数学物理方程-3
数学物理方程 陈才生主编 课后习题答案1-3章
1.3 考虑在正方形区域Ω = {(x, y )|0 < x < 1, 0 < y < 1}上的波动方程的边值
问题
uxx − uyy = 0, u(x, 0) = f1 (x), u(x, 1) = f2 (x), u(0, y ) = g (y ), u(1, y ) = g (y ), 1 2
物体冷却时放出的热量−k∇u 与物体和外界的温度差 u 中u0 为周围介质的温度.
边
− u0 成正比, 其
·2·
第1章
绪
论
(4) 热量(质量)守恒定律.
物体内部温度升高所需要的热量(浓度增加所需要的质量)等于流入物体内部 的净流热量(质量)与物体内部的源所产生的热量(质量) 之和. (5) 费克(Fick)定律(即扩散定律). 一般地说, 由于浓度的不均匀,物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移.这种 现象叫扩散. 在气体、 液体、 固体中都有扩散现象. 粒子流强度q (即单位时间内流过单位面积的粒子数)与浓度的下降率成正比.即
sup
x∈R1 ,t>0
un (x, t) − 1 =
sup
x∈R1 ,t>0
1 → 0. 但是, 当n → ∞时 n 1 2 1 n2 1 n2 t e sin nx = sup en t e → ∞, n n t>0 n
所以原定解问题的解是不稳定的.
1.3 补充习题解答
1.5 由流体力学知,理想流体的完整方程组由Euler型运动方程
·7·
E tt = c2 ∆E , H tt = c2 ∆H ,
其中E 和H 分别为真空中的电场强度和磁场强度, c为光速. 解 对方程组(1.3.12)中第四个方程关于t求导, 得
数学物理方程知识点归纳
数学物理方程知识点归纳数学物理方程是数学和物理学两门学科的交叉领域，其涉及到许多重要的知识点。
本文将从微积分、向量、力学、热力学和波动等方面，总结归纳数学物理方程的主要知识点。
一、微积分微积分是数学和物理学中非常重要的一个分支。
其中，微分和积分是微积分的两个基本概念。
微分是研究函数在某一点的变化率，积分则是求解函数的面积、体积或长度等量的方法。
微积分的一些重要公式包括：牛顿-莱布尼茨公式、柯西-黎曼方程、拉普拉斯公式等。
二、向量向量是几何学和物理学中非常重要的概念。
向量具有大小和方向两个属性，可以表示物理量的大小和方向。
向量的一些重要知识点包括：向量的加法和减法、向量的数量积和向量积、向量的投影、向量的夹角等。
三、力学力学是物理学中研究物体运动和相互作用的学科。
其中，牛顿三大定律是力学的基础。
牛顿第一定律指出物体在外力作用下保持静止或匀速直线运动；牛顿第二定律则确定了物体受力的大小和方向与其加速度成正比；牛顿第三定律则描述了力的相互作用。
四、热力学热力学是物理学中研究热量和能量转化的学科。
其中，热力学的一些重要概念包括：热力学系统、热力学过程、热力学态函数、热力学循环等。
热力学中的一些重要公式包括：热力学第一定律、热力学第二定律、热力学方程等。
五、波动波动是物理学中研究波的传播和相互作用的学科。
其中，波动的一些重要概念包括：波长、频率、波速、干涉、衍射、折射等。
波动的一些重要公式包括：波动方程、费马原理、赫兹实验等。
数学物理方程中的知识点非常丰富，包括微积分、向量、力学、热力学和波动等方面。
这些知识点是理解和应用物理学中的方程和定律的基础，对于物理学的学习和科学研究都具有重要的意义。
数学物理方程-3
其中ϕ(x, y, z) 和 ψ (x, y, z) 均为已知函数。
u
3-3 高维波动方程的初值问题
平均值法：不考虑函数 平均值法：不考虑函数 u(x, y, z, t) 本 身，而是研究u(x, y, z, t)在以点 M(x, y, z) 为球心，以r 为球心，以r为半径的球面上的平 均值 u ，当暂时选定 M(x, y, z) 后， u 就是关于r 就是关于r，t的函数。当我们很方 便地求出 u (r, t) 后，令 r →0 则 u(r, t) →u(x, y, z, t) ，问题就得到了 解决。
第3章 行波法与积分变换法
原柯西问题的通解为 u = f1 (x + at) + f2 (x − at) 初始条件代入其中，有 ϕ(x) = f1 (x) + f 2 (x) ′ ψ (x) = af1′(x) − af 2 (x) 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 ） 1 1 x+at 为： u(x, t) = [ϕ(x + at) +ϕ(x − at)] + ∫ ψ (ξ )dξ
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
延拓后的定解问题：
2 ∂2v 2 ∂ v + F(x, t) (−∞ < x < +∞, t > 0) 2 =a 2 ∂x ∂t ∂v v(x,0) = Φ(x), |t=0 = Ψ(x) ∂t v(0, t) = 0
x >0 ϕ(x), Φ(x) = −ϕ(−x), x < 0
x >0 ψ (x), Ψ(x) = −ψ (−x), x < 0
x >0 f (x, t), F(x, t) = − f (−x, t), x < 0
数学物理方程课后参考答案第三章
解：令
又 故取 则 满足调和方程
即
代入原定解问题，得 满足
用分离变量法零解 ，得
.
所以
再由另一对边值得
所以 .
得
最后得
8.举例与说明在二维调和方程的狄利克莱外问题，如对解 不加在无穷远处为有界的限制，那末定解问题的解以不是唯一的。
是区域 中的调和函数（无穷远点除外）.
如果区域 为球面K以外的无界区域，则函数u 在 中除去原点O外是调和的，函数 称为函数 的凯尔文（Kelvin）变换。
证明：只需证明 满足 。
=
=
代入 的表达式，有
=
=
若u在包含原点O的有界区域内处处式调和的即 ,则除无穷远点（O的反演点）外， 即除 点外v是调和的。若u在无界域 上是调和的，则除去O点外，v也是调和的。证毕。
且矩阵( )是正定的，即
由于矩阵( )是非正定的，故 可以写成 的线性齐次式的平方和，即
=
所以
于是
因此在 点
与 在 点满足方程是矛盾的，故 不能在 内部达到正的最大值。
7．证明第6题中讨论的椭圆形方程第一边值问题的唯一性与稳定性。
证：唯一性。只须证明方程在齐次边值条件只的零解。
设 在 内满足方程，在 边界 上 。因 在 上连续，故 是有界的，
第三章调和方程
§1建立方程定解条件
1．设 是n维调和函数（即满足方程
），试证明
其中 为常数。
证： ,
即方程 化为
所以
若 ，积分得
即 ，则
若 ，则 故
即 ，则
2．证明拉普拉斯算子在球面坐标 下，可以写成
数学物理方程 2-3章课后部分习题答案 李明奇主编 电子科技大学出版社
数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社2-3章部分习题答案习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出定解问题。
解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。
化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x Iu u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。
习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。
试写出边界条件。
解：由Fourier 热传导实验定律dSdt nuk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。
可得dSdt u k dSdt nuk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nus。
习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。
由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：2ερ-=∇u 。
习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dx dy dx dy解得：1-=dx dy 和3=dxdy。
数学物理方程 陈才生主编 课后习题答案 章
1.1 基本内容提要
1.1.1 用数学物理方程研究物理问题的步骤 (1) 导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分; (2) 求解已经导出或者写出的定解问题; (3) 对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释.
