理论力学 第四章 扭转
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第四章--扭转
得：
D 1.022
d1 1.192
16 16
A空 A实
D2 (1 0.582 )
4
d12
0.783
0.512
4
例：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空 心圆管，承受扭矩T=180 kN·m 。试求管中 的最大剪应力，使用： (1)薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。
解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得
16
极惯性矩：
d4
实心圆： I p 32
空心圆：I p
(D4 d 4) 32
D4
32
(1 4 )
抗扭截面模量：
实心圆：
Wt
d3
16
空心圆：
Wt
D3
16
(1 4 )
三、强度计算
1、强度条件：引起扭转破坏的因素是剪应力。
max
Tm a x Wt
[ ]
2、强度计算的三类问题
① 强度校核及验算
4）对于小锥度圆杆可作近似计算
2、当扭矩和横截面都是变量时，则用分段积分式。
T dx T dx T dx
l1 GI p
l2 GI p
ln GI p
阶梯轴的扭转角等于其每一段相对扭转角之和
三、刚度条件：工程中常用单位长度转
d
dx
T GI p
角表示扭转程度
[] rad
/
m
T 180 [] GI p
max
抗扭截面模量
T I
p
max
T Wt
max
max
CL5TU9
二、截面的几何性质：
1、极惯性矩：某面积到某极点距离平方与面积的 乘积。其表示该截面对扭矩的惯性的大小。
理论力学PPT课件第4章 刚体的平面运动
2024年3月15日
1. 轮C作平面运动，
C1为其速度瞬心，C。
2. BD作平面运动，
C2为其速度瞬心，BD。
3. AB作平面运动，
C3为其速度瞬心，AB。
43
平面图形在任一瞬时的运动可以 视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬 心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若点C 为速度瞬心，则任意一点A的速
度大小为 vA AC ω 方向A C，指
16
车轮的运动分解
车轮的平面运动可以看成 是车轮随同车厢的平移和 相对车厢的转动的合成．
车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）
车厢（动系 A x y ) 相对定系的平移（牵连运动） 车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）
2024年3月15日
17
2024年3月15日
18
转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
aB cos 300 aBnA
式中
aBnA
AB
2 AB
15 3 ( 2 )2 20 3 2cm/s2
3
3
aB aBnA / cos 300
40 2cm/s2
3
aB 8 2cm/s2
R9
2024年3月15日
64
例2. 已知 : OA = r AB = l、ω
求: vc、ac 解： 各联接点速度如图.
将 vB vA vBA 在AB连线上投影
vBA AB
有 [vB ]AB [vA ]AB
基点法投影式.
或 vB cos vA cos
2024年3月15日
53
结 论：S上任意两点的速度在这两点
连线上投影相等. 意 义：刚体上两点距离不变. 注 意：仅在两点连线上成立.
理论力学扭转例题
,
题解：
由于B端固定，φB¹ 则有: =0
B
T1 a GI P T2 (a b) GI P TB (a b c) GI P
2
0
T1 2
式中设TB与T1同向，代入 T 其中： a c 得 T 5T1 B
8
4
b
2
（与假设方向相反）
画出图如图所示。
12tl
2
题13：图示一实心钢轴插入一铜管中，设彼此之间无摩 擦力，A端用一销钉连接，此时B端轴与管的销钉相差φ 角，施加外力偶使轴与管相对转动，插入另一销钉，已 知：轴长为l，实心钢轴的抗扭刚度为GIp，铜管的抗扭刚 度为轴的2倍，求移去外力偶后轴与管的内力。
题解：
设轴和管的扭矩分别为T1 和T2
39、题解:
M x 0
有
T 0
Dt
D 2
2T
D t
2
'
由剪应力互等定律，纵截面上的 纵向截面上的总剪力
'
，
Q l t l t
n Q A 2T
由铆钉的剪切强度条件，有
D A
2
一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。
x
4
1 32T l 1 1 d d d d 3 d 3 0 GI x 3G b p a a b Tdx
题7：若圆截面轴AB，其左端固定，承受 均布力矩 t 作用，试导出该轴B端的扭转 角。 题解：
二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（a），厚 度中点处，应力为零。
当h/b>10时，截面为狭长矩形： =1/3
大学物理 第四章 刚体转动(二)ppt课件
注意以下几点：
1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的； 2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角 速度的正负； 3. 系统中有转动和平动，
转动物体——转动定律 平动物体——牛顿定律 .
