四川成都石室中学2017届高三三诊模拟考试(理数)(含答案)word版

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【四川省成都市石室中学】2017届高三二诊模拟考试数学(理)试卷

四川省成都市石室中学2017届高三二诊模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．已知复数2i1iz =+，则z 的共轭复数是（） A ．1i -B ．1i +C ．iD ．i2．设n S 是等差数列{}n a 的前项和，12a =，533a a =，则3a =（） A ．2-B ．0C ．3D ．63．已知向量()1,2a =-，()3,b m =，m R ∈，则“6m =-”是“()a ab +∥”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数2()log f x x =，在区间(0,5)上随机取一个数x ，则()2f x <的概率为（） A ．15B ．25C ．35D ．455．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A ．203B ．403C ．20D ．406．已知,x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若目标函数3z x y =+的最大值为8，则k =（）A ．16-B ．6-C ．83-D ．67．定义运算a b ∙为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则()()92lg lg 394100log 8log3-的值为（）nA ．1316B ．92C ．4D ．6 8．如图，在正四棱锥S ABCD -中，,,E M N 分别是,,BC CD SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP AC ⊥；②EP∥BD ；③EP∥面SBD ；④EP ⊥面SAC ．其中恒成立的为（）A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④9．若曲线212ey x =与曲线ln y a x =在它们的公共点(s,t)P 处具有公共切线，则实数a =（） A 2-B ．12C ．1D ．210．已知ABC △是边长为的正三角形，EF 为ABC △的外接圆O 的一条直径，M 为ABC △的边上的动点，则ME FM 的最大值为（） A ．3B ．4C ．5D ．611．已知双曲线()2222:1,0x y C a b b a b-=>>的左、右焦点分别为12(c,0)(c,0)F F A B -、，、是圆222()4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12F A F B ∥，则双曲线C 的离心率为（）ABCD12．若对,m n ∀∈R ，有()()()3g m n g m g n +=+-，求()()f x g x =+的最大值与最小值之和是（） A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．由直线1x =，2x =，曲线1y x=及y轴所围成的封闭图形的面积是_________． 14．已知角π3α+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则sin α的值为． 15．在直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在唯一一点M ，使2MA MO =，则圆心C 的非零横坐标是_________．16．数列{}n a 满足132a >，211n n n a a a +=-+，且2017112i i a ==∑，则201814a a -的最大值为_________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．中央政府为了对应因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（1）由以上统计数据填下面22⨯列联表，并问是否有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异：（2）若从年龄在[45,55)，[]55,65的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持“延迟退休”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．参考数据：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++．18．已知函数()()sin 0f x x ωω=>在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．如图，四边形OACB 中，a b c 、、为ABC △的内角A B C、、的对边，且满足4cos cos sin sin 3sin cos B CB C C Aω--+=．（1）证明：2b c a +=；（2）若b c =，设AOB θ∠=，()0πθ<<，22OA OB ==，求四边形OACB 面积的最大值．19．在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面1AC ⊥平面ABC ，1AA ，1AC CA AB a ===，AB AC ⊥，D是1AA 的中点．（1）求证：CD ⊥平面1AB ；（2）在侧棱1BB 上确定一点E ，使得二面角11E A C A --的大小为π3． 20．已知两点()2,0A -，()2,0B ，动点P 与A B 、两点连线的斜率PA PB k k 、满足14PA PB k k =-．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）H 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，曲线E 上是否存在两点M N 、，使得HMN △是以H 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．21．已知函数()()()212ln f x a x x =---，()1e xg x x -=（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意0(0,e]x ∈在(0,e]上总存在两个不同的()1,2i x i =，使()()10f x g x =成立，求的取值范围．22．直角坐标系中曲线C 的参数方程为4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）经过点()0,1M 作直线l 交曲线C 于A B 、两点（A 在B 上方），且满足2BM AM =，求直线l 的方程．a。

四川省成都市2017届高三第三次诊断性考试 (含答案)word版

成都市2017届高中毕业班第三次诊断性检测数学（理工农医类）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I 卷(选择题)1至2页，第∏卷(非选择题)3至 4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5. 考试结束后，只将答题卡交回。

第I 卷(选择题，共60分）参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A ，B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 343V R π=那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()()()1,0,1,2,,n k k k n n P k C p k k n -=-=一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.(1) 已知等差数列{αn }中，a 3= 2，a 6 = - 4，则该数列的公差D = (A)3 (B)2 (C)-3 (D)-2(2) 复数（i 是虚数单位)的虚部为 (A)O (B)I (C)1 (D)2i(3)若抛物线上一点M 到其焦点的距离为3，则M 到直线x = — 2的距离为 (A)5 (B)3 (C)2 (D)4(4) 设y =f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x 〉0时，f(x)=-x 2，则y =f(x)的反函数的大致图象是(5) 为了得到函数的图象，只需把函数的图象(A)按向量a=平移 (B)按向量a=平移(C)按向量a=平移（D)按向量a=平移(6) 已知l、m、n是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题中正确的是(A) (B)(C) (D)(7) 已知随机变量服从标准正态分布N(0，1)，以表示标准正态总体在区间内取值的概率，即，则下列结论不正确的是(A) (B)(C) (D)(8) 某校开设A类选修课4门，B类选修课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，且A类中的甲门课和β类中的乙门课不能同时选，则不同的选法共有(A)60种（B)63种（C)70种（D)76种(9) 某工厂用U、T两种型号的配件生产甲、乙两种产品.每生产一个甲产品使用4个U型配件，耗时1小时，获利1万元;每生产一个乙产品使用4个T型配件，耗时2小时，获利4万元.已知该厂每天工作不超过8小时，且一天最多可以从配件厂获得20个U型配件和12个T型配件，如果该厂想获利最大，则一天的生产安排应是(A)生产甲产品2个，乙产品3个（B)生产甲产品3个，乙产品2个(C)生产甲产品3个，乙产品3个（D)生产甲产品4个，乙产品3个(10) 已知ΔABC中，AB=l，AC=3，若O是该三角形内的一点，满足，，则等于(A) (B)3 (C)4 （D)y(11) 小张和小王两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图).把这〃个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为αn，则当n>3时，a n和a n+1满足(A) (B)(C) (D)(12) 设x是实数，定义[x]为不大于x的最大整数，如[2.3] = 2，[-2. 3] = - 3.已知函数，若方程的解集为M，方程的解集为N ，则集合中的所有元素之和为(A)-1 (B)O (C)1 (D)2第II卷(非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分,共16分.答案填在答题卡上.(13) 的二项展开式中x的系数是_______.(14) 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的顶点都在一个球面上，且，AA1=2，则这个球的体积为_______.(15) 已知双曲线C:(a>0，b>0)，F1 F2分别为其左,右焦点，若其右支上存在点P 满足=e(e为双曲线C的离心率），则E的最大值为_______.(16) 设函数f(x)和g(x)都在区间[a，b]上连续，在区间（a，b)内可导，且其导函数和在区间(a，b)内可导，常数.有下列命题:①过点作曲线y=f(x)的切线l，则切线L的方程是；②若M为常数，则;③若，若(A为常数），则；④若函数在包含x0的某个开区间内单调，则其中你认为正确的所有命题的序号是________.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分12分）已知锐角ΔABC的内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且a=4，A=.(I)设，若f(B) = -l，求tanC的值；(II)若，求ΔABC的面积.(18)(本小题满分12分）天府新区的战略定位是以城乡一体化、全面现代化、充分国际化为引领，并以现代制造业为主、高端服务业集聚、宜业宜商宜居的国际化现代新城区.为了提高企业竞争力以便在天府新区的建设中抢占商机，成都某制造商欲对厂内工人生产某种产品的能力进行调査，然后组织新的业务培训.承担调查的部门随机抽査了 20个工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[20，25)，[25，30)，[30，35)， [35，40)，[40，45]，频率分布直方图如图所示.(I)求图中A的值，并求被抽查的工人中生产的产品数量在[30，35)之间的人数；(II)若制造商想从这次抽査到的20个工人中随机选取3人进行再培训，记选取的3人中来自生产的产品数量在[30，35)之间的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.(19) (本小题满分12分）在如图所示的多面体中，AβEF为等腰梯形，AB//EF，矩形ABCD所在平面与平面ABEF垂直.已知M是AB的中点，AB=2，MF=EF=l，且直线ED和平面ABEF所成的角是30°.(I)求证:AF丄平面CBF;(III)求点B到平面AFC的距离.(20) (本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{a n}满足：.(I)若，求数列{b n}的通项公式；(II)设数列的前n项的和为S n ，求的值.(21) (本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率，且椭圆C经过点P(2，3).设F1是椭圆C的左焦点，A、B是椭圆C 上的两点，且.(I)求椭圆C的方程；(II)若，求的值；(III)若，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G ，求的面积S的取值范围.(22) (本小题满分14分）已知函数，定义在正整数集上的函数g(x)满足：0<g(1)<l，(I)求函数f(x)的单调区间；(II)证明:对任意，不等式0<g(x)<l都成立；(III)是否存在正整数K，使得当x>K时，都有？请说明理由.。

