=+=+=则（） A.128B. 128-C.256D. 256-【答案】C 【解析】试题分析：因为2245232323()4a a q a a q a a a a ++===++，所以48945()1616256a a q a a +=+=⨯=，故选C ．考点：等比数列的通项公式．【一题多解】由题意，得2113411416a q a q a q a q ⎧+⎪⎨+⎪⎩==，解得1232a q ⎧⎪⎨⎪⎩==或122a q ⎧⎨⎩==-，所以7891(1)256a a a q q +=+=．4.已知()21tan ,tan tan 5444ππαββα⎛⎫⎛⎫+=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么等于（）A.1318B.1322C.322D.16【答案】C 【解析】试题分析：()()()21tan tan()3544tan()tan[()]2144221tan tan()1454παββππααββπαββ-+--+=+--===++-+⨯，故选C ．考点：两角和与差的正切．5.已知某种产品的支出广告额x 与利润额y （单位：万元）之间有如下对应数据：则回归直线方程必过（） A. ()5,36 B. ()5,35C. ()5,30D. ()4,30【答案】A考点：回归直线方程． 6.若()()121log 21f x x =+，则()f x 的定义域为（）A. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. ()1,00,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得211210x x +≠⎧⎨+>⎩，解得12x >-且0x ≠，故选C ．考点：函数的定义域．7.函数()3cos391x x xf x ⋅=-的图象大致为（）【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，又()3cos(3)3cos3()9191x x x x x xf x f x --⋅-⋅-===---，所以()f x 为奇函数，排除A ；由于cos3x 的符号呈周期性变化，所以函数的符号也呈周期性变化，排除C ；当(0,)6x π∈时，()0f x >，排除C ，故选D ．考点：1、函数的图象；2、函数的单调性；3、函数的周期性．【方法点睛】求关于函数图象的问题常用方法有：第一，利用函数奇偶性进行排除(即看函数图象有无对称性)；第二，利用函数的单调性；第三，排除法即用特殊值代入检验；第四，极限思想等，可谓是解决函数图象题的4件法宝． 8.已知()3sin f x x x π=-，():0,,02p x f x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则（） A.p 是真：():0,,02p x f x π⎛⎫⌝∀∈> ⎪⎝⎭ B. p 是真：()00:0,,02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭C. p 是假：():0,,02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭D. p 是假：()00:0,,02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭【答案】B考点：1、真假的判定；2、全称例题的否定；9.设,x y 满足约束条件231,1x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是（）A. 3x ≥B. 4y ≥C. 280x y +-≥D. 210x y -+≥【答案】C 【解析】试题分析：,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≤⎨⎪≥+⎩的区域如图所示，整个区域在直线280x y +-=的上方，所以选C ．考点：简单的线性规划问题．10.如图所示，两个不共线向量,OA OB u u r u u u r的夹角为θ，,M N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且(),OC xOA yOB x y =+∈R uuu r uu r uu u r，则22x y +的最小值为（）B.18D.12【答案】B考点：1、平面向量的加减运算；2、向量共线．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.【答案】80考点：1、空间几何体的三视图；2、棱锥与正方体的体积．【方法点睛】根据三视图求几何体的体积分两种情况：（1）如果三视图表示的几何体为简单的几何体，那么只须确定出底面积和高即可；（2）如果三视图表示的几何体为组合体，那么要明确组合体是如何由简单几何体构成的（左右、上下、前后型，还是嵌入型等），然后分别根据三视图提供的数据计算出各个几何体的体积，再利用加减可求得组合体的体积． 12.设()()00ln ,2,f x x x f x x '===若则_______. 【答案】e 【解析】试题分析：因为()ln 1f x x '=+，所以00()ln 12f x x '=+=，解得0x e =．考点：导数的运算．13.已知长方形ABCD 中，4,1,AB BC M AB ==为的中点，则在此长方形内随机取一点P ，P 与M 的距离小于1的概率为_________.【答案】8π 【解析】试题分析：以M 点为圆心，以1为半径在长方形ABCD 中作半圆，则该半圆内的任一点与M的距离小于1，所以所求概率为2112418P ππ⨯⨯==⨯．考点：几何概型．14.已知整数的数对排列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对是________. 【答案】（5，7）考点：归纳推理．15.已知定义在R 上的函数()f x 满足：①图象关于()1,0点对称； ②()()11f x f x -+=--；③当[]1,1x ∈-时，()[](]21,1,0,c o s ,0,1,2x x f x x x π⎧-∈-⎪=⎨∈⎪⎩则函数()[]1332xy f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间，上的零点个数为__________.【答案】5个【解析】试题分析：因为(1)(1)f x f x -+=--，所以()f x 的图象关于直线1x =-对称．又()f x 图象关于点(1,0)对称，作出函数()f x 与||1()()2x g x =在[3,3]-上的图象，如图所示，由图可知，零点个数为5个．考点：1、函数的零点；2、函数的图象．【思路点睛】解决函数与方程问题的基本思想就是数形结合思想和等价转化思想，运用函数图象来研究函数零点或方程解的个数，在画函数图象时，切忌随手一画，可利用零点存在定理，结合函数图象的性质，如单调性，奇偶性，将问题简化．三、解答题：本大题共6个小题.共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量()()c o s ,c o s ,,2m A B n a c b ==-u r r ，且//m n u r r .（I ）求角A 的大小；（II ）若4a ABC =∆，求面积的最大值．【答案】（I ）3A π=；（II ）34（II ）由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，bc bc bc bc c b =-≥-+=∴21622，因此16≤bc ，当且仅当4==c b 时，等号成立；因此ABC ∆面积34sin 21≤=A bc S ，因此ABC ∆面积的最大值34．考点：1、正余弦定理；2、三角形的面积公式；3、基本不等式；4、平面向量平行的充要条件；5、两角和与差的正弦．【技巧点睛】(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围；(2)在三角形中，注意隐含条件π=++C B A ；（3）选择面积公式时一定选择与已知条件或所求问题中的相关边或角紧密联系的面积公式．17.（本小题满分12分）为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：男生:女生:6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率；（II ）完成下面2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？()()()()()22=n ad bc x n a b c d a b c d a c b d ⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪++++⎝⎭，其中【答案】（Ⅰ）35；（Ⅱ）没有把握.（Ⅱ）220(126148)400.440 2.7062026142091k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”．考点：1、古典概型；2、回归分析．【方法点睛】解答古典概型的概率问题一般要做好三个方面：一是明确分辨问题性质，即是不是古典概型问题，如果是，又是哪一类的古典概型问题；二是古典概型的计算公式，一定要掌握公式()P A ＝A kS n=包含的基本事件数中基本事件总数；三是根据公式要求确定n 和k ，找出解题的主要数据．18.（本小题满分12分）已知三棱柱1111ABC A B C CC -⊥中，底面,ABC AB AC =，,,D E F 分别为11,,B A C C BC 的中点.（I ）求证：DE 平面ABC ；（II ）求证：平面AEF ⊥平面11BCC B ．【答案】（1）见解析：（2）见解析．考点：1．证明线面平行；2．证明面面垂直．【方法点睛】证明平行或垂直问题时，一般利用平行或垂直的判定定理及其推论，将面面平行转化为线面平行或线线平行来证，而增添辅助线是解决问题的关键，常见的添辅助线的方法有：中点、垂直足等特殊点，利用中位线、高线转化，有面面垂直的条件，则作交线的垂线等等．19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD AC BD O ∠=⋂=o，.将菱形A B C D 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点M 是棱BC 的中点，DM =（I ）求证：OD ⊥面ABC ；（II ）求M 到平面ABD 的距离. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）7213．ABM ∆的面积为239233621120sin 21=⨯⨯⨯=︒⨯⨯=∆BM BA S ABM ．又∵在BOD Rt ∆中3==OD OB 得23=BD 错误！未找到引用源。

