中考数学总复习：分式与二次根式--巩固练习题及答案(基础)(2).doc

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中考数学总复习《二次根式》练习题附带答案

中考数学总复习《二次根式》练习题附带答案一、单选题1．√123÷√213×√125值为（）A．1B．3C．√33D．√7 2．若√(a−b)2=b﹣a，则（）A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a≤b 3．与√a3b不是同类次根式的是（）A．1√abB．√baC．√ab2D．√ba34．下列运算正确的是（）A．√3+3=3√3B．4√2−√2=4C．√2+√3=√5D．3√3−√3=2√35．若代数式1x−1+√x有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠1 6．a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简√(b−a)2的结果是（）A．a-b B．a+b C．b-a D．-a-b7．设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简√a2+|a+b|的结果是（）A．-2a+b B．2a+b C．-b D．b8．若√3−m为二次根式，则m的取值为（）A．m≤3B．m＜3C．m≥3D．m＞39．下列运算正确的是（）A．(x−y)2=x2−y2B．|√3−2|=2−√3C．√8−√3=√5D．﹣（﹣a+1）=a+110．已知2<a<4，则化简√1−2a+a2+√a2−8a+16的结果是() A．2a﹣5B．5﹣2a C．﹣3D．311．下列运算中正确的是（）A．√2+√3=√5B．(−√5)2=5C．3√2−2√2=1D．√16=±4 12．下列计算正确的是（）A．(m−n)2=m2−n2B．(2ab3)2=2a2b6C．√8a3=2a√a D．2xy+3xy=5xy 二、填空题13．计算：√45﹣√25× √50=．14．若√12x是一个整数，则x可取的最小正整数是3．（判断对错）15．计算：√24−√12√3=．16．如果x2﹣3x+1=0，则√x2+1x2−2的值是．17．化简：√75=.18．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式√a2−|a+c|+√(b−c)2−|−b|三、综合题19．完成下列问题：（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，求m+n的值；（2）已知x，y为实数，且y= √2x−5+√5−2x﹣3，求2xy的值．20．阅读材料，解答问题：（1）计算下列各式：①√4×9=，√4×√9=；②√16×25=，√16×√25=．通过计算，我们可以发现√a×b=（a>0，b>0）从上面的结果可以得到：√8=√2×√4=2√2，√12=√3×√4=2√3（2）根据上面的运算，完成下列问题①化简：√24②计算：√27+√48③化简：√a2b（a>0，b>0）21．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知a=12+√3，求2a2−8a+1的值.他是这样解答的：∵a=2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∴a−2=−√3∴(a−2)2=3，a2−4a+4=3∴a2−4a=−1∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1.请你根据小明的解析过程，解决如下问题：（1）1√3+√2=；（2）化简 √2+1+√3+√2√4+√3⋯+√256+√255 ；（3）若 a =√10−3，求 a 4−6a 3+a 2−12a +3 的值. 22．已知 x =√3+12 ， y =√3−12与 m =xy 和 n =x 2−y 2 . （1）求m ，n 的值；（2）若 √a −√b =m +72， √ab =n 2 求 √a +√b 的值. 23．计算：（1）√135•2 √3 •（﹣ 12 √10 ）；（2）√3a 2b •（ √b a ÷2 √1b）． 24．计算下列各题（1）计算：（ 12 ）﹣2﹣6sin30°﹣（ √7−√5）0+ √2 +| √2 ﹣ √3 | （2）化简：（ x+2x 2−2x ﹣ x−1x 2−4x+4 ）÷ x−4x ，然后请自选一个你喜欢的x 值，再求原式的值．参考答案1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】√514．【答案】对15．【答案】2√2−216．【答案】√517．【答案】5√318．【答案】019．【答案】（1）将x=n 代入方程x 2+mx+2n=0得n 2+mn+2n=0,则n(n+m+2)=0 因为n≠0,所以n+m+2=0即m+n=-2.（2）因为y=√2x −5+√5−2x -3有意义，则{2x −5≥05−2x ⩾0解得{x ⩾52x ≤52则x=52 所以y=0+0-3=-3即2xy=2×52×（-3）=-15. 20．【答案】（1）6；6；20；20；√a ×√b（2）解：①√24=√4×6=√4×√6=2√6；②√27+√48=√3×9+√3×16=√3×√9+√3×√16=3√3+4√3=7√3 ；③√a 2b =√a 2⋅√b =a √b （a >0，b >0）．21．【答案】（1）√3−√2（2）解：原式 =√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√256−√255=−1+√2−√2+√3−√3+√4−⋯−√255+√256=√256−1=16−1=15 ；（3）解： ∵ a =√10−3 =√10+3 ∴a −3=√10∴(a −3)2=10即 a 2−6a +9=10 .∴a 2−6a =1 .∴a 4−6a 3=a 2∴a 4−6a 3+a 2−12a +3=2a 2−12a +3=2(a 2−6a)+3=2+3=5 .22．【答案】（1）解：由题意得， m =xy =√3+12×√3−12=12 n =(x +y)(x −y)=(√3+12+√3−12)(√3+12−√3−12)=√3 （2）解：由（1）得， √a −√b =4 √ab =3 ∴(√a +√b)2=(√a −√b)2+4√ab =42+4×3=28∵√a +√b >0∴√a +√b =2√723．【答案】（1）解： √135 •2 √3 •（﹣ 12 √10 ） =2×（﹣ 12 ） √135×3×10 =﹣ √16×3=﹣4 √3（2）解： √3a 2b •（ √b a ÷2 √1b）= √3a2b × √ba× 12× √b= √3424．【答案】（1）解：原式=4﹣6× 12﹣1+ √2+ √3﹣√2 = √3；（2）解：原式=[x+2x(x−2)﹣x−1(x−2)2]•xx−4= (x+2)(x−2)−x(x−1)x(x−2)2•xx−4=x−4x(x−2)2•xx−4=1 (x−2)2当x=10时，原式= 1 64．。

中考数学总复习：分式与二次根式知识讲解和巩固训练(含答案解析)

中考总复习：分式与二次根式【考纲要求】1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算错误！未找到引用源。

±错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．要点诠释：约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质 1.0(0)a a ≥≥； 2.()2(0)a a a =≥； 3.2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；4. 积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =⋅≥≥，；5. 商的算术平方根的性质：(00)a a a b b b=≥>，. 6.若0a b >≥，则a b >.要点诠释：与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如82627⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262327273⎛⎫+⨯=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：()()()()223232321+-=-=，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.【典型例题】类型一、分式的意义1．使代数式12-x x 有意义的x 的取值范围是（） A.0≥x B.21≠x C.0≥x 且21≠x D.一切实数【答案】C ；【解析】解不等式组0210x x ≥⎧⎨-≠⎩得0≥x 且21≠x ，故选C ．【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数，即需要x 中的x ≥0；分母中的2x-1≠0.【变式】当x 取何值时，分式12922---x x x 有意义?值为零? 【答案】当2120x x --≠时，分式12922---x x x 有意义，即-34x x ≠≠且时，分式12922---x x x 有意义. 当29=0x -且2120x x --≠时，分式12922---x x x 值为零，解得=3x ±，且-34x x ≠≠，，即=3x 时，分式12922---x x x 值为零. 类型二、分式的性质2．已知14x x+=,求下列各式的值. (1)221x x +; (2)2421x x x ++. 【答案与解析】(1)因为14x x +=,所以2214x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 即221216x x ++=.所以22114x x+=. (2)4242222222111114115x x x x x x x x x x++=++=++=+=, 所以2421115x x x =++. 【点评】观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.举一反三：【变式】已知111,a b a b+=+求b a a b +的值. 【答案】由111,a b a b +=+得1,a b ab a b +=+ 所以2(),a b ab +=即22a b ab +=-. 所以221b a a b ab a b ab ab +-+===-.。

最新华东师大初中数学中考总复习：分式与二次根式--巩固练习(提高)

中考总复习：分式与二次根式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2015春•合水县期末）二次根式、、、、、中，最简二次根式有（）个．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4个2．分式(1)(2)(2)(1)x x x x +---有意义的条件是（） A ．x ≠2 B.x ≠1 C.x ≠1或x ≠2 D.x ≠1且x ≠23．使分式224x x +-等于0的x 的值是（） A.2 B.-2 C.±2 D.不存在4．计算20122013(21)(21)+-的结果是（）A. 1B. -1C. 2 1D. 21+-5．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A ．28002800304-=x xB ．28002800304-=x x C ．28002800305-=x x D ．2800280030-=5x x 6．化简甲，乙两同学的解法如下：甲：=乙：=对他们的解法，正确的判断是（）A ．甲、乙的解法都正确B ．甲的解法正确，乙的解法不正确C ．乙的解法正确，甲的解法不正确D ．甲、乙的解法都不正确二、填空题7．若a 2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子a b b a-÷（a+b ）的值为_______________.8．若m=201120121-，则54322011m m m --的值是 . 9. 下列各式：①a ab b =；②3344--=--；③5593=；④216(0,0).33b ab a b a a =＞≥其中正确的是（填序号）. 10．当x =__________时，分式33x x -+的值为0.11．（1）若211()x x x y --=+-，则x y -的值为 . （2）若5,3,x y xy +==则x y y x +的值为 . 12．（2015•科左中旗校级一模）观察下列等式：①==﹣1 ②==﹣③==﹣…回答下列问题：（1）化简：= ；（n 为正整数）（2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++= ．三、解答题13．（1）已知13x x+=,求2421x x x -+的值. （2）已知2510x x -+=和0x ≠,求441x x+的值.14.（2015春•东莞期末）设a=，b=2，c=．（1）当a 有意义时，求x 的取值范围．（2）若a 、b 、c 为Rt △ABC 三边长，求x 的值．15．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？16.阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如5223331+，，一样的式子，其实我们可以将其进一步化简. 553533333⨯==⨯；（一） 22363333⨯==⨯；（二） 2222(31)2(31)3131(31)(31)(3)1⨯--===-++--；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.231+还可以用以下方法化简： 22231(3)1(31)(31)3 1.31313131--+-====-++++（四）；（1）请用不同的方法化简 ①参照（三）式得253+= ； ②参照（四）式得253+= ；（2）化简1111.3153752121n n +++++++++-…【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】二次根式、、、、、中，最简二次根式有、、共3个．故选：C ．2.【答案】D ；【解析】分式有意义，则20x -≠且10x -≠.3.【答案】D ；【解析】令20x +=得2x =-，而当2x =-时，240x -=，所以该分式不存在值为0的情形.4.【答案】D ；【解析】本题可逆用公式（ab ）m =a m b m 及平方差公式，将原式化为 2012(21)(21)(21)2 1.⎡⎤+--=-⎣⎦故选D.5.【答案】A ；【解析】设小玲步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的速度为4x 米/分，依题意，得28002800304-=x x．故选A ．6.【答案】A ；【解析】甲是分母有理化了，乙是把3化为 (52)(52)+-了.二、填空题7．【答案】23 ；【解析】由已知得2269(3)0a a a -+=-=且10b -=，解得3a =，1b =，再代入求值. 8．【答案】0；【解析】此题主要考查了二次根式的化简，得出m= 2012+1，以及5433222011[(1)2012]m m m m m --=--是解决问题的关键． ∵m=201120121-=2012+1， ∴543323222011(22011)[(1)2012]0m m m m m m m m --=--=--=，故答案为：0．9．【答案】③④；【解析】提示：①0a ≥，0b ＞；②3,4--无意义.10．【答案】3；【解析】由30x -=得x =±3.当3x =时，360x +=≠，当3x =-时，3330x +=-+=，所以当3x =时，分式的值为0.11．【答案】（1）2；（2）533；【解析】（1）由11x x ---，知x =1，∴(x +y )2=0，∴y =-1，∴x -y =2.（2）55,3,0,0, 3.3xy xy x y x y xy x y xy y x xy ++==∴∴=+==＞＞原式 12．【答案】；【解析】（1）=；故答案为：；20101-. （2）+++…++ =…+ =20101-.三、解答题13.【答案与解析】（1）因为0x ≠，所以用2x 除所求分式的分子、分母. 原式22221111113361()21x x x x ====--++--. （2）由2510x x -+= 和0x ≠ ,提15x x +=, 所以24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ 2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--=14.【答案与解析】解：（1）∵a 有意义，∴8﹣x≥0，∴x≤8；（2）方法一：分三种情况： ①当a 2+b 2=c 2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当a2+c2=b2，即8﹣x+6=4，得x=10，③当b2+c2=a2，即4+6=8﹣x，得x=﹣2，又∵x≤8，∴x=6或﹣2；方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边，c＞b∴存在两种情况，①当a2+b2=c2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当b2+c2=a2，即4+6=8﹣x，得x=﹣2，∴x=6或﹣2．15.【答案与解析】（1）设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天，根据题意，得1111.512x x+=，解之得，x=20,经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30,答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天.（2）设甲公司每天的施工费y元，则乙公司每天的施工费（y-1500）元，根据题意，得12（y+y-1500）=102000, 解之得，y=5000.甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100000（元），乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000-1500）=105000 （元），故甲公司的施工费较少.16.【答案与解析】（1）①22(53)5 3. 53(53)(53)-==-++-②22253(5)(3)(53)(53)5 3. 53535353--+-====-++++（2）111315375+++++++…12121n n=++-1(315372-+-+-152121)(211)2n n n+++--=+-.。

2024届中考数学复习专项(分式与二次根式)历年真题汇编(附答案)

