高三复习知识梳理之四：导数及其应用

高三复习知识梳理之四：
导数及其应用
【考点综述】
考查的基本原则是：重点考查对导数概念本质的理解和计算，力求结合应用问题，已经表现出逐步加深与综合考查的趋势，如已涉及理论探讨和较为严格的逻辑证明。

本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则，为基础层面；第二层次是导数的简单应用，包括求单调区间、函数的极值、证明函数的增减性等，为导数应用的重点层次；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的思想方法，这类问题用传统教材是难以甚至无法解决的；为导数应用的较高层次，用于设计压轴题，突出导数应用的灵活性与思想方法的交汇性。

【重点知识】
1. 平均变化率及瞬时变化率：
(1) 函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率：
y
x ∆∆()()11f x x f x x +∆-=
∆()()2121.f x f x x x -=- （2）函数f(x)在x 0处的瞬时变化率：
x
y x ∆∆→∆0
lim
=()()
x
x f x x f x ∆-∆+→∆
000
lim =()()
.lim 0
00
x x x f x f x
x --→
2. 导（函）数的定义：
（1）．)(x f 在点x 0处可导⇔()()
x
x f x x f x ∆-∆+→∆
000
lim 存在
⇔()()
000
lim x f
x x f x x
+
∆→+∆-∆、()()
x
x f x x f x ∆-∆+-
→∆000
lim 都存在且相等。

（2）．)(x f 在一点x=x 0处的导数为
=')(0x f x
y x ∆∆→∆
lim =()()
x
x f x x f x ∆-∆+→∆000
lim =()()
.lim 0
00
x x x f x f x
x --→
（3）．若对任意()b a x ,∈都有x
y x f x ∆∆='→∆
lim )(=()()
x
x f x x f x ∆-∆+→∆
lim 成立，则函数
)
(x f 在区间
()b a ,上可导；
在端点a 、b 处判断是否可导的方法是：若0lim x y
x
+
∆→∆∆存在，则)(x f 在（a,b]上可导；若在x
y x ∆∆-
→∆0lim 存在，则)(x f 在[a,b ）上可导；若x
y
x ∆∆+
→∆0
lim ，x
y
x ∆∆-
→∆0
lim 都存在，则)(x f 在[a,b]上可导。

注：新课标对极限要求降低，上述定义涉及的极限表达式仅供理解定义本质时作参考。

3. 基本初等函数的导数公式
①0(C C '=为常数）；② 1()(n n x nx n R -'=∈但不为零）； ③()x x e e '=； ④ 1
(ln )x x
'=
；
⑤(sin )cos x x '=； ⑥ (cos )sin x x '=-；
⑦()ln x x a a a '=； ⑧ 1(log ).ln a x x a
'=
4. 导数的四则运算法则
若(),()u x v x 的导数都存在，则①()u v u v '''±=±； ②()(ku ku k ''=为常数）；
③()uv u v uv '''=+；特别地，2
()2u u u ''=∙；④2
(
)u u v uv v
v
''-'=
5. 复合函数求导公式（课本20～21页）
（1）复合层次的划分：
对较为复杂函数准确求导的前提是：会熟练地进行复合函数层次的划分。

以基本初等函数作为划分基本层次的标准。

基本初等函数有以下六类：①常函数()f x C =；②指数函数()x
f x a =；③对数函数
()l o g a
f x x =；④幂函数()(f x x α
α=为常数）；⑤三角函数()sin ,()cos ,f x x f x x == ()tan f x x =； ⑥反三角函数（略）。

（2）求导法则
设(()),()y f g x u g x ==，则x u x
y f u '''=∙。

例如：
①求导：y =② 已知函数()f x 在R 上满足2
()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．
6. 抽象函数求导问题
如：①设函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，且()()2
2'f x xf x x +>，下面的不等式在R 上
恒成立的是（ ）
A.()0f x >
B.()0f x <
C. ()f x x >
D.()f x x <
②已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）
A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
【重点结论】 1. 求导与单调性：
若函数)(x f 在区间I 上可导，且使0)(='x f 的点x 仅有有限个，则
)(x f 在区间I 上为严格递增（减）函数的充要条件为：
对一切I x ∈有.0)()(≤≥'x f
例如：
① 已知函数13)(2
3
+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。

② 已知函数f(x) =
2
1++x ax 在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围。

2. 求导与极值：（课本27～28页）
若,0)(,00='<<x f n x m 当),(0x m x ∈时)(0)(<>'x f 且当),(0n x x ∈时)(0)(><'x f ，则)(0x f 为)(x f 在),(n m 上的极大（小）值。

注意：（1）正确理解极值定义：
（2）极值也可能在不可导点取得，如：y x =在0x
=处取得极小值，但是不可导。

（3）驻点即满足()0f x '=的点x 不一定是取得极值的点，如：3
()f x x =在点0x =处。

综上，满足()0f x '=的点x 是此点是极值点的既不充分也不必要条件。

例如：
① 函数f (x) = (x 2－1)3
＋2的极值点是（ ）
A 、x=2
B 、x=－1
C 、x=1或－1或0
D 、x=0 ② 求2
2
31()2
f x x x =-的极值点。

③已知函数()f x 的导数()(1)()f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取到极大值，则a 的取值
范围是 。

（状元之路50页5）
3. 求导与几何意义：
以曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x 为切点的切线方程是
).)(()(000x x x f x f y -'=-
（1）注意鉴别：“过曲线上一点的切线”与“在曲线上一点处的切线”的区别：“在曲线上一点处的切线”是指以此点为切点的切线，而“过曲线上一点的切线”只表示曲线的切线过“此点”，但是“此点”不一定就是切点！例如：
① 已知曲线3
4313
+
=
x y ，则过点P （2，4）的切线方程是 。