例题1 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两
端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图所
O 'P 2 ＝ x2y＋ d2
P对Z轴的转动惯量
m O 'P 2 = m x 2 y ＋ d 2= m x 2 y 2 ＋ d 2 2 yd
= m O 2 ＋ d P 2 2 yd
J＝ m O 'P 2= m O2 ＋ P d22yd
＝ m O2 P m d2 m 2yd
，问它经过多少时间才停止转动？
w
d r R
dr
e
解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元
的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
.
此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
M = rdmg= grreddr
dt dθ dt d θ
有 ωdω=3gsinθdθ 2l
m,l FN
θ mg
对上式积分，利用初始条件， O
w 0wdw=032gl sind
解得： ω= 3g(1cosθ) l
.
例题3 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗
糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆 盘最初以角速度w0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转
动惯量不同。
.
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
.
哈尔滨工业大学第7版理论力学第4章课后习题答案_图文(精)
(5
0=∑z M ,0m 075.0m 2.0=+×−×z y x M F F (6解得N 150=Ox F ,N 75=Oy F ,N 500=Oz F ;
m N 100⋅=x M ,m N 5.37⋅−=y M (与图示反向,m N 4.24⋅−=z M (与图示反向4-14图4-14a所示电动机以转矩M通过链条传动将重物P等速提起,链条与水平线
bn20n20cmam90n10n10abmcffa?90mbmcmabc图411解画出3个力偶的力偶矩矢如图411b所示由力偶矩矢三角形图411c可见40003bacmmm由图411a图411b可得mf解mmn00050002222?mm100fmcn50mm100c由图411b图411c可得41433tanbam?m5236873608180412图412a所示手摇钻由支点b钻头a和1个弯曲的手柄组成
6.10250345(R k j i ++−=F主矩
m N 12222
2⋅=++=
z y x O M M M M ,m N 1046.368.51(⋅+−−=k j i O M
4-2 1平行力系由5个力组成,力的大小和作用线的位置如图4-2所示。图中小正方格
的边长为10 mm。求平行力系的合力。
解由题意得合力R F的大小为
解得
kN 4.26−==B A F F (压kN 5.33=C F (拉
x y
P
D
z
A
F C F °30°
45°
15C
°45B F O
(a (b
图4-7
4-8在图4-8a
所示起重机中,已知:
AB=BC=AD=AE ;点A ,B ,D和E等均为球铰链连接,如三角形ABC的投影为AF线,AF与y轴夹角为α。求铅直支柱和各斜杆的内力。
0=∑z M ,0m 075.0m 2.0=+×−×z y x M F F (6解得N 150=Ox F ,N 75=Oy F ,N 500=Oz F ;
m N 100⋅=x M ,m N 5.37⋅−=y M (与图示反向,m N 4.24⋅−=z M (与图示反向4-14图4-14a所示电动机以转矩M通过链条传动将重物P等速提起,链条与水平线
bn20n20cmam90n10n10abmcffa?90mbmcmabc图411解画出3个力偶的力偶矩矢如图411b所示由力偶矩矢三角形图411c可见40003bacmmm由图411a图411b可得mf解mmn00050002222?mm100fmcn50mm100c由图411b图411c可得41433tanbam?m5236873608180412图412a所示手摇钻由支点b钻头a和1个弯曲的手柄组成
6.10250345(R k j i ++−=F主矩
m N 12222
2⋅=++=
z y x O M M M M ,m N 1046.368.51(⋅+−−=k j i O M
4-2 1平行力系由5个力组成,力的大小和作用线的位置如图4-2所示。图中小正方格
的边长为10 mm。求平行力系的合力。
解由题意得合力R F的大小为
解得
kN 4.26−==B A F F (压kN 5.33=C F (拉
x y
P
D
z
A
F C F °30°
45°
15C
°45B F O
(a (b
图4-7
4-8在图4-8a
所示起重机中,已知:
AB=BC=AD=AE ;点A ,B ,D和E等均为球铰链连接,如三角形ABC的投影为AF线,AF与y轴夹角为α。求铅直支柱和各斜杆的内力。
大学物理 第四章 刚体的转动 4-2 力矩 转动定律 转动惯量
v Fej
v Fij
2 j j
外力矩
∑M
j
+ ∑ M ij = ∑ ∆ m r α
j
Q Mij = −M ji
∴∑ Mij = 0
j
14
∑M
j
ej
= ( ∑ ∆ m j r )α
2 j
z
O
定义转动惯量
v rj ∆m j
v Fej
J = ∑ ∆m r J = r 2dm ∫
2 j j j
v Fij
转动定律 M = Jα 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比 与刚体的转动惯量成反比. 成正比， 转动惯量成反比 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比
L
9
设水深h，坝长L， 解 设水深 ，坝长 ，在坝面上取面积 元 dA = Ldy ，作用在此面积元上的力
dF = pdA = pLdy
y
y
x
h y O Q O
L
dA
dy
x
10
令大气压为 p0 ，则 p = p0 + ρg (h − y )
dF = PdA = [ p0 + ρg(h − y)]Ldy
r F
OZo ⊗
xc
θ
l
dm
xmg r
ω
α
r dm⋅ g
dω 3g cosθ α= = 2l dt dω dω dθ dω = ⋅ =ω dt dθ dt dθ
