分类讨论课件
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广东省新兴县惠能中学高三理科数学复习《分类讨论专题复习》课件
2.求不等式 ax
2
3ax 2a 0
的解集
3.在等比数列 an 中,a3 4, S3 12 求 a1 , q
4. 在空间四边形ABCD中，E,F,G分别是边AC,BD,BC的中点，且 AB与CD所成角为60度，则 EGF 等于___度 5.求函数 y 1 a sin( x
，则 a 等于____
1 y x （x 0） 的值域。 x
2. 求函数
3．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤ ，x∈R}， a 若B A，那么a 的范围是___。
A.0≤a≤1；B.a≤1；C.a<1；D.0<a<1。
4.求函数
sin x cos x tan x y | sin x | | cos x | | tan x |
3
) （a 0, x [
, ] ) 的值域 2 2
例一： 2 ax 求函数 f ( x ) x e 的单调区间。
练习. 在 xoy 平面上给定曲线 y 2 2 x ，设点A(a,0)，a∈R， 曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数 表达式。
之和为偶数的概率是( )
10 11 4 A B C D 21 21 9 3. 已知数列{an } an 100 6n (n N ) 求： ， 5 9
Sn | a1 | | a2 | ... | an |
第三组：
1. 过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是________ A.3x－2y＝0； B.x＋y－5＝0； C.3x－2y＝0或x＋y－5＝0； D.不能确定。
的值域
5.若数列{an }, a1 1, 且an an1 4n,求数列{an} 的前n项和Sn
2
3ax 2a 0
的解集
3.在等比数列 an 中,a3 4, S3 12 求 a1 , q
4. 在空间四边形ABCD中，E,F,G分别是边AC,BD,BC的中点，且 AB与CD所成角为60度，则 EGF 等于___度 5.求函数 y 1 a sin( x
，则 a 等于____
1 y x （x 0） 的值域。 x
2. 求函数
3．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤ ，x∈R}， a 若B A，那么a 的范围是___。
A.0≤a≤1；B.a≤1；C.a<1；D.0<a<1。
4.求函数
sin x cos x tan x y | sin x | | cos x | | tan x |
3
) （a 0, x [
, ] ) 的值域 2 2
例一： 2 ax 求函数 f ( x ) x e 的单调区间。
练习. 在 xoy 平面上给定曲线 y 2 2 x ，设点A(a,0)，a∈R， 曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数 表达式。
之和为偶数的概率是( )
10 11 4 A B C D 21 21 9 3. 已知数列{an } an 100 6n (n N ) 求： ， 5 9
Sn | a1 | | a2 | ... | an |
第三组：
1. 过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是________ A.3x－2y＝0； B.x＋y－5＝0； C.3x－2y＝0或x＋y－5＝0； D.不能确定。
的值域
5.若数列{an }, a1 1, 且an an1 4n,求数列{an} 的前n项和Sn
数学分类讨论思想与“零点分段法”(8班)精品PPT课件
(Ⅱ)
在(Ⅰ)的条件下,解不等式
f
x
x
1
1 2
x2
x
1
；
(Ⅲ) 若函数 f x 在区间 1, 2 上单调递增,求实数 a 的取
值范围. (河北衡水中学 2014 届五调考试)
【解析】(Ⅰ)因为
f
x
ax2
a
12Βιβλιοθήκη xaa12
e
x
f
x
2ax
a
12
ex
ax2
a
12
x
a
a
12
ex
ax2
a2 1
③当 1＜m1 ＜e，即1e＜m＜1 时，
函数 f (x)在 (1，m1 )上单调递增，在(m1 ，e)上单调递减，
则 f (x) max＝f (m1 )＝－lnm－1．…………………………7 分
④当m1 ≤1，即 m≥1 时，
x∈(1，e)， f ′(x)＜0，函数 f (x)在(1，e)上单调递减，
x a ex
…2 分
因为 x 0 为 f x 的极值点,
所以由 f 0 ae0 0 ,解得 a 0 ……………3 分
检验,当 a 0 时, f x xex ,当 x 0 时, f x 0 ,当 x 0
时, f x 0.
所以 x 0 为 f x 的极值点,故 a 0 .……………4 分
a 1 ………………6 分 3
滚动训练
滚动练习 1：已知函数 f (x)＝(m－3)x3 + 9x. （1）若函数 f (x)在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求 m 的取
值范围； （2）若函数 f (x)在区间［1，2］上的最大值为 4，求 m 的值．
分类讨论问题 教学课件
分类讨论问题
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差 异，分各种不同情况予以讨论.这种分类思考的方法是 一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学 对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法， 领会其实质，能帮助学生加深基础知识的理解，提高 分析问题、解决问题的能力.
时，请求出运动的时间.
备用图
备用图
解：(1)把 A(2，0)，B(8，0)代入抛物线 y＝ax2＋
bx＋6，
得46a4＋ a＋2b8＋ b＋6＝ 6＝0， 0，
解得a＝83， b＝－145，
∴抛物线的表达式为 y＝38 x2－145 x＋6.
(2)设直线 BC 的函数表达式是 y＝kx＋6， ∵直线 BC 过点 B(8，0)，
∵－38 ＜0，
∴当 m＝4 时，EF 取最大值 6， 此时 E 点坐标为(4，3). (3)设运动的时间为 t 秒，则 BP＝OQ＝t， ∴BQ＝OB－OQ＝8－t.
