导入_平面向量共线的坐标表示-优质公开课-人教A版必修4精品
【公开课课件】人教A版必修四第二章第三节平面向量共线的坐标表示
第二章 平面向量
向量共线的应用
例3 (本题满分 10 分)在△AOB 中，已知点 O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，O→C＝14O→A，O→D ＝12O→B，AD 与 BC 交于点 M，求点 M 的坐标． 【解】 ∵点 O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)， ∴O→A＝(0，5)，O→B＝(4，3)．
提示：由于x1＝y1的意义与 x2 y2
x1y2－x2y1＝0
的意
义不同，前者不允许 x2 和 y2 为零，而后者允
许，所以当向量 a、b 之一为零向量或向量 a、
b 与坐标轴平行时，该方法便行不通了．
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第二章 平面向量
练一练 设点P是线段P1P2上的一点，P1 、P2的
坐标分别是（x1,y1），（x2,y2） （1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P
栏目 导引
第二章 平面向量
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)． ∴xy11＋＋21＝＝34，∴yx11＝＝13.，∴B(3，1)． 同理可得 D(－4，－3)． 设线段 BD 的中点 M 的坐标为(x2，y2) 则 x2＝3－2 4＝－12，y2＝1－2 3＝－1，
∴M－12，－1.
栏目 导引
第二章 平面向量
1.保持本例条件不变，是否存在实数k，使a ＋kb与3a－b平行？ 解：∵a＝(1，2)，b＝(－3，2)， ∴a＋kb＝(1，2)＋k(－3，2) ＝(1－3k，2＋2k)． 3a－b＝(3，6)－(－3，2)＝(6，4)， 又∵a＋kb∥3a－b， ∴(1－3k)×4－(2＋2k)×6＝0.
解得 k＝－13.
4. AB=(xB – xA, yB - yA)
5. a =(x1 , y1)=(x2 , y2)=b
人教A版高中数学必修四新课标优秀教案备课资料平面向量共线的坐标表示
备课资料一、求点P 分有向线段所成的比的几种求法(1)定义法:根据已知条件直接找到使P P 1=λ2PP 的实数λ的值.例1 已知点A(-2,-3),点B(4,1),延长AB 到P,使||=3||,求点P 的坐标.解：因为点在AB 的延长线上,P 为的外分点,所以=λ,λ<0,又根据||=3||,可知λ=-3,由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3).(2)公式法:依据定比分点坐标公式. x=,1,12121λλλλ++=++y y y x x 结合已知条件求解λ. 例2 已知两点P 1(3,2),P 2(-8,3),求点P(21,y)分21P P 所成的比λ及y 的值. 解：由线段的定比分点坐标公式,得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯+=+-+=.2249,175,132,1)8(321y y λλλλλ解得 二、备用习题1.已知a =(3,-1),b =(-1,2),则-3a -2b 等于（ ）A.(7,1)B.(-7,-1)C.(-7,1)D.(7,-1)2.已知A(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若和是相反向量,则D 点的坐标是（ ）A.(-2,0)B.(2,2)C.(2,0)D.(-2,-2)3.若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使=λ的实数λ的值为（ ）A.1B.-2C.0D.24.设a =(23,sinα),b =(cosα,31),且a ∥b ,则α的值是（ ） A.α=2kπ+4π(k ∈Z ) B.α=2kπ-4π(k ∈Z ) C.α=kπ+4π(k ∈Z ) D.α=kπ-4π(k ∈Z ) 5.已知A 、B 、C 三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C 点的横坐标为6,则C 点的纵坐标为（ ）A.-2B.9C.-9D.136.若A(2,3),B(x,4),C(3,y),且AB =2AC ,则x=_______,y=________.7.已知ABCD 中,=(3,7), =(-2,1),则的坐标(O 为对角线的交点)为_________.8.向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k 为何值时,A 、B 、C 三点共线?9.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λ(λ∈R ),试问:当λ为何值时,点P 在第一与第三象限的角平分线上?当λ在什么范围内取值时,点P 在第三象限内?10.如图6所示,已知△AOB 中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=41,=21,AD 与BC 相交于点M,求点M 的坐标.图611.已知四边形ABCD 是正方形,BE ∥AC,AC=CE,EC 的延长线交BA 的延长线于点F,求证:AF=AE.参考答案:1.B2.B3.D4.C5.C6.427 7.(-21,-4) 8.∵=(k,12), =(4,5),=(10,k)， ∴=-=(4-k,-7), =-=(6,k-5). ∵∥,∴(4-k)(k-5)+7×6=0.∴k 2-9k-22=0.解得k=11或k=-2.9.∵=(3,1), =(5,7), ∴+λ=(3+5λ,1+7λ),而=+λ(已知), ∴OP =OA +=(2,3)+(3+5λ,1+7λ)=(5+5λ,4+7λ).(1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上,则5+5λ=4+7λ⇒λ=21; (2)若点P 在第三象限内,则)1,(074055--∞∈⇒⎩⎨⎧<+<+λλλ 10.∵=41=41(0,5)=(0,45),∴C(0,45). ∵OD =21OB =21(4,3)=(2,23),∴D(2,23). 设M(x,y),则AM =(x,y-5),AD =(2-0,23-5)=(2,27-).