}
3g cosθ dθ ⇒ωdω = 2l
4
对刚体定轴转动： 对刚体定轴转动： 力矩M 的方向沿转轴（有正负） 力矩 的方向沿转轴（有正负） 多力作用在刚体上时的合力 的力矩： 的力矩： M = M1+M2+…+Mn 对刚体定轴转动： 对刚体定轴转动： 因力矩M 的方向沿转轴， 因力矩 的方向沿转轴，所以对转动 轴力矩矢量和变成为代数和 M2 M = M1 + M2 + … + Mn
理论力学第四章扭转
由 M x 0, T Me 0 得T＝M e
内力T称为截面n-n上的扭矩。
Me
Me
x T
Me
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
+
T
-
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
4
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
4.直径d2的选取
按强度条件
A M e1 d1
B d2 C
M e2
M e3
3 16T 3 16 4580
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论：
0, 0
横截面上
0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
t
D
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
强度计算三方面：
① ②
校核强度：
max
Tm a x WP
设计截面尺寸：
WP
Tmax
[ ]
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
③ 计算许可载荷： Tmax WP[ ]
例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
内力T称为截面n-n上的扭矩。
Me
Me
x T
Me
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
+
T
-
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
4
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
4.直径d2的选取
按强度条件
A M e1 d1
B d2 C
M e2
M e3
3 16T 3 16 4580
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论：
0, 0
横截面上
0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
t
D
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
强度计算三方面：
① ②
校核强度：
max
Tm a x WP
设计截面尺寸：
WP
Tmax
[ ]
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
③ 计算许可载荷： Tmax WP[ ]
例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
大学物理 第四章 刚体的转动 4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
第四章 刚体的转动
6
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 -
W =∫
外力的功
θ2
θ1
1 1 2 2 M d θ = Jω 2 − Jω 1 2 2
刚体动能的改变 质点系的动能 定理在刚体中 的具体表现
刚体作为特殊的质点系， 刚体作为特殊的质点系， 满足质点系的动能定理： 满足质点系的动能定理：
方向： 方向：
dM
刚体的转动
14
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 -
2 µ mg 2 dM = r dr 2 R
整个唱片所受的摩 擦力矩为
R
v df
o
r
dl dr
M = ∫ dM
方向： 方向：
dM
M
2 µmg M = 2 R
∫
R
0
2 r dr = µRmg 3
2
刚体的转动
第四章
非保守内力： 非保守内力：刚体内力 W
m v v
in 刚体
=0
∴W
ex
+W
in nc
=0
18
E = E0
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 -
o
选初始位置为势能零点
30
o
a
1 1 2 2 2 ( m′l + ma )ω = 2 3
o
m v v
'
l ′g (1 − cos 30o ) mga(1 − cos 30 ) + m 2
v dr φ
o
刚体的转动
6
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 -
W =∫
外力的功
θ2
θ1
1 1 2 2 M d θ = Jω 2 − Jω 1 2 2
刚体动能的改变 质点系的动能 定理在刚体中 的具体表现
刚体作为特殊的质点系， 刚体作为特殊的质点系， 满足质点系的动能定理： 满足质点系的动能定理：
方向： 方向：
dM
刚体的转动
14
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 -
2 µ mg 2 dM = r dr 2 R
整个唱片所受的摩 擦力矩为
R
v df
o
r
dl dr
M = ∫ dM
方向： 方向：
dM
M
2 µmg M = 2 R
∫
R
0
2 r dr = µRmg 3
2
刚体的转动
第四章
非保守内力： 非保守内力：刚体内力 W
m v v
in 刚体
=0
∴W
ex
+W
in nc
=0
18
E = E0
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 -
o
选初始位置为势能零点
30
o
a
1 1 2 2 2 ( m′l + ma )ω = 2 3
o
m v v
'
l ′g (1 − cos 30o ) mga(1 − cos 30 ) + m 2
v dr φ
o
刚体的转动
大学物理第四章 刚体的转动_4-2
例1：长为 l、质量
为 m 的细杆，初始
时的角速度为 0，
ol
由于细杆与桌面的
摩擦，经过时间 t
后杆静止，求摩擦 力矩 M阻。
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
