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小学数学总复习大全
一、单位换算
1、长度单位
1 公里=1 千米=1000 米 1 米=10 分米 1 分米=10 厘米
1 厘米=10 毫米 1 米=3 尺 1 尺=10 寸 1 寸=10 分
2、面积单位
1 平方公里=1 平方千米=100 公顷=1000000 平方米
1 公顷=10000 平方米 1 公顷=15 亩 1 亩=10000/15 平方米=666.67 平方米
1 平方米=100 平方分米 1 平方分米=100 平方厘米 1 平方厘米=100 平方毫米3、体积单位
1 立方千米=1000000000 立方米（9 个0）
1 立方米=1000 立方分米 1 立方分米=1000 立方厘米 1 立方厘米=1000 立方毫米4、容积单位
1 升=1 立方分米=1000 毫升1 立方分米=1 升 1 立方厘米=1 毫升
5、质量单位
1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克=1 公斤=
2 市斤
1 市斤=0.5 公斤=0.5 千克=500 克 1 市斤=10 两 1 两=50 克
6、人民币单位换算
1 元=10 角 1 角=10 分 1 元=100 分
7、时间换算
1 世纪=100 年 1 年=1
2 月=365 天（平年）\366 天（闰年）
大月（31 天），有：1\3\5\7\8\10\12 月，共7 个月
小月（30 天），有：4\6\9\11 月，共4 个月
2 月：平年28 天闰年29 天
闰年：
a、能被4 整除但不能被100 整除的年份，例2016 年是闰年但1900 年不是闰年；
b、能被400 整除的年份，例如2000 年是闰年。

1 日=24 小时 1 时=60 分=3600 秒 1 分=60 秒
1 日=24 小时=1440 分=86400 秒
注意：在不同单位的数学计算中，必须先换成相同单位然后才能计算。

例如：
（1）7 千克56 克=（）千克
解：56 克=56÷1000=0.056（千克）7 千克56 克=7.056 千克
（2）12 千克45 克=（）克
解：12×1000=12000（克）12000+45=12045（克）
注：因克到千克是千进位，小单位（克）数换大单位（千克）数小数点向左移 3 位，例如56 克=0.056 千克；大单位（千克）数换小单位（克）数小数点向右移3 位，例如12 千克=12000 克。

（3）8 元7 角5 分=（）元
解：7 角=0.7 元 5 分=0.05 元8 元7 角5 分=8+0.7+0.05=8.75（元）
（4）8 米9 分米6 厘米=（）米
解：9 分米=0.9 米 6 厘米=0.06 米
8 米9 分米6 厘米=8+0.9+0.06=8.96（米）
二、概念
1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。

1+2=2+1=3
加数+加数=和和-加数=另一个加数
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，再与第三个数相加，和不变。

(1+2)+3=1+(2+3)=6
3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。

2×5=5×2=10
因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数2×3=6 6÷2=3
4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，再与第三个数相乘，积不变。

(2×3)×4=6×4=24 2×(3×4)=2×12=24
5、乘法分配律：两数的和与另一个数相乘（或者一个数与另外两个数的和相乘），可以把两个数分别与另一
个数相乘，再把两个积相加，结果不变。

(2+3)×5=5×5=25=2×5+3×5=10+15=25 5×(2+3)=5×2+5×3=10+15=25
6、除法的性质：
(1)在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。

24÷6=4=(24×2)÷(6×2)=48÷12=4=(24÷3)÷(6÷3)=8÷2=4
注：除法的这个性质是分数通分或分数约分的基础。

(2)0 不能做除数
(3)0 除以任何不为0 的数都得0
(4)被除数、除数、商之间的关系：
被除数÷除数=商被除数÷商=除数除数×商=被除数
7、自然数：用来表示物体个数的整数叫自然数。

