2021高考数学浙江专用一轮习题：专题3+第21练+导数小题综合练

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2021高考数学浙江专用一轮习题：专题3 第19练利用导数研究不等式问题

1．已知α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β>0，则下列结论正确的是( ) A ．α>βB ．α＋β>0C ．α<βD ．α2>β22．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝0，当x >0时，有f (x )>xf ′(x )恒成立，则不等式xf (x )>0的解集为( )A ．(－∞，0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)3．已知函数f (x )的定义域为R ，f ⎝⎛⎭⎫12＝－12，对任意的x ∈R 满足f ′(x )>4x .当α∈[0,2π]时，不等式f (sin α)＋cos2α>0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫π6，5π6B.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3C.⎝⎛⎭⎫π3，2π3D.⎝⎛⎭⎫7π6，11π64．若关于x 的不等式ln(x ＋1)＋e x ≥ax ＋b 对任意的x ≥0恒成立，则a ，b 可以是( )A ．a ＝0，b ＝2B ．a ＝1，b ＝2C ．a ＝3，b ＝1D ．a ＝2，b ＝15．若关于x 的不等式ax 2－ln x －x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(e ，＋∞)D ．[e ，＋∞)6．(2020·湖州模拟)已知f (x )是定义在R 上的减函数，其导函数f ′(x )满足f (x )f ′(x )＋x <1，则下列结论正确的是( )A ．对于任意x ∈R ，f (x )<0B ．对于任意x ∈R ，f (x )>0C ．当且仅当x ∈(－∞，1)，f (x )<0D ．当且仅当x ∈(1，＋∞)，f (x )>07．设函数f (x )＝e x ()1－2x ，g (x )＝ax －a ，a >－1若存在唯一的整数x 0，使f (x )－g (x )>0，则aA.⎝⎛⎦⎤－1，32e B.⎣⎡⎭⎫23e ，1 C.⎝⎛⎦⎤－1，－32e D.⎣⎡⎭⎫－23e ，12 8．已知函数f (x )是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，满足f (x )>0且f (x )＋f ′(x )<0(f ′(x )为函数f (x )的导函数)，若0<a <1<b 且ab ＝1，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (a )>(a ＋1)f (b )B ．f (b )>(1－a )f (a )C ．af (a )>bf (b )D ．af (b )>bf (a )9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －12x 2＋ln x ，若在区间(1，＋∞)上函数f (x )的图象恒在直线y ＝2ax 的图象的下方，则实数a 的取值范围是________．10．(2020·浙江省91高中联盟期末)若f (x )是定义在D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)上的可导函数，且xf ′(x )>f (x )，对x ∈D 恒成立．当b <a <0时，有如下结论：①bf (a )>af (b )，②bf (a )<af (b )，③af (a )>bf (b )，④af (a )<bf (b )，其中一定成立的是__________．11．对任意x >0，不等式ln x ≥a x－e x ＋2恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－2e B.⎝⎛⎦⎤－∞，－2e C ．(－∞，2－e) D ．(－∞，2－e]12．(2020·台州模拟)下列不等式中正确的是( )①sin x <x ，x ∈(0，＋∞)；②e x ≥x ＋1，x ∈R ；③ln x <x ，x ∈(0，＋∞)．A ．①③B ．①②③C ．②D ．①②13．已知函数f (x )＝a ln x －2x ，若不等式2a ln x ≤2x 2＋f (2x －1)在x ∈(1，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0,2]14．已知函数f (x )＝e x x －ax ，x ∈(0，＋∞)，当x 2>x 1>0时，不等式f (x 1)x 2<f (x 2)x 1恒成立，则实数aA.⎝⎛⎦⎤－∞，e 2 B ．(－∞，e) C ．(－∞，e 2) D ．(－∞，e]15．(2020·诸暨质检)设函数f (x )＝(x －a )2＋4(ln x －a )2，a ∈R ，存在x 0>0，使得f (x 0)≤45成立，则实数a 的值是________．16．设函数f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝－4x 3＋3x ，对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，则实数a 的取值范围是________．答案精析1．D 2.D 3.A 4.D 5.B 6.B 7.C8．C 9.⎣⎡⎦⎤－12，12 10.① 11.B 12．B13．A [∵f (x )＝a ln x －2x ，x >0，∴f (x 2)＝a ln x 2－2x 2＝2a ln x －2x 2，x >0，则不等式2a ln x ≤2x 2＋f (2x －1)在x ∈(1，＋∞)上恒成立，等价为2a ln x －2x 2≤f (2x －1)，即f (x 2)≤f (2x －1)在x ∈(1，＋∞)上恒成立，∵x 2－(2x －1)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2>0，即x 2>2x －1，∴等价为函数f (x )在(1，＋∞)为减函数即可，即函数的导数f ′(x )≤0，∵f ′(x )＝a x－2， ∴由f ′(x )＝a x －2≤0，即a x≤2，则a ≤2x 在(1，＋∞)上恒成立，∵2x >2，∴a ≤2，即实数a 的取值范围是(－∞，2]．]14．A [因为x 2>x 1>0，所以f (x 1)x 2<f (x 2)x 1⇒f (x 1)·x 1<f (x 2)·x 2，设函数g (x )＝x ·f (x )，于是有g (x 1)<g (x 2)，而x 2>x 1>0，说明函数g (x )＝x ·f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，因为f (x )＝e x x－ax ，所以g (x )＝e x －ax 2，g ′(x )＝e x －2ax ，因此当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝e x －2ax ≥0恒成立，即a ≤e x 2x在x ∈(0，＋∞)时恒成立，设h (x )＝e x 2x ⇒h ′(x )＝e x (x －1)2x 2，当x >1时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增，当0<x <1时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减，故当x ∈(0，＋∞)时，函数h (x )有最小值，即为h (1)＝e 2，因此不等式a ≤e x 2x在x ∈(0，＋∞)时恒成立，只需a ≤e 2.] 15.15解析 f (x )＝(x －a )2＋(2ln x －2a )2，可将f (x )看作动点A (x,2ln x )与定点B (a,2a )之间距离的平方，则动点A 在函数g (x )＝2ln x 图象上，B 在直线y ＝2x 图象上，∵g ′(x )＝2x ，令2x＝2，解得x ＝1，g (1)＝0， ∴g (x )＝2ln x 上的点(1,0)到直线y ＝2x 的距离最小，∴d min ＝25＝255， ∴f (x )≥(d min )2＝45，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤45成立，则f (x 0)＝45，此时A (1,0)，B (a,2a )且AB 与直线y ＝2x 垂直，∴k AB ＝2a a －1＝－12，∴a ＝15. 16．[1，＋∞)解析 ∵在⎣⎡⎦⎤12，2上g ′(x )＝－12x 2＋3≤0恒成立， ∴当x ＝12时，g (x )＝－4x 3＋3x 取得最大值1， ∵对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，∴在⎣⎡⎦⎤12，2上a x ＋x ln x ≥1恒成立，即在⎣⎡⎦⎤12，2上a ≥－x 2ln x ＋x 恒成立，令h (x )＝－x 2ln x ＋x ，则h ′(x )＝－x ()2ln x ＋1＋1，令m (x )＝h ′(x )，m ′(x )＝－2ln x －3，∵在⎣⎡⎦⎤12，2上m ′(x )<0恒成立，∴h ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为减函数，∵当x ＝1时，h ′(x )＝0，∴当x ＝1时，h (x )取得最大值1， ∴a ≥1.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：导数的计算(含答案)