【四川省成都成都石室中学年】高三2017届第1周(理) 数学年试题

四川省成都市成都石室中学高2017届第1周（理）数学试卷答案1~5．CBBDD 6~10．CBBAC 11．B 12．2 13．60 141516．17π317．（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >）,11310b a =,113(13)10a a ∴+=,13a ∴=．又213a a d d =+=+，7163(12)a a d d =+=+，22199(3)b a d -==+，由2a ，7a ，21b -成等比数列，得229(12)9(3)d d +=+，0d >，123d d ∴+=+，2d =， 3(1)221n a n n ∴=+-⨯=+．………………．．．6分（Ⅱ）因为21n a n =+，所以1(21)3nn b n =++，于是，2(133)(153)(1(21)3)nn S n =+⨯++⨯+⋅⋅⋅+++⨯，令()123353213nT n =⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯①则()23133353213n T n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯②①-②，得()1231233232323213nn T n +-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯()211133922132313n n n n n +++-=+⨯-+=-⨯-，∴13n T n +=⋅，故113(13)n n n S n n n ++=+⨯=+．………………．．．12分18．（Ⅰ）因为E ，F 为等边ABC △的AB ，AC 边的中点，所以'A EF △是等边三角形，且//EF BC ．因为M 是EF 的中点，所以'A M EF ⊥．…………………………………………………………………（1分）又由于平面'A EF ⊥平面EFCB ，'A M ⊂平面'A EF ，所以'A M ⊥平面EFCB ．…………………（2分）又BF ⊂平面EFCB ，所以'A M BF ⊥．…………………………………………………………………（3分）因为14CN BC =，所以//MF CN ，所以//MN CF ．……………………………………^……………（4分）在正ABC ∆中知BF CF ⊥，所以BF MN ⊥．而'A MMN M =，所以BF ⊥平面'A MN ．……………………………………………………………（5分）又因为BF ⊂平面'A BF ，所以平面'A MN ⊥平面'A BF ．……………………………………………（6分）（Ⅱ）设等边ABC ∆的边长为4，取BC 中点G ，连接MG ，由题设知MG EF ⊥，由（Ⅰ）知'A M ⊥平面EFCB ，又MG ⊂平面EFCB ，所以'A M MG ⊥，如图建立空间直角坐标系M xyz -，则(1,0F -，A，B，)FA =，(3,FB =．…………………………………………（8分）设平面'A BF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0,0,FA n FB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,30,x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1z =，则(3,1)n =-．…………………………………………（10分）平面'A EF 的一个法向量为(0,1,0)p =，所以313cos ,||||p n n p p n ==，显然二面角'E A F B --是锐角．所以二面角'E A F B --．……………………………………………………………（12分） 19．（Ⅰ）可直观判断：倾向“坐标系与参数方程”或倾向“不等式选讲”，与性别无关；倾向“坐标系与参数方程”或倾向“平面几何选讲”，与性别有关；倾向“平面几何选讲”或倾向“不等式选讲”，与性别有关．（正确选择一组变量并指出与性别有关即给1分）…………1分选择一：选择倾向“平面几何选讲”和倾向“坐标系与参数方程”作为选题倾向变量Y 的值．做出如下2×2列联表：…………2分由上表，可直观判断：因为232(16844) 6.969 6.63520122012k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，…………4分所以可以有99%以上的把握，认为“坐标系与参数方程”和“平面几何选讲”这两种选题倾向与性别有关．…………6分选择二：选择倾向“平面几何选讲”和倾向“不等式选讲”作为分类变量Y 的值．作出如下2×2列联表：…………2分因为238(161264)10.8810.82820182216k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，…………4分所以可以有99.9%以上的把握，认为“不等式选讲”和“平面几何选讲”这两种选题倾向与性别有关．………6分（Ⅱ）（ⅰ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为20：12＝5：3，所以抽取的8人中倾向“平面几何选讲”的人数为5，倾向“坐标系与参数方程”的人数为3．…………7分（ⅱ）依题意，得3,1,1,3ξ=--，…………8分33381(3)56C P C ξ=-==，12533815(1)56C C P C ξ=-==， 21533830(1)56C C P C ξ===，30533810(3)56C C P C ξ===．…………10分故ξ的分布列如下：所以3(1)135********E ξ=-⨯+-⨯+⨯+⨯=．…………12分 20．解：（1）抛物线1C 的焦点()0,1F ，椭圆2C 的左焦点1()F ，则1||FF（2）设直线:AB y kx m =+，11223344(),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由24y k xm x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx m －－＝，故124x x k ＋＝，124x x m ＝-．由24x y =，得2x y '=，故切线P A ，PB 的斜率分别为12PA x k ＝，22PB x k ＝，再由PA PB ⊥，得1PA PB k k ＝－，即1212412244x x x x m m -===-=-，故1m =，这说明直线AB 过抛物线1C 的焦点F ．由2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得1222x x x k +==，222111121121121244444x x x x x x x x y k kx x +=-=-=-==-，即(2,1)P k -．于是点(2,1)P k -到直线10AB kx y ：－＋＝的距离2d =由221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(12420)k x kx ＋＋－＝，从而22222(4)4(12)(2)8(14)1+k k k CD k -+-+=，同理，AB 若AB ，d ，CD 成等比数列，则2d AB CD =，即22228(14)4(1)1k k k+=++ 化简整理，得42283670k k ＋＋＝，此方程无实根，所以不存在直线AB ，使得||AB ，d ，||CD 成等比数列21．解：（Ⅰ）由()x ae f x x x =+，得22(1)()x ae x x f x x-+'=．所以(1)1f ae =+，(1)1f '=．所以由(1)1(1)10f f -'=-得1a e =．（Ⅱ）证明：当0a <时，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，无极值；当(0,)x ∈+∞时，令2()(1)xg x ae x x =-+，则()(2)xg x x ae '=+．由()0g x '=得2ln()x a=-，则①当2ln()0a-≤，即2a ≤-时，()0g x '≤，()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以()g x 在(0,)+∞上至多有一个零点，即()f x '在上(0,)+∞至多有一个零点．所以函数()f x 在(0,)+∞上至多有一个极值点．②当2ln()0->，即20a -<<时，()g x '及()g x 随x 的变化情况如下表：因为(ln())(0)0g g a a->=->，所以()g x 在(0,)+∞上至多有一个零点，即()f x '在(0,)+∞上至多有一个零点．所以函数()f x 在(0,)+∞上至多有一个极值点．综上，当0a <时，函数()f x 在定义域上至多有一个极值点．（Ⅲ）存在实数a ，使得函数()f x 在定义域上的极小值大于极大值．a 的取值范围是0a >．由（Ⅱ）可知当0a <时，函数()f x 至多有一个极值点，不可能同时存在极大值与极小值．当0a =时，()f x x =，无极值；当0a >时，()g x '及()g x 随x 的变化情况如下表：①下面研究()f x 在(0,)+∞上的极值情况：因为(0)0g a =-<，(1)10g =>，且1(0,)x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在1(0,)x 上递减；1(,)x x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在1(,)x x ∈+∞上递增；所以在(0,)+∞上()f x 的极小值为1()f x ，无极大值． ②下面考察()f x 在(,0)-∞上的极值情况：当01a <≤时，2(1)10e ag -=->，当1a >时，211112(1ln )(ln )(2)ln 1e eg a a a -+=+-+-，令1ln t a =，则0t <，令212()(2)1e e h t t t =+-+-，因为()h t 在(,0)-∞上递减，所以2()(0)10eh t h >=->，即1(1ln )0g a -+>．综上，因为(0)0g a =-<，所以存在实数2(,0)x ∈-∞，2()0g x =，且2(,0)x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在2(,0)x 上递减；2(,)x x ∈-∞时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在2(,)x -∞上递增；所以在(,0)-∞上()f x 的极大值为2()f x ，无极小值．又因为210x x <<，且0a >，所以21()0()f x f x <<，所以，当且仅当0a >时，()f x 在定义域上的极小值大于极大值．22．解（1）直线l 的普通方程是：30x y --=，曲线C 的普通方程是22y x =：（2）将直线l的标准参数方程1(2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）代入曲线22y x =可得240t -+=，所以12||||||||PA PB t t +=+=四川省成都市成都石室中学高2017届第1周数学试卷（理）解析1~5．略6．解析：由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填“s≤1112？”． 11．12．15．解析：设圆M 与y 轴切于点C ，连结,MC AC ，则//MC x 轴，又AB MB MC ==，故四边形ACMB 为菱形，故60MBA OAC ∠=∠=，于是2AB MB MC a ===，故(2)M a ，将其代入双曲线方程可得22a b = 16．略三、解答题：略。