∵AM ∥AD ,∴27-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.① 又CM =(x,y-45),=(4,47), ∵CM ∥CB ,∴47x-4(y 45-)=0,即7x-16y=-20.② 联立①②,解得x=712,y=2，故点M 的坐标为(712,2). 11.证明:建立如图7所示的直角坐标系,为了研究方便,不妨设正方形ABCD 的边长为1,则B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(x,y),这里y>0,于是=(1,1),=(x-1,y).图7 ∵AC ∥BE ,∴1×y-(x--1.①∵AC=OC=CE(已知),∴CE 2=OC 2⇒(x-1)2+(y-1)2=2.②由y>0,联立①②,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,231,233y x 即E(231,233++). AE=OE=13)231()233(22+=+++ 设F(t,0),则=(1-t,1),=().231,231(+-+). ∵F 、C 、E 三点共线,∴∥.∴(1-t)×231231+-+-×1=0,即t=-1-3. ∴AF=OF=1+3.∴AF=AE.(设计者：房增凤)。
高一数学(人教A版)必修4精品课件：2-3-4 平面向量共线的坐标表示 公开课一等奖课件
温故知新 1．若a＝(1，－1)，b＝(－1,1)，则a＋b等于( A．0
[答案]
[解析]
)
B．(0,0)
B
C ．2
D．－2
a＋b＝(1－1，－1＋1)＝(0,0)．
第二章
2.3 2.3.4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
→ → 2．(2012全国高考广东卷)若向量 AB ＝(1,2)， BC ＝(3,4)； → 则AC＝( )
第二章
2.3 2.3.4
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自主预习 1．平面向量共线的坐标表示
x1y2＝x2y1 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当________
时，a∥b. [拓展](1)线段中点坐标公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段
[答案]
[解析]
1
λ1a＝(λ1,2λ1)，λ2b＝(2λ2,3λ2)
λ1＝－1 解得 λ2＝2
λ1＋2λ2＝3 2λ1＋3λ2＝4
，∴λ1＋λ2＝1.
第二章
2.3 2.3.4
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→ 4．已知点A(－1,2)，若向量 AB ＝3a，a＝(1,3)，则点B的 坐标为________．
第二章
2.3 2.3.4
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晶晶：502×4＝2008 (km)． 可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简化运 算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大 的方便． 想一想，我们能否类比向量的线性运算，在坐标平面内 实施向量的坐标运算呢？
高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示 第3课时 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A必修4
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
人教A版数学必修四第二章2.3.4《平面向量共线的坐标表示》说课课件(共18张PPT)
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时， 求点P的坐标。
例8实际上给出了线段的终点坐标公式， 线段的三等分点坐标公式。在此基础上，教 科书通过“探究”，要求学生推导线段的定 比分点公式。
在解决本例的(2)时要注意三等分点有两
种可能的位置，教学时, -1) B(1,3) C(2,5)，试判 断A、B、C三点之间的位置关系。解： （略）。
例7的解答给出了判断三点共线的一种常 用方法，其实质是从同一点出发的两个向量 共线，则这两个向量的三个顶点共线，这是 从平面几何中判断三点共线的方法移植过来 的。
例8、设点P是线段P1P2上的点，P1、 P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）。
第二，谈一谈学生情况：
首先，学生已经掌握了平面几何的基本知识， 而且刚刚学习了向量的概念和简单运算，这为本节 课的学习奠定了必要的知识基础；
其次,学生对向量的物理背景有初步的了解，如
力的合成；同时学生已具备一定的数学建模能力，
能从物理背景或生活背景中抽象出数学模型，并能
进一步猜想、探讨和证明，为新课的教学提供了良
用坐标来表示呢？从而过渡到第三个环节—
—合作探究与指导应用：
3、合作探究：设a=(x1, y1),b=(x2, y2)（b 0） 其中ba由a=λb ， (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ：x1y2－x2y1=0
结论：a∥b (b0)←→x1y2-x2y1=0
注意：1消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有 可能为0， ∵b0，
考，出现不全面的解答后再引导他们讨论和
补充。
课堂练习：P100练习1，2，3，4。
4、第四个环节，归纳小结：教师引导学 生思考，通过本节课的学习，你收获了什么？ 我们已经学习了向量的坐标运算，如何用坐 标表示平面向量共线呢？
高中数学必修四(人教新A版)教案20共面向量共线的坐标表示
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
（一）创设情景，揭示课题
1．平面向量的坐标运算公式
2．向量的数乘运算
3.平面向量的共线定理
4.请说出下列各组中两向量的位置关系(共线或不共线),并指出它们的特点.