山东师范大学附属中学2017届高三打靶考试数学(理)试题含答案

山东师范大学附中2017届高三打靶考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数2(1)(1i z i i+=-是虚数单位），则其共轭复数为所在的象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、已知集合{|21},{|M x x N x y =-<==，则M N =A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,3)D ．[2,3)3、已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．2πB ．32πC ．43π D ．76π 4、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()32(x f x m m =⋅-为常数），则()f m = A ．218 B ．218- C ．21 D ．21- 5、已知点(3,1),(,)M N x y 的坐标满足43021201x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则(OM ON O ⋅ 为坐标原点）的最大值为A ．19B ．17C ．12D ．46、《数学九章》中对已知三嘉兴三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全定价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”，若把以上这段文字写成公式，即S =4ABC ∆满足sin :sin :sin 1)1)A B C =，试用以上给出的公式求得ABC ∆的面积为A．4 B．4 C．2 D．27、把函数sin()6y x π=+图象上个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再将图象向右平移3π 个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为A ．2x π=- B ．4x π=- C ．8x π= D ．4x π=8、如图所示，在梯形ABCD中，,22B AB BC π∠===，点E 为AB的中点，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，则CE BD ⋅=A ．2-B ．12- C ．0 D9、设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足112PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A ．430x y ±=B ．350x y ±=C ．540x y ±=D ．340x y ±=10、已知函数()24(3)3,0(0log (1)1,0a x a x a x f x a x x ⎧+-+<=>⎨++≥⎩且1)a ≠在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是A ．2(0,]3B ．23[,]34C ．123[,]{}334D ．123[,){}334第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，..11、已知变量,x y 满足约束条件30230x y x y x a +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =+的最小值为3，则112y x ≥+的概率为 12、根据右边流程图输出的值是13、若92()a x x +的二项展开式中含6x 项的系数为36，则83(2)x a y+- 的展开式中，不含x 的各项系数之和为14、观察下列各式：33331123537911413151719==+=++=+++若3()m m N ∈按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m 的值为15、已知函数()ln (0,0)f x b x a a b =+>>在1x =处的切线与圆22(2)4x y -+=相交于,A B 两点，并且弦长AB =，则222211a a b b+-的最小值为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）已知向量(sin(),2cos ),sin(),cos )(0)2a wx wxb wx wx w ππ=+=+> ，函数()f x a b =⋅ ，其图象上相邻的两个最低点之间的距离为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C的对边分别为222,,,tan a b c B a c b =+-，求()f A 的取值范围.17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}1n S n +是首项与公差均为12的等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若221212n n n n n a a b a a +++++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18、（本小题满分12分）在某次篮球比赛中的总决赛中，甲队与乙队势均力敌，在比赛还剩20秒时，乙队投篮命中，把比分追至67:67，甲队获得球权后立即请求暂停进行战术安排，决定投2分球，乙队教练也马上进行战术安排如下：方案一：犯规战术，即在甲方球发出后5名内迅速选择甲队罚球不准的队员A 进行犯规，待A 罚球两次（每次罚球得1分）之后，再进攻.方案二：防守战术，即甲方发球后不犯规，积极防守，然后打反击，最后一球，要控制比赛时间，在最后时刻由乙队球星B 投球；若分差小于2分，则投2分，若分差不小于2分，则投3分.根据统计A 罚球的命中率为25；甲队投中2分的概率为12，球星B 投篮命中率如下：（1）若乙队执行方案二，求乙队获胜的概率；（2）若乙队执行方案一，设甲乙两队得分分别为,x y ，求y x ξ=-的分布列与数学期望.20、（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点1)2，抛物线22:2C x y =的焦点是椭圆1C 的上顶点A .（1）求曲线1C 与2C 的方程；（2）过点A 作直线l 交抛物线2C 于,B C 两点，求11AB AC+的值；（3）设点P 为椭圆1C 在第一象限内的一点，且0OP OQ ⋅= ，直线PQ 与圆222:O x y b +=相切于点M ，求Q 点的纵坐标.21、（本小题满分12分）已知函数()(),()x xf x e eg x kx k R -=-=∈. （1）曲线()y f x =与()y g x =相切，求k 的值；（2）设()()()(0)h x f x g x x =->.①讨论()h x 的单调性；②1k =时，(2)4()0h x mh x ->对(0,)x ∀∈+∞ 均成立，求m 的最大值.11。

