《高等数学》单元试题

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(完整版)高等数学测试题及解答(分章)

第一单元函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

高数笔记单元测试题及答案

高数笔记单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 无定义2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷大3. 函数 \( y = \ln x \) 的定义域是：A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, +\infty) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)4. 曲线 \( y = x^3 \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 275. 函数 \( f(x) = 3x - 2 \) 的反函数是：A. \( x = 3y - 2 \)B. \( y = \frac{x + 2}{3} \)C. \( y = 3x + 2 \)D. \( x = \frac{y + 2}{3} \)6. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{4} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. 17. 函数 \( y = \sin x \) 的周期是：A. \( 2\pi \)B. \( \pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \frac{1}{2} \)8. 函数 \( y = e^x \) 的导数是：A. \( e^x \)B. \( e^{-x} \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( 1 \)9. 微分 \( dy \) 与 \( dx \) 的关系是：A. \( dy = f'(x) dx \)B. \( dy = f(x) dx \)C. \( dx = f'(x) dy \)D. \( dx = f(x) dy \)10. 若 \( \int f(x) dx = F(x) + C \)，则 \( \int f'(x) dx \) 是：A. \( f(x) \)B. \( f'(x) \)C. \( F(x) \)D. \( C \)答案：1. A 2. B 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. A 9. A 10. A二、简答题（每题5分，共10分）1. 什么是泰勒级数？请给出 \( e^x \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式。

高等数学试题及答案解析

高等数学试题及答案解析一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[0, 5]上的最大值是：A. 3B. 5C. 7D. 9答案：D解析：首先求导f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0得到x = 2，这是函数的极值点。

计算f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1。

接下来检查区间端点，f(0) = 3，f(5) = 5^2 - 4*5 + 3 = 9。

因此，最大值为f(5) = 9。

2. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)答案：A解析：根据导数的基本公式，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)。

因此，f'(x) = cos(x) - sin(x)。

二、填空题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx = __________。

答案：x^2 + x + C解析：根据不定积分的基本公式，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n ≠ -1。

将n = 1代入公式，得到∫(2x + 1)dx = ∫2x dx + ∫1 dx = x^2 + x + C。

2. 若y = ln(x)，则dy/dx = __________。

答案：1/x解析：对自然对数函数求导，根据对数函数的导数公式，ln(x)的导数是1/x。

三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的极值点。

答案：极值点为x = 3。

解析：首先求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 3。

计算二阶导数f''(x) = 6x - 12，代入x = 1得到f''(1) = -6 < 0，说明x = 1是极大值点；代入x = 3得到f''(3) = 18 > 0，说明x = 3是极小值点。

高等数学试题(2)

《系专业班级姓名学号高等数学试题(2)公共模块1（80分）一．判断题（每题1分，共8分）1、若f(x)在0x 处连续，则f(x)在点0x 处左右极限存在且相等。

( √)2、函数商的导数等于函数导数的商。

( ╳ )3、在自变量的同一个变化过程中，如果f(x)为无穷大，则)(1x f 为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，则)(1x f 为无穷大。

( ╳ )4、函数在定义域内的最大值一定为极大值。

( ╳ )5、两个可导且相差一常数的函数是同一函数的原函数。

( √ )6、奇函数在对称区间的定积分为0。

( √ )7、连续函数在闭区间[a,b]上的定积分一定存在。

( √ )8、⎰=')())((x f dx x f ( ╳ ) 二．填空题（每题2分，共16分）1、函数)53tan(+=x y 的复合过程为： y= tanu u= 3x+52、=→xx x sin lim13、x y cos =，则()=5y-sinx4、 d 3x = 2x dx d arctanx+c =211x+ dx5、⎰=11dx x26、在直线运动中，物体的加速度a 与速度v 的关系是： v a = 三、选择题（每题2分，共16分）1、设f （sinx ）=cos2x ，则f （x ）= [ A ] A.2x 2-1 B. x 2-2x+1 C. 2x 2+1 D. 1- 2x 22、)(lim )(lim x f x f ax ax +-→→=处极限存在的一个是函数在点a x = [ A ]A ．充要条件 B.充分条件 C.必要条件 D.无关条件3、当x →∞时，xx 1sin是 [ D ]A.无穷小量B.无穷大量C.无极限D.有极限为14、.函数x e x f =)(，则=')1(f [ A ] A.e B.e 1- C.2e D.-2e 1-5、若='⎰-dx x f x f e x )(,)(则的一个原函数是 [ C ]A.x e --B. c e x +-C. -c e x +-D. x e - 6、函数的单调增区间为x x f ln )(= [ B ]A.(+∞,e )B.( +∞,0)C.(0,e)D.(1,e)7、微分方程0sin 2=+-'''x y y 的阶数为： [ B ] A.1 B.2 C.0 D.38、下列积分等于零的是 [ B ] A.xdx x cos 211-⎰ B.xdx x sin 211-⎰ C.dx x x )1(211--⎰C.dx x e x x)(211+-⎰三．解答题一（每题5分，共30分）1、求极限2sin limxtdt xx ⎰→解：该题用洛比塔法则=()''⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰→200sin lim xtdt x x -----------------------------2分 =xx x 2sin lim 0→ -----------------------------2分=21 -----------------------------1分2、函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=03sin 02)(x axxx x x f ，在x=0处连续，求a解：()200=+f -----------------------------2分()af 300=- -----------------------------2分所以32=a -----------------------------1分2、求不定积分⎰+dx x x 1sin cos解： =x d x sin 1sin ⎰+-----------------------------2分 =()c x ++231sin 32-----------------------------3分3、求反常积分dx xe x⎰+∞-02解：2lim22xdeAxA ⎰-+∞→=-----------------------------2分⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+∞→2lim210x e AA -----------------------------2分=21-----------------------------1分四．解答题二（每题6分，共12分）1、解微分方程02=+'yxyyxdxdy 2-=-----------------------------2分cxydx x ydy +-=-=32322-----------------------------4分1、求函数523123+-=x x y 的极大值和极小值。

