2018年宜宾中考数学总复习精练第4章第15讲等腰三角形与直角三角形

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中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析

中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析双等腰直角三角形问题前解法分析一个等腰直角三角形绕另一等腰直角三角形旋转，形成以双等腰直角三角形为背景的数学问题，在近年各地中考试卷中大量出现.本文拟通过对不同类型的双等腰直角三角形问题的剖析，找到某些共性，以达到帮助大家提高解题题能力的目的.一、共直角顶点的两个等腰直角三角形例1.如图1,已知ACB ?和ECD ?都是等腰直角三角形，90,ACB ECD D ∠=∠=°为AB 边上一点.(1)求证: ACE BCD ;(2)求证: 2222CD AD DB =+.分析当两等腰直角三角形绕着公共的直角顶点进行旋转时，必会出现全等三角形，此题第(1)问运用“通性”直接证明全等.第(2)问借助第(1)问的结论，利用等腰直角三角形两锐角互余，以及勾股定理，证明等式成立.注意到等腰三角形中的两腰相等，则旋转使两腰重合往往是解题中常用的途径之一.例2.如图2，在四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连结,,,AG BG CG DG ，且AGD BGC ∠=∠.(1)求证: AD BC =;(2)求证: AGD EGF ??:;(3)如图3，若,AD BC 所在直线互相垂直，求AD EF的值.分析初看此题是一组对边相等的四边形问题，可仔细分析条件可以发现，DGC ?和AGB ?均为等腰三角形，当四边形ABCD 中AD BC ⊥时，两等腰三角形即变为等腰直角三角形，题中三个问题层次分明，逐级递进.第(1)问利用垂直平分线性质直接证全等;第(2)问利用顶用相等的两等腰三角形相似得到对应边成比例，再借用夹角相等证相似;第(3)问通过对四边形中相等的一组对边特殊化，形成两等腰直角三角形，把两条线段的比转化为等腰直角三角形中斜边与直角边的比.虽然通过中点，转化的方法较多(相似、中位线、中位倍长构全等)，但本质上均需要构造等腰直角三角形.二、共底角顶点的两个等腰直角三角形例3.如图4, ,A B 分别在射线,OM ON 上，且MON ∠为钝角，现以线段,OA OB 为斜边向MON ∠外侧作等腰直角三角形，分别是,OAP OBQ ??，点,,C D E 分别是,,OA OB AB 的中点.(1)求证: PCE EDQ ;(2)延长,PC QD 交于点R .①如图5，若150MON ∠=°，求证:ABR ?为等边三角形;②如图6，若ARB PEQ ??:，求MON ∠的大小和AB PQ的值.分析本题中两等腰直角三角形OAP ?与OBQ ?中的一底角顶点O 重合，通过OAP ?绕点O 旋转来设计相关问题.第(1)问利用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线结合平行四边形性质证明全等(边角边).第(2)①问从对称的角度，通过添加辅助线(连结OC )过度，利用线段中垂线证线段相等;第(2)②问，需要对(2)①问逆向思考，通过证PE EQ ⊥这一中间环节，得出PEQ ?与ARB ?为等腰直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质与等腰直角三角形三边关系求出两线段的比值.值得注意的是，此题与例2图形相近，解法相近，考查的核心知识点相近.例4.已知两个共顶点的等腰三角形Rt ABC ?和Rt CEF ?,90ABC CEF ∠=∠=°，连结,AF M 是AF 的中点，连结,MB ME .(1)如图7，当CB 与CE 在同一直线上时，求证: //MB CF ;(2)如图7，若,2CB a CE a ==，求BM ,ME 的长;(3)如图8，当45BCE ∠=°时，求证: BM ME =.分析两个共底角顶点的双等腰直角三角形中，当两腰在一条直线上时，另两腰必平行.第(1)问利用这个性质结合M 点为中点直接证全等;(2)问在(1)问的基础上，证明BEM ?为等腰直角三角形;第(3)问研究在CEF ?绕点C 旋转45°时，BME ?的形状问题.图形形状发生了改变，但结论不变，方法不变，仍可借助中点构造等腰直角三角形，利用中位线性质进行转化证明.三、一直角顶点和一底角顶点重合的两个等腰直角三角形例5.如图9，在Rt ABC ?中，90,BAC AB AD ∠=°=，点D 是AC 的中点，将一块等腰直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与,A D 重合，连结,BE EC .试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想.分析等腰直角ADE ?的底角顶点A 与等腰直角ABD ?的直角顶点A 重合，借助BAE EDC 证明BEC ?为等腰直角三角形.相当于共直角顶点等腰三角形ADE ?与BEC ?旋转问题的逆问题.例6 如图10 , ABC ?和ACD ?是两个等腰直角三角形，90ACB ADC ∠=∠=°，延长DA 至点E ，使AE AD =，连结,,EB EC BD .(1)求证: BDA BEA ;(2)若BC =BE 的长.分析本题中一等腰直角三角形的直角边与另一等腰直角三角形的斜边重合，此种情况下一等腰直角三角形的斜边必与另一等腰直角三角形一直角边垂直.第(1)问即在此基础上通过“三线合一”构造等腰三角形;第(2)问是根据等腰直角三角形的边角特征，借助勾股定理求线段长.四、一直角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例7如图11，在等腰直角ABC ?中，90,ACB CO AB ∠=°⊥于点O ，点,D E 分别在边,AC BC 上，且AD CE =,连结DE 交CO 于点P ，给出以上结论:①DOE ?是等腰直角三角形;②CDE COE ∠=∠;③1AC =，则四边形CEOD 的面积为14; ④22222AD BE OP DP PE +?=?. 其中所有正确结论正确的序号是 .分析本题表面上看，是一个等腰直角三角形通过作出斜边上的高探究相关结论的问题，实质上是等腰直角DOE ?的直角顶点O 在等腰直角ABC ?斜边中点O 处的结论探究问题.对于选项④利用“四点共圆”，并借助“共角共边的母子”相似三角形，能起到事半攻倍的效果，五、一底角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例8 如图12，等腰直角三角形ABC ?和ODE ?，点O 为BC 中点，90,BAC ODE OD ∠=∠=°交BA 于,M OE 交AC 于N ，试求,,BM NM NA 的关系，并说明理由.分析 DOE ?绕等腰直角ABC ?的底边中点O 旋转，在图12~图14三种情况中，对应的线段和差关系分别是,BM MN NA MN BM NA =+=+.此时DOE ?为等腰直角三角形并不是必备条件，本质上45MON ∠=°才是这一模型的必备条件，其基本的解题途径是，构造共直角顶点的两个等腰直角三角形，通过截长补短解决线段的和差问题.等腰直角三角形底边中点具有独特的性质，以双等腰直角三角形为背景的几何图形，常常具有中点(隐含中点)这一条件，并且图形中常常包含全等三角形，发现其中的全等三角形往往是解题的突破口，而基本的辅助线便是借助中点构造新的等腰直角三角形.。

