高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第2课时等比数列习题课课件新人教A版必修5
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2018版高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和二课件新人教A版
解析答案
跟踪训练3 记U＝{1，2，…，100}．对数列{an}(n∈N*)和U的子集T， 若T＝∅，定义ST＝0；若T＝{t1，t2，…，tk}，定义ST＝at1＋at2＋…＋atk. 例如：T＝{1，3，66}时，ST＝a1＋a3＋a66.现设{an}(n∈N*)是公比为3的 等比数列，且当T＝{2，4}时，ST＝30. (1)求数列{an}的通项公式； 解 当 T＝{2，4}时，ST＝a2＋a4＝a2＋9a2＝30， ∴a2＝3，a1＝a32＝1，故 an＝a1qn－1＝3n－1.
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当堂检测
1234
1.等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n等于( )
A.2n－1
4n－1 B. 3
1－－4n C. 5
1－－2n D. 3
解析答案
1234
2.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树
的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于( D )
解析答案
(2) 设 (1) 中 “ 平 方 数 列 ” 的 前 n 项 之 积 为 Tn ， 则 Tn ＝ (2a1 ＋ 1)(2a2 ＋ 1)·…·(2an＋1)，求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式；
解 ∵lg(2a1＋1)＝lg 5，∴lg(2an＋1)＝2n－1lg 5.
∴2an＋1＝ 52n1 ，∴an＝12( 52n1 －1).
重点突破
解析答案
(2)等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2 ＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝__2__.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 (1)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若SS63＝3，则SS96等于(
2020年年数学人教A版必修五优化课件第二章等比数列的前n项和公式的性质及应用
对等比数列求和的项数用错致误 [典例] 在等比数列{an}中，公比 q＝2，前 87 项和 S87＝140，则 a3 ＋a6＋a9＋…＋a87＝________.
[ 解 析 ] 法 一 ： a3 ＋ a6 ＋ a9 ＋ … ＋ a87 ＝ a3(1＋ q3 ＋ q6 ＋ … ＋ q84) ＝ a1q2·1－1－qq3329＝1＋qq2＋q2·a111－－qq87＝47×140＝80.
在与等比数列的和有关的问题中，合理应用和的性质，可以简化运算， 本题的法四运用了当 q≠－1 时，数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍 成等比数列，公比为 qm；法二运用了等比数列的性质：Sm＋n＝Sn＋ qnSm；法三运用了等比数列的性质：当 q≠±1 时，1－Smqm＝1－Snqn.
列的性质的由来． 并能应用．
2．理解等比数列的性质并能应用． 难点：掌握等比数列的性质
3．掌握等比数列的性质并能综合应 并能综合应用.
用.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
1．等比数列的项与序号的关系以及性质
设等比数列{an}的公比为 q. (1)两项关系：an＝ am·qn－m (m，n∈N*)． (2)多项关系：若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 aman＝ apaq . (3)若 m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，am，an，ap 成等比数列．
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·an－1 ＝ak·__a_n_－_k＋_1_
＝a2 n+1 (n 为正奇数)．
2
等比数列的前n项和公式(共2课时)高二数学教材配套教学精品课件(人教A版2019选择性必修第二册)
探究4：根据以上计算判断国王能否实现他的诺言.
新知探究
①
②
①-②得：
①×q 得
思考1：类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢？
思考2：要求出Sn,是否可以把上式两边同除以（1-q）？
新知探究
①当1-q≠0，即q≠1时，除以1-q得
②当1-q＝0，即q＝1时，
注意：分类讨论
新知探究
等比数列前n项和公式
课堂小结
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
＝a1＋qS偶
S奇＝a1＋qS偶
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
⇔
S偶＝qS奇
⇔
新知探究
例4.已知等比数列 共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有项之和是( )A. B. C. D.
(1)等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况.
(2)推导等比数列前n项和公式的方法：错位相减法.
(3)步骤: 乘公比，错位写，对位减.
注意：
新知探究
思考3：等比数列的前n项和公式有何函数特征？
03
等比数列前n项和公式的应用
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
B
新知探究
例2.在等比数列中，公比为，前项和为.(1)若，求；(2)若，，求及.
