空间中的角终稿

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立体几何第六讲：空间中的角

第六讲：空间中的角（二）二面角一，知识点 1，基本概念1）半平面：当两个平面相交时，我们往往只画起一部分，就像一本翻开的书，我们把其中一部分叫做半平面。

2）二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。

即分别在两个半平面内做交线的垂线，两条射线所成的角为二面角的平面角。

2，范围：],0[π特别：重合为0，共面为π，即相当于把一张纸折叠后的两种极限情况。

3，步骤：一找，二证，三计算4，用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。

二，典型例题与解读求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.1 定义法即在二面角的棱上找一点（特殊点），在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！用定义法时，要认真观察图形的特性。

例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。

jA B CDP H2、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。

3、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例3 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。

空间中的角PPT课件

且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P 3
E
D
A
C
B
2020年10月2日
12
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P
4
Ｆ
A
C
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
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空间的角有哪几种基本形式？
异面直线所成的角
直线与平面所成的角
平面与平面所成的角
2020年10月2日
2
方法：平行平移
a
b
练习：
.O
b1
a1 范围：(0°,90°]
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3
方法：关键是作垂线，找射影
P
O
Q
范围：[0°，90°]
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练习：
4
二面角作法：
方法1：定义方法2：三垂线定理方法3：作垂面
P
2020年10月2日
C
O
B
A
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小

高考数学总复习 9.4空间的角课件人教版

【题后总结】求直线与平面所成角的常用方法：
(1)定义法：关键是找斜线在平面内的射影，找射影的关键是找出过斜足外的点与此平面垂直的直线(或平面)． (2)最小角定理：cos θ＝cos θ1·cos θ2(如图)． (3)向量法：注意向量夹角与线面角的关系．
【活学活用】1.(2012湖北七市联考)如图，在五棱锥 PABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥DE，AE ∥BC，∠ABC＝45° ，AB＝腰三角形． 2 ，BC＝2AE＝2，△PAB是等
(2)建立空间直角坐标系 O－xyz，如图，则 O(0,0,0)，A(0,0,2 3)，C(2,0,0)， D(0,1， 3)， → ＝(0,0,2 3)，CD → ＝(－2,1， 3)， ∴OA → → OA· CD → → ∴cos〈OA，CD〉＝ → → |OA||CD| 6 6 15 → → ＝＝ 4 ，tan〈OA，CD〉＝ 3 2 3· 2 2
1.了解二面角的概念，二面角的概念；二二面角的平面角二面角面角的平面角及范 2.掌握求二面角的平面围，求解与计算角的方法
以棱柱、棱锥、长方体、正方体等为载体求二面角的平面角
一、异面直线所成的角设a、b是异面直线，过空间任一点O分别作两异面直线的平行线a′、b′，则a′、b′所成的不大于直角的角叫 π 做两条异面直线a、b所成的角．其取值范围为 (0，2] ．
长； (2)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； (3)垂线段比任何一条斜线段都短．
2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所
成的角．
直线与平面所成的角分三种情况： (1) 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角； (2)一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角； (3)一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．

第6讲空间的角 202.02.13

第6讲空间的角考点一两条直线成的角（相交直线成的角、异面直线成的角）两条异面直线所成的角的方法：（1）平移法（定义法）：平移两条异面直线中的一条或两条得到两条相交直线，则这两条相交直线的夹角就是这两条异面直线的夹角，角的范围是⎥⎦⎤⎝⎛2,0π，可通过解三角形来求解；（2）向量法：利用公式ba b a b a ··,cos =（3）坐标法：建立适当的直角坐标系，求出异面直线的方向向量a ⃗，b ⃗⃗，利用数量积求解。

例1.直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°变式练习1.1.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（） A ．13 B ．2 C ．3 D ．231.2.在长方体中，AB=AD=1，AA 1=2，C 1M → =2MC →,求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切。

考点二直线与平面成的角【归纳】求直线和平面成的角的方法：（1）定义法找到射影，解直角三角形（2）坐标法（3）距离法例2.如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2BC ，∠ABC=120°. E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，使平面A ′DE ⊥平面BCD ，F 为线段A ′C 的中点。