《导数的计算》考查内容：主要涉及导数的运算注意：复合函数求导一般为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数()ln 2cos f x x =+的导数为（） A ．1sin 2x - B ．sin x - C ．sin xD ．1sin 2x + 2．函数()sin f x x 的导数为（）A ．()'sin cos f x x x =+B ．()'sin cos f x x x =C ．()'cos f x x =D ．()'cos f x x =3．函数ln x y e x =的导数是（） A ．1ln x x e x ⎛⎫+⎪⎝⎭B ．()ln xx x e +C ．1xe xD ．1ln x x+4．已知函数()sin f x a x b =+的导函数为()f x '，若13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，则a =（） A ．4B ．2C ．1D ．125．下列求导运算正确的是（）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e xx'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-6．下列对函数求导运算正确的是（）A ．2sin cos sin x x x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．11ln x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()sin cos x x '=-7．已知()()231f x x xf '=+，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．-1D ．-28．已知函数()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =( ) A ．e -B ．eC ．1-D ．19．已知函数33()1xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+-- 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知()0112nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，其中01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，则123452345a a a a a ++++=（）A ．405B ．810C ．324D ．64811．函数()y f x =在R 上可导,且()()2'213f x x f x =-⋅-,则()()11f f '+=( ) A ．0B ．1C ．-1D ．不确定12．下列式子不．正确的是 ( ) A ．()23cos 6sin x x x x '+=- B ．()1ln 22ln 2xxx x'-=-C ．()2sin 22cos 2x x '= D ．2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭二．填空题 13．函数sin xy x=的导数为_____________________； 14．()(2019ln )f x x x =+，若0()2020f x '=，则0x =_____．15．已知函数()()()()123f x x x x x =---，则()0f '=________． 16．设函数()f x 满足()()2311f x x f x '=++，则()3f 的值为______.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求下列函数的导数．（1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x =+；（3）cos x xy e=；18．求下列函数的导数（1）3235y x x =+-；（2）sin y x x =+（3）sin x y x=；（4）21sin x y x -=19．求下列函数的导数：（1）sin xy e x = ；（2）y ＝2311x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（3）sin cos 22x y x x =-；20．求下列函数的导数（1）2sin 3y x x x =++；（2）2(ln sin )y x x x =+；（3） 221xy x =+ ；（4）41(13)y x =-.21．求下列函数的导数. （1）()ln x f x x =（2）()()239f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ （3）()()2ln 51xf x x =+-22．求出下列函数的导数．（1）tan xy e x ＝（2）()3ln 45y x +＝（3）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（4）y ＝sin nx x（5）()5221x y e x ++﹣＝《导数的计算》解析1.【解析】因为常数的导数为0，cos x 的导数为sin x -，所以()'sin f x x =-.故选：B.2.【解析】由()sin f x x =得，()'''1sin (sin )sin cos cos 2f x x x x x x =⋅+=+=，故选：C3.【解析】因为函数ln xy ex =，所以11ln ln x xx y e x ee x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭.故选：A 4.【解析】由题意知：()cos f x a x '=.因为13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，所以cos 13a π=，解得2a =.故选：B.5.【解析】因为2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错；因为21(log )ln 2x x '=，故B 正确；因为(3)3ln3xx '=，故C 错；因为22(cos )2cos sin x x x x x x '=-，故D 错．6.【解析】对于A 选项，2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 选项错误.对于B 选项，1ln ln x x =-，所以()11ln ln x x x '⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，故B 选项正确. 对于C 选项，cos 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故C 选项错误.对于D 选项，()sin cos x x '=，故D 选项错误.故选：B7.【解析】函数()()231f x x xf '=+，则()()231f x x f ''=+，令1x =代入上式可得()()1231f f ''=+，解得()11f '=-.故选：C8.【解析】由题得111()2(),()2(),()f x f e f e f e f e x e e '''''=+∴=+∴=-，所以1()2()ln 2()11f e ef e e e e=+=⨯+'-=-.故选：C.9.【解析】因为33()1x f x x e =++，()333()131x xx f x x e x ee --=+-=-++，所以()()3f x f x -+=.又因为223()3(1)xxe f x x e -'=++， ()222233()33(1)()(1)x x x x e e f x x f x x e e ----'-=+-=+'=++ 所以()f x '为偶函数. 所以(2020)(2020)(2019)(2019)3f f f f ''+-+--=. 故选：C10.【解析】令1x =可得()0112nn a a a +=++⋅⋅⋅+，由题意可得()12243n+=，解得5n =，所以()5501512x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，两边同时求导得()44125101225x a a x a x ⋅+=++⋅⋅⋅+，令1x =可得()4125101225a a a ⋅+=++⋅⋅⋅+，所以412525103810a a a ++⋅⋅⋅+=⨯=.故选：B.11.【解析】()()2'213f x x f x =-⋅-，得()()'41f x x f '=-，()()()'21411=2,()223f f f f x x x ''∴=-=--，，(1)3,(1)(1)1f f f '=-∴+=-.故选:C12.【解析】对于选项C ，(2sin 2)2cos 2(2)4cos 2x x x x ''=⋅=，C 错误故选C13.【解析】22sin cos sin cos sin x x x x x x xy y x x x'⨯--=∴== 14.【解析】由题意，函数()(2019ln )f x x x =+，可得()2020ln f x x '=+，因为0()2020f x '=，可得02020ln 2020x +=，即0ln 0x =，解得01x =.15.【解析】令()()()()123x x g x x --=-，所以()()f x xg x =，所以()()()'g x g f x x x ='+，所以()()()()()()00102030006g g f '+⋅='---==-.故答案为：6-.16.【解析】由()()2311f x x f x '=++，得''()23(1)f x x f =+，令1x =，则''(1)23(1)f f =+，解得'(1)1f =-，所以()231=-+f x x x ，令3x =，则(3)9911f =-+=，解得(3)1f =，故答案为：117.【解析】（1）y′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x)′＝2xsin x ＋x 2cos x.（2）21111ln (ln )''''⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x x x x（3）2cos (cos )cos ()sin cos e ()x x x x x x x e x e x x y e e ''''-+⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭18.【解析】（1）236y xx '=+；（2）sin cos y x x x '=+；（3）2cos sin x x xy x -'=；（4）()()222sin 1cos sin x x x x y x---'=.19.【解析】（1）y ′＝(e x )′sinx ＋e x (sinx )′＝e x sinx ＋e x cosx ..（2）因为y ＝x 3＋21x＋1，所以y ′＝3x 2－32x . （3）因为y ＝x －12sinx ，所以y ′＝1－12cosx .20.【解析】（1）因为2sin 3y x xx =++，所以cos 321cos 61y x x x x '=+⨯+=++；（2）因为2(ln sin )y x x x =+，所以()()()22ln sin ln sin y x x x x x x '''=+++，化简可得，()212ln sin cos y x x x x x x ⎛⎫'=+++ ⎪⎝⎭22ln 2sin cos x x x x x x x =+++；（3）因为221xy x =+，由基本初等函数的导数公式和运算法则可得， ()()()()222221211x x x x y x''+-+'=+()()22221221x x xx+-⋅=+()()222211x x-=+；（4）因为41(13)y x =-，所以()()()()4513134133y x x x --''⎡⎤'=--=--⨯-⎣⎦化简可得，()51213y x -'=-.21.【解析】（1）()'''22(ln )ln ()1ln x x x x xf x x x ⋅-⋅-==；（2）()()''239f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()'239x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭2222233272()(9)(1)2639x x x x x x x x =-+++=-++++=222736x x++；（3）()()''12ln 25151xf x x x =+⨯-=-52ln 251x x +-. 22.【解析】（1）由tan xy ex =，则()''2'tan tan t cos ()an xx xxe y e x e x e x x+==+，即'2tan cos x x ey e x x=+（2）由3ln 45y x +=（），则'1245y x =+（3）由2323111y x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭﹣，则'2332x y x =-，（4）由sin n x y x =，则'1cos sin n x x n x y x +-=，（5）由()5221x y e x +=+﹣，则()4'29221()x y x x e +=+﹣﹣．。