①当 PQ＝PB 时，过点 P 作 PD⊥QB 于点 D，
如图.
∵点 C 的坐标是(0，6)，点 B(8，0)， ∴OC＝6，OB＝8，
∴BE＝12 BP＝12 t.
∵∠EBQ＝∠OBC，∠BEQ＝∠BOC＝90°， ∴△BEQ∽△BOC，
1 ∴BBQC ＝BBOE ，81－0 t ＝28t ， ∴t＝6143 ；
③当 PB＝QB 时，如图，
则 8－t＝t，解得 t＝4.
综上所述，当 t 的值为 4 或4103 或1634 时，△PBQ 为等腰三角形.
图1
图2
∵⊙M 与直线 AB 相切，∴MD＝2. ∵∠OBA＝∠DBM，∠BOA＝∠BDM，
中考数学专题复习：分类讨论-课件
A
P
B
在矩形ABCD中：①当QABA=BACP 时，△QAP∽△ABC，则612t
=
2t 6
，
解得t=
6 5
=1.2秒。所以当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC。
②当QBCA=
AP AB
时，△PAQ∽△ABC，则
66t= 122t，
Hale Waihona Puke 解得t=3（秒）。所以当t=3秒时，△PAQ∽△ABC。
10。已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点 （点Ａ在点Ｂ的左边），与ｙ轴交于点Ｃ,直线ｘ＝ｍ（ｍ＞ １）与ｘ轴交于点Ｄ。
0, 解得，t1
16 3
, t2
16(不符合题意，舍去）
综合上面的讨论可知：当t 7 秒或t 16 秒时，以B、P、Q三点为顶点的
2
3
三角形是等腰三角形。
（１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标；
（２）在直线ｘ＝ｍ（ｍ ＞ １）上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象
限），使得以Ｐ、Ｄ、Ｂ为顶点的三角形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶
点的三角形相似，求点Ｐ的坐标。
ｙ
Ｏ ＡＢ
Ｃ
Ｘ Ｄ
解（1）A（－1，0），B（1，0），C（０，－2）
(2) 当 △ PDB
∽
△
BOC时，
PD
BO=
有Ｐ（ｍ，
m 2
－
1 2
）
BD CO
当 △ PDB ∽ △ COB时， 有P（m, 2m－2）；
Ｏ ＡＢ
Ｃ
P
Ｘ Ｄ
11. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC， C 90°，BC 16，DC 12，
AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位 长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单 位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当 点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。 （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求
分类讨论思想转化与划归思想ppt课件
解 (1)由已知可得ac22＝a2－a2b2＝12， 所以 a2＝2b2， 又点 M( 2，1)在椭圆 C 上，所以a22＋b12＝1，联立方程组aa222＋＝b212b＝2，1， 解得ab22＝ ＝42， . 故椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1. (2)(ⅰ)当直线 l 的斜率为 0 时，则 k1k2＝4－3 2×4＋3 2＝34；
思想概述·应用点拨
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
2.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的 定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为 零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数 运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三 角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单 调性、基本不等式等.
思想概述·应用点拨
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
综上所述：当 m≥0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当 m≤－1 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当－1＜m＜0 时，f(x)
在 0，－1＋m1－m2 和 －1－m1－m2，＋∞ 上 单 调 递 减 ， 在
思想概述·应用点拨
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归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
2.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的 定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为 零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数 运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三 角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单 调性、基本不等式等.
思想概述·应用点拨
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
综上所述：当 m≥0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当 m≤－1 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当－1＜m＜0 时，f(x)
在 0，－1＋m1－m2 和 －1－m1－m2，＋∞ 上 单 调 递 减 ， 在
[名校联盟]浙江省海盐元济高级中学数学课件：公开课(分类讨论).