高等数学试题及答案大全

高等数学试题及答案大全一、选择题1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。

A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在区间[-5, 2]上的最大值是（）。

A. 0B. 3C. 4D. 5二、填空题1. 若函数f(x) = 2x - 3在x = 1处的导数为5，则原函数在x = 1处的值为______。

2. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在x = 2处的切线斜率为______。

三、解答题1. 求函数f(x) = ln(x) + 1的导数，并说明其在x = e处的导数值。

2. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。

四、证明题1. 证明函数f(x) = x^3在R上的单调性。

2. 证明等差数列的前n项和公式S_n = n(a_1 + a_n)/2。

五、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 3x + 200，销售价格为P(x) = 50 - 0.05x，其中x表示产品数量。

求该工厂的盈利函数，并求出其盈利最大时的产品数量。

2. 一个圆的半径为r，求其面积与周长的比值。

答案：一、选择题1. C解析：函数y = e^x不是周期函数，其他选项都是周期函数。

2. D解析：函数f(x) = x^2 + 3x - 2的导数为f'(x) = 2x + 3，令其等于0，解得x = -3/2，但x = -3/2不在区间[-5, 2]内。

检查区间端点，f(-5) = -8，f(2) = 5，因此最大值为5。

二、填空题1. -1解析：由f'(x) = 2，且f'(1) = 5，可得f(1) = f'(1) * (1 - 0) + f(0) = 5 + f(0)，又因为f(0) = -3，所以f(1) = 5 - 3 = 2。

2. -4解析：由y' = 3x^2 - 4x + 1，代入x = 2，得y' = 3 * 2^2 - 4 * 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5。

【经典期末卷】大学高数(下)期末单元测试卷及详细解答

学生填写）：姓名：学号：命题：审题：审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）班级（学生填写）：姓名：学号： ---------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）4．求方程y y y y '='+''2)(的通解．(4分)5. 求微分方程 2d 22d x yxy xe x -+=的通解。

(4分)6. 求微分方程09422=+y dxyd 满足初始条件23,20====x x dxdy y的特解。

（4分）班级（学生填写）：姓名：学号： ------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）)7. 求x e y dx dy-=+微分方程的通解。

(4分)8. 求微分方程的一条积分曲线，使其在原点处与直线相切. (4分)9. 求微分方程x y y x sin =+'满足0)(=πy 的特解．(4分)10. 求微分方程430,(0)6,(0)10y y yy y ''''-+===的特解.(4分)11. 求微分方程0)(22=-+xydy dx y x 的通解。

高数第一章测试题

高数第一章测试题一、选择题1. 极限的定义中，ε的值可以是（）。

A. 任意正实数B. 固定正实数C. 非负整数D. 正整数2. 函数f(x)在x=0处连续的充要条件是（）。

A. 有定义B. 极限存在C. 极限值等于函数值D. 左右极限相等3. 下列函数在x=0处不可导的是（）。

A. y = x^2B. y = sin(x)C. y = 1/xD. y = e^x4. 定积分的几何意义是（）。

A. 曲线与x轴所围成的面积B. 曲线与y轴所围成的面积C. 曲线与直线y=a所围成的面积D. 曲线与直线x=a所围成的面积5. 微分的物理意义是（）。

A. 速度B. 加速度C. 位移D. 路程二、填空题1. 极限lim(x→0) (sin(x) / x) 的值为______。

2. 函数y = 2x在x=2处的导数为______。

3. 定积分∫(0,1) x^2 dx 的值为______。

4. 微分d(y) = (2x + 3)dx，对应的原函数是______。

5. 曲线y = x^3 + 2x在x=1处的切线斜率为______。

三、计算题1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x=1处的导数。

2. 计算极限lim(x→∞) (1 + 1/x)^x。

3. 求定积分∫(0,2) e^x dx。

4. 求微分d(y) = (x^2 + 3x)e^x dx的原函数。

5. 求曲线y = 2x^3 - 3x^2在x=-1处的切线方程。

四、应用题1. 一个物体的速度v(t) = 3t^2 - 2t + 1，求在时间t=2时的速度和加速度。

2. 一块矩形土地的长为x米，宽为(x-10)米，土地的周长为60米，求矩形土地的面积。

3. 一个圆的半径以每秒0.5厘米的速度增长，如果初始半径为2厘米，求10秒后圆的面积。

4. 一个水箱的容积V(x) = x^2 - 4x + 5，现在水箱中有水x^2 - 2x + 3立方米，水面高度为h米，求水箱中水的深度。

高等数学第一章试题库

第一章试题库第一部分基础练习题一、选择题1.下列数列收敛的是()。

A.sin n x n = B.1sin n x n n = C.1ln n x n = D.1(1)n n-+2.0()f x +和0()f x -都存在是函数()f x 在0x x =处有极限的（）.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件3.下列函数中，相同的是（）.A.2()lg f x x =与()2lg g x x =B.()f x =()g x =C.()f x x =与()g x =D.()arcsin f x x =与()arcsin()g x x π=-4.设函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则（）是奇函数。

A.[()]f f x B.[()]g g x C.[()]f g x D.[()]g f x 5.下列变量中是无穷小量的是（）A.1ln(1)1(0)x x +-→B.11sin ()x x x→∞C.()122x x →- D.11(0)x e x -→6.函数()cos f x x x =（）A.x →∞时为无穷大量 B.x →∞时极限存在C.在(,)-∞+∞内有界 D.在(,)-∞+∞内无界7., 1, n n n x n n⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n →+∞时{}n x 是()A.无穷大量B.无穷小量C.有界变量D.无界变量8.下列关于无穷小的说法中，错误的是（）A.有限个无穷小的乘积仍是无穷小B.无穷小与有界函数的乘积是无穷小C.两个无穷小的商仍是无穷小D.有限个无穷小的代数和仍是无穷小9.当x →∞时，函数()sin f x x x =是()。