1.1.2 求解数学物理方程的方法 常见方法有行波法(又称D’Alembert解法)、分离变量法、积分变换法、Green函
q = −k∇u,
其中k 为热传导系数,负号表示热量的流向和温度梯度方向相反.写成分量的形式
qx = −kux, qy = −kuy, qz = −kuz.
(3) Newton冷却定律. 物体冷却时放出的热量−k∇u 与物体和外界的温度差 u 边 − u0 成正比, 其 中u0为周围介质的温度.
·2·
1 n
en2
t
sin nx
(n
1), 满足
ut = −uxx,
(x, t) ∈ R1 × (0, ∞),
u(x, 0) = 1 +
1 n
sin
nx,
x ∈ R1.
显然, 当n → +∞时supx∈R
un(x, 0) − 1
=
1 n
→
0.
但是, 当n → ∞时
sup
x∈R1 ,t>0
un(x, t) − 1
∂2u ∂t2
=
E ρx2
∂ ∂x
x2
∂u ∂x
.
(1.3.9)
解 均匀细圆锥杆做微小横振动,可应用Hooke定律,并且假设密度ρ是常数. 以u¯ 表 示 图1.1所 示[x, x + ∆x]小 段 的 质 心 位 移, 小 段 质 量 为ρS∆x, S是 细
数学物理方程第三章练习题
2012-10-3 3 / 69
建立方程、定解条件
∂2u ∂x2i
=
x2i r2
f
′′(r)
+
( 1 r
−
x2i r3
)
f
′(r),
(i = 1, 2, . . . , n)
将上式代入调和方程得
f
′′(r)
+
n
−
1 f
′(r)
=
0,
r
即
f ′′(r) f ′(r)
=
−n
− r
1.
对上式两边积分即得结论.
πx a
,
u(x, b)
=
0.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 17 / 69
建立方程、定解条件
.E.xample 1.6
用分离变量法求解由下述调和方程的第一边值问题所描述的矩形平板 (0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b) 上的稳定温度分布:
.
uxx + uyy = 0,
u(0, y) = u(a, y) = 0,
,
∂r ∂R
=
sin θ,
∂θ ∂R
=
cos θ . r
由 (1.2) 及 (1.3) 知
(1.3)
∂2u ∂z2
=
cos2
θ
∂2u ∂r2
+
sin2 r2
θ
∂2u ∂θ2
+
sin2 r
θ
∂u ∂r
+
sin 2θ r2
∂u ∂θ
−
sin 2θ r
∂2u ∂r∂θ
,
数学物理方程
数学物理方程数学物理方程是描述物理现象的数学公式，它们是物理学研究的基础。
物理学家通过对物质运动的观察和实验，总结出了许多数学物理方程，这些方程具有预测和解释自然现象的能力。
在本文中，我们将介绍一些常见的数学物理方程，并讨论它们在现实生活中的应用。
牛顿第二定律牛顿第二定律是描述物体运动的基本定律之一。
它表明，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
用数学公式表示为： F = ma其中，F表示作用力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
牛顿第二定律可以解释许多物理现象，例如自由落体、弹性碰撞等。
在机械工程中，牛顿第二定律被广泛应用于设计和优化机械系统。
麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁现象的数学公式。
它由四个方程组成，分别是：1. 麦克斯韦第一方程：电场的散度等于电荷密度。
2. 麦克斯韦第二方程：磁场的旋度等于电场随时间的变化率。
3. 麦克斯韦第三方程：电场的旋度等于磁场随时间的变化率和电流密度的叉积。
4. 麦克斯韦第四方程：磁场的散度等于零。
麦克斯韦方程组被广泛应用于电磁学、光学、通信等领域。
它可以解释电磁波的传播、电磁感应现象等。
热传导方程热传导方程是描述热传导现象的数学公式。
它表明，热量的传导速率与温度梯度成正比。
用数学公式表示为：T/t = αT其中，T表示温度，t表示时间，α表示热传导系数，表示拉普拉斯算子。
热传导方程可以用于解决许多热传导相关的问题，例如热传导率的计算、材料的热稳定性等。
薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学现象的数学公式。
它表明，量子系统的波函数随时间演化的规律。
用数学公式表示为：iψ/t = Hψ其中，i表示虚数单位，表示约化普朗克常数，H表示哈密顿算符，ψ表示波函数。
薛定谔方程可以用于计算量子系统的能量、波函数、概率等物理量。
总结数学物理方程是物理学研究的基础。
它们可以用于解释和预测自然现象，例如牛顿第二定律、麦克斯韦方程组、热传导方程、薛定谔方程等。
这些方程在现实生活中有广泛的应用，例如机械工程、电磁学、光学、热力学、量子力学等领域。
数学物理方程2-3章课后部分习题答案
数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社2-3章部分习题答案习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出定解问题。
解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。
化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x I u u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。
习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。
试写出边界条件。
解：由Fourier 热传导实验定律dSdt nuk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。
可得dSdt u k dSdt n uk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nus。
习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。
由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：02ερ-=∇u 。
习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u 解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dxdydx dy 解得：1-=dx dy 和3=dxdy。
数学物理方程-第3章-2013
由格林公式，我们可以得出调和函数的下列主要性质。 1）调和函数的一个充要条件 设函数u在以曲面Г为边界的区域Ω内调和，在ГUΩ上有连续一阶偏 导数，则
v u u ( u v v u ) d ( u v )ds dS 0 n n n
2 2 2
(2.4)
此处M0(x0，y0，z0)是区域Ω内的某一个固定点，可以验证， (2.4)表示的 函数在除去M0的区域Ω上处处满足三维拉普拉斯方程，这个函数称为三 维拉普拉斯方程的基本解。
在公式 (2.3)中取 u是调和函数，而取 v=1/rM0M。由于函数 v在区域 Ω 上存在 奇点M0，因此对于区域Ω不能直接运用格林第二公式(2.3)，但如果在区域 Ω内除去一个以M0为中心，半径ε充分小的球K ε，则在剩下的区域Ω\ K ε 内就可以运用公式(2.3)了，所以有