石室中学高级三诊模拟数学试题(理科卷).docx

石室中学高2015级三诊模拟数学试题（理科卷）1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A A B ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭I 集合则（）A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ 2．已知z 是纯虚数,21iz +-是实数,那么z 等于（）A ．2i B .i C .-i D .-2i 3．命题“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是（）A ．12sin ,≤∈∀x R xB ．12sin ,>∉∀x R xC ．12sin ,0≤∈∃x R xD ．12sin ,0>∉∃x R x4．在21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A ．15B ．20C ．30D ．1205.将函数cos()3y x π=-的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）,再向右平移6π个单位,所得函数图象的一个对称中心为（）A. 7012π⎛⎫⎪⎝⎭， B. 03π⎛⎫ ⎪⎝⎭， C. 1106π⎛⎫ ⎪⎝⎭， D. 302π⎛⎫⎪⎝⎭， 6．已知直线,m l ，平面,,αβ且,,m l αβ⊥⊂给出下列命题：①若α∥β，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则m ∥l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥； ④若m ∥l ，则αβ⊥. 其中正确的命题的是（）A ．①②B ．③④C ．①④D ．①③7．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c cos cos cos B b C c B =+，则角B 的大小为（） A ．π B ．π C ．3π D ．2π(sin cos )(02015)x x x π-≤≤，则函数fB. 2016211e e ππ--- 9．已知函数2|1|,70()1,x x f x nx e x e-+-≤≤⎧=⎨≤≤⎩，x x x g 2)(2-=，设a 为实数，若存在实数m ，使0)(2)(=-a g m f ，则实数a 的取值范围为（）A ．),1[+∞-B ．),3[]1,(+∞⋃--∞C ．]3,1[-D ．]3,(-∞ 10．已知点A 是抛物线y x 42=的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PB m PA =，当m 取最大值时，点P 恰好在以B A ,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A ．215- B ．212+ C ．12+ D ．15- 11．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的概率为12．阅读下面的程序框图．若使输出的结果不大于64，则输入的整数i 的最大值为13. 2014年足球世界杯赛上举行升旗仪式．如下图，在坡度为15︒的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60o 和45o ，若旗杆的高度为30米，则且座位A 、B 的距离为_______________ 米. 14．直线l 的方程为2y x =+，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线221243x y -=的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________． 15. 若函数()f x 在定义域的某子区间上满足()()1f x f x λλλ=-（为正实数），则称其为λ-局部倍缩函数.若函数()f x 在[]0,2()sin x f x x π∈=时，，且 2+()=2x f x λ∈∞（，）时，为的局部倍缩函数.现有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有5个零点；④对任意0x >，若不等式()k f x x ≤恒成立，则54k 的最小值是．则其中所有真命题的序号是．16. （本小题满分12分）已知函数222()(sin cos )3(sin cos ),f x x x x x =++-,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当x α=时，()f x 有最大值．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，12A πα=-，且2sin sin sin B C A =，求ABC ∆的面积．17. 甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R （单位：公里）可分为三类车型，A ：80≤R ＜150，B ：150≤R ＜250，C ：R ≥250．甲从A ，B ，C 三类车型中挑选，乙从B ，C 两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：若甲、乙都选C 类车型的概率为310. （Ⅰ）求p ，q 的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；．18．（本小题满分12分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC EF O =I ，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图的五棱锥P ABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求二面角--B AP O 的余弦值.19．已知数列{}n a 满足：*121113,,2(2,)44n n n a a a a a n n N +-===+≥∈，数列{}n b 满足：10b <，*13(2,)n n b b n n n N --=≥∈，数列{}n b 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求证：数列}{n n a b -为等比数列；（Ⅱ）求证：数列}{n b 为递增数列；（Ⅲ）若当且仅当3n =时，n S 取得最小值，求1b 的取值范围．20、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为36，焦距为4，定点A （－4，0）.（I ）求椭圆C 标准方程；（II ）已知11(,)P x y ,22(,)Q x y 是椭圆C 上的两点，向量1122(,3),(,3)m x y n x y ==u r r，且0m n ⋅=u r r 。

[精品]2017年四川省成都市高考数学三诊试卷及解析答案word版(理科)

2017年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0}2．（5分）已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（）A．B．5 C．2 D．23．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，公比q=2，若a m=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（）A．11 B．10 C．9 D．84．（5分）AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好5．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．46．（5分）高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A．B．﹣ C．D．﹣9．（5分）已知抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，点A（0，﹣），若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且|FM|：|MD|=1：2，则点M的纵坐标为（）A．﹣ B．﹣C．﹣ D．﹣10．（5分）已知函数f（x）=2cos22x﹣2，给出下列命题：①∃β∈R，f（x+β）为奇函数；②∃α∈（0，），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立；③∀x1，x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|=2，则|x1﹣x2|的最小值为；④∀x1，x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）．其中的真命题有（）A．①②B．③④C．②③D．①④11．（5分）如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．27πB．48πC．64πD．81π12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=13，S m=0，S m+1=﹣15．其中m∈N*且m≥2，则数列{}的前n项和的最大值为（）A． B． C．D．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x﹣）6展开式中常数项为（用数字作答）．14．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．15．（5分）从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为．（用数字作答）16．（5分）如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求a+c的最大值．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE．（1）求BM的长；（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．19．（12分）几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）若对年龄在[15，20）[20，25）的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ．20．（12分）已知圆C ：（x +1）2+y 2=8，点A （1，0），P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）若直线l ：y=kx +m 与曲线E 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△MON 面积的最大值．21．（12分）已知函数f （x ）=lnx +﹣1，a ∈R ．（1）若关于x 的不等式f （x ）≤x ﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数g （x ）=，若g （x ）在[1，e 2]上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ：得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．（1）当a=1时，求不等式f（x）+|2x﹣5|≥6的解集；（2）若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．2017年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0}【解答】解：∵集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}={﹣1，0}，∴A∪B={﹣1，0，1}．故选：B．2．（5分）已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（）A．B．5 C．2 D．2【解答】解：复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6），B（0，﹣2），线段AB的中点C（1，2）对应的复数为z=1+2i，则|z|==．故选：A．3．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，公比q=2，若a m=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（）A．11 B．10 C．9 D．8【解答】解：a m=a1a2a3a4=a14qq2q3=2426=210=2•2m﹣1，∴m=10，故选：B．4．（5分）AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好【解答】解：这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92，故A正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，故正确；这12天的AQI指数值的中位数是=90，故正确；从4日到9日，空气质量越来越好，不正确，4月9日，AQI指数值为67，故选D．5．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．4【解答】解：根据题意，双曲线C的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其焦点在x轴上，其渐近线方程y=±x，又由直线l平行于双曲线C的一条渐近线，则有=2，直线l：y=2x﹣2与x轴交点坐标为（1，0），即双曲线C的一个顶点坐标为（1，0），即a=1，则b=2a=2，故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2；故选：B．6．（5分）高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，因此输出结果为9．故选：D．7．（5分）已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y=sinx 与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=，故选：D．8．（5分）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∴∠FEG为异面直线AC与BD所成角．设AB=2a，则EG=EF=a，FG==a，∴∠FEG=60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选：A．9．（5分）已知抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，点A（0，﹣），若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且|FM|：|MD|=1：2，则点M的纵坐标为（）A．﹣ B．﹣C．﹣ D．﹣【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∵|FM|：|MD|=1：2：则|KD|：|KM|=：1，k FD=，k FD==∴=，求得m=4∴直线FM的方程为y=（x﹣1），与y2=4x，联立方程组，解得x=3（舍去）或x=，∴y2=，解y=﹣或y=（舍去），故M的坐标为（，﹣），故选：D10．（5分）已知函数f（x）=2cos22x﹣2，给出下列命题：①∃β∈R，f（x+β）为奇函数；②∃α∈（0，），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立；③∀x1，x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|=2，则|x1﹣x2|的最小值为；④∀x1，x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）．其中的真命题有（）A．①②B．③④C．②③D．①④【解答】解：由题意，f（x）=2cos22x﹣2=cos4x﹣1；对于①，∵f（x）=cos4x﹣1的图象如图所示；函数f（x+β）的图象是f（x）的图象向左或向右平移|β|个单位，它不会是奇函数的，故①错误；对于②，f（x）=f（x+2α），∴cos4x﹣1=cos（4x+8α）﹣1，∴8α=2kπ，∴α=，k∈Z；又α∈（0，），∴取α=或时，∴f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立，②正确；对于③，|f（x1）﹣f（x2）|=|cos4x1﹣cos4x2|=2时，|x1﹣x2|的最小值为==，∴③正确；对于④，当f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kT=k•=（k∈Z），∴④错误；综上，真命题是②③．故选：C．11．（5分）如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．27πB．48πC．64πD．81π【解答】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，棱锥的高VA=4，棱锥底面ABC 是边长为6的等边三角形，作出直观图如图所示：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴外接球的球心D在底面ABC的投影为△ABC的中心O，过D作DE⊥VA于E，则E为VA的中点，连结OA，DA，则DE=OA==2，AE=VA=2，DA为外接球的半径r，∴r==4，∴外接球的表面积S=4πr2=64π．故选C．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=13，S m=0，S m+1=﹣15．其中m∈N*且m≥2，则数列{}的前n项和的最大值为（）A． B． C．D．=13，S m=0，S m+1=﹣15，【解答】解：∵S m﹣1∴a m=S m﹣S m﹣1=0﹣13=﹣13，a m+1=S m+1﹣S m=﹣15﹣0=﹣15，又∵数列{a n}为等差数列，﹣a m=﹣15﹣（﹣13）=﹣2，∴公差d=a m+1∴，解得a1=13∴a n=a1+（n﹣1）d=13﹣2（n﹣1）=15﹣2n，当a n≥0时，即n≤7.5，≤0时，即n≥6.5，当a n+1∴数列的前7项为正数，∴==（﹣）∴数列{}的前n项和的最大值为（﹣+﹣+﹣+…+1﹣）=（1﹣）=．故选：D二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x﹣）6展开式中常数项为60（用数字作答）．【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为6014．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣3．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3），化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3．故答案为：﹣3．15．（5分）从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为5040．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C64•A55=3600种情况；若甲乙两人都参加，有C22•A63•A42=1440种情况，则不同的安排种数为3600+1440=5040种，故答案为：5040．16．（5分）如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为3．【解答】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AO D=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，∴梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），S′=4（cosθ+cos2θ﹣sin2θ）=4（2cos2θ+cosθ﹣1）=4（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．∵θ∈，∴cosθ∈（0，1）．∴当cosθ=即θ=时，S取得最大值，S=3．故最大值为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求a+c的最大值．【解答】解：（1）∵2c﹣a=2bcosA，∴根据正弦定理，得2sinC﹣sinA=2sinBcosA，∵A+B=π﹣C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcosA+cosBsinA，∴代入上式，得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA﹣sinA，化简得（2cosB﹣1）sinA=0∵A是三角形的内角可得sinA＞0，∴2cosB﹣1=0，解得cosB=，∵B∈（0，π），∴B=；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得12=a2+c2﹣ac．∴（a+c）2﹣3ac=12，∴12≥（a+c）2﹣ac，（当且仅当a=c=2时）∴a+c≤4，∴a+c的最大值为4．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE．（1）求BM的长；（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．【解答】解：（1）设AC∩BD=O，取EF中点N，连接NO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵四边形BDEF是矩形，∴ON⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，ON⊂平面BDEF，∴ON⊥平面ABCD，以O为原点，以OC，OB，ON为坐标轴建立空间坐标系如图所示：∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴OB=OD=1，OA=OC=，∵四边形BDEF是矩形，DE=2，∴A（﹣，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），E（0，﹣1，2），D（0，﹣1，0），设BM=h，则M（0，1，h），∴=（0，2，h），=（，﹣1，2），∵DM⊥平面ACE，∴，∴﹣2+2h=0，解得h=1，∴BM=1．（2）=（，﹣1，0），=（0，2，1），设平面ADM的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=得=（，3，﹣6），又AC⊥平面BDM，∴=（1，0，0）是平面BDM的一个法向量，∴cos＜＞===，∴二面角A﹣DM﹣B的余弦值为．19．（12分）几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）若对年龄在[15，20）[20，25）的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ．【解答】解：（1）根据表中数据填写2×2列联表如下，计算K 2=≈2.381＜2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）根据题意，选出的4人中支持发展共享单车的人数为X，则X的可能取值为2，3，4；所以P（X=2）=•=，P（X=3）=•+•=，P（X=4）=•=；∴随机变量X的分布列为：数学期望为EX=2×+3×+4×=．20．（12分）已知圆C：（x+1）2+y2=8，点A（1，0），P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．又|CP|=|CQ|+|QP|=2，∴|CQ|+|QA|=2＞|CA|=2．∴曲线E是以坐标原点为中心，C（﹣1，0）和A（1，0）为焦点，长轴长为2的椭圆．设曲线E 的方程为=1，（a＞b＞0）．∵c=1，a=，∴b2=2﹣1=1．∴曲线E的方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．此时有△=16k2﹣8m2+8＞0．由一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x2=，x1x2=，．∴|MN|==∵原点O到直线l的距离d=﹣，∴S==．，由△＞0，得2k2﹣m2+1＞0．△MON又m≠0，=．≤∴据基本不等式，得S△MON=，当且仅当m2=时，不等式取等号．∴△MON面积的最大值为．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤x﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=，若g（x）在[1，e2]上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．【解答】解：（1）f（x）≤x﹣1，即lnx+﹣1≤x﹣1，即a≤﹣xlnx﹣x2在[1，+∞）上恒成立，设函数m（x）=﹣xlnx﹣x2，x≥1，m′（x）=﹣lnx+x﹣1，设n（x）=﹣lnx+x﹣1，n′（x）=﹣+1，由x≥1时，n′（x）≥0，∴n（x）在[1，+∞）单调递增，且n（x）≥n（1）=0，即m′（x）≥m′（1）=0，对x∈[1，+∞）恒成立，∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，当x∈[1，+∞）时，m（x）≥m（x）min=m（1）=，∴a≤，∴a的取值范围是（﹣∞，]；（2）g（x）==+﹣，x∈[1，e2]，求导g′（x）=+﹣=，设h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，由h′（x）=0，解得：x=e，当1≤x＜e时，h′（x）＞0，当e＜x≤e2，h′（x）＜0，且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，显然h（1）＞h（e2），若g（x）在[1，e2]上存在极值，则或，当，即1＜a＜时，则必定存在x1，x2∈[1，e2]，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，当x变化时，h（x），g′（x），g（x）的变化如表，当1＜a＜时，g（x）在[1，e2]上的极值为g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），由g（x1）=+﹣=，设φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜，1≤x＜e，则φ′（x）=lnx＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，当且仅当x=1时，取等号；∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，当1＜a＜，g（x）在[1，e2]上的极值g（x2）＞g（x1）＞0，当，即0＜a≤1时，则必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，易知g（x）在（1，x3）上单调递增，在（x3，e2]上单调递减，此时，g（x）在[1，e2]上的极大值时g（x3），即g（x3）＞g（e2）=＞0，当0＜a≤1时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数，综上可知：当0＜a＜时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数，[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ：得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，化为直角坐标方程：x2+y2=4．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=x+3．（2）曲线C经过伸缩变换φ：，即，代入曲线C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲线C′：=1．若M（x，y）为曲线C′上任意一点，设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d==≥=，当且仅当sin（θ﹣φ）=1时取等号．因此最小距离为：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．（1）当a=1时，求不等式f（x）+|2x﹣5|≥6的解集；（2）若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，|x﹣1|+|2x﹣5|≥6，x≤1时：1﹣x﹣2x+5≥6，解得：x≤0，∴x≤0，1＜x＜2.5时：x﹣1﹣2x+5≥6，解得：x≤﹣1，不成立；x≥2.5时：x﹣1+2x﹣5≥6，解得：x≥4，∴x≥4，故不等式的解集是{x|x≥4或x≤0}；（2）g（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，a≥3时：g（x）=，∴3﹣a≤g（x）≤a﹣3，∵[﹣1，2]⊆A ，∴，解得a ≥5；a ＜3时，a ﹣3≤g （x ）≤3﹣a ， ∴，解得：a ≤1；综上：a ≤1或a ≥5．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