（状元之路44页）
练习：已知曲线3
31
x y =
上一点)3
8,2(P 求过点P 的切线方程。

（2）利用导数的几何意义识图：如
已知函数(),()y f x y g x ==的导函数的图象如下图，那么(),()y f x y g x ==的图象可能是（ ）
【典例分析】
题型1 求单调区间
例1 设函数ax x x f -+=1)(2，其中a>0。

（1）求f(x)的单调区间； （2）解不等式f(x)≤1。

题型2 研究极值问题
例2 设函数f (x)=3
2
24ax bx cx d -++(a 、b 、c 、d ∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f (x)取极小值23
-。

(1)求a 、b 、c 、d 的值；
(2)当x ∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论； (3)若x 1,x 2∈[-1,1]时，求证：|f (x 1)-f (x 2)|≤
3
4。

题型3 导数与图象特征结合
例3 已知平面向量a =(3,-1)，b =(21,2
3
).
(1) 证明a ⊥b
；
(2) 若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2-3) b ，y =-k a +t b ，x ⊥y
，试求函数关系式
k=f (t)；
(3) 据(2)的结论，讨论关于t 的方程f (t)-k=0的解的情况.
例4．（07湖南文）已知函数3
2
11()3
2
f x x ax bx =
+
+在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）
求2
4a b -的最大值；（II ）当2
48a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式． 【启迪迁移】
1．（07全国2理）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．
总结：用导数方法讨论“函数()y f x =与()y g x =的图象交点个数”问题，一般步骤如下： 1. 构造函数()()()x f x g x ϕ=-；
2. 求导()x ϕ'，研究()x ϕ的单调性与极值（必要时研究函数图象端点的极限情况）；
3. 画出函数()y x ϕ=的图象（示意图），观察它与x 轴的交点情况（以上不必写在卷面上），由此列出方程（组）或不等式（组）；
4. 解方程或不等式（组）得解并作答。

题型4 导数的实际应用
例5 从边长为2a 的正方形铁片的四个角各截去一小块边 为x 的正方形（如右图所示），再将四边向上折起，做成一个无 盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x 与底面正方形边长的比 值不超过常数t. 问x 取何值时，容积V 有最大值。

例6 （07北京）
题型5 用于证明不等式或求“恒成立”型不等式参数范围 （肇始于课本27页练习B3）
例7 已知函数f (x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx. (1)求函数f (x)的最大值；
(2)设0＜a ＜b,证明：0＜g(a)+g(b)-2g(2
b
a +)＜(b-a)ln2.
【启迪迁移】
1．证明：当x>0时，有3
sin 6
x
x x x -<<
2．设函数1
()(01)ln f x x x x x
=
>≠且。

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）已知1
2a
x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。

3. 已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N*，都有4S n =(a n +1)2。

(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若2n ≥tS n 对于任意的n ∈N*成立，求实数t 的最大值。

4.已知函数f (x )=ln 2
(1+x)-2
1x
x
+.
( I ) 求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若不等式1(1)
a a
e n
++
≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）
，求α的最大值.
5．（06川理22）已知函数()()2
2ln 0f x x a x
x x
=+
+>，()f x 的导函数是
()'
f
x ，对任意两
个不相等的正数12,x x ，证明：当4a ≤时，()()'
'
1212f
x f x x x ->-
题型6.用于讨论某些超越方程的解
例8 讨论方程)0(ln >=a ax x 实根个数。

【启迪迁移】
1.（预测题）证明方程x=sinx 在(－∞，＋∞)内只有一个实根。

【实战演练】
一、选择题
1．对于R 上可导的任意函数()f x 满足(1)()0x f x '-≥，则（ ）
A. (0)
(2)2(1f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤
C . (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> （状元之路49页）
2．已知曲线2
3
123,,2sin y x y x y x ===，这三条曲线与x=1的交点分别为A 、B 、C ，又设k 1、k 2、k 3分别为以A 、B 、C 为切点且分别与这三条曲线相切的直线的斜率，则（ ）
A k 1<k 2<k 3
B k 3<k 2<k 1
C k 1<k 3<k 2
D k 3<k 1<k 2
3．已知a>0，函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 （状元之路47页4）
4．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则
(1)
(0)
f f '的最小值为（ ）
A 3
B 52
C 2
D 32
（状元之路49页B1）
5．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）
二、填空题
6．曲线2
1y x
=
与曲线y =在交点处的切线的夹角为 。

7．已知()sin 2,,f x x x x R =+∈且(1)(2)0f a f a -+<，则a 的取值范围是 。

8．已知函数f (x)=ax 3＋bx 2，曲线y=f (x)过点P(－1，2)，且在点P 处的切线恰好与直线x －3y=0垂直。

若f (x)在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则m 的取值范围 。

三、解答题
9．已知曲线2
2
12::(2)C y x C y x ==--与，求与C 1、C 2均相切的直线l 的方程。

10．函数32()f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上的点(1,())P f x 的切线方程为
y=3x+1
（1）若()2y f x x ==-在时有极值，求()f x 的表达式； （2）在（1）的条件下，求()y f x =在[-3，1]上的最大值； （3）若函数()y f x =在区间[-2，1]上单调递增，求b 的取值
范围。

11．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服
用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线。

（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y=f (t)；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效。