1 1 1 1 u (u u)d (u ( ) )ds r r n r r n \ K
在区域Ω\ K ε内Δu=0，Δ(1/r)=0，在球面Гε上由于
(2.5)
1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 / r 1 / u ( )dS 2 udS 4u* n r r r n r
1.方程的导出 数学史上导致调和方程的一个著名实例来自牛顿万有引力。根据万有 引力定律，位于(x0，y0，z0)处质量为M的质点对位于(x，y，z)处具有单位 质量的质点的引力,其大小等于GM/r2，而作用方向沿着这两点的连线，指 向(x0，y0，z0)点，其中r为两点之间的距离。写为向量形式，即为
r ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
显然引力场函数是位势函数φ的梯度
数学物理方程学习指导书第3章经典方程建立及定解条件
第3章经典方程的成立和定解条件在议论数学物理方程的解法从前，我们第一要弄清楚数学物理方程所研究的问题应当如何提，为此，我们从双方面来议论，一方面要将一个详细的物理、力学等自然科学识题化为数学识题，即成立描绘某种物理过程的微分方程——数学物理方程，称此方程为泛定方程；另一方面要把一个特定的物理现象自己所拥有的详细条件用数学形式表达出来，即列出相应的初始条件和界限条件，二者合称为定解条件.定解条件提出详细的物理问题，泛定方程提供解决问题的依照，作为一个整体称之为定解问题.3．1 经典方程的成立在本节，我们将经过几个不一样的物理模型推导出数学物理方程中三种典型的方程，这些方程组成我们的主要研究对象.经典方程的导出步骤：（1）确立出所要研究的是哪一个物理量u；（2）用数学的“微元法”从所研究的系统中切割出一小部分，再依据相应的物理（力学）规律剖析周边部分和这个小部分间的作用（抓住主要作用，略去次要要素，即高等数学中的抓主部，略去高阶无量小），这类互相作用在一个短的时间间隔是如何影响物理量u3）把这类关系用数学算式（方程）表达出来，经化简整理就是所需求的数学物理方程.例1弦的振动弦的振动问题，固然是一个古典问题，但对于初学者仍旧拥有必定的启迪性.设有一根平均柔嫩的细弦，均衡时沿直线拉紧，并且除受不随时间而变的张力作用及弦自己的重力外，不受外力影响，下边研究弦的细小横向振动，即假定所有运动出此刻一个平面上，并且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动（图3-1）.图3-1设弦上拥有横坐标为x的点，在时辰t时的地点为M，位移NM记作u.明显，在振动过程中位移u是变量x与t的函数u(x,t).此刻来成立位移u知足的方程.我们把弦上点的运动先看作小弧段的运动，而后再考虑小弧段趋于零的极限状况.在弦上任取一弧段MM，其长为ds，设是弦的线密度，弧段MM两头所受的张力记作T，T，此刻考虑孤段MM在t 时辰的受力状况，用牛顿运动定律，作用于弧段上任一方向上的力的总和等于这段孤的质量乘以该方向上的加快度.在x 轴方向弧段受力的总和为TcosTcos ，因为弦只作横向振动，所以TcosTcos0.（）假如弦的振动很小，并且在振动过程中弦上的切线倾角也很小，即0,0，则由24cos14!2!可知，当为无量小量时，cos 与1的差量是的高阶无量小量，能够略去不计，所以当0, 0时cos1,cos 1代入(3.1)式，即可近似获得TT .在u 方向弧段受力的总和为Tsin Tsingds ，此中是单位弧段的质量，gds 是弧段MM 的重力.又因当0， 0时 sin1 tg tgu(x,t)，tg 2xsin ' tg 'u(xdx,t)，x2ds 1u(x,t)dxdx,x2且小弧段在时辰 t 沿u 方向运动的加快度为u(x,t)，小弧段的质量为t 2TsinTsin2u(x,t)gdsds2t或gds ，所以（）Tu(xdx,t)u(x,t)gds2u(x,t)dx, x xt 2上式左侧方括号内的部分是因为x 产生dx 的变化而惹起的u(x,t)的改变量，可用微x分取代，即u(xdx,t)u(x,t)xu(x,t)dx2u(x,t)dx, xxxx 2于是T2u(x,t) gdx2u(x,t)dxx 2x 2或T2u(x,t) 2u(x,t) g.x2t22一般说来，张力较大时弧振动速度变化很快，即u要比g 大得多，所以又能够把g 略去.t 2经过这样逐渐略去一些次要的量，抓住主要的量，最后得出 u(x,t)应近似地知足方程2ua 22u（）t 2x 2这里的a2T.式(3.3)称为一维颠簸方程.假如在振动过程中，弦上此外还遇到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定单位长 度所受外力的 F(x,t)，明显，在这里(3.1)及(3.2)分别为TcosTcos 0,FdsTsinTsin2u gdsds2.t利用上边的推导方法并略去弦自己的重量，可得弦的逼迫振动方程为2u22uf(x,t),（）’t2x2此中f(x,t)1F(x,t).方程(3.3)与(3.3)’的差异在于(3.3)’的右端多了一个与未知函数u 没关的项f(x,t)，这个项称为自由项，包括有非零自由项的方程称为非齐次方程，自由项恒等于零的方程称为齐次方程.(3.3)为齐次一维颠簸方程， (3.3)’为非齐次一维颠簸方程 .例2 传输线方程对于直流电或低频的沟通电，电路的基尔霍夫定律指出同一支路中电流相等 .但对于较高频次的电流（指频次还没有高到能明显地幅射电磁波的状况） ，电路中导线的自感和电容的效应不行忽视，因此同一支路中电流未必相等.现考虑一来一往的高频传输线，它被看作拥有散布参数的导体（图3-2）.在拥有散布参数的导体中，电流经过的状况，能够用电流强度与电压v来描绘，此处i与v都是x,t的函数，记作i(x,t)与v(x,t)，以R，L，C，G分别表示以下参数：R——每一回路单位的趾串连电阻，L——每一回路单位的串连电感，C——每单位长度的分路电容，G——每单位长度的分路电导.依据基尔霍夫第二定律，在长度为x的传输线中，电压降应等于电动势之和，即v(v v)R xii Lx.t而vx, vx故上式可写成v Ri L i.x T此外，由基尔霍夫第必定律，流入节点x的电流应等于流出该节点的电流，即i(i i)C x iGxv, t或i C vGv.x t将方程(3.4)与(3.5)归并，即得i与v应近似地知足以下方程组i C v Gv0,x tv iRi0.Ltx （）（（（（（（（（）为了确立函数i与v，将方程(3.5)对x微分，同时在方程(3.4)两头乘以C后再对t微分，并把两个结果相减，即得2i G v LC2i RC i x2x t20,t将(3.4)中的v代入上式，得x2i2i(RC i（）x2LG2GL)GRi,t t这就是电流i近似知足的微分方程，采纳近似的方法从（）与（）中消去i可得电压v近似知足的方程2v LG2v(RC GL)v GRv,（）x2t2t方程(3.6)或(3.7)称为传输线方程.依据不一样的详细状况，对参数R,L,C,G作不一样的假定，就能够获得传输线方程的各种特别形式.比如，在高频传输的状况下，电导与电阻所产生的效应能够忽视不计，也就是说可令G R0，此时方程(3.6)与(3.7)可简化为2i12ix2LC t2,2v12vt2LC t2.这两个方程称为高频传输线方程.若令a21这两个方程与(3.3)完整同样.因而可知，同一个方程能够用来描绘不一样的LC物理现象，一维颠簸方程不过颠簸方程中最简单的状况，在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维的颠簸方程.