（1）求证：BF ∥平面A ′DE ；（2）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A ′DE 所成角的大小.变式练习2.已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D 是11A C 的中点，则直线AD 与平面1B DC 所成角的正弦值为考点三二面角【归纳】二面角的求法（1）定义法找到或作出二面角的平面角，解三角形（作、证、指、算），常用到三垂线定理，或者取棱上一点作棱的垂面；（2）向量法找到或求出两个平面的法向量，用数量积求解；111ABC A B C -90BAC ∠=︒1AB AC AA ==1BA 1AC 1111ABCD A B C D -（3）距离法：在二面角的一面内找一点，求出它到另一个面的距离m ，到棱的距离n ，则sin θ=m ：n ；（4）射影面积公式法：在二面角的一个面内的图形（其面积为F ）在另一个面上的射影（面积为F'）,则这两者的面积之比F':F 等于二面角的余弦，即cos θ=F':F（5）三面角的余弦定理：在三面角O-ABC 中，设二面角B-OA-C 的大小为α'，则有 γβγβααsin sin cos cos cos cos '-=例3.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点.(1)证明：直线EE 1//平面FCC 1；(2)求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

空间中的角小结与复习解析

再作其平面角．
A
D
方法２：面积射影定理．
S ' S cos Q
如图所示：四边形ABCD是正方形，PD 平面面ABCD， PD AD，求平面PAD和平面PBC所成的二面角。
P
ED
C
A
B
基础练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点， C
则二面角P-BC-A的平面角为:
空间的角
空间的角有哪几种基本形式？
异面直线直线与平面所成的角所成的角
平面与平面所成的角
方法：平行平移
a
b
a1 O b1
范围：(0°,90°]
方法：作垂线，找射影
P
O
Q
范围：[0°，90°]
求直线与平面所成的角时,应注意的问题: (1)先判断直线与平面的位置关系 (2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤： ①作出或找出斜线上的点到平面的垂线 ②作出或找出斜线在平面上的射影 ③求出斜线段，射影，垂线段的长度 ④解此直角三角形，求出所成角的相应函数值
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
B
2、已知P为二面角 a b 内一点，且P到两个半平面的距离都等
β
B
p
于P到棱的距离的一半，则这个二
面角的度数是多少？
O
Aα
ι
3、（05天津）如图，在棱长为2的正方体ABCD－
A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是
CC1 、AD的中点，则异面直线OE和FD1所成的角的
２．无“棱”二面角的求法方法１：作出二面角的棱，
再作其平面角．
S 方法２：面积射影定理． ' S cos

第17讲空间几何体中的角

第17讲空间几何体中的角知识回顾】1.柱体、锥体、台体的体积公式，，，，球体的表面积和体积公式：V = ； S =2、异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

.注意：角的取值范围：090θ<≤︒；垂直时，异面直线当b a ,900=θ。

【方法】①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”，作另一条直线平行线 .②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系。

3、直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角。

注意：角的取值范围：︒︒≤≤900θ。

【方法】求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影，为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线，作垂线的方法常采用；①利用平面垂直的性质找平面的垂线。

②点的射影在面内的特殊位置。

4、两个半平面所成的角即二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

注意：二面角的取值范围：︒︒≤≤1800θ用射影面积法求二面角：已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为'S ，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则SS 'cos =θ.证明：如图，平面β内的△ABC 在平面α的射影为△BC A '，作BC AD ⊥于D ，连结AD.（略）V Sh =柱13V Sh =锥'1()3V S S h =台2V Sh r h π==圆柱h r V 231π=圆锥'2211()()33V S S h r rR R hπ=+=++圆台球343R π球面24R π典型考题精讲】1.平面α内的∠MON ＝60°，PO 是α的斜线，PO ＝3，∠POM ＝∠PON ＝45°，那么点P 到平面α的距离是( ) A.3 B.334C.32D.332.正三棱锥P —ABC 中三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a ，则点P 到平面ABC 的距离为( ) A ．a B.22a C.33a D.3a 3.如图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1.若二面角C —AB —C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________．4.已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，沿对角线BD 将△ABD 折起，使二面角A —BD —C 为120°，则点A 到△BCD 所在平面的距离等于________．5.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC . (1)求证：PC ⊥AB ；(2)求二面角B －AP －C 的大小；6.如图, 已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形, SD ⊥面AC, SB = 3.(1) 求证:BC ⊥SC;(2) 求面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小;(3) 设棱SA 的中点为M, 求异面直线DM 与SB 所成的角的大小.7.在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC ⊥AD ；(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值；8.如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝１，AD ＝21．(1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．9.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD . （1）证明：AD ⊥平面PAB （2）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（3）求二面角P —BD —A 的余弦值.10.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90ABC ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角A —PC —D 的余弦值.PA DB。

