2019年九年级数学上册 21.1 一元一次方程教案 (新版)新人教版.doc

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一元一次方程教案人教版

一元一次方程教案最新人教版一、教学目标1. 让学生理解一元一次方程的概念，掌握一元一次方程的解法。

2. 培养学生运用一元一次方程解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作交流、归纳总结的能力。

二、教学重点1. 一元一次方程的概念及解法。

2. 一元一次方程在实际问题中的应用。

三、教学难点1. 一元一次方程的解法。

2. 实际问题中的一元一次方程求解。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生自主探究一元一次方程的解法。

2. 利用实例分析，让学生了解一元一次方程在实际生活中的应用。

3. 组织小组讨论，培养学生的合作交流能力。

4. 运用归纳总结法，帮助学生巩固所学知识。

五、教学内容1. 一元一次方程的概念及例题解析。

2. 一元一次方程的解法（移项、合并同类项、系数化为1）。

3. 一元一次方程在实际问题中的应用举例。

4. 课堂练习：求解一元一次方程。

5. 总结一元一次方程的解法及应用。

六、教学步骤1. 引入新课：通过复习相关数学知识，引导学生回顾代数式的基本概念，为新课的学习做好铺垫。

2. 讲解一元一次方程的概念：解释一元一次方程的定义，举例说明。

3. 演示一元一次方程的解法：通过示例，展示解一元一次方程的步骤，包括移项、合并同类项、系数化为1。

4. 应用实例：提供几个实际问题，让学生运用一元一次方程进行求解。

5. 课堂练习：布置一些练习题，让学生独立完成，检验对一元一次方程的掌握程度。

七、教学反思在课后，对课堂教学进行反思，观察学生的反馈，了解学生在学习过程中的难点和疑点，为下一步的教学提供参考。

八、课后作业布置一些相关的课后作业，让学生进一步巩固一元一次方程的知识，提高解题能力。

九、课堂评价通过课堂提问、练习完成情况等方式，对学生的学习情况进行评价，了解学生的掌握程度，为后续教学提供依据。

十、教学拓展对于学习优秀的学生，可以提供一些拓展资料，如一元二次方程、多元方程等，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。

初中数学人教版九年级上册：第21章《一元二次方程》全章教案

初中数学人教版九年级上册实用资料第二十一章一元二次方程 21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x 2＝13．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知根据题意列方程．1．教材第2页问题1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？活动3 归纳概念提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2教材第3页例题．例3以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．教材第4页练习第2题．4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页习题21.1第1～7题.21.2解一元二次方程21．2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题．问题1：填空(1)x 2－8x ＋________＝(x －________)2；(2)9x 2＋12x ＋________＝(3x ＋________)2；(3)x 2＋px ＋________＝(x ＋________)2.解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p 2)2 p2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x ＝±3，如果x 换元为2t ＋1，即(2t ＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t ＋1变为上面的x ，那么2t ＋1＝±3 即2t ＋1＝3，2t ＋1＝－3 方程的两根为t 1＝1，t 2＝－2例1 解方程：(1)x 2＋4x ＋4＝1 (2)x 2＋6x ＋9＝2分析：(1)x 2＋4x ＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x ＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x ＋3)2＝2直接开平方，得：x ＋3＝±2 即x ＋3＝2，x ＋3＝－ 2所以，方程的两根x 1＝－3＋2，x 2＝－3－ 2 解：略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m 2提高到14.4 m 2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ，一年后人均住房面积就应该是10＋10x ＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x ＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10(1＋x)2＝14.4 (1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x ＝±1.2 即1＋x ＝1.2，1＋x ＝－1.2所以，方程的两根是x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2＝－2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5解一次方程→x1＝2，x2＝－8可以验证：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2m ，长为8 m .像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1 用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：略．三、巩固练习教材第9页练习1，2.(1)(2)．四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤．难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x 2－4x ＋7＝0 (2)2x 2－8x ＋1＝0 老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略． (2)与(1)有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．例1解下列方程：(1)2x2＋1＝3x(2)3x2－6x＋4＝0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4)．补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x2＝4(2)(x－2)2＝7提问1这种解法的(理论)依据是什么？提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)(学生活动)用配方法解方程2x2＋3＝7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．二、探索新知用配方法解方程：(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2＋bx ＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－ca配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b2a )2即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2∵4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，b 2－4ac4a 2≥0∴(x ＋b 2a )2＝(b 2－4ac 2a)2直接开平方，得：x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1 用公式法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2＋1.5＝－3x (3)x 2－2x ＋12＝0 (4)4x 2－3x ＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．补：(5)(x －2)(3x －5)＝0 三、巩固练习教材第12页练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程； (2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a ，b ，c ，注意各项的系数包括符号；3)计算b 2－4ac ，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．(4)初步了解一元二次方程根的情况．五、作业布置教材第17页习题4，5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程．难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题．(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解．因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12.(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1 解方程：(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x －1)2＝(3－2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1 三、巩固练习教材第14页练习1，2.四、课堂小结本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律． 4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋c a ＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： (1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)13x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1，x 2＝2－1)(2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734，x 2＝5－734) 例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？) 例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．变式一：已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数，求k ；变式二：已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．四、作业布置1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0(4)3x 2＋x ＋1＝02．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x 个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8，10题．。

人教版数学九年级上册21.1《一元二次方程(1)》教学设计

人教版数学九年级上册21.1《一元二次方程（1）》教学设计一. 教材分析《一元二次方程（1）》是人教版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。