（二）研探新知
1.向量共线定理的坐标形式
学生回忆概念
学生完成
高中数学必修四课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
如果用坐标表示，可写为
消去 可得
思考：若 ，能得到 与 共线吗？
（三）质疑答辩，排难解惑
例1.பைடு நூலகம்
例2.已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，
(x2，y2).⑴当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
是什么?
（三） 巩固练习：
4． 4、5
在充分独立思考的基础上，进行小组讨论.
教
学
小
结
（1）根据向量的坐标，判断向量是否共线
（2）能用平面向量共线解决平面几何问题.
课后
反思
高中数学必修四课时教案
备课人
授课时间
课题
§2.3.4平面向量共线的坐标表示
课标要求
平面向量共线的坐标表示
教
学
目
标
知识目标
会用坐标表示平面向量共线条件
技能目标
通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用
情感态度价值观
高中数学 第二十课 平面向量共线的坐标表示教学设计 新人教A版必修4
3.如果向量 ， ，其中 分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线.
三、总结提升
总结：（1）当向量用坐标表示时，在解决与向量平行有关的问题时，一般用坐标表示向量平行的条件
（2）利用向量证明三点共线的思路是：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ使得两向量共线。由于两向量必过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线。
第二十课平面向量共线的坐标表示
明确目标
理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
重点难点
理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
课型
□讲授□习题□复习□讨论□其它
教学内容与教师活动设计
学生活动设计
一．知识点
设 ，当且仅当 时，向量a、b共线.
对条件的理解有两方面的含义：
，可判定a、b共线；反之，若a、b共线，则 ．应用这一结论时，要注意：(1)遇到与共线有关的问题时，一般要考虑运用两向量共线的条件；(2)运用两向量共线的条件，可求点的坐标，可证明三点共线等问题．
【点评】记住向量平行的条件是解决此类问题的一种方法.
☆自主探究
2.已知向量a=（－2，4），b=（1，－2），则a与b的关系是( )
A.不共线B.相等C.方向相同D.共线
3.向量平行与三点共线
例3向量 =(k，12)， =(4，5)， =(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线?
【思路分析】只需根据向量共线的条件，解关于k的方程即可.
☆自主探究
1．已知平面向量 , ,且 ,则 （）
A． B． C． D．
2．利用坐标解决向量共线
例2判断下列向量是否平行：
(1)a=(1，3)，b=(2,4)；(2)a=(1,2)，b=( ,1).
高中数学2.3.4平面向量共线的坐标表示教案新人教A版必修4
思考：
1. 若 a=(2 ， 3) ， b=(4 ， -1+ y) ，且 a∥b，则 y=（ C ）
A.6
B.5
C.7
D.8
2. 若 A( x，-1) ， B(1 ， 3) ， C(2 ， 5) 三点共线，则 x 的值为（ B ）
A.-3
B.-1
C.1
D.3
3. 若 AB =i +2j ， DC =(3- x) i +(4- y) j ( 其中 i 、 j 的方向分别与 x、 y 轴正方向相同且为单
∴ A， B， C不共线
∴ AB 与 CD不重合
∴ AB∥ CD
例 5 设点 P 是线段 P1P2 上的一点， P 1、 P2 的坐标分别是 (x 1， y1) ， (x 2 ，y2).