A．无穷大量B．无穷小量C．无界函数D．有界函数10.下列函数在自变量的变化过程中为无穷小量的是（）。

A )0(sin ln →x xxB )0(1→x e xC )1()1(12→-x x D)0(cot →x x 11.设45)(,0,0,)(2-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=x x g x x x x x f ，则=)]0([g f ()A.16-B.4-C.4D.1612.已知(21)f x -的定义域为[0,1],则()f x 的定义域为（）．A．[1/2,1]B．[-1,1]C．[0,1]D．[-1,2]13.下列各式计算正确的是()A.sin lim1x xx →∞= B.01lim sin 1x x x→= C.1lim sin1x x x→∞= D.011lim sin 1x xx→=14.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+=<<-+=2020022)(2x x x x x x f 的定义域是()A．)2,2(-B．]0,2(-C．]2,2(-D．(0,2]15.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=010001sin )(x e x x x x f x 则=→)(lim 0x f x ()A．1B．0C．1-D．不存在16.下列函数在定义域内关于原点对称的是()A．22ln(1)x x +B．1xx +C．3x x e e -+D．ln(x +17.下列数列收敛的是（）.A.12,2,,(2),n ---L LB.135721,,,,,357921n n -+，L LC.1135721,,,,(1),357921n n n -----+L L ,D.1234,,,,(1),23451n n n ---+,L L 18.下列计算正确的的是（）.A.1lim(1)xx x e→∞+= B.01lim(1x x e x →+= C.1lim sin 1x x x →∞= D.sin lim 1x xx→∞=19.=-→xx x 21)1(lim （）A.21- B.e - C.21eD.20.22442lim ,313x ax x x x →∞-+=-+那么a 的值为（）A.1B.0C.2D.321.当0x →时，tan sin x x e e -与n ax 为等价无穷小，则().A．1,1a n ==B．1,22a n ==C．1,32a n ==D．1,44a n ==22.当0x →时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（）.A.2xB.1cos x -C.tan x x -D.2ln(1)x +23.当0x →时，与2x 等价的无穷小量是（A.2ln(1)x + B.21xe - C.1cos x-1-24.当0→x 时,1是x 的（）.A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小25．当0→x 时，)2sin(3x x +与x 比较是（）．A．高阶无穷小B．等价无穷小C．同阶无穷小，但不是等价无穷小D．低阶无穷小26．设2, 01()2, >1x x f x x x -⎧<≤=⎨⎩，则1x =是该函数的()A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D 连续点27．设1sin , 0()1, 0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则0x =是该函数的()A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.第二类间断点 D.连续点28．0x =为函数1()sin f x x x=的（）A．可去间断点B．跳跃间断点C．振荡间断点D．无穷间断点29．函数1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（）A.无极限B.不连续C.连续D.以上都不对30．0x =是11()1x f x e =+的（）。

《高等数学》试题库(有答案)

《高等数学》试题库（有答案）一、选择题（一）函数1、下列集合中（）是空集。

{}{}4,3,02,1,0. a {}{}7,6,53,2,1. b (){}x y x y y x c 2,.==且{}01.≥〈x x x d 且2、下列各组函数中是相同的函数有（）。

()()()2,.x x g x x f a == ()()2,.x x g x x f b == ()()x x x g x f c 22cos sin ,1.+== ()()23,.x x g xx x f d == 3、函数()5lg 1-=x x f 的定义域是（）。

()()+∞∞-,55,. a ()()+∞∞-,66,. b()()+∞∞-,44,. c ()()()()+∞∞-,66,55,44,. d4、设函数()⎪⎪⎪⎪⎪-+2222x x x 〈+∞≤〈≤〈∞〈-x x x 2200 则下列等式中，不成立的是（）。

()()10.f f a = ()()10.-=f f b ()()22.f f c =- ()()31.f f d =- 5、下列函数中，（）是奇函数。

x xa . x xb sin .2 11.+-x x a ac 21010.xx d -- 6、下列函数中，有界的是（）。

arctgx y a =. tgx y b =. xy c 1.= x y d 2.= 7、若()()11-=-x x x f ，则()=x f （）。

()1.+x x a ()()21.--x x b ()1.-x x c .d 不存在8、函数x y sin =的周期是（）。

π4.a π2.b π.c 2.πd9、下列函数不是复合函数的有（）。

x y a ⎪⎪⎪⎪⎪=21. ()21.x y b --= x y c sin lg .= x e y d sin 1.+= 3 10、下列函数是初等函数的有（）。

