2010-2011(1)线性代数试卷B卷

一、填空题（5×4=20分）1、设1*,-A A 分别为三阶方阵A 的伴随矩阵和逆矩阵，且A 的三个特征值分别为1,2,2-，则=-1*A A2、设A 为四阶方阵，且2||=A ，把A 按列分块为],,,[4321A A A A A =,其中)4,3,2,1(=j A j 为A 的第j 列，令],54,43,32[4433221A A A A A A A B ---=，则=B3、设________,2)(,25400021121==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b A r b A 则4、设T T T k k k )1,1,1(,)1,1,1(,)1,1,1(321+=+=+=ααα，若3R 中任何一个向量都可由},,{321ααα线性表示，则k 满足条件5、若44⨯A 的4个列向量},,,{4321αααα满足条件0224321=+-+αααα则方程1α=AX 的一个解为 _____________________ 二、选择题（8×3=24分）1、设n 阶行列式ij a D =,ij A 是ij a 的代数余子式,则)(321=∑=k k nk A a(A) D (B) 0 (C)D1(D)难以确定其值 2、设A 为n 阶方阵，且I A =2，则（ ）(A) A 的行列式为1 (B) A 的特征值都是1 (C) A 的秩为n (D)A 一定是对称矩阵 3、下列向量集合中哪个是向量空间（ ）。

(A)},02|],,[{2121R x nx x x x x x V i n n ∈=+++== α (B) },0|],,[{32121R x x x x x x x x V i n n ∈=⋅⋅⋅== α (C) }|],,[{21为整数i T n x x x x V ==α(D) },1|],,[{2121R x x x x x x x V i n T n ∈=+++== α4、设A 为n 阶方阵，B 是A 经过若干次矩阵的初等变换所得到的矩阵，则有（ ） （A ）B A = （B ）B A ≠（C ）若0=A ，则一定有0=B （D ）若0>A ，则一定有0>B 5、n 阶矩阵A 可以对角化的充要条件是( ) （A ）A 有n 个不全相同的特征值； （B ）TA 有n 个全不相同的特征值；（C ）A 有n 个不相同的特征向量；（D ）A 的任一特征值的重数与其线性无关特征向量的个数相同.6、设A 是n 阶方阵，其秩n r <，则在A 的n 个行向量中（ ） （A ）必有r 个行向量线性无关； （B ）任意r 个行向量线性无关；（C ）任意r 个行向量都构成极大无关向量组；（D ）任意一个行向量都可以由其余1-r 个行向量线性表示。

7、设B A ,为n 阶方阵, A 相似于B ，则有（ ）（A ） )()(B I A I -=-λλ； （B ）A 和B 有相同的特征向量；（C ）A 和B 相似于同一对角阵；（D ）对任意常数t ,)()(B I t A I t -=-。

8、设B A ,为n 阶方阵，则下列结论成立的是（ ）（A ）0||0||=⇔=A AB 或0||=B ； （B ）O A A =⇔=0||；（C ）OA O AB ≠⇔≠且O B ≠； （D ）1||=⇔=A I A 。

三、判断题(5×2=10分)1、若一个n 阶行列式D 中为零的元素超过n n -2个，则0=D 。

（ ）2、任何一个向量组都有极大无关组。

（ ）3、如果n 阶方阵A 的n 个特征值全为0，则A 一定为零矩阵。

（ ）4、方阵A 的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量。

（ ）5、设C B A ,,为n 阶方阵，若I ABC =，则111---=A B C 。

（ ）四、计算与证明题(46分) 1、（6分）计算行列式yy x x D -+-+=1111111111111111。

2、（8分）设3阶方阵B A ,满足关系式BA A BA A +=-61，且,710004100031⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A 求.B3、（6分）设I A 23=, 证明I A 2+可逆,并求1)2(-+I A 。

4、（8分）设,]0231[1T ，，，=α,]31407[2T ，，，=α,]1012[3T ，，，-=α,]1,412[,]2,615[54T T ，，，，-==αα 求该向量组的秩和一个极大线性无关组，且把其它的向量用极大无关组线性表示。

5、（8分）求下列方程组的通解 (用基础解系表示)⎪⎩⎪⎨⎧=----=+-+-=-+-174952431132542143214321x x x x x x x x x x x6、（10分）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111ξ是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2135212b a A 的一个特征向量，(1)试确定参数b a ,以及特征向量ξ所对应的特征值； (2)问矩阵A 能否相似于对角阵，说明理由。

