第五讲一次函数

第五讲：四边形证明初步
板块一：平行四边形 1． 平行四边形的性质
（1）两组对边分别平行且相等； （2）对角相等，邻角互补； （3）对角线互相平分 2． 平行四边形的判定
（1） 两组对边分别平行的四边形； （2） 两组对边分别相等的四边形； （3） 一组对边平行且相等的四边形； （4） 两条对角线互相平分的四边形；
板块一之例题精讲：
例1【教材6题】已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 及CD 的延长线相交于E 、F 、G ．若BE =5，EF =2，则FG 的长为__________
E
F D
A C
B
G
A
B
C
D
E
P
例2【教材13题】在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =5，AC =4，分别以△ABC 三边为边作等边三角形（如图所示），求四边形DCEF 的面积．
E
F
B
A
C
D
板块二：特殊的平行四边形 常考知识点： （1） 菱形：
性质：四条边都相等；对角线互相垂直； 每一条对角线平分一组对角．
判定：有一组邻边相等的平行四边形；四条边都相等的四边形；对角线互相垂直的
平行四边形．
（2） 矩形：
性质：对角线相等；四个角都是直角．
判定：有一个内角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形．
（3） 正方形：
性质：四条边都相等；四个角都是直角；两条对角线相等且互相垂直． 判定：有一个内角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形．
板块二之例题精讲
例1如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A.23 B. 26 C.3 D.
6
例2如图，在矩形ABCD 中，延长BC 到E ，使BE =BD ，F 为DE 的中点，连接AF 、CF ，求证AF ⊥CF ．
F
D A
B
C E
例3如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；
（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；
（3）当点O 运动到何处，且△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？
D
M
N
F
E
B
A
C
O
板块三：梯形 常考知识点：
（1） 常用辅助线的添加方法； （2） 中位线：（上底+下底）÷2 （3） 面积：①（上底+下底）×高÷2
② 中位线长×高
板块三之例题精讲：
例1如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，设AD =a ，BC =b ，则四边形AEFD 的周长是（ ）
O
E F
D
A
B
C
例2【补充】：已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠B =60°，AB =BC ，E 是AB 上的一点，且∠DEC =60°，求证：AD +AE =AB .
A
B
D
E C
测试题
【作业1题】如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF =45°，且AE +AF =22，则平行四边形ABCD 的周长是 。

F
E D
A C
B
【作业2题】 如图，在等腰三角形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =4AD =42，∠B =45°，直角三角板含45°角的顶点E 在边 BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ，若△为等腰三角形，则CF 的长为 。

F
C
D A
E
B
【作业6题】 四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE ，CG ． （１） 求证：AE =CG
（２） 观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想。

N
M E
F
B
C
A D G。