解：以细杆为研究对象，只有摩擦阻力产生力矩，由 匀变速转动公式：
0 t
0 t 0
ol
0
t
细杆绕一端的转动惯量 J 1 ml 2
1 mgl sin J
2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
1 mgl sin J
2 式中 J 1 ml2
3
得 3g sin
2l
由角加速度的定义
d d d d dt d dt d
d 3g sind
2l
代入初始条件积分 得
3g (1 cos )
l
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
F
Fi 0 , Mi 0
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 讨论
第四章 刚体的转动
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个 分量
F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩 M zk r F
z
k
Fz
F
O r
F
M z rF sin
例5 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此
竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
第四章 扭转PPT课件
②两端施加一对外力偶 m。
× 第12页/共49页
2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成螺旋线。
3.结果： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相 对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、 形状不变，满足平面假设。
②各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
§4–1 扭转的概念
× 第1页/共49页
扭转：
直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则杆件发生 的变形为扭转变形。
B
A
O
A
m ——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
× 第2页/共49页
O
B
m
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩
圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合 力偶，合力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用 T 表示之。
T
T
max
max
实心圆截面切应力分布图 最大切应力在外圆处。
空心圆截面切应力分布图
× 第24页/共49页
⒌ 最大切应力
max
T IP
max
I 令：
W , t
P
Wt 称为抗扭截面模量，单位：m3
max
max
T Wt
Wt
1 6
D3
16 D3 (1
d4 D4
)
× 第25页/共49页
实心圆截面 空心圆截面
扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通过传递功率和转 数来换算。
若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为n ，则每分钟
功率作功： 力偶作功：
× 第12页/共49页
2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成螺旋线。
3.结果： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相 对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、 形状不变，满足平面假设。
②各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
§4–1 扭转的概念
× 第1页/共49页
扭转：
直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则杆件发生 的变形为扭转变形。
B
A
O
A
m ——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
× 第2页/共49页
O
B
m
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩
圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合 力偶，合力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用 T 表示之。
T
T
max
max
实心圆截面切应力分布图 最大切应力在外圆处。
空心圆截面切应力分布图
× 第24页/共49页
⒌ 最大切应力
max
T IP
max
I 令：
W , t
P
Wt 称为抗扭截面模量，单位：m3
max
max
T Wt
Wt
1 6
D3
16 D3 (1
d4 D4
)
× 第25页/共49页
实心圆截面 空心圆截面
扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通过传递功率和转 数来换算。
若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为n ，则每分钟
功率作功： 力偶作功：
材料力学课件 第四章扭转
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
理论力学-第四章
2r
−
2mω
×
v′
即对平面转动参照系S ′，若添上三种惯性力，
mω × r、mω 2r、− 2mω × v′，则牛顿定理对S′适用。
1) mω 2r ：惯性离心力，由S′系的转动所引起。 2) − 2mω × v′：科里奥利力，由S′系的转动及质点对此
转动参照系相对运动引起。
∴
a
=
a′
−
ω2
R
+
2ω
×
v′
当S ′系的原点O′与S系的原点O不重合时，如O′对O的速度
为v0，加速度为a0，则
v a
= =
d ∗ r
+
ad′ +t
at
ω
+
×
r
+
v0
ac + a0
v0 ：牵连速度的一部分
a0 ：牵连加速度的一部分