例3电磁场方程从物理学我们知道，电磁场的特征能够用电场强度E与磁场强度H以及电感觉强度D 与磁感觉强度B来描绘，联系这些量的麦克斯韦(Maxwell)方程组为rotH J D（）,trotE B,(3.9) tdivB 0,（）divD.(3.11)此中J为传导电流的体密度，为电荷的体密度.这组方程还一定与下述场的物质方程D eE,（）B H,（）J E,（）相联立，此中是介质的介电常数，是导磁率，为导电率，我们假定介质是平均并且是各向同性的，此时，，均为常数.方程(3.8)与(3.9)都同时包括有E与H，从中消去一个变量，就能够获得对于另一个变量的微分方程，比如先消去H，在(3,8)式两头求旋度并利用(3.12)与（）得rotrotH rotE rotE,t将(3.9)与(3.13)代入得rot rotH2H Ht2,t而rotrotH grad div2H,且divH1divB0,所以最后获得H所知足的方程为2H2HH t2t;同理，若消去H即得E所知足的方程2E2E E.t2t假如介质不导电(0)，则上边两个方程简化为2H12H,（）t22E12E,（）2t(3.15)与(3.16)称为三维颠簸方程.若将三维颠簸方程以标量函数的形式表示出来，则可写成2ua 2ua22u2u2u（t2x2y2z2,）此中a21,u是E或H的随意一个重量.从方程(3.11)与(3.12)还能够推导出静电场的电位所知足的微分方程.事实上，以(3.12)代入(3.11)得divD div E divE,而电场强度E与电位u之间存在关系E gradu,所以可得div(gradu)或2u,（）这个非齐次方程称为泊松（Poisson）方程.假如静电场是无源的，即0,则(3.18)变为2u 0，（）这个方程称为拉普拉斯（Laplace）方程.例4热传导方程一块热的物体，假如体内每一点的温度不全同样，则在温度较高的点处的热量就要向温度较低的点处流动，这类现象就是热传导.在工程技术上有很多传热问题都要归纳为求物体内温度的散布，此刻我们来推导传热过程中温度所知足的微分方程，与上例近似，我们不是先议论一点处的温度，而应当先考虑一个地区的温度.为此，在物体中任取一闭曲面S，它所包围的地区记作V（图3-3）.假定在时辰t，地区V内点M(x,y,z)处的温度为u(x,y,z,t)，n为曲面元素S的外法向（从V内指向V外）.图3-3由传热学可知，在t,t t时间内，从S流入地区V的热量与时间t，面积S，以及沿曲面的法线方向的温度变化率三者的乘积成正比，即Q kuk(gradu)n St Stnk(gradu)S t.此中k称为物体的热传导系数，当物体为平均导热体时，k为常数.于是，从时辰t1到时辰t2，经过曲面S流入地区V的所有热量为Q1t2dSdt.kgradut1S流入的热量使V内温度发生了变化，在△t时间内地区V内各点温度从u(x,y,z,t)变化到u(x,y,z,t+△t)，则在△t内V内温度高升所需要的热量为c[u(x,y,z,t t)u(x,y,z,t)]dVVu(x,y,z,t)ct tdV.V进而从时辰t1到时辰t2，因为温度高升所汲取的热量为t2uQ2cdV dt,t1tV此中c为物体的比热，为物体的密度，对平均物体来说，它们都是常数.因为热量守恒，流入的热量应等于物体温度高升所需汲取的热量，即t2t2ukgradudSdt c dVdt.t1t1tS V此式左端的由面积分中S是关闭曲面，能够利用奥-高公式将它化为三重积分，即kgradudS kdiv(gradu)dV k2udV,S V V 所以有t22udVdt t2udVdt.（）k ct1t1tV V因为时间间隔t,tt及地区V都是随意取的，并且被积函数是连续的，所以(3.20)式左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即u a22ua22u2u2u ,（）tx 2y 2z 2此中a 2k .方程(3.21)称为三维热传导方程.c若物体内有热源，其强度为F(x,y,z)，则相应的热传导方程为ua 22u2u2uf(x,y,z,t),tx 2y 2z 2此中fF .c作为特例，假如所考虑的物体是一根细杆 （或一块薄板），或许即便不是细杆（或薄板）而此中的温度u 只与x,t （或x,y,t ）相关，则方程(3.21)就变为一维热传导方程2u a 2u2;tx或二维热传导方程u a 22u2utx 22.y假如我们考虑稳恒温度场，即在热传导方程中物体的温度趋于某种均衡状态，这时温度u 已与时间t 没关，所以u 0,此时方程(3.21)就变为拉普拉斯方程(3.19).因而可知稳恒t温度场内的温度 u 也知足拉普拉斯方程 .在研究气体或液体的扩散过程时，若扩散系数是常数，则所得的扩散方程与热传导方程完整同样.3．2 初始条件与界限条件上边所议论的是如何将过程的物理规律用数学式子表达出来.除此之外，我们还需要把 详细条件也用数学形式表达出来， 这是因为任何一个详细的物理现象都是处在特定条件之下 的.比如弦振动问题，上节所推导出来的方程是全部柔嫩平均的弦作细小横向振动的共同规 律，在推导这个方程时没有考虑到弦在初始时辰物状态以及弦所受的拘束状况.假如我们不 是平常地研究弦的振动，必然就要考虑到弦所拥有的特定条件.因为任何一个详细振动现象 老是在某时辰的振动状态和此时辰从前的状态相关，进而就与初始时辰的状态相关.此外， 弦的两头所受的拘束也会影响弦的振动，端点所处的物理条件不一样会产生不一样的影响，因此弦的振动也不一样 .所以对弦振动问题来说，除了成立振动方程之外，还需列出它的详细条件对热传导方程，拉普拉斯方程也是这样.提出的条件应当恰好能够说明某一详细物理现象的初始状态以及界限上的拘束状况，.用以说明系统的初始状态的条件称为初始条件.用以说明界限上的拘束状况的条件称为界限条件.下边详细说明初始条件和界限条件的表达形式，先谈初始条件，对于弦振动问题来说，初始条件就是弦在开始时辰的位移及速度，若以(x),(x)分别表示初位移和初速度，则初始条件能够表达为u t0(x)u（）t(x) t0而对热传导方程来说，初始条件是指在开始时辰物体温度的散布状况，若以(M)表示t 0时物体内任一点M处的温度，则热传导方程的初始条件就是u(M,t)t0(M).(3.23)泊松方程与拉普拉斯方程都是描绘稳恒状态的，与初始状态无头，所以不提初始条件.再谈界限条件.假如界限条件直接给出了未知函数u(M,t)在界限S上的值，以s表示界限S上的动点，则这样的界限条件可表为u(M,t)MS(s,t),或简写成u S.（）这类界限条件称为第一类界限条件，此中(s,t)表示在界限S上给定的已知函数.比如，在杆的导热问题中，若在端点x a处温度保持为常数u0，这时在端点x a的界限条件为u xa u0.若在端点x a处温度随时间的变化规律f(t)为已知，在这点的界限条件为uxaf(t).又如在弦振动问题中，若弦的某端点x a是固定的，则在该点的位移为零，即uxa0.以上都是第一类界限条件的例子.总之，第一类界限条件直接给出了未知函数u(M,t)在边界S上的值但在很多状况下，界限上的物理条件其实不可以用第一类界限条件来描绘.比如，在杆的导热问题中，若杆的一端xa绝热，那么绝热这个条件就不可以直接给出杆的端点处的温度变化.因为从杆外经过杆端流入杆内的热量为kuSt(此中t为时间间隔，S为杆nxa的截面积，n为杆在端点x a处的外法向，若x a是杆的左端点，n的正向与x轴正向相反，则u u,若x a是杆的右端点，则n的正向与x轴正向同样，则uu), n x n x所以绝热这个条件能够表达为k uSt0, nxa即u0.nxa若在单位时间内经过x a端单位面积流入杆内的热量是t的已知函数f(t)，则这个条件可表示为k u f(t).nxa弦在对于弦振动问题来说，假如弦在x a处沿位移方向的张力（参照x a处是自由的，即沿着位移方向不受外力，中例1的推导）为则此时Tu0,nx a即u0.xx a总之，有时界限条件一定表达为u（）(s,t).n S的形式，此中u.