9.7 空间中的角

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5. 选讲三垂线定理：如果平面内的一条直线与这个平面的
空间中的角
高考通鉴小试牛刀知识整合精例剖析反思小结经典回眸
题型1
直线与直线所成的角
例1.在棱长为a的正方体ABCD A1 B1C1 D1中, 求异面直线BA1与AC所成的角.
1. 求空间角一般是依照定义找到或作出
45 a, 侧棱与底面所成的角为 _______ ,侧面与底面所成 2 的锐二面角的平面角的正切值为 _______ .
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空间中的角
高考通鉴小试牛刀知识整合精例剖析反思小结经典回眸
1.射影：自一点P向平面引垂线，垂足P叫做P在平面
内的正射影简称射影 ,PP的长度称点P到平面的距
离,图形F 上的所有点在平面上的射影构成的图形f , 叫做图形F 在平面上的射影. 2.平面的斜线：如果直线m与平面相交又不垂直, 则直线m叫做平面的斜线，交点称为斜足. 3.斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面
上的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角平面的 .
垂线与平面所成的角为90 ,而直线在平面内或直线与平面平行,此直线与平面所成的角为0.任意直线与一个平面所成的角的取值范围为［0 ,90］ .
所以DE 2 ND,
2 可知E为BC的中点，所以EM . 4 3 2 又DE 1 b 2 , 2 EM 2 故D E与平面PQGH 所成角的正弦值为 . D E 6
2 2 即 2 1 b 2 2
1 1 b 2，解得b . 2
所求的角,再通过三角形完成计算.
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空间中的角
方法一
高考通鉴小试牛刀知识整合精例剖析反思小结经典回眸

《立体几何》微专题2 空间的角

线 a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a，b 所成的角．范围异面直线所成的角 θ 的取值范围：(0,π2] ；空间中两条直线的夹角范围：[0,π2]．如图 1 所示, 正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，由 AA1∥BB1 可知，异面直线 AA1 与 B1C 所成的角，可转化为 BB1 与 B1C 所成的角，即∠BB1C.
《立体几何》微专题 2 空间的角
一、内容解析《立体几何》空间的角主要包括：两条相交直线所成的角、两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角所成的平面角． 1. 所成角的定义（1）两条相交直线所成的角定义平面上两条直线相交时构成两组对顶角．我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两
条相交直线的夹角．规定如果两条直线平行或重合，它们的夹角为 0．范围两条相交直线的夹角范围：(0,π2]；共面两条直线的夹角范围：[0,π2]．（2）两条异面直线所成的角定义 a 与 b 是异面直线，经过空间任意一点 O，作直线 a'∥a，b'∥b，我们把直
5． 5
法二（补形平移），如图 3-2，右边补一个正方体，易得 EC1∥BD1，连接 A1E，则
∠A1C1E 为所求角，解三角形即可．
D1 A1
C1
D1
C1
O1
B1
A1
B1
D1 A1
C1 B1
F1 E1
D
A
图3
C
D
A B
图 3-1
M C
B
D A
C B
图 3-2
F E
题型二、求直线与平面所成角问题
例题 2 如图 4，在四棱锥 S-ABCD 中，AB//CD， BC⊥CD，侧面 SAB 为等边三角形，

