湘教版数学九年级下册2.2.2 第2课时 圆周角定理的推论2与圆内接四边形 教案1

第2课时 圆周角定理的推论2与圆内接四边形
1．在实际操作中探索圆的性质，进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明；(重点)
2．掌握圆内接四边形的有关概念及性质；(重点)
3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和完全归纳的方法．
一、情境导入
如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？
二、合作探究
探究点一：圆周角定理的推论2
【类型一】 利用圆周角定理的推论2
求角
(2015·广东模拟)如图，BD 是⊙O
的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为
( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
解析：由BD 是直径得∠BCD ＝90°.∵∠
CBD ＝30°，∴∠BDC ＝60°.∵∠A 与∠BDC 是同弧所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC ＝60°.故选C.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
堂达标训练”第1题
【类型二】 利用圆周角定理的推论2
求线段长
如图所示，点C 在以AB 为直径
的⊙O 上，AB ＝10cm ，∠A ＝30°，则BC
的长为________．
解析：由AB 为⊙O 的直径得∠ACB ＝
90°.在Rt △ABC 中，因为∠A ＝30°，所以BC
＝12AB ＝1
2×10＝5(cm)．故答案为5cm. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型三】 利用圆周角定理的推论2
进行有关证明
如图所示，已知△ABC 的顶点在
⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE
＝∠CAD .
解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相
等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．
证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，
∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵
，∴∠E ＝∠C .∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝
90°，∴∠BAE ＝∠CAD .
方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点二：圆的内接四边形及性质 【类型一】 利用圆的内接四边形的性质进行计算
如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，
点O 在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝________度．
解析：∵四边形ABCD 是圆内接四边
形，∴∠B ＋∠ADC ＝180°.∵四边形OABC 为平行四边形，∴∠AOC ＝∠B .又由题意可知∠AOC ＝2∠ADC .∴∠ADC ＝180°÷3＝60°.连接OD ，可得AO ＝OD ，CO ＝OD .∴∠OAD ＝∠ODA ，∠OCD ＝∠ODC .∴∠OAD ＋∠OCD ＝∠ODA ＋∠ODC ＝∠D ＝60°. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课
堂达标训练”第6题
【类型二】 利用圆的内接四边形的性质进行证明
如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O
上的四点，延长DC ，AB 相交于点E .若BC ＝BE .求证：△ADE 是等腰三角形．
解析：由已知易得∠E ＝∠BCE ，由同角的补角相等，得∠A ＝∠BCE ，则∠E ＝∠A .
证明：∵BC ＝BE ，∴∠E ＝∠BCE .∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠A ＋∠DCB ＝180°.∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°，∴∠A ＝∠BCE ，∴∠A ＝∠E ，∴AD ＝DE ，∴△ADE 是等腰三角形．
方法总结：在运用圆的内接四边形的性质进行证明或计算时，可通过“圆内接四边形对角互补”得到角的对应关系，通过转化求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
三、板书设计
教学过程中，强调在圆中进行证明或计算时，只要出现直径就要想到90°，出现直角，就要想到半圆或直径，通过适量的练习，加深学生的理解，培养学生良好的思维习惯.。