山东省泰安市2020届高三数学第二轮复习质量检测试题 理(含解析)
2020年山东省泰安市高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2020年山东省泰安市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x＜0}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=RC．B⊆AD．A⊆B3．设，，是非零向量，已知：命题p：∥，∥，则∥；命题q：若•=0，•=0则•=0，则下列命题中真命题是（）A．p∨qB．p∧qC．（￢p）∧（￢q）D．￢p∨q4．=（）A．B．﹣1C．D．15．执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（）A．4B．5C．6D．556．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）A．﹣32B．0C．32D．17．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角8．已知x，y满足条件，若z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则实数m的值为（）A．1或﹣B．1或﹣2C．﹣1或﹣2D．﹣2或﹣9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=110．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分.11．长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为．12．已知直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，则ab 的最大值为．13．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R，当0≤x1＜4≤x2≤12时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的最大值是．15．给出下列命题：①已知ξ服从正态分布N（0，δ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=0.3；②函数f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f（2）＞f（log2）＞f[（）2]③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3，其中正确命题的序号是（把你认为正确的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角的对边，且cosC+sinC=．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若a+c=5，b=7，求的值．17．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图）．将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男60女110合计（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标”的人数为ξ，求ξ得分布列和数学期望．附参考公式与数据：K2=P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.82818．已知正项等差数列{a n}的首项为a1=2，前n项和为S n，若a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记P n=+++…+，Q n=+++…+，证明：P n≥Q n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、M分别为CC1和A1B的中点，A1D⊥CC1，△AA1B 是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1．（1）证明：MD∥平面ABC；（2）证明：BC⊥平面ABB1A1（3）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．20．已知函数f（x）=x2+mlnx+x（1）求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，试问过点P（1，3）存在多少条直线与曲线y=g（x）相切？并说明理由．21．已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若△ABF1周长为4（1）求椭圆C的标准方程（2）P是y轴上一点，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，若P点的坐标为（0，﹣2），≤≤1，求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围．2020年山东省泰安市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数，得出其共轭复数．【解答】解：==，∴复数的共轭复数是+．故选：A．2．已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x＜0}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=RC．B⊆AD．A⊆B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】求出集合A，B，根据集合包含关系的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|y=}=（﹣∞，2]，B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），故B⊆A，故选：C．3．设，，是非零向量，已知：命题p：∥，∥，则∥；命题q：若•=0，•=0则•=0，则下列命题中真命题是（）A．p∨qB．p∧qC．（￢p）∧（￢q）D．￢p∨q【考点】命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据向量共线的性质以及向量数量积的应用，判断pq的真假即可．【解答】解：∵，，是非零向量，∴若∥，∥，则∥；则命题p是真命题，若•=0，•=0，则•=0，不一定成立，比如设=（1，0），=（0，1），=（2，0），满足•=0，•=0，但•=2≠0，则•=0不成立，即命题q是假命题，则p∨q为真命题．，p∧q为假命题．，（￢p）∧（￢q），￢p∨q都为假命题，故选：A．4．=（）A．B．﹣1C．D．1【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用两角和差的三角公式化简所给的式子，求得结果．【解答】解：==2•=2sin30°=1，故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（）A．4B．5C．6D．55【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序作用是对平方数列求和，当i的值为5时满足条件，退出循环，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得程序作用是对平方数列求和，容易得到S4=30，S5=55＞50，故输出i的值为5．故选：B．6．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）A．﹣32B．0C．32D．1【考点】二项式系数的性质．【分析】由二项式系数的性质求出n的值，再令x=1求出展开式中各项系数的和．【解答】解：二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，∴2n=32，解得n=5；令x=1，可得展开式中各项系数的和为（3×12﹣）5=32．故选：C．7．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．8．已知x，y满足条件，若z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则实数m的值为（）A．1或﹣B．1或﹣2C．﹣1或﹣2D．﹣2或﹣【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分mBC）．由z=mx+y得y=﹣mx+z，即直线的截距最大，z也最大．若m＞0，目标函数y=﹣mx+z的斜率k=﹣m＞0，要使z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则直线z=mx+y与直线x﹣y+1=0平行，此时m=﹣2，若m＜0，目标函数y=﹣mx+z的斜率k=﹣m＜0，要使z=y﹣mx取得最大值的最优解不唯一，则直线z=mx+y与直线x+y﹣2=0，平行，此时m=﹣1，综上m=﹣2或m=1，故选：B．9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．10．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分.11．长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积．欲求取到的点到O的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可．【解答】解：根据几何概型得：取到的点到O的距离大于1的概率：==．故答案为：12．已知直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，则ab 的最大值为．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由圆的方程得到圆的半径为，再由弦长为2得到直线过圆心，即得到a与b 满足的关系式，再利用基本不等式即可得到结论．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣4y=0可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，则圆心为（1，2），半径为，又由直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，则直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）过圆心，即a+2b﹣6=0，亦即a+2b=6，a＞0，b＞0，所以6=a+2b≥2，当且仅当a=2b时取等号，所以ab≤，所以ab的最大值为，故答案为：．13．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是15．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：左边是三棱柱、右边是三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：左边是三棱柱、右边是三棱锥，三棱柱底面是侧视图：等腰直角三角形，两条直角边是3，三棱柱的高是3；三棱锥的底面也是侧视图，高是1，所以几何体的体积是V==15，故答案为：15．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R，当0≤x1＜4≤x2≤12时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的最大值是．【考点】分段函数的应用．【分析】由题意作函数f（x）=的图象，从而可得1≤x1≤3，x1f（x2）=﹣x13+4，记g（x1）=﹣x13+4，则g′（x1）=﹣3+8x1=﹣3x1（3x1﹣8），从而判断函数的单调性及最值，从而求得．【解答】解：由题意作函数f（x）=的图象如下，，结合图象可知，3≤﹣+4x1≤4，解得，1≤x1≤3，故x1f（x2）=x1f（x1）=x1（﹣+4x1）=﹣x13+4，记g（x1）=﹣x13+4，g′（x1）=﹣3+8x1=﹣3x1（3x1﹣8），故g（x1）在[1，]上是增函数，在（，3]上是减函数，故x1f（x2）的最大值是g（）=，故答案为：．15．给出下列命题：①已知ξ服从正态分布N（0，δ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=0.3；②函数f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f（2）＞f（log2）＞f[（）2]③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3，其中正确命题的序号是①②（把你认为正确的序号都填上）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据随机变量ξ服从标准正态分布N（0，σ2），得到正态曲线关于ξ=0对称，利用P（﹣2＜ξ≤2）=0.4，即可求出P（ξ＞2）．②确定函数f（x）图象关于x=﹣1对称，在（﹣1，+∞）上单调递增，即可得出结论；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是a+3b=0．【解答】解：①∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），∴正态曲线关于ξ=0对称，∵P（﹣2＜ξ≤2）=0.4，∴P（ξ＞2）=（1﹣0.4）=0.3．正确；②∵函数f（x﹣1）是偶函数，∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），∴函数f（x）图象关于x=﹣1对称，∵函数f（x﹣1）在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，∵f（log2）=f（﹣3）=f（1），（）2＜1＜2，∴f（2）＞f（log2）＞f[（）2]，正确；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是a+3b=0，故不正确．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角的对边，且cosC+sinC=．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若a+c=5，b=7，求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行化简即可求∠B的大小；（Ⅱ）由余弦定理可求|AB||BC|=42，利用平面向量数量积的运算即可得解．【解答】解：（I）在△ABC中，∵cosC+sinC=，∴cosC+sinC=，∴sinBcosC+sinBsinC=sin（B+C），∴sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC，∴由于sinC≠0，可得：sinB=cosB，∴tanB=，∵B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）∵B=，a+c=5，b=7，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：49=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=175﹣3ac，解得：ac=42，即|AB||BC|=42，∴=﹣|AB||BC|cosB=﹣42×=﹣21．17．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图）．将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男60 3090女9020110合计15050200（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标”的人数为ξ，求ξ得分布列和数学期望．附参考公式与数据：K2=P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题意得“课外体育达标”人数为50，则不达标人数为150，由此列联表，求出K2=，从而得到在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关．（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为9人，在达标学生中抽取人数为3人，则ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）由题意得“课外体育达标”人数为：200×[（0.02+0.005）×10]=50，则不达标人数为150，∴列联表如下：课外体育不达标课外体育达标合计男60 30 90女90 20 110合计150 50 200∴K2==，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关．（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为：12×=9人，在达标学生中抽取人数为：12×=3人，则ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3PE（ξ）==．18．已知正项等差数列{a n}的首项为a1=2，前n项和为S n，若a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记P n=+++…+，Q n=+++…+，证明：P n≥Q n．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）通过设正项等差数列{a n}的公差为d，并利用首项和公差d表示出a2、a6，通过a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列构造方程，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知=，利用等比数列的求和公式计算可知P n=1﹣，通过裂项可知=﹣，进而并项相加即得结论．【解答】（1）解：设正项等差数列{a n}的公差为d，则d≥0，依题意，a2=2+d，a6=2+5d，∵a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列，∴（6+2d）2=（2+3）（10+5d），整理得：36+24d+4d2=50+25d，即4d2﹣d﹣14=0，解得：d=2或d=﹣（舍），∴数列{a n}的通项公式a n=2n；（2）证明：由（1）可知==，由等比数列的求和公式可知P n=+++…+==1﹣，∵==﹣，∴Q n=+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，显然，当n≥1时≥，故P n≥Q n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、M分别为CC1和A1B的中点，A1D⊥CC1，△AA1B 是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1．（1）证明：MD∥平面ABC；（2）证明：BC⊥平面ABB1A1（3）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB的中点H，连接HM，CH，根据线面平行的判定定理即可证明MD∥平面ABC；（2）根据三角形的边长关系证明三角形是直角三角形，然后结合线面垂直的判定定理即可证明BC⊥平面ABB1A1（3）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接HM，CH，∵D、M分别为CC1和A1B的中点，∴HM∥BB1，HM=BB1=CD，∴HM∥CD，HM=CD，则四边形CDMH是平行四边形，则CH=DM．∵CH⊂平面ABC，DM⊄平面ABC，∴MD∥平面ABC；（2）证明：取BB1的中点E，∵△AA1B是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1．∴C1D=1，∵A1D⊥CC1，∴A1C1==，则A1B12+A1B12=4+1=5=A1C12，则△A1B1C1是直角三角形，则B1C1⊥A1B1，∵在正三角形BA1B1中，A1E=，∴A1E2+DE2=3+1=4=A1D12，则△A1DE是直角三角形，则DE⊥A1E，即BC⊥A1E，BC⊥A1B1，∵A1E∩A1B1=A1，∴BC⊥平面ABB1A1（3）建立以E为坐标原点，EB，EA1的反向延长线，ED分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则E（0，0，0），B（1，0，0），C（1，0，1），A（2，﹣，0），A1（0，﹣，0），则设平面ABC的法向量为=（x，y，z），=（﹣1，，0），=（0，0，1），则，即，令y=1，则x=，z=0，即=（，1，0），平面ACA1的法向量为=（x，y，z），=（﹣1，，1），=（﹣2，0，0），则，得，即，令y=1，则z=﹣，x=0，即=（0，1，﹣），则cos＜，＞====，即二面角B﹣AC﹣A1的余弦值是．20．已知函数f（x）=x2+mlnx+x（1）求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，试问过点P（1，3）存在多少条直线与曲线y=g（x）相切？并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，解关于导函数的不等式，从而得到函数的单调区间；（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），求出切线斜率K，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数g（x）（x＞0），求出导函数，通过讨论①当m＜0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0，②当m＞0时，类比求解，推出当m＞0时，过点P（1，3）存在两条切线，③当m=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线．【解答】解：（1）f（x）=x2+mlnx+x，（x＞0），f′（x）=x++1==，①m≥0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）递增，②m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），则切线斜率k=1+，切线方程为y﹣（x0+alnx0）=（1+）（x﹣x0）．因为切线过点P（1，3），则3﹣（x0+alnx0）=（1+）（1﹣x0）．即m（lnx0+﹣1）﹣2=0．…①令g（x）=m（lnx+﹣1）﹣2（x＞0），则g′（x）=m（﹣）=，①当m＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=﹣2＜0．故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．因此当m＜0时，切线的条数为0．②当m＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=﹣2＜0．取x1=e1+＞e，则g（x1）=a（1++e﹣1﹣﹣1）﹣2=ae﹣1﹣＞0．故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．取x2=e﹣1﹣＜，则g（x2）=m（﹣1﹣+e1+﹣1）﹣2=me1+﹣2m﹣4=m[e1+﹣2（1+）]．设t=1+（t＞1），u（t）=e t﹣2t，则u′（t）=e t﹣2．当t＞1时，u′（t）=e t﹣2＞e﹣2＞0恒成立．所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立，所以g（x2）＞0．故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．因此当m＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．③当m=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．综上所述，当m＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；当m≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．21．已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若△ABF1周长为4（1）求椭圆C的标准方程（2）P是y轴上一点，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，若P点的坐标为（0，﹣2），≤≤1，求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得：，4a=4，a2=b2+c2，解出即可得出．（2）F2（0，﹣1）．设A（x1，y1），B（x2，y2）.=，1．﹣x1=λx2．由于四边形PAQB是平行四边形，可得==（x1+x2，y1+y2+4）．设直线AB的方程为：y=kx﹣1，与椭圆方程联立化为：（k2+2）x2﹣2kx﹣1=0，利用根与系数的关系可得：k2=，可得：k2∈．由于==，令k2=t∈，f（t）=，再利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：，4a=4，a2=b2+c2，解得a=，b=c=1．∴椭圆C的标准方程为：=1．（2）F2（0，﹣1）．设A（x1，y1），B（x2，y2）.=，1．﹣x1=λx2．∵四边形PAQB是平行四边形，==（x1+x2，y1+y2+4）．设直线AB的方程为：y=kx﹣1，联立，化为：（k2+2）x2﹣2kx﹣1=0，∴x1+x2=，x1x2=，﹣x1=λx2．可得：k2==．λ=1时，k=0．时，k2∈．综上可得：k2∈．∴y1+y2=kx1﹣1+kx2﹣1=k（x1+x2）﹣2，∴=====，令k2=t∈，f（t）=，f′（t）==＜0，∴函数f（t）在t∈上单调递减，∴f（t）∈．∴∈．2020年7月21日第21页（共21页）。