§3. 非惯性系动力学
§4. 地球自转所产生的影响
地球即自转又公转，故为非惯性参照系。 公转的角速度很小，所产生的惯性离心力，几乎与太阳 的引力相当； 自转的角速度约为7.3×10-5弧/s。认为沿地轴为恒矢量：
ω自 = 0
由于惯性离心力的作用，重力常小于引力，且随纬度降低 而减小。在两极，|重力|=|引力|，且方向一致。 引力的作用线通过地心，而重力的作用线一般不通过。
×
r
=
ωk
×
(
xi
+
yj )
=
ωxj
−
ωyi
则
v = v′ + ω × r
即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。
工程力学(材料力学)1 工程力学 绪论及静力学知识 3
——属光滑面约束
FR Fy FR
约束力特征：
Fx 方位 沿销钉的径向 指向 指向不定（假定两互相垂直
分量）
固定铰支座
A
A
FAx FAy
活动铰链或中间铰
铰
B
A
C
FB1y B
FB2x
FB1x
B FB2y
FB2 y
F B2 x
FB1x
B FB1y
可动铰支座
A
A
A RA
止推轴承
A
FAx
FAy
链杆约束
Fx F cos
Fy F cos Fz F cos
X=Fx=F·cosa Y=Fy=F·sina=F ·cosb
• 力是矢量，有大小、方向，服从平行四边形加法法则的物 理量。定位矢量、自由矢量。
6、力系：同时作用于同一物体上的一群力，称为力系
平面力系 空间力系
汇交 力系
平面 汇交 力系
空间 汇交 力系
在已知力系上加减任意的平衡力系，并不改变原力系对 刚体的作用。
推论 (力在刚体上的可传性)
作用于刚体上某点的力，可沿
它的作用线移到刚体内任意一
点，并不改变该力对刚体的作
F1
用。
公理三 (力的平行四边形法则)
作用于物体上的两个力可合成为作用于同一点 的一个力，即合力。
合力：力平行四边形的对角矢来表示。
工程力学 绪论
工程力学是一门研究物体机械运动一般规律及有 关构件强度、刚度和稳定性等理论的科学。
包括理论力学和材料力学两门学科的有关内容。
理论力学是研究物体受力和平衡的规律（机械运 动一般规律的科学）(静力学、运动学和动力学)
材料力学研究物体外力作用下变形与失效的规律， 为合理设计构件提供有关基础理论和方法；
FR Fy FR
约束力特征：
Fx 方位 沿销钉的径向 指向 指向不定（假定两互相垂直
分量）
固定铰支座
A
A
FAx FAy
活动铰链或中间铰
铰
B
A
C
FB1y B
FB2x
FB1x
B FB2y
FB2 y
F B2 x
FB1x
B FB1y
可动铰支座
A
A
A RA
止推轴承
A
FAx
FAy
链杆约束
Fx F cos
Fy F cos Fz F cos
X=Fx=F·cosa Y=Fy=F·sina=F ·cosb
• 力是矢量，有大小、方向，服从平行四边形加法法则的物 理量。定位矢量、自由矢量。
6、力系：同时作用于同一物体上的一群力，称为力系
平面力系 空间力系
汇交 力系
平面 汇交 力系
空间 汇交 力系
在已知力系上加减任意的平衡力系，并不改变原力系对 刚体的作用。
推论 (力在刚体上的可传性)
作用于刚体上某点的力，可沿
它的作用线移到刚体内任意一
点，并不改变该力对刚体的作
F1
用。
公理三 (力的平行四边形法则)
作用于物体上的两个力可合成为作用于同一点 的一个力，即合力。
合力：力平行四边形的对角矢来表示。
工程力学 绪论
工程力学是一门研究物体机械运动一般规律及有 关构件强度、刚度和稳定性等理论的科学。
包括理论力学和材料力学两门学科的有关内容。
理论力学是研究物体受力和平衡的规律（机械运 动一般规律的科学）(静力学、运动学和动力学)
材料力学研究物体外力作用下变形与失效的规律， 为合理设计构件提供有关基础理论和方法；
材料力学-第4章 扭转
低炭钢：抗压>抗拉>抗剪强度
脆性材料：受拉破坏
铸铁：抗压>抗剪>抗拉强度
45o
38
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转破坏与强度条件
从破坏类型可见，对于脆性材料（如铸 铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉应力
因此，本质上讲，应对斜截面上的正应力 进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和 横截面上的剪应力间有固定的关系，所以，习惯 上仍按最大剪应力进行强度计算
扭转圆轴不同平面上的应力分布
切应变：
d
dx
切应力： ()
G
G
d
dx
O
dx
O’
A
B
C
D
max
25
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
G
d
dx
• 切应力方向垂直于半径（由于剪切变形发生 在垂直于半径的平面内）
• 圆轴截面上的切应力与 成正比
max
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功 率和转速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度 为w，则有（理论力学）
P
Me w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
角速度w 单位：arc/s (弧度/秒)
9
材料力学－第4章 扭转
T WP
R
其中：
WP
d3
16
称为抗扭截面系数
30
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
实心圆轴好？空心圆轴好？
实心圆轴，靠近圆心部分面积上切应 力极小。单位面积上承载的扭矩远小于 离圆心较远处。因此，工程上受扭圆轴 多采用空心圆轴
4 扭转 武汉理工大学 材料力学课件
O
dA
d GI p dx
Ip为横截面的极惯性矩 。
d T dx GI pBiblioteka T Ip33
应力分布
T Ip
（实心截面）
（空心截面）
34
[例4.4] 判别下面截面上剪应力分布是否正确。
T
T
T
T
a
√
b
c
d
×
×
×
35
三、等直圆杆扭转时的变形 1. 相对扭转角 ：
d t dx
z
在单元体相互垂直的两个截面上，剪应力必然成对 出现，且数值相等，两者都垂直于两个面的交线， 其方向则共同指向或共同背离该交线。 纯剪切应力状态——单元体的四个侧面上只有剪应 力而无正应力。
26
三、剪切虎克定律： 剪切虎克定律：当剪应力不超过材
料的剪切比例极限时（ ≤p)，剪
应力与剪应变成正比。
CD段 :
T3 m1 m2 m3 30 20 15 5kN m
4
15kNm
DE段 :
T4 m1 m2 m3 m4
T