一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）1. 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=*8030010000100001A ，则A ＝ 2 .2. A 为n 阶方阵,T AA =E 且=+<E A A 则,0 0 .3．设方阵12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵，且AB=O ，则=t -3 .4. 设向量组m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组,,,,21m ααα β 的秩为 m +1 .5．设A 为实对称阵，且|A |≠0，则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x =____y 1-A __ ．６．设3R 的两组基为()T11,1,1a =，()21,0,1a T =-，()31,0,1a T=；T 1(1,2,1,)=β,()()232,3,4,3,4,3ββ==T T，则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡矩阵P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---101010432．二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. 设n D 为n 阶行列式，则n D ＝0的必要条件是[ D ].(A) n D 中有两行元素对应成比例； (B) n D 中各行元素之和为零； (C)n D 中有一行元素全为零；(D)以n D 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．2．若向量组α，β，γ 线性无关，α，β，σ 线性相关，则[ C ].(A) α必可由β，γ，σ 线性表示. (B) β必可由α，γ，σ 线性表示.(C) σ必可由β，γ，α 线性表示. (D) γ必可由β，α，σ 线性表示.３．设3阶方阵A 有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P 1，P 2，P 3，令P ＝(P 1，P 2，P 3)，则P －1AP ＝[ B ].(A)100010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (B) 000010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (C) 000010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－；(D)100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－． ４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ D ]．（A ）α1，α2，α3 - α1； （B ）α1，α1+α2，α1+α3； （C ）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （D ）α1-α2，α2-α3，α3-α1. ５．若矩阵43⨯A 有一个3阶子式不为0，则[ C ].（A ）Ｒ(A )=1； （B ） Ｒ(A )=2； （C ） Ｒ(A )=3；（D ） Ｒ(A )=4 ． ６．实二次型f ＝x 'Ax 为正定的充分必要条件是 [ A ]． (A) A 的特征值全大于零； (B) A 的负惯性指数为零； (C) |A | > 0 ； (D) R (A ) = n .三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分） 1.求112233101100110011b b b D b b b --=----的值解：1112222333331001001000100100101.011001001001101101b b b b b b D b b b b b b ====------ ２. 求向量组)4,1,1,1(1=α,)5,3,1,2(2=α,)2,3,1,1(3--=α,)6,5,1,3(4=α的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.解：极大无关组12,αα，12332ααα-=，1242ααα-=.３.设A 、P 均为3阶矩阵，且T 100010,000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP=若 P =(α1,α2,α3),Q =(α1+α2,α2,α3),求Q T AQ ．解：由于Q =(α1+α2,α2,α3)= (α1,α2,α3) 100100110110,001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 于是Q T AQ =TT 100100110100110110010110001001001001⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭ P A P P AP 110100100210010010110110.001000001000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4．设A 是n 阶实对称矩阵，O A A =+22，若)0()(n k k R <<=A ，求E A 3+.解: 由O A A =+22知, A 的特征值-2或0,又)0()(n k k R <<=A ,且A 是n 阶实对称矩阵,则22~00-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A (k 个-2)，故E A 3+3n k -=．5.设矩阵22082006a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A=相似于对角矩阵Λ，求a . 解： 由|A -λE |=0，得A 的三个特征值λ1=λ2=6，λ3= -2.由于A 相似于对角矩阵，R （A -6E ）=1，即42021084~00000000a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 显然，当a =0时，R （A-6E ）=1，A 的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量．四、（本题满分10分）对线性方程组23112131231222322313233323142434.x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，(1) 若4321,,,a a a a 两两不等，问方程组是否有解，为什么？ (2)若b a a ==31, b a a -==42 (b ≠0)，且已知方程的两个解T 1(1,1,1)=-ξ, T 2(1,1,1)=-ξ，试给出方程组的通解．解：（1）0))()()()()((111134241423131234244332333222231211≠------=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，()()R R ≠ A b A ，无解．（2）2)(=A R ，3=n ，故通解21121()01,()21k k k -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x ξξξR ．五、（本题满分8分）设二次曲面的方程122=++byz xz axy ）0>a 经正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，化成12222=-+ζηξ，求a 、b 的值及正交矩阵Q .解：设0120210aab b⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，由0,20-=+=A E A E 知1,2-==b a ． 当1λ=时，111111111~000111000---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A E ，t )0,1,1(1=ξ，T )2,1,1(2-=ξ当2λ=-时，1012~011000⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A E T3(1,1,1).=-ξ故正交阵0=⎢⎢⎣Q .六、（本题满分6分）设A 为n 阶实矩阵，α为A 的对应于实特征值λ的特征向量，β为A T 的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交． 证 ：依题意得Aα=λα， A T β=μβ，将Aα=λα的两边转置得，αT A T =λαT ，在上式的两边右乘β得，αT A T β =λαT β，即μαT β=λαT β，亦即（μ-λ）αT β=0，由于λ≠μ，所以αT β=0，故α与β正交．填空题（每题2分,共20分） 1．四阶行列式中的一项11233442a a a a 应取的符号是_______。