【四川省成都石室外语学年校】2017届度下期开学年考试高三理科数学年试题

四川省成都市第七中学2017届高三上学期一诊模拟（理）数学试卷答案一、选择题 1~5．BADBC 6~10．BCDCA 11~12．BA 二、填空题 13．11201415．416．0,2- 三、解答题 17．解：（1）{}n a 为等比数列，设公比为q又41111,8133a a q ==∴=，即数列{}n a 是首项为13公比为13的等比数列，13nn a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．()()()12,:1232111:2111111112122311n n n n n n f a n b n b n n T n n n +=-=-----=⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由已知可得:则故201720171009T =-． 18．解：（1）由散点图知，z 与x 具有较强的线性相关性．（2）()()()121175.50.101750nii i ni i xx y y b x x==-⋅--===-∑∑ 15.0515∴=-⋅=≈a z b x 150.10∴=+=-z bx a x又2ln z y =，y ∴关于x 的回归方程为150.1022e e-==z xy（3）年利润()150.102e-=⋅=⋅xL x x y x ．令()150.10'20.10e102-⎛⎫=∙-∙= ⎪⎝⎭xL x x ，得20x =．∴定价为20元/kg 时，年利润的预报值最大．19．证明：（1）直角三角形ABC 中60,4BAC AC ∠==,18,24AB AF AB ∴===，有余弦定理得CF =CF AB ⊥． AD ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，AD CF ∴⊥,又AD AB A =,CF ∴⊥平面DABE ，,CF DF CF EF ∴⊥⊥．DFE ∴∠为二面角D CF E --的平面角．又2,3,4,6AF AD BE BF ====，故Rt ADFRt BFE △△．,90ADF BFE AFD BFE AFD ADF ∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠=,90,DFE D CF E ∴∠=--为直二面角．∴平面CDF ⊥平面CEF ．（建系求解只要答案正确，也给分）（2）以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，设CM x =，则面DMF的法向量为m x ⎛=- ⎝⎭，同理可知：面CDM 的法向量为()3,0,4n =-，由2cos ,5m n =，则x =或x =x =F DM C --的余弦值为25-不合题意，所以CM =．20．解：（1）由题意：当2k <时，动点P 不表示任何图形；当2k =时，动点P 的轨迹是线段；当2k >时，动点P 的轨迹是椭圆．（2）当4k =时，动点P 的轨迹方程为22143x y +=，设()1:02PQ x ny n =-≠，则2214312x y x ny ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得()224534304n y ny +--=，224534,3434P Q P Q n y y y y n n ∴+=⋅=-++2234344515434P Q P Q ny y n n y y n ++∴==-⋅-+，11415P Q n y y ∴+=- 又点,P Q 在直线PQ 上，所以11,22P P Q Q x ny x ny =-=-，所以522P PSP P Py y k x ny ==--，同理：522Q QSQ Q Qy y k x ny ==--，又,55A B SA SBy y k k ==--，由;SP SA SQ SB k k k k ==，则552P AP y yny =--，则5112525P A P P ny n y y y -==-，同理：1125B B n y y =- 11111282515A B P Q n ny y y y ⎛⎫∴+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭，11211A B P Qy y y y +∴=+21．解：（1）由题意：()()()()'1sin 1ln ,cos 10G x a x x G x a x x=-+=-->恒成立，则()1cos 1a x x <-恒成立，又()1cos 1y x x =-单调递减，1a ∴≤．（2）由（1）知，当1a =时，()()sin 1ln G x x x =-+在()0,1单调递增()()sin 1ln 10x x G ∴-+<=，()()1sin 1ln01x x x∴-<<< ()()()22222112sinsin 1ln 211k k k k k k k ⎡⎤++∴=-<⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()()()222211231sinln ln2ln213241121nk k k k k k k =+∴<⋅=<⋅⋅-+++∑．（3）由()()()12221e 220x F x g x mx x b mx x b -=--++=--+->即()min 0F x >，又()()'''e 22,e 2x xF x mx F x m =--=-，0m <，则()''0F x >，()'F x ∴单调增，又()()''00,10F F <>，则必然存在()00,1x ∈，使得()'00F x = ()F x ∴在()0,x -∞单减，()0,x +∞单增，()()02000e 220x F x F x mx x b ∴≥=--+->，则0200e 22x b mx x >-+++，又00e 220x mx --=00e 22x m x -∴=，()000000e 2e 221e 222x x x x x b x x -⎛⎫∴>-+++=-++ ⎪⎝⎭，又0m <，则()00,ln2x ∈0001e 22x x b x ⎛⎫∴>-++ ⎪⎝⎭，()0,ln 2x ∈恒成立令()()1e 2,0,ln22xx m x x x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭则()()()'''111e 1,e 022x x m x x m x x =-+=> ()'m x ∴在()0,ln2x ∈单调递增，又()'1002m =>，()'0m x ∴>，()m x ∴在()0,ln2x ∈单调递增 ()()ln22ln2m x m ∴<=，2ln2b ∴>，又b 为整数，∴最小整数b 的值为：2．22．解：（1）因为圆C 的极坐标方程为π4sin 6ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以214cos 2ρρθθ⎫=-⎪⎪⎝⎭，又因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222x y x +=-，所以圆C 的普通方程为2220x y x +-+=；（2）设z y =+．由（1）知圆C的方程222x y x +=-化为标准方程为()(2214x y ++=，所以圆C的圆心是(-，半径是2，将112x y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入z y =+得z t =-，又因为直线l过(C -，圆C 半径是2，所以22,22t t -≤≤-≤-≤，即z y =+的取值范围是[]2,2-．23．解：（1）当2m =时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，作出图象如下图所示，结合图象由()f x 的单调性即()5143f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得()4f x <的解集为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）由()2f x m ≥得()121x m x +≥--，因为0m <，所以1112x x m -+≥--，在同一直角坐标系中画出12y x =--及11y x m=-+的图象，根据图象性质可得11m-≥，即10m -≤<，故m 的最小值为1-．。