自然数包括0 和正整数：0、1、2、3、4、5、6、7、8……
8、偶数和奇数：能被2 整除的数叫偶数。

不能被2 整除的数叫奇数。

偶数序列：0、2、4、6、8、10……
奇数序列：1、3、5、7、9、11……
9、质数（素数）：一个数如果只能被1 和它本身整除，这样的数叫质数（或素数）。

最小的质数是2，也是质数中唯一的偶数。

质数序列：2、3、5、7、11、13、17、19、23……
除了 2 以外的质数都是奇数。

10、合数：一个数如果除了1 和它本身外还能被其它数整除（还有其它的因数），这个数就叫合数。

合数与质数是两个相对立的概念（即：是合数就不是质数，反之是质数就不是合数）。

4 是最小的合数。

合数序列：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18……
1 既不是质数也不是合数。

质数序列加上合数序列加上 1 是正整数序列，再加上0 就是整数序列。

11、公倍数与最小公倍数：
公倍数：一个数是另外几个数的倍数，这个数就是它们的公倍数。

例如60 是2、3、5 的倍数，那么60 就是2、3、5 的公倍数。

2、3、5 的公倍数有30、60、90、120、150……
最小公倍数：在几个数的公倍数中最小的一个就是它们的最小公倍数。

例如30 是2、3、5 的最小公倍数。

注：在几个分数通分时，我们应该找分母的最小公倍数。

12、公约数与最大公约数：
公约数：几个数都能被同一个数整除（也就是说这几个数都有同一个因子），这个共同的因子就叫这几
个数的公约数。

例如24、48、96 都能被2 整除，2 就是24、48、96 的公约数。

24、48、96 的公约数还有
3、4、6、8、12、24。

最大公约数：在几个数的公约数中最大的一个叫最大公约数。

例如24、48、96 的最大公约数是24。

注：在分数约分时我们应该找最大公约数进行约分。

13、需要记住能整除的几个情况：
①偶数都能被2 整除；
②各位数字之和能被3 整除，该数就能被3 整除；
③最后两位数能被4 整除，该数就能被4 整除；最后三位数能被8 整除，该数就能被8 整除；
④尾数是0 或5 的数能被5 整除；尾数是00 或25 或50 或75 的数能被25 整除；
⑤各位数字之和能被6 整除，该数就能被6 整除。

或者能被3 整除的偶数就能被6 整除；
⑥各位数字之和能被9 整除，该数就能被9 整除；
⑦奇数位数字之和与偶数位数字之和相等，或者它们的差是11 的倍数，该数就能被11 整除，例如
3003、803、4070506 等。

⑧一个数分别能被两个或多个互质的数整除，那么一定能被这些互质数的积整除，例如60 能被2、3、5 整除，一定能被它们的积30 整除。

14、互质数：公约数只有1 的两个或两个以上的数叫互质数。

例如3 和5 是互质数，5、6、7 是互质数，11、12、17 是互质数等等。

注：互质数在我们找最大公约数和最小公倍数时都有作用。

如果两个数互质，它们的最小公倍数就是它们
的乘积。

如果分数的分子与分母互质，那么它们的最大公约数就是1，或者说我们约分要约到分子分母互质为
止。

15、小数：含有小数点的数，例如1.2、3.14、0.618 等等。

小数各位的名称有：……百位十位个位.十分位
百分位千分位……
16、循环小数：一个小数，从小数的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断重复出现，这样的小数叫做
循环小数。

例如2.141414……，可以用循环节表示为2.1
4 。

注：7 做除数时的特殊循环节：循环取142857，
1÷7= 0.1 42857 ，2÷7= 0.2 85714 ，3÷7= 0.4 28571
4÷7= 0.5 71428 ，5÷7= 0.7 14285 ，6÷7= 0.8 57142
17、不循环小数：一个小数，从小数起，没有一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做不循环小数。

例如含9 位小数的圆周率的近似值 3.141592654 是不循环小数。

18、无限不循环小数：一个小数，从小数起到无限位数，没有一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做无限不循环小数。

例如圆周率3.14159265358979……
19、分数：把单位1 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。