g3.1065空间的角

g3.1065空间的角一．知识回顾：1．异面直线,a b 所成角的定义：． 2．直线与平面所成角θ：（1）直线与平面平行或直线在平面内，则θ= ．（2）直线与平面垂直，则θ= ．（3）直线是平面的斜线，则θ定义为．3．最小角定理：． 4．二面角的概念：． 5．二面角的平面角：．6．求二面角平面角大小的一般方法：．二．基础训练：1．二面角l αβ--内有一点P ，若P 到平面,αβ的距离分别是5,8，且P 在平面,αβ的内的射影的距离为7，则二面角l αβ--的度数是（ C ）()A 30 ()B 60()C 120()D 1502．已知,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,BC CC 的中点，则截面1AEFD 与底面ABCD 所成二面角的正弦值是（ C ）()A 32()B 32()C 35 ()D 3223．对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题：DECBA ，这个命题的真假性是．4．在四面体ABCD 中，,,AB BC BD 两两垂直，且2AB BC ==，E 是AC 中点，异面直线,AD BE 所成的角为10arccos，则二面角D AC B --的大小为．三．例题分析：例1. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，90ABC BCD ∠=∠=，2AB BC PB PC CD ====，侧面PBC ⊥底面ABCD ．（1）PA 与BD 是否相互垂直，请证明你的结论；（2）求二面角P BD C --的大小；（3）求证：平面PAD ⊥平面PAB ．解：（1）PA 与BD 相互垂直.证明如下：取BC 的中点O ，连结AO ，交BD 于点E ；连结PO ． ∵PB PC =，∴PO BC ⊥．又∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD BC =，∴PO ⊥平面ABCD ．在梯形ABCD 中，可得Rt ABO Rt BCD ∆≅∆，∴90BEO OAB DBA DBC DBA ∠=∠+∠=∠+∠=，即AO BD ⊥， ∴PA BD ⊥ ．（2）连结PE ，由PO ⊥平面ABCD ，AO BD ⊥，可得PE BD ⊥， ∴PEO ∠为二面角P BD C --的平面角，设22AB BC PB PC CD a =====，则在Rt PEO ∆中，53,,PO a OE a ==.15tan ==∠EOPOPEO ∴二面角P BD C --为arctan 15 ．（3）取PB 的中点N ，连结CN ，由题意知：平面PBC ⊥平面PAB ，则同“（1）”可得CN ⊥平面PAB ．取PA 的中点M ，连结,DM MN ，则由////MN AB CD ，12MN AB CD ==，得四边形MNCD 为平行四边形. ∴//CN DM ， ∴DM ⊥平面PAB ．∴平面PAD ⊥平面PAB ．解答二：取BC 的中点O ，由侧面PBC ⊥底面ABCD ，PBC ∆是等边三角形，得PO ⊥底面ABCD ．以O 为原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，设1CD =，则在直角梯形中，2AB BC ==，在等边三角形PBC 中，3PO =．∴(1,2,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,3)A B D P ---).3,2,1(),0,1,2(--=--=PA BD（1）PA 与BD 相互垂直.证明如下：∵,0)3(0)2()1(1)2(=-⨯+-⨯-+⨯-=⋅PA BD ∴,PA BD PA BD ⊥⊥．（2）连结AO ，设AO 与BD 相交于点E ；连结PE ．由,000)1()2()2(1=⨯+-⨯-+-⨯=⋅BD OA 得,OA BD AO BD ⊥⊥即．又∵AO 为PA 在平面ABCD 内的射影，∴PE BD ⊥，PEO ∠为二面角P BD C --的平面角．在Rt BEO ∆中，5sin 5OE OB OBE =∠=．在Rt PEO ∆中，tan 15POPEO OE∠==．· BP AC D ACDB O H ·∴二面角PBD C --为（3）取PA 的中点M，连结DM ，则M 的坐标为1(,1,22-．又3(2DM =，(1,0,PB =，∴310(2)(02DM PA ⋅=⨯+⨯-+= 3100(02DM PB ⋅=⨯+⨯+=．∴,,,DM PA DM PB DM PA DM PB ⊥⊥⊥⊥即 ∴DM ⊥平面PAB ． ∴平面PAD ⊥平面PAB ．小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．例2.在060的二面角βα--l 中，βα∈∈B A ,，已知A 、B 到l 的距离分别是2和4，且10=AB ，A 、B 在l 的射影分别为C 、D ，求：（1）CD 的长度；（2）AB 和棱l 所成的角．例3.棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，且14CC CP =．（Ⅰ）求直线AP 与平面11BCC B 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设O 点在平面1D AP 上的射影是H ，求证：1D H AP ⊥．例4. 在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，23SA SC ==，,M N分别是,AB SB 的中点．（1）证明AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --的大小；（3）求点B 到平面CMN 的距离．例5. 如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1的长为a ，底面ABCD 是边长AB =2a ，BC =a 的矩形，又E是C 1D 1的中点；（1）CE 与BD 1所成角的余弦值；（2）求证：平面BCE ⊥平面BDE ；（3）求二面角B －DC 1－C 的平面角的大小四、作业同步练习g3.1065空间的角3．过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，若PA AB =，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是（）()A 30()B 45()C 60 ()D 904．已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为θ，那么θ的取值范围（）()A ︒<<︒18060θ ()B ︒<60θ()C ︒>90θ()D ︒>90θ或︒<60θDAC A 1B 1C 1D 1BEDECBA5．在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，D 在1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AAC C 所成的角为α，则α=（）()A 13()B 4π ()C 10arcsin()D 6arcsin6．一直线和直二面角的两个面所成的角分别是,αβ，则αβ+的范围是（）()A [,)2ππ()B [0,)2π()C (0,]2π()D [0,]2π7．已知AB 是两条异面直线,AC BD 的公垂线段，1,10,301AB AC BD CD ====，则,AC BD 所成的角为．8．在四面体ABCD 中，,,AB BC BD 两两垂直，且2AB BC ==，E 是AC 中点，异面直线,AD BE 所成的角为10arccos，则二面角D AC B --的大小为．9.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 中点，作EF PB ⊥交PB 于F ．（1）证明//PA 平面EDB ：（2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C PB D --的大小．10.如图直四棱柱 1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，设090=∠=∠ABC BAD ，2,8BC AD ==,异面直线1AC 与D A 1互相垂直，（1）求证：D A 1⊥平面B AC 1；（2）求侧棱1AA 的长；（3）已知4AB =，求D A 1与平面11B ADC 所成的角．D 1C 1B 1A DCB A。

