和差角公式

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和角公式和差角公式推导过程

和角公式和差角公式推导过程和差角公式是三角函数中一个重要的推导公式，可以用来计算两个角度之间的和差的三角函数值。

下面是和差角公式的详细推导过程。

假设有两个角度θ和ϕ，我们需要计算它们的和差的三角函数值。

首先，我们可以利用三角函数的定义将θ和ϕ表示为对应直角三角形中的边长比值。

1.定义辅助角：令α为和角θ+ϕ的辅助角，即α=θ+ϕ。

2.三角函数的定义：根据正弦函数的定义，我们可以得到：sin θ = 对边/斜边sin α = 对边/斜边对于和角θ+ϕ的辅助角α：对边=对边1+对边2斜边=斜边1=斜边2利用三角函数的定义可以得到：sin α = (对边1 + 对边2)/斜边1 = (sin θ + sin ϕ)/1 = sin θ + sin ϕ3.代换：我们可以将sin θ和sin ϕ用cos函数进行代换。

利用余弦函数的定义：cos θ = 邻边/斜边cos α = 邻边/斜边邻边=邻边1+邻边2斜边=斜边1=斜边2利用三角函数的定义可以得到：cos α = (邻边1 + 邻边2)/斜边1 = (cos θ + cos ϕ)/1 = cos θ + cos ϕ4.综合运用：利用三角恒等式sin²α + cos²α = 1，可以得到：(sin θ + sin ϕ)² + (cos θ + cos ϕ)² = 1展开得：sin²θ + 2sin θsin ϕ+ sin²ϕ+ cos²θ + 2cos θcos ϕ +cos²ϕ = 1利用三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1和sin²ϕ+ cos²ϕ = 1，可以简化上式为：2sin θsin ϕ+ 2cos θcos ϕ = 0利用三角函数的乘积公式sinαsinβ = (1/2)(cos(α-β) -cos(α+β))，可以将上式继续简化为：cos(θ - ϕ) = cosϕcosθ + sinϕsinθ这就是和差角公式的推导过程。

和差角公式定义域

和差角公式定义域
正弦和差角公式是数学中常用的一种公式，它用于求解各种三角形的边长、角度和其他相关问题。

它比较容易理解，既可以应用于教学，也可以用于实际工程中解决各种三角形问题。

正弦和差角公式的定义域是三角形。

它的定义包括三个边长a,b,c和三个内角A,B,C，两个外角α,β。

它的基本公式可以
表示为：a²=b²+c²-2bc*cosαb²=a²+c²-2ac*cosβc²=a²+b²-
2ab*cos(A+B)
它的定义域可以进一步分为两个类别：一类是有解的三角形，即满足三边长的关系 a+b>c；另一类是无解的三角形，即
a+b≤c。

正弦和差角公式可以用来解决各种三角形问题，包括求解三角形的边长、角度等，也可以用于求解复杂三角形的面积、体积等问题。

例如，我们可以使用正弦和差角公式来解决一个等腰三角形的边长和外角的问题，即：a=2*sin(α/2)*cos(β/2)
α=2*arccos(a/(2*sin(β/2)))
β=2*arccos(a/(2*sin(α/2)))
正弦和差角公式也可以用于求解更复杂的问题，例如求解三角形的体积、棱镜的表面积等。

正弦和差角公式是数学中十分重要的一种公式，它的定义域是三角形，可以用来解决各种三角形问题，也可以用于求解复杂三角形的面积、体积等问题。

它可以帮助我们快速、准确地解决各种三角形问题，使用起来非常方便，是数学中非常重要的一种公式。

和差角公式推导范文

和差角公式推导范文差角公式是三角函数中的一个重要公式，可以用来计算两个角的和、差的三角函数值。

下面将详细推导出差角公式。

假设有两个实数角A和B，可以表示为：A=α+βB=α-β其中，α表示两个角的平均值，β表示两个角的差值。

我们将通过正弦函数的和、差公式来推导差角公式。

首先，正弦函数的和公式为：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB将A和B的值代入上式，并整理可得：sin((α + β) + (α - β)) = sin(2α) = sinα * cos(β) + cosα * sin(β) + sinα * cos(-β) - cosα * sin(-β)利用cos(-β) = cosβ 和 sin(-β) = -sinβ，化简上式得：sin(2α) = sinα * (cosβ + cosβ) + cosα * (sinβ - sinβ)对于cosα * (sinβ - sinβ) 部分，由于sinβ - sinβ = 0，所以这一项可以消去。