2024届中考数学复习专项（分式与二次根式）历年真题汇编一．分式的定义（共1小题）1．（2021•罗湖区校级模拟）下列代数式中，是分式的为（）A． B． C． D．二．分式有意义的条件（共2小题）2．（2022•新华区校级一模）若有意义，则下列说法正确的是（）A．x＞﹣2 B．x＞﹣2且x≠0 C．x≠﹣2 D．x≠03．（2022•沙坪坝区校级三模）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，则结论正确的个数为（）（1）a＝1，b＝2；（2）若T（m，n）＝0（n≠﹣2），则；（3）若T（m，n）＝0（n≠﹣2），m、n均取整数，则或或；（4）若T（m，n）＝0（n≠﹣2），当n取s、t时，m对应的值为c、d，当t＜s＜﹣2时，c＜d；（5）若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立（这里T（x、y）和T（y、x）均有意义），则k＝0．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个三．分式的值为零的条件（共1小题）4．（2022•顺平县二模）已知分式有意义且值为零（a，b，c均为正实数），若以a，b，c的值为三条线段的长构造三角形，则此三角形一定为（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形四．分式的值（共4小题）5．（2022•全椒县一模）已知x﹣y＝2xy（x≠0），则的值为（）A．﹣ B．﹣3 C． D．36．（2022•泉港区模拟）若分式的值为负数，则x的取值范围是．7．（2022•呈贡区二模）若m＝2n≠0，则的值为．8．（2022•锡山区校级二模）有一个分式两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：当x＝﹣2时，分式的值为1．请你写出满足上述全部特点的一个分式：．五．分式的基本性质（共2小题）9．（2022•德江县二模）下列变形正确的是（）A．B．C．D．10．（2022•夏津县二模）下列运算正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．C．m5﹣m3＝m2 D．﹣a2+2a2＝a2六．约分（共2小题）11．（2021•开平区一模）若，则m+n＝（）A．3 B．﹣3 C． D．12．（2022•镇海区校级二模）先约分，再求值：，其中a＝﹣2，b＝．七．通分（共1小题）13．（2020•南岸区校级模拟）求一组正整数的最小公倍数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求一组正整数最小公倍数的一种方法﹣﹣少广术，术曰：“置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左．命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法．置所求步数，以全步积分乘之为实．实如法而一，得从步．”意思是说，要求一组正整数的最小公倍数，先将所给一组正整数分别变为其倒数，首项前增一项“1”，然后以最末项分母分别乘各项，并约分；再用最末项分数的分母分别乘各项，再约分，…；如此类推，直到各项都为整数止，则首项即为原组正整数之最小公倍数．例如：求6与9的最小公倍数．解：第一步：1，；第二步：9，，1：第三步：18，3，2所以，6与9的最小公倍数是18．请用以上方法解决下列问题：（1）求54与45的最小公倍数；（2）求三个数6，51，119的最小公倍数．八．最简分式（共1小题）14．（2022•江油市二模）下列分式属于最简分式的是（）A． B．C． D．九．最简公分母（共1小题）15．（2021•越秀区校级二模）分式，，的最简公分母是（）A．3x B．x C．6x2 D．6x2y2一十．分式的乘除法（共1小题）16．（2022•鱼峰区模拟）计算的结果是（）A．2 B．2a+2 C．1 D．一十一．分式的加减法（共1小题）17．（2022•东莞市校级二模）计算﹣1的结果是（）A． B．﹣ C． D．一十二．分式的混合运算（共1小题）18．（2022•邯郸二模）在分式加减运算中，常用到下列四个依据：Ⅰ．合并同类项Ⅱ．约分Ⅲ．同分母分式的加减法则Ⅳ．通分化简﹣＝+①＝②＝③＝﹣④则正确的表示是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅱ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅱ C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅳ D．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅳ 一十三．分式的化简求值（共1小题）19．（2022•如皋市二模）若a+b＝2，则代数式的值为（） A． B．﹣ C．2 D．﹣2一十四．零指数幂（共1小题）20．（2022•惠安县模拟）计算（﹣5）0的结果是（）A．1 B．﹣5 C．0 D．﹣一十五．负整数指数幂（共1小题）21．（2022•路南区三模）下列计算正确的是（）A． B．C． D．一十六．列代数式（分式）（共2小题）22．（2022•玉环市一模）小明和小亮期中考试的语文、数学成绩分别都是80分，m分，到了期末考时，小明期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了20%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为a．小亮期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了15%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为b．则（）A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．4a＝3b23．（2022•思明区校级模拟）生活中有这么一个现象：“有一杯a克的糖水里含有b克糖，如果在这杯糖水里再加入m克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”，其中a＞b＞0，m＞0．（1）加入m克糖之前糖水的含糖率A＝；加入m克糖之后糖水的含糖率B＝；（2）请你解释一下这个生活中的现象．一十七．二次根式的定义（共1小题）24．（2022•鼓楼区校级二模）若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（） A． B． C． D．一十八．二次根式有意义的条件（共1小题）25．（2022•东莞市校级二模）要使式子有意义，x的取值应满足（）A．x≠2 B．x≤ C．x≥2 D．x≥一十九．二次根式的性质与化简（共1小题）26．（2022•夏邑县模拟）实数﹣的倒数是（）A． B． C． D．二十．最简二次根式（共1小题）27．（2022•金山区二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是（）A． B． C． D．二十一．二次根式的乘除法（共2小题）28．（2022•临沭县二模）下列运算正确的是（）A． B．C． D．（a﹣）2＝a2﹣a29．（2022•太原二模）观察式子：＝6，×＝2×3＝6；；＝0.1；＝0.1．由此猜想（a≥0，b≥0）．上述探究过程蕴含的思想方法是（）A．特殊与一般 B．类比 C．转化 D．公理化二十二．分母有理化（共1小题）30．（2022•信阳二模）下列式子运算正确的是（）A．6a÷3a＝2a B．（2a）2＝4a2C．＝ D．（x﹣y）（x+2y）＝x2+2y2二十三．同类二次根式（共1小题）31．（2022•罗庄区一模）与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．二十四．二次根式的加减法（共1小题）32．（2022•固安县模拟）下列计算正确的是（）A． B．a3•a2＝a6 C．＝±3 D．（2a2）3＝8a6二十五．二次根式的混合运算（共2小题）33．（2022•邯郸模拟）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁34．（2022•北碚区校级模拟）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如：（﹣2）（+2）＝1，•＝a，（2﹣）（2+）＝10，通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：甲：；乙：设有理数a，b满足：，则a+b＝6；丙：；丁：已知＝4，则；戊：……+．以上结论正确的有（）A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁二十六．二次根式的化简求值（共3小题）35．（2022•耿马县一模）若a＝+3，b＝3﹣，则的值为．36．（2022•黄石模拟）已知一元二次方程2x2+5x+1＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（1）若实数m、n满足2m2+5m+1＝0，2n2+5n+1＝0，则的值是；（2）若实数s、t分别满足2s2+5s+1＝0，t2+5t+2＝0，且st≠1．求的值．37．（2022•丹棱县模拟）先化简．再从﹣1，0，1，2，中选择一个合适的x 的值代入求值．二十七．二次根式的应用（共4小题）38．（2022•吴中区模拟）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b+c＝5，则此三角形面积的最大值为（）A． B．3 C． D．39．（2022•泰州二模）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足c＝3，a+b＝5，则此三角形面积的最大值为．40．（2022•新华区校级一模）矩形ABCD的长为，宽为，则这个长方形的周长为，面积为．41．（2022•黄岛区一模）提出问题：在4×4的正方形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有几个？问题探究：为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法．探究一：如图1在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取2个数值：1，，以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下一种情况：1、1、．当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个．故在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为4个．探究二：在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取5个数值：1，2，，，．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下三种情况：1、1、；、、2；2、2、．（1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16个．（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有6条，其中有4条在2×2正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有2条在2×2正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×1+2×2＝8个．（3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个．故在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为16+8+4＝28个．探究三：如图2在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取个数值．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、．（1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2＝36个．（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有个．（3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16个．（4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形；有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2＝16个．（5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个．故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为个．问题解决：如图3在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为个．拓展延伸：如图4在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为个．参考答案一．分式的定义（共1小题）1．（2021•罗湖区校级模拟）下列代数式中，是分式的为（）A． B． C． D．【要点分析】根据分式的定义，对照选项要点分析，分母中含有字母的是分式，分母中不含字母的是整式，对选项逐一验证即可．【过程解答】解：根据分式的定义，分式的分母中要含有字母，A、B、C都不符合题意，故排除；D中分母含有字母，满足要求，符合题意，故选：D．【名师点评】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键，注意π是数字．二．分式有意义的条件（共2小题）2．（2022•新华区校级一模）若有意义，则下列说法正确的是（）A．x＞﹣2 B．x＞﹣2且x≠0 C．x≠﹣2 D．x≠0【要点分析】根据分式的分母不等于0即可得出答案．【过程解答】解：∵x+2≠0，∴x≠﹣2．故选：C．【名师点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．3．（2022•沙坪坝区校级三模）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，则结论正确的个数为（）（1）a＝1，b＝2；（2）若T（m，n）＝0（n≠﹣2），则；（3）若T（m，n）＝0（n≠﹣2），m、n均取整数，则或或；（4）若T（m，n）＝0（n≠﹣2），当n取s、t时，m对应的值为c、d，当t＜s＜﹣2时，c＜d；（5）若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立（这里T（x、y）和T（y、x）均有意义），则k＝0．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【要点分析】由题意联立方程组，求出a、b的值，即可确定（1）正确；由已知，得到mn+2m﹣4＝0，求出m即可确定（2）正确；根据n+2＝±1，n+2＝±2，n+2＝±4，可求m、n的值，从而确定（3）不正确；m＝看作函数m＝向左移动2个单位，在所给的范围内，m随n的值的增大而减小，则c＜d，可确定（4）正确；由题意列出方程kxy+2kx﹣4＝kxy+2ky﹣4，得到2k（x﹣y）＝0，由对任意有理数x、y都成立，则k＝0，可确定（5）正确．【过程解答】解：∵T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，∴，解得，故（1）正确；∴T（x，y）＝xy+2x﹣4，∵T（m，n）＝0，∴mn+2m﹣4＝0，∵n≠﹣2，∴m＝，故（2）正确；∵m、n均取整数，∴n+2＝±1，n+2＝±2，n+2＝±4，∴n＝﹣1或n＝﹣3或n＝0或n＝﹣4或n＝2或n＝﹣6，∴m＝4或m＝﹣4或m＝2或m＝﹣2或m＝1或m＝﹣1，故（3）不正确；∵m＝，∴m＝看作函数m＝向左移动2个单位，∵t＜s＜﹣2，∴m随n的值的增大而减小，∴c＜d，故（4）正确；∵T（kx，y）＝T（ky，x），∴kxy+2kx﹣4＝kxy+2ky﹣4，∴2k（x﹣y）＝0，∵对任意有理数x、y都成立，∴k＝0，故（5）正确；综上所述：（1）（2）（4）（5）正确，故选：C．【名师点评】本题考查分式有意义的条件，一元一次方程，熟练掌握分式的运算，一元一次方程的解法是解题的关键．三．分式的值为零的条件（共1小题）4．（2022•顺平县二模）已知分式有意义且值为零（a，b，c均为正实数），若以a，b，c的值为三条线段的长构造三角形，则此三角形一定为（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【要点分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0判断即可．【过程解答】解：原式＝＝，根据题意得：b﹣c＝0或a﹣b＝0且a﹣c≠0，∴b＝c或a＝b且a≠c，∴此三角形一定是等腰三角形．故选：A．【名师点评】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．四．分式的值（共4小题）5．（2022•全椒县一模）已知x﹣y＝2xy（x≠0），则的值为（）A．﹣ B．﹣3 C． D．3【要点分析】将分式变形后整体代换．【过程解答】解：∵x﹣y＝2xy（x≠0），∴原式＝＝＝＝3．故选：D．【名师点评】本题考查求分式的值，将分子变形后整体代换是求解本题的关键． 6．（2022•泉港区模拟）若分式的值为负数，则x的取值范围是x＜﹣3．【要点分析】直接利用分式的值是负数结合偶次方的性质得出x的取值范围．【过程解答】解：∵分式的值为负数，∴x2＞0，x+3＜0，∴x＜﹣3，故答案为：x＜﹣3．【名师点评】此题主要考查了分式的值，正确得出x+3的符号是解题关键． 7．（2022•呈贡区二模）若m＝2n≠0，则的值为﹣．【要点分析】把m＝2n代入分式，化简即可．【过程解答】解：∵m＝2n≠0，∴＝＝＝﹣．故答案为：﹣．【名师点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的性质是解决本题的关键．8．（2022•锡山区校级二模）有一个分式两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：当x＝﹣2时，分式的值为1．请你写出满足上述全部特点的一个分式： ﹣（答案不唯一）．【要点分析】根据分式的值不为零的条件和当x＝﹣2时，分式的值为1写出一个分式即可．【过程解答】解：∵分式的值不可能为0，∴分子不等于0，∵当x＝﹣2时，分式的值为1，∴分式为：﹣．故答案为：﹣（答案不唯一）．【名师点评】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．五．分式的基本性质（共2小题）9．（2022•德江县二模）下列变形正确的是（）A．B．C．D．【要点分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．【过程解答】解：A．从左边到右边的变形是分式的分子和分母都乘b（隐含分母b≠0），正确，故本选项符合题意；B．＝＝（分母不是b﹣c），错误，故本选项不符合题意；C．＝＝﹣，错误，故本选项不符合题意；D．从等式的左边到右边是分式的分子和分母都加2，不符合分式的基本性质，错误，故本选项不符合题意；故选：A．【名师点评】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的数，分式的值不变．10．（2022•夏津县二模）下列运算正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．C．m5﹣m3＝m2 D．﹣a2+2a2＝a2【要点分析】根据完全平方公式，分式的基本性质，合并同类项等进行判断即可．【过程解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故A选项不符合题意；∵a（b+2）＝ab+2a，b（a+2）＝ab+2b，且a、b大小无法确定，故B选项不符合题意；∵m5﹣m3≠m2，故C选项不符合题意，∵﹣a2+2a2＝a2，故D选项符合题意，故选：D．【名师点评】本题考查了完全平方公式，分式的基本性质，合并同类项等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．六．约分（共2小题）11．（2021•开平区一模）若，则m+n＝（）A．3 B．﹣3 C． D．【要点分析】首先把分式的分子分解因式，然后再约分即可．【过程解答】解：＝＝m+n＝，故选：C．【名师点评】此题主要考查了约分，关键是正确把分式进行约分．12．（2022•镇海区校级二模）先约分，再求值：，其中a＝﹣2，b＝．【要点分析】先把分式的分子分母分解因式，约分后把a、b的值代入即可求出答案．【过程解答】解：原式＝，＝，＝，当a＝﹣2，b＝时，原式＝＝．【名师点评】本题主要考查了因式分解，分式的约分，解题的关键是熟练进行因式分解，分式的约分，本题属于基础题型．七．通分（共1小题）13．（2020•南岸区校级模拟）求一组正整数的最小公倍数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求一组正整数最小公倍数的一种方法﹣﹣少广术，术曰：“置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左．命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法．置所求步数，以全步积分乘之为实．实如法而一，得从步．”意思是说，要求一组正整数的最小公倍数，先将所给一组正整数分别变为其倒数，首项前增一项“1”，然后以最末项分母分别乘各项，并约分；再用最末项分数的分母分别乘各项，再约分，…；如此类推，直到各项都为整数止，则首项即为原组正整数之最小公倍数．例如：求6与9的最小公倍数．解：第一步：1，；第二步：9，，1：第三步：18，3，2所以，6与9的最小公倍数是18．请用以上方法解决下列问题：（1）求54与45的最小公倍数；（2）求三个数6，51，119的最小公倍数．【要点分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．【过程解答】解：（1）第一步：1，，；第二步：45，，1；第三步：270，5，6；所以，54与45的最小公倍数是270．（2）第一步：1，，，；第二步：119，，，1；第三步：357，，7，3；第四步：714，119，14，6；所以6，51，119的最小公倍数是714．【名师点评】本题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．八．最简分式（共1小题）14．（2022•江油市二模）下列分式属于最简分式的是（）A． B．C． D．【要点分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【过程解答】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；B、，不是最简分式，故本选项不符合题意；C、，是最简分式，故本选项符合题意；D、，不是最简分式，故本选项不符合题意；故选：C．【名师点评】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．九．最简公分母（共1小题）15．（2021•越秀区校级二模）分式，，的最简公分母是（）A．3x B．x C．6x2 D．6x2y2【要点分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【过程解答】解：，，的分母分别是3xy、2x2、6xy2，故最简公分母为6x2y2．故选：D．【名师点评】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．一十．分式的乘除法（共1小题）16．（2022•鱼峰区模拟）计算的结果是（）A．2 B．2a+2 C．1 D．【要点分析】根据分式的除法计算即可．【过程解答】解：＝＝2，故选：A．【名师点评】本题主要考查分式除法，熟练掌握分式除法的计算方法是解题的关键．一十一．分式的加减法（共1小题）17．（2022•东莞市校级二模）计算﹣1的结果是（）A． B．﹣ C． D．【要点分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．【过程解答】解：原式＝＝＝，故选：D．【名师点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．一十二．分式的混合运算（共1小题）18．（2022•邯郸二模）在分式加减运算中，常用到下列四个依据：Ⅰ．合并同类项Ⅱ．约分Ⅲ．同分母分式的加减法则Ⅳ．通分化简﹣＝+①＝②＝③＝﹣④则正确的表示是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅱ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅡC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅳ D．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅳ【要点分析】根据分式的化简的步骤进行要点分析即可．【过程解答】﹣＝+，①通分，＝，②同分母分式的加减法则，＝，③合并同类项，＝﹣，④约分．故选：A．【名师点评】本题主要考查分式的混合运算，过程解答的关键是对相应的运算法则的掌握．一十三．分式的化简求值（共1小题）19．（2022•如皋市二模）若a+b＝2，则代数式的值为（）A． B．﹣ C．2 D．﹣2【要点分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【过程解答】解：＝÷＝﹣•＝﹣（a+b），当a+b＝2时，原式＝﹣2，故选：D．【名师点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．一十四．零指数幂（共1小题）20．（2022•惠安县模拟）计算（﹣5）0的结果是（）A．1 B．﹣5 C．0 D．﹣【要点分析】根据零指数幂的法则，进行计算即可过程解答．【过程解答】解：（﹣5）0＝1，故选：A．【名师点评】本题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂的法则是解题的关键．一十五．负整数指数幂（共1小题）21．（2022•路南区三模）下列计算正确的是（）A． B．C． D．【要点分析】利用负整数指数幂的法则，零指数幂对各项进行运算即可．【过程解答】解：A、，故A符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D不符合题意；故选：A．【名师点评】本题主要考查负整数指数幂，零指数幂，过程解答的关键是对相应的运算法则的掌握．一十六．列代数式（分式）（共2小题）22．（2022•玉环市一模）小明和小亮期中考试的语文、数学成绩分别都是80分，m分，到了期末考时，小明期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了20%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为a．小亮期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了15%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为b．则（）A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．4a＝3b【要点分析】根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出a，b的值，作差后即可得出a＞b．【过程解答】解：依题意得：a＝＝；b＝＝；∵a﹣b＝﹣＝＞0，∴a＞b．故选：B．【名师点评】本题考查了列代数式以及分式的加减法，根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出a，b的值是解题的关键．23．（2022•思明区校级模拟）生活中有这么一个现象：“有一杯a克的糖水里含有b克糖，如果在这杯糖水里再加入m克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”，其中a＞b＞0，m＞0．（1）加入m克糖之前糖水的含糖率A＝；加入m克糖之后糖水的含糖率B＝；（2）请你解释一下这个生活中的现象．【要点分析】（1）利用含糖率＝糖的重量÷糖水的重量分别将A，B表示出来即可；（2）含糖率越高，糖水越甜，将A，B通分后比较大小即可说明．【过程解答】解：（1）加入m克糖之前，∵糖水为a克，其中糖为b克，∴含糖率A＝，加入m克糖之后，∵糖水为（a+m）克，其中糖为（b+m）克，∴含糖率B＝．故答案为：；．（2）∵A＝＝＝，B＝＝＝，∵a＞b＞0，m＞0，∴am＞bm，∴ab+am＞ab+bm，∴B＞A，∴加糖后的糖水更甜．【名师点评】本题考查列代数式，分式的大小比较，解题的关键是掌握含糖率公式，比较大小时保持分母相同．一十七．二次根式的定义（共1小题）24．（2022•鼓楼区校级二模）若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【要点分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式判断即可．【过程解答】解：A选项，当x＝0.5时，x2﹣1＜0，故该选项不符合题意；B选项，∵x2≥0，∴x2+1＞0，故该选项符合题意；C选项，当x＝0时，原式＝0，故该选项不符合题意；D选项，当x＝﹣2时，x+1＜0，故该选项不符合题意；故选：B．【名师点评】本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式是解题的关键．一十八．二次根式有意义的条件（共1小题）25．（2022•东莞市校级二模）要使式子有意义，x的取值应满足（）A．x≠2 B．x≤ C．x≥2 D．x≥【要点分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【过程解答】解：由题意可知：2x﹣1≥0，∴x≥，故选：D．【名师点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．一十九．二次根式的性质与化简（共1小题）26．（2022•夏邑县模拟）实数﹣的倒数是（）A． B． C． D．【要点分析】根据分母有理化以及倒数的定义即可求出答案．【过程解答】解：﹣的倒数是＝，故选：C．【名师点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用分母有理化，本题属于基础题型．二十．最简二次根式（共1小题）27．（2022•金山区二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是（）A． B． C． D．【要点分析】根据最简二次根式的条件，逐项判断即可．【过程解答】解：∵＝，∴选项A不符合题意；∵＝2，∴选项B不符合题意；∵是最简二次根式，∴选项C符合题意；∵＝3，。