①求服药一次治疗疾病有效的时间？
②当t=5时，第二次服药，问t 1[5,5
]16
∈时，药效是否连续？
12．已知0≤x ≤1，n 为大于1的正整数，求证：
1
22
1-n ≤x n ＋(1－x)n
≤1
13．(1990日本高考题)设抛物线y=x 2
与直线y=x ＋a （a 是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l 1，l 2，求值a 变化时l 1与l 2交点的轨迹。

14．（09广东理）已知曲线2
2
:20(1,2,)n C x nx y n -+== 。

从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为
(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y 。

（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；
（２）证明：13521n n n
x x x x x y -⋅⋅⋅⋅<
<。

15.（09辽理）已知函数2
1()(1)ln ,12
f x x ax a x a =
-+->，
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）证明：若5a <，则对于任意1212,(0,),,x x x x ∈+∞≠有1212
()()
1f x f x x x ->--。

16.（06福建理21）已知函数f (x )=－x 2+8x, g (x )=6ln x+m
（Ⅰ）求f (x )在区间[t ,t +1]上的最大值h (t );
（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。

答案：
【重点知识】
5. 复合函数求导公式
①划分复合层次：2
1y u x =
=+，
求导：12
2
2
1(1)(1)
(2)2
y x x x -
'''=∙+=
+∙=
；
②法1 （代换法）由2
()2(2)88f x f x x x =--+-―――――（1）得
2
(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，
即2
2()(2)44f x f x x x --=+-，―――――（2）
∴联立（1）（2）消去(2)f x -得2
()f x x =
∴/
()2f x x =，∴所求切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=．
法2 （复合函数求导法）两边求导得()2(2)(1)28f x f x x ''=---+，令x=1得 (1)2(1)62k f f k ''==-+⇒=，
在原式中令x=1得(1)1f =，于是所求切线方程为12(1)y x -=-， 即210x y --=．
注：法2用到复合函数(2)f x -求导的结论，此法的好处是可以不必求其解析式。

6. 抽象函数求导问题
①构造特殊函数2
()(0)f x x λλ=+>，适合题意要求，排除B,D ；若取1
(0,]4
λ∈，可以排除C
；
故选A.
②用结论：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，选B.
【重点结论】 1. 求导与单调性：
① )(x f 递减01630)(2
≤-+⇔≤'⇔x ax x f 对任意R x ∈恒成立
00<≤∆⇔a 且.3-≤⇒a
② 错解：f ′(x)=
2
)
2(12+-x a ，由f (x)在(－2，＋∞)内单调递减，知f ′(x)≤0在x ∈(－2，＋∞)内
恒立，即
2
)
2(12+-x a ≤0在x ∈(－2，＋∞)内恒立。

因此，a ≤
2
1。

剖析：上题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证f ′(x)是否恒为零。

因为f (x)在区间D 上单调递增（或递减）的充要条件f ′(x)≥0 (f ′(x)≤0)且f ′(x)在任一子区间上不恒为零。

而当a=2
1时，f(x) =
2
1不是单调递减函数，不合题意。

故a 的取值范围是1(,).2
-∞
2. 求导与极值：
① 错解: f (x) =x 6－3x 4＋3x 2＋1,则由f ′(x)=6x 5－12x 3＋6x=0得极值点为x=1， x=－1和x=0，故正确答案为C.
正解: 事实上，这三点只是驻点(导数等于0的点)，由f ′(x) =6x 5－12x 3＋6x=6x(x ＋1)2(x －1)2知，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x)＜0；当x ∈(－1，0)时，f ′(x)＜0；当x ∈(0，1)，f ′(x)＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0. f (x)在 (－∞，－1)、(－1，0)单调递增，在(0，1)、(1，＋∞)单调递减。

则x=0为极小值点，x=－1或1都不是极值点（称为拐点）。

故应选D 。

剖析：（1）在可导的条件下，满足f ′(x 0)=0的点x=x 0（称为驻点）只是它为极大（小）值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易导致失误。

②答案：x=±1，0 (易遗漏)
注：在求极值点的时候，有时还要注意导数不存在的点.如上例中x=0处。

3. 求导与几何意义：
①设切点为),(b a Q ，则3
43
13
+
=
a b ①，而2
2|a x y k a x =='==，切线方程为
)(2
a x a
b y -=-，又切线过点P （2，4）有)2(42a a b -=-②
解①②：0)1()2(043223=+-⇒=+-a a a a 得.1,2-==a a
若2=a 则P （2，4）为切点，切线方程为4x-y-4=0； 若1-=a 则)1,1(-Q 为切点，切线方程为x-y+2=0. 练习答案为12x-3y-16=0, 3x-3y+2=0. （2）利用导数的几何意义识图：
解析：导函数都为正，说明都是增函数，均适合；在点x 0处有相同导数说明这两个函数图像在点x 0处的切线平行（排除B ）；g(x)的导函数递增说明g(x)的图象向下凸，f(x)的导函数递减说明f(x)的图象向上凸，结合以上性质应选D 。

不过，用导数研究图像凸凹性，超出了新教材应用范围，是有超纲嫌疑的！当然，不提图象凸凹性，在图像上观察切线斜率的变化趋势也可直观获解，这对于导数几何意义的灵活运用提出了较高要求。

评注：通过导数可以研究函数的单调性、极值、凸凹性、驻点、拐点、渐近线等，结合定义域、值域可以较好地使用描点法直观地较为准确地作出函数图象，这对于深入认识函数本质具有重要作用。