高考数学第一轮复习提分专练习题：导数的综合应用

高考数学第一轮复习提分专练习题：导数的综合应用学无止境，高中是人生生长变化最快的阶段，所以应该用心去想去做好每件事，查字典数学网为大家整理了2021年高考数学第一轮温习提分专练习题：导数的综合运用,希望可以协助到更多同窗!一、选择题1.设f(x)，g(x)区分是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)+f(x)g(x)0且g(3)=0，那么不等式f(x)g(x)0的解集是()A.(-3,0)(3，+)B.(-3,0)(0,3)C.(-，-3)(3，+)D.(-，-3)(0,3)答案：D 解题思绪：由于f(x)，g(x)区分是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)=f(x)g(x)为奇函数，当x0时，h(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)0，所以h(x)在(-，0)为单调增函数，h(-3)=-h(3)=0，所以当x0时，h(x)0=h(-3)，解得x-3，当x0时，h(x)0，解得-30时h(x)0的x的取值范围为(0,3)，应选D.2.假定f(x)=x2-2x-4ln x，不等式f(x)0的解集记为p，关于x的不等式x2+(a-1)x-a0的解集记为q，且p是q的充沛不用要条件，那么实数a的取值范围是()A.(-2，-1]B.[-2，-1]C. D.[-2，+)答案：D 解题思绪：关于命题p： f(x)=x2-2x-4ln x，f(x)=2x-2-=，由f(x)0，得 x2.由p是q的充沛不用要条件知，命题p的解集(2，+)是命题q不等式解集的子集，关于命题q：x2+(a-1)x-a0(x+a)(x-1)0，当a-1时，解集为(-，-a)(1，+)，显然契合题意;当a-1时，解集为(-，1)(-a，+)，那么由题意得-2-1.综上，实数a的取值范围是[-2，+)，应选D.3.定义在R上的函数f(x)，g(x)满足=ax，且f(x)g(x)A.7B.6C.5D.4答案：B 解题思绪：由f(x)g(x)4.(河南顺应测试)函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x(-，0]时，f(x)=e-x-ex2+a，那么函数f(x)在x=1处的切线方程为()A.x+y=0B.ex-y+1-e=0C.ex+y-1-e=0D.x-y=0答案：B 命题立意：此题考察了函数的奇偶性及函数的导数的运用，难度中等.解题思绪：函数f(x)是R上的奇函数，f(x)=-f(-x)，且f(0)=1+a=0，得a=-1，设x0，那么-x0，那么f(x)=-f(-x)=-(ex-ex2-1)=-ex+ex2+1，且f(1)=1，求导可得f(x)=-ex+2ex，那么f(1)=e，f(x)在x=1处的切线方程y-1=e(x-1)，即得ex-y+1-e=0，故应选B.易错点拨：要留意函数中的隐含条件的开掘，特别是一些变量的值及函数图象上的特殊点，防止出现遗漏性错误.5.设二次函数f(x)=ax2-4bx+c，对xR，恒有f(x)0，其导数满足f(0)0，那么的最大值为()A. B. C.0 D.1答案：C 解题思绪：此题考察基本不等式的运用.由于f(x)0恒成立，所以a0且=16b2-4ac0.又由于f(x)=2ax-4b，而f(0)0，所以b0，那么==2-，又因4a+c8b，所以2，故2-2=0，当且仅当4a=c，ac=4b2，即当a=b，c=4b时，取到最大值，其值为0.技巧点拨：在运用均值不等式处置效果时，一定要留意一正二定三等，特别是要留意等号成立的条件能否满足.6.函数f(x)，g(x)区分是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如下图，设函数h(x)=f(x)-g(x)，那么()A.h(1)B.h(1)C.h(0)D.h(0)答案：D 解题思绪：此题考察函数及导函数的图象.取特殊值，令f(x)=x2，g(x)=x3，那么h(0)二、填空题7.关于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)，给出定义：设f(x)是函数y=f(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，假定方程f(x)=0有实数解x0，那么称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的拐点.某同窗经过探求发现：任何一个三次函数都有拐点任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.依据这一发现，那么函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为________.答案：解题思绪：由f(x)=x3-x2+3x-，得f(x)=x2-x+3，f(x)=2x-1，由f(x)=0，解得x=，且f=1，所以此函数的对称中心为.8.设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).假定对一切的x0都有f(x)ax 成立，那么实数a的取值范围为________.答案：(-，1] 解题思绪：令g(x)=(1+x)ln(1+x)-ax，对函数g(x)求导数g(x)=ln(1+x)+1-a，令g(x)=0，解得x=ea-1-1.当a1时，对一切x0，g(x)0，所以g(x)在[0，+)上是增函数.又g(0)=0，所以对x0，有g(x)0，即当a1时，关于一切x0，都有f(x)ax.当a1时，关于0又g(0)=0，所以对0所以，当a1时，不是对一切的x0都有f(x)ax成立.综上，a的取值范围为(-，1].三、解答题9.函数f(x)=x3-ax+1.(1)当x=1时，f(x)取得极值，求a的值;(2)求f(x)在[0,1]上的最小值;(3)假定对恣意mR，直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值范围.解析：(1)由于f(x)=x2-a，当x=1时，f(x)取得极值，所以f(1)=1-a=0，a=1.又当x(-1,1)时，f(x)当x(1，+)时，f(x)0，所以f(x)在x=1处取得极小值，即a=1时契合题意.(2)当a0时，f(x)0对x(0,1)恒成立，所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在x=0处取得最小值f(0)=1.当a0时，令f(x)=x2-a=0，x1=-，x2=，当0当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减;当x(，1)时，f(x)0，f(x)单调递增.所以f(x)在x=处取得最小值f()=1-.当a1时，1.x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-a.综上所述，当a0时，f(x)在x=0处取得最小值f(0)=1;当0当a1时，f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-a.(3)由于mR，直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线，所以f(x)=x2-a-1对xR恒成立，只需f(x)=x2-a的最小值大于-1即可.而f(x)=x2-a的最小值为f(0)=-a，所以-a-1，即a1.故a的取值范围是(-，1).10.函数f(x)=x-ax2-ln(1+x)，其中aR.(1)假定x=2是f(x)的极值点，求a的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)假定f(x)在[0，+)上的最大值是0，求a的取值范围. 命题立意：此题考察导数与函数的极值、单调性、最值等知识，考察考生剖析效果、处置效果的才干，考察函数与方程、分类整合等数学思想方法.(1)依据可导函数在一定点处取得极值的必要条件是其导数等于零，得出关于a的方程即可求出a，再依据极值点两侧导数值异号停止检验;(2)讨论导数的符号，就参数a的取值状况停止分类讨论即可;(3)依据函数的单调性和极值点，以及函数最大值的概念分状况处置.解析：(1)f(x)=，x(-1，+).依题意，得f(2)=0，解得a=.经检验，a=时，契合题意.(2)当a=0时，f(x)=，x(-1，+).故f(x)的单调增区间是(0，+)，单调减区间是(-1,0).当a0时，令f(x)=0，得x1=0，x2=-1，当0f(x)的单调增区间是，单调减区间是(-1,0).当a=1时，f(x)的单调减区间是(-1，+).当a1时，-11时，f(x)的单调增区间是-1,0，单调减区间是(0，+).(3)由(2)知a0时，f(x)在(0，+)上单调递增，由f(0)=0知不合题意.当00，f(x)在区间上递增可知，ff(0)=0知不合题意.当a1时，f(x)在(0，+)单调递减，可得f(x)在[0，+)上的最大值是f(0)=0，契合题意.f(x)在[0，+)上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+).11.设函数f(x)=xln x(x0).(1)求函数f(x)的最小值;(2)设F(x)=ax2+f(x)(aR)，讨论函数F(x)的单调性;(3)斜率为k的直线与曲线y=f(x)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，令f(x)=0，得x=.当x时，f(x)当x时，f(x)0.当x=时，f(x)min=ln=-.(2)F(x)=ax2+ln x+1(x0)，F(x)=2ax+=(x0).当a0时，恒有F(x)0，F(x)在(0，+)上是增函数; 当a0时，令F(x)0，得2ax2+10，解得0.综上，当a0时，F(x)在(0，+)上是增函数;当a0时，F(x)在上单调递增，在上单调递减. (3)k==.要证x11知ln t0，故等价于证ln t1).(*)设g(t)=t-1-ln t(t1)，那么g(t)=1-1)，故g(t)在[1，+)上是增函数.当t1时，g(t)=t-1-ln tg(1)=0，即t-1ln t(t1).设h(t)=tln t-(t-1)(t1)，那么h(t)=ln t1)，故h(t)在[1，+)上是增函数.当t1时，h(t)=tln t-(t-1)h(1)=0，即t-11).由知(*)成立，得证.12.函数f(x)=ln x-px+1.(1)求函数f(x)的极值点;(2)假定对恣意的x0，恒有f(x)0，求p的取值范围;(3)证明：+++(nN，n2).解析：(1)由f(x)的定义域为(0，+)，f(x)=-p=， x0，当p0时，f(x)0， f(x)在(0，+)上单调递增，f(x)无极值点;当p0时，令f(x)=0， x=(0，+)，f(x)，f(x)随x的变化状况如下表：x f(x) + 0 - f(x) 增极大减从上表可以看出：当p0时，f(x)有独一的极大值点x=.(2)当p0时，f(x)在(0，+)上单调递增，所以不能够对恣意的x0，恒有f(x)0，当p0时，由(1)知在x=处取得极大值f=ln ，此时极大值也是最大值.要使f(x)0恒成立，只需f=ln 0，解得p1，所以p的取值范围是[1，+).(3)证明：令p=1，由(2)知ln x-x+10，ln xx-1，nN，n2，令x=n2，那么ln n2n2-1，=1-，所以结论成立.2021年高考数学第一轮温习提分专练习题：导数的综合运用，更多信息查字典数学网将第一时间为广阔考生提供，预祝各位考生报考到心仪的大学!。