通用版2019年中考数学总复习：分式与二次根式--巩固练习(提高)

中考总复习：分式与二次根式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2015春•合水县期末）二次根式、、、、、中，最简二次根式有（）个．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4个2．分式(1)(2)(2)(1)x x x x +---有意义的条件是（） A ．x ≠2 B.x ≠1 C.x ≠1或x ≠2 D.x ≠1且x ≠23．使分式224x x +-等于0的x 的值是（） A.2 B.-2 C.±2 D.不存在4．计算20122013(21)(21)+-的结果是（） A. 1 B. -1 C. 2 1 D. 21+-5．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A ．28002800304-=x xB ．28002800304-=x xC ．28002800305-=x xD ．2800280030-=5x x 6．化简甲，乙两同学的解法如下：甲：=乙：=对他们的解法，正确的判断是（）A ．甲、乙的解法都正确B ．甲的解法正确，乙的解法不正确C ．乙的解法正确，甲的解法不正确D ．甲、乙的解法都不正确二、填空题7．若a 2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子a b b a-÷（a+b ）的值为_______________.8．若m=201120121-，则54322011m m m --的值是 . 9. 下列各式：①a a b b =；②3344--=--；③5593=；④216(0,0).33b ab a b a a=＞≥其中正确的是（填序号）.10．当x =__________时，分式33x x -+的值为0.11．（1）若211()x x x y --=+-，则x y -的值为 .（2）若5,3,x y xy +==则x yy x +的值为 .12．（2015•科左中旗校级一模）观察下列等式：①==﹣1②==﹣③==﹣…回答下列问题：（1）化简：= ；（n 为正整数）（2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++= ．三、解答题13．（1）已知13x x +=,求2421x x x -+的值.（2）已知2510x x -+=和0x ≠,求441x x +的值.14.（2015春•东莞期末）设a=，b=2，c=．（1）当a 有意义时，求x 的取值范围．（2）若a 、b 、c 为Rt △ABC 三边长，求x 的值．15．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？16.阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如5223331+，，一样的式子，其实我们可以将其进一步化简. 553533333⨯==⨯；（一） 22363333⨯==⨯；（二） 2222(31)2(31)3131(31)(31)(3)1⨯--===-++--；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.231+还可以用以下方法化简： 22231(3)1(31)(31)3 1.31313131--+-====-++++（四）；（1）请用不同的方法化简 ①参照（三）式得253+= ； ②参照（四）式得253+= ；（2）化简1111.3153752121n n +++++++++-…【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】二次根式、、、、、中，最简二次根式有、、共3个．故选：C ．2.【答案】D ；【解析】分式有意义，则20x -≠且10x -≠.3.【答案】D ；【解析】令20x +=得2x =-，而当2x =-时，240x -=，所以该分式不存在值为0的情形.4.【答案】D ；【解析】本题可逆用公式（ab ）m =a m b m 及平方差公式，将原式化为 2012(21)(21)(21)2 1.⎡⎤+--=-⎣⎦故选D.5.【答案】A ；【解析】设小玲步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的速度为4x 米/分，依题意，得28002800304-=x x．故选A ．6.【答案】A ；【解析】甲是分母有理化了，乙是把3化为 (52)(52)+-了.二、填空题7．【答案】23 ；【解析】由已知得2269(3)0a a a -+=-=且10b -=，解得3a =，1b =，再代入求值. 8．【答案】0；【解析】此题主要考查了二次根式的化简，得出m= 2012+1，以及5433222011[(1)2012]m m m m m --=--是解决问题的关键．∵m=201120121-=2012+1， ∴543323222011(22011)[(1)2012]0m m m m m m m m --=--=--=，故答案为：0．9．【答案】③④；【解析】提示：①0a ≥，0b ＞；②3,4--无意义.10．【答案】3；【解析】由30x -=得x =±3.当3x =时，360x +=≠，当3x =-时，3330x +=-+=，所以当3x =时，分式的值为0.11．【答案】（1）2；（2）533 ；【解析】（1）由11x x ---，知x =1，∴(x +y )2=0，∴y =-1，∴x -y =2.（2）55,3,0,0, 3.3xyxy x y x y xy x y xy y x xy ++==∴∴=+==＞＞原式12．【答案】；【解析】（1）=；故答案为：；20101-.（2）+++…++ =…+ =20101-.三、解答题13.【答案与解析】（1）因为0x ≠，所以用2x 除所求分式的分子、分母. 原式22221111113361()21x x x x ====--++--.（2）由2510x x -+= 和0x ≠ ,提15x x +=, 所以24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--=14.【答案与解析】解：（1）∵a有意义，∴8﹣x≥0，∴x≤8；（2）方法一：分三种情况：①当a2+b2=c2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当a2+c2=b2，即8﹣x+6=4，得x=10，③当b2+c2=a2，即4+6=8﹣x，得x=﹣2，又∵x≤8，∴x=6或﹣2；方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边，c＞b∴存在两种情况，①当a2+b2=c2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当b2+c2=a2，即4+6=8﹣x，得x=﹣2，∴x=6或﹣2．15.【答案与解析】（1）设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天，根据题意，得1111.512x x+=，解之得，x=20,经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30,答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天.（2）设甲公司每天的施工费y元，则乙公司每天的施工费（y-1500）元，根据题意，得12（y+y-1500）=102000, 解之得，y=5000.甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100000（元），乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000-1500）=105000 （元），故甲公司的施工费较少.16.【答案与解析】（1）①22(53)5 3. 53(53)(53)-==-++-②22253(5)(3)(53)(53)5 3. 53535353--+-====-++++（2）111315375+++++++…12121n n=++-1(315372-+-+-152121)(211)2n n n +++--=+-.。

通用版2019年中考数学总复习：分式与二次根式--巩固练习(提高)

中考总复习：分式与二次根式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2015春•合水县期末）二次根式、、、、、中，最简二次根式有（）个．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4个2．分式(1)(2)(2)(1)x x x x +---有意义的条件是（） A ．x ≠2 B.x ≠1 C.x ≠1或x ≠2 D.x ≠1且x ≠23．使分式224x x +-等于0的x 的值是（） A.2 B.-2 C.±2 D.不存在4．计算20122013(21)(21)+-的结果是（） A. 1 B. -1 C. 2 1 D. 21+-5．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A ．28002800304-=x xB ．28002800304-=x xC ．28002800305-=x xD ．2800280030-=5x x 6．化简甲，乙两同学的解法如下：甲：=乙：=对他们的解法，正确的判断是（）A ．甲、乙的解法都正确B ．甲的解法正确，乙的解法不正确C ．乙的解法正确，甲的解法不正确D ．甲、乙的解法都不正确二、填空题7．若a 2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子a b b a-÷（a+b ）的值为_______________.8．若m=201120121-，则54322011m m m --的值是 . 9. 下列各式：①a a b b =；②3344--=--；③5593=；④216(0,0).33b ab a b a a=＞≥其中正确的是（填序号）.10．当x =__________时，分式33x x -+的值为0.11．（1）若211()x x x y --=+-，则x y -的值为 .（2）若5,3,x y xy +==则x yy x +的值为 .12．（2015•科左中旗校级一模）观察下列等式：①==﹣1②==﹣ ③==﹣…回答下列问题：（1）化简：= ；（n 为正整数）（2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++= ．三、解答题13．（1）已知13x x +=,求2421x x x -+的值.（2）已知2510x x -+=和0x ≠,求441x x +的值.14.（2015春•东莞期末）设a=，b=2，c=．（1）当a 有意义时，求x 的取值范围．（2）若a 、b 、c 为Rt △ABC 三边长，求x 的值．15．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？16.阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如5223331+，，一样的式子，其实我们可以将其进一步化简. 553533333⨯==⨯；（一） 22363333⨯==⨯；（二） 2222(31)2(31)3131(31)(31)(3)1⨯--===-++--；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.231+还可以用以下方法化简： 22231(3)1(31)(31)3 1.31313131--+-====-++++（四）；（1）请用不同的方法化简 ①参照（三）式得253+= ； ②参照（四）式得253+= ；（2）化简1111.3153752121n n +++++++++-…【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】二次根式、、、、、中，最简二次根式有、、共3个．故选：C ． 2.【答案】D ；【解析】分式有意义，则20x -≠且10x -≠.3.【答案】D ；【解析】令20x +=得2x =-，而当2x =-时，240x -=，所以该分式不存在值为0的情形.4.【答案】D ；【解析】本题可逆用公式（ab ）m =a m b m 及平方差公式，将原式化为 2012(21)(21)(21)2 1.⎡⎤+--=-⎣⎦故选D.5.【答案】A ；【解析】设小玲步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的速度为4x 米/分，依题意，得28002800304-=x x．故选A ．6.【答案】A ；【解析】甲是分母有理化了，乙是把3化为 (52)(52)+-了.二、填空题7．【答案】23 ；【解析】由已知得2269(3)0a a a -+=-=且10b -=，解得3a =，1b =，再代入求值. 8．【答案】0；【解析】此题主要考查了二次根式的化简，得出m= 2012+1，以及5433222011[(1)2012]m m m m m --=--是解决问题的关键．∵m=201120121-=2012+1， ∴543323222011(22011)[(1)2012]0m m m m m m m m --=--=--=，故答案为：0．9．【答案】③④；【解析】提示：①0a ≥，0b ＞；②3,4--无意义.10．【答案】3；【解析】由30x -=得x =±3.当3x =时，360x +=≠，当3x =-时，3330x +=-+=，所以当3x =时，分式的值为0.11．【答案】（1）2；（2）533；【解析】（1）由11x x ---，知x =1，∴(x +y )2=0，∴y =-1，∴x -y =2.（2）55,3,0,0, 3.3xy xy x y x y xy x y xy y x xy ++==∴∴=+==＞＞原式 12．【答案】；【解析】（1）=；故答案为：；20101-. （2）+++…++ =…+ =20101-.三、解答题13.【答案与解析】（1）因为0x ≠，所以用2x 除所求分式的分子、分母. 原式22221111113361()21x x x x ====--++--. （2）由2510x x -+= 和0x ≠ ,提15x x +=, 所以24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ 2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--=14.【答案与解析】解：（1）∵a 有意义，∴8﹣x ≥0，∴x ≤8；（2）方法一：分三种情况：①当a2+b2=c2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当a2+c2=b2，即8﹣x+6=4，得x=10，③当b2+c2=a2，即4+6=8﹣x，得x=﹣2，又∵x≤8，∴x=6或﹣2；方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边，c＞b∴存在两种情况，①当a2+b2=c2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当b2+c2=a2，即4+6=8﹣x，得x=﹣2，∴x=6或﹣2．15.【答案与解析】（1）设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天，根据题意，得1111.512x x+=，解之得，x=20,经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30,答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天.（2）设甲公司每天的施工费y元，则乙公司每天的施工费（y-1500）元，根据题意，得12（y+y-1500）=102000, 解之得，y=5000.甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100000（元），乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000-1500）=105000 （元），故甲公司的施工费较少.16.【答案与解析】（1）①22(53)5 3. 53(53)(53)-==-++-②22253(5)(3)(53)(53)5 3. 53535353--+-====-++++（2）111315375+++++++…12121n n=++-1(315372-+-+-152121)(211)2n n n+++--=+-.。