四川省成都市2017届高三三诊模拟理科数学试题(word版含答案)

成都2017届第三次高考模拟理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一次硬币一次，设命题p 是“甲抛的硬币正面向上”，q 是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨2.已知集合{}{}2|11,|10A x x B x x =-<=-<，则A B = （）A ． ()1,1-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()0,1 3.若1122aii i+=++，则a =（） A ．5i -- B ．5i -+ C ．5i - D ． 5i +4.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．14-B ． 12- C. 14 D ．125.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．3612π+B ．3616π+ C. 4012π+ D ．4016π+ 6.设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则（）A ．5166BO AB AC =-+B ． 1162BO AB AC =-C. 5166BO AB AC =- D ．1162BO AB AC =-+7.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（）A ． 2016B ．1024 C.12D ．-1 8. 已知()00,P x y 是椭圆22:14x C y +=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF <，则0x 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭ B ．⎛ ⎝⎭ C. ⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭9. 等差数列{}n a 中的24032a a 、是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点，则()2220174032log a a a = （）A ．624log +B ．4 C. 323log + D ．324log + 10. 函数()()2sin 4cos 1f x x x =- 的最小正周期是（）A ．3π B ． 23π C. π D ．2π11.某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名。

四川省成都市石室中学2017-2018学年高三第一次模拟(10月)理数试题 Word版含解析

2017-2018学年一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}5,4,3,2,1{=A ，}0)4(|{>-=x x x B ，则图中阴影部分表示（）A ．}4,3,2,1{B ．}5{C ．}3,2,1{D ．}5,4{ 【答案】A考点：集合运算，韦恩图【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.在5)1(x -的展开式中，2x 项的系数是（） A ．10- B ．10 C ．5- D ．5 【答案】D【解析】试题分析：2x 项的系数445(1)5C -=,选D.考点：二项式定理 3.不等式组⎩⎨⎧<+-≥+-02042y x y x 表示的平面区域是（）A B CD 【答案】B 【解析】试题分析：因为(3,0)-在可行域中，所以选B. 考点：可行域区域4.已知曲线C ：122=+y mx ，则“曲线C 是双曲线”是“0<m ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：“122=+y mx 是双曲线”充分必要条件为10m ⋅<，即0<m ，所以选C. 考点：充要关系【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法 (1)判断法：设“若p ，则q”为原，那么：①原为真，逆为假时，p 是q 的充分不必要条件； ②原为假，逆为真时，p 是q 的必要不充分条件； ③原与逆都为真时，p 是q 的充要条件；④原与逆都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)集合判断法：从集合的观点看，建立p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x|p(x)成立}，q ：B ＝{x|q(x)成立}，那么： ①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ≠⊂B 时，则p 是q 的充分不必要条件； ②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B ≠⊂A 时，则p 是q 的必要不充分条件；③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件． (3)等价转化法：p 是q 的什么条件等价于綈q 是綈p 的什么条件． 5.若1>>y x ，则下列一定成立的是（）A ．y x )41()21(>B ．yx )41()21(< C ．4121y x > D ． 4121y x <【答案】C考点：不等式性质6.从9名高三年级优秀学生中挑选3人担任年级助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（） A ．20 B ．36 C ．49 D ．56 【答案】B 【解析】试题分析：因为甲、乙至少有1人入选，故用间接法求：338636.C C -=选B. 考点：排列组合【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.7.如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得1=AC ，则三棱锥BCD A -的体积为（）A ．63 B ．33 C ．23D ．31【答案】A考点：三棱锥体积8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A ．28B ．29C ．30D ．31 【答案】D 【解析】试题分析：第一次循环：21,2,3,log 3n a b S ====；第二次循环：232,3,4,log 3log 4n a b S ====⋅；依次类推：第30次循环：2331230,31,32,log 3log 4log 32log 325n a b S ====⋅⋅⋅==；直到第31次循环：2332231,32,33,log 3log 4log 33log 335n a b S ====⋅⋅⋅=>结束循环，输出31,n =选D.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 9.定义在R 上的函数)(x f 满足：①0)0(=f ，②1)1()(=-+x f x f ，③)(21)3(x f x f =，且当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f ≤，则)81()31(f f +等于（） A ．1 B ．43 C ．32 D ．21 【答案】B考点：利用函数性质求值10.如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，4=CD ，5==AD BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是（）A ．)209,45(--B ．)411,45(-C ．)411,41(- D ．)41,209(-- 【答案】D 【解析】试题分析：以CD 中点为坐标原点，CD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则33(1,2),(1,2),(2,0),(2,0),E(,1),F(,1)22A B C D ---，当P 在CD 边上时，设(,0),||(0,2)P x x ∈，则295111(,)444P E P F x λ=⋅=-+∈-；当P 在AB 边上时，设(,2),||(0,1)P x x ∈，则295111(,)444PE PF x λ=⋅=-+∈-；当P 在BC 边上时，设(,42),(1,2)P x x x -∈，则22292791(32)512(,)44204PE PF x x x x λ=⋅=-+-=-+∈--；当P 在AD 边上时，设(,24),(2,1)P x x x +∈--，则22292791(32)512(,)44204P E P F x x x x λ=⋅=-+-=-+∈--；因此实数λ的取值范围是9151191(,)(,)(,)20444204---=--，选D.考点：向量数量积【思路点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义. 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 11.设i 为虚数单位，若i z i 2)1(-=⋅+，则复数z 的虚部为 . 【答案】1- 【解析】试题分析：22(1)(1)2112i i i i z i z i i i--++⋅=-⇒===--+，所以复数z 的虚部为1- 考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()++=-++∈a b i c d i a c b d a d b c i a b c d R. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 12.长方体1111D C B A ABCD -中，1=AD ，21==AA AB ，则异面直线1AD与B A 1所成角的余弦值为 . 【答案】33【解析】试题分析：异面直线1AD 与B A 1所成角等于直线1AD 与1D C 所成角,即1AD C ∠,因此1cos AD C ∠ 考点：异面直线所成角13.已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的图象如图所示，则)4(πf 的值为 .【答案】2考点：三角函数解析式【方法点睛】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的图象求解析式 (1)A ＝y max －y min2，B ＝y max ＋y min2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.14.设O 为坐标原点，抛物线C ：x y 42=的准线为l ，焦点为F ，过F 且斜率为3的直线与抛物线C 交于B A ,两点，且||||BF AF >，若直线AO 与l 相交与D ，则=||||BD OF . 【答案】43 【解析】试题分析：过F 且斜率为3的直线方程为1)y x =-，与抛物线C ：x y 42=联立解得1(3A B ，则直线AO方程为y =与:1l x =-的交点(1,D -，因此||134||43OF BD ==考点：直线与抛物线位置关系15.某学科考试共有100道单项选择题，有甲、乙两种计分法.已知某学生有a 道题答对，b 道题答错，c 道题未作答，按甲计分法的得分为4ba X -=，按乙计分法该生的得分为5ca Y +=，某班50名学生参加了该科考试，现有如下结论： ①同一同学的X 分数不可能大于Y 分数；②任意两个学生X 分数之差的绝对值不可能大于Y 分数之差的绝对值； ③用X 分数将全班排名次的结果与用Y 分数将全班排名次的结果是完全相同的； ④X 分数与Y 分数是正相关的.其中的真有 .（写出所有真的序号）【答案】①③④考点：不等式性质三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.在ABC ∆中，点D 在BC 边上，已知552cos =∠CAD ，10103cos =∠C . （1）求ADC ∠；（2）若10=AB ，6=CD ，求BD . 【答案】（1）43π=∠ADC （2）4=BD 或2=BD 【解析】试题分析：（1）已知三角形中两个角，求第三角，根据三角形三角和关系及两角和余弦公式得cos cos()sin sin cos cos ADC CAD C CAD C CAD C ∠=-∠+∠=∠∠-∠∠，再根据同角三角函数关系求得55sin =∠CAD ，1010sin =∠C ，代入化简可得（2）已知ACD ∆两边一角，可利用正弦定理得23sin sin =∠⋅=CADCDC AD ，再在ABD ∆中，利用余弦定理得2223218102⨯⨯⨯-+=BD BD ，解得4=BD 或2=BD（2）在ACD ∆中，由正弦定理得23sin sin =∠⋅=CADCDC AD ，在ABD ∆中，443πππ=-=∠ADB ,结合余弦定理有2223218102⨯⨯⨯-+=BD BD , 解得4=BD 或2=BD 综上，4=BD 或2=BD考点：同角三角函数关系，正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.17.