![[名校联盟]浙江省海盐元济高级中学数学课件：公开课(分类讨论).](https://img.taocdn.com/s3/m/d7cdb80610a6f524ccbf8543.png)
t ( x) ax 2 x 在[2，4]单调递减， 由题意得， 且t>0
1 1 4 a 2a 8 t ( 4) 0 16a 4 0
a无解
由（1）（2）可知 a>1
思考题 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和 圆 C ： x2+y2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与 |MQ| 的比等于常数 ( 0) ，求动点M的轨迹方程， 说明它表示什么曲线。
1 4. 函数 y x 的值域是_________。 x
A.[2,+∞) B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.(-∞,+∞) D.[-2,2]
5. 过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直 线方程是_6. 直线 y x 3 与曲线 9 4
2
教材中几种常见的讨论问题
1.绝对值
2. 二次函数
a(a 0) a a(a 0)
f ( x) ax2 bx c(a 0)
x
3. 指数函数和对数函数： y a 与y loga x 4.等比数列前n项和Sn:
na1 ( q 1) S n a1 (1 q n ) 1 q ( q 1)
5.由数列前n项和Sn，求an：
S1 (n 1) an S n S n1 (n 2)
α≠90o k=tanα 6.直线的斜率： α=90o k不存在
7.椭、双、抛定义中
MF1 MF2 2a( F1F2 2a)
MF1 MF2 2a( F1F2 2a)
Sn Tn 。 比 q 0 ，令 Tn ，求 nlim S n 1
2. 已知集合 M {x x2 1}，集合 N {x ax 1} 若 N M ，则
1 1 4 a 2a 8 t ( 4) 0 16a 4 0
a无解
由（1）（2）可知 a>1
思考题 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和 圆 C ： x2+y2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与 |MQ| 的比等于常数 ( 0) ，求动点M的轨迹方程， 说明它表示什么曲线。
1 4. 函数 y x 的值域是_________。 x
A.[2,+∞) B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.(-∞,+∞) D.[-2,2]
5. 过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直 线方程是_6. 直线 y x 3 与曲线 9 4
2
教材中几种常见的讨论问题
1.绝对值
2. 二次函数
a(a 0) a a(a 0)
f ( x) ax2 bx c(a 0)
x
3. 指数函数和对数函数： y a 与y loga x 4.等比数列前n项和Sn:
na1 ( q 1) S n a1 (1 q n ) 1 q ( q 1)
5.由数列前n项和Sn，求an：
S1 (n 1) an S n S n1 (n 2)
α≠90o k=tanα 6.直线的斜率： α=90o k不存在
7.椭、双、抛定义中
MF1 MF2 2a( F1F2 2a)
MF1 MF2 2a( F1F2 2a)
Sn Tn 。 比 q 0 ，令 Tn ，求 nlim S n 1
2. 已知集合 M {x x2 1}，集合 N {x ax 1} 若 N M ，则
分类讨论思想ppt课件演示文稿
1 cos 2 x 2 | sin x | 解析：f x cos x cos x 2 tan x, x [2k ,2k ) [2k ,2k ) 2 2 . 2 tan x, x [2k ,2k 3 ) [2k 3 ,2k 2 ) 2 2
2．引入分类讨论的主要原因
1由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、
直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等；
2 由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算
中除数不为零、对数中真数与底数的要求等；
3由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； 4 由图形的不确定引起的分类讨论； 5由参数的变化引起的分类讨论； 6 按实际问题的情况而分类讨论．
考点1 由数学概念引起的分类讨论
例1.设a为实数，函数f x 2x 2 x a x a .
1 若f 0 1，求a的取值范围； 2 求f x 的最小值．
分析：由f 0 1，知 a a 1，然后根据 绝对值的定义解此不等式可解得第 1 小题； 而第 2 小题利用绝对值的定义化函数为分 段函数，然后分别求其最值．
【思维启迪】由数学运算性质类型、公式和定理、 法则有范围或者条件限制，或者是分类给出 的，在解答中注意分类讨论思想的应用．本题 Sn 中利用an Sn S n1 n 1与n 2讨论． n 1 n 2 求出an 就须分
分析：分两类n 1与n 2进行解答，但须注
解析：当n 2时，an Sn S n 1
2 2n 2n 2 n 1 2 n 1 4n， 所以an 4n(n 2，n N* )． 2
数学分类讨论思想与“零点分段法”(8班)精品PPT课件
③当 1＜m1 ＜e，即1e＜m＜1 时，
函数 f (x)在 (1，m1 )上单调递增，在(m1 ，e)上单调递减，
则 f (x) max＝f (m1 )＝－lnm－1．…………………………7 分1，e)， f ′(x)＜0，函数 f (x)在(1，e)上单调递减，
即 3x2 3a 1 0 无解……………4 分
0 4 3(3a 1) 0
a 1 3
………………6 分
法 2： f / (x) 3x2 3a 3a ，……………4 分
要使直线 x y m 0 对任意的 mR 都不是曲线
y f (x) 的切线，当且仅当 1 3a 时成立，
（2）若直线 x y m 0 对任意的 m R 都不是曲线 y f (x)
的切线，求 a 的取值范围；
（3）设 g(x) | f (x) |, x [1,1]，求 g(x) 的最大值 F (a) 的
解析式． （惠州市 2013 届高三上学期期末）
解：（1）当a 1时, f ' (x) 3x2 3,令f ' (x) 0,得x 1或x 1……1 分 当 x (1,1) 时 ， f ' (x) 0,当x (,1] [1,) 时 ，
x a ex
…2 分
因为 x 0 为 f x 的极值点,
所以由 f 0 ae0 0 ,解得 a 0 ……………3 分
检验,当 a 0 时, f x xex ,当 x 0 时, f x 0 ,当 x 0
时, f x 0.
所以 x 0 为 f x 的极值点,故 a 0 .……………4 分
(Ⅱ) 当 a 0 时,不等式
f
x
x
1
1 2
x2
x
高考数学文(二轮复习)课件《分类讨论思想》
由图形或图象引发的分类讨论
[试题调研] x＋y－2≥0， (2014· 北京高考)若x，y满足kx－y＋2≥0， y≥0， )
[例2]
且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( A．2 B．－2 1 C.2
1 D．－2
[思路方法]
线性约束条件中含有参数，k的取值会对可行
域产生影响，因此解题时要注意对k的分类讨论．可将k分为 k>0，k<－1，k＝－1与－1<k<0等情况讨论求解．
或0<x≤4，即不等式f(x)≥－2的解集为
1 －∞，－ ∪(0,4]，故选率、指数 函数、对数函数等．与这样的数学概念有关的问题往往需要根 据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题． (1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必 须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决 定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．
[回访名题] (1)(2013· 辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△ OAB为直角三角形，则必有( A．b＝a3 1 B．b＝a ＋a
两式相减，得 (q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－„－qn－1
n n＋1 n q － 1 nq － n ＋ 1 q ＋1 n ＝nq － ＝ . q－1 q－1
nqn＋1－n＋1qn＋1 于是，Sn＝ . q－12 nn＋1 若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋„＋n＝ 2 . nn＋1 q＝1， 2 所以Sn＝ n＋1 n nq －n＋1q ＋1 q≠1. 2 q － 1
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数 的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图 象、指数函数图象、对数函数图象等． (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问 题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对 不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.