中考《分式与二次根式》经典例题及解析

分式与二次根式一、分式 1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母．【注】①若B ≠0，则A B 有意义；②若B =0，则A B 无意义；③若A =0且B ≠0，则AB=0．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A C C B B C÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式． 3．约分及约分法则（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5．通分及通分法则（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）； ②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式； ③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 7．分式的运算（1）分式的加减 ①同分母的分式相加减②异分母的分式相加减法则：先通分，变为用式子表示为：a c ad bcb d bd bd ±=±=（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子用式子表示为：a c a d a db d bc b⋅÷=⋅=⋅．（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后二、二次根式1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中【注】被开方数a 只能是非负数．即要使二（2）最简二次根式：被开方数所含因数是简二次根式．（3）同类二次根式：化成最简二次根式后2．二次根式的性质（1）a ≥ 0（a ≥0）；（2）)(2=a（40,0)a b =≥≥3．二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算类二次根式合并成一个二次根式．相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为变为同分母的分式，然后再加减． ad bcbd±．作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． c母分别乘方．用式子表示为：()(nn n a a n b b=为正整数运算叫做分式的混合运算．最后算加减．有括号的，先算括号里的． ”叫做二次根号，二次根号下的数要使二次根式a 有意义，则a ≥0．因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二)0(≥a a ；（3(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；；（50,0)a b ≥>．减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，表示为：a c a cb b b±±=．子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅．正整数，0)b ≠．下的数叫做被开方数．因数或因式的二次根式，叫做最同类二次根式．，若有同类二次根式，可把同（2）二次根式的乘除0,0)a b =≥≥0,0)a b ≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．经典例题分式的有关概念1．若式子111x --在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________．【答案】1x ≠【分析】由分式有意义的条件可得答案．【解析】解：由题意得：10,x -≠ 1,x ∴≠ 故答案为：1x ≠【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 2．若分式11x +的值不存在，则x =__________．【答案】-1【分析】根据分式无意义的条件列出关于x 的方程，求出x 的值即可．【解析】∵分式11x +的值不存在，∴x+1=0，解得：x=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键． 3．分式52x x +-的值是零，则x 的值为（） A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－5【答案】D【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．【解析】解：依题意，得x+5=0，且x-2≠0，解得，x=-5,且x≠2,即答案为x=-5．故选：D ．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．1．要使分式11x -有意义，则x 的取值范围是（） A ．1x > B ．1x ≠C ．1x =D ．0x ≠【答案】B【分析】根据分式有意义的条件即可解答．【解析】根据题意可知，10x -≠，即1x ≠．故选：B ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．2．当1x =时，下列分式没有意义的是（） A ．1x x+ B ．1x x - C ．1x x- D ．1x x + 【答案】B【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可. 【解析】1xx -,当x=1时,分母为零,分式无意义.故选B. 【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件. 3．方程3101x +=-的解为__________．【答案】x=-2【分析】先用异分母分式加法法则运算，然后利用分式为零的条件解答即可．【解析】解：3101x +=- 31011x x x -+=-- 201x x +=- 则：2010x x +=⎧⎨-≠⎩，解得x=-2．故答案为x=-2．【点睛】本题考查了异分母分式加法法则和分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键．经典例题分式的基本性质1．若a b ¹，则下列分式化简正确的是（）A ．22a ab b+=+ B ．22a a b b -=-C ．22a a b b=D ．1212aa b b = 【答案】D【分析】根据a ≠b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．【解析】∵a ≠b ，∴22a a b b +≠+，选项A 错误；22a ab b-≠-，选项B 错误； 22a a b b ≠，选项C 错误；1212a ab b =，选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查分式的性质，解答本题的关键是明确分式的性质．1．分式13-x可变形为( ) A ．13x + B ．-13x+ C ．31-x D ．1-3x - 【答案】D【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可. 【解析】A.13x +≠13-x ，故A 选项错误；B. -13x +=13-x -≠13-x，故B 选项错误；C. 65x ==-13-x ，故C 选项错误；D. 1-3x -=1x-3)-（=13-x ，故D 选项正确，故选D. 【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．经典例题分式的约分与通分1. 关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确 A ．211x x +-约分的结果是1x B ．分式211x -与11x -的最简公分母是x -1C ．22x x 约分的结果是1D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误； B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x 2-1，故本选项错误； C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ．【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．2．下列分式中，最简分式是（）A ．2211x x -+B ．211x x +-C ．2222x xy y x xy-+- D ．236212x x -+【答案】A【解析】选项A 为最简分式；选项B 化简可得原式==；选项C 化简可得原式==；选项D 化简可得原式==，故答案选A. 考点：最简分式.1．分式22x x -与282x x -的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________．【答案】()2x x - x=-4【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．【解析】解：∵()222x x x x -=-，∴分式22x x -与282x x-的最简公分母是()2x x -，方程228122-=--x x x x，去分母得：()2282x x x -=-，去括号得：22282x x x -=-，移项合并得：2280x x +-=，变形得：()()240x x -+=，解得：x=2或-4，∵当x=2时，()2x x -=0，当x=-4时，()2x x -≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4．【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法． 2．化简：2121x x x +++＝_____．【答案】11x + 【分析】先将分母因式分解，再根据分式的基本性质约分即可．【解析】2121x x x +++＝21(1)x x ++＝11x +．故答案为：11x +．【点睛】本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分式的基本性质以及因式分解的方法．经典例题分式的运算1．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++ 2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++ 第一步32132(3)x x x x -+=-++ 第二步 2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++ 第三步26(21)2(3)x x x --+=+ 第四步26212(3)x x x --+=+ 第五步526x =-+ 第六步任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：726x -+；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．【分析】先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式．【解析】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；故答案为：五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：解；229216926x x x x x -+-+++2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++ 32132(3)x x x x -+=-++ 2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++26(21)2(3)x x x --+=+26212(3)x x x ---=+ 726x =-+．任务三：解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的关键．2．先化简，（22444x x x ++-﹣x ﹣2）÷22x x +-，然后从﹣2≤x ≤2范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．【答案】﹣x +3，2【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算可得．【解析】解：原式＝()()()()2222-2x x x x ⎡⎤+-+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦×22x x -+=2242222x x x x x x ⎛⎫+---⨯⎪--+⎝⎭ =26222x x x x x -++-⨯-+ =()()23222x x x x x +---⨯-+=﹣（x －3）=﹣x+3∵x ≠ ±2，∴可取x ＝1，则原式＝﹣1+3＝2．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．1．计算：212(111a aa a a +-+÷++ 【答案】2a a + 【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后约分化简即可．【解析】解：212(1)11a a a a a +-+÷++2(1)(1)1112a a a a a a -+++=⋅++211(2)a a a a a +=⋅++2a a =+．【点睛】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 2．先化简：2124244x x x x x x x -+-⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭，然后选择一个合适的x 值代入求值．【答案】化简结果是：2x x-，选择x =1时代入求值为-1. 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x 的值代入进行计算即可【解析】解：原式2124244x x x x x x x -+-⎛⎫⎛⎫=-÷ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭2(1)(2)(2)4(2)(2)(2)x x x x x x x x x x ⎡⎤-+--=-÷⎢⎥---⎣⎦ 2224(2)(2)4x x x x x x x --+-=⋅--24(2)(2)4x x x x x--=⋅--2x x -=. 当x=1时代入，原式=1211-==-.故答案为：化简结果是2x x-，选择x =1时代入求值为-1. 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键，最后在选择合适的x 求值时要保证选取的x 不能使得分母为0.经典例题二次根式的概念与性质1．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A ．2x ≠ B ．2x ≥C ．2x ≤D ．2x ≠-【答案】C【分析】根据二次根式里面被开方数420x -≥即可求解．【解析】解：由题意知：被开方数420x -≥，解得：2x ≤，故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．2．已知3y =+-，则2xy 的值为（）A ．15-B ．15C ．152-D ．152【答案】A【解析】由3y =-，得250{520x x -≥-≥，解得 2.5{3x y ==-．2xy （=2×2.5×-）3=-，故选．15A 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，以及有理数的乘法运算，掌握以上知识是解题的关键.1．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A ．2x ≠ B ．2x ≥C ．2x ≤D ．2x ≠-【答案】B【分析】根据二次根式里面被开方数240x -≥即可求解．【解析】解：由题意知：被开方数240x -≥，解得：2x ≥，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．2．函数13y x =+-的自变量x 的取值范围是（） A ．2x ≥，且3x ≠ B ．2x ≥ C ．3x ≠D ．2x >，且3x ≠【答案】A【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．【解析】依题意可得x-3≠0，x-2≥0解得2x ≥，且3x ≠故选A ．【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．经典例题1．下列各式是最简二次根式的是（）A BC D 【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解析】解：A B =C a =，不是最简二次根式，故选项错误；D =故选A.【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关1．下列二次根式是最简二次根式的是AB【答案】D【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行【解析】A.=，故A 选项不符合C.=，故C 选项不符合题意；【点睛】本题考查最简二次根式的识别，经典例题1．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示A ．2- B ．0【答案】A【分析】根据实数a 和b 在数轴上的位置得【解析】由数轴可知-2＜a ＜-1，1＜b+-=【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运1．已知实数a 在数轴上的对应点位置如图A ．32a -B ．1-【答案】D【分析】根据数轴上a 点的位置，判断出【解析】解：由图知：1＜a ＜2，∴a−1原式＝a−1-2a -＝a−1＋（a−2）＝题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于( ) CD一进行判断即可. 不符合题意；B. =，故B 选项不符合题意；D. 是最简二次根式，符合题意，故选D. ，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概+-的结果是C ．2a -D ．2b位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对＜2，∴a+1＜0，b-1＞0，a-b ＜0， 11a b a b ++---=()()(11a b a b -++-+-之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正根据运算法则进行判断．置如图所示，则化简|1|a -的结果是（C ．1D ．23a -断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质＞0，a−2＜0， 2a−3．故选D．题属于基础题型．合题意；式的概念是解题的关键.结果是（）．和绝对值的性质即可求出答案． )=-2故选A.学生正确根据数在数轴上的位置（）的性质进行化简．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．经典例题二次根式的运算1．下列计算中，正确的是（）A =B ．2+=C =D ．2= 【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．【解析】解：A 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B ．2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C ==，此选项计算正确；D ．2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．2． “分母有理化”7==+，设x =->，故0x >，由22332x ==-=，解得x =，即= ）A ．5+B ．5+C ．5D ．5-【答案】D和2323+-进行化简，然后再进行合并即可.【解析】设x =<∴0x <，∴266x =--++，∴212236x =-⨯=，∴x =，5=-，∴原式5=-5=-D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.1．计算：2+-=______．【分析】先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可．【解析】解：2=+=22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，掌握二次根式混合运算的运算法则和平方差公式是解答本题的关键．2．下列等式成立的是（）A．3+=B=C= D3= 【答案】D【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断．【解析】解：A 、3和A 错误；B=B 错误； C===，故C 错误；D3=，正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则．经典例题1．设2a =+，则（）A ．23a <<B ．34a <<C ．45a <<D ．56a << 【答案】C的范围，再得出a 的范围即可.【解析】解：∵4＜7＜9，∴23<<，∴425<<，即45a <<，故选C.【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算方法.2-【答案】＜【分析】利用分子有理化即可比较大小．【解析】=-+==-=++<故答案为：＜．【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用分子有理化比较大小是解决此题的关键．1．的值在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间【答案】B【分析】因为224225<<在4到5之间，由此可得出答案.【解析】解：∵224225<<，∴45<<．故选：B【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．2. 下列各数中，比3大比4小的无理数是（）A．3.14 B．103CD【答案】C【分析】根据无理数的定义找出无理数，再估算无理数的范围即可求解．【解析】，而17＞42，32＜12＜42＞4，3＜4∴选项中比3大比4．故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的定义和估算，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．。

北师大初中数学中考总复习：分式与二次根式--巩固练习(提高)【精品】.doc

中考总复习：分式与二次根式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2015春•合水县期末）二次根式、、、、、中，最简二次根式有（）个．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4个 2．分式(1)(2)(2)(1)x x x x +---有意义的条件是（）A ．x ≠2 B.x ≠1 C.x ≠1或x ≠2 D.x ≠1且x ≠2 3．使分式224x x +-等于0的x 的值是（） A.2 B.-2 C.±2 D.不存在4．计算201220131)1)+的结果是（） ZXDEF VEDRGFHYJUIL ’P/Hjkolp;[‘ ]’;lkjhxdgb /k,.”15．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（） A ．28002800304-=x xB ．28002800304-=x xC ．28002800305-=x xD ．2800280030-=5x x6．化简甲，乙两同学的解法如下：甲：= 乙：=对他们的解法，正确的判断是（）zx A ．甲、乙的解法都正确 B ．甲的解法正确，乙的解法不正确 C ．乙的解法正确，甲的解法不正确 D ．甲、乙的解法都不正确二、填空题7．若a 2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子a bb a-÷（a+b ）的值为_______________.正确的是（填序号）. 10．当x =__________时，分式33x x -+的值为0.11．（12()x y =+，则x y -的值为 .（2）若5,3,x y xy +==的值为 . 12．（2015•科左中旗校级一模）观察下列等式： ①==﹣1 ②==﹣ ③==﹣…回答下列问题：（1）化简：= ；（n 为正整数）（2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++= ．三、解答题13．（1）已知13x x+=,求2421x x x -+的值.（2）已知2510x x -+=和0x ≠,求441x x +的值.14.（2015春•东莞期末）设a=，b=2，c=．（1）当a 有意义时，求x 的取值范围．（2）若a 、b 、c 为Rt △ABC 三边长，求x 的值．15．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？16.阅读下列材料，然后回答问题.的式子，其实我们可以将其进一步化简.==（一）=（二）1===；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.1.====（四）；（1）请用不同的方法化简= ；= ；（2++…【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】二次根式、、、、、中，最简二次根式有、、共3个．故选：C．2.【答案】D；【解析】分式有意义，则20x-≠且10x-≠.3.【答案】D；【解析】令20x+=得2x=-，而当2x=-时，240x-=，所以该分式不存在值为0的情形.4.【答案】D；【解析】本题可逆用公式（ab）m=a m b m及平方差公式，将原式化为20121)1) 1.⎡⎤-=⎣⎦故选D.5.【答案】A；【解析】设小玲步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的速度为4x米/分，依题意，得28002800304-=x x．故选A．6.【答案】A；【解析】甲是分母有理化了，乙是把3化为+了.二、填空题7．【答案】23 ；【解析】提示：①0a ≥，0b ＞.10．【答案】3；【解析】由30x -=得x =±3.当3x =时，360x +=≠，当3x =-时，3330x +=-+=，所以当3x =时，分式的值为0.11．【答案】（1）2；（2 ；【解析】（1x =1，∴(x +y )2=0，∴y =-1，∴x -y =2.（2）5,3,0,0,x y xy x y +==∴∴===＞＞原式 12．【答案】；【解析】（1）=；故答案为：1.（2）+++…++=…+1.三、解答题13.【答案与解析】（1）因为0x ≠，所以用2x 除所求分式的分子、分母. 原式22221111113361()21x x x x====--++--. （2）由2510x x -+= 和0x ≠ ,提15x x+=,所以24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--=14.【答案与解析】解：（1）∵a 有意义， ∴8﹣x≥0， ∴x≤8；（2）方法一：分三种情况：①当a 2+b 2=c 2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当a 2+c 2=b 2，即8﹣x+6=4，得x=10，③当b 2+c 2=a 2，即4+6=8﹣x ，得x=﹣2，又∵x≤8， ∴x=6或﹣2；方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边，c ＞b ∴存在两种情况，①当a 2+b 2=c 2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当b 2+c 2=a 2，即4+6=8﹣x ，得x=﹣2， ∴x=6或﹣2．15.【答案与解析】（1）设甲公司单独完成此工程x 天，则乙公司单独完成此项工程1.5x 天，根据题意，得1111.512x x +=，解之得，x=20, 经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30, 答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天.（2）设甲公司每天的施工费y 元，则乙公司每天的施工费（y-1500）元，根据题意，得12（y+y-1500）=102000, 解之得，y=5000. 甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100000（元），乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000-1500）=105000 （元），故甲公司的施工费较少.16.【答案与解析】（1======（2++…=112121)2n +++=.。