2021年高考数学一轮总复习 2.12.3导数的综合应用练习

2021年高考数学一轮总复习 2.12.3导数的综合应用练习一、选择题1．(xx·宜昌模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A.14B.13C.12D ．1解析由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.答案 D2．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( )A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2)<f (－1) C ．f (－a 2)≥f (－1)D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定解析由题意可得f ′(x )＝32x 2－2x －72，令f ′(x )＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73，当x <－1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当－1<x <73时，f ′(x )<0，f (x )为减函数．所以f (－1)是函数f (x )在(－∞，0]上的最大值，又因为－a 2≤0，所以f (－a 2)≤f (－1)．答案 A3．若直线y ＝m 与y ＝3x －x 3的图象有三个不同的交点，则实数m 的取值范围为( ) A ．－2<m <2 B ．－2≤m ≤2 C ．m <－2或m >2D ．m ≤－2或m ≥2解析 y ′＝3(1－x )(1＋x )，由y ′＝0，得x ＝±1，∴y 极大＝2，y 极小＝－2，∴－2<m <2. 答案 A4．如图为一圆锥形容器，其底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t ＝127分钟时的瞬时变化率为(注：π≈3.1)( )A ．27分米/分钟B ．9分米/分钟C ．81分米/分钟D ．99分米/分钟解析设t 时刻水面高度为h ，半径为r ，则r ＝33h .此时水的体积V ＝13πr 2h ＝19πh 3，又V ＝9.3t所以19πh 3＝9.3t ，且π≈3.1.答案 B5．已知定义在R 上的偶函数f (x )，f (1)＝0，当x >0时有xf ′x －f xx 2>0，则不等式xf (x )>0的解集为( )A ．{x |－1<x <0}B ．{x |x >1或－1<x <0}C ．{x |x >0}D ．{x |－1<x <1}解析当x >0时有xf ′x －f xx 2>0，即⎝⎛⎭⎪⎫f x x ′>0，∴f x x 在(0，＋∞)上单调递增．∵f (x )为R 上的偶函数，∴xf (x )为R 上的奇函数． ∵xf (x )>0，∴x 2f x x >0.∴f xx>0. ∵f x x 在(0，＋∞)上单调递增，且f 11＝0， ∴当x >0时，若xf (x )>0，则x >1. 又∵xf (x )为R 上的奇函数，∴当x <0时，若xf (x )>0，则－1<x <0.综上，不等式的解集为{x |x >1或－1<x <0}．答案 B6．(xx·东北三省联考)已知f (x )为定义在(－∞，＋∞)上的可导函数，且f (x )<f ′(x )，对于任意x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2·f (0)，f (2 010)>e 2 010·f (0) B ．f (2)<e 2·f (0)，f (2 010)>e 2 010·f (0) C ．f (2)>e 2·f (0)，f (2 010)<e 2 010·f (0) D ．f (2)<e 2·f (0)，f (2 010)<e 2 010·f (0)解析设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e xex2，又f (x )<f ′(x )对x ∈R 恒成立，所以g ′(x )>0. 所以g (x )在R 上单调递增． ∴g (2)>g (0)，即f 2e2>f 0e.∴f (2)>e 2f (0)．又g (2 010)>g (0)，f 2 010e2 010>f 0e，f (2 010)>e2 010f (0)，选A.答案 A 二、填空题7．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________. 解析设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1.易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2. 若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2. 答案－2或28．若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f (2)的大小关系为________．解析由f (－x )＝f (x )知，函数f (x )为偶函数，因此f (－3)＝f (3)．又f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f ′(x )<0.∴f (x )在区间(π2，π)上是减函数．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (2)>f (3)＝f (－3)．答案 f (－3)<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 9．设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________．解析若x ＝0，则不论k 取何值，f (x )≥0都成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝31－2xx4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减．因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而k ≥4；当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≤3x 2－1x 3.g (x )＝3x 2－1x3在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而k ≤4，综上k ＝4. 答案 4 三、解答题10．某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎪⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．解 (1)设5858－u ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142，∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎪⎫10－2142，解得k ＝2. ∴u ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0；当x ∈(9,11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上单调递增，在(9,11)上单调递减． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元． 11．(xx·南京调研)已知函数f (x )＝ex －m－x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0恒成立，求m 的取值范围； (2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由．解 (1)依题意，可知f (x )在R 上连续，且f ′(x )＝ex －m－1，令f ′(x )＝0，得x ＝m ，故当x ∈(－∞，m )时，e x －m<1，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，ex －m>1，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故当x ＝m 时，f (m )为极小值也是最小值．令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1.即对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立时，m 的取值范围是(－∞，1]． (2)当m >1时，f (m )＝1－m <0.∵f (0)＝e －m>0，f (0)·f (m )<0，且f (x )在(0，m )上单调递减， ∴f (x )在(0，m )上有一个零点．又f (2m )＝e m－2m ，令g (m )＝e m－2m ， ∵当m >1时，g ′(m )＝e m－2>0， ∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (m )>g (1)＝e －2>0，即f (2m )>0.∴f (m )·f (2m )<0，∴f (x )在(m,2m )上有一个零点．故f (x )在[0,2m ]上有两个零点．培优演练1．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－mx . (1)求函数f (x )的极值； (2)求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＋1>ln2(n ∈N *)．解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝11＋x－m (x >－1)．当m ≤0时，f ′(x )>0恒成立，则f (x )为 (－1，＋∞)上的增函数，所以f (x )没有极值．当m >0时，由f ′(x )>0，得－1<x <1m－1；由f ′(x )<0，得x >1m－1.所以f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－1，1m－1上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1m－1，＋∞上单调递减．故当x ＝1m－1时，f (x )有极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －1＝m －1－ln m ，但无极小值．(2)证明：取m ＝1，由(1)知f (x )＝ln(1＋x )－x 在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )<f (0)＝0.即ln(1＋x )<x (x >0)．令x ＝1k (k >0)，得ln(1＋1k )<1k ，即ln k ＋1k <1k，分别取k ＝n ＋1，n ＋2，…，n ＋(n ＋1)，n ∈N *，可得1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＋1>ln n ＋2n ＋1＋ln n ＋3n ＋2＋…＋ln 2n ＋22n ＋1＝ln 2n ＋2n ＋1＝ln2. 即1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＋1>ln2(n ∈N *)成立．2．(xx·北京卷)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求证：f (x )≤0； (2)若a <sin x x <b 对x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．解 (1)证明：由f (x )＝x cos x －sin x 得f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .因为在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上f ′(x )＝－x sin x <0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．从而f (x )≤f (0)＝0. (2)当x >0时，“sin xx>a ”等价于“sin x －ax >0”；“sin xx<b ”等价于“sin x －bx <0”．令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c . 当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．当c ≥1时，因为对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，g ′(x )＝cos x －c <0，所以g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．当0<c <1时，存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2使得 g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0.g (x )与g ′(x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的情况如下：因为g (x )在区间[0，x 0]上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π.综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．所以，若a<sin xx<b对任意x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，则a的最大值为2π，b的最小值为1.276786C1E 氞23128 5A58 婘22682 589A 墚V39649 9AE1 髡,21427 53B3 厳G m20172 4ECC 仌29379 72C3 狃 25976 6578 數G。