新知探究
新知探究
新知探究
方法总结
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
例4.在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求{an}的通项公式．(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
新知探究
①
②
①-②得：
①×q 得
思考1：类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢？
思考2：要求出Sn,是否可以把上式两边同除以（1-q）？
新知探究
①当1-q≠0，即q≠1时，除以1-q得
②当1-q＝0，即q＝1时，
注意：分类讨论
新知探究
等比数列前n项和公式
课堂小结
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
＝a1＋qS偶
S奇＝a1＋qS偶
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
⇔
S偶＝qS奇
⇔
新知探究
例4.已知等比数列 共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有项之和是( )A. B. C. D.
(1)等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况.
(2)推导等比数列前n项和公式的方法：错位相减法.
(3)步骤: 乘公比，错位写，对位减.
注意：
新知探究
思考3：等比数列的前n项和公式有何函数特征？
03
等比数列前n项和公式的应用
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
B
新知探究
例2.在等比数列中，公比为，前项和为.(1)若，求；(2)若，，求及.
新知探究
新知探究
新知探究
方法总结
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
例4.在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求{an}的通项公式．(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
《2.5 等比数列的前n项和》 课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品
1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分 即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分 由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二 对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5
根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log10.
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
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4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
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课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
等比数列的前n项和公式(第2课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
列，{ }是公比为的等比数列，我们可以用错位相减法求{ }的前项和.
错位相减法求和的注意点：
宋老师数学精品工作室
1.在写“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准
确写出“ − ”的表达式.
2.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于
n
420
1.05
n
n 420.
4
4
1 1.05
2
当n 5时,S5 63.5.
∴从今年起5年内,通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后
每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出
100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数
2
∴所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式
处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，
通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，
请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今
室
Sn (a1 b1 ) (a2 b2 ) (an bn ) (a1 a2 an ) (b1 b2 bn )
3 2 27
20 1.05 (1 1.05n ) n(7.5 1.5n 6)
1
1
1
1
1
{
}
= [
−
]
( + 1)( + 2)
高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第2课时 数列求和课件 新人教A版必修5
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2（11－－2210）＋（1＋120）×10 ＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.
第二章 数列
第 2 课时 数列求和
第二章 数列
1. 能 由 简 单 的 递 推 公 式 求 出 数 列 的 通 项 公 式． 2.掌握数列求和的几种基本方法．
1．基本求和公式 (1)等差数列的前 n 项和公式 Sn＝n（a12＋an）＝na1＋n（n2－1）d. (2)等比数列的前 n 项和公式 当 q＝1 时，Sn＝_n_a_1_； 当 q≠1 时，Sn＝a1（11－－qqn）＝a11－－aqnq.
求和时易忽视两边同 除以－3
(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数 列{an·bn}的前 n 项和时，可采用错位相减法． (2)用错位相减法求和时，应注意 ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更 值得注意； ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对 齐”，以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式； ③应用等比数列求和公式必须注意公比 q≠1 这一前提条件，如 果不能确定公比 q 是否为 1，应分两种情况讨论．
探究点二 裂项相消法求和
(2015·高考全国卷Ⅰ改编)数列{an}满足 a1＝3，an＋1＝an ＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝ana1n＋1，求数列{bn}的前 n 项和． [解] (1)由 a1＝3，an＋1＝an＋2， 所以{an}是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an ＝2n＋1.
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– 第二级
• 第三级
– 第四级 » 第五级
〔跟踪练习2〕
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若SS63＝3，则SS96＝
A．2
B．73
C．83
D．3
(B )
[解析] ∵SS63＝3，∴S6＝3S3， ∴S6－S3 S3＝2， ∵S3，S6－S3，S9－S6成等比， ∴S9－S3 S6＝22， ∴S9＝4S3＋S6＝7S3， ∴SS96＝73SS33＝73，∴选B．
命题方向2 ⇨等比数列前n项和的性质
例题 2
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C
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[解析] 解法一：由条件知：an>0， 且aa11＋＋aa22＝＋3a3＋a4＝15， ∴aa1111＋＋qq＋＝q32＋q3＝15，qa＝1＝21， ∴S6＝11－－226＝63. 解法二：由题意知，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即(S4－S2)2＝S2(S6－ S4)，即122＝3(S6－15)，∴S6＝63.