山东师范大学附属中学高三上学期第三次月考数学试题含答案

山东师大附中2017级第3次月考考试数学试题2019.11本试卷共4页，共 150分，考试时间120分钟.一、单项选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{230}A x x x =--<，{22}B x x =-<<，若A B =I （） A ． (2,2)- B ．(2,1)-C ．(1,3)-D ． (1,2)-2. 已知命题:R,10x p x e x ∃∈--≤，则命题p ⌝（） A ．R,10x x e x ∀∈--> B ．R,10x x e x ∀∉--> C ．R,10x x e x ∀∈--≥ D ．R,10x x e x ∃∈-->3. 要得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需要把函数sin 2y x =的图象（）A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移6π个单位4. 已知数列{}n a 满足12n n a a +=+且2469a a a ++=，则3579log ()a a a ++= ( ) A. 3- B. 3 C. 13- D.135. 函数()log (0,1)a f x x a a =>≠是增函数的一个充分不必要条件是（） A ．102a <<B ．01a <<C ．1a >D ． 24a <<6. 函数31()()2x f x x =-的零点所在区间为（）A ．(1,0)-B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,2)7. 若()0,0,lg lg lg 2a b a b a b >>+=+，则2a b +的最小值为（）A. 9B. 8C. 7D. 68. 已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上有极值点，实数a 的取值范围是（） A. ()0,2 B. ()()2,00,2-U C. ()0,4 D. ()()4,00,4-U9. 泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征. 为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45o ，沿点A 向北偏东30o 前进100m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30o ，则“泉标”的高度为（）A. 50mB. 100mC. 120mD. 150m 10. 已知偶函数()f x 的定义域为(,)22ππ-，其导函数为'()f x ，当02x π<<时，有'()cos ()sin 0f x x f x x +<成立，则关于x 的不等式()()cos 4f x x π<⋅的解集为（）A. ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U C. ,00,44ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D. ,0,442πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U二、多项选择题:本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.11. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（）A. 3y x =B. 2y x -=C. xy e = D. 2lg y x =12.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1,)(0)P m m <，则下列各式一定为正的是（）A. sin cos αα+B. cos sin αα-C. sin cos ααD.sin tan αα13. 已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，以下几个结论中正确的是（）A. 010x e <<B. 01x e> C. 00()20f x x +< D. 00()20f x x +>三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在对应题号的横线上.14. 已知1tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα-+的值为 .15. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是 .16. 设等差数列{}n a 前n 项和为n S .若210a =，540S =，则5a = ，n S 的最大值为 .17.已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是 .四、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. （本小题满分10分）设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足424S S =，917a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足1212112n n n b b b a a a +++=-…，求数列{}n b 的通项公式 .19. （本小题满分14分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos cos 2c A a C a +=.（1）求ab的值；（2）若1a =，c =ABC ∆的面积．20. （本小题满分14分）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++. （1）设方程01)(=-x f 在),0(π内有两个零点21x x ，，求21x x +的值；（2）若把函数)(x f y =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数)(x g 图象，求函数)(x g 在[,]33ππ-上的最值. 21. （本小题满分14分）设函数()sin xf x e a x b =++.（1）当1a =，[0,)x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求实数b 的取值范围；（2）若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，且方程2()m xf x x-=恰有两解，求实数m 的取值范围.22. （本小题满分15分）已知某工厂每天的固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入为21()5004R x x x =-+（元），()P x 为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润=总利润/总产量）. 销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售，()b a c a λ=+-，其中c 为最高限价（a b c <<），λ为该产品畅销系数.据市场调查，λ由当b a -是,c b c a --的比例中项时来确定.（1）每天生产量x 为多少时，平均利润()P x 取得最大值？并求出()P x 的最大值；（2）求畅销系数λ的值；（3）若600c =，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值.23. （本小题满分15分）已知函数()ln f x x ax =-. （1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性；（2）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（3）已知0a b e <<<，证明b a a b <.参考答案（2019.11）一. 单项选择题二. 多项选择题11. CD 12. BD 13. AD 三. 填空题 14.51815. (,1)-∞- 16. 4；42 17. 四. 解答题18. 解：（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．由已知得11914684817a d a d a a d +=+⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩．于是12(1)21n a n n =+-=-．（2）当1n =时，1111122b a =-=．当2n ≥时，1111(1)(1)222n n n n n b a -=---=，当1n =时上式也成立．于是12n nn b a =．故12122n n n n n b a -==． 19. 解：（1）由正弦定理， cos cos 2c A a C a +=可化为sin cos cos sin 2sin C A C A A +=，也就是sin()2sin A C A +=．由ABC ∆中A B C π++=可得 sin()sin()sin A C B B π+=-=．即sin 2sin B A =. 由正弦定理可得2b a =，故12a b =．（2）由1a =可知2b =．而c =2221cos 22a b c C ab +-==-．又0C π<<于是23C π=．112sin 12sin 223ABC S ab C π∆==⨯⨯⨯=20. 解：（1）由题设知2)42cos(212cos 12sin )(++=+++-=πx x x x f ，12)42cos(2,01)(=++∴=-πx x f Θ，22)42cos(-=+∴πx ，或43242πππ+=+∴k x Z k k x ∈+=+,45242πππ 得4ππ+=k x 或2ππ+=k x ，43,2,4),,0(2121ππππ=+∴==∴∈x x x x x Θ．（2）)(x f y =图像向左平移6π个单位，得)]2)2)2643412y x x x πππππ=+++=+++=++ 再向下平移2个单位得)122sin(2)(π+-=x x g当[,]33x ππ∈-时，73(2)[,]12124x πππ+∈-，sin(2)[1,1]12x π+∈-∴)(x f 在[,]33ππ-，最小值为．21. 解：（1）函数()sin x f x e a x b =++求导可得'()cos xf x e a x =+．当1a =时'()cos x f x e x =+. 当[0,)x ∈+∞时，1,cos [1,1]xe x ≥∈-且当cos 1x =-时，2()x k k Z ππ=+∈，此时1x e >成立，故'()cos 0x f x e x =+>在[0,)x ∈+∞恒成立．于是()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)1f x f b ≥=+. 若()0f x ≥恒成立，只需要10b +≥，解得1b ≥-．（2）由题意得'(0)11f a =+=可知0a =．由点(0,1)b +在直线10x y --=上可知0(1)10b -+-=，解得2b =-．于是()2xf x e =-．若方程2()m x f x x-=恰有两解，则方程(2)2xe x m x -=-有两解，也就是x xe m =有两解．令()xg x xe =，求导得'()(1)xg x e x =+.当(,1)x ∈-∞-时，'()0g x <，()g x 在(,1)-∞-上单调递减；当(1,)x ∈-+∞时，'()0g x >，()g x 在(1,)-+∞上单调递增；所以1()(1)g x g e≥-=-. 当0x <时，()0g x <，且当x →-∞时，()0g x →，而(1)0g e =>，故实数m 的取值范围是10m e-<<． 22. 解：（1）由题意得，总利润为2211500100400004004000044x x x x x -+--=-+-.于是21400400001400004()4004x x P x x x x-+-==--+400200400200≤-=-+=当且仅当1400004x x=即400x =时等号成立．故每天生产量为400件时平均利润最大，最大值为200元．（2）由()b a c a λ=+-可得b ac aλ-=-，由b a -是,c b c a --的比例中项可知2()()()b a c b c a -=--，即2()()1(1)()c b c a c a a b c a c a c ab a b a b a b a b a---+----==⋅=-⋅-----化简得111(1)λλ=-⋅，解得λ=．（3）厂家平均利润最大，生产量为400x =件．()1150040050040044R x a x x ==-+=-⨯+=．（或者4000040000100()100200400400a P x x =++=++=）代入()b a c a λ=+-可得3)b =．于是400a =，3)b =．23. 由题意可知，函数()ln f x x ax =-的定义域为： ()0+∞，且1()f x a x'=- （1）当=1a 时，11()1=x f x x x-'=-，若()0f x '>，则 01x <<；若()0f x '<，则 1x >所以函数()f x 在区间()01，单调递增，()1+∞，单调递减．（2）若()0f x ≤恒成立，则ln 0x ax -≤恒成立．又因为()0+x ∈∞，所以分离变量得ln xa x≥恒成立．设ln ()xg x x=，则max ()a g x ≥，所以21ln ()x g x x -'=．当()0g x '≤时，()+x e ∈∞，；当()0g x '≥时，(0,)x e ∈，即函数ln ()xg x x=在(0,)e 上单调递增，在()+e ∞，上单调递减．当=x e 时，函数ln ()xg x x=取最大值，max 1()=()g x g e e =，所以1a e ≥（3）欲证b a a b <，两边取对数，可得ln ln ln ln ln ln baa ba b b a a b a b<⇔<⇔<，由（2）可知ln ()xg x x=在(0,)e 上单调递增，且0a b e <<<所以()()g a g b <，命题得证．。