中考数学总复习《分式与二次根式》专项练习题-附带参考答案

中考数学总复习《分式与二次根式》专项练习题-附带参考答案一、选择题：（本题共8小题，共40分．）1．计算（﹣ 13 ）﹣2的值，正确的是（）A ．19B ．﹣ 19C ．9D ．﹣92．下列各数中，化为最简二次根式后能与√3合并的是（）A ．√18B ．√12C ．√23D ．√293．使代数式√x−3x−4有意义的x 的取值范围是（）A ．x ＞3B ．x ≥3C ．x ＞4D ．x ≥3 且x ≠44．下列运算中错误的是（）A ．√2 + √3 = √5B ．√2 × √3 = √6C ．√8 ÷ √2 =2D ．(−√3)2 =35．若分式 |x|−1x 2−3x+2 的值为0，则x 的值为（）A ．-1B ．0C ．1D ．±16．如果分式xy 2x−3y 中的x ，y 都扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A ．扩大为原来的2倍B ．扩大为原来的4倍C ．不变D ．不能确定7．若先化简 (1+2p−2)÷p 2−pp 2−4 ，再求值，且 p 是满足 −3<p <3 的整数，则化简求值的结果为（）A ．0或 −12 或-2或4B ．-2或 −12C ．-2D ．−128．若√x −1+√x +y =0 ，则x 2005+y 2005 的值为：（）A ．0B ．1C ．-1D ．2二、填空题：（本题共5小题，共15分．）9．化简： 4a−4b 3ab ⋅15ab 2a −2b 2÷1a = .10．若分式 x 2−x−2x 2+2x+1 的值为 0 ，则 x 的值等于 .11．计算 √48−√27 的结果等于．12．已知 1a −1b =12 ，则 ab a−b 的值是13．对于分式，当x= 时，分式 x 2−2x−3x−3 无意义；当x= 时，分式值为零.三、解答题：（本题共4题，共45分．）14．化简：（a ﹣1+1a−3）÷a2−4a−3；15．先化简，再求值：222414816a a a a a ---÷+++，其中2a =．16．（1）计算：（12）﹣2﹣|√2−3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0；（2）先化简，再求值：（3a+1−a +1）÷a 2−4a 2+2a+1，其中a 从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．17. 先化简，再求值：(1x －y ＋2x 2－xy )÷x ＋22x ，其中实数x ，y 满足y ＝x －2－4－2x ＋1.参考答案：1.C2.B3.D4.A5.A6.A7.D8.A9.20ab a+b10.211.√312.﹣213.3；-114.原式＝[(a−1)(a−3)a−3+1a−3]÷(a+2)(a−2)a−3 ＝（a 2−4a+3a−3+1a−3）•a−3(a+2)(a−2) =(a−2)2a−3•a−3(a+2)(a−2) =a−2a+2；15.解：原式=()()()242421142222a a a a a a a a +-+-+-⨯=-=-+++；把22a 代入得：原式=2222=--+ 16.（1）（12）﹣2﹣|√2−3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0＝4+√2−3+2×1﹣1＝4+√2−3+2﹣1＝2+√2；（2）（3a+1−a +1）÷a 2−4a 2+2a+1=3−(a−1)(a+1)a+1×(a+1)2(a+2)(a−2) =−(a+2)(a−2)a+1＝﹣a ﹣1要使原式有意义，只能a ＝3则当a ＝3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．17.略。

华东师大初中数学中考总复习：分式与二次根式--巩固练习(提高)【推荐】.doc

中考总复习：分式与二次根式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2015春•合水县期末）二次根式、、、、、中，最简二次根式有（）个．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4个2．分式(1)(2)(2)(1)x x x x +---有意义的条件是（） A ．x ≠2 B.x ≠1 C.x ≠1或x ≠2 D.x ≠1且x ≠23．使分式224x x +-等于0的x 的值是（） A.2 B.-2 C.±2 D.不存在4．计算20122013(21)(21)+-的结果是（） A. 1 B. -1 C. 2 1 D. 21+-5．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A ．28002800304-=x xB ．28002800304-=x x C ．28002800305-=x x D ．2800280030-=5x x 6．化简甲，乙两同学的解法如下：甲：= 乙：=对他们的解法，正确的判断是（）A ．甲、乙的解法都正确B ．甲的解法正确，乙的解法不正确C ．乙的解法正确，甲的解法不正确D ．甲、乙的解法都不正确二、填空题7．若a 2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子a b b a -÷（a+b ）的值为_______________. 8．若m=201120121-，则54322011m m m --的值是 . 9. 下列各式：①a ab b =；②3344--=--；③5593=；④216(0,0).33b ab a b a a =＞≥其中正确的是（填序号）.10．当x =__________时，分式33x x -+的值为0.11．（1）若211()x x x y --=+-，则x y -的值为 .（2）若5,3,x y xy +==则x y yx +的值为 . 12．（2015•科左中旗校级一模）观察下列等式： ①==﹣1 ②==﹣ ③==﹣ …回答下列问题：（1）化简：= ；（n 为正整数）（2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++= ．三、解答题13．（1）已知13x x+=,求2421x x x -+的值. （2）已知2510x x -+=和0x ≠,求441x x +的值.14.（2015春•东莞期末）设a=，b=2，c=．（1）当a 有意义时，求x 的取值范围．（2）若a 、b 、c 为Rt △ABC 三边长，求x 的值．15．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？16.阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如5223331+，，一样的式子，其实我们可以将其进一步化简. 553533333⨯==⨯；（一） 22363333⨯==⨯；（二）2222(31)2(31)3131(31)(31)(3)1⨯--===-++--；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.231+还可以用以下方法化简： 22231(3)1(31)(31)3 1.31313131--+-====-++++（四）；（1）请用不同的方法化简 ①参照（三）式得253+= ； ②参照（四）式得253+= ；（2）化简1111.3153752121n n +++++++++-…【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】二次根式、、、、、中，最简二次根式有、、共3个．故选：C ．2.【答案】D ；【解析】分式有意义，则20x -≠且10x -≠.3.【答案】D ；【解析】令20x +=得2x =-，而当2x =-时，240x -=，所以该分式不存在值为0的情形.4.【答案】D ；【解析】本题可逆用公式（ab ）m =a m b m 及平方差公式，将原式化为 2012(21)(21)(21)2 1.⎡⎤+--=-⎣⎦故选D.5.【答案】A ；【解析】设小玲步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的速度为4x 米/分，依题意，得28002800304-=x x ．故选A ．6.【答案】A ；【解析】甲是分母有理化了，乙是把3化为 (52)(52)+-了.二、填空题7．【答案】23 ；【解析】由已知得2269(3)0a a a -+=-=且10b -=，解得3a =，1b =，再代入求值.8．【答案】0；【解析】此题主要考查了二次根式的化简，得出m= 2012+1，以及5433222011[(1)2012]m m m m m --=--是解决问题的关键．∵m=201120121-=2012+1， ∴543323222011(22011)[(1)2012]0m m m m m m m m --=--=--=，故答案为：0．9．【答案】③④；【解析】提示：①0a ≥，0b ＞；②3,4--无意义.10．【答案】3；【解析】由30x -=得x =±3.当3x =时，360x +=≠，当3x =-时，3330x +=-+=，所以当3x =时，分式的值为0.11．【答案】（1）2；（2）533；【解析】（1）由11x x ---，知x =1，∴(x +y )2=0，∴y =-1，∴x -y =2. （2）55,3,0,0, 3.3xy xy x y x y xy x y xy y x xy ++==∴∴=+==＞＞原式 12．【答案】；【解析】（1）=；故答案为：；20101-. （2）+++…++ =…+ =20101-.三、解答题13.【答案与解析】（1）因为0x ≠，所以用2x 除所求分式的分子、分母.原式22221111113361()21x x x x ====--++--. （2）由2510x x -+= 和0x ≠ ,提15x x +=, 所以24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ 2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--=14.【答案与解析】解：（1）∵a 有意义，∴8﹣x≥0，∴x≤8；（2）方法一：分三种情况：①当a2+b2=c2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当a2+c2=b2，即8﹣x+6=4，得x=10，③当b2+c2=a2，即4+6=8﹣x，得x=﹣2，又∵x≤8，∴x=6或﹣2；方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边，c＞b∴存在两种情况，①当a2+b2=c2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当b2+c2=a2，即4+6=8﹣x，得x=﹣2，∴x=6或﹣2．15.【答案与解析】（1）设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天，根据题意，得1111.512x x+=，解之得，x=20,经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30,答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天.（2）设甲公司每天的施工费y元，则乙公司每天的施工费（y-1500）元，根据题意，得12（y+y-1500）=102000, 解之得，y=5000.甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100000（元），乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000-1500）=105000 （元），故甲公司的施工费较少.16.【答案与解析】（1）①22(53)5 3. 53(53)(53)-==-++-②22253(5)(3)(53)(53)5 3. 53535353--+-====-++++（2）111315375+++++++…12121n n=++-1(315372-+-+-152121)(211)2n n n+++--=+-.。

中考数学总复习《二次根式》练习题附有答案

中考数学总复习《二次根式》练习题附有答案一、单选题(共12题；共24分)1．若最简二次根式√a+2与√2a−3是可以合并的二次根式，则a的值为（）A．5B．13C．-2D．322．使式子√x+1x−1有意义的x的取值范围是（）A．x>1B．x≠1C．x≥1且x≠1D．x≥−1且x≠13．若等式√m2−4=√m+2⋅√m−2成立，则m的取值范围是（）A．m≥−2B．m≥2C．−2≤m≤2D．m≥44．在函数y=1√x+3中，自变量x的取值范围是（）A．x≥−3B．x≥−3且x≠0 C．x≠0D．x>−35．下列计算正确的一项是（）A．√36=±6B．√0.49=0.7C．√919=313D．√(3−23)2=3−1136．计算正确的是（）A．√114=112B．7a-5a=2C．（-3a）3=-9a3D．2a（a-1）=2a2-2a7．下列运算正确的是（）A．2√2-√2=2B．a3·a2=a5C．a8÷a2=a4D．（﹣2a2）3=﹣6a68．下面是二次根式的是（）A．12B．−3C．√3D．0 9．若式子√x−3有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x=3 10．有下列说法：①一元二次方程x2+px-1=0不论p为何值必定有两个不相同的实数根；②若b=2a+12c，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为－2；③代数式x2+√x+1+1有最小值1；④有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；其中正确的是（）A．①④B．①②C．①②③D．①②③④运算结果在哪两个整数之间（）11．估计(√24−√12)⋅√13A．0和1B．1和2C．2和3D．3和4 12．下列运算正确的是（）A．√3+√4=√7B．(−√3)2=−3C．2√3−√3=2D．√3×√2=√6二、填空题(共6题；共7分)13．式子√x−1中x的取值范围是14．计算：(√3−√2)2012(√3+√2)2013＝．15．若√x−5不是二次根式，则x的取值范围是16．若|a－b＋1|与√a+2b+4互为相反数，则a＝，b＝．17．若x，y为实数，且y=2022+√x−4+√4−x，则x+y=．18．已知√24n是整数，则正整数n的最小值是.三、综合题(共6题；共86分)19．如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(b，0)，C(﹣1，2)，且（a+2）2+ ＝0，（1）求a，b的值；（2）在坐标轴上存在一点M，使△COM的面积是△ABC的面积的一半，求出点M 的坐标．（3）如图2，过点C做CD△y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分角△AOP，OF△OE，当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．20．有这样一类题目：将√a±2√b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a 且mn=√b，a±2√b将变成m2+n2±2mn，即变成(m±n)2，从而使√a±2√b得以化简．（1）例如，∵5+2√6=3+2+2√6=(√3)2+(√2)2+2√2×√3=(√3+√2)2 ∴√5+2√6=√(√3+√2)2= ，请完成填空．（2）仿照上面的例子，请化简√4−2√3；（3）利用上面的方法，设A =√6+4√2，B =√3−√5，求A ＋B 的值．21．计算：（1）(√12−3)0+√24−(−12)−1 ；（2）已知 y =√2−x +√x −2−3 ，求 (x +y)2021 的立方根；（3）如图，一次函数 y =kx +b 的图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且经过点 (−1,32) ，求 △AOB 的面积．22．阅读下列计算过程：√2+1=√2(√2+1)(√2−1)=√2−1√3+√2=√3√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2√5+2=√5(√5+2)(√5−2)=√5−2试求：（1）1√11+√10的值；（2）1√n+√n−1的值；（3）求1+√2√2+√3√3+√4+⋅⋅⋅√199+√200 的值．23．计算：（1）√8+2 √3﹣（√27+ √2）（2）√23÷ √223× √25（3）（7+4 √3）（7﹣4 √3）24．（1）一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，求a的值．（2）已知√a−16+(b+2)2=0，求ab的立方根．（3）已知x、y为实数，且y=√x−9−√9−x+√4．求√x+√y的值．参考答案1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】A12．【答案】D13．【答案】x≥114．【答案】√3+√215．【答案】x＜516．【答案】－2；－117．【答案】202618．【答案】619．【答案】（1）解：∵（a+2）2+ ＝0∴a+2=0，b-3=0∴a＝﹣2，b＝3；（2）解：如图1，过点C作CT△x轴，CS△y轴，垂足分别为T、S．∵A（﹣2，0），B（3，0）∴AB＝5∵C（﹣1，2）∴CT＝2，CS＝1∴△ABC的面积＝AB•CT＝5∵△COM的面积＝△ABC的面积∴△COM的面积＝若点M在x轴上，即OM•CT＝∴OM＝2.5．∴M的坐标为（2.5，0）（﹣2.5，0）若点M在y轴上，即OM•CS＝∴OM＝5∴点M坐标（0，5）或（0，﹣5）综上所述：点M的坐标为（0，5）或（﹣2.5，0）或（0，﹣5）或（2.5，0）；（3）解：如图2，的值不变，理由如下：∵CD△y轴，AB△y轴∴△CDO＝△DOB＝90°∴AB△CD∴△OPD＝△POB．∵OF△OE∴△POF+△POE＝90°，△BOF+△AOE＝90°∵OE平分△AOP∴△POE＝△AOE∴△POF＝△BOF∴△OPD＝△POB＝2△BOF．∵△DOE+△DOF＝△BOF+△DOF＝90°∴△DOE＝△BOF∴△OPD＝2△BOF＝2△DOE∴＝2．20．【答案】（1）√3+√2（2）解：∵4−2√3=3+1−2√3=(√3)2+1−2√3=(√3−1)2∴√4−2√3=√(√3−1)2=√3−1．（3）解：∵A=6+4√2=4+2+4√2=(√4)2+(√2)2+2×√4×√2=(2+√2)2∴A=√6+4√2=2+√2∵B=3−√5=6−2√52=5+1−2√52=(√5)2+12−2×1×√52=(√5−1)22∴B=√3−√5=√(√5−1)22=√5−1√2=√10−√22=12√10−12√2∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：A+B=2+√2+12√10−12√2=2+12√10+√2221．【答案】（1）解: 原式= 1+2√6+2=3+2√6；（2）解: ∵y=√2−x+√x−2−3∴2−x≥0,x−2≥0∴x≤2∴x=2∴y=−3∴(x+y)2021=(2−3)2021=−1；∴(x+y)2021的立方根为−1；（3）解: 由图像可得点B的坐标为(0,3)，然后把点B(0,3)和点(−1,32)代入一次函数y=kx+b得：{b=3−k+b=32，解得：{k=32b=3∴一次函数的解析式为y=32x+3令y=0时，则有0=32x+3，解得：x=−2∴OA=2，OB=3∴S△AOB=12×2×3=3．22．【答案】（1）解：√11+√10=√11−√10(√11+√10)(√11−√10)=√11−√10（2）解：1√n+√n−1=√n−√n−1(√n+√n+1)(√n−√n−1)=√n−√n−1n−(n−1)=√n−√n−1（3）解：11+√21√2+√3+1√3+√41√199+√200=√2−1+√3−√2+√4−√3+···+√199−√198+√200−√199=√200−1=10√2−1. 23．【答案】（1）解：原式=2 √2+2 √3﹣3 √3﹣√2 = √2﹣√3（2）解：原式= √23×38×25= √1010（3）解：原式=49﹣48=124．【答案】（1）解：∵一个正数的平方根是a+3与2a﹣15∴（a+3）+（2a﹣15）=0∴a=4；（2）解：∵√a−16+(b+2)2=0∴a﹣16=0，b+2=0∴a=16，b=﹣2∴√a b3=√16−23=﹣2；（3）解：∵y=√x−9−√9−x+√4∴x=9，y=2∴√x+√y=√9+√2=3+√2。