表示函数沿界限外法向的变化率，这类界限条件称为第二类界限条件n除了上述两类界限条件外，有时还会碰到其余形式的界限条件.比如在杆的导热热问题中，若杆在某个端点x a自由冷却，那么自由冷却这个条件就是K uH(u1u xa), nxa(此中u1为四周介质的温度)即uu1h kuh.n xa H这是因为在单位时间内从四周介质传到杆的x a端单位面积上的热量与介质和杆端的温度差成正比，而在单位时间内经过u xa端单位面积传向杆内的热量与n考取例4）.成正比（参xa对于有界杆(0 x l)，若两头都是自由冷却，则在x l处，上述条件可表为uu h u1;nx i在x0处，这个条件可表为uu h u1.nx 0一般地，这类界限条件的形式为u(s,t).（）uhn s这样的界限条件称为第三类界限条件.无论哪一种界限条件，假如它的数学表达式中的右端自由项恒为零，则这类界限条件称为齐次的.定解问题的提法前方两节我们推导了三种不一样种类的偏微分方程并议论了与它们相应的初始条件与边界条件的表达方式.因为这些方程中出现的未知函数的偏导数的最高阶都是二阶，并且它们对于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的，所以这类方程称为二阶线性偏微分方程*）1 .在工程技术上二介线性偏微分方程碰到最多.假如一个函数拥有所需要的各阶连续编导数，并且代入某偏微方程中能使该方程变为恒等式，则此函数称为该方程的解.因为每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们的任务是要求出合适初始条件和界限条件的解.初始条件和界限条件都称为定解条件.求一个偏微方程知足定解条件的解的问题称为定解问题.只有初始条件，没有界限条件的定解问题称为始值问题（或柯西问题）；而没有初始条件，只有界限条件的定解问题称为边值问题；既有初始条件也有界限条件的定解问题称为混合问题.一个定解问题提得能否切合实质状况，自然一定靠实质来证明，但是从数学角度来看，能够从三方面加以查验. 1）解的存在性，即看所结出来的定解问题能否有解；2）解的独一性，即看能否只有一个解；3）解的稳固性，即看当定解条件有细小改动时，解能否相应地只有细小的改动，假如*）二阶线性编微分方程能够按它们的二阶导数的系数的代数性质进行分类，在§中所推导的颠簸方程属于双曲型,拉普拉斯（或泊松）方程属于椭圆型，热传导方程属于抛物型，对于二阶线性偏微分方程的分类方法,读者可参阅复旦大学数学系编《数学物理方程》（第二版，上海科学技术第一版社第一版）第一章§5.确立这样，此解便称定的，否所得的解就无用价 .因定解条件往常是利用方法得的，因此所获得的果， 有必定的差，假如所以而解的很大， 那么种解然不可以切合客的要求 .假如一个定解存在独一且定的解，此称适定的，在此后中我把着眼点放在定解的解法上， 而极少它的适定性， 是因定解的适定 性常常十分困，而本所的定解都是古典的，它的适定性都是了然的 .习题一1. l 的平均杆，面，一端温度零，另一端有恒定流 q 入（即位内通位截面流入的量q ），杆的初始温度散布是x(ix)，写出相的定解.22. l 的弦两头固定，开始在xc 遇到冲量的作用，写出相的定解.有一平均杆，只需杆中任一小段有向位移或速度，必致段的或伸，种仲开去，就有波沿着杆播，推杆的振方程 .4.一平均杆原l ，一端固定，另一端沿杆的方向被拉e 而静止，忽然松手任其振，成立振方程与定解条件.若F(z),G(z)是随意二可微函数，uF(xat)G(xat)足方程2ua2 2ut 2x 26.若函数u 1(x,t),u 2(x,t), ,u n (x,t),⋯均性次方程2up2uq u r ux 2t 2xt的解，此中p,q,r 不过x,t 的函数，并且数uu k (x,t)收，并x,t 能够行两次k 1逐微分，求数uuk(x,t)足原方程（个叫做性次方程的叠加原理）.k1。
电子科大李明启 田太心 数学物理方程1-3章答案
数学物理方程第一次作业习题2.21. 一根半径为r ，密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 的匀质圆杆，如同界面上的温度相同，其侧面与温度为u 1的介质发生热交换，且热交换的系数为k 1。
试导出杆上温度u 满足的方程。
解：根据题意可知，通过两界面的热量为一段微元升高温度所吸收的热量和与 侧面进行热交换的热量之和。
11[(,)(,)(,)(,)]()2x x t kdt u x dx t s x dx t u x t s x t c sdxu dt k u u rdxdt ρπ++-=+-其中，k 为进入截面的系数，s 为横截面，x u 为沿x 轴温度的法向导数，2rdx π为 侧面。
整理得：ku xx r = c ρru t +2k 1(u-u 1) 所以，温度所满足的方程为：2222112(),,t xx k k u a u b u u a b c c rρρ-=--== 2. 导出匀质且在每一个同心球上等温的孤立球体的热传导方程。
解：有题意分析可知，温度的分布只与球体的半径r 有关，与θ和φ无关，故有： kdt[u r (r+dr,t)s(r+dr)-u r (r,t)s(r)]=c ρsu t drdt也就是说通过两个同心球面而留下的热量等于两个同心球面物体所吸收的热量。
整理可得：v t -a 2v rr =0, 式子中v(r,t)=ru(r,t) , a 2=k ／c ρ3.设物体表面温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡—波耳兹曼定律正比于4u ，即dSdt u dQ 4σ=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数()t z y x ,,,ϕ。
试写出边界条件。
解：所求的边界条件为：k u n u dsdt u dsdt n u kS /)()(4444ϕσϕσ--=∂∂-=∂∂-即 4.设一根具有绝热的侧表面的均匀细杆，它的初始温度为ψ（x ），两边满足下列边界条件之一：（1）一端（x=0）绝热，另一端（x=L ）保持常温u 0（2）两端分别有热流密度q 1和q 2进入；（3）一端（x=0）温度为u 1（t ），另一端（x=L ）与温度为θ（t ）的介质有热交换。
数学物理方程
数学物理方程数学物理方程是描述自然界各种现象的数学公式，是自然科学研究中不可或缺的工具。
数学物理方程是由数学和物理两个学科相互融合而成的，不仅可以描述物理现象，还可以预测未来的发展趋势。
在科学研究中，数学物理方程是一个重要的研究对象，其研究成果对于推动科学技术的发展具有重要的意义。
一、数学物理方程的概念数学物理方程是指用数学语言描述物理现象的公式。
它是物理学和数学学科的交叉领域，通过对物理现象的观察和实验，运用数学方法建立数学模型，从而得到数学物理方程。
数学物理方程可以描述物理现象的规律性，理解物理现象的本质，并为科学家提供了研究新现象和预测未来趋势的工具。
二、数学物理方程的种类数学物理方程可以分为线性方程和非线性方程两种。
1、线性方程线性方程是指方程中未知量的次数都是一次的方程。
线性方程的特点是简单，易于求解。
它可以描述物理现象的基本规律，如牛顿第二定律、欧姆定律等。
2、非线性方程非线性方程是指方程中未知量的次数不是一次的方程。
非线性方程的特点是复杂，难以求解。
它可以描述一些复杂的物理现象，如非线性振动、非线性光学等。
三、数学物理方程的应用数学物理方程广泛应用于各个领域，如力学、电学、热学、光学、天文学、地球物理学等。