2024年秋人教版七年级数学上册 《专题：绝对值与分类讨论》精品课件
知识点3 解绝对值方程 【例3】阅读下列材料. 解方程：｜x＋3｜＝5，我们可以将x＋3视为一个整体，由于绝对值 为5的数有两个，所以x＋3＝5或x＋3＝－5，解得x＝2或x＝－8. 请按照上面的解法解方程：｜x－1｜＝3. 解：由题意，得x－1＝3或x－1＝－3， 解得x＝4或x＝－2.
【变式3】 同学们都知道，｜3－（－1）｜表示3与－1之差的绝对 值，实际上也可理解为3与－1两数在数轴上所对的两点之间的距离， 试探索： （1）求｜3－（－1）｜＝ 4 ； （2）找出所有符合条件的整数x，使得｜x－3｜＝4. 解：（2）｜x－1.
同学们，再见！
最新人教版七年级数学上册
专题：绝对值与分类讨论
解题思路：需要去绝对值，但无法确定绝对值内的正负时，则需分类 讨论. 知识储备：1.若｜x｜＝3，则x＝ ±3 . 2.若｜－x｜＝5，则x＝ ±5 .
知识点1 绝对值与有理数的运算 【例1】已知｜a｜＝4，｜b｜＝5，且ab＜0，求a－b的值. 解：因为｜a｜＝4，｜b｜＝5，所以a＝±4，b＝±5. 因为ab＜0，所以a＝4时，b＝－5；a＝－4时，b＝5. 所以a－b＝4－（－5）＝9或a－b＝－4－5＝－9. 即a－b的值为±9.
【变式1】已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，且a＞b，求a＋b的值. 解：因为｜a｜＝2，｜b｜＝3，所以a＝±2，b＝±3. 因为a＞b， 所以当a＝2时，b＝－3，则a＋b＝－1； 当a＝－2时，b＝－3，则a＋b＝－5. 即a＋b的值为－1或－5.
知识点2 绝对值与约分 【例2】已知ab＞0，则｜aa｜＋｜bb｜＝ ±2 . 【变式2】已知abc＜0，则｜aa｜＋｜bb｜＋｜cc｜＝ 1或－3 .
分类讨论之几何问题 (七年级数学精品课件)
且AD=8，在 AC上取一点E,使得以A、D、E为顶点的
三角形与△ABC相似，求AE的长.
A
A
E
D
E
D
B (1)
C B (2)
C
△ADE∽△ABC 或 △ADE∽△ACB
AD AE AB AC
AD AE AC AB
三、小结 分类讨论的思想方法
实质：是根据数学对象的共同性和差异性，将其分 为不同种类的思想方法；
o
x
例2在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边
从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点 D开始向A以1cm/秒的速度移动时，如果P、Q同时出 发，用t秒表示移动的时间（0＜t＜6）
t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？
D
C
Q
A
P
B
针对练习2
如图，在 △ABC中，AB=12， AC=15，点D在AB上，
Ｄ
30°
Ｏ
如何分类？
M
分类
⑴以OD为底边 ⑴以O为顶角
⑵以OD为腰 ⑵以D为顶角
Ｄ
30°
P2
Ｏ
P1 P3
P4 M
针对练习1
平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知 A（2，4） ，在x轴上确定点P，使得△AOP为等腰三角形，则 符合条件的P点坐标分别是_____________________
y A (2,4)
作用：能把较复杂的、陌生的问题转化成几个较简 单的问题，克服思维的片面性；
原则：(1)分类按同一个标准； (2)各部分之间相互独立； (3)分类讨论应逐级进行．
再见！
3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角 是40°，则该三角形的顶角是_1_3_0_°__或___5_0_°_；
2022届高考《含参数的一元二次不等式分类讨论方法》课件
考点探究
函数 f(x)＝x2＋ax＋3.
课后作业
(1)若当 x∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求实数 a 的取值范围；
(2)若当 x∈[－2，2]时，f(x)≥a 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)若当 a∈[4，6]时，f(x)≥0 恒成立，求实数 x 的取值范围
考点探究
四、数形结合法
1） f (x) g(x) 函数 f (x) 图象恒在函数 g(x) 图象上方； 2） f (x) g(x) 函数 f (x) 图象恒在函数 g(x) 图象下上方。
例 4．设 f (x) x2 4x , g(x) 4 x 1 a , 3
若恒有 f (x) g(x)成立,求实数 a 的取值范围.
2.解关于 x 的不等式： x2 2ax 3a2 0 .
3.解关于 x 的不等式 ax2－2≥2x－ax(x∈R).