一元二次方程是初中数学的重要内容，也是后续学习高中数学的基础。

通过本节的学习，学生能够了解一元二次方程在实际生活中的应用，培养其解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程有一定的了解。

但在解一元二次方程方面，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生逐步掌握一元二次方程的解法。

三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够应用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过合作交流，培养学生探究问题的能力，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的联系。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。

2.难点：一元二次方程的解法，应用一元二次方程解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、案例教学法等，引导学生主动探究，合作解决问题。

六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、教学辅助材料等。

2.学生准备：课本、练习本、文具等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义，呈现一元二次方程的解法，引导学生理解并掌握解法。

3.操练（10分钟）学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。

4.巩固（5分钟）对学生的练习进行讲解，解答学生的疑问，帮助学生巩固知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程在实际生活中的应用，让学生尝试解决实际问题。

6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调一元二次方程的定义和解法。

7.家庭作业（5分钟）布置一些一元二次方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。

陕西省石泉县池河中学人教版九年级数学上册教案：21.1一元一次方程

实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的热情。他们通过讨论和实验操作，不仅加深了对一元一次方程的理解，还学会了如何将理论知识应用于实际问题的解决中。我在旁听学生的讨论时发现，他们在解决问题的过程中，能够相互启发，共同进步。
然而，我也注意到，部分学生在小组讨论中较为沉默，可能是因为害羞或者不自信。在未来的教学中，我需要更多地关注这些学生，鼓励他们积极参与，增强他们的自信心。同时，我也应该提供更多的机会让每个学生都有表达自己观点的机会。
4.练习：教材中第21.1节后的习题1-4题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的逻辑推理、数学建模和问题解决能力。通过学习一元一次方程，使学生能够：
1.理解一元一次方程的概念，掌握方程的基本性质，提高逻辑推理能力；
2.学会运用移项、合并同类项等方法解一元一次方程，培养数学运算和数学建模能力；
-难点三：将实际问题抽象为一元一次方程的过程，学生需要掌握如何从问题中提取关键信息，正确设立变量，以及如何根据问题情境列出方程。
举例：
-对于移项难点，可以通过具体的例子，如方程2x + 5 = 3x - 2，展示如何将3x移至等式左边，2移至等式右边，并解释符号变化的规则。
-在合并同类项方面，可以通过对比x和2x，以及3和3x这样的项，强调只有变量和它们的系数相同的项才能合并，同时演示如何将常数项与其他项合并。
在总结回顾环节，我对学生今天的学习成果进行了简单的回顾，也给了他们提问的机会。我感到欣慰的是，学生们敢于提出自己的疑问，这表明他们有勇气面对自己的不足，也愿意寻求帮助。
3.能够将实际问题抽象为一元一次方程，提高问题分析和解决能力；
4.通过合作交流，提升学生的团队协作能力和表达交流能力，激发对数学学科的兴趣和自信心。

一元一次方程教案(人教版)

一元一次方程教案(最新人教版)章节一：引言教学目标：1. 理解实际问题与方程之间的联系。

2. 掌握一元一次方程的概念。

教学内容：1. 引入实际问题，引导学生思考问题与数值之间的关系。

2. 介绍一元一次方程的定义和特点。

教学步骤：1. 引入实际问题，例如购物问题，引导学生思考问题与数值之间的关系。

2. 引导学生将实际问题转化为方程，解释一元一次方程的定义和特点。

教学评估：1. 提问学生对实际问题与方程之间关系的理解。

2. 检查学生对一元一次方程的定义和特点的掌握。

章节二：一元一次方程的解法教学目标：1. 掌握一元一次方程的解法。

2. 能够熟练解一元一次方程。

教学内容：1. 介绍一元一次方程的解法。

2. 讲解一元一次方程的解法步骤。

教学步骤：1. 引入一元一次方程的解法，解释解法的基本思想。

2. 讲解一元一次方程的解法步骤，包括去分母、去括号、移项、合并同类项、化简等操作。

教学评估：1. 提问学生对一元一次方程解法的理解。

2. 让学生独立解一元一次方程，检查学生的解题能力。

章节三：一元一次方程的应用教学目标：1. 能够应用一元一次方程解决实际问题。

2. 掌握一元一次方程在实际问题中的应用。

教学内容：1. 介绍一元一次方程在实际问题中的应用。

2. 讲解一元一次方程在实际问题中的解法步骤。

教学步骤：1. 引入实际问题，引导学生思考问题与方程之间的联系。

2. 讲解一元一次方程在实际问题中的解法步骤，包括建立方程、解方程、检验解等操作。

教学评估：1. 提问学生对一元一次方程在实际问题中应用的理解。

2. 让学生独立解决实际问题，检查学生的应用能力。

章节四：复习与巩固教学目标：1. 复习一元一次方程的概念和解法。

2. 巩固对一元一次方程的理解和应用能力。

教学内容：1. 复习一元一次方程的概念和解法。

2. 进行一元一次方程的练习。

教学步骤：1. 复习一元一次方程的概念和解法，回答学生的问题。

2. 进行一元一次方程的练习，包括解方程和应用方程解决实际问题。

一元一次方程教案(人教版)

一元一次方程教案(最新人教版)一、教学目标1. 让学生掌握一元一次方程的定义、解法和应用。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作学习、积极探究的精神。