1、力学力学是研究物体运动和力的学科，数学物理方程在力学中有着广泛的应用。
如牛顿第二定律F=ma，可以用来描述物体的运动状态和受力情况；弹性力学中的胡克定律F=kx，可以用来描述弹性体的变形性质。
2、电学电学是研究电荷和电场、电流和电磁波等现象的学科，数学物理方程在电学中也有着广泛的应用。
如欧姆定律I=U/R，可以用来描述电路中电流与电压的关系；麦克斯韦方程组可以用来描述电磁波的传播规律。
3、热学热学是研究热与温度的学科，数学物理方程在热学中也有着广泛的应用。
如热力学第一定律ΔU=Q-W，可以用来描述热量的转化和能量的守恒；斯特藩-玻尔兹曼定律可以用来描述热力学系统的熵增加规律。
数学物理方程答案(全)
习题 2.1 1.密度为 均匀柔软的细弦线在 x 0 端固定,在重力作用下,垂直悬挂,横向拉它 一下,使之做微小的横振动.试导出振动方程. 解：设弦长为 l ，建立如下坐标系
用 u(x,t) 表示在弦在时刻 t , x 处的横向位移,从弦上取位于 x 到 x dx 之间的线元, 分析其上的作用力.弦的张力方向总是弦的切线方向,又弦作微小振动,认为弦不 伸长且T 与时间无关. 纵向受到的力 T (x dx) cos2 T (x) cos1 gdx (1) 横向受到的力 T (x dx) sin2 T (x) sin1 uttdx (2) 对于(1)式,由于是微小振动,有 cos2 1, cos1 1 则有
4.
由静电场
Gauss
定理
s
E
dS
1 0
V
dV
，求证：
E
0
，并由此导出
静电势 u 所满足的 Poisson 方程。
证明：因为
s
E
dS
V
divE
dV
1 0
V
dV
所以可以得到
divE 0
由 divE E 和 E u
可得静电势 u 所满足的 Poisson 方程： 2u 0
Q xx
y y
1 3
1 1
所以
a11 a12
a12 a 22
Q
a11 a12
a12 a22
QT
1 3
1 1 1 1
1 1
3
1
3 1
0 8
8 0
b1 L c 0，b2 L c 0 ， c f 0
数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) xat ( )d 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
2u 2u a2 2 , x 0, t 0 t 2 x x0 u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), u (0, t ) 0, t0
(3.1.3)
物理解释： 认为弦很长，考虑弦线某端附近而远离另一端在较短时 间内的振动，其中给定初始位移和速度，没有强迫外力作 用，弦线一端被固定。
s 2
x at
[e
e
( x at ) 2
] [ e
s2
x at
]
x at
e
( x at ) 2
8
数学物理方程
utt c 2u xx 0, x u |t 0 sin x, ut |t 0 cos x
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
20
数学物理方程
例子：
utt a 2u xx , x, u ( x, 0) 1 x , 0, u ( x, 0) 0， t u (0, t ) 0, x 0, t 0 x [0, 1 ] 2 x [ 1 ,1] 2 其它 xR t0
1 2a
代入通解得： ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] u
x at
x at
( s)ds
数学物理方程(谷超豪)-第三、四章 课后习题答案
第三章调和方程§1建立方程定解条件1．设)(),,,(21r f x x x u n = )(221n x x r ++=是n 维调和函数（即满足方程022212=∂∂++∂∂nx ux u），试证明221)(-+=n rc c r f )2(≠n rInc c r f 1)(21+=)2(=n 其中21,c c 为常数。
证：)(r f u =,rx r f x rr f x u i i i ⋅=∂∂⋅=∂∂)()(''32''22"22)(1)()(r x r f r r f rx r f x ui i i ⋅-⋅+⋅=∂∂312''212"122)()()(rx r f r nr f rx r f x uni i ni i ni i∑∑∑===⋅-⋅+⋅=∂∂)(1)('"r f rn r f -+=即方程0=∆u 化为0)(1)('"=-+r f rn r f rn r f r f 1)()('"--=所以)1(1')(--=n r A r f 若2≠n ，积分得1212)(c r n A r f n ++-=+-即2≠n ，则221)(-+=n r c c r f 若2=n ，则rA r f 1')(=故Inr A c r f 11)(+=即2=n ，则rInc c r f 1)(21+=2．证明拉普拉斯算子在球面坐标),,(ϕθr 下，可以写成sin 1)(sin sin 1(12222222=∂∂⋅+∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂⋅=∆ϕθθθθθur u r r u r r r u 证：球坐标),,(ϕθr 与直角坐标),,(z y x 的关系：ϕθcos sin r x =，ϕθsin sin r y =，θcos r z =（1）222222z u yu xu u ∂∂+∂∂+∂∂=∆为作变量的置换，首先令θρsin r =，则变换（1）可分作两步进行ϕρcos =x ，ϕρsin =y （2）θρsin r =，θcos r z =（3）由（2）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂)cos ()sin (sin cos ϕρϕρϕϕϕρy ux u u y u x u u 由此解出⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂-∂∂=∂∂ρϕϕϕρρϕϕϕρcos sin sin cos u u y u u u x u （4）再微分一次，并利用以上关系，得)sin cos (22ρϕϕϕρ⋅∂∂-∂∂∂∂=∂∂u u x xu)sin cos (sin )sin cos (cos ρϕϕϕρϕρϕρϕϕϕρρϕ⋅∂∂-∂∂∂∂⋅-⋅∂∂-∂∂∂∂=u u u u +∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂=22222222sin cos sin 2cos ϕρϕϕρρϕϕρϕuu u ρρϕϕρϕϕ∂∂⋅+∂∂⋅+u u 22sin cos sin 2cos sin (22ρϕϕϕρ⋅∂∂+∂∂∂∂=∂∂u u y yu)cos sin (cos )cos sin (sin ρϕϕϕρϕρϕρϕϕϕρρϕ⋅∂∂+∂∂∂∂++⋅∂∂+∂∂∂∂=u u u u ρρϕϕρϕϕϕρϕϕρρϕϕρ∂∂⋅+∂∂⋅--∂∂⋅+∂∂∂+∂∂=u u uu u2222222222cos cos sin 2cos cos sin 2sin 所以ρρϕρρ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂=∂∂+∂∂uu u yu xu 11222222222（5）ρρϕρρ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂uuz uu z u y u x u112222222222222再用（3）式，变换2222zu u ∂∂+∂∂ρ。