含参不等式恒成立问题
考点探究
一、判别式法
一般地，对于二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0, x R) ,有
1）
f
(
x)
0
对
x
R
恒成立
a
0 0
;
2）
f
(
x)
0
对
x
R
恒成立
a
0 . 0
例 1 若不等式(m 1)x2 (m 1)x 2 0 的解集是 R，求 m 的范围。
考点探究
变式训练 1 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对一切 x∈R 恒成立，则实数 a 的取值范围。
考点探究
二、分离变量法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
变式训练 2 若 x 2, 2时，不等式 x2 ax 3 a 恒成立，求a 的取值范围。
高考复习课件专题十一分类讨论思想.pptx
当 B＝135°时，
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋(
2)2－2×1×
2×－
22＝5，
解得 AC＝ 5.符合题意．
例 3 某学校为了迎接市春季运动会，从 5 名男生和 4 名女生组成 的田径运动队中选出 4 人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与 女生乙至少有 1 人入选的方法种数是多少？
例1已知函数f(x)＝|2x＋3|＋|2x－1|，求不等式f(x)≤6的解集.
解：原不等式化为：|2x＋3|＋|2x－1|≤6， 当 x≤－32时，原不等式可化为－4x－2≤6，即 x≥－2，∴－2≤x≤－32； 当－32<x<12时，原不等式可化为 4≤6，恒成立，即－32<x<12； 当 x≥12时，原不等式可化为 4x＋2≤6，即 x≤1，∴12≤x≤1. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤1}．
例 4 已知 f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求 f(x)的最小值．
解：当 a=0 时，f(x) 在[0,1] 上递减, ∴f(x)min＝f(1)＝－2 当 a>0 时，f(x)＝ax2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为 x＝1a. ①当1a≤1，即 a≥1 时，f(x)＝ax2－2x 的图象对称轴在[0,1]内， ∴f(x)在0，1a上递减，在1a，1上递增．∴f(x)min＝f1a＝1a－2a＝－1a. ②当1a>1，即 0<a<1 时，f(x)＝ax2－2x 的图象对称轴在[0,1]的右侧． ∴f(x)在[0,1]上递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）பைடு நூலகம்
分类讨论思想
主讲教师：李应 华南师范大学附属中学
专题七讲分类讨论思想、转化与化归思想课件理
物理中的应用实例
分类讨论思想
在物理学中，分类讨论思想同样有着广泛的应用。例如，在研究物体的运动时， 可以根据物体的运动状态（静止、匀速直线运动、变速运动）进行分类讨论；在 研究电路时，可以根据电路的连接方式（串联、并联）进行分类讨论。
转化与化归思想
在物理学中，转化与化归思想的应用也很多。例如，在研究能量守恒定律时，可 以将复杂的能量转化过程转化为简单的能量计算；在研究力学问题时，可以将复 杂的受力分析转化为简单的力矩平衡问题。
在分类讨论中，需要明确分类的标准 和原则，将问题划分为具有相同性质 的子问题，然后逐一分析、解决。
分类讨论思想的重要性
分类讨论思想能够使问题更加清 晰、具体，有助于深入理解问题
的本质。
通过分类讨论，可以将复杂问题 分解为简单问题，降低问题的难
度，提高解决问题的效率。
分类讨论有助于发现新的解题思 路和方法，促进数学思维的发展
在物理、化学等学科中，转化与化归思想同样适用，如将复杂物理现象转化为数学 模型，化学反应方程式的配平等。
在生活中，转化与化归思想也有很多应用，如将复杂问题分解为多个简单问题，将 繁琐事务整理为有序的工作流程等。
如何培养转化与化归思想
培养转化与化归思想需要多做练习， 通过不断尝试和总结，提高自己的思 维能力和解决问题的能力。
04 分类讨论思想与转化与化 归思想的综合应用
综合应用的步骤和方法
明确问题
首先需要明确问题的类型和涉 及的知识点，确定是否需要采 用分类讨论或转化与化归思想
。
制定策略
根据问题的特点，制定合适的 分类标准或转化途径，将复杂 问题分解为若干个简单问题或 等价问题。
实施解决
对分类后的子问题进行逐一解 决，或对转化后的等价问题进 行求解，注意保持逻辑严密和 推理准确。
初二七年级数学上册专题29 线段计算——分类讨论思想ppt课件
3
②当 Q 在 PB 的延长线上时，如图②.因为 A Q －B Q ＝PQ ，A Q －B Q ＝A B ， 所以 A B ＝PQ ，所以 PQ ∶A B ＝1.
4．(2017·武昌区期末模拟)点A，B，C在同一直线上． (1)若AB＝8，AC∶BC＝3∶1，求线段AC的长度；
(2)若AB＝m，AC∶BC＝n∶1(n为大于1的整数)，求AC的长．
，A
C
∶B
C
＝n∶1，所以
A
C
＝ mn ； n＋1
②当点 B 在线段 A C 上时，因为 A B ＝m ，A C ∶B C ＝n∶1，所以 B C ＝n－ m 1，所以 A C
＝A B ＋B C ＝m ＋ m ＝ m n . n－1 n－1
第四章 几何图形初步
专题29 线段计算——分类讨论 思想
武汉专版·七年级上册
1．如图，在直线l上取A，B两点，使AB＝10，若在l上再取一点C，使AC＝2，M，N分别是AB，AC中 点．求MN的长．
【解析】因为 A B ＝10，M 为 A B 中点，所以 A M ＝5. 又因为 A C ＝2，N 为 A】(1)①当点 C 在线段 A B 上时，因为 A B ＝8，A C ∶B C ＝3∶1，所以 A C ＝6；
②当点 B 在线段 A C 上时，因为 A B ＝8，所以 A C ∶BC ＝3∶1，所以 B C ＝4，所以 A C
＝A B ＋B C ＝12.