11.2--=x x y a ⎪⎪⎪+=21.xx y b 00≤〉x x x y c cos 2.--= ()()2121lg 1sin .⎪⎪⎪⎪⎪⎪+-=x e y d x11、区间[,)a +∞, 表示不等式（）.（A ）a x <<+∞（B ）+∞<≤x a （C ）a x < （D ）a x ≥12、若ϕ3()1t t =+,则ϕ3(1)t +=（）.（A ）31t+ （B ）61t + （C ）62t + （D ）963332t t t +++ 13、函数log (a y x =+ 是（）.（A ）偶函数（B ）奇函数（C ）非奇非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数14、函数()y f x =与其反函数1()y f x -=的图形对称于直线（）. （A ）0y= （B ）0x = （C ）y x = （D ）y x =- 15、函数1102x y -=-的反函数是（）.（A ）1x lg 22y x =- （B ）log 2x y = （C ）21log y x= （D ）1lg(2)y x =++ 16、函数sin cos y x x =+是周期函数，它的最小正周期是（）.（A ）2π（B ）π（C ）2π（D ）4π17、设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（）．A ．xB ．x + 1C ．x + 2D ．x + 318、下列函数中，（）不是基本初等函数．A ．x y )e 1(= B ．2ln x y = C ．xx y cos sin = D ．35x y = 19、若函数f()1，则f(x)=( ) A. +1B. 1C. (1)D. 120、若函数f(1)2，则f(x)=( )2 B.(1) 2 C. (1) 2 D. x 2-121、若函数f(x)，g(x)1，则函数f(g(x))的定义域是( ) >0 ≥0C ≥1 D. x>-122、若函数f(x)的定义域为(0,1)则函数f(1)的定义域是( )A.(0，1)B.(-1，0)C.(1，1)D. (1，e)23、函数f(x)1|是( )A.偶函数B.有界函数C.单调函数D.连续函数24、下列函数中为奇函数的是( ) (1) B.⎪⎪⎪⎪⎪++=21ln x x y 2 25、若函数f(x)是定义在(-∞，+∞)内的任意函数，则下列函数中（）是偶函数。

高数单元测试题及答案

高数单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x-2的定义域是：A. RB. [0, ∞)C. (-∞, 0)D. [2, ∞)2. 已知函数f(x)=x^3-2x^2+x-5，求f'(x)：A. 3x^2-4x+1B. x^3-4x^2+1C. 3x^2-4x+1D. x^2-4x+13. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f''(x)是：A. -sin(x)-cos(x)B. -sin(x)+cos(x)C. sin(x)-cos(x)D. sin(x)+cos(x)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 45. 函数f(x)=ln(x)的值域是：A. (-∞, 0)B. (0, ∞)C. (-∞, ∞)D. [0, ∞)6. 已知函数f(x)=e^x，求f'(x)：A. e^xB. x*e^xC. e^x-1D. 17. 若f(x)=x^2+1，求f(-x)：A. x^2+1B. -x^2+1C. -x^2-1D. x^2-18. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的极值是：A. 极小值B. 极大值C. 无极值D. 不能确定9. 若f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的单调递增区间：A. (-∞, 2)B. (2, ∞)C. (-∞, 1)D. (1, ∞)10. 函数f(x)=sin(x)cos(x)的原函数F(x)是：A. sin(2x)B. sin(x)+cos(x)C. (sin(x)+cos(x))/2D. (sin(x)-cos(x))/2答案：1-5 A C B C C 6-10 A A B B D二、填空题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^3的导数是 \( f'(x) = 3x^2 \) 。

2. 若曲线y=x^2-4x+3与直线y=k相切，则k= \( 1 \) 。

高等数学单元测试题1

高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）分） 1、当0x ®+时，（A ）无穷小量。

）无穷小量。

A 1sin x x B 1x e C ln x D 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<ìï==íï->î的（C ）。

A 连续点连续点 B 第一类非可去间断点第一类非可去间断点 C 可去间断点可去间断点 D 第二类间断点第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。

A 充分非必要条件充分非必要条件 B 必要非充分条件必要非充分条件 C 充要条件充要条件 D 无关条件无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x®¥++=，则常数a 等于（A ）。

A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限21lim cos 1x x e x ®--等于（D ）。

A ¥ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分）分）1、21lim(1)x x x®¥-=22e -2、当0x ®+时，无穷小ln(1)Ax a =+与无穷小sin 3x b =等价，则常数A=3 3、已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ¹时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =0 4、 111lim[]1223(1)n n n ®¥+++··+=1 5、若lim ()x f x p®存在，且sin ()2lim ()x xf x f x xp p®=+-，则lim ()x f x p ®=1 二、解答题二、解答题1、（7分）计算极限分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n ®¥---解：原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n ®¥®¥-++···=·=2、（7分）计算极限分）计算极限 30tan sin lim x x x x®- 解：原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x x x x x x x x x ®®®--===3、（7分）计算极限分）计算极限 123lim()21x x xx x +®¥++ 解：原式= 11122112221lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)1122x x x x x x x x x e x x +++®¥®¥+®¥®¥+=+++=+·+=++ 4、（7分）计算极限分）计算极限 201sin 1lim 1x x x x e ®+-- 解：原式=201sin 12lim 2x x xx ®=5、（7分）设3214lim 1x x ax x x ®---++ 具有极限l ，求,a l 的值的值解：因为1lim(1)0x xx ®-+=，所以，所以 321lim(4)0x x ax x ®---+=，因此因此 4a = 并将其代入原式并将其代入原式321144(1)(1)(4)limlim 1011x x x x x x x x l x x ®-®---++--===++6、（8分）设3()32,()(1)nx x x x c x a b =-+=-，试确定常数,c n ，使得()()x x a b解：解： 32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x ca ®=-+=-+-+=\==- 此时，()()x x ab 7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin 0()0x x f x x a x x ì>ï=íï+£î在(,)-¥+¥内连续内连续解：当0x >时，()f x 连续，当0x <时，()f x 连续。

高等数学试题库

第一章函数、极限与连续一、判断题:1．极限)(lim 0x f x x →存在的充要条件是)0(0-x f 与)0(0+x f 都存在。

（）2．如果)0(0-x f 与)0(0+x f 都存在且相等，则)(lim 0x f x x →存在。

（）3．如果函数)(x f 在0x 处既左连续且右连续，则)(x f 在0x 连续。

（） 4．如果)(lim 0x f x x →存在，则)(x f 在0x 连续。

（）5．如果函数)(x f 在0x 连续，则)(lim 0x f x x →存在。

（）6．极限 2200limy x xyy x +→→存在。

（）7．如果)(x f 在()b a ,内连续，则)(x f 在()b a ,内必有最大值和最小值。

（） 8．如果)(x f 在[]b a ,内连续，则)(x f 在[]b a ,内必有最大值和最小值。

（） 9．极限 ()e x xx -=-→1lim 0。

（）10．极限21946853lim 2323=-++-∞→x x x x x 。

（）二、填空题:1．函数1)3ln(2222-++--=y x y x y 的定义域是。

2. 函数4192222-++--=y x y x y 的定义域是。

3.若⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f 。

4. 函数 x y 2sin ln =的复合过程是。

5. 一切初等函数在其内都是连续的。

6. 设arctgx x y 2-=，则)(lim x y x --∞→= 。

7. 如果322sin 3lim0=→x mx x ，则m = 。

8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤-+=2,2221,1,32)(2x x x x x x x x f ，则)(lim 1x f x →= 。