3 2 5
20、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。

如，，等。

5 9 11
21、假分数：分子比分母大或者分子与分母相等的分数叫假分数。

假分数都是大于或等于1 的数。

如
3 5 7
，，等。

2 3 7
22、带分数：把假分数写成整数跟真分数的形式叫带分数。

23
= 3
2 7 7
23、分数的基本性质：分数的分子和分母同乘以或同除以一个不为0 的数，分数值不变。

因为分数其实就是分子除以分母，分数的基本性质其实就是除法的基本性质（被除数和除数同乘以或同除以一个不为0 的数，值不变）。

这个基本性质是分数通分或约分的基础。

24、通分：把不同分母的分数化成同分母的分数叫通分，方法就是找分母的最小公倍数作为共同分母，每个分数分子分母同乘以一个数，将分母化成该共同分母。

25、约分：把一个分数化成同它相等，但分子分母都比较小的分数叫约分。

方法是，分子分母同除以它们的最大公约数。

26、最简分数：分子、分母是互质数的分数，叫最简分数。

分数计算结果必须化成最简分数。

27、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只需把分子相加减，分母不变。

不同分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

2 +1 =2+1 =
3
4 -3 =4-3 =1
5 5 5 5 7 7 7 7
1 +
2 =1⨯5+2⨯
3 = 5+6 =11
3 5 3⨯5 5⨯3 15 15
3 - 1 =3⨯5 - 1⨯
4 =15-4 =11
4 5 4⨯5 5⨯4 20 20
28、分数比较大小
分数比较大小的原理：
①分母相同，分子大的分数值大(每份大小相同，份数多的大)
1
②分子相同，分母大的分数值小 (份数相同，分母大每份小，分数值小) 分数比较大小的方法：
(1)同分母的分数比较大小：分子大分数值大，分子小分数值小。

(2)不同分母的分数比较大小：先通分，然后比较大小。

(3) 分子相同，分母大分数值小，分母小分数值大。

(4) 特殊情况 1：当分子都比较小时，可以将分子变成相同(两分数分别将分子分母同乘一个数)再进行比较。

(5)特殊情况 2：当分子分母接近(即真分数的分数值接近 1)时可以比较他们与 1 的差的大小间接比较它们的 大小(这时差的分子都比较小好比较。

差小的原分数更接近 1，其分数值大)。

推广的情况：当分数值接近 1/2 时，也可以比较它们与 1/2 的差。

29、分数乘整数：分数的分子乘以整数做分子，分母不变。

注意：①如果整数可以与分母约分，应先约分，然后再将分子与约分后的整数相乘做分子。

②分数乘整数的结果往往分子大于分母，一般应化为带分数，如果接着做乘除法就不用化成带分数。

3 ⨯ 2 = 3 ⨯ 2 = 6 1
4 ⨯
5 = 7 ⨯ 5 = 35 = 5 5 7 7 7 12
6 6 6
30、分数乘分数：分子乘分子（做分子），分母乘分母（做分母），可以约分的应先约分然后再作分数乘法。

3 ⨯
4 = 3 ⨯ 4 = 12 3 ⨯
5 = 1 ⨯ 1 = 1 5 7 5 ⨯ 7 35 10
6 2 2 4
31、分数除以整数（0 除外）：等于分数乘以整数的倒数。

3 ÷ 2 = 3 ⨯ 1 = 3 7 7 2 14
32、分数除以分数：等于作为被除数的分数乘以作为除数的分数的倒数。

3 ÷ 2 = 3 ⨯ 5 = 15 = 1 1 7 5 7 2 1
4 14
总结 31 和 32，可以说：任何一个数除以另一个不为 0 的数都等于一个数乘以另一个数的倒数。

3 ÷ 2 = 3 ⨯ 1 = 3 = 1.5 3 ÷ 2 = 3 ⨯ 1 = 3
例如：
2 2 7 7 2 14
3 ÷ 7 = 3 ⨯ 2 = 6 3 ÷ 2 = 3 ⨯ 5 = 15 = 1 2 7 7 7 5 7 2 1
4 14
33、百分数：分母为 100 的分数，其作用是：表示一个数是另一个数的百分之几。

百分数又叫百分率或百分
比，是非常常用的一种数。

34、百分数与小数互换
(1) 小数化成百分数：只需将小数点向右移动两位，同时在小数后面加上百分号即可。

例如 0.345=34.5% (2) 百分数化成小数：只需将小数点向左移动两位，同时去掉百分号即可。

例如 123.456%=1.23456
35、百分数与分数互换
(1) 分数化成百分数：因为小数很容易化成百分数，可以先将分数化成小数（做除法即可，除不尽的要确定
保留几位小数），然后直接写成百分数。