2021高考数学浙江专用一轮习题：专题3 第16练导数的概念及其运算

1．函数y ＝x 2cos x ＋x 2的导数为( )A ．y ′＝2x cos x －x 2sin x ＋2xB ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin x ＋x 2C ．y ′＝x 2cos x －2x sin x －2xD ．y ′＝x cos x －x 2sin x －x 22．已知函数f (x )＝x (2019＋ln x )，f ′(x 0)＝2020，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln2018D ．e3．(2019·丽水市四校联考)函数f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x －y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝04．已知函数f (x )＝4e x ＋1＋x 3＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f ′(2020)＋f (－2020)－f ′(－2020)的值为( )A ．4040B ．4C ．2D ．05．曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b的值为( ) A ．－12e B ．－2e C.2e D.12e6．曲线f (x )＝－13x 3＋x ＋23在点(2，f (2))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．6B.32C ．3D ．12 7．设函数f (x )＝x －e －x ，直线y ＝mx ＋n 是曲线y ＝f (x )的切线，则m ＋n 的最小值是( )A ．－1eB ．1C ．1－1eD ．1＋1e 3 8．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2，在其图象上任取两个不同的点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1>x 2)，总能使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>2，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(1,2)D ．[1,2] 9．(2020·金丽衢十二校联考)过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．10．设P 为曲线C ：y ＝x 3－x 2＋2上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为____________________．11．已知函数f (x )是R 上的可导函数，f (x )图象如图所示，则下列不等式正确的是( )A ．f ′(a )<f ′(b )<f ′(c )B ．f ′(b )<f ′(c )<f ′(a )C ．f ′(a )<f ′(c )<f ′(b )D ．f ′(c )<f ′(a )<f ′(b )12．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln a ＋1b ＋1＝c －2d －3＝1，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为( ) A ．8B ．4C ．2D. 213．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝a 2x 2＋x －a (a ∈R )．直线x ＝t (t >0)与曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )分别相交于A ，B 两点，且曲线y ＝f (x )在A 处的切线与曲线y ＝g (x )在B 处的切线斜率相等，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，1e B.⎝⎛⎦⎤0，1e C ．(－∞，e] D ．(0，e]14．若函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点，使得函数y ＝f (x )的图象在这两点处的切线互相平行，则称函数y ＝f (x )具有“同质点”．给出下列四个函数：①y ＝sin x ；②y ＝e x ；③y ＝x 3；④y ＝ln x ．其中具有“同质点”的函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．(2019·临海市白云高级中学期中)已知函数f (x )＝x 33－b 2x 2＋ax ＋1(a >0，b >0)，则函数g (x )＝a ln x ＋f ′(x )a在点(b ，g (b ))处切线的斜率的最小值是________． 16．(2020·杭州市学军中学模拟)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数f (x )在(a ，b )上的导函数为f ′(x )，f ′(x )在(a ，b )上的导函数为f ″(x )，若在(a ，b )上f ″(x )<0恒成立，则称函数f (x )在(a ，b )上为“凸函数”，已知f (x )＝x 44－t 3x 3＋32x 2在(1,4)上为“凸函数”，则实数t 的取值范围是________．答案精析1．A 2.B 3.A 4.B 5.D 6.A 7.C8．B 9.(1，e) e10.⎣⎡⎦⎤－13，0∪⎣⎡⎦⎤23，1 11.A 12.C 13．A [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，g ′(x )＝ax ＋1.因为曲线y ＝f (x )在A 处的切线与y ＝g (x )在B 处的切线斜率相等，所以f ′(t )＝g ′(t )在(0，＋∞)上有解，即方程ln t －at ＝0在(0，＋∞)上有解．方程ln t －at ＝0在(0，＋∞)上有解转化为函数y ＝ln x 与函数y ＝ax 的图象在(0，＋∞)上有交点，令过原点且与函数y ＝ln x 的图象相切的直线的斜率为k ，只须a ≤k ，令切点为P (x 0，ln x 0)，则k ＝01x ，又k ＝00ln x x ，所以01x ＝00ln x x ，解得x 0＝e ，于是k ＝1e ，所以a ≤1e.] 14．B [由题意可知若存在x 1，x 2(x 1≠x 2)，使得f ′(x 1)＝f ′(x 2)(两切线不重合)，则函数y ＝f (x )具有“同质点”．对于①，y ′＝cos x ，显然存在x 1，x 2(x 1≠x 2)，使得cos x 1＝cos x 2成立．所以y ＝sin x 具有“同质点”．对于②，y ′＝e x ，由y ′＝e x 的单调性可知，不存在x 1，x 2(x 1≠x 2)，使得e x 1＝e x 2成立，所以y ＝e x 不具有“同质点”．对于③，y ′＝3x 2，显然存在x 1，x 2(x 1≠x 2)，使得3x 21＝3x 22成立．所以y ＝x 3具有“同质点”．对于④，y ′＝1x ，由y ′＝1x在(0，＋∞)单调递减可知，不存在x 1，x 2(x 1≠x 2)，使得1x 1＝1x 2成立，所以y ＝ln x 不具有“同质点”．所以具有“同质点”的函数有y ＝sin x ，y ＝x 3.] 15．216.⎣⎡⎭⎫518，＋∞ 解析 f ′(x )＝x 3－tx 2＋3x ，f ″(x )＝3x 2－2tx ＋3， ∵函数f (x )＝x 44－t 3x 3＋32x 2在(1,4)上是“凸函数”， ∴f ″(x )＝3x 2－2tx ＋3<0在(1,4)上恒成立，即t >32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 恒成立(1<x <4)，令g (x )＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，显然g (x )在(1,4)上单调递增， ∴g (x )<g (4)＝518，∴t ≥518.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

专题21 导数的综合运用 2021年高考数学(理)母题题源系列(全国1专

专题21 导数的综合运用 2021年高考数学(理)母题题源系列(全国1专专题21导数的综合运用-2021年高考数学(理)母题题源系列(全国1专motif的21个导数的综合应用【母题原题1】【2021新课标1，理21】已知函数（1）讨论的单调性；．（2）若存在两个极值点，证明：．【原题2】【2022新课程标准1，理论21】已知函数f（x）=ae2x+（A-2）ex-x.（1）讨论f（x）的单调性；(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零（I）找到a的值范围；(ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.【命题意图】考察导数的概念、导数公式的推导规则、导数的几何意义和导数的应用、数学公式的变形能力、运算和求解能力、分类讨论的思想、函数和方程的思想、约化和变换的思想，分析和解决问题的能力，而且问题的难度、深度和广度也在增加。

本部分的要求一般分为三个层次：第一层次主要考察导数的推导公式、推导规则和几何意义；第二个层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值和最大值；第三级是综合检查，如零点、证明不等式、常数建立问题、寻找参数等，包括解决应用问题、将导数内容与相关不等式有机结合、传统内容中的序列单调性和函数单调性，以及设计综合问题【答题模板】求解应用导数研究函数的性质问题的一般思路：第一步：记住求导规则并正确地找到求导方法在函数和求导问题的解决中，求导通常是涉及到的。

正确的推导是解决问题的关键。

因此，我们应该记住推导公式并实现正确的推导。

在解决这个问题时，我们应该首先写出函数定义域第二步：研究（1）（2）问的关系，注意利用第(1)问的结果.在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决．第三步：根据条件找到或构造目标函数，并注意分类和讨论高考函数和导数解通常涉及分类讨论，并且讨论的步骤也是得分点，所以一定要重视分类讨论．第四步：选择合适的方法解决问题，并注意满分的要点：在函数和导数问题中，一些关键公式和结果，如导数的结果、分类讨论的条件、单调区间和零点都是分数点，必须清楚地写在解中。

(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第三章导数及其应用1第1讲变化率与导数、导数的计算课件