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为43，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为32，每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手将完成上述三次射击. （1）求该射手恰好命中一次的概率；（2）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望)(X E . 【答案】（1）736（2）详见解析【解析】试题分析：（1）该射手恰好命中一次分三个独立事件：恰好命中甲靶，恰好第一次射击命中乙靶，恰好第二次射击命中乙靶，再根据概率加法与乘法得结果（2）先确定随机变量可能取法：5,4,3,2,1,0，再分别求对应概率，列出概率分布，最后根据公式求数学期望（2）根据题意，X 的所有可能取值为5,4,3,2,1,0，根据事件的独立性与互斥性得361)321()321()431()()0(=-⨯-⨯-===D C B P X P121)321()321(43)()1(=-⨯-⨯===D C B P X P912)321(32)431()()()2(=⨯-⨯⨯-=+==D C B P D C B P X P312)321(3243)()()3(=⨯-⨯⨯=+==D C B P D BC P X P913232)431()()4(=⨯⨯-===CD B P X P31323243)()5(=⨯⨯===BCD P X P故X 的分布列为∴124131591431391212113610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX 考点：互斥事件概率，概率分布与数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.18.已知数列}{n a ，}{n b 满足21=a ，11=b ，且)2(14341141431111≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=----n b a b b a a n n n n n n . （1）令n n n b a c +=，求数列}{n c 的通项公式；（2）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和公式n S .【答案】（1）12+=n c n （2）2121++=n a n n ，12212+++-=n n S n n 【解析】试题分析：（1）两式相加得2)(11++=+--n n n n b a b a ，即)2(21≥+=-n c c n n ，根据等差数列定义及通项公式得12+=n c n （2）两式相减得)2(),(2111≥-=---n b a b a n n n n ，根据等比数列定义及通项公式得112n n n a b --=，又21n n a b n +=+，解方程组得2121++=n a n n，最后根据分组求和得n S试题解析：解：（1）由题设得2)(11++=+--n n n n b a b a ，即)2(21≥+=-n c c n n ，易知}{n c 是首项为311=+b a ，公差为2的等差数列，通项公式为12+=n c n考点：等差数列及等比数列定义及通项公式，分组求和19.如图，在空间几何体ABCDE 中，平面⊥ACD 平面ACB ，ACD ∆与ACB ∆都是边长为2的等边三角形，2=BE ，点E 在平面ABC 上的射影在ABC ∠的平分线上，已知BE 和平面ACB 所成角为60. （1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求二面角A BC E --的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）1313【解析】试题分析：（1）要证线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需结合平几条件，如三角形中位线性质及平行四边形的性质.由面面垂直性质定理可得线面垂直，取AC 中点O ，得⊥DO 平面ABC ，而点E 在平面ABC 上的射影F 在ABC ∠的平分线BO 上，因此DO EF //，再根据计算得3==DO EF ，从而四边形DEFO 是平行四边形，（2）利用空间向量研究二面角，首先建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，利用方程组解出各面对应法向量，最后根据向量数量积计算法向量夹角，根据法向量夹角与二面角之间关系得结论试题解析：（1）证明：由题意知，ABC ∆与ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接DO BO ,，则AC DO AC BO ⊥⊥,.又∵平面⊥ACD 平面ABC ，⊥DO 平面ABC ,作⊥EF 平面ABC ,那么DO EF //，根据题意，点F 落在BO 上，∵BE 和平面ABC 所成角为 60，∴60=∠EBF .∵2=BE ，∴3==DO EF ，∴四边形DEFO 是平行四边形，∴OF DE //.∵⊄DE 平面ABC ，⊂OF 平面ABC ，∴//DE 平面ABC（2）由已知，OD OB OA ,,两两互相垂直，故以OD OB OA ,,为x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，得)3,13,0(),0,0,1(),0,3,0(--E C B.∴)3,1,0(),0,3,1(-=--=,设平面BCE 的一个法向量为),,(2z y x n =.∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022BE n n ,∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=--0303z y y x .令∴取)1,3,3(2-=n又∵平面ABC 的一个法向量)1,0,0(1=n ， ∴1313||||,cos 212121=>=<n n n n . 又由图知，所求二面角的平面角为锐角，∴二面角A BC E --的余弦值1313. 考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理，利用空间向量求二面角【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线)0(11>=k x k y ，)0(22<=k x k y 与椭圆E ：1222=+y x 分别交于A 、B 两点，且3||||22=+OB OA . （1）证明：21k k ⋅为定值；（2）点P 满足2=，直线BP 与椭圆交于点C ，设m =，求m 的值.【答案】（1）详见解析（2）25=m试题解析：解：（1）联立得⎩⎨⎧=+=22221y x x k y ，解得2121212121212,212k k y k x +=+=，∴2121221)1(2||k k OA ++= 同理2222221)1(2||k k OB ++=，从而)211211(2||||32222212122k k k k OB OA +++++=+=，通分整理得142221=k k由0,021<>k k ，故2121-=⋅k k （2）设),(33y x C ，由OA OP 2=得)2,2(11y x P ，又BC m BP =，得),()2,2(23232121y y x x m y y x x --=--，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=2132131212y m m y m y x mm x m x .由点C 在椭圆上得1)12(2)12(221221=-++-+y mm y m x m m x m ，整理得1)2(212)2()1()2()2(21212222221212=+⋅-⋅++-++y y x x m m m y x m m y x m ，（*）由（1）得212121-=x x y y ，即121202x x y y +=，而B A ,在椭圆上，有122121=+y x ，122222=+y x ，代入（*）式得1)1(4222=-+m m m ，从而得25=m .综上，25=m 为所求. 考点：直线与椭圆位置关系【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21.已知函数x x f ln )(=，)(x g 是)(x f 的反函数.（1）求证：当0≥x 时，x x x f +-≥+221)1(；（2）若)(2)()(2mx g x g x g ≤-+对任意R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）详见解析（2）21≥m【解析】试题分析：（1）构造函数)0(21)1ln()(2≥-++=x x x x x h ，转化为证明min ()0h x ≥，即利用导数求函数最值：先求导函数并确定符号01111)('2≥+=-++=x x x x x h ，从而)(x h 在),0[+∞上单调递增，所以0)0()(=≥h x h ，（2）)(x g 是)(x f 的反函数，所以xe x g =)(，化简不等式得2ln 2x x e e mx -+≥，作差构造函数2ln )(2x x e e mx x -+-=ϕ，转化为求其最小值，先求导函数并研究其零点，当21≥m 时，当]0,(-∞∈x 时，0)0(')('=≤ϕϕx ，当),0[+∞∈x 时，0)0(')('=≥ϕϕx ，从而0)0()(=≥ϕϕx ；当210<<m 时，)('x ϕ在1(0,2上单调递减，所以0)0(')('=<ϕϕx ， 0)0()(=<ϕϕx ，不合题意试题解析：（1）设)0(21)1ln()(2≥-++=x x x x x h ，则01111)('2≥+=-++=x x x x x h ，所以)(x h 在),0[+∞上单调递增，所以0)0()(=≥h x h ，所以021)1ln(2≥-++x x x ，即当0≥x 时，x x x f +-≥+221)1(.①当21≥m 时，则0)1(212)1(212)1(22222222≥+=-+≥-+x x x x x e e e e m e ，故0)('≥x h ，所以)('x ϕ在R 上单调递增，所以当]0,(-∞∈x 时，0)0(')('=≤ϕϕx ，当),0[+∞∈x 时，0)0(')('=≥ϕϕx ，所以)(x ϕ在]0,(-∞单调递减，在),0[+∞单调递增，所以0)0()(=≥ϕϕx 恒成立，即)(2)()(2mx g x g x g ≤-+对任意R x ∈恒成立，符合题意. ②当210<<m 时，令0)1(22)1(24222=+-+=-+m e m me e m e x x x x ，得mmm e x 2112-±-=，即)211ln(21m m m x -±-=，设)211ln(211m m m x ---=，)211ln(212mm m x -+-=，由韦达定理12122=x xee ，12x x >得1,12122><x x e e ，即0,021><x x ，当20x x <<时，0)1(224<+-+m em me xx，所以0)('<x h ，所以)('x ϕ在),0(2x 上单调递减，所以0)0(')('=<ϕϕx ，所以)(x ϕ在),0(2x 上单调递减，所以0)0()(=<ϕϕx ，即当20x x <<时，2ln 2xx e e mx -+<，与)(2)()(2mx g x g x g ≤-+恒成立矛盾，综上可知，实数m 的取值范围为21≥m .考点：用导数证明不等式，利用导数研究不等式恒成立问题【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.。

【四川省成都石室外语学年校】2017届度下期开学年考试高三理科数学年试题答案

请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程

已知直线
l
的参数方程为
x

1

3t 2 （ t 为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐

y

3 1t 2
标系，圆

i 1
i 1
i 1
n
n
xi x yi y
xi yi nx y 6
b i1
n
2
xi x

i 1
n
xi 2

2
nx
yi y zi z 3465.2 ）
i 1
i 1
i 1
（1）根据散点图判断， y 与 x ， z 与 x 哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？
是平面 ABC 同一侧的两点， AD 平面 ABC ， BE 平面 ABC ， AD 3, AC BE 4 ．
（1）求证：平面 CDF 平面 CEF ；
（2）点 M 在线段 BC 上，且二面角 F DM C 的余弦值为 2 ，求 CM 的长度． 5
- 4 -/6
20．（本小题满分 12 分）平面上两定点 F1 1,0, F2 1,0 ，动点 F1 1,0, F2 1,0 满足 PF1 PF2 k
四川省成都市第七中学 2017 届高三上学期一诊模拟（理）数学试卷
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2020届四川省成都石室中学2017级高三一诊考试数学(理)试卷及解析