精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
2020届山东省泰安市高三第二轮复习质量检测考试数学试题(解析版)
2020届山东省泰安市高三第二轮复习质量检测考试数学试题一、单选题1．若集合()(){}120A x x x =+-<，{}ln 0B x x =>，则A B =（ ）A ．{}12x x << B ．{}11x x -<<C ．{}12x x -<<D ．{}21x x -<<【答案】A【解析】分别化简集合A 和B ，然后直接求解A B 即可【详解】∵()(){}{}12012A x x x x x =+-<=-<<，{}{}ln 01B x x x x =>=>，∴{}12A B x x ⋂=<<. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题 2．已知12iz i-=+，则z =（ ） A ．1355i - B ．1355i + C ．1355i -- D ．1355i -+ 【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由共轭复数的概念得结论. 【详解】∵()()()()21212213222555i i i i i i z i i i i -----+====-++-， ∴1355z i =+. 故选：B . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 3．已知直线l 过点P (3，0)，圆22:40C x y x +-=，则（ ） A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．l 与C 的位置关系不确定【答案】A【解析】代入计算得到点P 在圆内，得到答案. 【详解】2240x y x +-=，即()2224x y -+=，()223204-+<，故点P 在圆内，故l 与C相交. 故选：A. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，确定点P 在圆内是解题的关键.4．已知()20121nn n px b b x b x b x -=+++⋅⋅⋅+，若123,4b b =-=，则p =（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】根据二项式定理得到13b pn =-=-，()22142n n b p -==，解得答案. 【详解】()1npx -展开式的通项为：()()()11n rr rrrr n n T C px C px -+=⋅⋅-=⋅-，故()113n b C p pn =⋅-=-=-，()2222142n n n b C p p -=⋅==，解得9n =，13p =.故选：C. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可 【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共2510C =种，而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率511102P =-= 故选：D 【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.6．命题[]2:2,1,0p x x x m ∃∈-+-≤成立的充要条件是（ ）A ．0m ≥B ．14m ≥-C ．124m -≤≤ D ．2m ≥【答案】B【解析】根据题意2min ()m x x ≥+，设221124y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】[]2,1x ∃∈-，20x x m +-≤，则2m x x ≥+，故2min ()m x x ≥+，设221124y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，[]2,1x ∈-，故当12x =-时，函数有最小值为14-. 故14m ≥-. 故选：B. 【点睛】本题考查了充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力，转化为求函数的最小值是解题的关键.7．在直角三角形ABC 中，,22ACB AC BC π∠===，点P 是斜边AB 上一点，且BP =2PA ，则CP CA CP CB ⋅+⋅=（ ） A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】D【解析】如图所示：以CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，计算得到答案. 【详解】如图所示：以CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，则()0,2A ，()2,0B ，24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()()242484,0,2,2,04333333CP CA CP CB ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⋅+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查了向量的数量积的计算，建立直角坐标系可以简化运算，是解题的关键. 8．已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤或12a ≥ B ．0a ≤或13a ≥C ．0a ≤D ．0a ≥或13a ≤-【答案】A【解析】讨论0a =，0a ≠两种情况，变换得到x x xe e a-=-，设()x x g x e e -=-，求导得到单调性，画出函数()g x 和xy a=的图像，根据图像得到答案. 【详解】()()212x x af x x e e ax =--+，则()'20x x f x xe ae a =-+=，故0x x a x ae e-+=，当0a =时，()'x fx xe =，函数在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()'00f =，故函数有唯一极大值点，满足； 当0a ≠时，即x x xe e a-=-，设()x x g x e e -=-， 则()'2xxg x e e-=+≥恒成立，且()'02g =，画出函数()g x 和xy a=图像，如图所示： 根图像知：当12a ≤时，即0a <或12a ≥时，满足条件.综上所述：0a ≤或12a ≥. 故选：A.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，变换x x xe e a-=-，画出函数图像是解题的关键.二、多选题9．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm )服从正态分布，其密度曲线函数为()()()2100200,,102x f x x π--=∈-∞+∞，则下列说法正确的是（ ）A ．该地水稻的平均株高为100cmB ．该地水稻株高的方差为10C ．随机测量一株水稻，其株高在120cm 以上的概率比株高在70cm 以下的概率大D ．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm )的概率一样大 【答案】AC【解析】根据函数解析式得到100μ=，2100σ=，故A 正确B 错误，根据正态分布的对称性得到C 正确D 错误，得到答案. 【详解】()()2100200102x f x eπ--=，故100μ=，2100σ=，故A 正确B 错误；()()()1208070p x p x p x >=<><，故C 正确；根据正态分布的对称性知：()()()100110901008090p x p x p x <<=<<><<，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布的理解和应用.10．如图，正方体ABCD —1111D C B A 的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,M N ，且1MN =，则下列结论正确的是（ ）A ．AC BM ⊥B ．MN ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BMN 的体积为定值D ．△AMN 的面积与△BMN 的面积相等【答案】ABC【解析】如图所示，连接BD ，根据AC ⊥平面11BDD B 得到AC BM ⊥，A 正确，//MN BD ，故MN ∥平面ABCD ，B 正确，计算2A MNB V -=，C 正确，1BMN S =△，1AMN S >△，D 错误，得到答案.【详解】如图所示：连接BD ，易知AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 故1AC DD ⊥，故AC ⊥平面11BDD B ，BM ⊂平面11BDD B ，故AC BM ⊥，A 正确； 易知11//D B BD ，故//MN BD ，故MN ∥平面ABCD ，B 正确；11121223323A MNB BMN V S AO -=⋅=⨯⨯⨯=△为定值，故C 正确；1BMN S =△，122AMN hS MN h =⋅=△，其中h 为点A 到直线11B D 的距离，根据图像知2h >，故1AMN S >△，故D 错误； 故选：ABC.【点睛】本题考查了立体几何中直线垂直，线面平行，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，双曲线的左焦点在直线50x y ++=上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k +的取值可能为（ ） A ．34B ．1C ．43D ．2【答案】CD【解析】计算得到双曲线方程为2214x y -=，则()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，1202k y k x =+， 根据渐近线方程知：00102y x <<，代入计算得到答案. 【详解】根据题意知：12ba=，5c=，故2a=，1b=，双曲线方程为2214xy-=，则()2,0A-，()2,0B，设()00,P x y，则2214xy-=，00x>，y>，000002120022242y y x y xx x xk ky=+==+--+，根据渐近线方程知：012yx<<，故01212xk ky=>+.故选：CD.【点睛】本题考查了双曲线中斜率的计算，确定012yx<<是解题的关键.12．在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y的轨迹方程是()y f x=，则对函数()y f x=的判断正确的是（）A．函数()()22g x f x=-[]39-，上有两个零点B．函数()y f x=是偶函数C．函数()y f x=在[]86--，上单调递增D．对任意的x∈R，都有()()14f xf x+=-【答案】AB【解析】根据题意中的轨迹，画出函数图像，根据图像判断每个选项得到答案.【详解】当以A点为中心滚动时，B点轨迹为()2,0-为圆心，2为半径的14圆弧；当以D点为中心滚动时，B点轨迹为()0,0为圆心，2214圆弧；当以C 点为中心滚动时，B 点轨迹为()2,0为圆心，2为半径的14圆弧； 当以B 点为中心滚动时，B 点不动，然后周期循环，周期为8. 画出函数图像，如图所示：()()00220g f =-=，()()()88220220g f f =-=-=，A 正确；根据图像和周期知B 正确；函数()y f x =在[]0,2上单调递减，故在[]86--，上单调递减，C 错误； 取2x =-，易知()()122f f ≠--，故D 错误.故选：AB.【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图像确定周期是解题的关键.三、填空题13．函数cos 434y x x =+的单调递增区间为______.【答案】(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】化简得到2sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取242262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得答案. 【详解】cos 4342sin 46y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，取242262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得(),26212k k x k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的单调区间，意在考查学生的计算能力.14．北京大兴国际机场为4F 级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于2019年9月25日正式通航.目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示；若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有______种不同的安排方法.(用数字作答).【答案】10【解析】根据题意，共有2412A =种选择，排除西一跑道、西二跑道都没有的2种选择，得到答案. 【详解】不考虑西一跑道、西二跑道共有2412A =种选择，排除西一跑道、西二跑道都没有的222A =种选择，共有10种选择.故答案为：10. 【点睛】本题考查了排列的应用，利用排除法可以简化运算，是解题的关键.15．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________． 【答案】144π【解析】易知当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O 的半径为R ，列方程求解即可.【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥的体积最大， 设球O 的半径为R ，此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝×R 2×R ＝R 3＝36， 故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.故答案为144π. 【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题.四、双空题16．已知抛物线()2:20C x py p =>的准线方程为1y =-，直线:3440l x y -+=与抛物线C 和圆2220x y y +-=从左至右的交点依次为A 、B 、E 、F ，则抛物线C 的方程为______，EF AB=______.【答案】24x y = 16【解析】计算2p =，故抛物线方程为24x y =，联立方程得到114y =，24y =，计算14AB =，4EF =，得到答案.【详解】 根据题意知12p-=-，故2p =，故抛物线方程为24x y =，设焦点为()0,1M ， 2220x y y +-=，即()2211x y +-=，直线:3440l x y -+=过圆心，联立方程243440x y x y ⎧=⎨-+=⎩，得到241740y y -+=，解得114y =，24y =.故1111144AB AM =-=+-=，14114EF FM =-=+-=，故16EF AB =. 故答案为：24x y =；16.【点睛】本题考查了抛物线方程，抛物线中的弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.五、解答题17．在①5462a b b =+，②()35144a a b b +=+，③24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为{},n n S b 是等差数列.已知11a =，32214352,S S a a a b b -=+=+，__________.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+，求n T . 【答案】（1）1,.n n n a b n -=2=（2）()12 1.n n T n =-⋅+【解析】（1）直接利用等差数列等比数列公式计算得到答案.（2）2nn n a b n =⋅，利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）方案一：选条件①：设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+，220q q ∴--=，解得2q 或1q =-，0q >，2q ∴=，12n na .设等差数列{}n b 的公差为d ，435546,2a b b a b b =+=+，1126831316b d b d +=⎧∴⎨+=⎩，解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，12,n n n a b n -∴==.方案二：选条件②：设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+，220q q ∴--=，解得2q 或1q =-，0q >，2q ∴=，12n na .设等差数列{}n b 的公差为d ，()4353514,4a b b a a b b =++=+，11268235b d b d +=⎧∴⎨+=⎩， 解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，12,.n n n a b n -∴==方案三：选条件③，设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+，220q q ∴--=，解得2q 或1q =-，0q >，2q ∴=，12n na .设等差数列{}n b 的公差为d ，4352423,5a b b b S a b =+=，112680b d b d +=⎧∴⎨-=⎩，解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，12,.n n n a b n -∴==（2）12,n n n a b n -==，1122n n n T a b a b a b ∴=++⋅⋅⋅+()01211222122n n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，()12121222122n n n T n n -∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，12112222n nn T n -∴-=+++⋅⋅⋅+-⨯12221212nn n n n n -=-⨯=--⨯-，()12 1.n n T n ∴=-⋅+【点睛】本题考查了等差数列等比数列通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18．如图，在△ABC 中，5:5:3,1sin 5AD DC BD A ===，，0BA BD ⋅=（1）求BC 的长度；（2）若E 为AC 上靠近A 的四等分点，求sin DBE ∠. 【答案】（1）2BC =（2310【解析】（1）计算得到5cos ADB ∠=35DC =，利用余弦定理计算得到答案.（2）根据余弦定理得到5BE =，利用正弦定理计算得到答案. 【详解】（1）0BA BD ∴⋅=，BA BD ∴⊥，在ABD ∆中，1BD =，sin A =，AD ∴=，cos ADB ∠=:5:3AD DC =，DC ∴=，在BCD ∆中，cos 5BDC ∠=-，222=2cos BC CD BD CD BD BDC ∴+-⨯⨯⨯∠9=121555⎛+-⨯⨯- ⎝⎭=4 2BC ∴=.（2）由（1）知AB =2，14AE AC ==cos A =， ABE ∆中，2222cos BE AB AE AB AE A =+-⨯⨯⨯44225=+-⨯85=，5BE ∴=，在sin =55BDE DE BDE ∆=∠中，，sin sin DE BE DBE BDE =∠∠，sin sin 10DE BDE DBE BE ⨯∠∴∠==. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中AB AC ⊥，，侧面11ABB A 是正方形，3,AB AC ==（1）证明：平面11AB C ⊥平面11A BC ； （2）若16AM AC =，求二面角11M BC A --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）3π 【解析】（1）证明11A C ⊥平面11ABB A 得到111AB AC ⊥，证明1AB ⊥平面11A BC 得到答案.（2）如图，以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，求得平面1MBC 的一个法向量为61,,15n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1AB 是平面11A BC 的一个法向量，计算向量夹角得到答案.【详解】 （1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，111AA AC ∴⊥，AB AC ⊥，1111A C A B ∴⊥，又111,AA A B ⊂平面111111,ABB A AA A B A ⋂=，11A C ∴⊥平面11ABB A ，又1AB ⊂平面11ABB A ，111AB AC ∴⊥，又侧面11ABB A 为正方形，11A B AB ∴⊥，又111,A C A B ⊂平面11A BC ，1111A B A C A =，1AB ∴⊥平面11A BC ，又1AB ⊂平面11AB C ，∴平面11AB C ⊥平面11A BC .（2）如图，以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()()()()()110,0,3,0,3,3,0,3,0,36,0,0,36,0,3A B B C C ，()()136,0,0,0,3,3AC AB ∴==-，()()10,3,0,36,3,3AB BC ==--，MB AB AM ∴=-16AB AC =-62⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面1MBC 的一个法向量为(),,1n x y =，则100n MB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得6155x y ==，61,,155n ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，又1AB 是平面11A BC 的一个法向量，13315cos ,2321825n AB -∴==-⨯，12,3n AB π∴=， ∴二面角11M BC A --的大小为3π.