(2)已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直线 l 的方程为________．【解析】 (1)因为 y′＝2x－x12，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为 y′|x＝1＝2×1－112＝ 1，所以切线方程为 y－2＝x－1，即 y＝x＋1.
原函数 f(x)＝ax (a>0 且 a≠1) f(x)＝ex f(x)＝logax (x>0，a>0 且 a≠1)
f(x)＝ln x(x>0)
导函数
f′(x)＝axln a
f′(x)＝_e_x__
1 f′(x)＝__x_l_n_a____
1 f′(x)＝_x___
3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_____f_′_(x_)_±__g_′_(x_)______； (2)[f(x)·g(x)]′＝___f′_(_x_)g_(_x_)_＋__f_(x_)_g_′_(x_)____； (3)gf（（xx））′＝_f_′（__x_）__g_（__x[_g）_（_－_x_）f_（_]_2x_）__g_′_（__x_）_ (g(x)≠0)．
第三章导数及其应用
第1讲变化率与导数、导数的计算
数学
01
基础知识自主回顾
02
核心考点深度剖析
03
高效演练分层突破
知识点
最新考纲
了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．变化率与导数、
会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并导数的计算
能求简单的复合函数的导数(限于形如 f(ax＋b)的导数).
1
1．(2020·杭州七校联考)曲线 y＝e2x 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

2021届高三数学(理)一轮复习典型题专项训练《导数及其应用》(浙江地区专用)

2021届高三数学一轮复习典型题专项训练导数及其应用一、选择、填空题1、（七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考）设a 为正数，322()6f x x ax a =-+-，若()f x 在区间(0,3)a 不大于0，则a 的取值范围是（） A ．1(0,]27 B. 1(0,)27 C. 1(,)27+∞ D. 1[,)27+∞ 2、（七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考）已知函数()sin2(0)f x x x x =->，则函数()f x 的最小的极值点为；若将()f x 的极值点从小到大排列形成的数列记为{}n a ，则数列{}n a 的通项公式为 .3、（嘉兴市2019届高三上学期期末检测）已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，设h （x ）＝f （x ）+g （x ），则（）A ．h 1（x ）的极小值点是h （x ）的极小值点B ．h 2（x ）极小值点是h （x ）的极小值点C ．h （x ）的极大值点是h 1（x ）的极大值点D ．h （x ）的极大值点是h 2（x ）的极大值点 4、（宁波市2019届高三上学期期末考试）已知存在导函数，若既是周期函数又是奇函数，则其导函数A. 既是周期函数又是奇函数B. 既是周期函数又是偶函数C. 不是周期函数但是奇函数D. 不是周期函数但是偶函数5、（浙南名校联盟（温州九校）2019届高三上学期期末联考）若对任意0a >，函数32()1f x x ax bx =+++在开区间(,0)-∞内有且仅有一个零点，则实数b的取值范围是______.6、（稽阳联谊学校2019届高三4月联考）已知关于x 的方程2ln (1)0x x a x 在(0,)上有且只有一个实数根，则a 的取值范围是 .7、（台州市2019届高三4月调研）已知1a ，且函数22()24f x x x a x x a ＝.若对任意的1,x a 不等式()(1)f x a x 恒成立，则实数a 的取值范围为A.19，B.125，C.425，D.4，8、（温州市2019届高三2月高考适应性测试）已知2()f x x ax =-，若对任意的 a ∈R ，存在 x 0 ∈[0，2] ，使得0|()|f x k ≥成立，则实数k 的最大值是 ▲ ．9、（杭州第四中学2019届高三第二次月考）设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有2')()(2x x xf x f >+，则不等式0)2(4)2018()2018(2>--++f x f x 的解集为________.10、（杭州市2018届高三上学期期末）若函数()f x 的导函数'()f x 的图象如图所示，则（） A. 函数()f x 有1个极大值，2个极小值 B. 函数()f x 有2个极大值，2个极小值 C. 函数()f x 有3个极大值，1个极小值 D. 函数()f x 有4个极大值，1个极小值 11、（宁波市2018届高三上学期期末）已知21()cos ,'()4f x x x f x =+为()f x 的导函数，则'()f x 的图像是（）12、曲线21xy e-=+在点()0,2处的切线方程为13、设函数()xf x x a=-，若()f x 在()1,+∞单调递减，则实数a 的取值范围是．参考答案： 1、A提示：当()0,3x a ∈时，()()2312340f x x ax x x a '=-+=-->，∴()f x 在()0,3a 上单调递增．因此()()23271f a a a =-0≤，解得1027a <≤．2、6π ；*31,26,32,216n n n k a k N n n k ππ-⎧=⎪⎪=∈⎨-⎪=-⎪⎩或21(1)412n n n a ππ--=+．提示：()112cos 20cos 22f x x x '=-=⇒=，所以6x k ππ=+或,6x k k Z ππ=-+∈.显然数列{}n a 的16a π=，256a π=，于是当n 为偶数时，5311626n n n a πππ-⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，11321626n n n a πππ+-⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭．3、D4、B5、(,3]-∞6、7、答案：B 解析：因为1a ，1,xa 不等式()(1)f x a x 恒成立，所以，22()24(1)f x x x a x x a a x ＝，即，1214aa a xxxx恒成立，令()a g x x x =+，则2'()1a g x x=-， 1,xa 时，'()g x ＜0，g （x ）递减；,xa a 时，'()g x ＞0，g （x ）递增，所以，g （x ）最小值为：(2g a a a a== 令[2,1)a t x a a x =+∈+（1a ），所以，1ax x+> 令h （t ）＝214aa x xxx＝214t t 36,412242,24t t a tt tat ，（1）当4a时，t ≥4，所以，h （t ）的最小值为：66a ，所以，166a a -≤，即226250a a -+≤，解得：125a ≤≤，即425a ≤≤（2）当1＜a ＜4时，所以，h （t ）的最小值为：22a ，所以，122a a -≤，即21090a a -+≤，解得：19a ≤≤即1＜a ＜4恒成立。

高考数学浙江专版(理)一轮复习：小题专项集训3.pdf

小题专项集训(三)　函数图象、函数与方程、导数(建议用时：40分钟　分值：75分) 1．(2013·北京海淀期中)在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )．解析　当a>1时，三个函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a均为增函数，则排除B，C.又由直线y＝x＋a在y轴上的截距a>1可得仅D的图象正确，故应选D. 答案　D 2.(2012·合肥质检)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是( )．解析　据函数的图象易知，x0，当x>0时恒有f′(x)<0，只有D选项符合条件．答案　D 3．函数f(x)＝x＋2cos x在上取得最大值时x的值为( )． A．0 B. C. D. 解析　由f′(x)＝1－2sin x＝0，得x＝，所以f＝＋.又f(0)＝2，f＝，所以f为最大值，故选B. 答案　B 4．(2013·厦门质检)已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为( )． A．1 B．2 C．3 D．4 解析　在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)与y＝ex的图象，结合图形可知，它们有两个公共点，因此函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数是2，选B. 答案　B 5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )． A．(－∞，－]∪[，＋∞) B．[－，] C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－，) 解析　f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤. 答案　B 6．(2013·潍坊模拟)若曲线f(x)＝x·sin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于( )． A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　据已知可得f′(x)＝sin x＋xcos x，故f′＝1，故由两直线的位置关系可得－×1＝－1，解得a＝2. 答案　D 7．(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )． A．60件 B．80件 C．100件 D．120件解析　若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是，存储费用是，总的费用是＋≥2 ＝20，当且仅当＝时取等号，即x＝80. 答案　B 8．(2012·天津河西区质量调查)函数y＝f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0.设a＝f(0)，b＝f(0.5)，c＝f(3)，则( )． A．a<b0；当x∈时，f′(x)0，临界位置为过原点的切线，此时斜率取最大值，有＝ex0，所以x0＝1，则kmax＝e，故k∈(0，e]．答案　(0，e] 12．(2013·杭州质检)若曲线C：y＝ax＋ln x存在斜率为1的切线，则实数a的取值范围是________．解析　∵切线斜率k＝a＋＝1(x>0)， ∴a＝1－(x>0)，由此可得a<1. 答案　(－∞，1) 13．(2012·温州五校联考)函数f(x)＝x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________．解析　f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－100知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3. 答案　3 14．(2012·山西四校联考)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2.若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围为________．解析　依题意得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数．g(x)＝f(x)－kx－k在区间[－1,3]内有4个零点，即函数y＝f(x)与y＝k(x＋1)的图象在区间[－1,3]内有4个不同的交点．在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象(如图所示)，注意到直线y＝k(x＋1)恒过点(－1,0)，由题及图象可知，当k∈时，相应的直线与函数y＝f(x)在区间[－1,3]内有4个不同的交点，故实数k的取值范围是. 答案 15．(2013·湖南部分重点中学联考)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________．解析　若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当x∈(－1，a)时，f′(x)0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；若－10，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．所以a∈(－1,0)．答案　(－1,0)。