2017届山东省师范大学附属中学高三上学期第一次模拟考试理科数学试题及答案

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,0U =----，集合{}{}1,2,0,3,4,0A B =--=--，则()U C A B ⋂=A.{}0B.{}3,4--C.{}1,2--D. φ 2.已知()2,f x x i =是虚数单位，则在复平面中复数()13f i i++对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<= A.12p + B.1p - C.12p - D.12p - 4.设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题：①若//,m n m n αα⊥⊥，则； ②若,,//m m αβαβ⊥⊥则； ③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则. 其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.36.要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象A.向左平移2π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度C.向左平移4π个单位长度D.向右平移4π个单位长度7. 已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是A.⎡⎢⎣⎦B.⎢⎣C.⎛⎝⎭D.( 8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 A.360 B.520 C.600 D.7209.设函数()2,0,2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若()()()40,22f f f -=-=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为 A.4 B.3 C.2 D.110.已知向量OA OB uu r uu u r与的夹角为()2,1,,1,OA OB OP tOA OQ t OB PQ θ====-uu r uu u r uu u r uu r uuu r uu u r uu u r ， 0t 在时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围为A.0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.. 11.若13x x k ++->对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围为_________.12.如图给出的是计算11112462014+++⋅⋅⋅+的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_______.13.已知圆C 过点()1,0-，且圆心在x 轴的负半轴上，直线:1l y x =+被该圆所截得的弦长为则圆C 的标准方程为________________.］ 14.定义：{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，在区域0206x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(){}22,min 2,42p x y x y x x y x y x x y++++=++，则、满足的概率为__________. 15.已知2280,02y x x y m m x y>>+>+，若恒成立，则实数m 的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且22212a cb ac +-=.. （I ）求2sin cos 22A CB ++的值；（II ）若2b =∆，求ABC 面积的最大值.17.（本小题满分12分）如图，在七面体ABCDMN 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且21.MD NB MB ND P ==，，与交于点（I ）在棱AB 上找一点Q ，使QP//平面AMD ，并给出证明；（II ）求平面BNC 与平面MNC 所成锐二面角的余弦值.18.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为432555、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。

2017届山东师范大学附属中学高三上学期第二次模拟考试理科数学(详细答案版)