大学数学数学物理方程
大学数学数学物理方程大学数学物理方程数学物理方程是大学数学与物理学交叉研究的重要内容之一，它的应用范围涉及到多个学科领域，如工程力学、电磁学、热力学等。
本文将从数学物理方程的定义、分类以及应用等方面进行探讨。
一、数学物理方程的定义数学物理方程是用数学语言描述物理现象和自然规律的方程。
它是基于物理学的基本假设和实验观测，通过数学建模和分析，推导出的数学表达式。
数学物理方程在研究物质结构、物质运动以及物理现象的演化过程中具有重要的作用。
二、数学物理方程的分类1. 常微分方程常微分方程是描述物理系统变化的方程，如牛顿第二定律、达西定律、热传导方程等。
常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程两类，其中线性常微分方程的解可以通过叠加原理得到。
2. 偏微分方程偏微分方程是描述含有多个自变量的物理系统的方程，如波动方程、扩散方程、亥姆霍兹方程等。
偏微分方程的求解一般需要利用特定的边界条件或初值条件，通过变量分离、变换、特征线法等方法求得。
3. 积分方程积分方程是以积分形式表达的方程，它包含有待求函数与该函数的积分之间的关系。
积分方程在电磁场、弹性力学、流体力学等领域中广泛应用。
4. 差分方程差分方程是用差分代替微分的方程，它是离散时间和连续时间之间的函数关系。
差分方程在物理过程的模拟和数值计算中具有重要作用。
三、数学物理方程的应用数学物理方程在科学研究与工程技术中有着广泛的应用。
以下举几个例子说明其应用领域：1. 电磁场方程麦克斯韦方程组描述了电磁场的变化规律，通过求解这一方程组可以得到电磁波在空间传播的速度和形状，为电磁学研究和通信技术提供了理论基础。
2. 流体力学方程纳维-斯托克斯方程描述了流体在各种条件下的运动规律，通过求解这一方程可以得到流体的速度、压力等物理量，帮助解决航空、水利、石油等领域的工程问题。
3. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度的传播规律，通过求解这一方程可以得到物体的温度分布和热传导等相关问题，为材料科学与能源领域的研究提供了理论基础。
数理方程第一章-3讲解
a2
(
2u x2
2u y2
2u z2
)
u t
a2 k c
—— 三维热传导方程
本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。
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第一类边界条件：物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如
u S
f1
第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在边界上的值，如
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知识补充：
弹性模量是指当有力施加于物体或物质时，其弹性变 形（非永久变形）趋势的数学描述。物体的弹性模量 定义为弹性变形区的应力－应变曲线的斜率。杨氏模 量指的是受拉伸和压缩时的弹性模量。
杨氏模量(Young‘s modulus)是描述固体材料抵抗形变 能力的物理量。一条长度为L、截面积为S的金属丝在 力F作用下伸长L。F/S叫应力，其物理意义是金属丝 单位截面积所受到的力； L/L叫应变，其物理意义是 金属丝单位长度所对应的伸长量。
dx
x
不考虑垂直杆方向的形变，根据Hooke定律，应力与应变成正
比，即 P E u x
代入
P x
2u t 2
2u t2
a2
2u x2
0 xl , t0
其中
a2 E
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例6：一根均匀杆，原长为l，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静 止。突然松手，任其纵向振动。写出定解问题。
（3）对于稳恒场，上述边界条件的两端均不含时间 t ; （4）边界条件的推导，步骤与泛定方程的推导大致相同，但微元只能在边界上选取。
x
x
S 2u d x
t2
Sdx dm（微元质量）
数学物理方程答案
首先，让我们来看看数学物理方程的定义：数学物理方程是一种特殊的数学方程，它描述某些物理现象的规律性。
它是一种表达物理定律的数学表达式，它可以用来描述物理系统和物理过程的运动规律。
数学物理方程的研究可以分为两大类：一类是描述动力学，即物体运动和力学的规律；另一类是描述热力学，即物体的能量和热力之间的联系。
1、动力学方程：（1）牛顿第二定律：牛顿第二定律是由物理学家牛顿提出的，它指出物体的运动是由其受到的外力所决定的，即牛顿第二定律可以表述为：物体受到外力的作用时，它的加速度与外力的大小成正比，方向和外力的方向相同：F=ma。
（2）弹性力学：弹性力学是物理学中的一个分支，它研究物体在受到外力作用时的运动规律。
弹性力学的基本方程是弹性力学第一定律，它表明物体在受到外力作用时，它的变形量与外力的大小成正比，方向和外力的方向相反：F=kd。
2、热力学方程：（1）热力学第一定律：热力学第一定律是物理学家热力学第一定律，它表明物体在受到外力作用时，其热能和动能的总量是不变的：Q+W=0。
（2）热力学第二定律：热力学第二定律是物理学家热力学第二定律，它表明物体在受到外力作用时，其热能只能从一个温度更高的物体向一个温度更低的物体转移：Q=TdS。
（3）热力学第三定律：热力学第三定律是物理学家热力学第三定律，它表明物体在受到外力作用时，其热力学熵不会减少：S≥0。
以上就是数学物理方程的基本概念和基本方程，它们是研究物理系统和物理过程的基础。
在实际的研究中，我们还需要运用更复杂的数学技术来求解物理问题，这就要求我们掌握更多的数学物理方程。
比如，在研究电磁学方面，我们要掌握电磁学方程，它由费米和盖尔提出：电磁学方程：∇×E = -∂B/∂t∇×B = μoεo∂E/∂t + μoJ∇·E = ρ/εo∇·B = 0其中，E、B分别表示电场和磁场，ρ表示电荷密度，μo和εo分别表示真空中的磁导率和电导率。
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第3章 行波法与积分变换法
3-1
行波法
无界弦振动的柯西问题 ：
2u 2u a 2 2 ( x , t 0) 2 t x u ( x,0) ( x), u | ( x) t 0 t
式中 ( x), ( x) 均为已知函数。
x0 ( x), ( x) ( x), x 0
x0 ( x), ( x) ( x), x 0
x0 f ( x, t ), F ( x, t ) f ( x, t ), x 0
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
第3章 行波法与积分变换法
引入新变量 x at , x at
u u u u u a a t t t
u u u u u x x x
2u u u x 2 x x x x
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
延拓后的定解问题：
2 2v 2 v F ( x, t ) ( x , t 0) 2 a 2 x t v |t 0 ( x) v( x,0) ( x), t v(0, t ) 0
u 振动位移分为两部分： ( x, t ) v( x, t ) w( x, t ) 一部分是只受外力影响的v( x, t ) ，另一部分 是由初始形变产生的回复力使弦产生的位 移 w( x, t )