2021年高考数学一轮复习导数及其应用(含积分)备考试题

2021年高考数学一轮复习导数及其应用（含积分）备考试题一、选择题1、（xx 年江西高考）若则A. B. C. D.12、（xx 年江西高考）若则的大小关系为A. B.C. D.3、（乐安一中xx 届高三上学期开学考试）定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A ．B ．C ．D ．4、（南昌二中xx 届高三上学期第一次考）定义在上的可导函数，当时，恒成立，若，，，则的大小关系是( )A ．B ．C ．D ．5、（南昌三中xx 届高三上学期第一次月考）设，若，则（）A. B. C. D.6、（南昌市八一中学xx 届高三8月月考）已知函数f （x ）在R 上满足f （1+x ）=2f （1﹣x ）﹣x 2+3x+1，则曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是（）A ． x ﹣y ﹣2=0B ． x ﹣y=0C ． 3x+y ﹣2=0D ． 3x ﹣y ﹣2=07、（南昌市新建二中xx 届高三9月月考）设是定义在R 上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是( ).A. B. C. D ．8、（遂川中学xx 届高三上学期第一次月考）由直线，，与曲线所围成的封闭图形的面积为( )A .12B .1C .32D . 3 9、（南昌三中xx 届高三第七次考试）已知二次函数的导函数为，且＞0，的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为 ( )A ．3B ．32C ．2D ．5210、（吉安一中xx届高三下学期第一次模拟）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A. 4B.C. 2D.二、填空题1、（xx年江西高考）若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________.2、（xx年江西高考）设函数在内可导，且，则3、（xx年江西高考）计算定积分___________。

4、（红色六校xx届高三第一次联考）如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线及直线与轴围成的区域，向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则．5、（乐安一中xx届高三上学期开学考试）函数的图象不过第Ⅱ象限，则的取值范围是6、（南昌三中xx届高三上学期第一次月考）若曲线的一条切线方程为，则实数的值为7、（南昌市新建二中xx届高三9月月考）已知函数没有极值点，则实数的取值范围是_______．8、（遂川中学xx届高三上学期第一次月考）曲线在点处的切线方程为三、解答题1、（xx年江西高考）已知函数.(1)当时，求的极值；(2)若在区间上单调递增，求b的取值范围.2、（xx年江西高考）若函数h(x)满足（1）h(0)=1，h(1)=0；（2）对任意，有h(h(a))=a；（3）在（0,1）上单调递减。

(浙江版)高考数学一轮复习专题3.2导数的运算(练)(2021学年)

（浙江版）20１8年高考数学一轮复习专题3.2 导数的运算（练) 编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（（浙江版）2０18年高考数学一轮复习专题３.２导数的运算（练））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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专题3。

2 导数的运算A 基础巩固训练1.已知函数3()f x x =在点P 处的导数值为３，则Ｐ点的坐标为( ）A 、（-２，－8）B 、（－1，－1）C 、(－２,－ 8)或（２，8）Ｄ、(－1,－1)或（1,1）【答案】 D【解析】2。

设函数()()()k x k x x x f 2++=,且()80='f ,则=kA ．2B ．2- C.2± D ．1±【答案】Ｃ【解析】由()()()k x k x x x f 2++=：,求导22()362f x x kx k '=++,由()80='f ,解得；2(0)28,2f k k '===±.３。

下列求导运算正确的是( )A.(x ＋x 1)′＝１＋21x Ｂ．（log 2x)′＝2ln 1xC ．(３x ）′=3x ·ｌog ３e Ｄ．(ｘ2ｃｏsx)′=－2xsi ｎｘ【答案】Ｂ【解析】因a x x a ln 1)(log /=，故正确,应选B ．4．已知函数)3('2sin )(πxf x x f +=,则=)3('πf . 【答案】21-【解析】5.已知函数283)(x x x f +-=,且4)('0-=x f ,则=0x【答案】2【解析】()()2''000()38828242f x x x f x x f x x x =-+∴=-+∴=-+=-∴=B 能力提升训练1．已知11x f x x⎛⎫= ⎪+⎝⎭,则()1f '等于( ) A.12 Ｂ.12- Ｃ．14- D.14【答案】C【解析】令1t x =,则1x t =，()11111t f t t t==++,因此()11f x x =+,则根据求导公式有()21=(1)f x x '-+，所以()114f '=-。

21题高考数学21题导数知识点大全

高考数学第21题：函数导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数在0x x =处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

注意：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)即k=f ′(x 0)；(2)点斜式写出切线方程，即y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．特别注意：若在点(x 0，y 0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y 轴，所以直接得切线方程为x＝x 0.注意：导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；)(x f y =x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00005、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：6.用导数求函数单调区间的步骤①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

2021年高考数学导数及其应用多选题与热点解答题组合练附解析

2021年高考数学导数及其应用多选题与热点解答题组合练附解析一、导数及其应用多选题1．已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（）A34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D．63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【分析】构造函数()()cos f x g x x =，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭可判断C 选项.【详解】因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，所以构造函数()()cos f x g x x =，则()()2cos sin ()0cos f x x f x x g x x'+'=>， ∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，666cos 6f g f ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对于AB，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝，故AB 错误；对于C ，()04g g π⎛⎫<⎪⎝⎭，()044f ππ⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D 263f fππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确；故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对应的新函数()()cos f x g x x=，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.2．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25x y k ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ．【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'= 令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A．1132ln2(2)ln2,(3)ln32f f===66111133223232(3)(2)f f⎛⎫⎛⎫>∴>∴>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A错B．e eπ<，且()fx在(0,)e单调递增lnf feππ∴<<<∴>，故：B正确C．()f x m=有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m∴==不妨设120x e x<<<要证：212x x e<，即要证：221222,()e ex x e e f xx x<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()212ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭只需证：()222ef x fx⎛⎫-<⎪⎝⎭……①令2()(),()eg x f x f x ex⎛⎫=->⎪⎝⎭，则2211()(ln1)g x xe x'⎛⎫=--⎪⎝⎭当x e>时，2211ln1,()0()x g x g xe x'>>∴>∴在(,)e+∞单调递增()22()0x e g x g e>∴>=，即：()222ef x fx⎛⎫->⎪⎝⎭这与①矛盾，故C错D．设25x y k==，且,x y均为正数，则25ln lnlog,logln2ln5k kx k y k====252ln,5lnln 2ln5x k y k∴==1152ln2ln5ln2,ln525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪>> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln2ln52502525ln2ln5x y∴>>∴<∴<，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．3．对于函数()2ln1f x x ax x a=+--+，其中a R∈，下列4个命题中正确命题有（）A ．该函数定有2个极值B ．该函数的极小值一定不大于2C ．该函数一定存在零点D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点【答案】BD 【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数．【详解】函数定义域是(0,)+∞，由已知2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=，280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12102x x =-<，12,x x 一正一负．由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错；不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．222210x ax +-=，22212x a x -=，22222()ln 1f x x ax x a =+--+＝222222222222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，设21()2ln 2g x x x x x =-+--+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确；由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；()f x 的极小值也是最小值为2222221()2ln 2f x x x x x =-+--+，例如当23x =时，173a =-，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =--++=-+>（217()3e >，所以()f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确．故选：BD ．【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．4．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数，当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <；当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确；对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos x g x x x=-=-≤'，所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.5．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项．【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()2227f =>，结合()f x 的单调性可知，方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确；对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦，则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确；对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.6．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+- C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论．【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②；因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立，又20x >，所以222x x e e -+>，则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立，因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，令()()2ln 1u x x x =-+，0x >，则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=，则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③；综上，ACD 选项是“偏对称函数”，故选：ACD. 【点睛】思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）7．下列命题正确的有（）A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.8．若方程()2110x m x -+-=和()120x m ex -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞- D．11x ⎫∈-⎪⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x xy e-=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题. 【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x xm e-=-的两个根，即y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-；对于函数12x xy e -=-，11'x xy e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-；故作出函数11y x x =--，12x xy e-=-的图像如图所示，注意到：当()0,1x ∈时，11122x xx x x e---<-<-，由图可知，3201x x <<<，()2,1m ∈--，从而()11112,1x x --∈--，解得11x ⎫∈-⎪⎪⎝⎭，所以选项AD 正确，选项C 错误，又121310x x x x -=<<. 故选：ABD .【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.9．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=，令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根，也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误；对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立，故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞，恒成立，也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.10．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的值可能是（） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】BCD 【分析】由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2xf x x e =-，()12x f x e '∴=-由1121cd c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y 由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD. 【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。