9. 函数11)(2+-=x x x f 的间断点是。

高等数学第一单元测试-答案

第一单元测试题一填空（4X10=40）1 11)(-=x e x f , 2. 1y = 3. e 4. A-= 3, 5.a= 4, l =10 6. a=0 7. a 8 . 13- 9.cos (sin )(cot cos sin lnsin )x x x x x x - ,10.!2二、选择题 (4X6=24) ABBBDD三．计算说明：计算1-4 题在学完第三章后可以用洛比达法则。

1.（5分）22001sin 1lim lim 21x x x x x x e →→==- 2、（5分）计算极限 2cos()sin()sin sin 22lim lim x a x a x a x a x a x ax a →→+--=-- 2cos()()22lim limcos()cos 2x a x a x a x a x a a x a →→+-+===- 个别同学用导数定义，也可以。

3 . （5分）计算极限该题应该为0x →33000224sin 3cos3cos 4sin lim lim lim tan 2tan 2tan 2x x x x x x x x x x x x →→→-=-30023cos 4lim lim 222x x x x x x x→→=-=4 . （5分）计算极限000002322131ln 2ln 31lim lim lim lim lim ln 6tan 2tan 2tan 2222x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→+---=+=+= 5.（5分）求函数212111()lim n n n n x f x x x x+++→∞+=-+的间断点并判断类型。

解： 1,0||11,||1()2,10,1x x x f x x x ⎧<<⎪⎪⎪>=⎨⎪=⎪=-⎪⎩ 因为 0lim (),x f x →=∞ 0x =为无穷间断点。

《大一高等数学》试卷(十份)

《高等数学》试卷（一）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =12．函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =（）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（）.（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（）.（A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x ⎛⎫'⎪⎝⎭⎰的结果是（）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ （B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）1f C x⎛⎫-+⎪⎝⎭8．xxdx e e-+⎰的结果是（）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xe C -+ （C ）x xe eC --+ （D ）ln()x xe eC -++9．下列定积分为零的是（）.（A ）424arctan 1x dx xππ-+⎰（B ）44arcsin x x dx ππ-⎰（C ）112x xe edx --+⎰（D ）()121sin xx x dx -+⎰10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x xa x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21x y x =-的垂直渐近线有条.4．()21ln dx x x =+⎰.5．()422sin cos x x x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限 ①21limxx x x →∞+⎛⎫ ⎪⎝⎭②()2sin 1limxx x x x e→--2．求方程()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰②()0a >⎰③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1．作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高等数学》试卷（一）参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．2- 2．3- ３．２４．arctan ln x c + ５．２三．计算题１①2e ②162.11xy x y '=+-3. ①11ln ||23x C x +++ ②ln ||x C +③()1xex C--++四．应用题１．略２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分)1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x =(B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x fx →=（）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且0)(0>'x f ，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ).(A) 12,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( ).(A) ()121x x e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12x xe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫'⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分) 1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .3.函数211x y x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条.4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x-+=+⎰___________.三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:①()1lim 12x x x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1y y xe =-所确定的隐函数的导数x y '.3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰②)0a>⎰③2xx e dx ⎰四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yxey y '=-3.①3sec 3x c + ②)lnx c + ③()222xx x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高等数学》试卷3（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21MM （）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x yx y 的定义域是（）.A.(){}21,22≤+≤y x y xB.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y x y x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a与b 垂直的充要条件是（）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（）. A.2 B.2- C.1 D.1-6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（）.A.22 B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n pn收敛，则（）.A.p 1<B.1≤pC.1>pD.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx的收敛域为（）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.A.x-11 B.x-22 C.x-12 D.x-2110.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cxe y = 二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z 2_____________________________.4.x+21的麦克劳林级数是___________________________.5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin，其中22224:ππ≤+≤yx D .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程x e y y 23=-'在00==x y 条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程 .试卷3参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()nn n nx ∑∞=+-0121.5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1.()()[]y x y x y exz xy+++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x eyz xy+++=∂∂cos sin .2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x xz . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R .5.x x e e y 23-=. 四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷4（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21MM （）.A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）. A.6πB.4πC.3πD.2π3.函数()22arcsin y x z +=的定义域为（）.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（）. A.0 B.1 C.1- D.216.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （）.A.6B.7C.8D.97.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r 8.幂级数()n n x n ∑∞=+01的收敛域为（）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n nna 是（）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.cxe y = B.x ce y = C.x e y = D.xcxe y = 二.填空题（4分⨯5） 1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y tx 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________. 3.曲面2242yx z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________. 4.211x+的麦克劳林级数是______________________.5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dtx d -=22.当0=t 时，有0x x =，0v dtdx =）试卷4参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x .2.()xdy ydx e xy +.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()yy xy y y y x yz y y y y x xz 3333223cossincos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,zxy xz yz zxy yz x z +-=∂∂+-=∂∂.4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.xxeC e C y --+=221.四.应用题1.316.2. 00221x t v gtx ++-=.《高数》试卷5（上）一、填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()x y f e =, 则____________.y '=5. 221lim_________________.25x x x x →∞+=+-6. 321421sin 1x x dx x x -+-⎰=______________.7.2_______________________.x td e dt dx-=⎰8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin xx e x →-; 2.; 233lim 9x x x →-- 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分) 1. 2x y x =+, 求(0)y '. 2. cos xy e=, 求dy .3. 设x y xy e +=, 求d y d x.四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120xe dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x ty t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程xy y ex '+=满足初始条件()10y =的特解.《高数》试卷5参考答案一．1．(3,3)- 2.4a= 3.2x = 4.()x xe f e '5.126.07.22xxe- 8.二阶二.1.原式=0lim1x x x →=2.311lim36x x →=+3.原式=112221lim[(1)]2xx ex--→∞+=三.1.221,(0)(2)2y y x ''==+2.c o s sin xdy xedx =-3.两边对x 求写：(1)x y y xy e y +''+=+'x yx yeyxy y y x ex xy++--⇒==--四.1.原式=ln 2cos x x C -+2.原式=2221ln(1)()ln(1)[ln(1)]222x xx d x x d x +=+-+⎰⎰=222111ln(1)ln(1)(1)221221x xxx dx x x dxxx+-=+--+++⎰⎰=221ln(1)[ln(1)]222xxx x x C +--+++3.原式=12212111(2)(1)222xxe d x ee ==-⎰五.2sin ,1.,,122t dy dy t t x y dxdxπππ======且当时切线：1,1022y x x y ππ-=--+-=即法线：1(),1022y x x y ππ-=--+--=即六.1231014(1)()33Sx dx x x =+=+=⎰22211221(1)11()22V x dy y dy y y ππππ==-=-=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy eC x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y e e edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]xx e C x=-+由10,0x yC ==⇒=1xx y ex-∴=《高等数学》试卷6（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ d ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ c ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ c ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ a ）A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（） A 、zy zR x --, B 、zy zR x ---, C 、zy zR x ,--D 、zy zR x ,-6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π） A 、R 2A B 、2R 2A C 、3R 2A D 、A R 2217、级数∑∞=-1)1(n nnnx的收敛半径为（）A 、2B 、21 C 、1 D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n xnB 、∑∞=-1)1(n n)!2(2n xnC 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n xnD 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n xn9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