数学必修二空间中的角

平面 ABB1A1 所成角的余弦值为（）
5
A．
6 3
如图，
B．
2 2
C．
3 3
D．
1 3
直线
EF
与平面
ABB1A1 所成的角等于直线
)
A． 30 答案： D
B． 45
C． 60
D． 90
<承接>
平移其中一条直线即可得到平面角
例 2．直三棱柱 ABC A1B1C1 中，若 BAC 90, AB AC AA1 ，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于（）
A． 30
B． 45
C． 60
D． 90
B
A
C
B1
A1
C1
<板书演示> 第一步：如图所示,连接 AB1 ,设 AB1 A1B O ,过点 O 作 OD∥A1D OD∥AC1 交 B1C1 于点 D ,连接 A1D ,
练 2．如图，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 2 的正方形， PD 底面 ABCD ， PD CD ， E 为 PB 的中
2
点．求异面直线 PA 与 DE 所成的角.
<板书演示>
取 AB 中点 G ，连接 EG ，连接 DG ，
∵ E 为 PB 的中点， G 是 AB 中点，根据中位线定义，所以 EG PA
∴ DEG 为所求的角。
由 BD 2 2 ，则 PD 2 ，则 PB 2 3
∴
DE
1 2
PB
3,
EG
1 2
PA
2
在 RtADG 中， DG AD2 AG2 5
在 DG2 DE2 EG2,
∴ DEG 90o 中所以异面直线所成角为 90o