二、教学内容1. 一元一次方程的定义：含有一个未知数，未知数的次数为1，系数不为0的方程。

2. 一元一次方程的解法：移项、合并同类项、系数化为1。

3. 一元一次方程的应用：解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 重点：一元一次方程的定义、解法和应用。

2. 难点：一元一次方程的解法步骤和应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究一元一次方程的解法。

2. 运用案例分析法，让学生学会将实际问题转化为一元一次方程。

3. 采用合作学习法，培养学生团队协作精神。

五、教学过程1. 导入：通过生活实例，引导学生认识一元一次方程。

2. 新课讲解：讲解一元一次方程的定义、解法和应用。

3. 案例分析：分析实际问题，引导学生学会将问题转化为方程。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评价2. 评价内容：一元一次方程的定义、解法、应用以及解决实际问题的能力。

3. 评价标准：准确理解概念，熟练掌握解法，能够灵活应用到实际问题中。

七、教学资源1. 教材：最新人教版数学教材。

2. 课件：教学课件，包含图片、动画、例题等。

3. 练习题：课后练习题及拓展题。

4. 实际问题案例：生活中的相关问题案例。

八、教学进度安排1. 第1周：引入一元一次方程，讲解定义和简单解法。

2. 第2周：深入学习一元一次方程的解法，解题步骤，以及解的意义。

3. 第3周：应用一元一次方程解决实际问题，案例分析。

4. 第4周：练习题讲解，巩固知识，拓展应用。

九、教学拓展1. 对比二元一次方程：引导学生思考二元一次方程与一元一次方程的区别和联系。

2. 探索其他方程类型：引导学生了解并探究其他类型的方程，如二次方程等。

3. 数学历史：介绍一元一次方程在数学发展史上的地位和作用。

新人教版初中数学九年级上册《第二十一章一元二次方程：21.1一元二次方程》优质课教案_0

21.1《一元二次方程》教学设计一、教学内容一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式及一元二次方程的解（根）的概念．二、教学目标（1）体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，并理解一元二次方程的概念．（2）了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式．（3）会判定一个数是否是方程的根及解决一些概念性的题目．（4）通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．三、教学重、难点重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点1. 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．2. 判定一个数是否是方程的根．课时安排1课时．四、教学过程设计（1）复习回顾1、什么叫做方程？2、我们都学过哪些方程？3、我们如何定义方程的“元”和“次”？（2）探究新知1、集思广益方程 2240+-=x x 属于什么方程？其他实际问题中是否也能列出这一类方程呢？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为(100―2x ) cm ，宽为(50―2x ) cm ．根据方盒的底面积为3600 cm 2，得(100―2x )(50―2x )＝3 600．整理，得 4x 2―300x ＋1 400＝0.化简，得 x 2―75x ＋350＝0问题一、如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 2cm ，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题二、要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应该邀请多少个队参赛？分析：全部比赛共有28场．若设应邀请x 个队参赛，则每个队要与其他x-1个队各赛一场，比赛共有x(x-1)/2场，由此，我们可以列出方程x(x-1)/2=28，化简得x 2―x=56.042)2(22=-++-m x x m 【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识．学生活动：思考交流以上三个方程有什么共同点？老师点评：（1）等号两边都是整式；(2）只含一个未知数x ；（3）未知数的最高次数是2；二元一次方程的概念：像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．【设计意图】让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比。

完整版数学人教版九年级上册一元二次方程第一课时教案.doc

21． 1 一元二次方程教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式 ax 2+bx+c=0 （ a ≠ 0）及其派生的概念； ?应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型， ?模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．态度、情感、价值观5．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．?重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点突破：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型， ?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入问题 1：（ 1）什么是一元一次方程？（ 2）一元一次方程的一般形式是什么？问题 2：学生讨论交流完成引言：要设计一座 2 m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？设雕像下部高 x m ，于是得方程。

问题 3：如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm ，宽 50 cm ，在它的四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？设切去的正方形的边长为 x cm ，则盒底的长为（ 100－ 2x ）cm ，宽为（ 50－ 2x ）cm ，根据方盒的底面积为3 600 cm 2，得。

问题 4：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他（ x － 1）个队各赛 1 场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共1x x 1场．可列方程为。

21.1一元二次方程教案(人教版数学九年级上册)

21.1一元二次方程（一）教学目标（1）知识技能：1.通过类比方程，了解一元二次方程的定义及一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念。

2.了解一元二次方程的解的定义，会检验一个数是不是一元二次方程的解。

（2）过程与方法：通过实例，列出一元二次方程，让学生体会一元二次方程是实际问题数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识。

（3）情感态度使学生经历类比方程得到一元二次方程定义的过程，减少学生对新知识的陌生感，提高学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点难点重点：通过类比方程，了解一元二次方程的定义及一般形式ax2+bx+c= 0（a≠0）和一元二次方程的解等定义,并能使用定义解决简单问题。

难点：一元二次方程、二次项及其系数、一次项及其系数与常数项的分别。

教学方法：教学准备：课件（三）教学过程：一、复习引入：同学们我们已经学习了一元一次方程，二元一次方程组和可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。

从这节课开始学习一元二次方程知识，先来回忆一下方程的有关概念.1.什么是方程？什么的一元一次方程？2.指出下面哪些方程是已经学过的方程？分别是什么方程？（1）3x+2=0；（2）2x−3y=8；（3）25x +3y=0；（4）13y=4；（5）x2−2x+1=0；（6）y(y−8)=24;（7）5+1x−3=1;（8）2x3−y2=2.3.什么的元？什么的次？二、探究新知：1.课件出示教材问题1、2，要求学生列出方程，思考下列问题。