【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20．某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是16，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开始在第0站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳两站；若掷出其余点数，则棋子向前跳一站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束；设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望；（2）证明：()()1111983n n n n P P P P n +--=--≤≤； （3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜，请分析这个游戏是否公平.【答案】（1）详见解析（2）证明见解析；（3）游戏不公平，详见解析【解析】（1）随机变量X 的所有可能取值为3，4，5，6，计算概率得到分布列，计算得到数学期望.（2）根据题意得到112133n n n P P P +-=+，化简得到()1113n n n n P P P P +--=--.（3）计算得到9998972133P P P =+，10099P P <，得到答案. 【详解】（1）随机变量X 的所有可能取值为3，4，5，6，()()3213282143,4327339P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2323212115,6339327P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列为：()842134564279927E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）由题意知，当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况：①由第n 站跳1站得到，其概率为23n P ； ②由第()1n -站跳2站得到，其概率为113n P -112133n n n P P P +-∴=+，()111211333n n n n n n n P P P P P P P +--∴-=+-=--， ()()1111983n n n n P P P P n +-∴-=--≤≤， （3）由（2）知，当棋子落到第99站游戏结束的概率为9998972133P P P =+， 当棋子落到第100站游戏结束的概率为1009813P P =， 10099P P <，∴最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率， ∴游戏不公平.【点睛】本题考查了分布列和数学期望，数列的递推公式，概率的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e 满足223220e e -+=，以坐标原点为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆与直线2450x y -+=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P (0，1)的动直线l (直线l 的斜率存在)与椭圆C 相交于A ，B 两点，问在y 轴上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得APQ BPQSQA QB S=恒成立？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）存在；定点()0,2Q【解析】（1）根据点到直线距离公式计算得到2a =，计算2e =，得到答案. （2）设()()()()11220,1,,,,Q m m A x y B x y ≠，直线l 的方程为1y kx =+，联立方程得到12122242,2121k x x x x k k +=-=-++，sin sin APQ BPQS QA PQA SQB PQB∠=∠，得到QA QB k k =-，计算得到答案. 【详解】（1）由题意知0045241a -+=+，2a ∴=，由223220e e -+=，解得22e =或2e =，故2c =2b ∴= ∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）存在，假设y 轴上存在与点P 不同的定点Q ，使得APQ BPQSQA QB S=恒成立，设()()()()11220,1,,,,Q m m A x y B x y ≠，直线l 的方程为1y kx =+，由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2221420k x kx ++-=，12122242,2121k x x x x k k ∴+=-=-++， ()222168213280k k k ∆=++=+>， 1sin sin 21sin sin 2APQ BPQQP QA PQA S QA PQA S QB PQB QP QB PQB ∆∆∠∠==∠∠， APQ BPQS QA QBS=，sin sin PQA PQB ∴∠=∠，PQA PQB ∴∠=∠，QA QB k k ∴=-，1212y m y mx x --∴=-，()()121212m x x kx x ∴-+=，即()2242122121k m k k k --=-++， 解得2m =，∴存在定点()0,2Q ，使得APQBPQS QA QB S ∆∆=恒成立. 【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22．已知函数()()()11,0xx f x x e x e x -=++-≥.（1）证明：()1011x f x x e x ⎛⎫≤≤+-⎪+⎝⎭； （2）若()32cos 2x x g x ax x x x e ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，当[]()()0,1,x f x g x ∈≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）(],3-∞-【解析】（1）()()xxf x x e e-'=-，得到()0f x '≥，()00f =得到()0f x ≥，整理得到()()221x e x ≥+，即1x e x ≥+，令()()10xx e x x ϕ=--≥，证明()0x ϕ≥得到答案.（2）当[]0,1x ∈时，要证()()f x g x ≥即证()32112cos 02xx x eax x x -⎛⎫+-+++≥ ⎪⎝⎭，令()22cos 2x G x x =+，证明()G x 在[]01，上是减函数，得当3a ≤-时，()()f x g x ≤在[]01，上恒成立，再证明3a >-时，()()f x g x ≥在[]01，上不恒成立，得到答案.【详解】（1）()()xxf x x e e-'=-，当0x ≥时，1,1xx ee -≥≤，()0f x '∴≥，()f x ∴在[)0+∞，上是增函数，又()00f =，()0f x ∴≥.由()111x f x x e x ⎛⎫≤+-⎪+⎝⎭整理得()()221x e x ≥+，即1x e x ≥+， 令()()10xx e x x ϕ=--≥，即()'10xx e ϕ=-≥，()x ϕ∴在[)0+∞，上是增函数，又()0x ϕ=，()0x ϕ∴≥，1x e x ∴≥+，()111x f x x e x ⎛⎫∴≤+- ⎪+⎝⎭，综上，()1011x f x x e x ⎛⎫≤≤+-⎪+⎝⎭. （2）当[]0,1x ∈时，要证()()f x g x ≥，即证()()3112cos 2xxx x x e x e ax x x x e -⎛⎫++-≥+++ ⎪⎝⎭，只需证明()32112cos 02xx x eax x x -⎛⎫+-+++≥ ⎪⎝⎭.由（1）可知：当[]0,1x ∈时，()()()110xx f x x e x e -=++-≥，即()211xx ex -+≥-，()332112cos 112cos 22xx x x eax x x x ax x x-⎛⎫∴+-+++≥----- ⎪⎝⎭第 21 页 共 21 页 212cos 2x x a x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭， 令()22cos 2x G x x =+，则()2sin G x x x '=-， 令()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，当[]0,1x ∈时，()0H x '<，()G x '∴在[]01，上是减函数，故当[]0,1x ∈时，()()00G x G ''≤=，()G x ∴在[]01，上是减函数，()()0=2G x G ∴≤，()13a G x a ∴++≤+，故当3a ≤-时，()()f x g x ≤在[]01，上恒成立.当3a >-时，由（1）可知：()221x e x ≥+，即()2111x x e x -+≤+， ()3321112cos 12cos 212x x x x e ax x x ax x x x-⎛⎫∴+-+++≤---- ⎪+⎝⎭ 32cos 12x x ax x x x -=---+212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭， 令()()2112cos 121x I x a x a G x x x=+++=++++，则()()()211I x G x x -''=++， 当[]0,1x ∈时，()0I x '<，()I x ∴在[]01，上是减函数，()I x ∴在[]01，上的值域为[]12cos1,3a a +++.3a >-，30a ∴+>，∴存在[]00,1x ∈，使得()00I x >，此时()()00f x g x <故3a >-时，()()f x g x ≥在[]01，上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(],3-∞-.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
【数学】山东省泰安市2020届高三第二轮复习质量检测数学试题答案
槡 ， ２ａ ＝ ０ － ０ ＋ ４ ５ 槡４ ＋ １
∴ ａ ＝２
由 槡 ２ｅ２ － ３ ２ｅ ＋ ２ ＝ ０
解得 槡或 槡（舍） 分 ｅ
＝
２ ２
ｅ＝ ２
２
槡 ∴ ｂ ＝ ２
椭圆 的方程为 分 ∴
Ｃ
ｘ２ ４
＋
ｙ２ ２
＝ １．
４
７
高三第二轮复习质量检测数学试题参考答案 第 页（共 页） 公
１
７
分 ＝ １ － ２ｎ － ｎ × ２ｎ ＝ ２ｎ － １ － ｎ × ２ｎ １ －２
９
（ ）· 分 ∴ Ｔｎ ＝ ｎ － １ ２ｎ ＋ １． １０
方案二：选条件 ：②
（）设等比数列｛ ｝的公比为 １
ａｎ
ｑ．
， ∵ ａ１ ＝ １ Ｓ３ － Ｓ２ ＝ ａ２ ＋ ２ａ１
解得 或 ∴ ｑ２ － ｑ － ２ ＝ ０ ｑ ＝２ ｑ ＝ －１
∵ ｑ ＞０
∴ ｑ ＝２
分 ∴ ａｎ ＝ ２ｎ － １ ． ２
设等差数列｛ ｝的公差为 ｂｎ
ｃｏｓ∠ＢＤＣ
＝
－
５ ５
∴ ＢＣ２ ＝ ＣＤ２ ＋ ＢＤ２ － ２ × ＣＤ × ＢＤ × ｃｏｓ∠ＢＤＣ
槡 （ 槡） ＝
９ ５
＋
１
－
２
×
３ ５
５
×
１
×
－
５ ５
分 ＝ ４
∴ ＢＣ ＝ ２ ６
（）由（）知Leabharlann ， 槡， 槡 ２１ＡＢ ＝ ２
ＡＥ ＝
１ ４
令 （） （ ），则 （） ， φ ｘ ＝ ｅｘ － ｘ － １ ｘ≥０
φ′ ｘ ＝ ｅｘ － １≥０
山东省泰安市数学2020届高中毕业班文数第二次质量检测试卷
山东省泰安市数学2020届高中毕业班文数第二次质量检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） (共12题；共60分)1. （5分） (2016高一上·哈尔滨期中) 不等式＞0的解集为（）A . {x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞3}B . {x|﹣3＜x＜﹣1，或x＞2}C . {x|x＜﹣3，或﹣1＜x＜2}D . {x|x＜﹣3，或x＞2}2. （5分） (2017高二下·深圳月考) 复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （5分）若，则是成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （5分） (2020高三上·贵阳期末) 如图的折线图是某超市2018年一月份至五月份的营业额与成本数据，根据该折线图，下列说法正确的是（）A . 该超市2018年的前五个月中三月份的利润最高B . 该超市2018年的前五个月的利润一直呈增长趋势C . 该超市2018年的前五个月的利润的中位数为0.8万元D . 该超市2018年前五个月的总利润为3.5万元5. （5分） (2017高二上·广东月考) 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A .B .C .D .6. （5分）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC中点，则=（）A . -3B . 0C . -1D . 17. （5分） (2019高二上·南宁期中) 已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .8. （5分）已知函数y=sin（ωx﹣π）（ω＞0）在x=时取得最大值，则ω的最小值为（）A .B .C .D .9. （5分） (2018高二上·长春月考) 如果执行下面的程序框图，那么输出的s＝（）．A . 10B . 22C . 46D . 9410. （5分）若数列满足，，则此数列是（）A . 等差数列B . 等比数列C . 既是等差数列又是等比数列D . 既非等差数列又非等比数列11. （5分） (2018高一下·宜昌期末) 当圆锥的侧面积和底面积的比值是 2 时，圆锥侧面展开图的圆心角等于（）A .B .C .D .12. （5分）方程的实数解所在的区间是（）A .B .C .D .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） (共4题；共20分)13. （5分） (2016高二上·如东期中) 若圆x2+（y﹣2）2=1与椭圆 =1的三个交点构成等边三角形，则该椭圆的离心率的值为________14. （5分） (2017高二下·吉林期末) 已知定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上是减函数．若f(1－m)<f(m)，则实数m的取值范围是________．15. （5分） (2018高二上·宜昌期末) 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为________元.16. （5分） (2016高三上·连城期中) 如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距10海里的C处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要________小时到达B处．三、解答题（本大题共6小题，共70分。
山东省济南市2024届高三下学期高考针对性训练(5月模拟)数学试题含答案
绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。
2020年山东省泰安市高考数学二模试卷（一）（有答案解析）
2020年山东省泰安市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|3-2x＜1}，B={x|4x-3x2≥0}，则A∩B=（）A. （1，2]B.C. [0，1）D. （1，+∞）2.已知i为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则a的值为（）A. 2B.C.D. -23.函数的最小正周期为（）A. 4πB.C. 2πD. π4.为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④5.根据如下样本数据x34567y 4.0 2.5-0.50.5-2.0得到的回归方程为．若a=7.9，则x每增加1个单位，y就（）A. 增加 1.4个单位B. 减少 1.4个单位C. 增加 1.2个单位D. 减少 1.2个单位6.已知x，y满足约束条件则z=2x+y的取值范围是（）A. [2，4]B. [4，6]C. [2，6]D. （-∞，2]7.执行如图所示的程序框图，若输入的S=12，则输出的S=（）A. -8B. -18C. 5D. 68.某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积是（）A. 8πB.C. 12πD. 48π9.设函数f′（x）为函数f（x）=xsinx的导函数，则函数f′（x）的图象大致为（）A.B.C.D.10.设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，点P到坐标原点O的距离等于双曲线焦距的一半，且|PF1|+|PF2|=4a，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）=，g（x）=f（x）-ax+a，若g（x）恰有1个零点，则a的取值范围是（）A. [-1，0]∪[1，+∞）B. （-∞，-1]∪[0，1]C. [-1，1]D. （-∞，-1]∪[1，+∞）12.若函数上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B. C. a≥１ D. 1＜a＜3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P为棱AA1上任意一点，则四棱锥P-BDD1B1的体积为______14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，则B=______．15.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为______．16.抛物线C：y2=4x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A（-1，0），当取得最小值时，直线AP的方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a5=21，a1，a3，a9依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，∠PDA=90°，∠PDC=120°，AD∥BC，∠BCD=90，△ABD是等边三角形，E是PA的中点，．（1）求证：AD⊥BE；（2）求三棱锥P-ABD的体积．19.某社区为了解居民参加体育锻炼情况，随机抽取18名男性居民，12名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查．现按参加体育锻炼的情况将居民分成3类：甲类（不参加体育锻炼），乙类（参加体育锻炼，但平均每周参加体育锻炼的时间不超过5个小时），丙类（参加体育锻炼，且平均每周参加体育锻炼的时间超过5个小时），调查结果如表：甲类乙类丙类男性居民3123女性居民633（1）根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关？男性居民女性居民总计不参加体育锻炼参加体育锻炼总计（2）从抽出的女性居民中再随机抽取2人进一步了解情况，求所抽取的2人中乙类，丙类各有1人的概率．附：P（K2≥k0）0.100.050.01k0 2.706 3.841 6.63520.已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F1，离心率，过点A的直线与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1，若．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过圆E：x2+y2=4上任意一点P作圆E的切线l，l与椭圆交于M，N两点，以MN为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．21.已知函数f（x）=（x-m）lnx（m≤０）．（1）若函数f（x）存在极小值点，求m的取值范围；（2）当m=0时，证明：f（x）＜e x-1．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为，以坐标原点O为极）．点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ（1）求曲线C的普通方程；（2）过点P（1，0）作直线l的垂线交曲线C于M，N两点，求的值．23.已知函数f（x）=|2x-a|（a∈R）．（1）当a=4时，解不等式f（x）＜8-|x-1|；（2）若不等式f（x）＞8+|2x-1|有解，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|3-2x＜1}={x|x＞1}，B={x|4x-3x2≥0}={x|0}，∴A∩B={x|1＜x}．故选：B．2.答案：C解析：解：∵的实部与虚部相等，∴4-a=2a+2，即a=．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：函数=sin2x+?=sin（2x+）+的最小正周期为=π，故选：D．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．4.答案：C解析：解：甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．故选：C．根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．本题考查了茎叶图，属基础题．5.答案：B解析：解：设变量x，y的平均值为：，，∴==5，=0.9，∴样本中心点（5，0.9），∴0.9=5×b+7.9∴b=-1.4，∴x每增加1个单位，y就减少 1.4．故选：B．首先，根据所给数据，计算样本中心点（5，0.9），然后，将改点代人回归方程，得到b=-1.4，从而得到答案．本题重点考查了回归直线方程的特征、回归直线方程中回归系数的意义等知识，属于中档题．6.答案：C解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，解得A（2，2），B（0，2），化目标函数z=2x+y为y=-2x+z，由图可知，当直线y=-2x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2；当直线y=-2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．∴z的取值范围是[2，6]．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.答案：A解析：解：模拟程序的运行，可得S=12，n=1执行循环体，S=10，n=2不满足条件S+n≤０，执行循环体，S=6，n=3不满足条件S+n≤０，执行循环体，S=0，n=4不满足条件S+n≤０，执行循环体，S=-8，n=5满足条件S+n≤０，退出循环，输出S的值为-8．故选：A．关键框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S的值本题考查了循环结构的程序框图，关键框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题．8.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2．把该三棱锥补形为正方体，则正方体对角线长为．∴该三棱柱外接球的半径为：．则球O的表面积是：4=12π．