数学中考考点专题复习训练及答案解析3：分式与二次根式

考点03 分式与二次根式一、分式 1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母．【注意】①若B ≠0，则AB有意义；②若B =0，则AB无意义；③若A =0且B ≠0，则AB＝0．学=科网2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A C C B B C÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式． 3．约分及约分法则（1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．（2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式． 4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5．通分及通分法则（1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式； ③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 6．最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 7．分式的运算（1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=． ②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅．（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅．（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：()(nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．二、根式1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0．（2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质（1）a ≥ 0（a ≥0）；（2）)0()(2≥=a a a ；（32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（4(0,0)ab a b a b =≥≥；（50,0)a aa b b b=≥>． 3．二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除 0,0)a b ab a b =≥≥；除法法则：(0,0)a aa b b b=≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一分式的有关概念1．分式的三要素：（1）形如AB的式子；（2）,A B 均为整式；学科!网（3）分母B 中含有字母． 2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即0B ≠．（2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．典例1 要使式子1x +有意义，x 的取值范围是 A ．x ≠1B ．x ≠0C ．x ＞﹣1且≠0D ．x ≥﹣1且x ≠0【答案】D【解析】根据题意得：100x x +≥⎧⎨≠⎩，解得：x ≥-1且x ≠0．故选：D ．1．若分式21xx-在实数范围内无意义，则x 的取值范围是A ．x ≠1B ．x =1C ．x =0D ．x ＞1考向二分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．典例2 分式233x yxy+中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为 A ．扩大为原来2倍 B ．缩小为原来的12倍 C ．不变D ．缩小为原来的14倍【答案】B【名师点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．2．不改变分式的值，下列变形正确的是A ．2233a ab b -=-- B ．33a ab b -=-- C ．55a a b b=--D ．7744a a b b=- 考向三分式的化简与求值约分与通分的区别与联系：1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．典例3 把分式xx y-，yx y+，222x y-的分母化为x2-y2后，各分式的分子之和是A．x2＋y2＋2 B．x2＋y2-x＋y＋2 C．x2＋2xy−y2＋2 D．x2−2xy＋y2＋2 【答案】C【解析】由平方差公式将x2−y2可化简为(x+y)(x−y)，故将xx y-的分母化为x2−y2后可得()22x x yx y+-，将yx y+的分母化为x2−y2后可得()22y x yx y--，所以分式的xx y-,yx y+,222x y-的分母化为x2−y2后,各分式的分子之和为x(x+y)+y(x-y)+2，展开得x2+xy+xy−y2+2合并同类项,得x2+2xy−y2+2，故选C.【名师点睛】本题考查了最简公分母，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．求最简公分母的方法是：（i）将各个分母分解因式；（ii）找各分母系数的最小公倍数；（iii）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的.满足（ii）（iii）的因式之积即为各分式的最简公分母．3．下列分式中，是最简分式的是A ．2xyx B ．222x y -C ．22x yx y+- D ．22xx + 考向四分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．典例4 计算(1－1x)÷221x x x -+的结果是A ．x －1B ．11x - C ．1xx -D ．1x x-【答案】B【解析】原式=（x x −1x ）÷()21x x -=1x x -. •()21x x -=11x -，故选B ．4．先化简，再求值：2221()211x x x x x x+÷--+-，其中x =4．考向五二次根式的概念与性质1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．典例5 下列各式： ①；②；③；④3a ；⑤269y y ++； ⑥3．其中一定是二次根式的有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个【答案】B5．使1x -有意义的x 的取值范围是 A ．1x ≠ B ．1x ≥ C ．>1xD ．0x ≥典例6 下列二次根式是最简二次根式的是A ．12B ．8C ．10D ．16【答案】C6．下列二次根式 1.2；5x y +；43a ；24x -；15；28．其中是最简二次根式的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个考向六二次根式的运算1．二次根式的运算（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 2．比较分式与二次根式的大小（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较；（2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．典例7 下列计算正确的是A ．1233-=B ．326⨯=C ．325+=D ．824÷=【答案】A【解析】A 、原式=23-3=3，正确；B 、原式=32⨯=6，错误；C 、32+为最简结果，错误；D 、原式=82÷=2，错误，故选：A ．7．已知3232x +=-，3232y -=+，则y x x y +=_____________．典例8 比较大小：27______5（填“＞，＜，=”）．【答案】＞【解析】因为22(27)28,525==，28＞25，所以27＞5．【名师点睛】比较二次根式的大小，可以转化为比较被开方数的大小，也可以将两个数平方，计算出结果，再比较大小．8．设a ＝6－2，b ＝3－1，c ＝231+，则a ，b ，c 之间的大小关系是 A ．c ＞b ＞a B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c1．下列根式中属于最简二次根式的是 A 21a +B 12C 8D 27x 2．若分式24x x-的值为0，则x 的值是A ．2或﹣2B ．2C ．﹣2D ．03．如果把分式xyx y+中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值 A ．扩大4倍 B ．扩大2倍 C ．不变D ．缩小2倍43A 13 B 3C 23D 125．下列关于分式的判断，正确的是A ．当x =2时，12x x +-的值为零 B ．当x ≠3时，3x x-有意义C ．无论x 为何值，31x +不可能得整数值D ．无论x 为何值，231x +的值总为正数6．若x 、y 为实数，且|2|20x y +-=，则2019x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2B ．−2C ．1D ．−17a 的值为 A ．1 B ．2 C ．23D ．328．下列运算中，错误的是 A ．x y y xx y y x--=-++ B ．a ba b--+=−1C 1D a9．已知 1x <，则化简的结果是A ．1x -B ．1x -C ．1x --D ．1x +10．下列分式是最简分式的是A BCD ．22121x x x --+11．若分式11x x -+的值为0，则x 的值为 A ．1 B ．−1 C ．±1D ．无解12 A ．2B ．21x - C ．23x -D ．41x x --13．若x 、y ()2210y -=，则x y +的值等于A ．1B ．32 C ．2D ．5214a=，则1x x +的值为A ．22a - B ．2a C ．24a -D ．不确定15_____________． 16．当x =_____________时，分式323xx -+的值为零．17．比较大小：（填“＞、＜、或=”）18．当a =2_____________．19．已知a ，b 互为倒数，代数式222a ab b a b+++÷11a b ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为_____________． 20．已知::2:3:4x y z =，则23x y zx y z+--+的值为_____________．21．计算：（1）|1|−+（2018−π）0；（2+（（．22．先化简，再求值：221a b a b a b⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中1a =，1b =．23．先化简，再求值：()()()2222x yx y x y +---，其中，．24．先化简，再求值：2212111121m m m m m -⎛⎫-÷- ⎪+--+⎝⎭，其中m 为一元二次方程230x x +-=的根．1．（2018·德阳市）下列计算或运算中，正确的是 A ．22aa =B 1882=C ．61523345=D ．3327-=2．（2018·兰州市）下列二次根式中，是最简二次根式的是A BCD3．（2018·绥化市）若y =x 的取值范围是 A ．12x ≤且0x ≠ B ．12x ≠C ．12x ≤D ．0x ≠4．（2018·绥化市）下列运算正确的是A ．2235a a a +=B 5=-C ．3412a a a ⋅=D ．0(π3)1-=5．（2018·曲靖市）下列二次根式中能与ABCD6．（2018·上海市） A ．4B ．3C ．D7．（2018·日照市）计算：（12）−1+tan30°•sin60°= A ．﹣32B ．2C ．52D ．728．（2018·莱芜市）若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是 A ．2xx y+- B ．22yxC ．3223y xD ．()222y x y -9．（2018·陇南市）使得代数式3x-有意义的x的取值范围是____________．10．（2018·毕节市）观察下列运算过程：()()()22121211221212121--====-+++--()()()()223232322332323232--====-+++--……请运用上面的运算方法计算：1335572015201720172019++++++++++L=____________．11．（2018·益阳市）123=⨯____________．12．（2018·莱芜市）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是23和2，则图中阴影部分的面积是____________．13．（2018·镇江市）计算：182．14．（2018·梧州市）3x-在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________．15．（2018·巴彦淖尔市）化简3mm++269m-÷23m-的结果是____________．16．（2018·绥化市）当2x=时，代数式211()x xxx x+++÷的值是____________．17．（2018·大连市）计算：3+2）248+22-.18．（2018·百色市）已知a 2=19，求22211118a a a --+-的值．19．（2018·福建省b 卷）先化简，再求值：2211(1)m m m m+--÷，其中m +1．20．（2018·锦州市）先化简，再求值： 233212),322x x x x x x +-+-÷=++（其中.21．（2018·毕节市）先化简，再求值：22214244aa a a a a ⎛⎫-÷⎪--++⎝⎭，其中a 是方程a 2+a ﹣6=0的解．22．（2018·兰州市）计算：101()(π3)1tan452--+-++o.23．（2018·甘孜州）（1()03.144cos45-π-o ；（2）化简：2211x xx x x ÷---.24．（2018·益阳市）化简：2()y x y x y x y x+-+⋅+.25．（2018·莱芜市）先化简，再求值：233()111a aa a a -+÷--+，其中a +1．26．（2018·曲靖市）先化简，再求值（1a b -﹣22b a b -）÷2222+a ab a ab b --，其中a ，b 满足a +b ﹣12=0．27．（2018·梧州市）解不等式组36451 102 x xx x-≤⎧⎪++⎨<⎪⎩，并求出它的整数解，再化简代数式2321xx x+-+•（3xx+﹣239xx--），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．28．（2018·抚顺市）先化简，再求值：（1﹣x+31x+）÷2441x xx+++，其中x=tan45°+（12）−1．1．【答案】B变式拓展【解析】∵分式21x x-在实数范围内无意义， ∴1﹣x =0，即x =1，故选：B ．3．【答案】D【解析】A 、2xy x ＝y x，错误； B 、222x y -＝1x y-，错误； C 、22x y x y +-＝1x y-，错误； D 、22x x +是最简分式，正确．故选D ．4．【答案】21x x -；163. 【解析】2221()211x x x x x x+÷--+- =2(+1)2(111)()()x x x x x x x --÷-- =2()(+1)111)(x x x x x x -⋅-+ =21x x -，当x =4时，原式=2416413=-．5．【答案】B 【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件知，要使1x -在实数范围内有意义，必须101x x -≥⇒≥．故选B ．6．【答案】B 【解析】301.2=， 4123a a =， 2827=，∴5x y +、24x -、15是最简二次根式. 故选：B .8．【答案】D【解析】a 62231），b 31，c 231+()()233131+-（）22×31）， 2＞1＞22，∴a ＞b ＞c ．故选D ． 1．【答案】A 【解析】A 、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；考点冲关B、该二次根式的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；C、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数4，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；D、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数9，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；故选A．【名师点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．【答案】A【解析】∵分式24xx-的值为0，∴x2﹣4=0，解得：x=2或﹣2．故选：A．3．【答案】B【解析】把分式xyx y+中的x和y都扩大2倍，则22222x y xyx y x y⋅=++，故选B．5．【答案】D【解析】A选项：当x=2时，该分式的分母20x-=，该分式无意义，故A选项错误．B选项：当x=0时，该分式的分母为零，该分式无意义．显然，x=0满足x≠3．由此可见，当x≠3时，该分式不一定有意义，故B选项错误．C选项：当x=0时，该分式的值为3，即当x=0时该分式的值为整数，故C选项错误．D选项：无论x为何值，该分式的分母x2+1>0，该分式的分子3>0．由此可知，无论x为何值，该分式的值总为正数，故D选项正确．故本题应选D．【名师点睛】本题考查了与分式概念相关的知识．分式有意义的条件是分式的分母不等于零，并不是分母中的x的值不等于零．分式的值为零的条件是分式的分母不等于零且分式的分子等于零．在分式整体的符号为正的情况下，分式值的符号由分子与分母的符号共同确定：若分子与分母同号，则分式值为正数；若分子与分母异号，则分式值为负数．6．【答案】D【解析】由非负数的性质可得：x+2=0，y−2=0，即x=−2，y=2，∴2019xy⎛⎫⎪⎝⎭=（−1）2019=−1．故选C．7．【答案】D【解析】31+4,2a a a=-=解得，故选D．8．【答案】D【解析】A．x y y xx y y x--=-++，正确，故不符合题意；B．a ba b--+=−1，正确，故不符合题意；C1，正确，故不符合题意；D a|，错误，故符合题意．故选D．9．【答案】B【解析】∵x＜1，∴x-1＜0x-1|=1-x．故选：B．10．【答案】C【解析】A选项：化简该分式，得()222a ba ab bam am m+++==，故A选项不符合题意．B选项：化简该分式，得623xy xya a=，故B选项不符合题意．C 选项：对该分式的分子进行因式分解，得()()222111x x x x x +--=．由此可见，该分式的分子与分母没有公因式，符合最简分式的定义，故C 选项符合题意．D 选项：化简该分式，得()()()22211112111x x x x x x x x +--+==-+--，故D 选项不符合题意．故本题应选C ．11．【答案】A【解析】∵分式11x x -+的值为0，∴|x |−1=0，且x +1≠0，解得：x =1．故选A ． 12．【答案】B 【解析】211()(3)31x x x x +-⋅---=（13x -−11x -）•（x −3）=13x -•（x −3）−11x -•（x −3）=1−31x x --=21x -．故选B ．15623236=⨯=6． 16．【答案】3【解析】依题意得：3﹣x =0且2x +3≠0．解得x =3，故答案为：3．17．【答案】＜【解析】将两式进行平方可得：(23=12，(232=18，因为12＜18，所以233218．【答案】3- 【解析】∵()()2121214122121a a a a a a +--==-++，∴当a =2时，原式=1223-⨯=-．故本题应填写：3-． 19．【答案】1【解析】对待求值的代数式进行化简，得22211a ab b a b a b ++⎛⎫÷+ ⎪+⎝⎭()2a b a b a b ab ++⎛⎫=÷ ⎪+⎝⎭()ab a b a b =+⋅+ab =， ∵a ，b 互为倒数，∴ab =1，∴原式=1．故本题应填写：1．20．【答案】411【解析】根据分式的性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）解答．∵::2:3:4x y z =，∴可设234x k y k z k ===、、，∴226444323121111x y z k k kkx y z k k k k +-+-===-+-+，故答案为：411．21．【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式−1−+1=（2）原式=3−−5=2−22．【答案】化简见解析，结果为【解析】221aba b a b ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()a b a ba ab a b b +--+=⋅-()()a b a b ba b b +-=⋅-a b =+，当1a =，1b =时，原式11+=23．【答案】8-+．【解析】原式2(2)x y x y =---22x y x y =--+222xy y =-．当34x y ==,时，原式=2−2×4=4 −8． 24．【答案】化简见解析，结果为13．【解析】原式=()()()22122111111m m m m m m m --+--÷++-- =()()()()21121112m m m m m m m ---⋅++-- =()1111m m m m --++ =()()11m m m m --+ =()11m m + =21m m +．由m 是方程230x x +-=的根，得到23m m +=，所以原式=13．【名师点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 1．【答案】B【解析】A 、2a 2×22a a =，此选项错误； B 1882-222，此选项正确；C 、6152335=D 、3327-=，此选项错误；故选：B ．2．【答案】B直通中考【解析】A =BC =D =故选B ．3．【答案】A【解析】由题意可知：120 0x x -≥⎧⎨≠⎩，解得：12x ≤且0x ≠，故选A ．4．【答案】D【解析】A. 23a a +=5a ，故A 选项错误；B. =5，故B 选项错误；C. 347a a a ⋅=，故C 选项错误；D. 0(π3)1-=，故D 选项正确，故选D.5．【答案】B【解析】A ＝BC 合并，故该选项错误；D 3不能与故选B ．6．【答案】C，故选C ．7．【答案】C【解析】（12）−1+tan30°•sin60°=2+33 32⨯=2+1 2=52，故选C．9．【答案】x＞33x-有意义，∴x﹣3＞0，∴x＞3，∴x的取值范围是x＞3，故答案为：x＞3．10．20191-【解析】原式=1231）+1253+1275+…+1220172015）+1220192017=121++…=12-．11．【答案】6【解析】原式．故答案为：6．12．【答案】2【解析】设正三角形的边长为a ，则12a 2，解得a则图中阴影部分的面积−2=2．故答案是2．13．【答案】2，故答案为2. 14．【答案】x ≥3【解析】由题意可得：x ﹣3≥0，解得：x ≥3，故答案为：x ≥3．15．【答案】1 【解析】3m m ++269m -÷23m - =()()63·3332m m m m m -+++- =333m m m +++ =1，故答案为1.16．【答案】3 【解析】原式221()1x x x x x x +=+⋅+ =2(1)1x x x x +⋅+ 1x =+，当2x =时，原式213=+=，故答案为：3．17．【答案】294【解析】原式﹣+14=294． 18．【答案】16- 【解析】原式=22121a a a ---（）﹣118 =221a ---118， ∵a 2=19，∴原式=2191--﹣118=﹣318=﹣16．19．【解析】2211(1)m m m m+--÷ =()()2111m m m m m m +-⋅+- =()()111m m m m m +⋅+- =11m -，当m 时，原式==． 20．【答案】11;12x --【解析】原式=()23322)21x x x x ++-⨯+-（， ()()22433221x x x x x +--+=⨯+-， ()()21221x x x x -+=⨯+-，11x =-，当x =3时，原式=113-=12-. 21．【答案】13 【解析】22214244a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭ =()()()()222222a a a a a a -++⋅+- =2222a a a a a--+⋅- =222a a a a-+⋅-， =2a a +，由a 2+a ﹣6=0，得a =﹣3或a =2，∵a ﹣2≠0，∴a ≠2，∴a =﹣3，当a =﹣3时，原式=32133-+=-． 22．1．【解析】101()(π3)1tan 2--+-+-+45°=2111-++1=．（2）2211x x x x x ÷--- =()()211·1x x x x x+---x =x (x +1)-x=x 2.24．【答案】x【解析】原式=222x y y x y x y x-++⋅+ =2x x y x y x+⋅+ =x ．25．【答案】22【解析】当a 2+1时，原式=()()333111a a a a a a ++-+⨯-+ =()()4111a a a a a+⨯-+ =41a - 22.26．【答案】原式=1a b+=2 【解析】（1a b -﹣22b a b -）÷2222+a ab a ab b -- =()()()()2•a b a b b a b a b a a b -+-+--=1a b+，由a +b ﹣12=0，得到a +b =12，则原式=112=2． 27．【答案】原式=11x -，当x =2，原式=1．【解析】解不等式 3x ﹣6≤x ，得：x ≤3，解不等式4510x +＜12x +，得：x ＞0，则不等式组的解集为 0＜x ≤3，所以不等式组的整数解为 1、2、3，原式=()231x x +-•[()()2333x x x x --+- ()()333x x x -+-] =()231x x +-•()()()()1333x x x x --+- =11x -， ∵x ≠±3、1，∴x =2，则原式=1．28．【答案】-15【解析】原式=（21311x x x -+++）÷()221x x ++ =()()()2221·12x x x x x +-+++ =22x x-+，当x =tan45°+（12）−1=1+2=3时，原式=231235-=-+．。