例如3
= 0.6 = 60% 5 ，
数）
(2)百分数化成分数2
≈ 0.2222 = 22.22% 9
a、无小数的百分数：直接写成分数，然后约分成最简分数，例如20%=20 =1
100 5
b、有小数的百分数：扩大分子分母使分子无小数，然后约分成最简分数，例如20.25%= 2025 =81
10
36、等式：表示两个数值相等的式子叫等式。

例如2= 5
10000 400
37、代数式：含有用字母表示数的式子，例如a+b，3a-2b（3a 表示3×a），字母表示数叫“代数”。

38、方程式：含有未知数的等式叫方程式，例如x+3=7，x+y=8 等。

39、一元一次方程（式）：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1（即不含
x
x2、x3……，x2=x×x，x3=x×x×x）的方程式。

例如3x+5=9，2x- +3=7 等等。

5
40、解化一简元方一程次，方最程后的得方到法未：知利数用的等值式。

两边同加、同减任何数，同乘、同除一个不为零的数方程不变的原理，
41、比：两个数相除就叫做两个数的比，如2÷5=2:5=
2
5
所以，两个数相除有三种表达形式：除、比、分数。

比的表达形式为前项：后项
由于是除法的表达形式，因此有性质：比的前项和后项同时乘以或除以一个不为0 的数，比值不变。

42、比例：表示两个比相等的式子叫做比例。

例如3:5=6:10
由于有两个前项和两个后项，把与等号相邻的两项叫做内项，另外两项叫做外项。

比例的基本性质：两内项之积与两外项之积相等。

例如3:5=6:10 中，5×6=3×10=30
43、解比例。

如果比例的四个项中有一项是未知数（或有一项中包含未知数），求出这个未知数就叫解比例（实际是解特殊的一元一次方程）。

方法是：利用比例的基本性质化简方程，然后求出未知数。

例如：3:x=5:7 5x=21 x=21÷5 x=4.2
44、正比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量相对应的比值（也就是商）
一定，这两个量就叫做成正比例的量。

他们的关系就叫做正比例关系。

y
=k
例如：y：x=k 或x或y=kx（k 一定），y 与x 成正比例；10÷2=5, 5 一定，(10×5)÷(2×5)=50÷10=5，
因此，在比值为5 一定的情况下，10 与2 成正比。

45、反比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量相对应的积一定，这两个量就叫做成反比例的量。

他们的关系就叫做反比例关系。

如：x×y =k （k 一定）, x、y 成反比例关系。

在6×8=48 积48 一定的情况下，(6×2)×(8÷2)=12×4=48，6 与8 成反比例关系
46、利息=本金×利率×时间（时间是指计算利息的日数、月数等）
47、利率：利息与本金的比值，一般与时间有关，例如半年、一年、三年…利率都不相同，时间越长利率越高，
（保留四位小
到期计算利息为：利息=本金×利率
如果利率按日计算还要乘以日数，如果利率按月计算还要乘以月数，如果利率按年计算还要乘以年数，等等。