故选：C．由三视图还原原几何体，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2，然后利用分割补形法求解．本题考查空间几何体的三视图，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．9.答案：B解析：【分析】求出函数f（x）的导数f′（x），结合函数的奇偶性，定义域，单调性的性质进行判断．本题主要考查函数导数的性质，以及函数图象的判断，求函数的导数，利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键．【解答】解：f'（x）=sinx+xcosx，所以f'（x）为奇函数，故C错误，又f'（π）=-π，只有B符合，故选：B．10.答案：D解析：解：点P到坐标原点O的距离等于双曲线焦距的一半，可得PF1⊥PF2，可设P为双曲线右支上一点，可得|PF1|-|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=4a，解得|PF1|=3a，|PF2|=a，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即为9a2+a2=4c2，可得e==．故选：D．由题意可得PF1⊥PF2，可设P为双曲线右支上一点，可得|PF1|-|PF2|=2a，结合条件和勾股定理、以及离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查直角三角形的判断和勾股定理的运用，以及方程思想和化简能力，属于中档题．11.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于较难题.根据条件先判断x=1是函数g（x）的一个零点，等价于当x≠１时，函数f（x）=a（x-1），没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由g（x）=f（x）-ax+a=0得f（x）=a（x-1），∵f（1）=1-3+2=0，∴g（1）=f（1）-a+a=0，即x=1是g（x）的一个零点，若g（x）恰有1个零点，则当x≠１时，函数f（x）=a（x-1），没有其他根，即a=，没有根，当x＜1时，设h（x）====x-2，此时函数h（x）为增函数，则h（1）→-1，即此时h（x）＜-1，当x＞1时，h（x）==，h′（x）=＜0，此时h（x）为减函数，此时h（x）＞0，且h（1）→１，即0＜h（x）＜1，作出函数h（x）的图象如图：则要使a=，没有根，则a≥１或-1≤a≤０，即实数a的取值范围是[-1，0]∪[1，+∞），故选：A．12.答案：A解析：解：函数f（x）=（cosx+sin x）（cosx-sin x-4a）+（4a-3）x=（cos2x-sin2x）-2a（cosx+sinx）+（4a-3）x，=cos2x-2a（cosx+sinx）+（4a-3）x，∴f′（x）=-sin2x-2a（-sin x+cosx）+（4a-3），设t=sin x-cosx=sin（x-），则x∈[0，]时，x-∈[-，]，∴t∈[-1，1]，且sin2x=1-t2，∴f′（x）化为g（t）=-（1-t2）+2at+（4a-3）=t2+2at+4a-4；由题意知g（t）=t2+2at+4a-4≥０恒成立，其中t∈[-1，1]；当-a≤-1，即a≥１时，g（t）在[-1，1]上单调递增，∴g（t）的最小值为g（-1）=1-2a+4a-4≥０，解得a≥；当-1＜-a＜1，即-1＜a＜1时，g（t）在[-1，1]内先减后增，∴g（t）的最小值为g（-a）=a2-2a2+4a-4≥０，解得a=2，不合题意；当-a≥１，即a≤-1时，g（t）在[-1，1]上单调递减，∴g（t）的最小值为g（1）=1+2a+4a-4≥０，解得a≥，不合题意；综上所述，实数a的取值范围的a≥．故选：A．化简函数f（x）并求导数，利用导数判断函数单调递增时，导数大于或等于0，再求得a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性应用问题，也考查了转化法与分类讨论思想，是难题．13.答案：解析：【分析】四棱锥P-AA1C1C的体积等于三棱柱的体积减去两个三棱锥的体积．本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于基本知识的考查．【解答】解：=V正方体=，==故答案为：．14.答案：解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由正弦定理化简已知等式可得a2+c2-b2=ac，利用余弦定理可求cosB=，结合范围B∈（0，π），可得B的值．【解答】解：在△ABC中，由=，及正弦定理得：，整理可得：a2+c2-b2=ac，所以，cosB===，所以，由B∈（0，π），可得：B=．故答案为：．15.答案：解析：【分析】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题．结合已知及向量的基本定理可得，结合已知，可求m，t．【解答】解：由题意及图，，又，∴，∴，又，∴，解得，．故答案为：．16.答案：x+y+1=0或x-y+1=0解析：解：设P点的坐标为（4t2，4t），∵F（1，0），A（-1，0）∴|PF|2=（4t2-1）2+16t2=16t4+8t2+1|PA|2=（4t2+1）2+16t2=16t4+24t2+1∴（）2==1-=1-≥１-=1-=，当且仅当16t2=，即t=±时取等号，此时点P坐标为（1，2）或（1，-2），此时直线AP的方程为y=±（x+1），即x+y+1=0或x-y+1=0，故答案为：x+y+1=0或x-y+1=0，设P点的坐标为（4t2，4t），根据点与点的距离公式，可得（）2==1-，再根据基本不等式求出t的值，即可求出直线AP的方程本题考察了抛物线的定义，转化为基本不等式求解，属于中档题．17.答案：解：（1）公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a5=21，可得2a1+5d=21，a1，a3，a9依次成等比数列，可得a32=a1a9，即（a1+2d）2=a1（a1+8d），解得a1=d=3，则a n=3n；（2）S n=n（n+1），=?=（-），可得前n项和T n=（1-+-+…+-）=（1-）=．解析：（1）设公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，可得=?=（-），再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.答案：（1）证明：取AD中点F，连接BF，EF，∵E，F分别为AP，AD的中点，AD⊥PD，∴AD⊥EF，又△ABC是正三角形，∴AD⊥BF，∵BF∩EF=F，∴AD⊥平面BEF，又BE?平面BEF，∴AD⊥BE；（2）解：∵AD∥BC，∠BCD=90°，∴AD⊥CD，又AD⊥PD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，又AD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PCD，过点P作PH⊥CD，交CD的延长线于点H，则PH⊥平面ABCD，在直角三角形PDH中，∠PDH=60°，PD=2，∴PH=，∴．解析：（1）取AD中点F，连接BF，EF，结合已知证得AD⊥EF，又△ABC是正三角形，得AD⊥BF，由线面垂直的判定可得AD⊥平面BEF，进一步得到AD⊥BE；（2）由AD∥BC，∠BCD=90°，得AD⊥CD，再由AD⊥PD，得AD⊥平面PCD，可得平面ABCD⊥平面PCD，过点P作PH⊥CD，交CD的延长线于点H，则PH⊥平面ABCD，求解直角三角形PDH得PH=，再由棱锥体积公式求三棱锥P-ABD的体积．本题考查空间中直线与直线、直线与平面间位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：（1）根据表中的统计数据，填写列联表如下；男性居民女性居民总计不参加体育锻炼369参加体育锻炼15621总计181230计算K2==3.81＞2.706，所以有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关；（2）记三名乙类女性居民为A、B、C，三名丙类居民为d、e、f，从抽出的6名女性居民中随机抽取2人，基本事件为AB、AC、Ad、Ae、Af、BC、Bd、Be、Bf、Cd、Ce、Cf、de、df、ef共15个；抽出的两人中乙类、丙类各1人的基本事件为Ad、Ae、Af、Bd、Be、Bf、Cd、Ce、Cf共9种，所以所抽取的2人中乙类，丙类各有1人的概率为P==．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．（1）根据表中数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；20.答案：解：（1）∵e==，∴a=c，b=c，设B（-c，y0）代入椭圆方程，可得|y0|=b，∴S△=|y0|?|F1A|=b2（1+），∴b2（1+）=3+，∴b2=6，a2=12，∴椭圆C的标准方程为+=1．（2）：当切线l的斜率不存在时，以MN为直径的圆的圆心分别为（2，0），（-2，0），MN=4时，以MN为直径的圆的标准方程为（x+2）2+y2=4，（x-2）2+y2=4，易得两圆相切且切点为坐标原点，∴以MN为直径的圆过坐标原点，当切线l的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2）．设切线的方程为：y=kx+m，则d==2，即m2=4（1+k2）．由，消y整理可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-12=0，∴x1+x2=-，x1x2=．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．∴?=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=-+m2===0．∴OM⊥ON．∴以MN为直径的圆过定点原点O（0，0）．综上所述MN为直径的圆恒过坐标原点．解析：（1）由三角形面积可得b2（1+）=3+，根据离心率可得b=c，结合隐含条件求出a，b，c的最值，则椭圆方程可求；（2）当切线的斜率不存在时，直接解出验证；当切线的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2）．设切线的方程为：y=kx+m，由圆心到直线的距离可得m2=2（1+k2）．把切线方程代入椭圆方程可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-12=0，利用根与系数的关系即可证明?=0，结论得证．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切及其直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=+ln x=1-+ln x，①当m=0时，f′（x）=0得x=，当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，∴x=是函数f（x）的极小值点，满足题意②当m＜0吋，令g（x）=f′（x），g'（x）=+=，令g′（x）=0，解得x=-m，当x∈（0，-m）时，g′（x）＜0当x∈（-m，+∞）时，g'（x）＞0∴g（x）min=g（-m）=2+ln（-m），若g（-m）≥０，即m≤-e-2时，f'（x）=g（x）≥０恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点，不满足题意．若g（-m）=2+ln（-m）＜0，即-e-2＜m＜0时，g（1-m）=1-+ln（1-m）＞0∴g（-m）？g（1-m）＜0，又g（x）在（-m，+∞）上单调递增，∴g（x）在（-m，+∞）上恰有一个零点x1，当x∈（-m，x1）时，f'（x）=g（x）＜0，当e∈（x1，+∞）时，f'（x）=g（x）＞0，∴x1是f（x）的极小值点，满足题意，综上，-e-2＜m≤０（2）当m=0时，f（x）=xlnx，，①当x∈（0，1]，e x-1＞0，xlnx≤０∴f（x）＜e x-1，②当x∈（1，+∞）时．，令h（x）=e x-xlnx-1，h'（x）=e x-lnx-1，令φ（x）=h′（x），则φ′（x）=e x-，（x）＞φ′（1）=e-1＞0，（x）在（1，+∞）上是増函数，∴φ＇∵φ＇∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，h′（x）=φ（x）＞φ（1）=e-1＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=e-1＞0，∴x＞1时，xlnx＜e x-1成立，综上f（x）＜e x-1．解析：（1）求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系进行讨论求解即可．（2）求函数的导数，讨论x的取值范围，结合函数单调性和最值之间的关系进行证明即可．本题主要考查导数的综合应用，结合函数的极值，单调性和导数之间的关系，转化为导数问题，以及构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．22.答案：解（1）由题意知ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，所以曲线C的普通方程为：x2+y2-2x-2y=0．（2）∵直线l的斜率为，∴直线MN的斜率为：-，∴直线MN的参数方程为：（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程得t2-t-1=0，设M，N对应的参数为t1，t2，则t1+t2=1，t1t2=-1，∴+==|t1-t2|===．，所以曲线C的普通方程为：x2+y2-2x-2y=0；解析：（1）由题意知ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ（2）先求出直线MN的参数方程，再根据参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）a=4时，不等式f（x）＜8-|x-1?|2x-4|+|x-1|＜8?或或，解得-1＜x＜，综上，不等式的解集为（-1，）．（2）原不等式有解，即不等式|2x-a|-|2x-1|＞8有解，令g（x）=|2x-a|-|2x-1|，x-a-2x+1|=|a-1|，∵|2x-a|-|2x-1|≤|2∴g（x）max=|a-1|，∴|a-1|＞8，解得a＞9或a＜-7．∴a的取值范围是a＞9或a＜-7．解析：（1）a=4时，分3段去绝对值解不等式组再相并；（2）原不等式有解，即不等式|2x-a|-|2x-1|＞8有解，再构造函数利用绝对值不等式的性质求出最大值代入可解得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷文数文档：第一部分+考点五+程序框图+Word版含解析
考点五程序框图一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入() A．A＝12＋AB．A＝2＋1AC．A＝11＋2AD．A＝1＋12A答案A解析对于选项A，A＝12＋A.当k＝1时，A＝12＋12，当k＝2时，A＝12＋12＋12，故A正确；经验证选项B，C，D均不符合题意．故选A.2．(2019·湖北八校第二次联考)如图程序中，输入x＝ln 2，y＝log32，z＝12，则输出的结果为()A．x B．y C．z D．无法确定答案A解析图中程序的功能是输出x，y，z的最大值，因为ln 3>1，所以y＝log32＝ln 2ln 3<ln 2＝x，x＝ln 2>ln e＝12＝z，所以输出x.3．(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于()A．2－124B．2－125C．2－126D．2－127答案C解析＝0.01，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝12，x<不成立；s＝1＋12，x＝14，x<不成立；s＝1＋12＋14，x＝18，x<不成立；s＝1＋12＋14＋18，x＝116，x<不成立；s＝1＋12＋14＋18＋116，x＝132，x<不成立；s＝1＋12＋14＋18＋116＋132，x＝164，x<不成立；s＝1＋12＋14＋18＋116＋132＋164，x＝1128，x<成立，此时输出s＝2－126.故选C.4．(2019·山东临沂三模)秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献．他所创立的秦几韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法．用秦九韶算法将f(x)＝2019x2018＋2018x2017＋2017x2016＋…＋2x＋1化为f(x)＝(…((2019x＋2018)x＋2017)x＋…＋2)x＋1再进行运算，计算f(x0)的值时，设计了如图所示的程序框图，则在◇和▭中可分别填入()A．n≥2和S＝Sx0＋n B．n≥2和S＝Sx0＋n－1C．n≥1和S＝Sx0＋n D．n≥1和S＝Sx0＋n－1答案C解析由题意可知，当n＝1时程序循环过程应该继续进行，n＝0时程序跳出循环，故判断框中应填入n≥1，由秦九韶算法的递推关系可知矩形框中应填入的递推关系式为S＝Sx0＋n，故选C.5．(2019·河南八市重点高中联考)相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x的值为()A.6481 B.3227 C.89 D.1627答案B解析由题意，执行循环结构的程序框图，可得第1次循环：x＝23，i＝2，不满足判断条件；第2次循环：x＝89，i＝3，不满足判断条件；第3次循环：x＝3227，i＝4，满足判断条件，输出结果3227，故选B.6．(2019·辽宁丹东质量测试(一))计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制数1,2,3,4的二进制数分别表示为1,10,11,100，二进制数…dcba化为十进制数的公式为…dcba＝a·20＋b·21＋c·22＋d·23＋…，例如二进制数11等于十进制数1·20＋1·21＝3，又如二进制数101等于十进制数1·20＋0·21＋1·22＝5，如图是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的程序框图，则判断框内应填入的条件是()A．i>4 B．i≤4 C．i>5 D．i≤5答案B解析在将二进制数11111化为十进制数的程序中循环次数由循环变量i决定，∵11111共有5位，因此要循环4次才能完成整个转换过程，∴退出循环的条件根据程序框图和答案选项，应设为i≤4，故选B.7．(2019·黑龙江哈尔滨三中二模)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是()A．i<20，S＝S－1i，i＝2iB．i≤20，S＝S－1i，i＝2iC ．i <20，S ＝S 2，i ＝i ＋1D ．i ≤20，S ＝S 2，i ＝i ＋1答案 D解析 根据题意可知，截取1天后S ＝12，所以满足S ＝S 2，不满足S ＝S －1i ，故排除A ，B ；由框图可知，计算截取20天后的剩余时，有S ＝S 2，且i ＝21，所以循环条件应该是i ≤20.故选D.8．(2019·湖北重点中学高三起点考试)美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a ，n ，ξ的值分别为8,2,0.5，每次运算都精确到小数点后两位，则输出的结果为( )A ．2.81B ．2.82C ．2.83D ．2.84答案 D解析 输入a ＝8，n ＝2，ξ＝0.5，m ＝82＝4，n ＝4＋22＝3，|4－3|＝1>0.5；m＝83≈2.67，n ≈2.67＋32≈2.84，|2.67－2.84|＝0.17<0.5，输出的结果为2.84.二、填空题9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为12，则输入的实数x的值是________．答案2解析因为输出的结果为12，所以有⎩⎪⎨⎪⎧log2x＝12，x>1或⎩⎪⎨⎪⎧x－1＝12，x≤1.解得x＝ 2.所以输入的实数x的值为 2.10．(2019·辽宁沈阳育才学校八模)我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举．这个伟大创举与古希腊的算法——“辗转相除法”实质一样．如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入a ＝288，b＝123时，输出的a＝________.答案3解析解法一：按照程序框图运行程序，输入：a＝288，b＝123，则r＝42，a＝123，b＝42，不满足r＝0，循环；则r＝39，a＝42，b＝39，不满足r＝0，循环；则r＝3，a＝39，b＝3，不满足r＝0，循环；则r＝0，a＝3，b＝0，满足r＝0，输出a＝3.解法二：程序框图的功能为“辗转相除法”求解两个正整数的最大公约数，因为288与123的最大公约数为3，所以a＝3.11．(2019·安徽A10联盟最后一卷)《九章算术》中有如下问题：“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半马．’马主曰：‘我马食半牛．’今欲衰偿之，问各出几何？”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知1斗＝10升，针对这一问题，设计程序框图如图所示，若输出k的值为2，则m＝________.答案50 7解析运行该程序，第一次循环，S＝50－m，k＝1；第二次循环，S＝50－3m，k＝2；第三次循环，S＝50－7m，此时要输出k的值，则50－7m＝0，解得m＝50 7.12．(2019·湖北七校联盟期末)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝746，则I(a)＝467，D(a)＝764)，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的a为123，则输出的b为________．答案495解析由程序框图，知第一次循环a＝123，b＝321－123＝198；第二次循环a＝198，b＝981－189＝792；第三次循环a＝792，b＝972－279＝693；第四次循环a＝693，b＝963－369＝594；第五次循环a＝594，b＝954－459＝495；第六次循环a＝495，b＝954－459＝495，满足条件a＝b，跳出循环体，输出495.一、选择题1．(2019·湖南衡阳三模)著名的“3n＋1猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成 1.如图的程序框图示意了“3n＋1”猜想，则输出的n为()A．5 B．6 C．7 D．8答案B解析a＝10是偶数，a＝5，n＝1，a>1，a＝5是奇数，a＝16，n＝2，a>1，a＝16是偶数，a＝8，n＝3，a>1，a＝8是偶数，a＝4，n＝4，a>1，a＝4是偶数，a＝2，n＝5，a>1，a＝2是偶数，a＝1，n＝6，a≤1成立，输出n＝6，故选B.2．(2019·福建高三检测)程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为()A．120 B．84 C．56 D．28答案B解析i＝0，n＝0，S＝0；i＝1，n＝1，S＝1，i≥7，否；i＝2，n＝3，S＝1＋3，i≥7，否；i＝3，n＝6，S＝1＋3＋6，i≥7，否；i＝4，n＝10，S＝1＋3＋6＋10，i≥7，否；…i＝7，n＝28，S＝1＋3＋6＋10＋15＋21＋28，i≥7，是；输出S＝84.3．(2019·湖南长沙高三统考)若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为N＝r(mod m)，例如10＝2(mod 4)．如图所示程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i等于()A．3 B．9 C．27 D．81答案C解析第一次执行循环体，得i＝3，N＝14，此时14＝2(mod 3)，但14≠1(mod 7)．第二次执行循环体，得i＝9，N＝23，此时23＝2(mod 3)，但23≠1(mod 7)．第三次执行循环体，得i＝27，N＝50，此时50＝2(mod 3)，且50＝1(mod 7)，退出循环，所以输出i的值为27，故选C.4．