第3章 行波法与积分变换法
2 2v 2 v f ( x, t ) ( x , t 0) 2 a 2 t x v( x,0) 0, v | 0 t 0 t w( x, t ) 满足（II） 2 w 2w 2 ( x , t 0) 2 a 2 t x w( x,0) ( x), w | ( x) t 0 t
第3章 行波法与积分变换法
在 x, t 平面上，斜率为
x at C
1 的两族直线 a
称为一维波动方程的特征线。波动实际上 是沿着特征线传播的，因此行波法又称为 特征线法。 1 u 无累积效应 ： ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] 2 有累积效应：u ( x, t ) 1 xat ( )d 2a x at
数学物理方程
理学院 冯国峰
第3章 行波法与积分变换法
行波法只能用于求解无界区域上的波 动方程定解问题，虽然有很大的局限 性，但对于波动问题有其特殊的优点， 所以该法是数学物理方程的基本解法 之一。 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定解问题，但 对于有界区域的定解问题也能应用。
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
（二）半无限长弦的强迫振动问题
若弦的一端固定在原点，另一端无限长， 并且还受到外界的干扰，则应考虑定解问 题： 2 u a 2 2 u f ( x, t ) (0 x , t 0)
2 t x 2 u ( x,0) ( x), u (0, t ) 0 u |t 0 ( x) t
所截得的区间。 初始时刻 t 0时，取x轴的一个区间 x , x ， 1 2 作直线 x x at与直线 ，它们和区 x x1 at 1 间 一起构成一个三角形区域，称为决 x1 , x2 定区域。 在平面上由不等式 x1 at x x2 at 所确定 的区域称为区间 x1 , x2 的影响区域。
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
解析延拓： 2 v
2v a 2 2 ( x , t 0) 2 x t v |t 0 ( x) v( x,0) ( x), t v(0, t ) 0
x0 x0 ( x), ( x), ( x) , ( x) ( x), x 0 ( x), x 0
u u u u 2 u 2u 2u 2 2 2
2u u u u u u u a a a a a a 2 t t x t t 2 2 2 2 u 2 u 2 u a 2a a 2 2
第3章 行波法与积分变换法
原柯西问题的通解为 u f1 ( x at ) f 2 ( x at ) 初始条件代入其中，有 ( x) f1 ( x) f 2 ( x) ( x) af1( x) af 2( x)
无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 ） 1 1 x at 为： u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
（1）当 x at 0 时，
（2）当 x at 0时，
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] xat ( )d 2 2a
1 1 x at u ( x, t ) [( x at ) ( x at )] xat ( )d 2 2a 1 1 x at 1 0 [ ( x at ) (at x)] 0 ( )d 2a xat ( )d 2 2a 1 1 x at [ ( x at ) (at x)] at x ( )d 2 2a
满足（I） v ( x, t )
问题（II）应用达朗贝尔公式即可解出，而问题 （I）则要应用下面的齐次化原理来求解。
第3章 行波法与积分变换法
齐次化原理：w( x, t; ) 是初值问题
2 w 2w a2 (t ) 2 2 t x w | 0, w | f ( x, ) t t t
（1）当 x at 0时，
x a ( t ) 1 1 x at 1 t u ( x, t ) [( x at ) ( x at )] ( )d d F ( , )d x at 0 x a ( t ) 2 2a 2a x a ( t ) 1 1 x at 1 t [ ( x at ) ( x at )] ( )d d f ( , )d x at 0 x a ( t ) 2 2a 2a
第3章 行波法与积分变换法
当弦的振动受到外力干扰时，就归结为非 齐次方程的定解问题：
2 2u 2 u f ( x, t ) ( x , t 0) 2 a 2 t x u ( x,0) ( x), u | ( x) t 0 t
2 2a
x at
第3章 行波法与积分变换法
函数 u1 ( x, t ) f1 ( x at ) 称为左传播波，由它 描述的振动的波形是以常速度a向左传播的 行波。 函数 u2 ( x, t ) f 2 ( x at ) 称为右传播波，由它 描述的振动的波形是以常速度a向右传播的 行波。 积分所代表的也是类似的沿着x轴的正负方 向传播的波，不过是由初速度 (x)引起的。
（2）当 x at 0 时，有必要分析积分下限 x a(t )为负值时 的取值范围。
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
x x 当 t , t 时，解不变；当 0, t a 时， a
x a ( t ) 1 1 x at 1 t u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d d xat 0 xa (t ) F ( , )d 2 2a 2a x a ( t ) 1 1 x at 1 t [ ( x at ) (at x)] ( )d x d f ( , )d at x t x a ( t ) 2 2a 2a a x a ( t ) 0 1 ta d [ f ( , )d f ( , )d ] 0 0 x a ( t ) 2a 1 1 x at [ ( x at ) (at x)] at x ( )d 2 2a x x a ( t ) x a ( t ) 1 t 1 ta t ax d xa (t ) f ( , )d 2a 0 d a (t ) x f ( , )d 2a x
的解（其中 为常数），则 v( x, t ) 0 w( x, t; )d 就是初值问题（I）的解。
t
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
（一）半无限长弦的自由振动问题：
2u 2u a 2 2 (0 x , t 0) 2 x t u |t 0 ( x) u ( x,0) ( x), t u (0, t ) 0
其中 ( x, y, z ) 和 ( x, y, z ) 均为已知函数。
u
3-3 高维波动方程的初值问题
第3章 行波法与积分变换法
达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰
动总是以行波的形式分别向x轴的 正负两个方向传播出去，其传播速 度恰恰是弦振动方程中出现的常数 a。基于这种原因，达朗贝尔解法 又称为行波法。
第3章 行波法与积分变换法
x at, x at 称为点 x, t 的依赖区间。它是过 点 x, t 分别作斜率为 1 的直线与x轴相交 a
3-3 高维波动方程的初值问题
三维波动方程初值问题：