得：sin(2α) = 2sinα * cosβ接下来，我们将利用正弦函数的差公式来推导差角公式。

正弦函数的差公式为：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB将A和B的值代入上式，并整理可得：sin((α + β) - (α - β)) = sin(2β) = sinα * cosβ - cosα * sin(-β) - sinα * cosβ - cosα * sinβ利用sin(-β) = -sinβ，化简上式得：sin(2β) = -2cosα * sinβ将sin2α 和sin2β 分别除以 2，得到：sinα * cosβ = (1/2)sin(2α)sinβ * cosα = - (1/2)sin(2β)将以上两式带入sin(2β) 的表达式中，得到：sin(2β) = -2cosα * (sinβ * cosα) = -2cosα * (-(1/2)sin(2β))上式中，sin(2β) 即为差角公式的一种表达形式。

三角积化和差角公式

三角积化和差角公式
三角积化和差角公式是三角函数中的基本公式，用于将一个角的积或差转换为三角函数的和或差。

以下是三角积化和差角公式：
1. 三角积化公式（Product-to-Sum Formulas）：
•正弦积化公式： sin(A)sin(B) = (1/2)[cos(A - B) - cos(A + B)]
•余弦积化公式： cos(A)cos(B) = (1/2)[cos(A - B) + cos(A + B)]
•正弦和余弦的积化公式： sin(A)cos(B) = (1/2)[sin(A - B) + sin(A + B)]
2. 三角差角公式（Difference-to-Sum Formulas）：
•正弦差角公式： sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B) •余弦差角公式： cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B) •正切差角公式： tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))
这些公式在三角函数的计算和推导中非常有用，可以通过将一个角的积或差转换为三角函数的和或差，简化计算和问题的处理。

它们经常用于解决三角函数的恒等式、三角方程和几何问题等。

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两角和与差及二倍角公式

例题1
计算cos(π/3 - α)的值。
例题2
计算sin2α的值。
解
利用两角和与差公式，cos(π/3 - α) = cosπ/3cosα + sinπ/3sinα = 1/2cosα + √3/2sinα。
解
利用二倍角公式，sin2α = 2sinαcosα。
THANKS
谢谢
二倍角公式的应用
计算三角函数值
利用二倍角公式，可以计算一些三角函数值，例如计算sin2α、 cos2α等。
证明三角恒等式
通过二倍角公式，可以证明一些三角恒等式，例如 sin2α=2sinαcosα等。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度的调整、测量等，可以利用二倍角公式进行计算。
例题解析与解答
公式应用与例题解析
两角和与差公式的应用
计算角度的和与差
利用两角和与差公式，可以方便地计算两个角的和或差，例如计算两个角的和或差的角度。
简化三角函数式
通过两角和与差公式，可以将复杂的三角函数式进行简化，从而便于计算或化简。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度的调整、测量等，可以利用两角和与差公式进行计算。
04
角的乘法性质是三角函数中一个重要的性质，它可以用于推导其他的三角函数公式和定理。
03
CHAPTER
公式推导与证明
两角和与差公式的推导
两角和公式推导
利用三角函数的加法公式，将两角视为不同象限的角，通过三角函数的性质推导出两角和的三角函数公式。
两角差公式推导
利用三角函数的减法公式，将两角视为同象限的角，通过三角函数的性质推导出两角差的三角函数公式。
两角和与差及二倍角公式

sin和差角公式

sin和差角公式sin和差角公式是高中数学中的重要概念，它们在三角函数的计算中起着关键的作用。

下面我们将分别介绍sin和差角公式，并通过例题加深理解。

一、sin公式sin公式是指sin(A ± B)的计算公式，它可以将一个角的正弦值转化为两个角的正弦值的乘积或商。

具体公式如下：sin(A ± B) = sinA·cosB ± cosA·sinB其中，A、B为任意角度。

这个公式的推导可以通过三角函数的几何意义和三角恒等式进行。

例如，当A、B为锐角时，我们可以将A、B对应的直角三角形放在同一坐标系中，然后利用三角恒等式sin(A ± B) = sinA·cosB ± cosA·sinB进行推导。