依此类推，得： a5＝1 000(1＋12)5－x(1＋12)4－x(1＋12)3－x(1＋12)2－x(1＋12)－x. 则1 000×(32)5－x[(32)4＋(32)3＋…＋1]＝2 000， ∴1 000×(32)5－x·11－－32325＝2 000. 解得x≈424(万元)．∴每年年底扣除的消费资金为424万元．
∴S3＝•a1第11－－–三qq第3级＝四2级11－－qq3＝26，
∴(1－q)(q2＋q－»1第2)＝五0级，
∴q＝3或－4.
B
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– 第二级 [解析] ∵a5＝a1q4，∴16＝81·q4.
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和学案新人教A版必修5(2021年整理)
（浙江专版）2018年高中数学第二章数列2.5 等比数列的前n项和学案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018年高中数学第二章数列2.5 等比数列的前n项和学案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（浙江专版）2018年高中数学第二章数列2.5 等比数列的前n项和学案新人教A版必修5的全部内容。
2。
5 错误!第一课时等比数列的前n项和（1）公比是1的等比数列的前n项和如何计算？(2）能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？（3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？(4）等比数列前n项和的性质有哪些？［新知初探]1．等比数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1，末项a n与公比q公式S n＝错误!S n＝错误
Sn=-Aqn+A.由此可见,非常数列的等比数列的前n项和Sn是关于n的 指数型函数,而指数式的系数与常数项互为相反数;当公比q=1时, 因为a1≠0,所以Sn=na1是关于n的正比例函数. (2)当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是函数y=-Aqx+A图象上 的一群孤立的点;当q=1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是正比例函 数y=a1x图象上的一群孤立的点.
所以 Sn+q
n
������1 = (1 −������������ + ������. 1-������
������1 S m= (1 − ������������ + ������������ − ������������ + 1-������
5 4
即
∵a1≠0,1+q2≠0, ∴a4=a1q3=8×
S5=
������1 (1-������5 ) = 1-������
5 ������1 ������ (1 + ������ ) = .② 4
1 1 1 3 2
②÷①,得 q3= 8 , 即q= 2 , ∴ ������1 = 8.
= 1, =
2.5
等比数列的前n项和
1.理解并掌握等比数列的前n项和公式及其推导方法. 2.能利用等比数列的前n项和公式解决有关问题. 3.掌握等比数列的前n项和的性质及应用.
等比数列的前n项和公式 数列{an}是公比为q的等比数列,则 当q=1时,Sn=na1;
当 q ≠1 时,Sn =
������1 (1-������������ ) ������1 -������������ ������ = . 1-������ 1-������
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和(2)课件新人教A版必修5
an＝SS1n，－Sn－1，nn≥＝21， ＝12， n－1，nn≥＝21，， n∈N*是等比数列；
当 Sn＝2n＋1－1 时，
an＝SS1n，－Sn－1，nn≥＝21，
＝32， n，
n＝1， n≥2，
n∈N*，不是等比数列．
第五页，共37页。
梳理 当 (sh公ū比lǐ)q≠1时，设A＝ q－a11，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．
第二十三页，共37页。
答案 解析 (dá ( jiě xī) àn)
反思与感悟
注意观察(guānchá)序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使 问题解决过程变得简洁明快.
第二十四页，共37页。
跟踪训练3 设数列{an}是以2为首(wéishǒu)项，1为公差的等差数列；数列{bn}是
以1为首(wéishǒu)项，2为公比的等比数列b，a1＋则 ba2＋ba3＋…＋ba6
项和，则：①在其前2n项中， SS偶 奇＝q； ②在其前 2n＋1 项中，S 奇－S 偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝
a11＋－a(－2n＋q1)q＝a1＋1＋a2qn＋2(q≠－1)．
第九页，共37页。
知识点三 错位(cuò wèi)相减法
思考(sīkǎo)
在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{an}的前n项和 Sn＝a1＋a2＋…＋an的？
∴Sn＝2－2n1－1－2nn＝2－n＋2n 2.
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反思与感悟
一般地，如果(rúguǒ)数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列 {anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.
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跟踪(gēnzōng)训练4 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (解x≠答0).
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