2021高考数学浙江专用一轮习题：专题3+第17练+用导数研究函数的单调性Word版含解析

1．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调递减区间为()A．(2，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0,2)2．(2020·浙江省五校联考)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()3．(2020·浙江省五校联考)函数f (x )＝sin 2x ＋2cos x (0≤x ≤π)，则f (x )( )A ．在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增B ．在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递减C ．在⎣⎡⎦⎤π6，5π6上单调递减D ．在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递增4．已知函数 f (x )＝(x －1)e x －a ln x 在⎣⎡⎦⎤12，3上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．[9e 3，＋∞)B ．(－∞，9e 3]C ．[4e 2，＋∞)D ．(－∞，4e 2]5．已知函数f (x )＝m ln(x ＋1)＋x 2－mx 在(1，＋∞)上不单调，则实数m 的取值范围是() A ．(4，＋∞) B ．(－∞，4]C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)6．(2019·杭州月考)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (1)＝2，则不等式f (x )<2e x－1的解集为( ) A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，1)D ．(2，＋∞)7．函数f (x )＝(x 2－2x )e x 的图象大致是( )8．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x >0时，f (x )＋x 3f ′(x )>0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(－2,2)C ．(－2,0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)∪(2，＋∞)9．若函数f (x )＝12ax 2＋x ln x －x 存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________． 10．已知可导函数f (x )的定义域为(－∞，0)，其导函数f ′(x )满足2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－f (－1)≤0的解集为________．11．已知f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)12．已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且f (－1)＝0，若对任意的x ∈(0，＋∞)，都有x ·f ′(x )>f (x )成立，则不等式f (x )>0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)13．(2020·台州模拟)已知函数f (x )＝e x －12bx 2－x 在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，则b 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[0,1]C ．(－∞，1]D ．[0，＋∞)14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x e x ，x ≥0，x 2＋3x ，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤a ，－x ＋2，x >a ，且g (x )有三个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．[0,2)B ．[0,2]C ．[－3,0]D ．[2，＋∞)15．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )<e x 的解集为________．16．设f (x )是(0，＋∞)上的单调函数，且对任意x ∈(0，＋∞)，都有f []f (x )－log 2x ＝11，若x0是方程f(x)－f′(x)＝8的一个解，且x0∈(a－2，a－1)(a∈N*)，则a的值为________．答案精析1．D 2.A 3.C 4.A 5.A 6.A 7.B8．C 9.⎝⎛⎭⎫－1e ，＋∞ 10．[－2 019，－2 018) 11.B 12.D13．C14．A [设h (x )＝x e x (x ≥0)，则h ′(x )＝1－x e x ，则h (x )在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，则y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋2的图象在同一直角坐标系中的位置如图所示，由图可知，若g (x )有三个零点，则a 的取值范围为[0,2)．]15．(0，＋∞)16．3解析根据题意f (x )是(0，＋∞)上的单调函数，且在定义域内都有f [f (x )－log 2x ]＝11，则可知f (x )－log 2x 的值为一个常数C ，即f (C )＝11，故f (C )＝log 2C ＋C ＝11，解得C ＝8，则函数解析式为f (x )＝log 2x ＋8，f (x )－f ′(x )＝log 2x ＋8－1x ln 2＝8，即log 2x －1x ln 2＝0，构造新函数g (x )＝log 2x －1x ln 2＝1ln 2⎝⎛⎭⎫ln x －1x ，求导得g ′(x )＝1ln 2⎝⎛⎭⎫1x ＋1x 2>0，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为g (1)＝－1ln 2<0，g (2)＝1－12ln 2>0，g (x 0)＝0，故1<x 0<2，又x 0∈(a －2，a －1)(a ∈N *)，所以a ＝3.。

2021年高考数学导数及其应用多选题与热点解答题组合练附答案

2021年高考数学导数及其应用多选题与热点解答题组合练附答案一、导数及其应用多选题1．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（）A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥B ．若23a b e a e b +=+，则a b >C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．2ln a a bb e e-<恒成立【答案】AD 【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误.【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b 设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b += 此时1+→a b ，故A 错误. B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确C. ()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a ba ab a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a bb a，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =；min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e；所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误.故选：AD 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.2．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数yf xx 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可；对于B ，利用导数判断函数y f xx 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；对于C ，参变分离得到22ln xk x x <+，构造函数()22ln x g x x x=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()211x t t x =>，由()()12f x f x =得21222ln t x x t t-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构造函数即得．【详解】A ：函数()f x 的定义域为0,，()22212x f x x x x-'=-+=，当()0,2x ∈时，0f x，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．B ：()2ln y f x x x x x=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数y f xx 有且只有1个零点，故B 正确．C ：若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x=+，则()34ln x x xg x x-+-'=．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x，所以()22ln x g x x x=+在0,上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点．∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<．令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+， ∴211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t-=，()2121ln t t x tx t t-==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->． ∵211x t x =>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->，∴124x x +>，故D 正确．故选：BD ．【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.3．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（）A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值，又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭，当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞，当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点；当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点，综上可知ABD 正确，C 错误．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．4．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数【答案】BC 【分析】由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确；对C ，令()xh x e ax =-，则()xh x e a '=-，若0a =，由题意知，结论成立，若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥，即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()xf x e =的一个承托函数，故C 正确；对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立，故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误. 故选：BC . 【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．5．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确. 【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=；当0x <时，1ln f x x x x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=， A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时，因为()()120f x f x +=，所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ，因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >，同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确，故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.6．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+的最大值为2.【答案】ACD【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2tθθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=，对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误；对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值2，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.7．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =- 【答案】AB 【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，由函数()ln x f x x =，可得()21ln xfx x -'=，所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-，且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方；又由函数()1x g x e-=，可得()1e0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =，此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合；设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ，根据导数的几何意义，可得切线的斜率为021ln x k x -=，又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x e =，所以21ln 12()e k e e -==，可得切线方程为2x y e =，又由直线3xy e=与曲()y f x =相交，故C 不符合；由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，明显不满足，排除D. 故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.8．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立，当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数；此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点；当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <，则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->，故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2ea =-，则()ln 21a -=，当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=，当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为()0,∞+，故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.9．已知()2sin x f x x x π=--.（）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.10．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（） A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+= B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0x C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点 D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点【答案】ABD 【分析】逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】对于A ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，所以(0)1f =，故切点为()0,1，()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '==，故直线方程为()120y x -=-，即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确；对于B ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,xf x e x x π''=->∈-+∞恒成立，所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫'=>⎪⎝⎭，334433cos 0442f e e ππππ--⎛⎫⎛⎫'-=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，即00cos 0xe x +=，则在()0,x π-上，()0f x '<，()f x 单调递减，在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；对于 C 、D ：()sin x f x e a x =+,(),x π∈-+∞，令()sin 0xf x e a x =+=得：1sin x x a e-=，则令sin ()x xF x e=，(),x π∈-+∞，)cos sin 4()xx x x x F x e e π--'==，令()0F x '=，得：4x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈，由函数)4y x π=-图象性质知：52,244x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减，52,2244x k k πππππ⎛⎫∈+++ ⎪⎝⎭)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增，所以当524x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值，即当35,,44x ππ=-时，()F x 取得极小值，又354435sin sin 44eeππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即3544F F ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,又因为在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭，sin ()xx F x e =单调递减，所以343()42F x F e ππ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭，所以24x k ππ=+，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值，即当944x ππ=、，时，()F x 取得极大值. 又9449sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即()442F x F e ππ⎛⎫≤=⎪⎝⎭，当(),x π∈-+∞时，344()22e F x e ππ-≤≤，所以当3412e a π-<-，即34a e π>时， ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；当341e a π-=时，即4a e π=时，1=-y a 与sin x xy e=的图象只有一个交点，即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.。