2017届山东师范大学附属中学高三上学期第二次模拟考试理科数学一、选择题：共10题1．复数z=2−i1+i的共轭复数对应的点在复平面内位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】主要考查复数代数形式的乘除运算和复数的代数表示法及其几何意义.∵z=2−i 1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i2=12−32i,∴z̅=12+32i.∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(12,32),在第一象限.故选D.2．设集合A={x||x+1|<3},集合B={x|x2−x−6≤0},则A∩B=A.{x|2≤x≤3}B.{x|−2≤x≤3}C.{x|−2≤x<2}D.{x|−4<x≤3}【答案】C【解析】本题主要考查集合的基本运算.由集合A={x||x+1|<3}={x|−4<x<2},集合B={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3},则A∩B={x|−2≤x<2},故选C.3．设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y−1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充分条件与必要条件及两直线位置关系.由直线l1:ax+2y−1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行,得a1=2a+1≠−14得a=1或a=−2,则“a=1”是“直线l1:ax+2y−1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件,故选A.4．已知f(x)=x+1x−1,f(a)=2,则f(−a)=A.−4B.−2C.−1D.−3【答案】A【解析】本题主要考查函数的性质.依题意,f(x)=x +1x −1,f(a)=a +1a −1=2,则f(−a)=−(a +1a )−1=−4,故选A.5．在ΔABC 中,AB =2,BC =3,∠ABC =60∘,AD 为BC 边上的高,O 为AD 的中点,若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λA B +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= A.1 B.12C.43D.23【答案】D【解析】本题主要考查平面向量基本定理.在△ABD 中,BD =12AB =1,又BC =3,则BD =13BC ,得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由O 为AD 的中点得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λA B +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得λ=12,μ=16得λ+μ=23,故选D.6．在等差数列{a n }中,a 9=12a 12+3,则数列{a n }的前11项和S 11=A.21B.48C.66D.132【答案】C【解析】本题主要考查等差数列.依题意,在等差数列{a n }中,a 9=12a 12+3,则2a 9=a 12+6,又2a 9=a 12+a 6,则a 6=6,得S 11=11a 6=66,故选C.7．已知正数x,y 满足{2x −y ≤0 x −3y +5≥0,则z =(14)x ⋅(12)y 的最小值为A.1B.14√23C.116D.132【答案】C【解析】本题主要考查简单的线性规划问题.作出由不等式组{2x −y ≤0x −3y +5≥0表示的平面区域,得当目标函数m =2x +y 过点A(1,2)时,m 取最大值为4,又由z =(14)x ⋅(12)y=(12)x+2y 的最小值为116,故选C.8．在ΔABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示ΔABC的面积,若S=14(b2+c2−a2),则∠A=A.90∘B.60∘C.45∘D.30∘【答案】C【解析】本题主要考查正弦定理.由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin(A+B)=2RsinC=2Rsin2C,得sinC=1,C=90°.又S=14(b2+c2−a2),解得a=b,因此B=45°,故选C.9．直线y=kx+3与圆(x−3)2+(y−2)2=4相交于M、N两点,若|MN|≥2√3,则k 的取值范围是A.[−34,0] B.[−∞,−34]∪[0,+∞)C.[−√33,√33] D.[−23,0]【答案】A【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.设圆心(3,2)到直线y=kx+3的距离为d,由弦长公式得,MN=2√4−d2⩾2√3,故d⩽1,即√k2+1⩽1,化简得8k(k+34)⩽0,得−34⩽k⩽0,故选A.10．设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对∀x∈(0,+∞)都有f(f(x)−lnx)= e+1,则方程f(x)−f′(x)=e的实数解所在的区间是A.(0,1e ) B.(1e,1) C.(1,e) D.(e,3)【答案】C【解析】本题主要考查函数的零点及导数在研究函数中的应用.由f(x)是定义在(0,+∞)上单调函数,且对∀x ∈(0,+∞),都有f(f(x)−lnx)=e +1,得设f(x)−lnx =t ,则f(t)=e +1,即f(x)=lnx +t ,令x =t,则f(t)=lnt +t =e +1,则t =e ,即f(x)=lnx +e ,函数的导数f′(x)=1x ,则由f(x)−f′(x)=e 得lnx +e −1x =e ,即lnx −1x =0,设ℎ(x)=lnx −1x ,则ℎ(1)=ln1−1=−1<0,ℎ(e)=lne −1e =1−1e >0,得函数ℎ(x)在(1,e)上存在一个零点,即方程f(x)−f′(x)=e 的实数解所在的区间是(1,e),故选C.二、填空题：共5题11．已知由曲线y =√x ,直线y =2−x 和x 轴所围成图形的面积为S ,则S =_______.【答案】76【解析】本题主要考查定积分.由曲线y =√x ,直线y =2−x 和x 轴所围成的图形的面积为∫√x 10dx +∫(2−x)21dx =23x 32∣01+(2x −12x 2)|12=23+2−32=76,故填76.12．已知平面向量a,b 的夹角为2π3,|a|=2,|b|=1,则|a +2b|=___________.【答案】2【解析】本题主要考查平面向量数量积.