在研究图象性质的问题中有一大类是讨论函数f(x)图象与曲线g(x)尤其是与直线y=a 的公共点个数问题，其基本解法是通过构造新函数转化为讨论函数的零点或研究方程实解问题；反之，对于一些方程实根讨论问题也可转化为构造相关函数研究其性质（单调性与极值）而获解。

【典例分析】
题型1 求单调区间
例1 解：(1)a x x x f -+=
1
)(2
/
① 当a ≥1时，有
a x x
≤<+11
2
，此时f /
(x)<0，
∴函数f(x)在区间),(+∞-∞上是单调递减函数。

② 当0<a<1时，解不等式f /
(x)<0得2
1a
a x -<
，
∴f(x)在区间]1,
(2
a
a --∞上是单调递减函数。

解不等式f /
(x)>0得2
1a
a
x ->
，
∴f(x)在区间),1[
2
+∞-a
a 上是单调递增函数。

(2)当a ≥1时,∵函数f(x)在区间),(+∞-∞上是单调递减函数, 由f(0)=1,∴当且仅当x ≥0时f(x)≤1. 当0<a<1时，∵f(x)在区间]1,(2
a
a --∞上是单调递减函数,在),1[
2
+∞-a
a 上是单调
递增函数,
由f(x)=1得x=0或2
12a
a x -=
，且2
2
1210a
a a
a -<
-<
,
∴当且仅当2
120a
a x -≤
≤时，f(x)≤1.
综上可得：当a ≥1时，f(x)≤1的解集为{x|x ≥0}; 当0<a<1时，f(x)≤1的解集为{x|2
120a
a x -≤
≤}。

评析：本题是将00年全国高考新课程卷（理科）第19题稍作改动而得到。

使学生进一步熟悉运用导数解决函数单调性的问题。

并在解题过程中考查学生对求导公式和法则的熟练运用。

本题除了使用结合单调性的上述解法外，还可以考虑用数形结合或分离变量法。

题型2 研究极值问题
例2 【考查目的】本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以及综合推理能力。

解 (1) ∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x ，都有f (-x)=- f (x).
∴-ax 3-2bx 2-cx+4d=-ax 3+2bx 2-cx-4d ，即bx 2-2d=0恒成立. ∴b=0,d=0,即f (x)=ax 3+cx. ∴f ′(x)=3ax 2+c.
∵x=1时,f (x)取极小值-3
2. ∴f ′(1)=0且f (1)=-
3
2,
即3a+c=0且a+c=-3
2. 解得a=3
1,c=-1.
经检验，适合题意。

(2)证明：当x ∈[-1,1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，使得过这两点的切线互相垂直，
则由f ′(x)=x 2-1，知两点处的切线斜率分别为k 1=x 12-1,k 2=x 22-1, 且(x 12-1)(x 22-1)= -1. (*)
∵x 1、x 2∈[-1,1], ∴x 12-1≤0，x 22-1≤0
∴(x 12-1)(x 22-1)≥0，这与(*)相矛盾，故假设不成立. (3)证明：∵f ′(x)=x 2-1,由f ′(x)=0,得x=±1.
当x ∈(-∞，-1)或（1，+∞）时，f ′(x)＞0; 当 x ∈(-1，1)时，f ′(x)＜0.
∴f (x)在[-1,1]上是减函数，且f max (x)=f (-1)= 3
2, f min (x)=f (1)= -
3
2.
∴在[-1,1]上，|f (x)|≤
3
2. 于是x 1,x 2∈[-1,1]时，|f (x 1)-f (x 2)|≤|f (x 1)|+|f (x 2)|≤
3
2+
3
2=
3
4.
故x 1,x 2∈[-1,1]时,|f (x 1)-f (x 2)|≤3
4.
探究：①若x 0点是y=f (x)的极值点，则f ′(x 0)=0,反之不一定成立；因此，对第（1）问所得a,c
值要回代检验；
②在讨论存在性问题时常用反证法；
③利用导数得到y=f (x)在[-1,1]上递减是解第(3)问的关键. 题型3 导数与图象特征结合
例3【考查目的】本题考查向量的性质与计算、函数的导数与函数的图象、函数的图象与方程根
的个数间的关系以及综合应用能力。

解 (1)∵a b ⋅
=3×2
1+(-1)×
2
3=0 ∴a ⊥b
.
(2)∵x ⊥y ，∴x y ⋅ =0 即[a +(t 2
-3) b ]·(-k a +t b )=0. 整理后得-k 2
a +[t-k(t 2-3)] a
b ⋅
+ (t 2-3)·
2
b =0 ∵a b ⋅ =0，2a =4，2b =1，∴上式化为-4k+t(t 2-3)=0，即k=4
1
t(t 2-3)
(3) 讨论方程41t(t 2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f (t)= 4
1t(t 2
-3)与直线y=k 的交点个数. 于
是f ′(t)=
4
1(t 2-1)=
4
3t(t+1)(t-1).
令f ′
当t=-1时，f (t)有极大值，f (t)极大值=2
1. 当t=-1时，f (t)有极小值，f (t)极小值=-2
1.
函数f (t)=41t(t 2-3)的图象如图13－2－1所示，可观察出： (1)当k ＞21
或k ＜-2
1时,方程f (t)-k=0有且只有一解；
(2)当
k=2
1或k=-21时,方程f (t)-k=0有两解；
(3) 当-21＜k ＜2
1时
,方程f (t)-k=0有三解.
探究：导数的应用为函数的作图提供了新途径。