(2019·江西九校重点中学协作体第一次联考)《九章算术》是中国古代数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．”翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出更相减损术的程序图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为()A．3 B．6 C．7 D．8答案C解析∵a＝114，b＝30，满足a，b都是偶数，则a＝a2＝57，b＝b2＝15，k＝2；不满足a，b都是偶数，且不满足a＝b，满足a>b，则a＝57－15＝42，n＝1，不满足a＝b，满足a>b，则a＝42－15＝27，n＝2，不满足a＝b，满足a>b，则a＝27－15＝12，n＝3，不满足a＝b，不满足a>b，则c＝12，a＝15，b＝12，则a＝15－12＝3，n＝4，不满足a＝b，不满足a>b，则c＝3，a＝12，b＝3，则a＝12－3＝9，n＝5，不满足a＝b，满足a>b，则a＝9－3＝6，n＝6，不满足a＝b，满足a>b，则a＝6－3＝3，n＝7，满足a＝b，结束循环，输出n＝7，故选C.5．(2019·江西新八校第二次联考)如图所示的程序框图所实现的功能是()A．输入a的值，计算(a－1)×32021＋1B．输入a的值，计算(a－1)×32020＋1C．输入a的值，计算(a－1)×32019＋1D．输入a的值，计算(a－1)×32018＋1答案B解析由程序框图，可知a1＝a，a n＋1＝3a n－2，由i的初值为1，末值为2019，可知，此递推公式共执行了2019＋1＝2020次，又由a n＋1＝3a n－2，得a n＋1－1＝3(a n－1)，得a n－1＝(a－1)×3n－1，即a n＝(a－1)×3n－1＋1，故a2021＝(a－1)×32021－1＋1＝(a－1)×32020＋1，故选B.6．(2019·四川泸州第二次质量诊断)某班共有50名学生，其数学学业水平考试成绩记作a i(i＝1,2,3，…，50)，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是()A．求该班学生数学学业水平考试的不合格人数B．求该班学生数学学业水平考试的不合格率C．求该班学生数学学业水平考试的合格人数D．求该班学生数学学业水平考试的合格率答案D解析执行程序框图，可知输入50个学生成绩a i，k表示该班学生数学成绩为该班学生数学学业水平考试的合格合格的人数，程序结束时i＝51，输出的ki－1率，故选D.7．如果每对兔子(一雄一雌)每月能生殖一对小兔子(也是一雄一雌，下同)，且每对小兔子刚出生的前两个月没有生育能力，但从出生后的第三个月开始便能每月生一对小兔子．假定这些兔子都不发生死亡现象，现有一对刚出生的兔子，那么从这对兔子刚出生开始，到第十个月会有多少对兔子呢？同学A据此建立了一个数列模型，设F(0)＝0，第n个月兔子的对数为F(n)，由此得到F(1)＝1，F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥2，n∈N*)．如图是同学B根据同学A的数列模型设计的程序框图，求该数列的前10项和，则在空白框内分别填入的语句是()A．P＝M；n≤9? B．N＝P；n≤9?C．P＝M；n≤10? D．N＝P；n≤10?答案B解析F(1)＝1，F(2)＝1，F(3)＝2，F(4)＝3，F(5)＝5，F(6)＝8，F(7)＝13，F(8)＝21，F(9)＝34，F(10)＝55，输出的S＝F(0)＋F(1)＋F(2)＋…＋F(10)．由程序框图可知，当n＝2时，S＝0＋1，P＝0＋1＝1，S＝1＋1，M＝1，N＝1；当n ＝3时，S＝0＋1＋1＋2，则处理框内应填入“N＝P”，排除A，C；又最终输出S 时，n＝10，所以判断框内应填入“n≤9？”，故选B.8．(2019·河北邯郸一模)我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是( )答案 B解析 由题意得，田的价值S ＝300x ＋5007y ，可排除C ，亩数x ＋y ＝100.由⎩⎨⎧ 300x ＋5007y ＝10000，x ＋y ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12.5，y ＝87.5，若初始变量x ＝0.5，则累加变量x ＝x ＋3满足题意，故选B. 二、填空题9．(2019·湘赣十四校第一次联考)执行如图所示的程序框图，则输出n 的值为________．答案23解析当n＝7时，可知n＝2×7＋1＝15，又i＝1＋1＝2<3，循环；当n＝15时，可知n＝15－4＝11，又i＝2＋1＝3，循环；当n＝11时，可知n＝2×11＋1＝23，又i＝3＋1＝4>3，输出n，则n＝23.10．(2019·广西南宁第一次适应性考试)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中13的酒量”，即输出值是输入值的13，则输入的x＝________.答案21 23解析 i ＝1时，x ＝2x －1；i ＝2时，x ＝2(2x －1)－1＝4x －3；i ＝3时，x ＝2(4x－3)－1＝8x －7；i ＝4时，退出循环．此时，8x －7＝13x ，解得x ＝2123.11．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为________．(参考数据：3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)答案 24解析 由程序框图，n ，S 值依次为：n ＝6，S ≈2.598；n ＝12，S ＝3；n ＝24，S ≈3.1056，此时满足S ≥3.10，输出n ＝24.12．(2019·山东德州一模)在《九章算术》中记载着一道关于“持金出关”的题目，大意是：“在古代出关要交税．一天，某人拿钱若干出关，第1关交所拿钱数的12，第2关交所剩钱数的13，第3关交所剩钱数的14，…”．现以这则故事中蕴含的数学思想，设计如图所示的程序框图，则运行此程序，输出n 的值为________．答案6解析n＝1，a＝72，S＝0，S<60，是；S＝0＋11×2×72＝36，n＝2，S<60，是；S＝36＋12×3×72＝48，n＝3，S<60，是；S＝48＋13×4×72＝54，n＝4，S<60，是；S＝54＋14×5×72＝57.6，n＝5，S<60，是；S＝57.6＋15×6×72＝60，n＝6，S<60，否；输出n＝6.。
山东省泰安市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
山东省泰安市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，设平面α分别交11A D 、11C D 于点E 、F ，连接DE 、DF 、EF ，取CD 的中点G ，连接PG 、1C G ，连接11A C 交11B D 于点N ，推导出11//B P C G ，由线面平行的性质定理可得出1//C G DF ，可得出点F 为11C D 的中点，同理可得出点E 为11A D 的中点，结合中位线的性质可求得11MD MB 的值. 【详解】 如下图所示：设平面α分别交11A D 、11C D 于点E 、F ，连接DE 、DF 、EF ，取CD 的中点G ，连接PG 、1C G ，连接11A C 交11B D 于点N ，Q 四边形ABCD 为正方形，P 、G 分别为AB 、CD 的中点，则//BP CG 且BP CG =，∴四边形BCGP 为平行四边形，//PG BC ∴且PG BC =，11//B C BC Q 且11B C BC =，11//PG B C ∴且11PG B C =，则四边形11B C GP 为平行四边形， 11//B P C G ∴，1//B P Q 平面α，则存在直线a ⊂平面α，使得1//B P a ，若1C G ⊂平面α，则G ∈平面α，又D ∈平面α，则CD ⊂平面α， 此时，平面α为平面11CDD C ，直线1A Q 不可能与平面α平行， 所以，1C G ⊄平面α，1//C G a ∴，1//C G ∴平面α，1C G ⊂Q 平面11CDD C ，平面11CDD C I 平面DF α=，1//DF C G ∴，1//C F DG Q ，所以，四边形1C GDF 为平行四边形，可得1111122C EDG CD C D ===，F ∴为11C D 的中点，同理可证E 为11A D 的中点，11B D EF M =Q I ，11111124MD D N B D ∴==，因此，1113MD MB =. 故选：B. 【点睛】本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面α与正方体各棱的交点位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*4750,,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，显然当5599y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D. 【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题. 3．已知函数()2ln e x f x x =，若关于x 的方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3(0,)4B． C．3)4D． 【答案】C 【解析】 【分析】求导，先求出()f x在(x ∈单增，在)x ∈+∞单减，且max 1()2f x f ==知设()f x t =，则方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根等价于方程 2108t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.【详解】依题意，2432ln (12ln )()e x xe xe x xf x x x '⋅--==， 令()0f x '=，解得1ln 2x =，x =x ∈时，()0f x '>，当)x ∈+∞，()0f x '<，且12f ==， 故方程2108t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根，故121212011()()022010t t t t t t ∆>⎧⎪⎪-->⎪⎨⎪<+<⎪>⎪⎩，210211082401m m m ⎧->⎪⎪⎪-+>⎨⎪<<⎪⎪⎩解得3,)24m ∈. 故选：C. 【点睛】本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：(1)构造法：构造函数()g x (()g x '易求，()=0g x '可解)，转化为确定()g x 的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出()g x 的图象草图，数形结合求解；(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ） AB1 C．3- D1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得易知2p c =，且222222222444p a b p b p a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解方程可得2222a p b p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用222c e a =即可求解. 【详解】易知2p c =，且2222222222222444a p p a b p b p a a b b p ⎧⎧=⎪⎪-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩故有2223c e a==-1e ==故选：B 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题5．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】 计算313cossin 3322πππ=+=+i ei i ，得到答案. 【详解】根据题意cos sin ixe x i x =+，故313cossin 332πππ=+=+i e i i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力. 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．73【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可. 【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．7．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC V 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C 15D ．155【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，求出cos C ，根据平方关系求出sin C .由2CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r 两端平方，求ab 的最大值，根据三角形面积公式in 12s S ab C =，求出ABC V 面积的最大值. 【详解】ABC V 中，()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，由正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，整理得22212c a b ab =+-， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()115cos ,0,,sin 44C C C π=∈=Q . Q D 是AB 的中点，且1CD =，()()222,2CD CA CB CDCA CB ∴=+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，即22242CD CA CB CA CB =++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ，即222211542cos 2222b a ba C a b ab ab ab ab =++=++≥+=，85ab ∴≤，当且仅当a b =时，等号成立.ABC ∴V 的面积118sin 225S ab C =≤⨯所以ABC V 故选：A . 【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题. 8．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可.【详解】解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D. 【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题. 9．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④ B ．①②C ．①③D ．②④【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．10．已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ）A ．[32ln 2,2)-B ．[32ln 2,2]-C ．[1,2)e -D ．[1,2]e -【答案】A 【解析】分析：作出函数()f x 的图象，利用消元法转化为关于n 的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数()f x 的图象，如图所示，若m n <，且()()f m f n =， 则当ln(1)1x +=时，得1x e +=，即1x e =-， 则满足01,20n e m <<--<≤，则1ln(1)12n m +=+，即ln(1)2m n =+-，则22ln(1)n m n n -=+-+， 设()22ln(1),01h n n n n e =+-+<≤-，则()21111n h n n n -=+=++'， 当()0h n '>，解得11n e <≤-，当()0h n '<，解得01n <<，当1n =时，函数()h n 取得最小值()1122ln(11)32ln 2h =+-+=-， 当0n =时，()022ln12h =-=；当1n e =-时，()1122ln(11)12h e e e e -=-+--+=-<，所以32ln 2()2h n -<<，即n m -的取值范围是[32ln 2,2)-，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.11．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()U A B =I ð（ ） A ．()0,3 B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+【答案】B 【解析】 【分析】可解出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】{}()2300,3B x x x =-<=Q ，{}2A x x =<，则[)2,U A =+∞ð，因此，()[)2,3U A B =I ð.故选：B. 【点睛】本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 12．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-U 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案. 【详解】()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A.故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届高考理数二轮复习常考题型大通关(全国卷)：第11题+考点二+椭圆+Word版含答案
第11题 考点二 椭圆1、椭圆 2212516x y += 的左、右焦点分别为 12,F F ，弦AB 过点1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为 π，,A B 两点的坐标分别为 ()11,x y 和 ()22,x y ，则 21y y -∣∣ 的值是 （ ）B.103C. 203D.532、过椭圆2241x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 3、已知椭圆221(0)259x y a b +=>>的两个焦点分别为1F ,2F , P 是椭圆上一点,且1260F PF ∠=o ,则12F PF △的面积等于（ ）A. B.C.6D.34、已知椭圆22142y x +=的两个焦点是12F F ，，点P 在该椭圆上，若122PF PF －＝，则12PF F △的面积是( )B.2C. 5、已知椭圆：2221(02)4x y b b +=<<左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B两点，若22BF AF +u u u u r u u u u r的最大值为5，则b 的值是（ ）A.1B.C.326、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两顶点为()(),0,0A a B b ，，且左焦点为F ，是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )7、过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=︒,则椭圆的离心率为( )A.B.C.12D.138、已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的右焦点为F,过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12BCD 9、直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=的位置关系为( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定10、已知直线2y x m =+与椭圆22:15x C y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点.当AOB △的面积取得最大值时，AB =( )11、直线143x y +=与椭圆221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上存在点P 使得PAB △的面积等于4，这样的点P 共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个12、斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为（ ）A.2 13、已知椭圆的标准方程为2221(1)x y a a+=>,上顶点为A ,左顶点为B ,设点P 为椭圆上一点,PAB △1,若已知点(M N ,点Q 为椭圆上任意一点,则14||||QN QM +的最小值( )A.2B.94C.3D.3+14、椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为( )A.916B.932C.964D.932- 15、已知椭圆()2222:=10y x C a b a b+>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,M N ，过2F 的直线l 交C 于,A B 两点（异于,M N ），1AF B △的周长为，且直线AM 与AN 的斜率之积为23-，则C 的方程为( )A.22=1128y x +B.22=1124y x +C.22=132y x + D.22=13x y +答案以及解析1答案及解析： 答案：A 解析：椭圆：，a=5，b=4，∴c=3，左、右焦点()13,0F -、()23,0F ，△2ABF 的内切圆面积为π，则内切圆的半径为12r =， 而△2ABF 的面积12 A F F =△的面积12BF F +△的面积1122121212211113222y F F y F F y y F F y y =⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯=-（）（A 、B 在x 轴的上下两侧） 又△2ABF 的面积()221112|25222r AB BF F A a a a =⨯++=⨯+==（． 所以 2135y y -=， 2153y y -=．故选A ．2答案及解析： 答案：B解析：根据题意画出图形（如图所示），∵12||2AF AF +=，12||2BF BF +=， ∴1212||44AF AF BF BF a +++==. 即22|4|AF AB BF ++=. 故选B.3答案及解析： 答案：B解析：如图所示,椭圆2210259()x y a b +=>>,可得225,3,4a b c a b ===-=.设12,||||PF m PF n ==， 则210m n a +==，在12F PF △中,由余弦定理可得：22222(c )os60c m n mn =+-︒,可得2(34)6m n mn +-=,即210364mn -=，解得12mn =.∴12F PF △的面积113sin 60123322S mn =︒=⨯⨯=.故选：B.4答案及解析： 答案：A解析：由椭圆方程可知2,2a c ==，且1224PF PF a +==，又122PF PF -=，所以123,1PF PF ==，又12222F F c ==2221212PF PF F F =+，即12PF F △为直角三角形，所以1212211221222PF F S F F PF ==⨯△ A5答案及解析： 答案：D解析：由椭圆定义，得2248AB AF BF a ++==，所以当线段AB 长度达最小值时， 22BF AF +u u u u r u u u u r 有最大值.当AB 垂直于x 轴时，222min ||222b b AB b a =⨯=⨯=，所以22BF AF +u u u u r u u u u r 的最大值为285b -=，所以23b =，即3b = D.6答案及解析： 答案：B解析：由题意得，有()2222b a a c a ++=+，化简得210e e +-=，解得51e -=. 