2020届四川省成都石室中学2017级高三一诊考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：1.已知集合{}1A x x =∈>N ,{}5B x x =<,则A B =（）. A. {}15x x << B. {}1x x > C. {}2,3,4 D. {}1,2,3,4,5 【答案】C【解析】利用集合的交集运算即可求解. 【详解】{}{}152,3,4A B x x ⋂=∈<<=N .故选：C.2.若复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 是虚数单位）,则z 的共轭复数是（）A. 1i --B. 1i +C. 1i -+D. 1i -【答案】B【解析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案．【详解】解：由1z i i =+,得21(1)()1i i i z i i i ++-===--, ∴1z i =+, 故选：B ．3.若等边ABC 的边长为4,则AB AC ⋅=（）A. 8B. 8-C.D. -【答案】A【解析】可画出图形,根据条件及向量数量积的计算公式便可得出AB BC ⋅的值．【详解】如图,根据条件,1604482AB AC AB AC cos ⋅=︒=⨯⨯=．故选：A ． 4.在()()621x x y --的展开式中33x y 的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. 20- 【答案】B【解析】把（x ﹣y ）6按照二项式定理展开,可得（2x ﹣1）（x ﹣y ）6的展开式中x 3y 3的系数．【详解】∵（2x ﹣1）（x ﹣y ）6＝（2x ﹣1）（06C •y 616C -•x 5y 26C +•x 4y 236C -•x 3y 346C +•x 2y 456C - xy 566C + y 6）,故展开式中x 3y 3的系数为3620C =,故选：B ．5.若等比数列{}n a 满足：11a =,534a a =,1237a a a ++=,则该数列的公比为（）A. 2-B. 2C. 2±D. 12 【答案】B【解析】直接由534a a =得到q =2或﹣2,再依据条件进行取舍.【详解】设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q∵534a a =,∴q =2或﹣2,又当q =2时,满足1237a a a ++=,当q =﹣2时,1231243a a a ++=-+=,不满足1237a a a ++=,∴q =2．故选：B。

四川省成都石室中学高三数学三诊模拟考试文

一、选择题（答案填到机读卡上）1. 设全集U=R ，若A={x | x –2<0}，B={x|ln(1)y x =-}，则()U A C B =( )A.（-2，1）B.（-2，1]C.[1，2）D.（1，2）2. 已知2sin()23πα+=，则cos α的值等于( )A. 23-B.23C.3D. 3±3、下列命题中正确的是（）A.22ac bc a b >⇔>B.33a b a b >⇔>C.a ca b c d b d>⎧⇔+>+⎨>⎩ D.log 2log 2001a b a b <<⇔<<<4、已知a ,b 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（）A.a b =B. 如果a 与b 平行，则a b =C.1a b ⋅=D. 22a b=5. 设{n a }为递增等比数列，2010a 和2011a 是方程4x 2—8x+3=0的两根，则2012a =( ) A. 9B. 10C.92D. 256．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( )A ．14-B ．2C ．4D ．12-7. 下面四个命题：①“直线a ∥直线b”的充分条件是“直线a 平行于直线b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α”的充要条件是“直线l ⊥平面α内无数条直线”； ③“直线a 、b 不相交”的必要不充分条件是“直线a 、b 为异面直线”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“平面α内存在不共线三点到平面β的距离相等”．其中正确命题的序号是( ) A.①② B. ②③ C. ③④ D. ④8．设f (x )=|2－x 2|，若0＜a ＜b 且f (a )=f (b )，则ab 的取值范围是（） A ．(0，2)B ．(0,2)C ．(0,4)D ．(0，22)9. 若变量x ，y 满足约束条件360203x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，且0z kx y(k )=+>的最大值为14，则k =( )A.1B.2C.23D.53910．已知F 1,F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且122F PF π∠=，记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于( ) A．2-B．3-C．4-D111. 某校为全面实施素质教育，大力发展学生社团，2014级高一新生中的五名同学准备参加“文学社”、“戏剧社”、“动漫社”、“民乐社”四个社团，若每个社团至少有一名同学参加，每名同学必须参加且只能参加一个社团，若同学甲不参加“动漫社”，则不同的参加方法的种数为( ) A. 72 B. 108 C. 180 D. 216 12.函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数。

【四川省成都石室外语学校】2017届度下期开学考试高三理科数学试卷

四川省成都石室外语学校2017届度下期开学考试高三理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1．若集合{}2340A x x x =+->，集合{}23B x x -<≤，且M A B =，则有（）A ．1M -∈B ．1M ∈C ．2M ⊆D ．2M ∈2．在复平面内，复数z 满足()1i 1z +=+，则z 的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量1331,,,22BA BC ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ABC ∠=（） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒4．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为（） 1.732≈，sin150.2588≈，sin7.50.1305≈.A ．12B ．24C ．48D ．965．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若,//m n αα⊥，则m n ⊥；②若//m n ，//n α，则//m α；③若//m n ，n β⊥，//m α,则αβ⊥；④若mn A =，//m α，//m β，//n α，//n β，则//αβ．其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知()tan π2α-=-，则21cos2cos αα=+（）A ．3B .25C .52- D .3-7．设31log 4a =，0.313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(2log log c =，则（）A ．b c a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<8．()611x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的一次项系数是（）A ．5B ．14C ．20D ．359．在ABC △中，1cos 8A =,4,2AB AC ==，则A ∠的角平分线AD 的长为（）A ．B ．C ．2D ．110．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的直径为2，则该几何体的表面积为（）A ．46B ．52π+C ．523π+D ．462π+11．如图，1A ,2A 为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点，S ，Q ，T 为椭圆上不同于1A ，2A 的三点，直线1QA ，2QA ，OS ，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（）A ．5B ．3C .9D ．1412．对二次函数()2f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（） A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D ．点()2,8在曲线()y f x =上第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．实数,x y 满足1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则1z x y =++的最大值为________.14．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是________．15．将函数()()ππsin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到sin y x =的图象，则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 16．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()()ln 3f x x x =-+,则曲线()y f x =在点()1,3处的切线方程是________.三、解答题：本大题6题，共70分．17．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()12n n S n λ=+-∙,又数列{}n b 满足n n a b n ∙= (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)当λ为何值时,数列{}n b 是等比数列？并证此时数列{}n b 的前n 项和2n T <．18．（本题满分12分）第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日~21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜2016年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX .19．（本题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11A ADD ⊥底面ABCD ，11D A D D ==底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，222,AD AB BC O ===为AD 中点．（1）求证：1//AO 平面1AB C ；（2）求锐二面角11A C D C --的余弦值．20．（本题满分12分）如图所示，已知抛物线2:4C x y =,过点()0,2M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点(D O 为坐标原点)．（1）证明:动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l (不含x 轴),与直线2y =相交于点1N 与（1）中的定直线相交于点2N ．证明:2221MN MN -为定值,并求此定值．21．（本题满分12分）已知函数()()ln ,e x f x ax x F x ax =-=+，其中0x >，0a <. （1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln 3上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围；（2）若21,e a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，且函数()()1e 2a g x x ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值.22．（本题满分12分）在极坐标系中，曲线C 的方程为2cos 29ρθ=，点π6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线OP 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线OP 与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB+的值.。