例4．解：（I ）法1 因为函数3
2
11()3
2
f x x ax bx =
+
+在区间[1
-所以2
()f x x ax b '=++0=在[11)-，
，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=
20x <04<
，2
0416a b <-≤，且当11x =-，
23x =，即a =2
4a b -的最大值是16．
法2 (1)10(1)10(3)930
f a b f a b f a b '-=-+≥⎧
⎪
'=++<⎨
⎪'=++≥⎩
b =4
S
作出可行域G 如图所示： 令2
2
44
4
a
S S a b b =-⇒=-
,寻求其几何意义，可得
抛物线24
4
a
S b =
-
过点(2,3)A --时纵截距取最小值即
2
2
m ax 4(2)4(3)16.S a b =-=--⨯-=
（II ）法1：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是
(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)3
2
y a b x a =++-
-
，
因为切线l 在点(1())A f x ，处穿过()y f x =的图象，所以21()()[(1)]3
2
g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则1x =不是()
g x 的极值点．而()g x 3
2
1121(1)3
2
32x ax bx a b x a =
+
+-+++
+，且
2
2
()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和
1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由2
48a b -=，得1b =-，故
3
2
1()3
f x x x x =
--．
法2：同法1得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-
- 2
1
33(1)[(1)(2)]322
a
x x x a =-++
-+
．
因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，
于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当
11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．
设2
33()1222a a h x x x ⎛⎫⎛
⎫=++
-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，则有结论：()h x 在1x =左右两侧同号，即： 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；或当11m x <<时，()0h x <，当2
1x m <<时，()0h x <．
由(1)0h =结合()h x 的结构特征（抛物线开口向上）知 1x =是()h x 的一个极值点，则
3(1)21102
a h '=⨯++
=，所以2a =-，又由2
48a b -=，得1b =-，故32
1()3
f x x x x =
--．
评注：选择图像的特殊点精心设计试题，是本题在设计创新点上的重要特色，需要深入分析图象
特征利用导数来求解。

【启迪迁移】
1．解：（1）求函数()f x 的导数；2
()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23
(31)2y t x t =--．
（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23
(31)2b t a t =--．
于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程3
2
230t at a b -++=
有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()t t a =-． 当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：
由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302
a t t ==
，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当
()0b f a -=时，解方程()0g t =得2
a t t a =-
=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，
如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.
a b b f a +>⎧⎨
-<⎩，即
()a b f a -<<．
评注：准确解决本题的关键是：将条件“过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线”等价转化为讨论函数32()23g t t at a b =-++的图象特征（有三个零点的充要条件）。

题型4 导数的实际应用
例5 错解：2
2
'12164V x ax a =-+4(3)().x a x a =--
因为
t x
a x ≤-22所以函数的定义域为（0，
212ta t
+]
这时V 在定义域内有惟一极值点.3
a x =
由问题的实际意义可知，3
m ax 16,.3
27
a x V a =
=
时
正解：①当
21,,'0,,3
124
3
a ta a t v x t
<
>
==
+即时由解得这时V 在定义域内有惟一极值点.3
a x =
由
问题的实际意义可知，3
m ax 16,.3
27
a x V a =
=
时
②21,0,3,3
124
a ta t x a t
'≥
<≤
≥≥+当
即时这时有V 0,知V 在定义域内为增函数，故当
3
2m
a x
3
2248,(2).
121212
(12)
a t a t a t a t
x V a t
t
t t =
=
-
=
++++时 剖析：求解函数的最值问题，应注意函数的定义域，本例由导数为0的点是否落在定义域内，引
出了讨论。

有时还要注意对导数为0的情形进行讨论。

题型5 导数的综合应用
1. 用于证明不等式或求“恒成立”型不等式参数范围
例6 【考查目的】本题主要考查导数的基本性质和应用，对数函数性质和平均值不等式知识以及综合推理论证的能力。

解：(1)函数f (x)的定义域为(-1，+∞)，f ′(x)=
x
+11-1.
令f ′(x)=0，解得x=0.
当-1＜x ＜0时，f ′(x)＞0; 当x ＞0时， f ′(x)＜0.
又f (0)=0，故当且仅当x=0时，f (x)取得最大值,最大值为0. （2）证法一：g(a)+g(b)-2g(
2
b a +)=alna+blnb-(a+b)ln
2
b a +=aln 22ln
a b b a b
a b
+++
由（1）结论知ln(1+x)-x<0(x>-1，且x ≠0) 由题设0<a<b ，得
0,1022b a
a b
a b
-->-<
<
因此2ln ln(1)22a b a b a a b a a --=+>-+，2ln ln(1)22b a b a b
a b b b --=-+>-+， 22ln ln 022a b b a a b a b a b a b --∴+>--=++. 又22a a b
a b b +<+，
222ln ln ln ln ()2a b a b b a b a b b a a b a b b a b +∴+<+=-+++2ln ()ln 2b
b a a b
<-+.
综上，0()()2()()ln 22
a b
g a g b g b a +<+-<-. 证法二：()ln ,()ln 1g x x x g x x '==+. 设()()()2()2
a x
F x g a g x g +=+-，则 ()()2[()]ln ln 22
a x a x
F x g x g x ++'''=-=-.
当0<x<a 时，()0F x '<，因此()F x 在(0,)a 内为减函数； 当x>a 时，()0F x '>，因此F(x)在(,)a +∞上为增函数. 从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a).
()0,,F a b a => ()0F b ∴> 即0()()2(
)2
a b g a g b g +<+-.
设()()()ln 2G x F x x a =--，则()ln ln
ln 2ln ln()2
a x G x x x a x +'=--=-+
当x>0时，()0G x '<，因此()G x ∞在(0,+)上为减函数。