故本题正确答案为B.7答案及解析： 答案：B解析：由题意得,知2,b P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭,又1260F PF ∠=︒,有232b a a =,从而可得3c e a ==,故选B.8答案及解析： 答案：D 解析：如图，2b c =，则222b c =， 即2222(a c c -)=,则2223a c =，∴2223c a =，即e 63c a ==． 故选：D ．9答案及解析： 答案：B解析：直线1y kx k =-+可变形为1(1)y k x -=-，故直线恒过定点(1,1)，而该店在椭圆22194x y +=的内部，所以直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=相交，故选B10答案及解析： 答案：A解析：由22215y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222120550x mx m ++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212122055,2121m m x x x x -+=-=， 22221212520(21)102112()4m m AB x x x x --=++-==. 又O 到直线AB 的距离5m d =，则AOB △的面积22222155(21)1522212m m m m S d AB +-⨯-=⋅=≤=， 当且仅当2221m m =-，即2212m =时，AOB △的面积取得最大值.此时，2102154221m AB -==. 故选A11答案及解析： 答案：B解析：如图，5AB =，142AB h ⋅=，85h =.设点P 的坐标为()4cos 3sin ϕϕ，，2π[0)ϕ∈，，代入34120x y +-=中，12(sin cos )12855ϕϕ+-=π22143ϕ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭π22143ϕ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭时，π52sin 146ϕ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭π22143ϕ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭时，π2sin 46ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时有两解.∴符合条件的点P 共有2个.12答案及解析：答案：C解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，直线l 的方程为y x t =+，由2244x y y x t ⎧+=⎨=+⎩消去y ，得22584(0)1x tx t +-+=.则1285x x t +=-，2124(1)5t x x -=.∴12AB x -==故当0t =时，max AB =.13答案及解析： 答案：B解析：易得直线AB 的斜率1AB k a =,直线AB 的方程为11y x a=+,当PAB △的面积最大时,过点P 的直线与椭圆相切且与AB 平行,设该直线的方程为1y x m a =+,联立22211x y a y x ma ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,得2222220x amx a m a ++-=.由0∆=,得2222248()0a m a m a --=,解得22m =,分析知当PAB△的面积最大时,m =此时切线方程为1y x a=则点P 到直线AB的距离d ==又||AB =所以PAB△的面积1||12S AB d =⋅,所以2a =,所以(M N 分别为椭圆的左、右焦点,所以||||24QM QN a +==,则141411||||9(||||)1||||||||444||||4QM QN QM QN QN QM QN QMQN QM ⎛⎫+=+⋅+=+++≥ ⎪⎝⎭,当且仅当||2||QM QN =时取等号.故选B.14答案及解析： 答案：D解析：设弦的两端点为1122(,),(,)A x y B x y ， 代入椭圆得2211222211691169x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得12121212()()()()0169x x x x y y y y +-+-+=，即12121212()()()()169x x x x y y y y +-+-=， 即121212129()16()x x y y y y x x +--=+-， 即121292164y y x x -⨯-=⨯-， 即1212932y y x x -=--， ∴弦所在的直线的斜率为932-. 故选D.15答案及解析： 答案：C解析：由1AF B △的周长为1212|||||4|||AF AF BF BF a +++==.解得a())0,0M N.设点()00,A x y ，由直线AM 与AN 的斜率之积为23-23y y =-.即()2200233y x =--.① 又2200213x y b +=，所以2220013x y b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，② 由①②解得：22b =.所以椭圆C 的方程为22132y x +=.故选C.。
2020届山东省泰安第二中学高三12月测试数学试题(解析版)
2020届山东省泰安第二中学高三12月测试数学试题一、单选题1．已知集合M =}{46y y x =-+，P ={(x ，})32y y x =+，则M P 等于（ ）A ．（1,2）B ．{}{}12⋃C ．(){}1,2D ．∅【答案】D【解析】分析两个集合中元素的类型可得. 【详解】因为集合M 是数集,集合P 是点集,两个集合没有公共元素, 所以两个集合的交集为空集. 故选D . 【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题. 2．设z ii z+=,则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先由已知条件求得11122i z i i -==--，再确定z 在复平面内对应的点位于的象限即可. 【详解】解：由题意知()1,z i i -=-, 即11122i z i i -==--， 故z 在复平面内对应的点位于第四象限， 故选D. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属基础题. 3．己知向量()1,2OA =-，()3,OB m =.若OA ⊥AB ，则m 的值为( ) A ．32B ．4C ．-32D ．-4【答案】B【解析】根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得m 的值.【详解】依题意()4,2AB m =-，由于OA ⊥AB ，所以()()1,24,24240m m -⋅-=-+-=，解得4m =. 故选B. 【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量减法的坐标运算，属于基础题.4．722x ⎛⎫- ⎝的展开式中，4x 项的系数为（ ） A ．-280 B ．280 C ．-560 D ．560【答案】C【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于4，求出r 的值，即可求得结果． 【详解】在27(2x 的展开式中，通项公式为T r +1772r r C -=(﹣1）r 10143rx-，令14103r-=4， 求得r ＝3，可得x 4项的系数为()347312C -＝﹣560，故选C ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式及系数的求解，属于基础题． 5．把直线y x =绕原点逆时针转动，使它与圆22230x y y ++-+=相切，则直线转动的最小正角度（）． A ．3πB ．2π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角． 【详解】解析：由题意，设切线为y kx =1=.∴0k =或k =∴k =∴最小正角为2362πππ-=. 故选B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．6．如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ） A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的定义来对各选项的正误进行判断. 【详解】因为甲是乙的充要条件，所以乙⇔甲；又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒丙． 综上，丙⇒甲，但甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 故选A. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，考查逻辑推理能力，属于基础题. 7．菱形ABCD 的边长为2，现将ACD △沿对角线AC 折起使'ACD ACB ⊥平面平面，求此时所成空间四面体体积的最大值（ ）A ．27B ．9C ．1D 【答案】A【解析】在等腰三角形'ACD ∆中，取AC 的中点为O ，则有'D O AC ⊥，通过'ACD ACB ⊥平面平面，根据面面垂直的性质定理，可以证明出'D O ABC ⊥平面，设ABC ADC α∠∠＝＝，(0,)απ∈，在ACD ∆中，cos 2cos22DO AD αα==，由题意可知：'2cos2D O α=，这样可以求出空间四面体体积的表达式，通过换元法，利用导数，可以求出空间四面体的体积的最大值.【详解】设AC 的中点为O ，因为''D C D A =，所以'D O AC ⊥，又因为'ACD ACB ⊥平面平面，'ACD ACB AC ⋂=平面平面，所以'D O ABC ⊥平面，设ABC ADC α∠∠＝＝，(0,)απ∈，在ACD ∆中，cos 2cos22DO AD αα==，由题意可知：'2cos2D O DO α==，122sin 2sin 2ABCSαα=⨯⨯=''221488sin cos sin cos sin 1sin 033232232222ABC D ABC V SD O ααααααπα-⎛⎫⎛⎫=⨯===-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭设sin2t α=，则()'383D ABC V t t -=-，且01t ＜＜， ∴()'28133D ABC V t '-=-， ∴当303t <<时，'0D ABC V -'>，当313t <<时，'0D ABC V -'<， ∴当3t =时，'ABC D V ﹣163，∴四面体'D ABC 163． 故选A ． 【点睛】本题考查了空间四面体体积最大值问题，正确求出体积的表达式，利用同角的三角函数关系、二倍角的正弦公式、换元法、导数法是解题的关键. 8．己知函数()()()|g 1l |01xf x x aa =--<<有两个零点1x ，2x ，则有（ ）A ．121x x <B ．1212x x x x <+C ．1212x x x x =+D ．1212x x x x >+【答案】B【解析】将函数()()()|g 1l |01xf x x aa =--<<有两个零点1x ，2x ,转化为: 函数()x h x a =，则()()lg 1g x x =-与()x h x a =的图象有两个交点,作出图象,根据图像可得: 1212x x <<<,由此去绝对值,利用12x x a a >可得. 【详解】解：因为函数()f x 有两个零点，故方程()()lg 101x x a a -=<<有两个解1x ，()212x x x <.设函数()()lg 1g x x =-，函数()xh x a =，则()()lg 1g x x =-与()xh x a =的图象有两个交点， 如图所示:由图象知，1212x x <<<，所以1011x <-<,211x ->, 所以()11lg 1xx a --=，()22lg 1xx a -=，因为01a <<且12x x <，所以12x x a a >，得()()12lg 1lg 1x x -->-，()()12lg[11]0x x --<，即()()120111x x <--<，整理得，1212x x x x <+. 故选B.【点睛】本题考查了函数的零点,数形结合思想,指数函数的单调性与对数的运算,属于中档题.二、多选题9．已知25a b m ==，现有下面四个命题中正确的是（ ） A ．若a b =，则1m = B ．若10m =，则111a b += C ．若a b =，则10m = D ．若10m =，则111+2a b =【答案】AB【解析】当a b =时，由2()15a=可得0a =，进而得1m =，当10m =时 ，利用指对互化及换底公式可得111a b+=. 【详解】当a b =时，由25a b m ==，可得2()15a=，则0a =，此时1m =，所以A 正确； 当10m =时，由25a b m ==，可得25log 10,log 10a b ==， 则11lg 2lg51a b+=+=，所以B 正确. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题.10．若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ,则下面四个命题中错误的是（ ）A ．若C 为椭圆,则13t <<B ．若C 为双曲线,则3t >或1t < C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<【答案】AD【解析】就t 的不同取值范围分类讨论可得曲线C 表示的可能的类型. 【详解】若3t >，则方程可变形为22113y x t t -=--，它表示焦点在y 轴上的双曲线；若1t <，则方程可变形为22131x y t t-=--，它表示焦点在x 轴上的双曲线；若23t <<，则031t t <-<-，故方程22131x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；若12t <<，则013t t <-<-，故方程22131x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆；若2t =，方程22131x y t t +=--即为221x y +=，它表示圆，综上，选AD. 【点睛】一般地，方程221mx ny +=为双曲线方程等价于0mn <，若0,0m n ><，则焦点在x轴上，若0,0m n <>，则焦点在y 轴上；方程221mx ny +=为椭圆方程等价于0,0m n >>且m n ≠，若m n >，焦点在y 轴上，若m n <，则焦点在x 轴上；若0m n =>，则方程为圆的方程.11．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AB ，CC 1的中点，△MB 1P 的顶点P 在棱CC 1与棱C 1D 1上运动，则（ ）A ．平面MB 1P ⊥ND 1 B ．平面MB 1P ⊥平面ND 1A 1C ．△MB 1P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值 D ．△MB 1P 在侧面DD 1C 1C 上的射影图形是三角形 【答案】BC【解析】A. 由,P N 重合时判断；B. 结合由正方体的性质，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判断C. 由△MB 1P 在底面ABCD 上的射影的三角形的底边是MB ，点P 的射影到MB 的距离不变判断；D. 由1,P C 重合时判断. 【详解】A. 当,P N 重合时，平面MB 1P ⊥ND 1不可能，故错误；B. 由正方体的性质得111111111,,MB A D MB D N A D D N D ⊥⊥⋂=,所以MB 1⊥平面又1MB ⊂平面MB 1P ，所以平面MB 1P ⊥平面ND 1A 1，故正确；C. △MB 1P 在底面ABCD 上的射影的三角形的底边是MB ，点P 在底面ABCD 上的射影在DC 上，所以点P 当MB 的距离不变，即射影图形的面积为定值，故正确；D. 当1,P C 重合时，1,P B 在侧面DD 1C 1C 上的射影重合，所以射影不能构成三角形，故错误； 故选：BC 【点睛】本题主要考查直线与平面，平面与平面的位置关系以及投影的概念，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.12．已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R ，都有()()f x f x =-及()()()42f x f x f +=+成立，当[]12,0,2x x ∈且12x x ≠时，都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，下列四个结论中正确的是（ ）A ．()20f =B ．函数()f x 在区间[]6,4--上为增函数C ．直线4x =-是函数()f x 的一条对称轴D ．方程()0f x =在区间[]6,6-上有4个不同的实根 【答案】ACD【解析】由()()f x f x =-，得到函数()f x 为偶函数，又由当[]12,0,2x x ∈且12x x ≠时，都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，得到()f x 在[0,2]为增函数，再根据()()()42f x f x f +=+，得出函数为周期为4的函数，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为R ，以为对于任意x ∈R ，都有()()f x f x =-，可得函数()f x 为偶函数， 又因为当[]12,0,2x x ∈且12x x ≠时，都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦成立， 可得函数()f x 在区间[0,2]为增函数，又由()()()42f x f x f +=+，令2x =-，可得()()()222f f f =-+， 解得()()220f f -==，所以()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期为4的周期则函数的图形，如图所示，由图象可得()20f =，所以A 正确；函数()f x 在区间[6,4]--上为减函数，所以B 不正确； 直线4x =-是函数()f x 的一条对称轴，所以C 正确；方程()0f x =在区间[6,6]-上6,2,2,6--，共有4个不同的实数根，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，此类问题解答的一般步骤为：先确定函数的定义域，再化简解析式，求出函数的解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数相似，根据函数的定义域和解析式画出函数的图象，结合函数的图象再分析函数的性质进行求解.三、填空题13．语文里流行一种特别的句子，正和反读起来都一样的，比如：“上海自来水来自海上”、“中山自鸣钟鸣自山中”，那么在所有的4位数中符合这个规律且四个数字不能都相同的四位数有______种． 【答案】81【解析】根据题意可知求4位数的回文数且四个数字不能都相同，由分步计数原理即可求解． 【详解】设4位数的回文数为xyyx ，即可知4位数的回文数为91090⨯=， 又因为四个数字不能都相同，需减掉x y =，即形如xxxx 共9， 所以90981-=故答案为81 【点睛】本题考查分步计数原理，同时需理解“回文数”，属于基础题．14sin 3αα+=，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【答案】59-【解析】先逆用两角和的正弦得到sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令3παθ=-，则cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值即为cos2θ-的值，利用二倍角的余弦值可求此值. 【详解】sin 3αα+=可以得到12sin 23αα⎫+=⎪⎪⎝⎭，所以sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，设3πθα=+，则3παθ=- 则222333πππαθπθ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭， 所以()245cos 2cos 2cos 22sin 11399παπθθθ⎛⎫-=-=-=-=-=-⎪⎝⎭.故答案为59-. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.15．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒且14BB =，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O -ABC 的体积为2，则球O 的表面积的最小值是_____________． 【答案】28π【解析】设AB c =，=AC b ，则BC 取BC ，11B C 的中点分别为2O ，1O ，外接球的球心为O ，则O 为12O O 的中点即O 为三棱柱外接球的球心，由三棱锥的体积可得6bc =，表示出2R ，根据基本不等式即可得到球的表面积的最小值． 【详解】 如图，在Rt ABC △中，设AB c =，=AC b ，则22BC b c =+ 取BC ，11B C 的中点分别为2O ，1O ，则2O ，1O 分别为Rt ABC △和111Rt A B C △的外接圆的圆心，连接2O 1O ，又直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心为O ，则O 为2O 1O 的中点，连接OB ，则OB 为三棱柱外接球的半径．设半径为R ，因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1214BB O O ==，所以三棱锥O ABC -的高为2，即22OO =，又三棱锥O ABC -体积为2，所以1122632O ABC V bc bc -=⨯⨯=⇒=．在2Rt OO B △中，2222222221()4424b c b c R BC OO ++⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2=4πS R =球表22224π4π()16π2π16π12π16π28π4b c b c bc ⎛⎫++=+++=+= ⎪⎝⎭≥，当且仅当b c =时取“=”，所以球O 的表面积的最小值是28π，故答案为28π. 【点睛】本题主要考查借助直三棱柱的外接球，考查了基本不等式、球的表面积等，属于中档题．四、双空题16．双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为_____，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4,1),且与双曲线C 具有相同渐近线,则双曲线1C 的标准方程为_______．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)由焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程可得；(2)设224xy λ-=,代入点(4,1)求得λ即可. 