(2)①当点 C
在线段 A B
上时，因为 A B ＝m
B
＝8，A
E
＝1A 2
C
＝11，
所以 D E ＝A E －A D ＝3. 综上所述，D E 的长度为 3.
3．P是定长线段AB的三等分点，PB＝2PA，Q是直线AB上一点，且AQ－BQ＝PQ，求PQ∶AB的值．
②当 Q 在 PB 的延长线上时，如图②.因为 A Q －B Q ＝PQ ，A Q －B Q ＝A B ， 所以 A B ＝PQ ，所以 PQ ∶A B ＝1.
4．(2017·武昌区期末模拟)点A，B，C在同一直线上． (1)若AB＝8，AC∶BC＝3∶1，求线段AC的长度；
(2)若AB＝m，AC∶BC＝n∶1(n为大于1的整数)，求AC的长．
，A
C
∶B
C
＝n∶1，所以
A
C
＝ mn ； n＋1
②当点 B 在线段 A C 上时，因为 A B ＝m ，A C ∶B C ＝n∶1，所以 B C ＝n－ m 1，所以 A C
＝A B ＋B C ＝m ＋ m ＝ m n . n－1 n－1
第四章 几何图形初步
专题29 线段计算——分类讨论 思想
武汉专版·七年级上册
1．如图，在直线l上取A，B两点，使AB＝10，若在l上再取一点C，使AC＝2，M，N分别是AB，AC中 点．求MN的长．
【解析】因为 A B ＝10，M 为 A B 中点，所以 A M ＝5. 又因为 A C ＝2，N 为 A】(1)①当点 C 在线段 A B 上时，因为 A B ＝8，A C ∶B C ＝3∶1，所以 A C ＝6；
②当点 B 在线段 A C 上时，因为 A B ＝8，所以 A C ∶BC ＝3∶1，所以 B C ＝4，所以 A C
＝A B ＋B C ＝12.
(2)①当点 C
在线段 A B
上时，因为 A B ＝m
B
＝8，A
E
＝1A 2
C
＝11，
所以 D E ＝A E －A D ＝3. 综上所述，D E 的长度为 3.
3．P是定长线段AB的三等分点，PB＝2PA，Q是直线AB上一点，且AQ－BQ＝PQ，求PQ∶AB的值．
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Pபைடு நூலகம்H
D
O
E
C
B
返回
例2：形如量角器的半圆O的直径DE=12cm， 形如三角 板的△ABC中， ∠ ACB=900 ∠ABC=300，BC=12cm， 半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点 D、E始终在直线ＢＣ上，设运动时间为t(s)，当t=0秒时， 半圆O 在△ABC的左侧，OC=8cm （1）当ｔ为何值时， △ＡＢＣ的一边所在的直 线与半圆O相切？
（1）当ｔ为何值时， △ＡＢＣ的一边所在的直 线与半圆O相切？
（2）当△ＡＢＣ的一边所在的直线与半圆Ｏ所在的圆相 切时，如果半圆Ｏ与直径ＤＥ围成的区域与△ＡＢＣ所围 成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
A
分四种情况
D
O
EC
第一种情况
B 第三种情况
第二种情况 第四种情况
返回
例2：形如量角器的半圆O的直径DE=12cm， 形如三角 板的△ABC中， ∠ ACB=900 ∠ABC=300，BC=12cm， 半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点 D、E始终在直线ＢＣ上，设运动时间为t(s)，当t=0秒时， 半圆O 在△ABC的左侧，OC=8cm （1）当ｔ为何值时， △ＡＢＣ的一边所在的直 线与半圆O相切？
证明：因为AB∥ DE，，所以∠ A=∠ D， 又因为AB=DE，AF=DC，所以△ABF≌△DEC
解题时需直观观察图形
返回
例１：已知一个梯形的四条边长分别是1、4、4、5，求这个梯 形的面积。
解 由梯形的两底长不等可知梯形的两底有以下三种情况： A
D
(1)如果梯形的两底分别为1、5时，那么两腰分别为4、 4，过A作AE∥ DC，则可求得BE=5_1=4，△ ABE为 B 等边三角形，梯形的高h=2√3，所以S梯形=6√3
B
P3
P2
P1
A
返回
做一做
1．如图1，线段AB上有3个点C、D、E，问图1中
共有几条线段？
AC
D EB
解：以A为左端点的线段有4条： 以C为左端点的线段有3条： 以D为左端点的线段有2条：
以E为左端点的线段有1条：
AC、AD、AE、AB CD、CE、CB DE、DB
EB
共有：4+3+2+1=10条
分类时要 不重不漏
故所求正方形个数和为9+4+1=14（个）
下一页
做一做
3．如图，已知AB∥ DE，AB=DE，AF=DC， 请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一 对给予证明。
解：图中有三对全等三角形， 它们分别是：△ABF≌△DEC , △ABC≌△DEF ,△BCF≌△EFC
E
F A
CD
B
A
(2)如果梯形的两底分别为1、4时，那么两腰分别为4、5
则可求得BE=4_1=3,所以△ABE为直角三角形,梯形的高
h=4，所以S梯形=(1+4)*4/2=10
B
(3)如果梯形的两底分别为4、5时，那么两腰分别为1、4 则可求得两底的差为5_4=1,但1、1、4三条线段不可能构 成三角形，因此，这种情况是不可能的。
E
C
D
EC
综上讨论，边长为1、4、4、5的梯形的面积为6√3或10
下一页
例2：形如量角器的半圆O的直径DE=12cm， 形如三角 板的△ABC中， ∠ ACB=900 ∠ABC=300，BC=12cm， 半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点 D、E始终在直线ＢＣ上，设运动时间为t(s)，当t=0秒时， 半圆O 在△ABC的左侧，OC=8cm