30 20 15 10 15kN m
10kNm 30kNm
17
（2）画扭矩图
画熟后可不画坐标轴，但需注意以下几点：
定标出参考正向
参考正向
A
B
C
2kN· m
D
1kN· m
2kN· m
19
[练习1] 已知m0, 试求各段扭矩并画扭矩图。
D C B A 解：（1）求各段扭矩
2m0
m0 4m0 2m 2m00
m0
m m00
工程力学 材料力学第四章 扭 转
低碳钢扭转试验开始
低碳钢扭转试验结束
31
第三章 扭转
低碳钢扭转破坏断口
32
第三章 扭转
铸铁扭转破坏试验初始状态
33
第三章 扭转
铸铁扭转破坏断口
34
• 低碳钢、铸铁扭转破坏断面形状及形成原因
由理论分析可知，被扭转的圆轴材料在横截面和纵截面上 的切应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大 压应力和最大拉应力。低碳钢的抗拉能力比抗剪能力强，故从 横截面切断(剪断)，如图 (a)所示。而铸铁的抗拉能力较抗剪 能力弱，故沿45度的方向拉断（拉断），如图 (b)所示。
45 max , 45 0
90 0 , 90 max
由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵
截面上的切应力为最大值；在方向角 =
x
´
45的斜截面上作用有最大压应力和最 大拉应力。根据这一结论，就可解释前
述的破坏现象。
30
第三章 扭转
I p A dA
2
d T dx GI p
T Ip
21
d 得： 代入物理关系式 G dx
T Ip
— 横截面上距圆心为处任一点剪应力表达式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
P 500 1 9.55 n 300 A 15.9(kN m)
B
C
D
P2 150 m2 m3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
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R L
切应力的计算公式：
dA
R
R dA T
A
dA
பைடு நூலகம்
R dA T
A
R 2 R T
T 2 2 R
根据精确的理论分析,当t≤R/10时,上式的误差不超过4.52%,
是足够精确的。
二、切应力互等定理：
Mz 0
t dxdy t dxdy 故
微段扭转 变形 d
tg dd d
dx
dx
二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 弹性范围内
max P
→
G
G
d G dx
方向垂直于半径。
三）静力学关系：
A dA dA dA
MB MC MA MD
解：计算外力偶矩
B C A D
PA M A 9549 1592N m n PB M B M C 9549 477.5N m n PD M D 9549 637N m n
2．扭矩与扭矩图
由 M x 0, T M e 0 得T＝M e 内力T称为截面n-n上的扭矩。
§4-2 外力偶矩、扭矩
1．外力偶矩
直接计算
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
W Pk 1000( N.m) n 外力偶作功完成： W M e 2 60 P m 9549 (N m) n
电机每秒输入功：
例4-1 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
强度计算三方面：
Tmax ① 校核强度： max [ ] WP 实： D3 16 Tmax ② 设计截面尺寸： WP 3 Wt D（ 4） [ ] 空：16 1 ③ 计算许可载荷： T max WP [ ]
例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
π 2 (D d 2 ) 4 39.5% π 2 d 4
结论：空心轴远比实 心轴轻
§4.5 圆轴扭转时的变形及刚度计算
一、圆轴扭转变形：（相对扭转角）
d d T T GI P dx dx GI P T d dx GI P
Tdx L GI P
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
D
t
微小矩形单元体如图所示：
a
①无正应力
´
c
dx
´
b
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与 该截面的扭矩方向一致。
5 ． 与 的关系：
dy
d
L R
τ
ρ
T A dA d A G dA dx
2
A
O
dA
d T d 令 I p A dA T GI p dx GI p dx d G 代入物理关系式 dx 得： T
2
d G A 2dA dx
Ip
上式称为切应力互等定理。
a
´
c
´
b
dy
d δ
z
dx
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
三、剪切胡克定律 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应 力状态称为纯剪切应力状态。
Me
Me
x
Me
T
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为
负值。
+
T
-
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
MA A
Ⅰ
MB
Ⅱ
MC
B
22
C
解： 1、求内力，作出轴的扭矩图
T图（kN· m）
14
2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度
22
T图（kN· m）
T1 22 106 N mm 64.8MPa AB段 1,max π Wp1 3 120mm 16 T2 14 106 N mm 71.3MPa BC段 2,max π 3 Wp 2 100mm [ ] 80MPa 16
纯几何量
Ip, Wp 的确定 ：
d
I p A dA
2
O
d
1、实心圆截面——
I P dA 2 d
2 2 A A
d 2 0
1 4 2 d d 32
3
Wp
IP
max
IP
1 3 d d 16 2
2、空心圆截面——
I P dA
τ τ2 τ 1 A
O
5、切应变的变化规律：
a
b
b1
bb1 b b1 Rd tg dx dx dx
G1G G1G d tg dx dx dx
d dx
D’
取楔形体 O1O2ABCD 为 研究对象
DD' Rd tg dx dx
①绘纵向线，横向线(圆 周线)； ②施加一对外力偶 m。