48、年化利率（银行常用的利率）：不是一年但折合成一年的利率。

例如，假定100 天存款的年化利率为3%，利息计算公式为：利息=本金×3%×100÷365
税后利息=本金×利率×时间×(1-5%) （假定税金是利息的5%，也称税率）
三、应用题
(一)、植树问题
1 非封闭路线
(1)两端都要植树
株数=段数+1=全长÷株距+1
全长=段数×株距=(株数-1)×株距
株距=全长÷段数=全长÷(株数-1)
(2)一端植树另一端不植树
株数=段数=全长÷株距
全长=段数×株距=株数×株距
株距=全长÷段数=全长÷株数
(3)两端都不植树
株数=段数-1=全长÷株距-1
全长=段数×株距=(株数+1)×株距
株距=全长÷段数=全长÷(株数+1)
2、封闭路线：同一端植树另一端不植树
株数=段数=全长÷株距
全长=段数×株距=株数×株距
株距=全长÷段数=全长÷株数
以下(二)到(五)参考奥数“行程问题”
(二)相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
(三)追击问题
追击距离=速度差×追击时间
追击时间=追击距离÷速度差
速度差=追击距离÷追击时间
(四)流水问题
1、一般公式
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2
水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2
2、两船相向航行（相遇问题）
两船航行总路程=(甲船顺流速度+乙船逆流速度)×航行时间=(甲船静水速度+乙船静水速度)×航行时间航行时间=两船航行总路程÷(甲船顺流速度+乙船逆流速度)
=两船航行总路程÷(甲船静水速度+乙船静水速度)
3、两船同向航行（追击问题）
追击速度=后船速度-前船速度=后船静水速度-前船静水速度
远离速度=前船速度-后船速度=前船静水速度-后船静水速度
(五)火车(队伍)过桥(或过隧道)问题
过桥路程=桥长+车长=车速×过桥时间
过桥时间=过桥路程÷车速
车速=过桥路程÷过桥时间
(六)数量问题（参考奥数“数量问题”）
1、平均数问题
平均数=总数量÷总份数
总数量=总份数×平均数
总份数=总数量÷平均数
2、归一与归总问题：即求单一量与求总量的问题，有时又叫工程问题。

为求总量往往先要求单一量。

例如要求工厂某车间50 人月生产机器零件的总数（总量），要先求出每人每天生产的零件数（单一量，或叫工作效率）。

(1)一般公式：
总量=单一量×份数
单一量=总量÷份数
份数=总量÷单一量
若是工程问题一般公式为：
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
(2)用假设工作总量为“1”的方法解工程问题
单位时间内完成工作总量的几分之几=1÷工作时间
工作时间=1÷单位时间内完成工作总量的几分之几
(七)浓度问题
溶液的重量=溶质的重量+溶液的重量
浓度=溶质的重量÷溶液的重量×100%
溶质的重量=溶液的重量×浓度
溶液的重量=溶质的重量÷浓度
(八)利润与折扣问题
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=(售出价-成本)÷成本×100%
=(售出价÷成本-1)×100%
涨跌金额=本金×涨跌百分比
折扣=实际售价÷原售价×100%
(因实际售价<原售价,故折扣<100%，折扣数越小越便宜) (九)和差问题
已知条件：①已知两数和②已知两数差
公式：(和+差)÷2=大数(和-差)÷2=小数
注：比较复杂（引申）的问题要画线段图帮助解题。

(十)和倍问题
已知条件：①已知两数和②已知两数的倍数关系
公式：两数和÷(倍数+1)=1 倍数
1 倍数×倍数=几倍数
或和-1 倍数=几倍数
注：比较复杂（引申）的问题要画线段图帮助解题。

(十一)差倍问题
已知条件：①已知两数差②已知两数的倍数关系
公式：两数差÷(倍数-1)=1 倍数
1 倍数×倍数=几倍数
或差+1 倍数=几倍数
注：比较复杂（引申）的问题要画线段图帮助解题。

(十二) 时间、日期与周期
1、时间与日期问题(1)日
期与时间的换算
(2)日期问题：从某天到某天共计天数=末日期-首日期+1
(因为包含两头日期故要加1，两头日期不在同月分开算)
(3)时间问题
时间计算问题有：
经过的时间=结束的时刻-开始的时刻
结束的时刻=开始的时刻+经过的时间
开始的时刻=结束的时刻-经过的时间
2、周期问题
周期问题要了解的是①周期是多少？②出现了多少个周期？③有没有余数？等。

(十三)年龄问题 年龄问题的特点：
1、随着时间的向前或向后，两个人的年龄同时增加或减少相同的数量，因此两个人的年龄差总是不变的。

2、随着时间的向前或向后，两个人的年龄的倍数关系是会改变的。

年龄问题的求解一般都是化成：
①和差问题②和倍问题③差倍问题等来求解。

(十四)鸡兔同笼问题
可引申到租车租船问题、解题得分（答对答错没答分别多少分）问题、飞虫的翅膀和脚问题等等。

鸡兔同笼问题的求解：
方法一：假设法 ①先假定全是鸡（或全是兔）②根据脚数算出误差 ③算出兔数（或鸡数）。

方法二：列方程求解（相对比较简单些） (十五)推理问题（参考奥数） 1、简单推理
简单推理常用方法：
(1) 排除法：在推理的过程中不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论。