专题10空间中的位置关系与夹角问题11月19日终稿

专题10空间中的位置关系与夹角问题知识点一直线与直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点异面直线的公垂线定义:同时和两条异面直线垂直相交的直线，叫做异面直线的公垂线. 知识点二平行与垂直的判定及性质 1．平行的判定文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行．性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行2．垂直的判定（一）直线和平面垂直的定义直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面【例 1】已知a ，b 为异面直线.对空间中任意一点P ,存在过点P 的直线（）. A. 与a ，b 都相交 B. 与a ，b 都垂直 C. 与a 平行, 与b 垂直 D. 与a ，b 都平行【例 2】(青羊区校级模拟)在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =，112CF CC =，则（） A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面 B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交 C ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 异面D ．1DE AF =，且直线1D E ，AF 相交【例3】(翠屏区校级月考)已知α，β是两个不重合的平面，直线a α⊂，:p a β∥，:q αβ∥，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例4】(2018•浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】(2021•浙江卷)如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（） A ．直线1A D 与直线1D B 垂直，直线MN ∥平面ABCDB ．直线【解析】由αβ∥，直线a α⊂，可得a β∥，反之不成立，α与β可能相交．p ∴是q 的必要不充分条件．故选：B ．1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B C ．直线1A D 与直线1D B 相交，直线MN ∥平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B【例6】(2021•新高考Ⅱ卷)如图，下列正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点，则满足MN OP ⊥的是（）A ．B ．C ．D ．【例7】(青岛二模)已知正方体1111ABCD A B C D -，动点P 在线段BD 上，则下述正确的是（） A ．11PC AD ∥ B ．11PC AC ⊥ C ．1PC ⊥平面1A BDD ．1PC ∥平面11AB D【解题总结】几个常用的结论：（1）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；（2）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；（3）垂直于同一平面的两条直线互相平行；（4）垂直于同一直线的两个平面互相平行．（5）此类判断题要警惕“线在面内”的特殊情况．【例8】(金东区校级期中)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，122AB BC BB ===，90ABC ∠=︒，D 为BC 的中点．求证：1A B ∥平面1ADC ；【例9】(沙坪坝区校级模拟)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为4的等边三角形，D 是BC 的中点，123C D =．（1）求证：1A B ∥平面1AC D ；【例10】在正方体1111ABCD A B C D -中, E 是AB 的中点,点F 在1CC 上, 且12CF FC =. 若点P 是侧面11AA D D 上一动点,且1PB ∥平面DEF , 则tan ABP ∠的取值范围是．【例11】(日照一模)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，AD DC ⊥，PA AB ⊥，12BC CD AD ==，E 是边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成角为2π．（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；【例12】(鹤壁模拟)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABC 是边长为2的等边三角形．AD ⊥底面ABC ，AD BE CF ∥∥，4AD =，3CF =，45DAE ∠=︒．（1）证明：AE DF ⊥；【例13】(2022•全国甲卷)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//CD AB ，1AD DC CB ===，2AB =，3DP（1）证明：BD PA ⊥；【解题总结】线面与面面垂直的题型最终都归结在线线垂直的证明，而显现垂直的思路可总结为：证明12l l ⊥，先看两直线的位置关系，如果：⎧⎪⇒⎨⎪⎩三线合一（有等腰三角形就必用）共面勾股定理（题目中线段数据多）其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）⇒⇒⇒异面考虑用线面垂直推导异面垂直找重垂线在重垂线对应平面内找垂直知识点三投影与三垂线定理 1.投影的概念光是直线传播的，由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.2.投影的分类:(1)中心投影:把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影.(2)平行投影:把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影.在平行投影中，投影线正对着(即垂直)投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影. 高中阶段我们只考虑正投影. 3.正投影的性质:(1)直线或线段的平行投影仍然是直线或线段. (2)平行直线的平行投影是平行或是重合的.(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长. (4)与投射面平行的图形，它的投影与这个图形全等.(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.注：在立体几何中，通常会运用到直线或线段的投影，只需找直线或线段中两个不重合的点，分别向平面做垂线，垂足间的连线即为投影直线.4.三垂线定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（射影即投影）证明:①三垂线定理:已知直线1l x A =，过直线上任意点P 作PO x ⊥连接OA ，则OA 为直线1l 的投影为2l x ⊂，所以2PO l ⊥，若2OA l ⊥，OA PO O =，故2l ⊥平面OAP ，又因为1l ⊂平面OAP ，所以12l l ⊥. 记为投影垂直于平面上的线，则斜线垂直平面上的线. ②三垂线定理的逆定理:已知直线1l x A =,过直线上任意点P 作PO x ⊥，连接OA ，则OA 为直线1l 的投影，因为2l x ⊂，所以2PO l ⊥，若2PA l ⊥，POPA P =，故2l ⊥平面OAP ，又因为OA ⊂平面OAP ，所以2OA l ⊥. 记为斜率垂直于平面上的直线，则斜线在平面的投影垂直该直线.注：此定理用在大题中，需要注明.由于三垂线定理的本质就是异面直线垂直与线面垂直，所以我们可以运用逆向思维，利用三垂线定理解决线线垂直与线面垂直问题.【例14】(2017•新课标Ⅲ)在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（） A ．11A E DC ⊥ B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【例15】(2022秋•甘井子区校级月考)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1CD （含端点）上的动点，则下列结论错误的是（）A ．存在点E ，使1B E AC ⊥B ．异面直线1B E 与AD 所成的角最小值为4π C ．无论点E 在线段1CD 的什么位置，都有11AC B E ⊥D ．无论点E 在线段1CD 的什么位置，都有1B E ∥平面1A BD【例16】(浦东新区校级开学)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的平方取值范围为（）A ．(12)，B ．11[)52，C ．12(5，D ．1[1)5，知识点四夹角问题1.几何法求线面角与二面角：对于线面角，一般指斜线与斜线在平面的投影所成的夹角；只需在斜线上找一点向平面做垂线，构造直角三角形求夹角，或构造垂直平面且过直线的平面，利用余弦定理求夹角. 对于二面角，一般指两个相交半平面形成的夹角，常用在平面上且垂直两平面交线的两条射线的夹角来表示二面角的平面角；只需在两个平面上分别找到垂直交线的直线，构造三角形，利用余弦定理求夹角.2.空间向量求夹角：空间向量是求夹角最常用的方式，此类问题将在本书专题14详细叙述.3.投影面积法求二面角:二面角:cos S Sθθ'=，其中S 为斜面面积，S '为投影面积在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB a ==，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小(投影面积法)如图，AD PA AD AB AD PA AB A ⎫⎪⇒⎬⎪=⎭⊥⊥⊥平面PBA 于A ，同时，BC ⊥平面BPA 于B ，故PBA △是PCD △在平面PBA 上的射影，设平面PBA 与平面PDC 所成二面角大小为θ，则2cos 45PAB PCD S S θθ==⇒=△△. 4.已知异面直线段AB a =，CD b =，异面直线夹角θ，且异面直线距离为d 则四面体ABCD 体积为:1sin 6ABCD V abd θ=.5.空间余弦定理:空间四边形ABCD 的两条异面直线AC 与BD 夹角为θ，则满足:2222||||||||cos 2|||||AB CD AD BC AC BD θ+--=⋅【证明】如图所示，四边形ABCD 中，2222|()()()|||||||AD BC AB CD AD AB AD AB BC CD +--+⋅-+=+.