(1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时，求点 P 的坐标；
(2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时，求点 P 的坐标 .
位向量 ). AB 与 DC 共线，则 x、 y 的值可能分别为（ B ）
A.1 ， 2
B.2 ， 2 C.3
，2 D.2
4. 已知 a=(4 ， 2) ， b=(6 ， y) ，且 a∥ b，则 y= 3
解：∵ AB =(1-(-1) ， 3-(-1))=(2 ， 4) ， CD =(2-1 ，7-5)=(1 ，2)
又 ∵ 2× 2-4 × 1=0
∴ AB ∥ CD
又 ∵ AC =(1-(-1) ， 5-(-1))=(2 ，6) ， AB =(2 ， 4) ，2×4-2 × 6 0 ∴ AC 与
AB 不平行
2．若 A(0 ， 1) ， B(1 ， 2) ， C(3 ， 4) ， 则 AB 2 BC = .
人教A版数学必修4 课件 平面向量
始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图
形是( B )
A．一条线段
B．一条直线
C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为 1 的圆
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
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3.判断下列各命题的真假：
（1）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
（2）向量 a 与向量b 平行，则 a 与 b 的方向相同或 相反；
A
D
F
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B
C E
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A
D
F
B
C E
解：(1) D E E F F C A F D A D B
FDCEEB
( 2 ) D E F C A F F D C E E B
(3)DE∥FC∥AF∥AC FD∥CE∥EB∥CB
A（起点）
(1)几何表示法：有向线段（起点、方向、长度 ）
(2)字母表示法： a , b , AB
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
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【即时训练】
下列说法正确的是（ D） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以 比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小.
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
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【易错点拨】 两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且 方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向 量之间只有相等关系，没有大小之分，对于向
人教A版《必修4》“2.3.4平面向量共线的坐标表示”导学案-教学文档
高一数学《必修4》导学案 2.3.4平面向量共线的坐标表示【预习自测】(阅读课本P98～99的内容，并完成下列内容)1、共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得________，设a =11(,)x y , b =22(,)x y （ b ≠） ，由a b λ=，得___________________,即______________________,消去λ后得:____________________.这就是说,当且仅当_________________时,向量a 与b 共线.2、 已知(4,2)a =-，(-6,)b y =，且//a b ，则y =____________;3、已知(5,4),(3,6)A B --，则AB 的中点坐标是【课内探究】例1、已知(2,3)A ，(5,-6)B ，(6,-9)C ，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并给出证明． 变式1：若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为 .变式2：已知点(0,1)A ，(1,0)B ，(1,2)C ，(2,1)D ，试判断AB 与CD 的位置关系，并给出证明. 例2、设点P 是线段12PP 上的一点， 1P 、2P 的坐标分别是(2,3),(6,3)-（1）当点P 是线段12PP 的中点时，求点P 的坐标； （2）当点P 是线段12PP 的靠近端点1P 的三等分点时，求点P 的坐标. 变式：设点P 是线段12PP 上的一点， 1P 、2P 的坐标分别是1122(,),(,)x y x y .（1）当点P 是线段12PP 的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段12PP 上靠近端点2P 的三等分点时，求点P 的坐标.结论：若1122(,),(,)A x y B x y ,则线段AB 的中点的坐标是__________________.练习：口答课本P100练习第5题【总结提升】1．平面向量共线的两种表达形式是什么?2．如何用平面向量共线的坐标形式证明三点共线和两直线平行?3．如何计算线段上某些特定的点（中点，三等分点）的坐标?【课后作业】1.已知AB =a +5b ，=－2a +8b ，=3（a －b ），则（ ）A. A 、B 、D 三点共线B.A 、B 、C 三点共线C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线2.（1）x a b x 为_______时，=(2,3)与=(,-6)共线.（2）若向量(1,)a x =-与(,2)b x =-共线且方向相同，则x 为________；3.已知(2,3)A --，(2,1)B ，(1,4)C ，(7,4)D --，试判断直线AB 与CD 的位置关系，并给出证明.4.已知点(0,0)O ，向量(2,3)OA =，(6,3)OB =-，点P 是线段AB 的三等分点，求点P 的坐标.5.已知(2,3)A ，(4,-3)B ，点P 在线段AB 的延长线上，且AP PB =32，求点P 的坐标.。