二、差角公式差角公式是指sin(A - B)和cos(A - B)的计算公式，它可以将两个角的差的正弦值和余弦值转化为两个角的正弦值和余弦值的乘积或商。

具体公式如下：sin(A - B) = sinA·cosB - cosA·sinBcos(A - B) = cosA·cosB + sinA·sinB其中，A、B为任意角度。

与sin公式类似，差角公式的推导也可以通过三角函数的几何意义和三角恒等式进行。

例如，我们可以将A、B对应的直角三角形放在同一坐标系中，然后利用三角恒等式sin(A - B) = sinA·cosB - cosA·sinB和cos(A - B) = cosA·cosB + sinA·sinB进行推导。

通过sin和差角公式，我们可以简化三角函数的计算。

下面通过例题来进一步说明。

例题1：已知sinA = 1/2，sinB = 1/3，且A、B为锐角，求sin(A + B)和sin(A - B)的值。

解：根据sin公式，我们有sin(A + B) = sinA·cosB + cosA·sinB，代入已知条件，得到sin(A + B) = (1/2)·cosB + cosA·(1/3)。

两角和差角公式

两角和差角公式两角和差角公式是数学中重要的一部分，旨在解决两个角的和或差的求解问题。

在这篇文章中，我们将探讨这个公式的基本知识，以及如何使用它来解决各种数学问题。

首先，我们需要了解两角和公式和两角差公式的定义。

两角和公式是指在三角函数中，如果有两个角α和β，则它们的和可以使用公式sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ来计算。

两角差公式是指如果有两个角α和β，则它们的差可以使用公式sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ来计算。

接下来，我们来看一些具体的应用情况。

首先，如果我们需要计算sin(π/4 + π/6)，我们可以将两个角相加并使用两角和公式进行计算。

因此，我们得到sin(π/4 + π/6) = sin(π/4)cos(π/6) + cos(π/4)sin(π/6) = √2/2 * √3/2 + √2/2 * 1/2 = (√6 +√2)/4。

同样地，如果我们需要计算cos(5π/6 - π/3)，我们可以将两个角相减并使用两角差公式进行计算。

因此，我们得到cos(5π/6 -π/3) = cos(5π/6)cos(π/3) + sin(5π/6)sin(π/3) = -√3/2 * 1/2 + 1/2 * √2/2 = -√3/4 + √2/4。

此外，两角和差角公式还可以用于解决复杂的三角方程。

在解决这些问题时，我们可以将方程转化为两角和或差的形式，然后使用公式进行计算。

这种方法可以大大简化计算过程，并加快解题速度。

在实际应用中，两角和差角公式是非常有用的。

例如，它们可以应用于构建声学和振动系统的模型，计算机模拟中的三维渲染，以及其他科学和工程领域中的许多应用。

总的来说，两角和差角公式是数学中的重要工具，可以帮助我们解决各种三角函数问题。

如果我们掌握了这些公式的基本知识并能熟练应用，我们就可以应对更复杂的数学问题，并在实际生活和工作中更好地应用这些技术。

三角函数两角和差及二倍角公式

三角函数两角和差及二倍角公式一、三角函数的两角和差公式对于任意两个角A和B，我们定义它们的和角为C=A+B，差角为D=A-B。

三角函数的两角和差公式能够将C和D的三角函数表示成A和B的三角函数。

1.两角和公式sin(C) = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(C) = cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(C) = tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以用来计算两个角的正弦、余弦和正切之和。

2.两角差公式sin(D) = sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(D) = cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(D) = tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这些公式可以用来计算两个角的正弦、余弦和正切之差。

二、三角函数的二倍角公式对于角A，我们定义它的二倍角为B=2A。

三角函数的二倍角公式能够将B的三角函数表示成A的三角函数。

1.二倍角正弦公式sin(B) = sin(2A) = 2sinAcosA这个公式可以用来计算角A的二倍角的正弦。

2.二倍角余弦公式cos(B) = cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A)这个公式可以用来计算角A的二倍角的余弦。