问题1 有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？提问：（1）问题1中列方程的等量关系是，所列的方程为，化简后为。

人教版九年级上册数学全册教案(完整版)教学设计

人教版九年级上册数学全册教案（完整版）教学设计21.1 一元二次方程一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程及相关概念．2．掌握一元二次方程的一般形式．3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．【过程与方法】从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念．【情感态度与价值观】通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】1．一元二次方程的概念及其一般形式．2．判断一个数是不是一元二次方程的解．【教学难点】能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P1～P4的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解决下列问题：问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？【解析】设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x )_cm__，宽为__(50－2x )_cm__.列方程，得__(100－2x )(50－2x )＝3600__，化简，整理，得__x 2－75x ＋350＝0__.①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【解析】全部比赛的场数为__4×7＝28(场)__.设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛一场．因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共__12x (x －1)__场．列方程，得__12x (x －1)＝28__.化简、整理，得 __x 2－x －56＝0__.②归纳总结：方程①②的共同特点是：方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__.2．一元二次方程的定义：等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．3．一元二次方程的一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__.其中__ax 2__是二次项，__a __是二次项系数，__bx __是一次项，__b __是一次项系数，__c __是常数项．环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x 3－2x 2＋5＝0； (2)x 2＝1；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋35；(4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)； (5)x 2－2x ＝x 2＋1； (6)ax 2＋bx ＋c ＝0.【互动探索】(引发学生思考)要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？【解答】(2)(3)(4)是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程，首先看方程等号两边是不是整式，然后移项，使方程的右边为0，再观察左边是否只有一个未知数，且未知数的最高次数是否为2.【例2】将方程2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＋2＝5(x －1)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的？【解答】去括号，得x －2x 2＋2＝5x －5.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：2x 2＋4x －7＝0. 其中二次项系数是2，一次项系数是4，常数项是－7.【互动总结】(学生总结，老师点评)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将二次项化负为正，化分为整．【例3】下面哪些数是方程2x 2＋10x ＋12＝0的解？－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4.【互动探索】(引发学生思考)你能类比判断一个数是一元一次方程的解的方法判断一元二次方程的解吗？【解答】将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x ＝－2或x ＝－3是一元二次方程2x 2＋10x ＋12＝0的解．【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断一个数是否是方程的解，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．若相等，则这个数是方程的解，若不相等，则这个数不是方程的解．【活动2】巩固练习(学生独学) 1．下列方程是一元二次方程的是( D ) A ．ax 2＋bx ＋c ＝0 B ．3x 2－2x ＝3(x 2－2) C ．x 3－2x －4＝0D ．(x －1)2＋1＝02．已知x ＝2是一元二次方程x 2－2mx ＋4＝0的一个解，则m 的值为( A ) A ．2 B ．0 C ．0或2D ．0或－2【教师点拨】将x ＝2代入x 2－2mx ＋4＝0得，4－4m ＋4＝0.再解关于m 的一元一次方程即可得出m 的值．3．把一元二次方程(x ＋1)(1－x )＝2x 化成二次项系数大于0的一般式是__x 2＋2x －1＝0__，其中二次项系数是__1__，一次项系数是__2__，常数项是 __－1__.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例4】求证：关于x 的方程(m 2－8m ＋17)x 2＋2mx ＋1＝0，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．【互动探索】(引发学生思考)已知关于x 的方程，且含有字母系数，要证明该方程是一元二次方程，则该方程的二次项系数必须满足什么条件？【证明】m 2－8m ＋17＝m 2－8m ＋42＋1＝(m －4)2＋1. ∵(m －4)2≥0，∴(m －4)2＋1>0，即(m －4)2＋1≠0， ∴不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只需证明二次项系数恒不为0，即m 2－8m ＋17≠0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程⎩⎨⎧必须满足的三要素⎩⎪⎨⎪⎧ 是整式方程只有一个未知数未知数的最高次数是2一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0a ≠02．判断一个数是否是一元二次方程解的方法：将这个数分别代入方程的左右两边，如果“左边＝右边”，则这个数是方程的解；如果“左边≠右边”，则这个数不是方程的解．请完成本课时对应练习！21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 2．理解并掌握直接开方法、配方法解一元二次方程的方法．【过程与方法】1．通过根据平方根的意义解形如x 2＝n (n ≥0)的方程，迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的方程．2．通过把一元二次方程转化为形如(x －a )2＝b 的过程解一元二次方程．【情感态度与价值观】通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x －a )2＝b 的形式．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P5～P9的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．一般地，对于方程x 2＝p ：(1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝__p ，x 2＝__－p __.(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__0__； (3)当p ＜0时，方程__无实数根__. 2．用直接开平方法解下列方程： (1)(3x ＋1)2＝9; x 1＝23，x 2＝－43.(2)y 2＋2y ＋1＝25. y 1＝4，y 2＝－6. 3．(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2； (2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2；(3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.4．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x ＋n )2＝p 的形式，那么就有： (1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝__－n －p __，x 2＝__－n ＋p __；(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__－n __； (3)当p ＜0时，方程__无实数根__. 