四川省成都市成都石室中学高三第1周(理) 数学试卷有答案

四川省成都市成都石室中学高2017届第1周（理）数学试卷一、选择题1．“1m =±”是“复数()()211i m m -++（其中i 是虚数单位）为纯虚数”的（）A ．既不充分也不必要条件 B．充要条件C ．必要而不充分条件D ．充分而不必要条件2．设全集U =R ，函数()()lg 11f x x =+-的定义域为A ，集合{}sin 0B x x π==，则()U C A B 的元素个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．13．平面向量a 与b 的夹角为60︒，()2,0a =，1b =，则2a b +=（） AB ．C ．4D ．1243（）B ．(g xC ．()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A ．34s ≤B ．56s ≤C ．1112s ≤D ．2524s ≤7．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（） A．B．C ．4D．8．已知x ，y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y ＝＋的最大值为4，则a 等于（）A ．3B ．2C ．－2D ．－39．为实施教育均衡化，某市教育局号召本市教师前往偏远边区的A 、B 、C 、D 四所学校支教，这四所学校的教师需求情况如下：现从本市教师中选出语文教师2名（包含1名干部），数学教师3名，英语教师3名（包含2名干部），物理教师3名（包含1名干部），要求向每个学校各派一名干部任组长，则不同的派遣方案的种数有（） A ．24种B ．28种C ．36种D ．48种10．已知,,a b c 分别为ABC △的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(s i ns i n )(b A B c b C +-=-，则ABC △面积的最大值为（）A ．1BCD ．211．已知函数22()4321f x x ax a a =-+--，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围为（）A．[]1,1-B．52⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．⎡⎢⎣⎦D．⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭12．函数()lnf x x=在点00(,())P x f x处的切线l与函数g()xx e=的图象也相切，则满足条件的切点P的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13．设26sinn xdxπ=⎰，则二项式2nxx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，2x项的系数为________．14．设α为锐角，若4cos65πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin212πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为________．15．如图，以双曲线22221x ya b-=上一点M为圆心的圆恰好与y轴相切，且与x轴交于,A B两点，其中A是双曲线的右顶点，若MAB∆为等边三角形，则该双曲线的离心率是________．16．正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，点P Q R，，分别是棱1A A，11A B，11A D的中点，以PQR∆为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的外接球表面积为________．三．解答题17．已知两数列{}na，{}nb满足13nn nb a=+（*n∈N），11310b a=，其中{}na是公差大于零RQPD1C1B1BCDA1A的等差数列，且2a ，7a ，21b -成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．如图，已知等边ABC △中，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，M 为EF 的中点，N 为BC 边上一点，且14CN BC =，将AEF △沿EF 折到'A EF △的位置，使平面'A EF ⊥平面EFCB ．（1）求证：平面'A MN ⊥平面'A BF ；（2）求二面角'E A F B --的余弦值．19．某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取50名文科学生，调查对选做题倾向得下表：（1）从表中三种选题倾向中，选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种，作为选题倾向变量的取值，分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”．（只需要做出其中的一种情况）（2）按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．（ⅰ）分别求出抽取的8人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数；（ⅱ）若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为()F x ，求(0,)+∞的分布列及数学期望2()(1)331f x f x x x -->-+．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 20．如图所示，抛物线21:4C x y =在点A ，B 处的切线垂直相交于点P ，直线AB 与椭圆222:1C a b +=相交于C ，D 两点．（1）求抛物线1C 的焦点F 与椭圆2C 的左焦点1F 的距离；（2）设点P 到直线AB 的距离为d ，试问：是否存在直线AB ，使得||AB ，d ，||CD 成等比数列？若存在，求直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数()xae f x x x=+．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)，求实数a 的值；（2）求证：当0a <时，函数()f x 至多有一个极值点；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域上的极小值大于极大值？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．22．在直角坐标系xOy 中,已知点()1,2P -,直线1,:2x t l y t =-⎧⎨=--⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，直线l 和曲线C的交点为,A B ．（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）求PA PB +．四川省成都市成都石室中学高2017届第1周（理）数学试卷答案1~5．CBBDD 6~10．CBBAC 11．B 12．2 13．60 141516．17π317．（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >）,11310b a =,113(13)10a a ∴+=,13a ∴=．又213a a d d =+=+，7163(12)a a d d =+=+，22199(3)b a d -==+，由2a ，7a ，21b -成等比数列，得229(12)9(3)d d +=+，0d >，123d d ∴+=+，2d =，3(1)221n a n n ∴=+-⨯=+．………………．．．6分（Ⅱ）因为21n a n =+，所以1(21)3nn b n =++，于是，2(133)(153)(1(21)3)nn S n =+⨯++⨯+⋅⋅⋅+++⨯，令()123353213nT n =⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯①则()23133353213n T n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯②①-②，得()1231233232323213nn T n +-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯()211133922132313n n n n n +++-=+⨯-+=-⨯-，∴13n T n +=⋅，故113(13)n n n S n n n ++=+⨯=+．………………．．．12分18．（Ⅰ）因为E ，F 为等边ABC △的AB ，AC 边的中点，所以'A EF △是等边三角形，且//EF BC ．因为M 是EF 的中点，所以'A M EF ⊥．…………………………………………………………………（1分）又由于平面'A EF ⊥平面EFCB ，'A M ⊂平面'A EF ，所以'A M ⊥平面EFCB ．…………………（2分）又BF ⊂平面EFCB ，所以'A M BF ⊥．…………………………………………………………………（3分）因为14CN BC =，所以//MF CN ，所以//MN CF ．……………………………………^……………（4分）在正ABC ∆中知BF CF ⊥，所以BF MN ⊥．而'A MMN M =，所以BF ⊥平面'A MN ．……………………………………………………………（5分）又因为BF ⊂平面'A BF ，所以平面'A MN ⊥平面'A BF ．……………………………………………（6分）（Ⅱ）设等边ABC ∆的边长为4，取BC 中点G ，连接MG ，由题设知MG EF ⊥，由（Ⅰ）知'A M ⊥平面EFCB ，又MG ⊂平面EFCB ，所以'A M MG ⊥，如图建立空间直角坐标系M xyz -，则(1,0,F -，A，B，)FA =，FB =．…………………………………………（8分）设平面'A BF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0,0,FA n FB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,30,x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令1z =，则(3,3,1)n =-．…………………………………………（10分）平面'A EF 的一个法向量为(0,1,0)p =，所以313cos ,13||||p n n p p n ==，显然二面角'E AF B --是锐角．所以二面角'E A F B --的余弦值为13．……………………………………………………………（12分） 19．（Ⅰ）可直观判断：倾向“坐标系与参数方程”或倾向“不等式选讲”，与性别无关；倾向“坐标系与参数方程”或倾向“平面几何选讲”，与性别有关；倾向“平面几何选讲”或倾向“不等式选讲”，与性别有关．（正确选择一组变量并指出与性别有关即给1分）…………1分选择一：选择倾向“平面几何选讲”和倾向“坐标系与参数方程”作为选题倾向变量Y 的值．做出如下2×2列联表：…………2分由上表，可直观判断：因为232(16844) 6.969 6.63520122012k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，…………4分所以可以有99%以上的把握，认为“坐标系与参数方程”和“平面几何选讲”这两种选题倾向与性别有关．…………6分选择二：选择倾向“平面几何选讲”和倾向“不等式选讲”作为分类变量Y 的值．作出如下2×2列联表：…………2分因为238(161264)10.8810.82820182216k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，…………4分所以可以有99.9%以上的把握，认为“不等式选讲”和“平面几何选讲”这两种选题倾向与性别有关．………6分（Ⅱ）（ⅰ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为20：12＝5：3，所以抽取的8人中倾向“平面几何选讲”的人数为5，倾向“坐标系与参数方程”的人数为3．…………7分（ⅱ）依题意，得3,1,1,3ξ=--，…………8分33381(3)56C P C ξ=-==，12533815(1)56C C P C ξ=-==，21533830(1)56C C P C ξ===，30533810(3)56C C P C ξ===．…………10分故ξ的分布列如下：所以3(1)135********E ξ=-⨯+-⨯+⨯+⨯=．…………12分 20．解：（1）抛物线1C 的焦点()0,1F ，椭圆2C 的左焦点1()F ，则1||FF （2）设直线:AB y kx m =+，11223344(),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由24y k x m x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx m －－＝，故124x x k ＋＝，124x x m ＝-．由24x y =，得2x y '=，故切线P A ，PB 的斜率分别为12PA x k ＝，22PB x k ＝，再由PA PB ⊥，得1PA PB k k ＝－，即1212412244x x x x m m -===-=-，故1m =，这说明直线AB 过抛物线1C 的焦点F ．由2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得1222x x x k +==，222111121121121244444x x x x x x x x y k kx x +=-=-=-==-，即(2,1)P k -．于是点(2,1)P k -到直线10AB kx y ：－＋＝的距离2d ==由221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(12420)k x kx ＋＋－＝，从而22222(4)4(12)(2)8(14)1+k k k CD k -+-+=，同理，AB若AB ，d ，CD 成等比数列，则2d AB CD =，即22228(14)4(1)1k k k+=++ 化简整理，得42283670k k ＋＋＝，此方程无实根，所以不存在直线AB ，使得||AB ，d ，||CD 成等比数列21．解：（Ⅰ）由()x ae f x x x =+，得22(1)()x ae x x f x x-+'=．所以(1)1f ae =+，(1)1f '=．所以由(1)1(1)10f f -'=-得1a e =．（Ⅱ）证明：当0a <时，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，无极值；当(0,)x ∈+∞时，令2()(1)xg x ae x x =-+，则()(2)xg x x ae '=+．由()0g x '=得2ln()x a=-，则①当2ln()0a-≤，即2a ≤-时，()0g x '≤，()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以()g x 在(0,)+∞上至多有一个零点，即()f x '在上(0,)+∞至多有一个零点．所以函数()f x 在(0,)+∞上至多有一个极值点．②当2ln()0->，即20a -<<时，()g x '及()g x 随x 的变化情况如下表：因为(ln())(0)0g g a a->=->，所以()g x 在(0,)+∞上至多有一个零点，即()f x '在(0,)+∞上至多有一个零点．所以函数()f x 在(0,)+∞上至多有一个极值点．综上，当0a <时，函数()f x 在定义域上至多有一个极值点．（Ⅲ）存在实数a ，使得函数()f x 在定义域上的极小值大于极大值．a 的取值范围是0a >．由（Ⅱ）可知当0a <时，函数()f x 至多有一个极值点，不可能同时存在极大值与极小值．当0a =时，()f x x =，无极值；当0a >时，()g x '及()g x 随x 的变化情况如下表：①下面研究()f x 在(0,)+∞上的极值情况：因为(0)0g a =-<，(1)10g =>，且1(0,)x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在1(0,)x 上递减；1(,)x x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在1(,)x x ∈+∞上递增；所以在(0,)+∞上()f x 的极小值为1()f x ，无极大值．②下面考察()f x 在(,0)-∞上的极值情况：当01a <≤时，2(1)10ea g -=->，当1a >时，211112(1ln )(ln )(2)ln 1e eg a a a -+=+-+-，令1ln t a =，则0t <，令212()(2)1e eh t t t =+-+-，因为()h t 在(,0)-∞上递减，所以2()(0)10e h t h >=->，即1(1ln )0g a-+>．综上，因为(0)0g a =-<，所以存在实数2(,0)x ∈-∞，2()0g x =，且2(,0)x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在2(,0)x 上递减；2(,)x x ∈-∞时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在2(,)x -∞上递增；所以在(,0)-∞上()f x 的极大值为2()f x ，无极小值．又因为210x x <<，且0a >，所以21()0()f x f x <<，所以，当且仅当0a >时，()f x 在定义域上的极小值大于极大值．22．解（1）直线l 的普通方程是：30x y --=，曲线C 的普通方程是22y x =：（2）将直线l的标准参数方程1(2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）代入曲线22y x =可得240t -+=，所以12||||||||PA PB t t +=+=四川省成都市成都石室中学高2017届第1周数学试卷（理）解析1~5．略6．解析：由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填“s≤1112？”． 11．12．15．解析：设圆M 与y 轴切于点C ，连结,MC AC ，则//MC x 轴，又AB MB MC ==，故四边形ACMB 为菱形，故60MBA OAC ∠=∠=，于是2AB MB MC a ===，故(2)M a ，将其代入双曲线方程可得22a b =． 16．略三、解答题：略。