3.二倍角正切公式tan(B) = tan(2A) = (2tanA) / (1 - tan^2(A))这个公式可以用来计算角A的二倍角的正切。

三、证明示例我们可以通过证明示例来演示三角函数的两角和差及二倍角公式。

示例1：证明sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB证明：由于正弦函数的定义，我们有：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB因此，得证。

两角和与差公式应用

两角和与差公式应用一、两角和公式：sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinBcos(A+B) = cosA*cosB - sinA*sinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)二、两角差公式：sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinBcos(A-B) = cosA*cosB + sinA*sinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA*tanB)首先，我们来看两角和与差公式的应用举例：1. 例题1：已知sinA = 1/3，cosB = 4/5，且A和B都是第一象限的角，求sin(A+B)和cos(A-B)的值。

解：根据两角和公式sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB代入已知条件，得sin(A+B)= (1/3)(4/5) + √(1-(1/3)²)√(1-(4/5)²)=4/15+√(1-1/9)√(1-16/25)=4/15+√(8/9)√(9-16)/5=4/15+(2√2/3)(3/5)=4/15+2√2/5所以，sin(A+B) = (4 + 6√2)/15再考虑cos(A-B)：根据两角差公式cos(A-B) = cosA*cosB +sinA*sinB代入已知条件，得cos(A-B) = (4/5)(4/5) + √(1-(1/3)²)√(1-(4/5)²)=16/25+√(1-1/9)√(1-16/25)=16/25+√(8/9)√(9-16)/5=16/25+(2√2/3)(-3/5)=16/25-2√2/5所以，cos(A-B) = (16 - 10√2)/252. 例题2：已知tanA = 3/4，tanB = 1/6，且A和B都是第二象限的角，求tan(A+B)和tan(A-B)的值。

tan和差角定理

tan和差角定理
tan和差角定理是数学中一个重要的公式，用于计算两个角度之间的正切值。

它可以帮助我们更方便地计算一些三角函数问题，特别是在计算机科学和物理学中。

具体来说，tan和差角定理可以表示为：
tan(x - y) = (tan x - tan y)/(1 + tan x * tan y) 其中，x和y是两个角度。

这个公式可以使用基本的三角函数关系来推导出来，也可以通过使用欧拉公式和复数表示来推导出来。

使用tan和差角公式，我们可以计算任意两个角度之间的正切值。

例如，如果我们要计算tan(30° - 20°)，我们可以使用tan和差
角公式：
tan(30° - 20°) = (tan 30° - tan 20°)/(1 + tan 30° * tan 20°)
然后，我们可以使用三角函数表来计算tan 30°和tan 20°，
然后将它们代入公式，最终得到答案。

除此之外，tan和差角公式还可以用于解决一些三角函数方程。

例如，如果我们要解决tan(x - 45°) = 1的方程，我们可以使用tan和差角公式：
(tan x - tan 45°)/(1 + tan x * tan 45°) = 1 然后，我们可以解这个方程并找到x的解。

总的来说，tan和差角公式是一个非常有用的数学公式，在许多不同的领域都有应用。

它可以帮助我们计算角度之间的正切值，并解
决一些三角函数方程。

因此，学习和理解这个公式对于数学爱好者和专业人士来说都非常重要。

三角函数和差角公式总结

三角函数和差角公式总结2019-06-28三角函数和差角公式总结和差角公式是中考数学中的常见公式内容。

接下来详细的初中数学三角函数公式大全之和差角公式，请大家认真记忆了。

和差角公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB ;sin(A-B)=sinAcosB - sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB - sinAsinB ;cos(A-B)=cosAcosB + sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB);tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) ;cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)导师为大家整合的初中数学三角函数公式大全之和差角公式，请大家灵活运用了。

接下来还有更多更全的初中公式大全等着大家来记忆呢。

初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。

正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。

希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。

初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。

平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。

三角函数和差角公式

三角函数差角公式又称三角函数的减法定理，是几个角的和（差）的三角函数通过其中各个角的三角函数来表示的关系。

三角函数两角和差公式是
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B) = (tanA-ta三角函数两角和差公式推导过程
证明方法并不唯一，在这里提供一种我认为比较容易理解的方法。