环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列关于x 的方程： (1)2x 2－4x －8＝0； (2)2x 2＋3x －2＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的实质和关键点是什么？【解答】(1)移项，得2x 2－4x ＝8. 二次项系数化为1，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋12＝4＋12，即(x －1)2＝5. 由此可得x －1＝±5， ∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (2)移项，得2x 2＋3x ＝2. 二次项系数化为1，得x 2＋32x ＝1.配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＝2516.由此可得x ＋34＝±54，∴x 1＝12，x 2＝－2.【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，转化为开平方所需要的形式，配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配，四开．【活动2】巩固练习(学生独学)1．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q )2，则p 、q 的值分别是( B ) A ．p ＝4，q ＝2 B ．p ＝4，q ＝－2 C ．p ＝－4，q ＝2D ．p ＝－4，q ＝－22．用直接开平方法或配方法解下列方程： (1)3(x －1)2－6＝0 ； (2)x 2－4x ＋4＝5； (3)9x 2＋6x ＋1＝4； (4)36x 2－1＝0； (5)4x 2＝81； (6)x 2＋2x ＋1＝4. (1)x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. (2)x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (3)x 1＝－1，x 2＝13.(4)x 1＝16，x 2＝－16.(5)x 1＝92，x 2＝－92.(6)x 1＝1，x 2＝－3.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy )z的值．【互动探索】(引发学生思考)一个数的平方是正数还是负数？一个数的算术平方根是正数还是负数？几个非负数相加的和是正数还是负数？【解答】由已知方程，得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝1 36 .【互动总结】(学生总结，老师点评)若几个非负数相加等于0，则这几个数都等于0.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤：一移项→二化简→三配方→四开方请完成本课时对应练习！21.2.2 公式法(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2．会熟练运用公式法解一元二次方程．【过程与方法】复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．【情感态度与价值观】在一元二次方程求根公式的推导过程中，激发学生兴趣，了解解决问题多样性．二、重难点目标【教学重点】求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P9～P12的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．用配方法解下列方程： (1)x 2－5x ＝0； x 1＝0，x 2＝5. (2)2x 2－4x －1＝0. x 1＝1＋62，x 2＝1－62. 2．如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？ x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a.【教师点拨】因为前面解具体数字的一元二次方程已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定．(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0.当b 2－4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x ＝－b ±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的__求根公式__. (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫__公式法__.(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2__个实数根，也可能__没有__实数根． (5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝__b 2－4ac __.当Δ__>__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ__＝__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根；当Δ__<__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．4．不解方程，判断方程根的情况． (1)16x 2＋8x ＝－3； (2)9x 2＋6x ＋1＝0； (3)2x 2－9x ＋8＝0； (4)x 2－7x －18＝0. 解：(1)没有实数根． (2)有两个相等的实数根． (3)有两个不相等的实数根． (4)有两个不相等的实数根．【教师点拨】将方程化为一般形式，再用判别式进行判断．环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】用公式法解下列方程： (1)2x 2＋1＝3x ； (2)2x (x －1)－7x ＝2.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的？【解答】(1)原方程整理，得2x 2－3x ＋1＝0. 其中a ＝2，b ＝－3，c ＝1，则Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－－3±12×2，即x 1＝12，x 2＝1.(2)原方程整理，得2x 2－9x －2＝0. 其中a ＝2，b ＝－9，c ＝－2，则Δ＝b 2－4ac ＝(－9)2－4×2×(－2)＝97>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a＝－－9±972×2，即x 1＝9＋974，x 2＝9－974.【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值；(2)求出Δ＝b 2－4ac 的值；(3)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a ；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b2a；当Δ<0时，方程没有实数根．【活动2】巩固练习(学生独学)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．没有实数根2．如果方程5x 2－4x ＝m 没有实数根，那么m 的取值范围是__m ＜－45__.3．用公式法解下列方程：(1)2x 2－6x －1＝0； (2)2x 2－2x ＋1＝0； (3)5x ＋2＝3x 2.解：(1)x 1＝3＋112，x 2＝3－112.(2)方程没有实数根． (3)x 1＝2，x 2＝－13.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，试判断方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况．【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足什么关系？是怎样根据一元二次方程的系数判断根的情况？【解答】∵a 、b 、c 分别是三角形的三边，∴a ＋b ＞0，c ＋a ＋b ＞0，c －a －b ＜0，∴Δ＝(2c )2－4(a ＋b )·(a ＋b )＝4(c ＋a ＋b )(c －a －b )<0，故原方程没有实数根．【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，以及运用根的判别式Δ＝b 2－4ac 判断方程的根的情况．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程根的情况⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根Δ<0⇔方程没有实数根2．当Δ≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根为x ＝－b ±b 2－4ac2a.请完成本课时对应练习！21.2.3 因式分解法(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1．掌握用因式分解法解一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．【过程与方法】通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．【情感态度与价值观】了解因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度，培养学生的应用意识和创新能力．