(2) 假设法：对可能出现的问题作出假设，然后再根据条件推理①如果结论与条件不矛盾，假设正确②如
果结论与条件矛盾，假设错误。

(3) 反证法：假设命题不成立，然后通过推理出明显矛盾或不可信的结果从而结论为假设不成立，原命题
得证。

(4) 借助线段图、图表等进行分析、推理。

2、逻辑推理：根据某些条件、结论以及它们之间的逻辑关系进行判断、推理，最终找到问题的答案。

逻辑推理的方法：
(1) 直接推理：从已知条件出发，运用简单的逻辑推理，逐步推出正确答案。

(2) 间接推理 ：先假设一个结果，然后根据已知条件和客观规律推出矛盾的结论从而否定假设（反证法）。

(十六)按比例分配问题
1、基础问题
把 20 分成 4 等分，每份是多少？ 20÷4=5（除法，分成 4 等分）
20 的四分之一是多少？ 20× 1
=5（分数，按比例分配， 是多少 ）
1 4
1 数的 4
是 5，这个数是多少？ 5÷ 4
=20（已知部分数求总数） 2、按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。

已知条件： ①已知总量 /部分量 ②用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数或直接给出份数。

求： 几个部分量各是多少 /总量及其他部分量 。

方法：由总份数＝比的各项之和，先把比的各项相加求出总份数，再把各部分量的比转化为各占总量的几分之几（以总份数作分母，比的各项分别作分子）最后按照求一个数的几分之几是多少的方法，分别求出各部分量的值。

有时也可以先求出 1 份是多少然后求出各部分量的值。

如果是已知部分量求总量及其他部分量，也要先求出总份数以及各部分量占总量的几分之几，从部分量及其占比求出总量，最后按其他部分量占几分之几分别求出各部分量的值。

例1、学校把植树560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47 人，二班有48 人，三班有45 人，三个班各植树多少棵？
解法一：
三个班的人数比：47:48:45.
分成的份数：47＋48＋45＝140.
一班栽树棵树：560×(47/140)＝188(棵)
二班栽树棵树：560×(48/140)＝192(棵)
三班栽树棵树：560×(45/140)＝180(棵)
答：一班栽树188 棵；二班栽树180 棵；三班栽树192 棵.
解法二：
总人数：47＋48＋45＝140（人）
平均每人栽树：560÷140=4（棵）
一班栽树：47×4=188（棵）
二班栽树：48×4=192（棵）
三班栽树：45×4=180（棵）
答：一班栽树188 棵；二班栽树180 棵；三班栽树192 棵.
例2：用60 厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。

三条边的长各是多少厘米？
解法一：
总份数：3+4+5=12
60×(3/12)=15（厘米）
60×(4/12)=20（厘米）
60×(5/12)=25（厘米）
答：三条边的长各是15 厘米、20 厘米、25 厘米。

解法二：
总份数：3+4+5=12
每份的长度：60÷12=5（厘米）
第一条：3×5=15（厘米）
第二条：4×5=20（厘米）
第三条：5×5=25（厘米）
答：三条边的长各是15 厘米、20 厘米、25 厘米。

例3：从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。

解：三个儿子分羊数比为：1/2：1/3：1/9=9:6:2
总份数：9+6+2=17
大儿子：17×(9/17)=9（只）
二儿子：17×(6/17)=6（只）
三儿子：17×(2/17)=2（只）
答：大儿子分得9 只羊、二儿子分得6 只羊、三儿子分得2 只羊。

注意：由于三个儿子分总数的比例之和(1/2+1/3+1/9=17/18)不为1，故不能用这些比例求三个儿子
各分多少只羊(结果都不是整数)。

例4 ：某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80 人，三个车间共多少人？
解法一：分析：由题意，第一、二、三车间的人数比为8：12：21，第一车间的人数比第二车间少80 人，这80 人就相当于（12-8）份，由此用80÷（12-8）可求得 1 份是多少人，进而求得三个车间各有多少人．解：
1 份的人数：80÷(12-8)=20(人)，
一车间：20×8=160(人)；
二车间：20×12=240(人)；
三车间：20×21=440(人)；
答：第一车间有160 人，第二车间有240 人，第三车间有440 人。