()()()()2BC CD AD AB BD BD BC CD AD AB BC CD BD AC BD -=+⋅+⋅-=++-⋅=⋅，则有2222||||||||2||co ||||s A B C BD AB CD AD BC AC D ++-=⋅⋅，于是2222|||||||cos 2|||||AB CD AD BC AC BD θ--=+⋅.特别地当AC BD ⊥时，有2222||||||||AB CD AD BC +=+.6.设二面角C OB A --大小为α，1COB θ∠=，2AOB θ∠=，AOC θ∠=，如图所示，此时三余弦定理可推广为:1212cos cos cos sin sin cos θθθθθα=+，特别地，当2πα=时，有12cos cos cos θθθ=.【证明】设1OB =，则有11||cos CO θ=，21||cos AO θ=，1||tan CB θ=，2||tan AB θ=，于是2211||()cos AC θ=+2221212212111()2cos (tan (tan 2tan tan cos cos cos cos ))θθθθθαθθθ-⋅⋅=+-，化简得到12cos cos cos θθθ=+12sin sin cos θθα.特别地，当2πα=时，有12cos cos cos θθθ=.7.最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内任一直线所成角中的最小者，即线面角是最小的线线角.(由三余弦定理cos cos cos PAB OAB θ∠=⋅∠可得)8.最大角定理:对于一个锐二面角，在其中一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所成的线面角的最大值等于二面角的平面角，即二面角是最大的线面角.(由三正弦定理sin sin sin PAB θα=⋅∠可得)【例17】如图所示为一个半圆柱，E 为半圆弧CD 上一点，5CD .（1）若25AD =，求四棱锥E ABCD -的体积的最大值；（2）有三个条件：①4DE DC EC DC ⋅=⋅；②直线AD 与BE 所成角的正弦值为23；③sin 6sin EAB EBA ∠∠.请你从中选择两个作为条件，求直线AD 与平面EAB 所成角的余弦值.【例18】如图，几何体的底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PCD △和PAD △均为正三角形，M ，N 分别为CD ，PB 的中点.（1）求证：PA MN ⊥；（2）求二面角P CM N --的余弦值.【例19】如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（） 3 15 10 3【例20】如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，ABC △和VAC △均是等腰直角三角形，AB =BC ，2AC CV ==，M ，N 分别为VA ，VB 的中点.(1)求证:AB ∥平面CMN ; (2)求证:AB VC ⊥;(3)求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.【例21】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC △为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且12AB AA ==，E ，F 分别是1CC ，BC 的中点. (1)求证:EF ⊥平面1AB F ;(2)求锐二面角1B AE F --的平面角的余弦值.【例22】(2022·浙江卷)如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，1AC AA =，E ，F 分别是棱BC ，11A C 上的点.记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A --的平面角为γ，则（）A.αβγ≤≤B.βαγ≤≤C.βγα≤≤D.αγβ≤≤同步训练1.(2016•新课标Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题: ①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ①如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ①如果αβ∥，m α⊂，那么m β∥．①如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确的命题是．(填序号)2.(焦作月考)在三棱锥P ABC -中，PB PC =，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，G 为PD 的中点，若EG AC ⊥且EG PD ⊥，则下列结论中不一定正确的是( ) A ．BC ∥平面EFG B ．PA ∥平面EFGC ．AC ⊥平面EFGD ．PD ⊥平面EFG3.(山东模拟)已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为2，E 为线段1B C 上的动点，O 为AC 的中点，P 为棱1CC上的动点，Q 为棱1AA 的中点，则以下选项中正确的有( ) A ．1AE B C ⊥B ．直线1B D ⊥平面11A BCC ．异面直线1AD 与1OC 所成角为3π D ．若直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，则m ∥平面11B D Q4.如图，在正方体 1111ABCD A B C D - 中， O ，E 分别为1B D ，AB 的中点.求证: OE ∥ 平面11BCC B .5.(天河区三模)一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（）A ．直线AE 与直线BF 异面B ．直线AE 与直线DF 异面C ．直线EF ∥平面PAD D ．直线EF ∥平面ABCD 6.(徐州期中)在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别是PB ，BC 中点，若F 在线段AC 上，且满足AD ∥平面PEF ，则AFFC的值为． 7.(邢台月考)如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是线段AC ，PD 的中点，则（）A ．EF ∥平面PAB B ．EF ∥平面PBC C ．CF ∥平面PABD ．AF ∥平面PBC8.如图，平面EFGH 分别与空间四边形ABCD 中的BD 、AD 、AC 、BC 交于E 、F 、G 、H ，且AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ，CD a =，AB b =，CD AB ⊥．(1)求证EFGH 为矩形；(2)点G 在什么位置时，EFGH S 最大？9.(2022•新高考2卷) 如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点． (1)求证:OE ∥平面PAC ；10.(烟台三模)如图，在平面五边形PABCD 中，PAD △为正三角形，AD BC ∥，90DAB ∠=︒且22AD AB BC ===．将PAD △沿AD 翻折成如图所示的四棱锥P ABCD -，使得7PC ．F ，Q 分别为AB ，CE 的中点．(1)求证:FQ ∥平面PAD ；11.如图，在正四棱锥 P ABCD - 中， E 是 PC 中点，PB 与底面所成角的正切值为 6，请在平面 PAB 中找一点 F ，使得 FE ⊥ 平面 PCD .12.(2018•全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．(1)证明:PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．13.(2020•全国I 卷)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90APC ∠=︒．(1)证明:平面PAB ⊥平面PAC ；14.(江都区校级月考)如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA AB =，E 为PB 的中点． (1)若过C ，D ，E 的平面交PA 于点F ，求证:F 为PA 的中点； (2)若平面PAB ⊥平面PBC ，求证:BC PA ⊥．15.(2021•乙卷)如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明:平面PAM ⊥平面PBD ；16.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，E 为CD 的中点，12AE CD =. (1)证明: PC AD ⊥；17．(北京期末)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 且与直线1BD 垂直的所有面对角线的条数为（）A ．0B ．1C ．2D ．318．(金台区期末)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，PQ 与直线1A D 和AC 都垂直，则直线PQ 与1BD 的关系是（）A ．异面B ．平行C ．垂直不相交D ．垂直且相交19．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，沿直线MD ，DN ，NM 分别将AMD △，CDN △，BMM △折起，点A ，B ，C 重合于一点P .(1)证明:平面PM D ⊥平面PND ； (2)若3cos 5DPN ∠=，5DP =，求直线DP 与平面DNM 所成角的正弦值. 20．如图所示，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，1BC CD ==，(1)AB AD t t ==>，将其沿对角线AC 翻折(如图)，使得60BCD ∠=︒.(1)求证:AC BD ⊥；(2)设AC 与平面BCD 所成角为1θ，二面角B AC D --的平面角为2θ，若12θθ=，求t 的值.21.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是?22.在三棱柱ABC A B C '-''中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB C C ''的中心，则AD 与平面BB C C ''所成角的大小是（）A.30B.45C.60D.9023.(2019·浙江卷)设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点(不含端点).记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（） A.βγ<，αγ< B.βα<，βγ< C.βα<，γα< D.αβ<，γβ<。