如下图所示，从A 出发作∠α和∠β，在∠β的一条射线上取一点D ，过D 作∠β的另一条射线的垂线，设垂足为E。

然后过E 作∠α的另一条射线的垂线，设垂足为B。

再延长EB，作CD ⊥CE。

三角函数两角和差公式推导过程
如果假设AD = 1，那么在△AED 中，AE = cosβ，DE = sinβ。

先来证明第1 个公式：在△CDE 中，CE = sinβcosα;在△ABE 中，BE = cosβsinα;在△ADF 中，DF = sin ( α+β)。

因为DF = BC = BE + CE，所以sin ( α+β) = cosβsinα+ sinβcosα。

两角和与差的三角函数公式应用

两角和与差的三角函数公式应用首先，我们来介绍两角和的公式：1. 正弦两角和公式：sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的和。

例如，求解sin(π/6 + π/4)的值。

根据公式，sin(π/6 + π/4) = sin(π/6) * cos(π/4) +cos(π/6) * sin(π/4) = (1/2) * (√2/2) + (√3/2) * (√2/2) = (√2 + √6)/42. 余弦两角和公式：cos(x + y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的和。

例如，求解cos(π/3 + π/6)的值。

根据公式，cos(π/3 + π/6) = cos(π/3) * cos(π/6) -sin(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = 3/43. 正切两角和公式：tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y))这个公式可以用来求解两个角的正切的和。

例如，求解tan(π/4 + π/6)的值。

根据公式，tan(π/4 + π/6) = (tan(π/4) + tan(π/6)) / (1 - tan(π/4) * tan(π/6)) = (1 + (1/√3)) / (1 - 1/√3) = (√3 + 1) / (√3 - 1)接下来，我们来介绍两角差的公式：1. 正弦两角差公式：sin(x - y) = sin(x) * cos(y) - cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的差。

例如，求解sin(π/3 - π/6)的值。

根据公式，sin(π/3 - π/6) = sin(π/3) * cos(π/6) -cos(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = (√3 - 1) / 22. 余弦两角差公式：cos(x - y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的差。

两角和与差的三角函数公式的证明

两角和与差的三角函数公式的证明首先，我们回顾一下欧拉公式的表达式：$$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$$为了证明两角和与差的三角函数公式，我们假设有两个角A和B，根据欧拉公式，可以把A和B表示为：$$A=\cos(a)+i\sin(a)$$$$B=\cos(b)+i\sin(b)$$现在我们来推导两角和与差的三角函数公式。

1.两角和公式：我们通过A和B的乘积来推导两角和的公式。

将两个角相乘，得到：$$AB=(\cos(a)+i\sin(a))(\cos(b)+i\sin(b))$$上式可以展开为：$$AB=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)+i(\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b))$$将虚部和实部分别整理，得到：$$AB=(\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b))+i(\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b))$$通过比较实部和虚部，可以得到两角和公式：$$\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$$$$\sin(a+b) = \cos(a)\sin(b) + \sin(a)\cos(b)$$这就是两角和的三角函数公式。

2.两角差公式：我们通过A和B的乘积来推导两角差的公式。

将B乘以-1，并且利用欧拉公式的对称性，得到：$$A(-B)=\cos(a+(-b))+i\sin(a+(-b))$$将上式展开，得到：$$A(-B)=\cos(a)\cos(-b)-\sin(a)\sin(-b)+i(\cos(a)\sin(-b)+\sin(a)\cos(-b))$$利用三角函数的偶奇性质，可以化简为：$$A(-B)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)+i(\cos(a)(-sin(b))+\sin(a)\cos(b))$$再利用复数的运算性质，即虚部和实部分开，得到：$$A(-B)=(\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b))+i(\cos(a)(-\sin(b))+\sin(a)\cos(b))$$$$A(-B)=(\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b))-i(\cos(a)\sin(b)-\sin(a)\cos(b))$$通过比较实部和虚部，可以得到两角差公式：$$\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$$$$\sin(a-b) = \cos(a)\sin(b) - \sin(a)\cos(b)$$这就是两角差的三角函数公式。