中考数学复习《二次根式》专项练习题-附带答案

中考数学复习《二次根式》专项练习题-附带答案一、选择题1．下列式子，一定是二次根式的共有（）√28，1，√−1，√m,，√x2+1A．5个B．4个C．3个D．2个2．下列根式是最简二次根式的是（）A．√3B．√12C．√3D．√503．要使二次根式√6x+12有意义，则x的取值范围是（）A．x≤-2 B．x≥-2 C．x⩾−12D．x⩽−124．计算2√5×3√10等于（）A．6√15B．6√30C．30√2D．30√5 5．计算√52−42−32的结果是（）A．6 B．0 C．√6D．46．使式子√x+3√4−3x在实数范围内有意义的整数x有（）A．5个B．3个C．4个D．2个7．下列计算错误的是（）A．√43+√121=2√7B．(√8+√3)×√3=2√6+3C．(4√2−3√6)÷2√2=2−32√3D．(√5+√7)(√5−√7)=5−7=−28．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为12cm2和16cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．8−4√3B．16−8√3C．8√3−12D．4−2√3二、填空题9．计算：3√2−√8=．10．若代数式√2−xx−2有意义，则x的取值范围是．11．已知：x=√13+1，y=√13−1，则xy的值为．12．若a ＜2，化简√(a −2)2+a ﹣1= ．13．已知x =√3+1，y =√3−1，则代数式y x +x y 的值是．三、解答题14．计算：（181832；（221268(13)-15．先化简，再求值：已知x =3+2√2，求(2−x)2x−2+√x 2+9−6x x−3的值 16．已知23x =+23y =（1）试求22x y +的值；（2）试求x y y x-的值． 17．某居民小区有块形状为长方形的绿地ABCD ，长BC 为√128米，宽AB 为√50米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为(√13+1)米，宽为(√13−1)米.（1）求长方形ABCD 的周长.（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？18．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知a ＝，求2a 2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵a ＝＝＝2﹣，∴a ﹣2＝﹣ ∴（a ﹣2）2＝3，a 2﹣4a+4＝3∴a 2﹣4a ＝﹣1∴2a 2﹣8a+1＝2（a 2﹣4a ）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的解析过程，解决如下问题：（1）＝；（2）化简；（3）若a＝，求a4﹣10a3+a2﹣20a+5的值．参考答案1．D2．C3．B4．C5．B6．C7．A8．C9．√210．x <211．1212．113．414．（1）原式2222（2）原式333315．解： x =3+2√2=√2(3+2√2)(3−2√2)=3−2√2∴x −3=−2√2<0．原式=x −2+|x−3|x−3 =x −2+3−x x−3=x −2−1=x −3.当x =3+2√2时，原式==3+2√2−3=3−2√2−3=−2√2.16．（1）解：∵23x =和 23y =∴x+y=2323+，xy=(2323+=1 ∴()2222242114x y x y xy +=+-=-⨯= ；（2）解：∵23x =+和 23y =-∴x+y=2323+x-y=((2323232323--=+=xy=(2323=1 ∴()()2242383x y x y x y x y y x xy xy +--⨯-====17．（1）解：2×(√128+√50)=2×(8√2+5√2)=26√2（米）∴长方形ABCD 的周长为26√2米.（2）解：√128×√50−2×(√13+1)×(√13−1)=80−2×12=56（平方米）则56×30=1680（元）∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费1680元.18．解：（1）故答案为：﹣1；（2）＝＝12﹣1＝11；（3）∵a ＝∴a ﹣5＝∴（a ﹣5）2＝26，即a 2﹣10a+25＝26．∴a 2﹣10a ＝1∴a 4﹣10a 3+a 2﹣20a+5＝a 2（a 2﹣10a+1）﹣20a+5＝a 2×（1+1）﹣20a+5＝2（a 2﹣10a ）+5＝2+5＝7．答：a 4﹣10a 3+a 2﹣20a+5的值为7．。

通用版2019年中考数学总复习：分式与二次根式--巩固练习(提高)

中考总复习：分式与二次根式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2015春•合水县期末）二次根式、、、、、中，最简二次根式有（）个．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4个 2．分式(1)(2)(2)(1)x x x x +---有意义的条件是（）A ．x ≠2 B.x ≠1 C.x ≠1或x ≠2 D.x ≠1且x ≠2 3．使分式224x x +-等于0的x 的值是（） A.2 B.-2 C.±2 D.不存在 4．计算20122013(21)(21)+-的结果是（）A. 1B. -1C. 2 1D. 21+-5．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（） A ．28002800304-=x xB ．28002800304-=x xC ．28002800305-=x xD ．2800280030-=5x x6．化简甲，乙两同学的解法如下：甲：=乙：=对他们的解法，正确的判断是（）A ．甲、乙的解法都正确B ．甲的解法正确，乙的解法不正确C ．乙的解法正确，甲的解法不正确D ．甲、乙的解法都不正确二、填空题7．若a 2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子a bb a-÷（a+b ）的值为_______________. 8．若m=201120121-，则54322011m m m --的值是 .9. 下列各式：①a ab b =；②3344--=--；③5593=；④216(0,0).33b ab a b a a =＞≥其中正确的是（填序号）. 10．当x =__________时，分式33x x -+的值为0.11．（1）若211()x x x y --=+-，则x y -的值为 . （2）若5,3,x y xy +==则xyy x+的值为 . 12．（2015•科左中旗校级一模）观察下列等式： ①==﹣1②==﹣③==﹣…回答下列问题：（1）化简：= ；（n 为正整数）（2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++= ．三、解答题13．（1）已知13x x +=,求2421x x x -+的值.（2）已知2510x x -+=和0x ≠,求441x x +的值.14.（2015春•东莞期末）设a=，b=2，c=．（1）当a 有意义时，求x 的取值范围．（2）若a 、b 、c 为Rt △ABC 三边长，求x 的值．15．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？16.阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如5223331+，，一样的式子，其实我们可以将其进一步化简.553533333⨯==⨯；（一） 22363333⨯==⨯；（二） 2222(31)2(31)3131(31)(31)(3)1⨯--===-++--；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.231+还可以用以下方法化简： 22231(3)1(31)(31)3 1.31313131--+-====-++++（四）；（1）请用不同的方法化简 ①参照（三）式得253+= ；②参照（四）式得253+= ；（2）化简1111.3153752121n n +++++++++-…【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C ；【解析】二次根式、、、、、中，最简二次根式有、、共3个．故选：C ．2.【答案】D ；【解析】分式有意义，则20x -≠且10x -≠. 3.【答案】D ；【解析】令20x +=得2x =-，而当2x =-时，240x -=，所以该分式不存在值为0的情形. 4.【答案】D ；【解析】本题可逆用公式（ab ）m=a m b m及平方差公式，将原式化为 2012(21)(21)(21)2 1.⎡⎤+--=-⎣⎦故选D.5.【答案】A ；【解析】设小玲步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的速度为4x 米/分，依题意，得28002800304-=x x．故选A ．6.【答案】A ；【解析】甲是分母有理化了，乙是把3化为 (52)(52)+-了.二、填空题 7．【答案】23 ；【解析】由已知得2269(3)0a a a -+=-=且10b -=，解得3a =，1b =，再代入求值.8．【答案】0；【解析】此题主要考查了二次根式的化简，得出m= 2012+1，以及 5433222011[(1)2012]m m m m m --=--是解决问题的关键．∵m=201120121-=2012+1，∴543323222011(22011)[(1)2012]0m m m m m m m m --=--=--=，故答案为：0． 9．【答案】③④；【解析】提示：①0a ≥，0b ＞；②3,4--无意义. 10．【答案】3；【解析】由30x -=得x =±3.当3x =时，360x +=≠，当3x =-时，3330x +=-+=，所以当3x =时，分式的值为0.11．【答案】（1）2；（2）533；【解析】（1）由11x x ---，知x =1，∴(x +y )2=0，∴y =-1，∴x -y =2. （2）55,3,0,0, 3.3xy xy x y x y xy x y xy y x xy ++==∴∴=+==＞＞原式 12．【答案】；【解析】（1）=；故答案为：；20101-.（2）+++…++=…+=20101-. 三、解答题 13.【答案与解析】（1）因为0x ≠，所以用2x 除所求分式的分子、分母. 原式22221111113361()21x x x x====--++--. （2）由2510x x -+= 和0x ≠ ,提15x x+=, 所以24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--=14.【答案与解析】解：（1）∵a 有意义， ∴8﹣x ≥0， ∴x ≤8；（2）方法一：分三种情况：①当a 2+b 2=c 2，即8﹣x+4=6，得x=6， ②当a 2+c 2=b 2，即8﹣x+6=4，得x=10， ③当b 2+c 2=a 2，即4+6=8﹣x ，得x=﹣2，又∵x ≤8， ∴x=6或﹣2；方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边，c ＞b ∴存在两种情况，①当a 2+b 2=c 2，即8﹣x+4=6，得x=6， ②当b 2+c 2=a 2，即4+6=8﹣x ，得x=﹣2， ∴x=6或﹣2．15.【答案与解析】（1）设甲公司单独完成此工程x 天，则乙公司单独完成此项工程1.5x 天，根据题意，得1111.512x x +=，解之得，x=20, 经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30, 答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天.（2）设甲公司每天的施工费y 元，则乙公司每天的施工费（y-1500）元，根据题意，得12（y+y-1500）=102000, 解之得，y=5000. 甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100000（元），乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000-1500）=105000 （元），故甲公司的施工费较少.16.【答案与解析】（1）①22(53)5 3. 53(53)(53)-==-++-②22253(5)(3)(53)(53)5 3. 53535353--+-====-++++（2）111315375+++++++…12121n n=++-1(315372-+-+-152121)(211)2n n n+++--=+-.。

中考数学总复习《分式及二次根式》专项测试卷及答案

中考数学总复习《分式及二次根式》专项测试卷及答案（测试时长：60分钟；总分：100分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（本题共8小题，共40分）1.结果相同的是（）A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--2. ）A B C D 3.下列计算正确的是（）A 4=±B ．()021-=C =D 3= 4.若分式23x x -+的值等于0，则x 的值是（） A ．2 B ．﹣2 C ．3 D ．﹣35.试卷上一个正确的式子（11a b a b++-）÷★＝2a b +被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（）A ．a a b -B ．a b a -C ．a a b +D ．224a a b - 6.化简222a b ab a b b a++--的结果是（） A ．a +b B ．a ﹣b C ．2()a b a b +- D ．2()a b a b-+ 7.（2022年内蒙古乌海）若分式11x x --的值等于0，则x 的值为（） A ．﹣1B ．0C ．1D ．±18.函数11=-+y x 中，自变量x 的取值范围是（） A ．23x ≤ B ．23x ≥ C ．23x <且1x ≠- D ．23x ≤且1x ≠- 二、填空题（本题共5小题，每空3分，共15分）9．（2022年四川南充）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值_____. 10．计算：2-=_____________． 11.与最简二次根式5是同类二次根式，则a= ． 12．已知实数a 、b 30b +=，若关于x 的一元二次方程20x ax b -+=的两个实数根分别为1x 、2x 则1211x x +=_____________． 13．计算：21|2|2-⎛⎫--= ⎪⎝⎭_________．三、解答题（本题共4小题，共45分）14.计算：22)+15.01(2022)2--+．16.先化简，再求值：2225321121x x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭，从22x -<≤中选出合适的x 的整数值代入求值．17.阅读下列引例的解答过程：已知x ，y 为实数，且y= √x −2021+√2021−x +1 ，求x+y 的值．解：由题意，得x-2021≥0且2021-x ≥0∴x ≥2 021且x ≤2 021∴x=2 021，∴y=1∴x+y=2 022．结合引例，请挖掘下列问题中所蕴含的条件并解决问题：（1）已知y= √x−4+√4−x2 -2．求(x+y)y 的值．（2）已知y= √−x 2 -1，求x-y 的值．（3）已知|2021-x|+ √x −2022 = x ，求x-20212的值．参考答案：1.A2.D3.B4.A5.A6.B7.A8.D9.5-10.511.212.2 3 -13.243+ 14.715.5 216.11xx-+；-1．17.（1）解：由已知可得x=4，y=-2，∴(x+y)y=(4-2)-2= 14（2）解：由题意得x=0，y=-1，∴x-y=0-(-1)=1（3）解：∵x-2022≥0，∴x≥2022∴x-2021+ √x−2020 =x∴√x−2020 =2021∴x-2 0212=2022．。

分式方程和二次根式试题和答案

分式方程和二次根式专项讲解一．知识框架二．知识概念1、分式：形如BA，A 、B 是整式，B 中含有未知数且B 不等于0的整式叫做分式。

其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.二次根式：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。