二、重难点目标【教学重点】运用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】选择适当的方法解一元二次方程．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P12～P14的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．将下列各题因式分解：am ＋bm ＋cm ＝__m (a ＋b ＋c )__； a 2－b 2＝__(a ＋b )(a －b )__； a 2＋2ab ＋b 2＝__(a ＋b )2__； x 2＋5x ＋6＝__(x ＋2)(x ＋3)__；3x 2－14x ＋8＝__(x －4)(3x －2)__. 2．按要求解下列方程： (1)2x 2＋x ＝0(用配方法)； (2)3x 2＋6x －24＝0(用公式法)．解：(1)x 1＝0，x 2＝－12. (2)x 1＝2，x 2＝－4.3．对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解法__.4．如果ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．即：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么x ＋1＝0或 __x －1＝0__，即x ＝－1或__x ＝1__.环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生对学) 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34；(3)3x (2x ＋1)＝4x ＋2； (4)(x －4)2＝(5－2x )2.【互动探索】(引发学生思考)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？【解答】(1)因式分解，得(x ＋2)(x －5)＝0. ∴x ＋2＝0或x －5＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝5.(2)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0. ∴2x ＋1＝0或2x －1＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝12.(3)原方程可变形为3x (2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(3x －2)＝0. ∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.(4)移项，得(x －4)2－(5－2x )2＝0. 因式分解，得(1－x )(3x －9)＝0， ∴1－x ＝0或3x －9＝0， ∴x 1＝1，x 2＝3.【互动总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0；(2)将方程左边进行因式分解，将一元二次方程转化成两个一元一次方程；(3)对两个一元一次方程分别求解．【活动2】巩固练习(学生独学) 1．解方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)3x (x ＋2)＝5(x ＋2)； (3)(3x ＋1)2－5＝0； (4)x 2－6x ＋9＝(2－3x )2. 解：(1)x 1＝5，x 2＝－2. (2)x 1＝－2，x 2＝53.(3)x 1＝－1＋53，x 2＝5－13.(4)x 1＝－12，x 2＝54.2．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，求该三角形的周长．解：解x 2－12x ＋35＝0，得x 1＝5，x 2＝7.∵3＋4＝7，∴x ＝5，故该三角形的周长＝3＋4＋5＝12. 【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】已知9a 2－4b 2＝0，求代数式a b －b a －a 2＋b 2ab的值．【互动探索】(引发学生思考)a 、b 的值能求出来吗？a 、b 之间有怎样的关系？怎样将a 、b 的值与已知代数式联系起来．【解答】原式＝a 2－b 2－a 2－b 2ab ＝－2ba.∵9a 2－4b 2＝0，∴(3a ＋2b )(3a －2b )＝0，即3a ＋2b ＝0或3a －2b ＝0， ∴a ＝－23b 或a ＝23b .当a ＝－23b 时，原式＝－2b－23b ＝3；当a ＝23b 时，原式＝－3.【互动总结】(学生总结，老师点评)要求a b －b a －a 2＋b 2ab的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，容易发生错误．本题注意不要漏解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.请完成本课时对应练习！*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(第4课时)一、基本目标【知识与技能】掌握一元二次方程的根与系数的关系．【过程与方法】利用求根公式得到一元二次方程的根，推导出根与系数的关系，体现了数学推理的严密性与严谨性．【情感态度与价值观】通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，培养学生观察思考、归纳概括的能力．二、重难点目标【教学重点】理解一元二次方程的根与系数的关系．【教学难点】利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P15～P16的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解下列方程，并填写表格：方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x＝00220x2＋3x－4＝0－41－3－4x2－5x＋6＝0235 6(1)用语言描述你发现的规律：__一元二次方程的两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项__.(2)关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，请用式子表示x1、x2与p、q的关系：__x1＋x2＝－p，x1x2＝q__.2．解下列方程，并填写表格：方程x1x2x1＋x2x1·x2(1)用语言描述你发现的规律：__两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比__.(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，请用式子表示x 1、x 2与a 、b 、c 的关系：__x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca__.3．求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0； (2)5x －1＝4x 2； (3)x 2＝4； (4)2x 2＝3x .解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15. (2)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14.(3)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－4. (4)x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝0.环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】x 1、x 2是方程2x 2－3x －5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值： (1)x 1＋x 2 ； (2)1x 1＋1x 2；(3)x 21＋x 22； (4)x 21＋3x 22－3x 2.【互动探索】(引发学生思考)根据一元二次方程的根与系数的关系可考虑将所求代数式转化为两根之和与两根之积的关系．【解答】(1)x 1＋x 2＝32，(2)∵x 1x 2＝－52，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－35.(3)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294.(4)x 21＋3x 22－3x 2＝(x 21 ＋x 22 ) ＋(2x 22 －3x 2 )＝1214.【互动总结】(学生总结，老师点评)解答这类问题一般先将求值式进行变形，使其含有两根的和与两根的积，再求出方程的两根的和与两根的积，整体代入即可求解．【活动2】巩固练习(学生独学)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积． (1)x 2－5x －3＝0； (2)9x ＋2＝x 2； (3)6x 2－3x ＋2＝0； (4)3x 2＋x ＋1＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝－3. (2)x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝－2. (3)方程无解． (4)方程无解．2．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．解：另一根为2，m ＝2.