依题意,平面向量a,b 的夹角为2π3,|a|=2,|b|=1,则|a +2b|2=a 2+4a ⋅b +4b 2=22+4×2×1×cos 2π3+4×12=4,故|a +2b|=2,故填2.13．已知过点P(2,2)的直线与圆(x −1)2+y 2=5相切,且与直线ax −y +1=0垂直,则a =__________. 【答案】2【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.依题意,由点P(2,2)满足圆(x −1)2+y 2=5的方程,则点P 在圆上,又过点P(2,2)的直线与圆(x −1)2+y 2=5相切,且与直线ax −y +1=0垂直,则切点与圆心连线与直线ax −y +1=0平行,故直线ax −y +1=0的斜率a =2−02−1=2.故填2.14．若cos(75∘+α)=13,则sin(60∘+2α)=__________.【答案】79【解析】本题主要考查诱导公式及二倍角公式.依题意,cos(75∘+α)=13,则cos(150∘+2α)=2cos 2(α+75∘)−1=2×(13)2−1=−79,sin(60∘+2α)=−cos(90∘+60∘+2α)=−cos(150∘+2α)=79,故填79.15．已知函数f(x)=|lg(x +1)|,实数a,b 满足:a <b,且f(a)=f(−b+1b+2),则f(8a +2b +11)取最小值时,a +b 的值为__________. 【答案】−12【解析】本题主要考查函数的性质.由f(a)=f(−b+1b+2),得|lg(a +1)|=|lg(−b+1b+2)+1)|=|lg 1b+2)|=|lg(b +2)|,得a +1=b +2,或(a +1)(b +2)=1,又a ＜b ,则a +1≠b +2,得(a +1)(b +2)=1．又由f(a)=|lg(a +1)|有意义知a +1＞0,从而0＜a +1＜b +1＜b +2,于是0＜a +1＜1＜b +2．则f(8a +2b +11)|lg(8a +2b +12)|=|lg[8(a +1)+2(b +2)]|=|lg(8b+2+2(b +2))|≥|lg2√8b+2×2(b +2)|=|lg8|,当且仅当8b+2=2(b +2)即b =0时取“=”,此时a =−12,则a +b =−12,故填−12.三、解答题：共6题16．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ),(A >0,ω>0,0<φ<π2),x ∈R,f(x)的最小值为−4,f(0)=2√2,且相邻两条对称轴之间的距离为π. (I)当x ∈[−π2,π2]时,求函数f(x)的最大值和最小值; (II)若x ∈(π2,π),且f(x)=1,求cos(x +5π12)的值.【答案】(Ⅰ)由题意知f(x)=4sin(x +π4) 当x ∈[−π2,π2]时,x +π4∈[−π4,3π4],∴sin(x +π4)∈[−√22,1] ∴f(x)min =−2√2,f(x)max =4.(Ⅱ)∵f(x)=4sin(x +π4)=1,∴sin(x +π4)=14, ∵x ∈(π2,π),∴x +π4∈(3π4,5π4),∴cos(x +π4)=−√154∴cos(x+5π12)=cos(x+π4+π6)=√32cos(x+π4)−12sin(x+π4),=√32×(−√154)−12×14=−3√5−18【解析】本题主要考查三角函数最值及两角和与差的三角公式.(Ⅰ)由题意知f(x)= 4sin(x+π4),利用整体思想求得函数f(x)的最大值和最小值.(Ⅱ)由(x)=1求得sin(x+π4)=14,cos(x+π4)=−√154,利用两角和与差的三角公式求得cos(x+5π12)的值.17．数列{a n}的前n项和为S n,已知S n+1=S n+a n+2,a1,a2,a5成等比数列.(I)求数列{a n}的通项公式;(II)若数列{b n}满足b na n=(√2)1+a n,求数列{b n}的前n项和T n.【答案】(I)∴数列{a n}是公差为2的等差数列;又a1,a2,a5成等比数列,∴a1⋅(a1+4d)=(a1+d)2⇒a1⋅(a1+8)=(a1+2)2∴a1=1,∴a n=2n−1 (n∈N∗)(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:bn=(2n−1)⋅√22n=(2n−1)⋅2n∴T n=b1+b2+b3+⋯+b n−1+b n=1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n−3)⋅2n−1+(2n−1)⋅2n ∴2T n=1⋅22+3⋅23+5⋅24+⋯+(2n−3)⋅2n+(2n−1)⋅2n+1错位相减得:−T n=2+2(22+23+⋯+2n)−(2n−1)⋅2n+1=2+2×4(1−2n−1)1−2−(2n−1)⋅2n+1=2+2n+2−8−(2n−1)⋅2n+1=−6−(2n−3)⋅2n+1∴T n=(2n−3)⋅2n+1+6【解析】本题主要考查数列求通项及数列求和.(I)由数列{a n}是公差为2的等差数列,又a1,a2,a5成等比数列,得a1⋅(a1+4d)=(a1+d)2,求得a1的值,从而求得数列{a n}的通项公式.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:b n=(2n−1)⋅√22n=(2n−1)⋅2n,利用错位相减法求得数列{b n}的前n项和T n.18．已知m=(√3sinx,cosx),n=(cosx,cosx),x∈R,设f(x)=m⋅n.(I)求f(x)的解析式及单调递增区间;(II)在ΔABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,b+c=2,f(A)=1,求ΔABC的面积.【答案】(I)∵f(x)=√3sinx⋅cosx+cos2x=√32sin2x+1+cos2x2=sin(2x+π6)+12令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ⇒−π3+kπ≤x≤π6+kπ,(k∈Z)∴f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ] (k∈Z)(Ⅱ)由f(A)=sin(2A+π6)+12=1⇒sin(2A+π6)=12,又∵A∈(0,π),∴2A+π6∈(π6,13π6)∴2A+π6=5π6⇒A=π3∴a2=b2+c2−2bc⋅cosA=(b+c)2−2bc⋅(1+cosA)∴bc=1,∴SΔABC=12bc⋅sinA=√34【解析】本题主要考查二倍角公式、三角函数性质、余弦定理、三角形面积公式.(I)利用平面向量数量积求得f(x)=√3sinx⋅cosx+cos2x利用二倍角公式结合两角和与差的三角公式求得f(x)=sin(2x+π6)+12,利用整体思想结合正弦函数性质求得函数的单调增区间.