当a ＞0时，√a 表示a 的算数平方根,其中√0=0 2、分式有意义的条件：分母不等于03、分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C （A,B,C 为整式，且C≠0） 5、最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.6、分式的四则运算：①同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：cba cbc a ±=± ②异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：bdbcad d c b a ±=± ③分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：bdacd c b a =* ④分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.bc ad d c b a =÷(2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数: cd b a d c b a *=÷ 7、理解并掌握下列结论：（1）()0≥a a 是非负数；（2）()()02≥=a a a ；（3）()02≥=a a a ；三、知识讲解【例1】（2009年黔东南州）当x_____时，11+x 有意义．（1-≠x ）★直通中考：1、（2009年漳州）若分式12x -无意义，则实数x 的值是 x=2 ． 2、（2009年天津市）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 x=2 ．3、（2010安徽芜湖）要使式子a ＋2a有意义，a 的取值范围是（ B ） A ．a ≠0 B ．a ＞－2且a ≠0 C ．a ＞－2或a ≠0 D ．a ≥－2且a ≠0 4、已知有意义，则在平面直角坐标系中，点P （m ，n ）位于第 __四__ 象限．【例2】(2009年成都)分式方程2131x x =+的解是 x=2 ★直通中考：1、(2009年潍坊)方程3123x x =+的解是．（x=9） 2、(2009宁夏)解分式方程：1233x x x +=--．（37=x ）【例3】（2009 年佛山市）化简：2211xyx y x y x y⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭ （y 2）★直通中考：1、（2009年湖南长沙）分式111(1)a a a +++的计算结果是（ C ） A ．11a + B ．1a a +C ．1aD ．1a a+ 2、（2009年佳木斯）计算21111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭= （1+a a） 3、(2009年成都)化简：22221369x y x y x y x xy y +--÷--+＝_______ （yx y -2） 4、（2010广东广州）若a ＜1，化简2(1)1a --＝（ D ）A ．a ﹣2B ．2﹣aC ．aD ．﹣a5、已知2＜x ＜5，化简2(2)x -+2(5)x -＝________.（3）【例4】(2009年内江市)已知25350x x --=，则22152525x x x x ----＝__________．（528） ★直通中考：1、（2009烟台市）设0a b >>，2260a b ab +-=，则a bb a+-的值等于．（2） 2、（2009年枣庄市）已知a 、b 为实数，且ab =1，设P =11a b a b +++，Q =1111a b +++，则P = Q （填“＞”、“＜”或“＝”）．3、(2011·呼和浩特)若x 2－3x ＋1＝0，则x 2x 4＋x 2＋1的值为________．（81）4、(2011·乐山)若m 为正实数，且m －1m ＝3，则m 2－1m2＝________.（53）5、（2010四川广安）若|2|20x y y -++=，则xy 的值为（ A ） A ．8 B ． 2 C ．5 D ．6-6、已知522+-+-=x x y ，则x y =________．（52）【例5】(2009年河北)已知a = 2，1-=b ，求2221a b a ab --+÷1a的值．解：化简后1++b a ，代入可得2112=+-★直通中考：1、（2009年莆田）先化简，再求值：2244242x x x x x x +++÷---，其中1x =．解：化简后x -，代入可得-12、（2009年衡阳市）先化简，再求值：212)14(-÷-+-a a a a a ，其中31=a ．解：化简后13-a ，代入可得01313=-⨯3、(2011年中考)已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根，求代数式⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷--2526332x x x x x 的值．解：化简后)3(31+x x ，因为0132=-+x x 可化为1)3(=+x x ，故原式可得314、（2009湖北省荆门市）已知x =2＋3，y =2-3，计算代数式2211()()x y x y x y x y x y+----+的值．解：化简后xy 4-，代入可得()()34-32324-=-+5、如图，点A 的坐标为（﹣，0），点B 在直线y=x 上运动，当线段AB 最短时点B 的坐为（ A ）A ．（﹣，﹣）B ．（﹣，﹣）C ．（，）D ．（0，0）6、如图所示，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为__4_______．【例6】(2009年安顺)下表为抄录北京奥运会官方票务网公布的三种球类比赛的部分门票价格，某公司购买的门票种类、数量绘制的统计图表如下：依据上列图表，回答下列问题：（1）其中观看足球比赛的门票有_50__张；观看乒乓球比赛的门票占全部门票的_20_％；（2）公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100名员工，在看不到门票的条件下，每人抽取一张（假设所有的门票形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），问员工小华抽到男篮门票的概率是；（103）（3）若购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的61，求每张乒乓球门票的价格。

中考必备：数、分式与二次根式--巩固练习(答案)

中考必备：数与式综合复习—巩固练习【巩固练习】-基础型一、选择题1．下列运算中，计算结果正确的是（）A.632x x x =⋅ B.222+-=÷n n nx x xC. 9234)2(x x =D.633x x x =+2． ()1-22⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭20112012＝（）A ．1B ．－1C ．2D ．－23．已知,4a b m ab +==-，化简(2)(2)a b --的结果是（）A ．6B ．2m －8C ．2mD ．－2m 4．当x ＜1时,化简2(1)x -的结果为 ( )A. x －1B. －x －1C. 1－xD. x ＋1 5．计算44()()xy xyx y x y x y x y-++--+的正确结果是（） A ．22y x - B ．22x y - C ．224x y - D ．224y x -6.用同样大小的黑色的小三角形按如图所示的规律摆放，则第100个图形有（）个黑色的小三角形．A ．300B ．303C ．306D ．309二、填空题7．若单项式22xa 与313x a --是同类项，则x= ．8．化简的结果是．已知x+|x ﹣1|=1，则化简的结果是．9．已知两个分式：A ＝442-x ，B ＝x x -++2121，其中x ≠±2．下面有三个结论： ①A ＝B ； ②A 、B 互为倒数； ③A 、B 互为相反数．正确的是 .（填序号）10．已知a 2284a a a +--的值为． 11．在实数范围内因式分解44-x = _____ _____．12．如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形，则需要C 类卡片张．三、解答题13．计算（1）；（2）．14．观察下列各式及其验证过程:验证: 23223+验证：2233233222(22)22(21)22121-+-+=--223+验证:338338+3383383222(33)33(31)33131-+-+=--338+(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并给出证明．15．分解因式：（1）﹣4x2yz﹣12xy2z+4xyz；（2）ax2﹣4ax+4a；（3）x2﹣5x+6；（4）（b﹣a）2﹣2a+2b；（5）（a2+b2）2﹣4a2b2．16. A 、B 两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B 后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A 地，求甲车原来的速度和乙车的速度．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】B ；【解析】同底数幂的乘法法则是底数，不变指数相加，而除法可能转化为乘法进行，幂的乘方是底数不变，指数相乘．A 项结果应等于5x ，C 项结果应等于64x ，而D 项无法运算．2.【答案】C ；【解析】原式=11==22⨯⨯g g 201120112011（）22（2）22．3.【答案】选D ；【解析】原式按多项式乘法运算后为2()4ab a b -++，再将,4a b m ab +==-代入，可得－2m ． 4.【答案】C ；【解析】开方的结果必须为非负数．5.【答案】B ；【解析】将括号内的式子分别通分．6.【答案】B ；【解析】（1）第一个图需三角形6个，第二个图需三角形9，第三个图需三角形12，第四个图需三角形15，第五个图需三角形18， …第n 个图需三角形3（n+1）枚．∴第100个图形有3（100+1）=303个黑色的小三角形．故选：B ．二、填空题 7．【答案】1；【解析】 ∵ 22xa 与313x a --是同类项， ∴ 231x x =-，解得x ＝1．8．【答案】6；﹣2x+3. 【解析】=6；∵x+|x﹣1|=1，∴|x﹣1|=﹣（x ﹣1），∴x﹣1≤0，∴x≤1，∴原式=|x ﹣1|+|2﹣x|=﹣（x ﹣1）+2﹣x=﹣x+1+2﹣x=﹣2x+3．故答案为：6；﹣2x+3． 9．【答案】③；【解析】因为：Ｂ=x x -++2121=424222-+---x x x x =442--x =-Ａ故选③. 10．【答案】2－【解析】∵02≥-a ，∴2a ≤0，而2a ≥0，∴a ＝0，∴原式＝282-=-11．【答案】)2)(2)(2(2-++x x x ；【解析】观察多项式44-x ，发现其有平方差公式特点，所以可以使用平方差公式进行因式分解.需要注意要将因式分解在实数范围内进行到底，且不可半途而废. 12．【答案】３张；【解析】本题考查的相关知识有整式的乘法，乘法公式，数形结合思想.解答思路：可由面积相等入手，图形拼合前后面积不变，所以(a ＋2b) (a ＋b)=a 2+3ab+2b 2.三、解答题13.【答案与解析】解：（1）原式=÷=•=；（2）原式=•（﹣）•3•==．14.【答案与解析】(1)4415=4415+．验证:4415=3415=32(44)441-+-=224(41)441-+-=4415+(2)由题设及(1)的验证结果,•可猜想对任意自然数n (n ≥2)都有:n21n n -=21nn n +-．证明：∵n 21n n -= 321n n -=32()1n n n n -+-=22(1)1n n n n -+-，∴n 21n n -=21n n n +-．15.【答案与解析】解：（1）﹣4x 2yz ﹣12xy 2z+4xyz=﹣4xyz （x+3y ﹣1）；（2）ax 2﹣4ax+4a=a （x 2﹣4x+4）=a （x ﹣2）2；（3）x 2﹣5x+6=（x ﹣2）（x ﹣3）；（4）（b ﹣a ）2﹣2a+2b=（b ﹣a ）2﹣2（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a ﹣b ﹣2）；（5）（a 2+b 2）2﹣4a 2b 2=（a 2+b 2﹣2ab ）（a 2+b 2+2ab ）=（a ﹣b ）2（a+b ）2．16.【答案与解析】设甲车原来的速度为千米/时，乙车的速度为千米/时，据题意得：解得经检验为方程组的解，并且符合题意．答：甲车原来的速度为45千米/时，乙车的速度为30千米/时.【巩固练习】-提高型一、选择题 1.二次根式、、、、、中，最简二次根式有（）个．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4个 2．分式(1)(2)(2)(1)x x x x +---有意义的条件是（）A ．x ≠2 B.x ≠1 C.x ≠1或x ≠2 D.x ≠1且x ≠2 3．使分式224x x +-等于0的x 的值是（） A.2 B.-2 C.±2 D.不存在4．计算20122013(21)(21)+-的结果是（） A. 1 B. -1 C. 2 1 D. 21+-5．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A ．28002800304-=x xB ．28002800304-=x xC ．28002800305-=x xD ．2800280030-=5x x6．化简甲，乙两同学的解法如下：甲：=乙：=对他们的解法，正确的判断是（）A ．甲、乙的解法都正确B ．甲的解法正确，乙的解法不正确C ．乙的解法正确，甲的解法不正确D ．甲、乙的解法都不正确二、填空题7．若a 2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子a bb a-÷（a+b ）的值为_______________. 8．若m=201120121-，则54322011m m m --的值是 .9. a a b b =3344--=--559=216(0,0).33b ab a b a a =＞≥其中正确的是（填序号）.10．当x =__________时，分式33x x -+的值为0.11．（1）若211()x x x y --=+-，则x y -的值为 .（2）若5,3,x y xy +==则xyy x+的值为 . 12．观察下列等式： ①==﹣1 ②==﹣③==﹣…回答下列问题：（1）化简：= ；（n 为正整数）（2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++= ．三、解答题13．（1）已知13x x +=,求2421x x x -+的值. （2）已知2510x x -+=和0x ≠,求441x x +的值.14.设a=，b=2，c=．（1）当a 有意义时，求x 的取值范围．（2）若a 、b 、c 为Rt △ABC 三边长，求x 的值．15．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元. （1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？16.阅读下列材料，然后回答问题. 23331+，，我们可以将其进一步化简.3533333==⨯（一） 2236333⨯==⨯；（二） 222(31)2(31)3131(31)(31)(3)1⨯--===++--；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.31+22(3)(333 1.31313131====++++（四）；（1）请用不同的方法化简①参照（三）式得53+= ；②参照（四）式得53+= ；（2）化简.3153752121n n +++++++++-…【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C ；【解析】二次根式、、、、、中，最简二次根式有、、共3个．故选：C ．2.【答案】D ；【解析】分式有意义，则20x -≠且10x -≠.3.【答案】D ；【解析】令20x +=得2x =-，而当2x =-时，240x -=，所以该分式不存在值为0的情形. 4.【答案】D ；【解析】本题可逆用公式（ab ）m=a m b m及平方差公式，将原式化为 2012(21)(21)21)2 1.⎡⎤+--=⎣⎦故选D.5.【答案】A ；【解析】设小玲步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的速度为4x 米/分，依题意，得28002800304-=x x．故选A ．6.【答案】A ；【解析】甲是分母有理化了，乙是把3化为 (52)(52)-了.二、填空题 7．【答案】23；【解析】由已知得2269(3)0a a a -+=-=且10b -=，解得3a =，1b =，再代入求值. 8．【答案】0；【解析】此题主要考查了二次根式的化简，得出m= 2012+1，以及 5433222011[(1)2012]m m m m m --=--是解决问题的关键． ∵m=201120121-=2012+1，∴543323222011(22011)[(1)2012]0m m m m m m m m --=--=--=，故答案为：0．9．【答案】③④；【解析】提示：①0a ≥，0b ＞；②3,4--无意义. 10．【答案】3；【解析】由30x -=得x =±3.当3x =时，360x +=≠，当3x =-时，3330x +=-+=，所以当3x =时，分式的值为0.11．【答案】（1）2；（2）533；【解析】（1）由11x x ---，知x =1，∴(x +y )2=0，∴y =-1，∴x -y =2.（2）55,3,0,0, 3.3xy xy x y x y xy x y xy y x xy ++==∴∴=+==Q ＞＞原式 12．【答案】；【解析】（1）=；故答案为：；20101-.（2）+++…++=…+20101.三、解答题13.【答案与解析】（1）因为0x ≠，所以用2x 除所求分式的分子、分母. 原式22221111113361()21x x x x====--++--. （2）由2510x x -+= 和0x ≠ ,提15x x +=,所以24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--=14.【答案与解析】解：（1）∵a 有意义， ∴8﹣x≥0， ∴x≤8；（2）方法一：分三种情况：①当a 2+b 2=c 2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当a 2+c 2=b 2，即8﹣x+6=4，得x=10，③当b 2+c 2=a 2，即4+6=8﹣x ，得x=﹣2，又∵x≤8，∴x=6或﹣2；方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边，c ＞b ∴存在两种情况，①当a 2+b 2=c 2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当b 2+c 2=a 2，即4+6=8﹣x ，得x=﹣2，∴x=6或﹣2． 15.【答案与解析】（1）设甲公司单独完成此工程x 天，则乙公司单独完成此项工程1.5x 天，根据题意，得1111.512x x +=，解之得，x=20, 经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30, 答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天.（2）设甲公司每天的施工费y 元，则乙公司每天的施工费（y-1500）元，根据题意，得12（y+y-1500）=102000, 解之得，y=5000. 甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100000（元），乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000-1500）=105000 （元），故甲公司的施工费较少.16.【答案与解析】（1==22====（2+++…=11211)2=L.11。

初三数学期末复习：分式与二次根式

初三数学期末复习：分式与二次根式1指数的扩充2分式和分式的基本性质设f，g是一元或多元多项式，g的次数高于零次，则称f，g 之比f/g为分式分式的基本性质分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数，分数的值不变3分式的约分和通分分式的约分是将分子与分母的公因式约去，使分式化简如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式，且各系数没有大于1的公约数，则此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式对于分母不相同的几个分式，将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式，使各分式的分母相同，而各分式的值保持不变，这种运算叫做通分4分式的运算5分式方程方程的两遍都是有理式，这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式，则称为分式方程1根式在实数范围内，如果n个x相乘等于a，n是大于1的整数，则称x为a的n次方根含有数字与变元的加，减，乘，除，乘方，开方运算，并一定含有变元开方运算的算式成为无理式2最简二次根式与同类根式具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数(2)根号内不含有分母如果几个二次根式化成最简根式以后，被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类根式3二次根式的运算要练说，得练看。

看与说是统一的，看不准就难以说得好。

练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。

在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。

4无理方程教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。