实验后： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论：
横截面上
0, 0 0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
E G 2(1 )
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。
§4.4 圆轴扭转时的应力、强度计算
一、圆轴扭转时横截面上的应力 几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律
物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。
解：
一、计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 A
M3 B
3
M1
M4
D
C
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9kN m 300 3 150 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78kN m 100 200 3 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37kN m 300
A
D
T1 4.78kN m T2 9.56kN m
T3 6.37kN m
4.78
T 图(kN· m)
9.56 Tmax = 9.56 kN· 在BC段内 m
§4-3 薄壁圆筒扭转
一、薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力 1 薄壁圆筒：壁厚 R （R：为平均半径） 10 实验： 实验前：
T Ip
公式讨论：
—横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截
面直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
确定最大切应力：
T d 由 知：当 R , max Ip 2 d T 2 T T (令 W I d ) max P p d WP 2 Ip Ip 2 T W — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， P max WP
即该轴满足强度条件。
14
例 已知 T=1.5 kN . m，[t ] = 50 MPa，试根据强度条件设计 实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴。
解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
T π 3 d 16
3
T max 3 πd 16
16T 3 16(1.5 103 N m) 0.0535 m d 6 π(50 10 Pa) π
二、分别计算各段的扭矩
M2 A M2 A
1 1
1 1
M3
B T1 x M3 B
2 2
M1 C
3
3
M4
D
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2 x
T2 M 2 M 3 9.56kN m
T3
3 3
A
M4 D
T3 M 4 6.37kN m
x
扭矩图 M2 M3 B M1 C 6.37 M4
T
x
用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正， 如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如 果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭 矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。
扭矩图作法：同轴力图：
例 1 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功 率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： N2= 150kW， N3= 150kW， N4= 200kW。试作轴的扭矩图。
切应力的计算公式：
dA
R
R dA T
A
dA
பைடு நூலகம்
R dA T
A
R 2 R T
T 2 2 R
根据精确的理论分析,当t≤R/10时,上式的误差不超过4.52%,
是足够精确的。
二、切应力互等定理：
Mz 0
t dxdy t dxdy 故
微段扭转 变形 d
tg dd d
dx
dx
二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 弹性范围内
max P
→
G
G
d G dx
方向垂直于半径。
三）静力学关系：
A dA dA dA
MB MC MA MD
解：计算外力偶矩
B C A D
PA M A 9549 1592N m n PB M B M C 9549 477.5N m n PD M D 9549 637N m n
2．扭矩与扭矩图
由 M x 0, T M e 0 得T＝M e 内力T称为截面n-n上的扭矩。
§4-2 外力偶矩、扭矩
1．外力偶矩
直接计算
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
W Pk 1000( N.m) n 外力偶作功完成： W M e 2 60 P m 9549 (N m) n
电机每秒输入功：
例4-1 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
强度计算三方面：
Tmax ① 校核强度： max [ ] WP 实： D3 16 Tmax ② 设计截面尺寸： WP 3 Wt D（ 4） [ ] 空：16 1 ③ 计算许可载荷： T max WP [ ]
例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
π 2 (D d 2 ) 4 39.5% π 2 d 4
结论：空心轴远比实 心轴轻
§4.5 圆轴扭转时的变形及刚度计算
一、圆轴扭转变形：（相对扭转角）
d d T T GI P dx dx GI P T d dx GI P
Tdx L GI P
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
D
t
微小矩形单元体如图所示：
a
①无正应力
´
c
dx
´
b