(完整)高等数学考试题库(附答案)

高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。

2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。

3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。

6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。

7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。

8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。

9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。

10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。

11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。

12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。

13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。

18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。

20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

高等数学测试题及详细解答复习用好

第一单元函数与极限 (1)第一单元函数与极限测试题详细解答 .................................... 5 第二单元导数与微分 .. (10)第二单元导数与微分测试题详细解答 ................................... 12 第三单元微分中值定理与导数应用 .. (16)第三单元微分中值定理与导数应用测试题详细解答 ....................... 19 第四单元不定积分 (24)第四单元不定积分测试题详细解答 .................................... 26 第五单元定积分 (31)第五单元定积分测试题详细解答 ....................................... 33 第六单元定积分的应用 (37)第六单元定积分的应用测试题详细解答 ................................. 40 第九单元重积分 .. (42)第九单元重积分测试题详细解答 ....................................... 46 第十章曲线积分与曲面积分 .. (50)第十单元曲线积分与曲面积分测试题详细解答 ........................... 54 第十二单元微分方程 .. (60)第十二单元微分方程单元测试题详细解答 (63)第一单元函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

高等数学练习题附答案

第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim sin x -tan x= .3x →0ln (1+2x )3-x -1+x= .2x +x -22.limx →12x 2+ax +b=3，其中为a ,b 常数，则a =，b = .3.已知limx →-1x +1⎧sin 2x +e 2ax -1,x ≠0⎪4.若f (x )=⎨在(-∞,+∞)上连续，则a = .x⎪a ,x =0⎩5.曲线f (x )=x -1的水平渐近线是，铅直渐近线是 .2x -4x +31e x6.曲线y =(2x -1)的斜渐近线方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N ，当n ≥N 时，恒有x n-a ≤2ε”是数列{x n}收敛于a 的 .A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件⎧x 2,⎧2-x ,x ≤02.设g (x )=⎨，f (x )=⎨⎩x +2,x >0⎩-x ,x <0则g ⎡f (x )⎤= .⎣⎦x ≥0⎧2+x 2,x <0⎧2-x 2,x <0⎧2-x 2,x <0⎧2+x 2,x <0A.⎨B.⎨C.⎨D.⎨⎩2-x ,x ≥0⎩2+x ,x ≥0⎩2-x ,x ≥0⎩2+x ,x ≥03.下列各式中正确的是 .⎛1⎫⎛1⎫A．lim 1-⎪=e B.lim 1+⎪=e+ x →0x →0x ⎝x ⎭⎝⎭+x x⎛1⎫⎛1⎫ C.lim 1-⎪=-e D.lim 1+⎪x →∞x →∞⎝x ⎭⎝x ⎭4.设x →0时，e tan x x -x=e -1-1与x n 是等价无穷小，则正整数n = .A. 1 B. 2 C. 3 D. 45.曲线y =1+e -x 1-e2-x 2.A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是 .A.11sin x ,x ∈(0,1] B.sin x ,x ∈(0,+∞)x x 111C.sin ,x ∈(0,1]D.x sin ,x ∈(0,+∞)x x x三、求下列极限（每小题5分，共35分）x 2-x -21.limx →24x +1-32．lim x +ex →0(12x -x)3.lim 1+2+3n →∞(n1n n)x 2sin4．x →+∞lim 1x 2x 2-15.设函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)，求lim1ln ⎡⎣f (1)f (2)n →∞n 2f (n )⎤⎦.1⎛⎫x 2+e sin x ⎪+6．lim 4x →0x ⎪ 1+e x ⎪⎝⎭7．lim+x →01-cos x1-cos x四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）ax 2-2x +b=-21.lim2x →1x +x -22．lim x +ax 2+bx -2=1x →-∞()⎧a x -b x,x ≠0⎪五、讨论函数f (x )=⎨x (a >0,b >0,a ≠1,b ≠1)在x =0处的连续性，⎪0,x =0⎩若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）⎛sin t ⎫六、设f (x )=lim ⎪t →x sin x ⎝⎭x sin t -sin x，求f (x )的间断点并判定类型.（本题7分）⎡1⎤七、设f (x )在[0,1]上连续，且f (0)=f (1).证明：一定存在一点ξ∈⎢0,⎥，使得⎣2⎦1⎫⎛f (ξ)=f ξ+⎪.（本题6分）2⎭⎝第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.设f (x )在x 0可导，且f (x 0)=0,f '(x 0)=1，则lim hf x 0-h →∞⎛⎝1⎫⎪= .h ⎭2.设f x ⎛1⎫2'd x =d .=cos x ，则 . 3.f (x )=⎪2x ⎝⎭1-x sin x 4.设y =f (e )，其中f (x )可导，则d y = .5.设y =arccos x ，则y ' ⎛1⎫⎪= .⎝2⎭⎛1⎫,π⎪的切线方程为 .π⎝⎭6.曲线xy =1+x sin y 在点二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数中，在x =0处可导的是 .A.y =|x |B.y =|sin x |C.y =ln xD.y =|cos x |2.设y =f (x )在x 0处可导，且f '(x 0)=2，则limf (x 0+2x )-f (x 0-x )= .x →0x 11A.6B.-6C.D.-6623.设函数f (x )在区间(-δ,δ)内有定义，若当x ∈(-δ,δ)时恒有|f (x )|≤x ，则x =0是f (x )的 .A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且f '(0)=0D.可导的点，且f '(0)≠0⎧sin x ,x <04.