()0,,()0,G a b a G b =>∴< 即()()2(
)()ln 22
a b g a g b g b a ++-<-，
综上，原不等式得证。

【启迪迁移】
1．证明：当x>0时，有3
sin 6
x
x x x -
<<
分析：构造函数，研究其单调性后作判断。

2．解析：（Ⅰ）'
2
2
ln 1(),
x f x +=-
若'
()0,f x = 则1x =
，列表如下：
（Ⅱ）在1
2a
x x >两边取对数, 得
1ln 2ln a x x
>,由于01,x <<所以
1ln 2
ln a x x
>
(1)
由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时,1()()f x f e e
≤=-, 为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当
ln 2
a e >-,即ln 2a e >-为所求。

评注：寻找（2）中不等式与（1）的联系（观察其结构特征），通过取对数转化为求函数f(x)
的
最大值问题。

3. 分析：利用S n -S n-1=a n (n ≥2)易得a n =2n-1，从而S n =n 2
则问（2）转化为t ≤
22
n
n 恒成立，故只需求
出数列22
n n
n b =
的最小项，有以下求法：
法1：研究数列{b n }的单调性。

法2：数列作为一类特殊的函数，欲求2
2{
}n n
的最小项可先研究连续函数2
2(0)x y x x
=
>的单调性，
求导得4
2(ln 22)
x
x x y x ⋅-'=
，易得2ln 2
x =
为函数2
2x y x
=
的极小值也是最小值点，又
22ln ln 2
e
<
<，所以2[
]3ln 2
=而3342
23
b b =
<，故389
t b ≤=
（注：不能直接对2
2(*)n y n N n
=
∈求导，为什么？）
4.解析: （Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞，
2
2
2
2
2ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)
(1)
x x x x x x x
f x x
x x ++++--'=
-
=
+++ 设2()2(1)ln(1)2,g x x x x x =++--则()2ln(1)2.g x x x '=+- 令()2ln(1)2,h x x x =+-则22()2.11x h x x
x
-'=
-=
++
当10x -<<时， ()0,h x '> ()h x 在（-1，0）上为增函数，当x ＞0时，
()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数.所以h (x )在x =0处取得极大值，而h (0)=0,所以()0(0)g x x '<≠，函数g (x )在(1,)-+∞上
为减函数.于是当10x -<<时，()(0)0,g x g >=当x ＞0时，()(0)0.g x g <=所以，当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在（-1，0）上为增函数.当x ＞0时，()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数.故函数()f x 的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为(0,)+∞.
（Ⅱ）不等式1(1)
n a
e n
++
≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n
++
≤由111n
+
>知，
1.1ln(1)
a n n ≤
-+
设(]11(),0,1,ln(1)
G x x x x
=-∈+则
2
2
2
2
2
2
1
1(1)ln (1)().(1)ln (1)
(1)ln (1)
x x x G x x x x
x x x ++-'=-
+
=
++++
由（Ⅰ）知，2
2
ln (1)0,1x
x x
+-
≤+即22(1)ln (1)0.x x x ++-≤
所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是G (x )在(]0,1上为减函数.故函数G （x ）在(]0,1上的最小值为
1(1) 1.ln 2
G =
- 所以a 的最大值为
1 1.ln 2
-
评注：仿本题取对数并化离散为连续进行构造转化利用单调性可求最小值解决问题；值得注意的是本题在考察单调性需要判断符号而难以直接判断时可以考虑进行二次构造甚至三次（多次）构造，是典型的用构造方法转化并解决问题的好例。

5． 证明：法1：由()2
2ln f x x a x x
=+
+，得()'
2
22a f
x x x
x
=
-
+
∴()()''121222
112
22222a a f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
-=-+--+ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
()12122
2
12
12
22x x a x x x x x x +=-⋅+
-
()()
()12'
'
12122
2
12
12
221x x a f
x f
x x x x x x x +-
>-⇔+
-
>
下面证明对任意两个不相等的正数12,x x ,有()122
2
12
12221x x a x x x x ++-
>恒成立
即证()121212
2x x a x x x x +<+
成立，∵(
)12121212
2x x x x x x x x ++
>+
设()()2
40t u x t t
=
=+
>，则
()'
2
42u
x t =-
，令()'0u x =得t =
，列表如下：
()4u t a ≥=
>≥ ∴)1212122x x x x a x x ++
>
∴ 对任意两个不相等的正数12,x x ，恒有()()
'
'
1212f x
f
x x x -
>-
法2：由()2
2ln f x x a x x
=+
+，得()'
2
22a f
x x x
x
=-
+
∴
()()'
'
121222
11222222a a f
x f
x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
-=-+--+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭()121222121222x x a x x x x x x +=-⋅+-
∵12,x x 是两个不相等的正数
∴()123
22
12
12
12
24
22x x a
a x x x x x x ++->+-
3
12
4
42x x ≥+
-
设t )()432t t =-，列表：
∴38127
u =
> 即 122
2
12
12
221x x a x x x x ++->
∴()()()12''1212122
2
12
12
22x x a f x f x x x x x x x x x +-=-⋅+
-
>-
即对任意两个不相等的正数12,x x ，恒有()()
'
'
1212f
x f
x x x -
>-
探究：导数的引进为不等式的证明，甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分地体现了数列作
为一类特殊函数的本质所在。

特别提示：上述例题充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不等式、数列等问题的方法，这类问题用传统教材无法解决；此外，还说明了一点：欲用导数，得先构造函数。