（2）当△ＡＢＣ的一边所在的直线与半圆Ｏ所在的圆相 切时，如果半圆Ｏ与直径ＤＥ围成的区域与△ＡＢＣ所 围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
A 第一种情况：t=2/2=1 秒
DO
E
C
B
返回
例2：形如量角器的半圆O的直径DE=12cm， 形如三角 板的△ABC中， ∠ ACB=900 ∠ABC=300，BC=12cm， 半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点 D、E始终在直线ＢＣ上，设运动时间为t(s)，当t=0秒时， 半圆O 在△ABC的左侧，OC=8cm
（1）当ｔ为何值时， △ＡＢＣ的一边所在的直 线与半圆O相切？
（2）当△ＡＢＣ的一边所在的直线与半圆Ｏ所在的圆相 切时，如果半圆Ｏ与直径ＤＥ围成的区域与△ＡＢＣ所 围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
第二种情况：t=8/2=4 秒
A F
S扇形EOD=∏62/4=9 ∏（ cm2）
DO
E
B
C
返回
例2：形如量角器的半圆O的直径DE=12cm， 形如三角 板的△ABC中， ∠ ACB=900 ∠ABC=300，BC=12cm， 半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点 D、E始终在直线ＢＣ上，设运动时间为t(s)，当t=0秒时， 半圆O 在△ABC的左侧，OC=8cm
（1）当ｔ为何值时， △ＡＢＣ的一边所在的直 线与半圆O相切？
（2）当△ＡＢＣ的一边所在的直线与半圆Ｏ所在的圆相 切时，如果半圆Ｏ与直径ＤＥ围成的区域与△ＡＢＣ所 围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
第三种情况：t=14/2=7 秒
重叠A 部分面积为S扇形DOP+S△POB=（9√3+6∏）（ cm2）
（2）当△ＡＢＣ的一边所在的直线与半圆Ｏ所在的圆相 切时，如果半圆Ｏ与直径ＤＥ围成的区域与△ＡＢＣ所 围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
A
C
B
D
O
E
第四种情况：t=32/2=16 秒 Q
分类讨论思想在初中几何题中的应用
吉安五中初三数学备课组
*
*
分
分
类
类
讨
讨
论
论
思
思
想
想
在
在
初
初
中
中
几
几
何
何
题
题
中
中
的
的
应
应
用
用
引例：如图，小强与小丽假期去仙女湖旅游，
他们乘游艇从码头Ｂ沿南偏东600的方向到达 小岛Ａ后，迷失方向，导游小姐说你们沿正 西方向航行，在这条航线上与码头Ｂ，小岛 Ａ成等腰三角形的都是景点，那么在这条航 线上共有景点——个，请标出它们的位置。
线段AB上
有1个点
线段条数和
有2个点
有3个点
有4个点
…
…
有（n-1）个点1+2+3+4+…+n= n(1+n)/2
结果（条）
…
n(1+n)/2
依次计算各 点与其它构 成的线段条
数
下一页
做一做
２．观察图，计算图中有几个正方形：
解： 设小正方形的边长为1 （1）边长为1的正方形有——— 个 （2）边长为2的正方形有——— 个 （3）边长为3的正方形有———个
D
O
E
C
B
返回
例2：形如量角器的半圆O的直径DE=12cm， 形如三角 板的△ABC中， ∠ ACB=900 ∠ABC=300，BC=12cm， 半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点 D、E始终在直线ＢＣ上，设运动时间为t(s)，当t=0秒时， 半圆O 在△ABC的左侧，OC=8cm （1）当ｔ为何值时， △ＡＢＣ的一边所在的直 线与半圆O相切？
（1）当ｔ为何值时， △ＡＢＣ的一边所在的直 线与半圆O相切？
（2）当△ＡＢＣ的一边所在的直线与半圆Ｏ所在的圆相 切时，如果半圆Ｏ与直径ＤＥ围成的区域与△ＡＢＣ所围 成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
A
分四种情况
D
O
EC
第一种情况
B 第三种情况
第二种情况 第四种情况
返回
例2：形如量角器的半圆O的直径DE=12cm， 形如三角 板的△ABC中， ∠ ACB=900 ∠ABC=300，BC=12cm， 半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点 D、E始终在直线ＢＣ上，设运动时间为t(s)，当t=0秒时， 半圆O 在△ABC的左侧，OC=8cm （1）当ｔ为何值时， △ＡＢＣ的一边所在的直 线与半圆O相切？
证明：因为AB∥ DE，，所以∠ A=∠ D， 又因为AB=DE，AF=DC，所以△ABF≌△DEC
解题时需直观观察图形
返回
例１：已知一个梯形的四条边长分别是1、4、4、5，求这个梯 形的面积。
解 由梯形的两底长不等可知梯形的两底有以下三种情况： A
D
(1)如果梯形的两底分别为1、5时，那么两腰分别为4、 4，过A作AE∥ DC，则可求得BE=5_1=4，△ ABE为 B 等边三角形，梯形的高h=2√3，所以S梯形=6√3
B
P3
P2
P1
A
返回
做一做
1．如图1，线段AB上有3个点C、D、E，问图1中
共有几条线段？
AC
D EB
解：以A为左端点的线段有4条： 以C为左端点的线段有3条： 以D为左端点的线段有2条：
以E为左端点的线段有1条：
AC、AD、AE、AB CD、CE、CB DE、DB
EB
共有：4+3+2+1=10条
分类时要 不重不漏
故所求正方形个数和为9+4+1=14（个）