设f (x )=⎨2，则在x =0处f (x )的导数 .x ,x ≥0⎩A.0 B.1 C.2 D.不存在5.设函数f (u )可导，y =f (x )当自变量x 在x =-1处取得增量x =-0.1时，相应的函数增量y 的线性主部为0.1，则f '(1)= .A.-1B.0.1C.1D.0.52三、解答题（共67分）1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）(1)y =ln e +1+e(2)y =a x a (3)y =x +a +a a a x(x2x)(⎛1⎫x +1 -1⎪⎝x ⎭)(4)y =(sin x )cos x2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1)y =x ln x +sin x (2)y =ecot 21x2(3)y =x 21-x1+x3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1）y =cos x ln x（2）y =21-x1+x⎧e x ,x ≤14.设f (x )=⎨在x =1可导，试求a 与b .（本题6分）⎩ax +b ,x >15.设f (x )=⎨⎧sin x ,x <0'，求f (x ).（本题6分）⎩ln(1+x ),x ≥0x 2-xy 2=1所确定，求d y .（本题6分）6.设函数y =y (x )由方程ln y⎧t ⎛⎫x =a ln tan +cos t ⎪d y d 2y ⎪ 7.设y =y (x )由参数方程⎨2⎝⎭，求,2.（本题6分）d x d x ⎪y =a sin t ⎩1+t ⎧x =⎪⎪t 38.求曲线⎨在t =1处的切线方程和法线方程.（本题5分）31⎪y =+⎪2t 22t ⎩第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1.若a >0,b >0均为常数，则lim ⎛a +b ⎫= .⎪x →0⎝2⎭x x 3x2.lim 1⎫⎛1-⎪= .2x →0x x tan x ⎝⎭3.limx →0arctan x -x= .3ln(1+2x )2-x 4.曲线y =e 的凹区间，凸区间为 .5.若f (x )=x e ，则f x (n )(x )在点x =处取得极小值.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1.设a ,b 为方程f (x )=0的两根，f (x )在[a ,b ]上连续，(a ,b )内可导，则f '(x )=0在(a ,b )内 .A.只有一个实根B.至少有一个实根C.没有实根D.至少有两个实根2.设f (x )在x 0处连续，在x 0的某去心邻域内可导，且x ≠x 0时，(x -x 0)f '(x )>0，则f (x 0)是 .A.极小值B.极大值C.x 0为f (x )的驻点 D.x 0不是f (x )的极值点3.设f (x )具有二阶连续导数，且f '(0)=0，lim x →0f ''(x )=1，则 .|x |A.f (0)是f (x )的极大值 B.f (0)是f (x )的极小值C．(0,f (0))是曲线的拐点D．f (0)不是f (x )的极值，(0,f (0))不是曲线的拐点4.设f (x )连续，且f '(0)>0，则∃δ>0，使 .A.f (x )在(0,δ)内单调增加.B.f (x )在(-δ,0)内单调减少.C.∀x ∈(0,δ)，有f (x )>f (0)D.∀x ∈(-δ,0)，有f (x )>f (0).三、解答题(共73分)1.已知函数f (x )在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且f (1)=0，证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得f '(ξ)=-2.证明下列不等式（每小题9分，共18分）（1）当0<a <b 时，（2）当0<x <f (ξ).（本题6分）tan ξb -a b b -a.<ln <b a aπ2时，2πx <sin x <x .3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）e x -e -x -2x（1）limx →0x -sin x1（2）lim(cos x )x →0sin 2x（3）limx →01x(1+x )-ex 4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分）（1）f (x )=x (1-x )1323⎧x 2x ,x >0（2）f (x )=⎨⎩x +1,x <05.求y =2x的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）ln x6.证明方程x ln x +第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1=0只有一个实根.（本题7分）e1. 2. 3.，铅直渐近线是， 4.6.5.水平渐近线是二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. C2. D3. D4. A5. D 6．C 三、求下列极限（每小题5分，共35分）解：1..2．.3.，又.4．. 5.. 6．，，所以，原式.7．四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）.解：1.据题意设，令得，则，故．，令得2．左边故，则．，右边五、解：，故在处不连续，所以为得第一类（可去）间断点．六、解：，而，故，都是的间断点，，故为的第一类（可去）间断点，均为的第二类间断点．七、证明：设，显然在上连续，而，，，故由零点定理知：一定存在一点，使，即．第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. 4.5. 6.或二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. D2. A3. C4. D5. D三、解答题（共67分）解：1.(1)..(2)(3).(4)两边取对数得，两边求导数得.，2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1).(2)..(3)3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1），.（2），.4.首先在处连续，故，故，其次，，，由于在处可导，故，故，.5.，，故，由于在，时均可导，故，两边求微分得.6.方程可变形为，故.7.，.8.，故.当时，.故曲线在处的切线方程为，即，法线方程为，即.第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1． 2． 3． 4.， 5.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．B 2．A3．B，提示：由题意得，，当时，，当时，，从而在；即当取得极小值时，4. C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，三、解答题(共73分)证明：1.令，即，则在，使得上连续，，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点故，即．2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得即，又，得到，从而．（2）令，则，从而当时单调递增，即，故；令，则，即当时单调递减，即，故；从而当时，．解：3.（1）.（2）.（3）.4.⑴函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，；当时，；当时，；当小值点，极小值为时，.；故为极大值点，极大值为；为极⑵，令得驻点，为不可导点.当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.5.定义域为得；；列表得：，，令得驻点，令---++极小值点++++-拐点单减凸单减凹单增凹单增凸6．证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；故在上当时取得极小值；当时，，所以方程只有一个实根．。