和差角公式和二倍角公式

和差角公式和二倍角公式一、和角公式与差角公式1．两角和与差的余弦公式()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ--=+∶()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-∶2．两角和与差的正弦公式()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ--=-∶()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+∶3．两角和与差的正切公式()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ+++=-⋅∶． ()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ---=+⋅∶．已知3sin 5α=，ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，12cos 13β=-，β是第三象限角，求cos()αβ-，cos()αβ+，sin()αβ+，sin()αβ-的值．4sin 5α=-，α是第三象限的角，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．7B ．7-C ．73D ．73-经典精讲：【铺垫】⑴计算sin43cos13cos43sin13︒︒-︒︒的结果等于（）．A ．12B C ．2 D⑴ ()()cos cos sin sin αββαββ---可以化为（），A ．()cos 2αβ-B ．cos αC ．cos βD ．()sin 2αβ-【例1】 ⑴cos15cos45cos75sin45︒︒-︒︒的值为（）A ．12 B C ．12- D ．⑴sin133cos13cos47cos77︒︒+︒︒的结果等于（）A ．12B C D ⑶计算：ππππsin 3cos 3cos 3sin 34364x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．两角和与差的正切公式的变形和逆用，常见的变形有：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+++=+()tan tan tan tan 1tan αβαβαβ+=-+【例2】求值：①tan15tan30tan15tan30︒+︒+︒⋅︒= ； ②()()1tan551tan10+︒-︒= ；③()()1tan11tan 2(1tan 44)+︒+︒⋅⋅⋅+︒= ．考点2：公式的灵活运用【例3】 ⑴已知()1cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为_______．⑵已知()1sin 6αβ+=，()1sin 3αβ-=，则tan tan αβ的值为_______．【例4】 ⑴已知4sin cos 53cos sin 5αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则下列结论正确的是（）A ．()1cos 2αβ-=B ．()1sin 2αβ-=C ．()1cos 2αβ+=-D ．()1sin 2αβ-=-⑵已知4sin 2cos 12sin 4cos αββα+=+=，则()sin αβ+的值为．⑶已知sin sin sin 0cos cos cos 0αβγαβγ++=++=，，则()cos αγ-的值为．二倍角公式1．二倍角的正弦、余弦、正切2S :sin 22sin cos αααα=．22222C :cos2cos sin 2cos 112sin αααααα=-=-=-．222tan T :tan 21tan αααα=-．2．公式的逆向变换及常用变形1sin cos sin 22ααα=．221cos21cos2cos sin 22αααα+-==，．()2221sin 2sin cos 2sin cos sin cos ααααααα±=+±=±；()()cos2cos sin cos sin ααααα=+-．【挑战5分钟】求下列各三角函数的值：⑴34sin ,cos 55αα==，求sin 2,cos2,tan 2ααα；⑴π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5x =，求cos2,sin 2,tan 2x x x ；⑴sin22.5cos22.5︒︒；⑴22cos 15sin 15︒-︒；⑴22tan 751tan 75︒-︒；⑴224cos 1533+︒；⑴1tan 42α=，求tan α；⑧7cos29α=-，并且90180α︒<<︒，求cos ,sin ,tan ααα．考点4：二倍角公式及其变形的应用【例5】 ⑴若π3sin 25θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2θ=_________．⑵ 若π1sin 53α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3πcos 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑶若ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θsin θ=（）A ．35B ．45C D ．34【例6】求值：⑴cos20cos40cos80︒︒︒；⑵π2π3π4πcos cos cos cos 9999⋅⋅⋅．【例7】 ⑴23sin 702cos 10-︒=-︒________．⑴若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为（） A． B ．12- C ．12D⑶若tan 2α=，求1sin 4cos41sin 4cos4αααα+-++的值．⑴已知α是第二象限角，且sin α=，求πsin 4sin 2cos 21ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭++的值．实战演练【演练1】若α，β是同一象限的角，且1sin 3α=-，cos β=，则()sin αβ-=_____．【演练2】设ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，5sin =13απ4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为．【演练3】求tan20tan30tan30tan40tan40tan20︒⋅︒+︒⋅︒+︒⋅︒的值．【演练4】已知π4αβ+=，则()()1tan 1tan αβ++的值为．【演练5】已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是．。