【教师点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x ＝1代入方程先求m ，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．3．若一元二次方程x 2＋ax ＋2＝0的两根满足：x 21 ＋x 22 ＝12，求a 的值．解：a ＝±4.【教师点拨】由x 21 ＋ x 22 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，再整体代入方程的两根之和与两根之积得到答案．【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，且方程两实根的积为5，求k 的值．【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程有根的条件是什么？一元二次方程两实根的积与什么有关？【解答】∵方程两实根的积为5，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－k ＋1]2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2＋1≥0，x 1x 2＝14k 2＋1＝5，∴k ≥32，k ＝±4.故当k ＝4时，方程两实根的积为5.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的值应满足Δ≥0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1、x 2和系数的关系如下：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.请完成本课时对应练习！21.3 实际问题与一元二次方程一、基本目标【知识与技能】1．会根据具体问题中的数量关系列一元二次方程并求解． 2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．【过程与方法】经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学建模作用．【情感态度与价值观】体会数学来源于实践，反过来又作用于实践，增强数学的应用意识．二、重难点目标【教学重点】列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．【教学难点】利用一元二次方程解决实际问题．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P19～P21的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1. 有一人患了感毛，经过两轮传染后共有121人患了感冒，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有__1＋x__人患了感冒，第二轮后共有__1＋x＋x(x＋1)__人患了感冒．可列方程 __1＋x＋x(x＋1)＝121__.解方程，得x1＝__－12(不合题意，舍去)__,_x2＝__10__.所以平均一个人传染了__10__个人．2．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．依题意，得__5000(1－x)2＝3000__.解得__x1≈0.23，x2≈1.77__.根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__23%__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.依题意，得__6000(1－y)2＝3600__.解得__y1≈0.23，y2≈1.77(不合题意，舍去)__.所以两种药品成本的年平均下降率 __相同__.提示：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】某林场计划修一条长750 m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6 m2，上口宽比渠深多2 m，渠底比渠深多0.4 m.(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？(2)如果计划每天挖土48 m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？【互动探索】(引发学生思考)(1)怎样用渠深表示上口宽和渠底，怎样计算梯形面积？(2)渠道的体积怎样计算？【解答】(1)设渠深为x m，则渠底为(x＋0.4)m，上口宽为(x＋2)m.依题意，得12(x ＋2＋x ＋0.4)x ＝1.6，整理，得5x 2＋6x －8＝0，解得x 1＝45＝0.8，x 2＝－2(舍去),∴上口宽为2.8 m ，渠底为1.2 m.(2)如果计划每天挖土48 m 3，需要1.6×75048＝25(天)才能挖完渠道．【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握梯形面积的计算方法，正确用未知数表示出相关数量．【活动2】巩固练习(学生独学)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( C ) A ．2和4 B ．6和8 C ．4和6D ．8和102．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x 个小分支，则1＋x ＋x ·x ＝91.解得x 1＝9或x 2＝－10(舍去)．故每个支干长出9个小分支．3．如图，要设计一幅长30 cm 、宽20 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的14，应如何设计彩条的宽度？(精确到0.1 cm)解：横彩条宽为1.8 cm ，竖彩条宽为1.2 cm.【教师点拨】设横彩条的宽度为3x cm ，则竖彩条的宽度为2x cm.根据题意，得(30－4x )(20－6x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×20×30.解得x 1≈0.61或x 2≈10.2(舍去)． 4.用一根长40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm 2.(1)此长方形的宽是多少？(2)能围成一个面积为101 cm 2的长方形吗？若能，说明围法；若不能，说明理由；解：(1)5 cm.(2)不能．设宽为x cm ，则长为(20－x ) cm ，由x (20－x )＝101，即x 2－20x ＋101＝0，由Δ＝202－4×101＝－4＜0，∴方程无解，故不能围成一个面积为101 cm 2的长方形．【活动3】拓展延伸(学生对学)【例3】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.【互动探索】(引发学生思考)AB与BC之间的数量关系是怎样的？BC还应满足什么条件？【解答】设AB＝x m，则BC＝(50－2x)m.根据题意，得x(50－2x)＝300.解得x1＝10，x2＝15，当x＝10时，BC＝50－10－10＝30＞25，则x1＝10不合题意，舍去．故可以围成AB长为15 m，BC长为20 m的矩形花园．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用一元二次方程解决实际问题时，要注意检验方程的根是否符合实际问题．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根据题中的等量关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的根；(4)“检验”，即验证是否符合题意；(5)“答”，即回答题目中要解决的问题．请完成本课时对应练习！22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函数． 2．根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想．【过程与方法】经历与一次函数类比学习的过程，学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：类比法、合情推理、抽象概括等．【情感态度与价值观】通过对几个特殊的二次函数的讲解，体验数学中的探索精神，初步体会二次函数的数学模型．二、重难点目标【教学重点】二次函数的概念．【教学难点】能根据已知条件写出二次函数的解析式．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P28～P29的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．正比例的函数的表达式为y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)；一次函数的表达式为__y ＝ax ＋b __(a 、b 为常数，且a ≠0)．2．二次函数的概念：一般地，形如__y ＝ax 2＋bx ＋c __(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为__a 、b 、c __.3．下列函数中，是二次函数的有__①②③__.①y ＝(x －3)2－1；②y ＝1－2x 2；③y ＝13(x ＋2)(x －2)；④y ＝(x －1)2－x 2.4．二次函数y ＝－x 2＋2x 中，二次项系数是__－1__，一次项系数是___2____，常数项是___0____.5．半径为R 的圆，半径增加x ，圆的面积增加y ，则y 与x 之间的函数关系式为__y ＝πx 2＋2πRx (x ≥0)__.环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】已知关于x 的函数y ＝(m ＋1)xm 2－m 是二次函数，求m 的值．。