【详解】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上,且1,2a b ==,渐近线方程为a y x b =±, 故渐近线方程为12y x =± 故答案为12y x =±(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线,可设221:4y C x λ-=,代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-,故212:34x C y -=-,化简得221123y x -=故答案为221123y x -=【点睛】本题主要考查双曲线22221y x a b -=渐近线的方程为a y x b =±,与22221y x a b-=共渐近线方程可设为2222y x a b λ-=五、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,23n n S a n =-（n ∈N ）． （1）证明数列{3}n a +是等比数列，求出数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析，3(21)nn a =-；(2)不存在 【解析】(1)由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求出1a 、2a 以及1323n n a a -+=+，即可证明数列{3}n a +是等比数列，进而写出{}n a 的通项公式；(2)假设数列{}n a 中存在三项构成等差数列：1m n k >>≥，m a 、n a 、k a ，由等差中项性质2n m k a a a =+，结合(1)的通项公式有1221n k m k -+-=+即出现矛盾，即不存在 【详解】(1)当1n =时，11123a S a ==-，即13a = 当2n ≥时，11223n n n n n a S S a a --=-=--，即1323n n a a -+=+所以数列{3}n a +是首项为6，公比为2的等比数列 ∴数列{}n a 的通项公式为3(21)nn a =-(2)若存在，令1m n k >>≥，m a 、n a 、k a 三项成等差数列 ∴2n m k a a a =+，即1222n m k +=+，1221n k m k -+-=+∵*,,m n k N ∈，即11n k -+>，0m k ->且1n k -+、*m k N -∈ ∴12n k -+是偶数，而21m k -+是奇数，故1221n k m k -+-=+不成立 故数列{}n a 中不存在三项构成等差数列 【点睛】本题考查了利用n S 与n a 的关系式求数列通项公式，注意1n n n a S S -=-时2n ≥，求通项公式时需要验证1n =是否也符合公式；应用等差中项的性质证法证明数列{}n a 中三项构成等差数列的存在性.18．已知点()2,0A ，()0,2B -，()2,0F -，设AOC α∠=，[)0,2απ∈，其中O 为坐标原点.（1）设点C 在x 轴上方，到线段AF3AFC π∠=，求α和线段AC 的大小；（2）设点D 为线段OA 的中点，若2OC =，且点C 在第二象限内,求)cos y OB BC OA α=⋅+⋅的取值范围.【答案】（1）23πα=，AC =；（2）(]0,6. 【解析】（1）过点C 作AF 的垂线，垂足为点E ，可得出CE =定义求出2CF =，可得出OCF ∆为等边三角形，可求出α的值，然后在ACF ∆中利用余弦定理求出AC ；（2）由题中条件求出DC 、OB 、OA 的坐标，化简()3cos y DC OB BC OA α=⋅+⋅的解析式为4cos 223y πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据α的取值范围，结合余弦函数的定义域与基本性质可求出y 的取值范围. 【详解】（1）过C 作AF 的垂线，垂足为E ，则3CE =，在直角三角形FCE 中，2sin CEFC CFE==∠，又2OF =，3OFC π∠=，所以OFC ∆为正三角形.所以3FOC π∠=，从而23FOC παπ=-∠=. 在AFC ∆中，222cos AC AF CF AF CF AFC =+-⋅∠221422242=+-⨯⨯⨯23=； （2）()2,0A ，点D 为线段OA 的中点，()1,0D ∴，2OC =且点C 在第二象限内，()2cos ,2sin C αα∴，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而()2cos 1,2sin DC αα=-，()2cos ,2sin 2BC αα=+，()2,0OA =，()0,2OB =-，则()23cos 43cos 4cos y OB BC OA αααα=⋅+⋅=-+()23221cos 24cos 223πααα⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以472,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，从而1cos 2123πα⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，04cos 2263πα⎛⎫∴<++≤ ⎪⎝⎭，因此，()3cos y DC OB BC OA α=⋅+⋅的取值范围为(]0,6.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算与三角恒等变换的综合问题，同时也考查了三角函数的值域问题，在解题时应充分利用三角恒等变换思想将三角函数式化简，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PAC 为等边三角形，AB AC ⊥，D 是BC 的中点.（1）证明：AC PD ⊥；（2）若AB AC =，求二面角D PA B --平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）27. 【解析】（1）取AC 的中点E ，连接,PE DE ，可得AC PE ⊥，AC DE ⊥，即AC ⊥面PDE ，即可得证；（2）以E 为坐标原点，,,EC ED EP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，显然二面角D PA B --是锐二面角，利用二面角的向量公式即可求出. 【详解】 （1）如图，取AC 的中点E ，连接,PE DE ，PAC为等边三角形，∴PE AC⊥，D是BC的中点，∴//DE AB，AB AC⊥，∴DE AC⊥，PE DE E=，,PE DE⊂面PDE，∴AC⊥面PDE，PD⊂面PDE，∴AC PD⊥.（2）如图，以E为坐标原点，,,EC ED EP分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设2AC=，AB AC=，∴(1,0,0)A-，3)P，(1,2,0)B-，(0,1,0)D，∴(1,1,0)AD=，(0,2,0)AB=，3)AP=，设面ADP的法向量为：111(,,)n x y z=，则由·0·0n ADn AP⎧=⎨=⎩得：111130x yx z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴(3,3,3)n=-，设面ABP的法向量为：222(,,)m x y z=，则由·0·0m ABm AP⎧=⎨=⎩得：2222030yx z=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴(3,0,3)m=-，∴27cos72123n mn mθ===⋅⋅，∴二面角D PA B--平面角的余弦值为：277.【点睛】（1）证明异面直线垂直，可以构造一个平面，先证明线面垂直，再得线线垂直；（2）求二面角的平面角一般利用空间向量求解，建系之前如果没有三条线两两垂直关系，要先经过证明再建系，关键是点的坐标要找对，一般中点和等分点可以利用向量求解点的坐标.20．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图：（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明;（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2020年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：719.32iiy==∑，7140.17i iit y==∑()7210.55iiy y=-=∑7 2.646≈参考公式：相关系数()()()()12211ni iin ni ii it t y yrt t y y===--=--∑∑∑y a bt=+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为()()()121ni iiniit t y ybt t==--=-∑∑，a y bt=-【答案】(1) 0.9929r =，y 与t 有高度线性正相关关系；(2) ˆ0.920.10yt =+，2020年我国生活垃圾无害化处理量约为2.22亿吨【解析】应用相关系数公式求其值，由0.9929r =说明y 与t 有高度线性正相关性；利用最小二乘法公式求回归方程的参数，写出回归方程，进而预测2020年我国生活垃圾无害化处理量 【详解】(1)由相关系数公式知：()()7iit t y y r --=∑()()7771111771()7i iiiiiii iiii i i i t t y y t y ty t y t y t y t y y tt y =====--=---+=-+∑∑∑∑∑，而4t =，9.321.337y =≈ ∴()()712.89i ii t t y y =--=∑==2.9106=综上，有0.9929r =∴y 与t 有高度线性正相关关系(2) 由()()()121niii ni i tty y b t t==--=-∑∑，知： 2.8928b =而a y bt =-，知：9.32 2.894728a ⨯=- ∴系数精确到0.01有：0.10b =，0.92a =则回归方程为ˆ0.920.10yt =+ ∴2020年我国生活垃圾无害化处理量，即13t =时，ˆ 2.22y=(亿吨) 【点睛】本题考查了相关系数的计算，利用最小二乘法求回归方程参数并写出回归方程并计算预测值，属于简单题21．已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，1222F F =，若圆Q 方程()()22211x y -+-=，且圆心Q 在椭圆上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）已知直线1:21l y x =-+交椭圆1C 于A 、B 两点，过直线1l 上一动点P 作与1l 垂直的直线2l 交圆Q 于C 、D 两点，M 为弦CD 中点，MAB ∆的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明你的理由．【答案】（1）22142x y +=（2）为定值，定值是625【解析】（1）由椭圆的定义求得2a =，再根据焦点坐标得2c =再由222b a c =-得到b 的值，从而得到椭圆的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线1l 的方程代入椭圆方程，利用弦长公式求得AB ；由题设条件得//MQ AB ，从而有MAB QAB S S ∆∆=，所以MAB ∆的面积为定值，利用面积公式可得答案. 【详解】解：（1）由题意可知：()12,0F -，)22,0F ，)2,1Q，∴12242a QF QF a =+=⇒=，2222b a c ∴=-=，∴椭圆1C 的方程为22142x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y，由22124y x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y，得2520x --=，∴125AB x =-=, ∵M 为线段CD 中点，∴MQ CD ⊥， 又∵12l l ⊥，//MQ AB ，∴MAB QAB S S ∆∆=， 又点Q 到1l的距离3d ==，∴125MAB S AB d ∆=⋅=. 【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆的方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查坐标法思想、数形结合思想的应用，考查运算求解能力，求解过程中注意平面几何知识的应用，即两平行线间的距离处处相等. 22．已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=> (1)判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性 (2)若()1kf x x >+恒成立，求整数k 的最大值 (3)求证：23(112)(123)[1(1)]n n n e -+⨯+⨯++>【答案】（1）函数()f x 在(0,)+∞上为减函数 （2）整数k 的最大值为3 （3）见解析【解析】（1）由导数的应用，结合'()0f x <，得函数()f x 在(0,)+∞上为减函数；（2）原命题可转化为即1(1)ln(1)x x x k x++++<恒成立，即min 1(1)ln(1)()x x x k x ++++<，再构造函数1(1)ln(1)()x x x h x x++++=，利用导数求其最小值即可；（3）由（2）知，213ln(1)211x x x x -+>=-++，(0)x >，令(1)x n n =+，再求和即可证明不等式，得解.【详解】解：（1）因为1ln(1)()(0)x f x x x++=>， 所以'21ln(1)1()x x f x x --++=，(0)x >， 又因为 0x >，所以101x >+，ln(1)0x +>， 所以 '()0f x <，即函数()f x 在(0,)+∞上为减函数； （2）由()1k f x x >+恒成立， 即1(1)ln(1)x x x k x++++<恒成立， 即min 1(1)ln(1)()x x x k x++++<， 设1(1)ln(1)()x x x h x x++++=， 所以'21ln(1)()x x h x x --+=，(0)x >， 令()1ln(1)g x x x =--+， 则'1()1011x g x x x =-=>++， 即()g x 在()0,∞+为增函数，又(2)1ln30g =-< ，(3)22ln20g =->，即存在唯一的实数根a ，满足()0g a =，且()2,3a ∈，1ln(1)0a a --+=，当x a >时，()0>g x ，'()0h x >，当0x a <<时，()0<g x ，'()0h x <，即函数()h x 在()0,a 为减函数，在(),a +∞为增函数， 则()min 1(1)ln(1)()()13,4a a a h x h a a a++++===+∈， 故整数k 的最大值为3； （3）由（2）知，213ln(1)211x x x x -+>=-++，(0)x >， 令(1)x n n =+，则 3311ln[1(1))]2223()(1)1(1)1n n n n n n n n ++>->-=--++++， 则ln(112)ln(123)...ln[1(1)]n n +⨯++⨯++++>1111123(1)2()...23()2231n n --+--++--+=123(1)231n n n -->-+， 故23(112)(123)[1(1)]n n n e -+⨯+⨯++>.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性、构造函数求解不等式恒成立问题及利用证明的结论证明不等式，属综合性较强的题型.。
2020年山东新高考数列精选模拟试题(含解析)
专题8 数列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 预测2020年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3-B ．1-C ．3D ．13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路 B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路若存在两项,m n a a32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．955．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32C ．43D ．34二、多选题6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A ．12a =-B ．12a =C ．4d =D ．4d =-7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为810．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}na 满足11a=，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次.四、解答题13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 15．（2020届山东省高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT ＜． 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <. 19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且139a a a 、、成等比数列，246a a +=.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）设()21cos3n n n a b a π+=，求数列{}nb 的前2020项的和2020S.21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列{}n a 满足：123a a a +++()1312nn a +=- （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3n na b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<． 28．（2020届山东省淄博市高三二模）已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .29．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.30．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3- B ．1-C ．3D ．1【答案】C 【解析】当2n ≥ 时，1121,,33n n n n n n S a S a --++== 两式作差可得：11211213311n n n n n a n n n a a a a n n --+++=-⇒==+-- ， 据此可得，当2n = 时，1nn a a -的最大值为33．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路【答案】C 【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．95【答案】A 【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a ，3520a a +=，所以2285516a a a a ，516a =，34a =，所以253a a q =，2q ，451a a q ，11a =，1112n n n a a q --==，32=，所以1110222m n，12m n +=，414114112125n m mnm n mnm n431124520,0n m mnm n ，当且仅当2n m =时“=”成立， 所以14mn的最小值为34，故选A 。
2020届高三数学二轮复习：函数中的等高线
【举一反三】 1.( ★ ★ ★ 江 苏 省 南 通 市 重 点 中 学 2020 届 高 三 上 学 期 阶 段 10 月 模 拟 测 试 14) 已 知 函 数
f
(
x)
=
x
+
1 2
,
2x−1, x
x [0, 1 2
[1 , 2) 2
)
若存在 x1, x2 ，当 0
x1
x2
2 时，
f
(x1) =
f
(
x)
=
x
+
1 2
,
2x−1, x
x [0, 1 2
[1 , 2) 2
)
若存在 x1, x2 ，当 0
x1
x2
2 时，
f
(x1) =
f
(x2 ) ，则 x1 f
(x2 ) 的取值范围
是
．[2− 2 ,1)
42
2.(★★★江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学 2020 届高三第一学期第一次联合测试试卷 13)已知函数
x2－x1
的最小值为ln2，则实数 2
a
的值
为
．e
3/3
C(x3 , y3 ), D(x4 , y4 ) ，则
x3 − x1 x4 − x2
的最大值为
.1 9
7.（★★★★南京金陵中学 2020 届高三上学期数学检测卷二）14．已知函数 f(x)＝ex(e 为自然对数的底数)，
g(x)＝a
x．若对任意的
x1∈R，存在
x2＞x1，使得
f(x1)＝g(x2)，且
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
函数中的等高线 【知识回顾】
山东省泰安市届高三第二轮复习质量检测二模数学理试题 Word版含答案
高三第二轮复习质量检测数学试题（理科）2017．4一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分。
共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)?????52?z?iiz等于，则1．复数满足?2?2i?2?2i i i2+2．2－2D A．CB ．．???????CABB?xx?p?，若1A??xx应该，则，集合，集合2．设全集U=Rp U满足的条件是1p≤D．1 C．p<l A．p>l B．p≥21??m y?0x?m0x?y?互相垂直”3．已知命题p：“与直线“直线，则命”，命题q：题p是命题q的A．充分不必要条件B．必要不充分条件D ．既不充分也不必要C．充要条件??、是两个不同的平面，下列命题中的真命题是l是直线，4．已知?????????,则,//l,则///若/?/若l/l,l．B．A?????????,//则若l//,l若//l,///,则l/． D. C《数书九章》秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的5．中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值法．vnx的值为，的一个实例，若输入4，，则输出的值分别为36 ．A25 ．B100 ．C400 ．D???51??????2x??，则cos2xcos?x??sin．已知6的值为??????3333??????5151?? D．．C ．A ． B 3399．7．下列选项中，说法正确的是bloga?logb >0，则．若a>A1122 ??????R1?mm,2?am1,m?,b?共线的充要条件是．向量m=0B?????nnn?1?1?n2?2?n?N?n?N,3?2n?,3 2? n””的否定是“C．命题“???????0afbx?ff，则上的图象是连续不断的，则命题“若在区间[D．已知函数a，b]??xfb)内至少有一个零点”的逆命题为假命题，在区间(a x?21???xcosxf．函数8的图象大致是x2?1??0x??3y?x?20y?yx, ，则的取值范围是9．已知实数满足?1?x?yx?1??43?32????,11,11D．[1 ，11] ，C．[3．A11] ．B ????23????22xy??????00,c?Fc00,a?b??:?1?是双曲线下支，的上焦点为已知双曲线10．M22ba2ac222F3DMF??yx?0?y?与圆上的一点，，线段MF，且则双曲线相切于点D93?的渐进线方程为4x?yy?0?0x20?x0?x2y?4y?? D C．A．B．．共5(二、填空题：本大题个小题，每写小题5填案答把分，25分，共请) 在答题卡相应位置11．观察下列式子：根据以上规律，第n个不等式是▲．c?bsinA，c、b、?ABCa??B 且，12. 则角中，三内角A,B,C的对边分别为sinB?sinC2c?a▲.13．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为▲.三点的抛物，D的中点，则过C，M．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB14 P 恰好取自阴影部分的概率为则点CD围成阴影部分，在正方形ABCD中任取一点P，线与．▲??????x0x?1ffxxx?e?，给出下列命上的奇函数，当．已知函数15时，是定义在R 题：????????x?xf1xf时，x?0fxx??e－∞，(①当；②函数有两个零点；③<0的解集为????R??x,x??fxx?f把(，都有▲1)(0，；④。