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与 该截面的扭矩方向一致。
5 ． 与 的关系：
dy
d
L R
τ
ρ
T A dA d A G dA dx
2
A
O
dA
d T d 令 I p A dA T GI p dx GI p dx d G 代入物理关系式 dx 得： T
2
d G A 2dA dx
Ip
上式称为切应力互等定理。
a
´
c
´
b
dy
d δ
z
dx
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
三、剪切胡克定律 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应 力状态称为纯剪切应力状态。
Me
Me
x
Me
T
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为
负值。
+
T
-
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
MA A
Ⅰ
MB
Ⅱ
MC
B
22
C
解： 1、求内力，作出轴的扭矩图
T图（kN· m）
14
2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度
22
T图（kN· m）
T1 22 106 N mm 64.8MPa AB段 1,max π Wp1 3 120mm 16 T2 14 106 N mm 71.3MPa BC段 2,max π 3 Wp 2 100mm [ ] 80MPa 16
纯几何量
Ip, Wp 的确定 ：
d
I p A dA
2
O
d
1、实心圆截面——
I P dA 2 d
2 2 A A
d 2 0
1 4 2 d d 32
3
Wp
IP
max
IP
1 3 d d 16 2
2、空心圆截面——
I P dA
τ τ2 τ 1 A
O
5、切应变的变化规律：
a
b
b1
bb1 b b1 Rd tg dx dx dx
G1G G1G d tg dx dx dx
d dx
D’
取楔形体 O1O2ABCD 为 研究对象
DD' Rd tg dx dx
①绘纵向线，横向线(圆 周线)； ②施加一对外力偶 m。
实验后： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论：
横截面上
0, 0 0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
E G 2(1 )
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。
§4.4 圆轴扭转时的应力、强度计算
一、圆轴扭转时横截面上的应力 几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律
物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。
解：
一、计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 A
M3 B
3
M1
M4
D
C
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9kN m 300 3 150 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78kN m 100 200 3 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37kN m 300
A
D
T1 4.78kN m T2 9.56kN m
T3 6.37kN m
4.78
T 图(kN· m)
9.56 Tmax = 9.56 kN· 在BC段内 m
§4-3 薄壁圆筒扭转
一、薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力 1 薄壁圆筒：壁厚 R （R：为平均半径） 10 实验： 实验前：
T Ip
公式讨论：
—横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截
面直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
确定最大切应力：
T d 由 知：当 R , max Ip 2 d T 2 T T (令 W I d ) max P p d WP 2 Ip Ip 2 T W — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， P max WP
即该轴满足强度条件。
14
例 已知 T=1.5 kN . m，[t ] = 50 MPa，试根据强度条件设计 实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴。
解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
T π 3 d 16
3
T max 3 πd 16
16T 3 16(1.5 103 N m) 0.0535 m d 6 π(50 10 Pa) π
二、分别计算各段的扭矩
M2 A M2 A
1 1
1 1
M3
B T1 x M3 B
2 2
M1 C
3
3
M4
D
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2 x
T2 M 2 M 3 9.56kN m
T3
3 3
A
M4 D
T3 M 4 6.37kN m
x
扭矩图 M2 M3 B M1 C 6.37 M4
T
x
用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正， 如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如 果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭 矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。
扭矩图作法：同轴力图：
例 1 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功 率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： N2= 150kW， N3= 150kW， N4= 200kW。试作轴的扭矩图。