高等数学第三章试题库

第三章试题库一、选择题。

1.若)(u f 可导,且)(x e f y =,则有=dy （）A.()x f e dx' B.()x xf e de ' C.()x x f e de '⎡⎤⎣⎦D.()x x f e e dx '⎡⎤⎣⎦2.当n →+∞，55,ln ,ln ,5n n n 趋于无穷大速度最快的是()A.5n B.5ln n C.ln D.5n3.当n →+∞，55,ln ,ln ,5n n n 趋于无穷大速度最慢的是()A.5ln n B.5ln n C.ln D.5n4.设()(1)(2)(), f x x x x n =--- 则()=0f x '在开区间(2,)n 有（）个零点A.1n - B.1n - C.2n - D.n5.设()(1)(2)(), x x x f x e e e n n Z +=---∈ 则(0)=f '（)A.1(1)(1)!n n --- B.(1)(1)!n n -- C.1(1)!n n -- D.(1)!n n -6.设()(1)(2)(), f x x x x n n Z +=---∈ 则(1)=f '（)A.1(1)(1)!n n --- B.(1)(1)!n n -- C.1(1)!n n -- D.(1)!n n -7.设()(1)(2)(10), f x x x x =--- 则(1)=f '（)A.9!- B.0C.9!D.10!8．设2()ln(1)f x x =+,则该函数在(0,)+∞内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧9．设()ln(1)f x x x =+-,则该函数在(1,0)-内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧10．设()x f x e x =-,则该函数在(1,0)-内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧11.设函数()f x 在[,]a b 上连续，且在(,)a b 内()0f x ''>，则在(,)a b 内等式()()()f b f a f b aξ-'=-成立的ξ()A．存在B．不存在C．惟一D．不能断定存在12．曲线53(1)5y x =-+()A．有极值点1x =,但无拐点B．有拐点(1,5),但无极值点C．有极值点1x =,有拐点(1,5)D．既无极值点,又无拐点13.下列函数中，在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（）.A．2ln(1)y x =-B．21y x =-C．||x y e =D．sin y arc x =14.若函数)(x f y =在点0x 处取得极大值，则必有().A.0()0f x '= B.0()0f x '<C.0()0f x '=且0()0f x ''< D.0()0f x '=或0()f x '不存在15.若在区间),(b a 内有()0,f x '>()0,f x ''<则曲线弧)(x f y =为().A.递增的凸弧B.递增的凹弧C.递减的凸弧D.递减的凹弧16.下列函数中在区间]3,0[上不满足拉格朗日定理条件的是（）.A.221x x ++ B.cos(1)x + C.22(1)x x - D.ln(1)x +17．若)(x f 在a x =处取得极值，则（）。

(完整版)高等数学测试题及解答(分章)2

第七单元空间解析几何与向量代数一、填空题1、已知→a 与→b 垂直，且12|||,5||==→→b a ，则=+→→||b a _________,=-→→||b a _________。

2、一向量与ox 轴和oy 轴成等角，而与oz 轴组成的角是它们的两倍，那么这个向量的方向角为___________。

3、→→→→→→→→→→→⨯-+⨯+++⨯++a c b b c b a c c b a )()()(__________=。

4、若两平面0=-++k z y kx 与z y kx 2-+0=互相垂直，则__________=k 。

5、通过两点(1,1,1)和(2,2,2)且与平面0=-=z y x 垂直的平面方程是____________。

6、已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点(1,2,2--)，则该平面方程为_________。

7、设平面092:=--+z ky x π，若π过点)6,4,5(--，则_______;=k 又若π与平面032=+-z y x 成︒45角，则__________=k 。

8、一平面过点(1,10,6-),它在ox 轴上的截距为3-，在oz 轴上的截距为2，则该平面的方程是___________。

9、若直线531123-=++=-z k y k x 与22531-+=+=-k z y x 垂直，则_________=k 。

10、设,2)(=⋅⨯→→→c b a 则___________)()]()[(=+⋅+⨯+→→→→→→a c cb b a 。

11、过点)1,2,1(-M 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=1,43,2t z t y t x 垂直的平面方程是___________。

12、已知两条直线的方程是,11122:,130211:21zy x L z y x L =-=+--=-=-则过1L 且平行于2L 的平面方程是______________。