山东省泰安市2020届高三第二轮复习质量检测数学
… （ ） 分 中 ∴ ２Ｔｎ ＝ １ × ２１ ＋ ２ × ２２ ＋ ＋ ｎ － １ × ２ｎ －１ ＋ ｎ × ２ｎ … 彩高 ∴ － Ｔｎ ＝ １ ＋ ２１ ＋ ２２ ＋ ＋ ２ｎ － １ － ｎ × ２ｎ
７
高三第二轮复习质量检测数学试题参考答案 第 页（共 页） 精
：
１
７
分 ＝ １ － ２ｎ － ｎ × ２ｎ ＝ ２ｎ － １ － ｎ × ２ｎ １ －２
（）证明： （ ）（ ）； ２
Ｐｎ ＋１
－ Ｐｎ
＝
－
１ ３
Ｐｎ － Ｐｎ －１
１≤ｎ≤９８
（３）若最终棋子落在第 ９９ 站，则记选手落败，若最终棋子落在第 １００ 站，则记选手获
胜，请分析这个游戏是否公平．
２１． （１２ 分）
已知椭圆
：Ｃ
ｘ２ ａ２
＋
ｙ２ ｂ２
（ ＝ １ ａ
＞
ｂ
＞ ０）的离心率
ｅ
满足
１２． 在的恰Ａｙ ．＝平正好ｆ３４（面方经ｘ）直形过，则坐角ＡＢ对标坐Ｃ函Ｄ原标数沿点系Ｂ，．ｙｘｘ设＝Ｏ１轴顶ｙｆ（滚中点ｘ）动，的Ｂ如（（判无图ｘ，断滑ｙ放）正动的置确滚Ｃ轨的的．动迹边是４３）方长，程点为是Ｄ２
Ｄ． ２
Ａ．
Ｂ． Ｃ．
函函函零数数数点
ｇ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）－ ２ 槡２在［－ ３，９］上有两个
１０． ＣｆＡＢＤ（确如Ｂ．．．．ｘ１）该随的Ｄ该随图１＝地机是地机，上１正０水测水测有方１槡稻量稻量两２体株一的一π个高株平株Ａｅ动Ｂ－的水均水（Ｃ点ｘ －Ｄ２方稻株稻１０００Ｍ０－）差，高，２，其其，ＡＮ为为ｘ１株株，∈Ｂ且１１１高高（００Ｃ０Ｍ１－在在ｃＤＮ∞ｍ１（１８＝，的２００１＋，ｃ棱，９ｍ∞则０长）以）下和，为上则列在的下２结（，概１列线论０率０说段正，比１法１株０正）高确（单在的位是７０：ｃｃｍｍ）以的下概的率概一率样大大
2020年山东省泰安市第二中学高三数学文上学期期末试题含解析
2020年山东省泰安市第二中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. (理)．下面是关于复数的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.其中的真命题为A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4参考答案：2. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sinωx的图象，则φ等于（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用三角函数的周期性求得ω的值，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得φ的值．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，∴=4π，∴ω=，f（x）=sin（x+φ）．且其图象向右平移个单位后得到函数y=sin[（x﹣）+φ]=sin（x+φ﹣）=g（x）=sin x的图象，则φ=，故选：C．3. 2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013 年编号为1，2014 年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1 到6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数，给出下列结论，其中正确的个数是( )①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019 年公共图书馆业机构数约为3192个A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：D【分析】根据和确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.故选：D.【点睛】回归直线方程中的的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.4.参考答案：D略5. 已知圆锥的体积为9π，母线与底面所成的角为45°，则该圆锥的母线长为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先设圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为；根据圆锥的体积，以及母线与底面所成的角为，即可列出方程组，求出结果.【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，由圆锥的体积为，母线与底面所成的角为，可得，解得，故选D【点睛】本题主要考查圆锥的有关计算，熟记圆锥的体积公式等即可，属于常考题型.6. 已知, a、b、c、d是互不相同的正数,且,则abcd的取值范围是（）A. (18,28)B. (18,25)C. (20,25)D. (21,24)参考答案：D试题分析：不妨设，由图像知，所以，选D.考点：函数图像【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 7. 已知是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数，若当时，，则的值为A． B．-5 C． D．-6参考答案：C8. 下列命题中，错误的是( )A．在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件B．在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形参考答案：C考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．在△ABC中，由正弦定理可得，可得sinA＞sinB?a＞b?A＞B，即可判断出正误；B．在锐角△ABC中，由＞＞0，可得=cosB，即可判断出正误；C．在△ABC中，由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B，得到2A=2B或2A=2π﹣2B即可判断出正误；D．在△ABC中，利用余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入已知可得a=c，又B=60°，即可得到△ABC的形状，即可判断出正误．解答：解：A．在△ABC中，由正弦定理可得，∴sinA＞sinB?a＞b?A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，正确；B．在锐角△ABC中，，∵，∴＞＞0，∴=cosB，因此不等式sinA＞cosB恒成立，正确；C．在△ABC中，∵acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B或2A=2π﹣2B，∴A=B或，因此△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题；D．在△ABC中，若B=60°，b2=ac，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴ac=a2+c2﹣ac，即（a﹣c）2=0，解得a=c，又B=60°，∴△ABC必是等边三角形，正确．综上可得：C是假命题．故选：C．点评：本题考查了正弦定理余弦定理解三角形、三角函数的单调性、诱导公式、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 设集合，则 ( )A．｛1，3｝ B．｛2，4｝ C．｛1，2，3，5｝ D．｛2，5｝参考答案：A略10. 若集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小正周期为参考答案：12. 已知实数满足，则的最大值为．参考答案：6作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，当直线过点时，z取最大值，最大值为6.13. 意大利数学家列昂那多?斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{b n}，b2017= ．参考答案：1【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意可得数列从第三项开始，后一项为前两项的和，再分别除以3得到一个新的数列，该数列的周期为8，即可求出答案．【解答】解：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…， 此数列被3整除后的余数构成一个新数列{b n }，则{b n }，1，1，2，0，2，2，1，0，1，2，2，0，2，2，…， 其周期为8， 故b 2017=b 227×8+1=b 1=1， 故答案为：1 14. 如果函数在区间（-∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围是▲。
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山东省泰安市2020届高三数学第二轮复习质量检测试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A,B，再根据交集定义得结果.【详解】,选B.【点睛】本题考查解不等式以及集合交集，考查基本分析求解能力，属基础题.2.已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则的值为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先化代数形式，再根据实部与虚部相等列方程，解得结果.【详解】,选C.【点睛】本题考查复数除法运算以及复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3.设等差数列的前项和为，若，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先设等差数列的公差为，根据，求出首项和公差，即可得出结果. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得；因此.故选B【点睛】本题主要考查等差数列的性质，只需依题意求出首项和公差即可，属于基础题型.4.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．【详解】甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．故选：C．【点睛】本题考查了茎叶图，属基础题．平均数即为几个数加到一起除以数据的个数得到的结果.5.根据如下样本数据：得到的回归方程为为，则每增加一个单位，就（）A. 增加1.4个单位B. 减少1.4个单位C. 增加1.2个单位D. 减少1.2个单位【答案】B【解析】试题分析：，，回归直线过，所以代入后，解得，故选B.考点：回归直线方程6.已知满足约束条件则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数表示直线，结合图象确定取值范围.【详解】先作可行域，则直线过点A(0,2)时取最小值2，过点B(2,2)时取最大值6，因此的取值范围是，选C.【点睛】本题考查线性规划求范围，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属基础题.7.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的=A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S的值【详解】模拟程序的运行，可得S＝12，n＝1执行循环体，S＝10，n＝2不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝6，n＝3不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝0，n＝4不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝﹣8，n＝5满足条件S+n≤0，退出循环，输出S的值为﹣8．故选：A．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8.已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（）A. B. 19 C. 20 D. 23【答案】D【解析】【分析】本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对、进行化简，得出公差和公比的数值，然后对进行化简即可得出结果。
【详解】设奇数项的公差为，偶数项的公比为，由，，得，，解得，，所以，故选D。
【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题。
9.设双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一点，点到坐标原点的距离等于双曲线焦距的一半，且，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据条件得，再结合双曲线定义，根据勾股定理得离心率.【详解】因为点到坐标原点的距离等于双曲线焦距的一半，所以，因此，选D.【点睛】本题考查双曲线定义、焦点三角形以及离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.10.已知函数，若恰有1个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作出y＝与y＝a（x1）的函数图象，根据交点个数判断a的范围．【详解】恰有1个零点等价于图像与直线y＝a（x1）有一个公共点，作图如下：函数在x=1处的切线m方程为y= x1，函数在x=1处的切线n方程为y= x，由图易得的取值范围是故选：A【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11.如图，在下列四个正方体中，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与所在平面平行的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据线面平行判定定理以及作截面逐个分析判断选择.【详解】A中，因为,所以可得平面,又，可得平面，从而平面平面B中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,如图：C中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,如图：D中，作截面可得为两相交直线，因此平面与平面不平行,如图：【点睛】本题考查线面平行判定定理以及截面，考查空间想象能力与基本判断论证能力，属中档题.12.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将函数单调性转化为导数恒非负问题，再利用同角三角函数关系换元，利用变量分离法转化为对应函数最值问题，最后根据一元函数最值得结果.【详解】令，则，从而，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即，因为，所以，选D.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、同角三角函数关系以及函数最值，考查等价转化思想方法以及基本求解能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图，已知正方体的棱长为1，点为棱上任意一点，则四棱锥的体积为______．【答案】【解析】【分析】连结AC交BD于O点，由线面垂直的判定定理可证平面，进而可得AO就是点P 到平面的距离，求出AO，由锥体体积公式进而求出结果.【详解】连结AC交BD于O点，则有平面，所以，AO就是点P到平面的距离，即高；又矩形的面积为；所以，四棱锥的体积为V＝＝.【点睛】本题关键是先根据图证明出平面，进而求出AO就是点P到平面的距离，这是本题解答的关键点；此类问题基本解题方法就是先求出高，然后再根据体积公式求出体积.14.某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有____种．【答案】60【解析】试题分析：每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共种.考点：排列组合.15.抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点取得最小值时，直线的方程为______.【答案】或【解析】【分析】设点的坐标为求出，再计算得到，再利用基本不等式求出最小值及此时直线的方程得解.【详解】设点的坐标为当且仅当，即时取等号，此时点坐标为或，此时直线的方程为即或故答案为：或【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的简单几何性质和基本不等式，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】先根据三角形面积得，即得，再根据向量共线关系得值，最后根据向量模的定义以及基本不等式求最值.【详解】因为的面积为，所以,因此，因为，所以因此，当且仅当时取等号即，的最小值为.【点睛】本题考查三角形面积、向量数量积、向量的模以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，内角的对边分别为，求的值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）先根据两角差余弦公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得结果，（2）先求A，再根据向量数量积定义得，最后根据余弦定理得的值．【详解】（1），由，，解得；，，∴的单调增区间为.（2），即，∵，∴，∴，即，又，∴，∴，∴.【点睛】本题考查余弦定理、向量数量积、两角差余弦公式、二倍角公式以及辅助角公式，考查综合分析求解能力，属中档题.18.如图，正方形边长为，平面平面，．(1)证明：；(2)求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）根据面面垂直得平面，即得，结合条件得平面，即得结果，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面一个法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果.【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，面∴平面，又平面，∴又∵，，，平面∴平面，又平面∴.（2）解：如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，在直角中，，，易得，由（1）知为平面的一个法向量，，设是平面BDE的一个法向量则即令，则，∴∴二面角的余弦值是.【点睛】本题考查线面垂直判定定理与性质定理、面面垂直性质定理以及利用空间向量求二面角，考查空间想象能力以及综合分析论证求解能力，属中档题.19.某社区为了解居民参加体育锻炼情况，随机抽取18名男性居民，12名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查．现按参加体育锻炼的情况将居民分成3类：甲类(不参加体育锻炼)，乙类(参加体育锻炼，但平均每周参加体育锻炼的时间不超过5个小时)，丙类(参加体育锻炼，且平均每周参加体育锻炼的时间超过5个小时)，调查结果如下表：(1)根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关?(2)从抽出的女性居民中再随机抽取3人进一步了解情况，记为抽取的这3名女性居民中甲类和丙类人数差的绝对值，求的数学期望．附：【答案】(1) 有；(2).【解析】【分析】（1）根据数据填写列联表，代入公式得，对照数据确定把握率，（2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，最后根据期望公式得期望.【详解】（1）.∴有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关.（2）的所有可能取值为0，1，2，3，，，，∴的分布列为：. 【点睛】本题考查卡方公式以及数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.20.已知椭圆的右顶点为，左焦点为，离心率，过点的直线与椭圆交于另一个点，且点在轴上的射影恰好为点，若．(1)求椭圆的标准方程；(2)过圆上任意一点作圆的切线与椭圆交于，两点，以为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)；（2）以为直径的圆恒过坐标原点.【解析】【分析】（1）先根据离心率得，，再根据点B在椭圆上得B点纵坐标，最后根据三角形面积公式解得，即得，（2）先考虑直线的斜率不存在情况，确定定点，再利用韦达定理以及向量数量积论证圆过坐标原点.【详解】（1）∵，∴，，设，代人椭圆方程得：，∴，∴，∴，∴，∴椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，以为直径的圆的圆心为或，半径为2，以为直径的圆的标准方程为：或，因为两圆都过坐标原点，∴以为直径的圆过坐标原点，当直线的斜率存在时，设其方程为，，，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，，所以，由，化简得：，∴，，∴，∴以为直径的圆过坐标原点，综上，以为直径的圆恒过坐标原点.【点睛】本题考查椭圆方程以及圆过定点，考查综合分析论证求解能力，属中档题.21.已知函数．(1)若函数存在极小值点，求的取值范围；(2)证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）先求导数，再讨论时与时情况下导函数零点，根据导函数符号确定极值点取法，即得结果，（2）利用放缩法转化证，()，利用二次求导确定函数单调性，再根据单调性证不等式.【详解】（1）由题意知，函数的定义域为①当时，令，解得当时，当时，∴是函数的极小值点，满足题意.②当时，令，，令，解得，当时，，当时，，∴，若，即时，恒成立，在上单调递增，无极值点，不满足题意. 若，即时，，∴，又上单调递增，∴在上恰有一个零点，当时，当时，∴是的极小值点，满足题意，综上，.（2）当时若成立，则必成立.①若，则，∴成立∴成立.②若，令，,令，,∵,∴,∴上单调递增,∴,即,∴在上单调递增,∴,∴时，成立,∴时，成立,综上，.【点睛】本题考查利用导数证不等式以及利用导数研究函数极值，考查综合分析论证求解能力，属难题.请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22.在平面直角坐标系中，直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的普通方程；(2)过点作直线的垂线交曲线于，两点，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据化曲线的极坐标方程为直角坐标方程，（2）设直线的参数方程，再根据直线参数方程几何意义以及韦达定理求结果.【详解】（1）由题意知∴，∴曲线普通方程为：.（2）∵直线的斜率为，∴直线的斜率为，∴直线的参数方程为：（为参数），代入，整理得：，∴，，∴.【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查基本分析求解能力，属中档题.23.已知函数．(1)当时，解不等式；(2)若不等式有解，求的取值范围．【答案】(1)；(2) 或.【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化三个方程组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式得最大值，再解不等式得结果.【详解】（l）当时，原不等式可化为：当时，得∴当时，得∴当时，得∴综上，不等式的解集为（2）原不等式有解即不等式有解，令∵∴令解得：或∴的取值范围为或.【点睛】本题考查绝对值定义解不等式以及绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.。