请认真研究构造函数的技巧！如上述选题1～5.这将是今后较长时间内高考的热点问题。

3. 用于讨论某些超越方程的解
例7 简析 设x y ln =的切线为ax y =，切点为),(00y x ，则
00ax y =①, 00ln x y =②,
另一方面
x
x f 1)(=
'有
a x =0
1③,
由③知01
x a
=代入①②得.1e
a =
于是有：
（1）当1a e
=
时方程有一解，为;10e a
x ==
（2）当e
a 1>
时方程无解，（3）当e
a 10<
<时有
两解。

评注：体会用切线定位，解决问题的妙用。

【启迪迁移】
1.解答：设f(x)=x －sinx ，即证f(x)=0只有一个实数根。

因为f ′(x)=1－cosx ≥0，其中等号只在孤立点x=2k π(k ∈Z)时成立。

故f(x)在(－∞，＋∞)上是递增的。

又由于f(0)=0，故当x ＞0时，f(x)＞0，当x ＜0时，f (x)＜0。

因此f (x)=0只有一个实数根x=0.
【实战演练】
一、选择题 CBDCC
4. 提示：(0)0f b '=>，2
0,40a b ac >∆=-≤，可知必有0c >（否则0∆>），于
是
(1)11 2.(0)
f a b c
a c f b
b
b
+++=
=+
≥+
≥'
二、填空题
6． 90° 。

7． （-∞，-1）。

8． m ≥0或 m ≤-3。

三、解答题
9．由2y x =得2y x '=，由2
(2)y x =-- ，得2(2)y x '=--；
设直线l 与2
y x =的切点为2
11(,),(2)P x y y x =--与的切点为22(,)Q x y
根据已知条件21122212
12112
(2)22(2)2y x y x x x y y x x x ⎧=⎪=--⎪⎪
⎨=--⎪
-⎪=⎪-⎩
①+②整理得121212(2)(2)y y x x x x +=+--+；由③得1220x x +-=；
120y y ∴+=即21y y =-，代入④与①联立可解得x 1=0或x 1=2
当x 1=0时，x 2=2；当x 1=2时，x 2=0； ∴直线l 过（0，0）、（2，0）点，或直线过（2，4）、（0，-4）点因此所求直线方 程为y=0或y=4x-4。

10． 解：（1）由32()f x x ax bx c =+++求导数得2()32f x x ax b '=++过()y f x =上点(1,(1))P f 的切线方程为：
(1)(1)(1),(1)(32)(1)y f f x y a b c a b x '-=--+++=++-即，
而过()y f x =上，(1,(1))P f 的切线方程为31y x =+ 故32321a b a b c ++=⎧⎨++-=⎩ 即20
3a b a b c +=⎧⎨++=⎩
()y f x = 在x=-2时有极值，故(2)f '-=0 412a b ∴-+=- ③
由①②③式联立解得2,4,5a b c ==-=，32
()245f x x x x ∴=+-+ （2）2
2
()32344(32)(2)f x x ax b x x x x '=++=+-=-+
3
2
()(2)(2)2(2)4(2)513f x f =-=-+---+=极大，
3
(1)1214154f =+⨯-⨯+=，()f x ∴在[-3，1]上最大值为13。

（3）()y f x =在区间 [-2，1]上单调递增，又2
()32f x x ax b '=++，
由（1）知20a b +=，2
()3f x x bx b '∴=-+
依题意()f x '在[-2，1]上恒有2
()0,30f x x bx b '≥-+≥即在[-2，1]上恒成立。

①
② ③ ④
①②
11
① 当16b x =≥时，()(1)30f x f b b ''==-+>小，6b ∴≥； ② 当26b x =
≤-时，()(2)1220f x f b b ''=-=++≥小，b 不存在；
③当216
b -≤
≤时，2
12()012
b b f x -'=
≥小，∴0≤b ≤6；
综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：b ≥0。

11．解答：（1）当0≤t ≤1时，y=4t ， 当t ≥1时，1
()
2t a
y -=，此时M （1，4）在曲线上，
114(
),32
a
a
-∴=∴=，这时3
1()2
t y -=，所以
3
4(01)()1()(1)2
t t
t y f x t -≤≤⎧⎪
==⎨≥⎪⎩ （2）①340.25
()0.25,1()0.252t t f t -≥⎧⎪≥⎨≥⎪⎩ 即 解得1165
t t ⎧≥⎪
⎨⎪≤⎩
1516t ∴≤≤ ∴服药一次治疗疾病有效的时间为11554
16
16
-=个小时。

②设1[5,5
]16
t ∈，5小时第二次服药后，血液中含药量g(t)为：第二次产生的含药量4（t-5）毫
克以及第一次的剩余量3
1
()
2
t -毫克，即g(t)=4(t-5)+ 3
1
()
2
t -
只要证明，当1
[5,5
]16
t ∈时,g(t)≥0.25即可
33
111()4()ln 4()ln 2222t t g t --'=+=- ，()g t '∴在R 上是增函数，
1()[5,5]16g t '∴在上有2
1()(5)4()ln 202g t g ''≥=->，
1
()[5,5]16
g t ∴在上是增函数，故g(t)≥g(5)=0.25，
∴当t=5时，第二次服药，1
[5,5]16
t ∈时，药效连续。