(Ⅱ)利用f(A)=1求得角A的值,然后利用余弦定理求得bc的值,再利用三角形面积公式求得ΔABC的面积.19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1=2,S5=30,数列{b n}的前n项和为T n,且T n=2n−1.(I)求数列{a n},{b n}的通项公式;(II)设c n=lnb n+(−1)n lnS n,求数列{c n}的前n项和M n.【答案】(Ⅰ)∵{a n}是等差数列,∴S5=5a1+5×42d⇒30=5×2+10d⇒d=2∴a n=2n数列{b n}的前n项和为T n,且T n=2n−1.∴b1=1,n≥2时b n=T n−T n−1=2n−1,∴b n=2n−1(n∈N∗)(Ⅱ)S n=2⋅n(n+1)2=n(n+1)c n=lnb n+(−1)n lnS n=ln(2n−1)+(−1)n ln[n(n+1)]=(n−1)ln2+(−1)n[lnn+ln(n+1)]∴M n=ln2×[0+1+2+⋯+(n−1)]+N n=n(n−1)2ln2+N n其中N n=−(ln1+ln2)+(ln2+ln3)−(ln3+ln4)+⋯+(−1)n[lnn+ln(n+1)]=(−1)n ln(n+1)∴M n=n(n−1)2ln2+(−1)n ln(n+1)【解析】本题主要考查数列的通项公式及数列求和.(Ⅰ)由S5=5a1+5×42d求得公差d的值,从而求得数列{a n}的通项公式,由数列{b n}的前n项和为T n,且T n=2n−1,b1=1,n≥2时b n=T n−T n−1=2n−1,从而求得数列{b n}的通项公式.(Ⅱ)由S n=2⋅n(n+1)2=n(n+ 1)求得c n=(n−1)ln2+(−1)n[lnn+ln(n+1)],利用分组求和求得数列{c n}的前n项和M n.20．已知经过P(4,−2),Q(−1,3)两点的圆C半径小于5,且在y轴上截得的线段长为4√3, (I)求圆C的方程;(II)已知直线l//PQ,若l与圆C交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求直线l的方程.【答案】(Ⅰ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令x=0⇒y2+Ey+F=0∴y1+y2=−E,y1⋅y2=F,∴4√3=|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1⋅y2=√E2−4F∴E2−4F=48…………①又圆过P(4,−2),Q(−1,3)两点,∴{16+4+4D−2E+F=0 1+9−D+3E+F=0⇒{4D−2E+F=−20−D+3E+F=−10⇒2E+F=−12…………②由①②得:{D=2E=0F=−12或{D=−10E=−8F=4∵圆的半径小于5,∴圆的方程为x2+y2−2x−12=0(Ⅱ)k PQ=3−(−2)−1−4=−1,∴设l的方程为:x+y+m=0由{x+y+m=0x2+y2−2x−12=0⇒2x2+(2m−2)x+m2−12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1−m,x1⋅x2=m2−122∵以AB为直径的圆过原点,∴OA⊥OB,即OA→⋅OB→=0∴x1⋅x2+y1⋅y2=x1⋅x2+(−x1−m)⋅(−x2−m)=0整理得:m2+m−12=0⇒m=3或m=−4,且m=3或m=−4均满足Δ>0∴l的方程为x+y+3=0或x+y−4=0【解析】本题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系.(Ⅰ)设圆的方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0,令x=0得y2+Ey+F=0,则y1+y2=−E,y1⋅y2=F,则4√3=|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1⋅y2=√E2−4F,求得E2−4F=48又圆过P(4,−2),Q(−1,3)两点,代入圆的方程,解方程组求得D,E,F的值,从而求得圆的方程.(Ⅱ)先求得直线PQ的斜率,设l的方程为:x+y+m=0,代入圆的方程,结合韦达定理及平面向量数量积求得m的值,从而求得直线方程.21．已知函数f(x)=e x,g(x)=mx+n.(I)设ℎ(x)=f(x)−g(x).①若函数ℎ(x)在x=0处的切线过点(1,0),求m+n的值;②当n=0时,若函数ℎ(x)在(−1,+∞)上没有零点,求m的取值范围;(II)设函数r(x)=1f(x)+nxg(x),且n=4m(m>0),求证:当x≥0时,r(x)≥1.【答案】(Ⅰ)①由题意得ℎ′(x)=e x−m,∴k=ℎ′(0)=1−m又ℎ(0)=1−n,∴函数ℎ(x)在x=0处的切线方程为y−(1−n)=(1−m)x,将点(1,0)代入,得m+n=2②当n=0时,可得ℎ′(x)=e x−m,∵x>−1,∴e x>1e,当m≤1e时,ℎ′(x)=e x−m>0,∴函数ℎ(x)在(−1,+∞)上单调递增,而ℎ(0)=1,所以只需ℎ(−1)=1e +m≥0⇒m≥−1e,∴−1e≤m≤1e当m>1e时,ℎ′(x)=e x−m=0⇒x=lnm∈(−1,+∞),x∈(−1,lnm),ℎ′(x)<0,ℎ(x)单调递减;x∈(lnm,+∞)时,ℎ′(x)>0,ℎ(x)单调递增, ∴ℎ(x)在(−1,+∞)上有最小值,ℎ(x)min=ℎ(lnm)=m−mlnm,令m−mlnm>0⇒m<e,所以1e<m<e,综上可知:−1e≤m<e(Ⅱ)由题意,r(x)=1f(x)+nxg(x)=1e x+nmxx+nm=1e x+4xx+4,而r(x)=1e x +4xx+4≥1等价于e x(3x−4)+x+4,令F(x)=e x(3x−4)+x+4,则F(0)=0,且F′(x)=e x(3x−1)+1,F′(0)=0,令G(x)=F′(x),则G′(x)=e x(3x+2),∵x≥0,∴G′(x)>0,∴F′(x)在[0,+∞)上单调递增,∴F′(x)≥F′(0)=0,∴F(x)在[0,+∞)上单调递增,即F(x)≥F(0)=0,即x≥0时,r(x)≥1【解析】本题主要考查导数的几何意义、函数的零点及导数在研究函数中的应用.(Ⅰ)①对函数ℎ(x)求导得k=ℎ′(0)=1−m,又ℎ(0)=1−n,求得函数ℎ(x)在x=0处的切线方程,将点(1,0)代入,求得m+n的值.②当n=0时,可得ℎ′(x)=e x−m,对参数m分情况讨论,求得函数的单调性,利用单调性结合函数图像求得函数的最小值,利用函数的最小值大于零,求得m的取值范围.(Ⅱ)由题意,r(x)=1e x +4xx+4,利用r(x)=1e x+4xx+4≥1等价于e x(3x−4)+x+4,令F(x)=e x(3x−4)+x+4,则F(0)=0,对函数求导,利用函数的单调性结合函数图像求得F(x)≥F(0)=0,从而求得证得结论.。