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做一做
3．如图，已知AB∥ DE，AB=DE，AF=DC， 请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一 对给予证明。
解：图中有三对全等三角形， 它们分别是：△ABF≌△DEC , △ABC≌△DEF ,△BCF≌△EFC
E
F A
CD
B
A
(2)如果梯形的两底分别为1、4时，那么两腰分别为4、5
则可求得BE=4_1=3,所以△ABE为直角三角形,梯形的高
h=4，所以S梯形=(1+4)*4/2=10
B
(3)如果梯形的两底分别为4、5时，那么两腰分别为1、4 则可求得两底的差为5_4=1,但1、1、4三条线段不可能构 成三角形，因此，这种情况是不可能的。
E
C
D
EC
综上讨论，边长为1、4、4、5的梯形的面积为6√3或10
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例2：形如量角器的半圆O的直径DE=12cm， 形如三角 板的△ABC中， ∠ ACB=900 ∠ABC=300，BC=12cm， 半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点 D、E始终在直线ＢＣ上，设运动时间为t(s)，当t=0秒时， 半圆O 在△ABC的左侧，OC=8cm
（2）当△ＡＢＣ的一边所在的直线与半圆Ｏ所在的圆相 切时，如果半圆Ｏ与直径ＤＥ围成的区域与△ＡＢＣ所 围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
A 第一种情况：t=2/2=1 秒
DO
E
C
B
返回
例2：形如量角器的半圆O的直径DE=12cm， 形如三角 板的△ABC中， ∠ ACB=900 ∠ABC=300，BC=12cm， 半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点 D、E始终在直线ＢＣ上，设运动时间为t(s)，当t=0秒时， 半圆O 在△ABC的左侧，OC=8cm
（1）当ｔ为何值时， △ＡＢＣ的一边所在的直 线与半圆O相切？
（2）当△ＡＢＣ的一边所在的直线与半圆Ｏ所在的圆相 切时，如果半圆Ｏ与直径ＤＥ围成的区域与△ＡＢＣ所 围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
第二种情况：t=8/2=4 秒
A F
S扇形EOD=∏62/4=9 ∏（ cm2）
DO
E
B
C
返回
例2：形如量角器的半圆O的直径DE=12cm， 形如三角 板的△ABC中， ∠ ACB=900 ∠ABC=300，BC=12cm， 半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点 D、E始终在直线ＢＣ上，设运动时间为t(s)，当t=0秒时， 半圆O 在△ABC的左侧，OC=8cm
（1）当ｔ为何值时， △ＡＢＣ的一边所在的直 线与半圆O相切？
（2）当△ＡＢＣ的一边所在的直线与半圆Ｏ所在的圆相 切时，如果半圆Ｏ与直径ＤＥ围成的区域与△ＡＢＣ所 围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
第三种情况：t=14/2=7 秒
重叠A 部分面积为S扇形DOP+S△POB=（9√3+6∏）（ cm2）
（2）当△ＡＢＣ的一边所在的直线与半圆Ｏ所在的圆相 切时，如果半圆Ｏ与直径ＤＥ围成的区域与△ＡＢＣ所 围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
A
C
B
D
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E
第四种情况：t=32/2=16 秒 Q
分类讨论思想在初中几何题中的应用
吉安五中初三数学备课组
*
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分
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类
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讨
讨
论
论
思
思
想
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在
在
初
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中
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几
何
何
题
题
中
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的
的
应
应
用
用
引例：如图，小强与小丽假期去仙女湖旅游，
他们乘游艇从码头Ｂ沿南偏东600的方向到达 小岛Ａ后，迷失方向，导游小姐说你们沿正 西方向航行，在这条航线上与码头Ｂ，小岛 Ａ成等腰三角形的都是景点，那么在这条航 线上共有景点——个，请标出它们的位置。
线段AB上
有1个点
线段条数和
有2个点
有3个点
有4个点
…
…
有（n-1）个点1+2+3+4+…+n= n(1+n)/2
结果（条）
…
n(1+n)/2
依次计算各 点与其它构 成的线段条
数
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做一做
２．观察图，计算图中有几个正方形：
解： 设小正方形的边长为1 （1）边长为1的正方形有——— 个 （2）边长为2的正方形有——— 个 （3）边长为3的正方形有———个