九年级上册数学第二十一章-一元二次方程教案

第二十一章一元二次方程21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点]通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程你能举一个方程的例子吗2．下列哪些方程是一元一次方程并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x ＋1＝0 (4)x 2＝1·3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知根据题意列方程．1．教材第2页问题1. 提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定本题应该设哪个量为未知数(2)本题中有什么数量关系能利用这个数量关系列方程吗怎么列方程^(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗请说出整理之后的方程． 2．教材第2页问题2. 提出问题：(1)本题中有哪些量由这些量可以得到什么(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系如果有5个队参赛，每个队比赛几场一共有20场比赛吗如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场(3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题： <本题需要设两个未知数吗如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少活动3 归纳概念提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字 (3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．】2．一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点等号的左、右分别是什么 (2)为什么要限制a≠0，b ，c 可以为0吗(3)2x 2－x ＋1＝0的一次项系数是1吗为什么3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4 例题与练习例1 在下列方程中，属于一元二次方程的是________． ,(1)4x 2＝81；(2)2x 2－1＝3y ；(3)1x 2＋1x ＝2；(4)2x 2－2x(x ＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2 教材第3页例题．例3 以－2为根的一元二次方程是( ) A ．x 2＋2x －1＝0 B ．x 2－x －2＝0 C ．x 2＋x ＋2＝0 D ．x 2＋x －2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．；练习：1．若(a －1)x 2＋3ax －1＝0是关于x 的一元二次方程，那么a 的取值范围是________． 2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x 2＝81；(2)(3x －2)(x ＋1)＝8x －3. 3．教材第4页练习第2题．4．若－4是关于x 的一元二次方程2x 2＋7x －k ＝0的一个根，则k 的值为________．答案：≠1；2.略；3.略；＝4. 活动5 课堂小结与作业布置 >课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识一元二次方程的一般形式是什么一般形式中有什么限制你能解一元二次方程吗作业布置教材第4页习题第1～7题. 解一元二次方程21．配方法(3课时) 第1课时直接开平方法:理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．。

数学人教版九年级上册21.1一元二次方程教案.1一元二次方程教案(第一课时)

第二十一章一元二次方程
教学内容：21.1 一元二次方程
教学目标：
知识与技能目标：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．
过程与方法目标： 1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．
情感与态度目标：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．。

教学重、难点与关键：
重点：一元二次方程的意义及一般形式．
难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”。

教辅工具：电子白板
教学程序设计：。

21.1 一元二次方程(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)

21.1 一元二次方程教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.1一元二次方程，内容包括：一元二次方程的概念及其一般式。

2.内容解析一元二次方程的概念，与得出一元一次方程的概念过程类似，教材先给出计算满足条件的正方形面积、计算满足条件的参赛队数等实际问题，用方程的思想建立数学模型，通过观察方程的特点，归纳、总结得到一元二次方程的概念。

根据一元二次方程的概念，教材给出其一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为：a、b、c，需注意二次项系数不能为0的原因及系数前的符号问题。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：通过一元一次方程的概念，类比得出一元二次方程的概念。

二、目标和目标解析1.目标1）通过一元一次方程的概念，探索归纳一元二次方程的概念，提高学生类比、归纳、总结的能力；2）掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。

2.目标解析通过7年级上册的学习，我们已经掌握了一元一次方程的概念，一元一次方程的特点为：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1(次)，且方程两边都是等式。

本节课我们根据实际问题列方程，用方程的思想建立数学模型，观察化简后的方程与一元一次方程的结构有相似的地方，它们都只含有一个未知数（元），且方程两边都是等式，但未知数的次数是2(次)。

由此学生通过观察，根据一元一次方程的概念尝试类比，归纳总结得出一元二次方程的概念。

在探索的过程中，提高学生类比、归纳、总结的能力。

一元二次方程的一般形式有两个易错点：1）忽略二次项系数≠02）判断二次项系数、一次项系数、常数项需考虑符号问题。

当二次项系数a≠0时，方程为ax2+bx+c=0（一元二次方程）。

当二次项系数 a=0时，方程为bx+c=0（一元一次方程）。

达成目标（1）的标志是：能正确判断一元二次方程。

九年级数学上册 21.1 一元一次方程教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上册数学教案

教学目标：1. 掌握一元二次方程的定义。

2. 能将一元二次方程化成一般形式。

3. 理解一元二次方程的根的概念。

教学重点：将一元二次方程化成一般形式。

教学难点：求方程中字母的取值X 围。

教学过程：一、温故知新1.一元一次方程的定义。

2+2x-4=0,你能给它下个定义吗？学生回答，得出一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，的方程，叫做一元二次方程。

强调：三点。

练习一以下各方程:①2x 2－x －3=0 ②4y －y 2=0 ③x 3－x 2=1 ④t 2=0 ⑤x 2－y －1=0 ⑥21x －3=0,其中不是一元二次方程的是___________(只需填序号即可)。

二、新授知识1.一元二次方程的一般形式问：方程（x －1）（x+3）=12是一元二次方程吗？学生讨论。

师：得先把它化简。

得到x 2+2x-15=0,这种形式叫做二元一次方程的一般形式。

一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0(a ≠0).其中，ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

x 练习二2－4=－2x 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A.3，－4，－2B.3，2，－4C.3，－2，－4D.2，－2，02. 把一元二次方程x x x 2)1)(1(=-+化成二次项系数大于零的一般式是，其中二次项系数是，一次项的系数是，常数项是；3..方程x x 3122=-的二次项系数是，一次项系数是，常数项是.4.关于x 的方程(m+1)x 2+2mx －3＝0是一元二次方程，则m 的取值X 围是( )A.任意实数B. m ≠－1C. m ＞1D. m ＞05.如果关于x 的方程（m-3）27m x --x+3=0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为（）A ．±3B ．3C ．-3D ．都不对例将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次系数、一次项系数和常数项。