12. 解答：设,)1()(n
n x x x f -+=则])1([)(1
1----='n n x x
n x f ， 令0)(='x f ，得1
1)1(---=n n x x ，由于0≤x ≤1，则有x=1－x ，解得x=
2
1，
可得()f x 在区间1[0,]2
递减，在1
[,1]2
上递增，又,1)1(,1)0(,2
1)2
1(1
===
-f f f n 经比较知f(x)
在[0，1]上的最小值、最大值分别为
1
22
1-n ，1，所以
1
22
1-n ≤x n ＋(1－x)n ≤1。

13．解答：将y=x ＋a 代入y=x 2整数得x 2－x －a=0. 为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△= (－1)2＋4a ＞0，所以a ＞－
4
1；设此两交点为(α，α2)，(β, β2)，α＜β，由y=x 2知y ′=2x ，则切线l 1，
l 2的方程为y=2αx －α2
，y=2βx －β2.
两切线交点为(x ，y) ，则
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
αββαy x 2
因为α，β是①的解，由违达定理可知α＋β=1，αβ=－a 由此及②可得x=
2
1，y=－a ＜
4
1
从而，所求的轨迹为直线x=2
1上的y ＜4
1的部分。

14．解：（1）设直线n l ：)1(+=x k y n ，联立022
2
=+-y nx x 得
0)22()1(2
2
2
2
=+-++n n n k x n k x k ，则0)1(4)22(2
2
2
2
=+--=∆n n n k k n k ，
∴ 12+=
n n k n （1
2+-
n n 舍去）
2
2
2
2
2
)
1(1+=
+=
n n
k k x
n
n
n
，即1
+=
n n x n ，∴1
12)1(++=
+=n n n x k y n n n
（2）证明：∵
1
211
11
111+=++
+-=
+-n n n n n x x n
n
1
211
2125
33
12124
32
112531+=
+-⨯
⋅⋅⋅⨯⨯
<
-⨯
⋅⋅⋅⨯⨯
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-n n n n
n x x x x n
∴n
n n x x x x x x +-<
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-1112531
12
由于
n
n n
n x x n y x +-=
+=
111
21，可令函数x x x f sin 2)(-=，则
x x f cos 21)('
-
=，令0)('
=x f ，得2
2cos =
x ，给定区间)4
,
0(π
，则有0)('
<x f ，故
函数)(x f 在)4,
0(π
上单调递减，∴0)0()(=<f x f ，即x x s in 2<在)4
,
0(π
恒成立；又
4
3
11
210π
<
≤+<n ，
则有
1
21sin
21
21+<+n n ，即
n
n n
n y x x x sin
211<+-.
15. 【解析】：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，
2
11
(1)[(1)]
()a x ax a x x a f x x a x
x
x
--+----'=-+==
（i ）若11a -=，即a=2，则2
(1)()x f x x
-'=
，故()f x 在(0,)+∞上单调增加。

（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<；当(0,1)x a ∈-及
(1,)x ∈+∞时，()0f x '>。

故()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。

（iii ）若11a ->，即2a >， 同理可得()f x 在(1,1)-a 上单调减少，在(0,1)，(1,)-+∞a 上单调增加。

（2）考虑函数2
1()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=
-+-+，
则2
1()(1)(1)11)a g x x a a x
-'=--+
≥-=-，
由于15a <<，故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞上单调增加，从而当210x x <<时， 有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故
1212
()()
1f x f x x x ->--；
当120x x <<时，有
122112
21
()()
()()
1f x f x f x f x x x x x --=
>---。

【评注】注意第（2）问根据所证结论，巧妙构造函数的技巧！
16. 解：（I ）f (x )=－x 2+8x=－(x －4)2+16,
当t +1<4，即t <3时，f (x )在[t ，t +1]上单调递增，
h (t )=f (t +1)=－(t +1)2+8(t +1)=－t 2+6t +7;
当t ≤4≤t +1时,即3≤t ≤4时，h (t )=f (4)=16;
当t >4时，f (x )在[t ，t +1]上单调递减，h (t )=f (x )=－t 2+8t .
综上，h (t )=⎪⎩⎪
⎨⎧+-++-,
8,16,762
2t t t t
（II ）函数y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有三个不同的交点，即函数
ϕ(x )=g (x )－f (x )的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

∴ϕ(x )=x 2－8x +6ln x +m, ∵2
6286
2(1)(3)
()28(0),x x x x x x x x x
x
ϕ-+--'=-+
=
=
>
当x ∈(0,1)时，()x ϕ'>0，ϕ(x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，()x ϕ'<0，ϕ(x )是减函数；
当x ∈(3,+∞)时，()x ϕ'>0，ϕ(x )是增函数；
当x=1或x =3时， ()x ϕ'=0；
∴ϕ(x )极大值=ϕ(1)=m －7, ϕ(x )极小值=ϕ(3)=m+6ln 3－15. ∵当x 充分接近0时，ϕ(x )<0，当x 充分大时，ϕ(x )>0.
∴要使ϕ(x )的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
⎩⎨
⎧<-=>-=,
0153ln 6)(,
07)(＋极小值极大值m x m x ϕϕ 解得7<m <15－6ln 3. 所以存在实数m ，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为（7，15—6ln 3）.
附．(01年京蒙皖春招题)在1与2之间插入n 个正数123,,,...,n a a a a ，使这n ＋2个数成等比数
列；又在1与2之间插入n 个正数123,,,...,n b b b b ，使这个n ＋2个数成等差数列。

记A n =123...n a a a a ⋅⋅⋅⋅，B n =123...n b b b b ++++
（1）求数列{}n A 和{}n B 的通项；
t <3, 3≤t ≤4, t >4。