北师大版选择性必修第一册第三章4.3.1 空间中的角课件(31张)

相等?
知识点1:两条直线所成的角

(0, ]

(1)异面直线所成的角的取值范围是
,两向量夹角的取值范围是
[0,π] ,设l1与l2是两异面直线,a,b分别为l1,l2的方向向量,l1,l2所成的
角为θ,由向量夹角的定义及求法知<a,b>与θ 相等
或互补 .
(2)设两异面直线所成的角为θ,它们的方向向量为a,b,则cos θ=
只需通过相应的向量运算即可,但应注意:用向量法求两条异面直线所成的角
是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的,而两条异面直线所成角θ的取值

范围是(0, ],两向量的夹角α的取值范围是[0,π],所以 cos θ=|cos α|.

数学
变式训练1-1:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC,AB⊥AC,M是CC1的中点,Q是BC的

故 V(0,0, ).
→
→
所以=(-2,0,0),=(1,1,- ).
→
→
所以 cos<,>=
→
→
→
→
·
=
-

=- .
|||| ×

所以异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为 .

数学
方法总结
利用空间向量求两条异面直线所成的角,可以避免复杂的几何作图和论证过程,
(2)解:法一
“平移”:注意到 AC,PQ 交于 O,
取 OC 的中点 N,连接 PN,BN,

因为
= ,
=
= ,所以
=
,故 AQ∥PN.
∠BPN 是异面直线 AQ 与 PB 所成的角(或其补角).