山东师范大学附属中学2017届高三物理上学期第三次模拟考试试题

山东师范大学附属中学2017届高三物理上学期第三次模拟考试
试题
3月6日，山东师范大学附属中学XXXX接受英国《每日邮报》采访时表示，英国学者通过研究证实，“超级地球”和“格利泽581d”
的体积约为地球体积的27倍，密度约为地球密度。

众所周知，地球表面的重力加速度是g，地球的第一宇宙速度是v,“glize 581d”被认为是一个球体。

据估计，“Gliese 581d”表面的重力加速度为g b，“Gliese 581d”表面的重力加速度为c，“Gliese 581d”的第一宇宙速度为v d，“Gliese 581d”的第一宇宙速度为
g
v 4
12。

在图中，k、l和m是静电场中三个等距的等电位面(k和m之间没有电荷)
带电粒子进入该静电场，并按照abcde轨迹运动已知电位φK。

2017届山东省师大附中高三第三次模拟考试数学(理)试卷(带解析)

文档编号：YLWK183826绝密★启用前2017届山东省师大附中高三第三次模拟考试数学（理）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．已知复数满足2i i =-，i 为虚数单位，则=z ( )A.2i -B.12i +C.12i -+D.12i --2．已知集合1{|1}2x A x ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭， 2{|280}B x x x =--≤，则A B ⋂=（） A. {|20}x x -≤≤ B. {|24}x x ≤≤ C. {|04}x x ≤≤ D. {|2}x x ≤- 3．直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为（）A. 272B. 9C. 92D. 2744．已知函数()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若将其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()y f x =的图象（） A. 关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B. 关于直线12x π=对称 C. 关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D. 关于直线512x π=对称 5．下列说法错误的是（）A. 对于命题2:,10p x R x x ∀∈++>，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈++≤ B. “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C. 若命题p q ∧为假命题，则,p q 都是假命题D. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A ．,a bB ．,a cC ．,c bD ．,b d7．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（）A ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)4x y -++=C ．22(4)(2)4x y ++-=D ．22(2)(1)1x y ++-=8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（）A ．29B ．31C ．33D ．36 9．已知双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ， O 为坐标原点， P 是双曲线上在第一象限内的点，直线2,PO PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点,M N ， 122PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A. 2B. 3C. 7D. 2310．已知函数()f x 满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()ln f x x =，若当文档编号：YLWK183826 1,x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x ax =-与x 轴有交点，则实数a 的取值范围是（） A. ln ,0ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 1,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 1ln ,πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. []ln ,0ππ-第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．已知实数x ，y 满足10,10,1,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩则3y x -的最小值为． 12．若经过抛物线24y x =焦点的直线l 与圆()2244x y -+=相切，则直线l 的斜率为__________．13．已知1sin cos 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 14．函数()()222,1{log 1,1x x f x x x -≤=->，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________． 15．在ABC ∆中，点D 满足34BD BC =，当点E 在射线AD （不含点A ）上移动时，若AE AB AC λμ=+，则1λμ+的最小值为________．三、解答题16．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos C aB b A c +=．（1）求C ；（2）若c ABC =∆，求ABC ∆的周长． 17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1C C ⊥底面ABC， 14CC AB AC BC ====， D 为线段AC 的中点．（1）求证：直线1//AB 平面1BC D ；文档编号：YLWK183826（2）求三棱锥1D C CB -的体积．18．已知正项数列{}n a 满足11a =，且()*121n n n a a n N a +=∈+．（1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11?··n n n n b n a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， //AD BC ， 90ADC ∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ， Q 为AD 的中点， M 是棱PC 上的点， 2PA PD ==， 112BC AD ==，CD =（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若二面角M BQ C --大小为30，求线段QM 的长．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1,0)，且点(−1,√22)在椭圆C 上． ⑴求椭圆C 的标准方程；⑵已知动直线l 过点F 且与椭圆C 交于A,B 两点．试问x 轴上是否存在定点Q ,使得QA⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−716恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知函数()22ln f x m x x =-， ()2ln xg x e m x =-， ()m R ∈， ln20.693=．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在最大值M ， ()g x 存在最小值N ，且M N ≥，求证： 2e m >．文档编号：YLWK183826参考答案1．D【解析】解：因为复数z 满足2221-⋅=-∴==--i z i i z i i，选D 2．C 【解析】因为1{|1}{|0}2x A x x x ⎛⎫=≤=≥ ⎪⎝⎭， 2{|280}{|24}B x x x x x =--≤=-≤≤，所以， A B ⋂= {|04}x x ≤≤,故选C .3．C【解析】由直线3y x =与曲线2y x =，解得0{0x y ==或3{3x y ==，所以直线3y x =与曲线2y x=的交点为()0,0O 和()3,3A ，因此，直线3y x =与曲线2y x =所围成的封闭图形的面积是()32233003193|232S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选C. 4．D【解析】因为函数()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期是π，所以，2,2ππωω==,所以()()sin 2f x x ϕ=+，将其图象向右平移3π个单位后得到的函数为()2sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又因为()2sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以23k πϕπ-+=，可得3πϕ=-，则()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 55sin 11263f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于直线512x π=对称，故选D . 5．C【解析】根据全称命题的否定是特称命题知A 正确；由于1x =可得2320x x -+=，而由2320x x -+=得1x =或2x =，所以“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件正确；命题p q ∧为假命题，则,p q 不一定都是假命题，故C 错；根据逆否命题的定义可知D 正确，故选C.6．A【解析】试题分析：正视图和侧视图完全相同时，牟合方盖相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，而俯视图为一个正方形，且有两条实线的对角线，选A.考点：三视图7．A【解析】试题分析：设圆上任一点为()00,Q x y ，PQ 中点为(),M x y ，根据中点坐标公式得，002422x x y y =-⎧⎨=+⎩，因为()00,Q x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=，即()()2224224x y -++=，化为22(2)(1)1x y -++=，故选A.考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x =⎧⎪⎨=⎪⎩代入()00,0f x y =.本题就是利用方法④求M 的轨迹方程的.8．B【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由题意知42111361125224a qa q a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⨯⎪⎩，解得11216q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以515(1)311a q S q -==-，故选B ．考点：等比数列通项公式及求前n 项和公式．【一题多解】由2532a a a =，得42a =．又47522a a +=，所以714a =，所以12q =，所以116a =，所以515(1)311a q S q-==-，故选B ． 9．B【解析】由题意， 1212122,2,4,2PF PF PF PF a PF a PF a =-=∴==，连接12,MF MF ,根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形， 21260,60MF N F PF ∠=∴∠=，由余弦定理可得22241642?4?2?cos60,,c c a a a a c e a=+-∴=∴== B. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖文档编号：YLWK183826 掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值.10．D【解析】因为函数()f x 满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()ln f x x =，则在(]1,π上， ()11ln ln f x f x x x ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，若当1,x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x ax =-与x 轴有交点，即函数(),y f x y ax ==的图象有交点，如图过1,ln ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的斜率ln a ππ=-，则实数a 的取值范围为[]ln ,0ππ-，综上所述，故选D.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.11．13-【解析】试题分析：作出实数x ，y 满足的平面区域，如图所示，因为3y x -表示平面区域内的点与定点(3,0)P 连线的斜率，由图知斜率AP k 最小，所以3y x -的最小值为101033-=--．考点：简单的线性规划问题．12．【解析】抛物线的焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为， ()1y k x =-，即0kx y k --=，直线l 与圆()2244x y -+=相切，2=，解得k =故答案为. 13．79【解析】11sin cos cos cos sin 62263ππαααααα⎛⎫⎛⎫--=--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则27cos 212sin 369ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选答案为79. 14．12- 【解析】()()2222,153{,log log 1,122x x f x f x x -≤⎛⎫=∴= ⎪->⎝⎭， 23log 225331log 2222222f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为12-. 【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、已知分段函数解析式求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰。

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