解法二：
分析：根据“第一、二、三车间人数的比为8：12：21”得出一二三车间的总份数8+12+21=41 份，第一车间人数占总数的8/41，第二车间人数占总数的12/41，把车间总人数看作单位“1”是
未知的，数量80 除以对应分率（12/41-8/41）求出车间总人数，再分别按照总数乘以占比求出各部分量的值。

解：总份数8+12+21=41（份），
总人数：80÷(12/41-8/41)=820（人）；
第一车间人数：820×(8/41)=160（人），
第二车间的人数：820×(12/41)=240（人），
第三车间的人数：820×(21/41)=420（人）；答：
三个车间各有160 人、240 人、420 人。

四、平面图形问题
(一)平面图形的周长与面积
设平面图形的边长为 a、b、c，高为 h，半径为 r，直径为 d，周长为 C，面积为 S
C=πd=2πr
d=2r r=d÷2
C C
d= r= 2
半圆周长 C=πr+d S=πr2=1d2
4
圆环面积= S 大-S 小=πR2-πr2 =π(R2- r2) 1 1
=
4 πD2- 4πd2
= 4(D2- d2)
(二)平面图形总结
1、平面图形：用若干条直线段或曲线段组成的外突的图形叫平面图形（不能内折）
2、平面图形的分类（按由直线段或曲线段组成分）
a、由曲线段组成：圆、椭圆、扇形等
b、由直线段组成：三角形、四边形、五边形…….
(三)各种平面图形知识
1、三角形
(1)三角形的特性：三角形具有稳定性（四边形、五边形……都没有此特性）
(2)三角形的组成：有三个顶点、三条边和三个内角
三角形的内角和：无论什么三角形，其内角和都是180°
(3)三角形分类：
a 按角分：
锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形
直角三角形：有一个内角是直角的三角形
钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形
b 按边长分：
普通三角形
等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的边叫腰，另外一条边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，底边所对的角叫顶角。

等边三角形：三条边都相等的三角形，它的每一个内角都是60°。

(4)三条边能组成三角形的条件：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

因此，当周长确定时，最长边的长度小于周长的一半（因为另一半多是另外两条边的长度之和），最短边的长度大于0（或大于另外两条边之差）。

(5)三角形的边角关系：大角对大边（钝角三角形钝角所对的边最长），小角对小边，等角对等边（等腰三角形两底角相等，等边三角形三底角相等都是60°）。

(6)三角形的高：由一个顶点向对边所作的垂线段。

因此三角形有三条高，在图形内的叫内高，在图形外的叫外高。

锐角三角形的三条高都是内高；直角三角形有一条内高，另外两条高与直角边重合；钝角三角形有一条内高（由钝角顶点所作的高）和两条外高。

2、四边形
(1)四边形的内角和为360°（可以用一条对角线将四边形分成两个三角形每个三角形内角和180°，总的内角和即为360°）
(2)四边形的演变
一般四边形
梯形(有且只有一组对边平行) 长方形(有一个内角是直角) 正方形(邻边相等)
平行四边形(两组对边都平行) 菱形(四条边都相等) (有一个内角是直角)
(3)梯形分类
一般梯形(四条边分别叫上底、下底和两条腰)
直角梯形：有两个内角是直角的梯形
等腰梯形：两腰相等的梯形（是对称图形，四个内角两两相等）
(4)平行四边形的性质：两组对边相互平行且长度相等，对角相等，邻角的和是180°。

(5)菱形的的性质：除了平行四边形的性质外，还有四条边都相等，两对角线相互垂直平分都是图形的对称轴。

3、多边形
(1)多边形内角和，设为n 边形，内角和为(n-2)×180°(可以从一个顶点画所有对角线将n 边形分成n-2 个三角形看出，例如五边形可分成3 个三角形，六边形可分成4 个三角形等等)
因此，三角形、四边形、五边形、六边形……的内角和分别为180°、360°、540°、720°……。