中考数学复习第四章图形的初步认识与三角形第17讲等腰三角形与直角三角形

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【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
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1.(2017海南)已知△ABC的三边长分别为4,4,6，在△ABC所在平面
内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样
的直线最多可画__________条． A．3
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6
(2)在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则 AB 边上的中线长为
A．1
B．2
(A )
C．1.5
D． 3
(3)已知直角三角形中 30°角所对的直角边为 2 cm，则斜边的长为
(B )
A．2 cm
B．4 cm
C．6 cm
D．8 cm
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周长：c＝a＋b＋c；
周长、面积
面积：SRt△ABC＝12ab＝12ch(其中
a，b
为两个直角边，c
为斜边，h
为斜边上
的高)
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知识点四等腰直角三角形的判定与性质
【回顾】
(1)等腰直角三角形的直角边为 2，则斜边的长为
A． 2
B．2 2
C．1
D．2
1 (2)等腰直角三角形的斜边长 2，则它的面积为___2_______.
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(1)有一个角为⑤___9_0_°_____的三角形是直角三角形；
判 (2)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么定这个三角形是直角三角形；
(3)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；

人教版初中数学中考考点系统复习第19讲等腰三角形与直角三角形

60°
的三角形是等边三角形；
⁠
（2）三个内角都⑰
的三角形是等边三角形；
⁠
定
（3）有一个角是⑱
的等腰三角形是等边三角形
⁠
面
【拓展补充】如图，顶角为36°（或底角为72°）的等腰三角形叫做黄金三角形. 性质：
（2）底角的平分线BF将其分成底角为36°（△ABF）和顶角为36°（△BCF）的等腰三角形；（3）过点F作FE⊥AB于点E，则EF为腰AB的垂直平分线.
A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
第2题图
3.（甘肃中考）如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为（ B ）
A.（1，1）
第3题图
4.在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）.若在坐标轴上取点C，使 △ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ A ）
A.5
B.6
C.7
三角形的性质或三角函数进行求解.
对点训练 8.（2022·荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受
损.已知该金字塔的下底面是一个边长为120 m的正方形，且每一个侧面与地面的夹角为60°，则金字塔原来的高度为（ B ） A.120 m
9.（陕西中考）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点 A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ D ）
⁠
⁠
质（4）等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴，对称轴为顶角⑤ 平分
线所在的直线（如图中AD所在的直线） ⁠
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；判
（2）如果一个三角形有两个角⑥ 相等，那么这两个角所对的边也 ⁠

中考数学总复习第一部分教材同步复习第四章三角形第17讲等腰三角形与直角三角形课件

125/9/2021
2．（2016·江西 12 题 3 分）如图是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB＝8，AD＝7， E 为 AB 上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点 P 落在长方形 ABCD 的某一条边上，则等腰三角形 AEP 的底边长是_5___2_或__4__5_或___5__________.
1224/9/2021
如答图 2 所示，当∠B′ED＝90°时，点 C 与点 E 重合．
∵AB′＝10，AC＝6，∴B′E＝4．设 BD＝DB′＝x，则 DE＝CD＝8－x. 在 Rt△B′DE 中，DB′2＝DE2＋B′E2，即 x2＝（8－x）2 ＋42．解得 x＝5，∴BD＝5．综合所述，BD 的长为 2 或 5．
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第四章三角形
第17讲等腰三角形与直角三角形
12/9/2021
Байду номын сангаас
知识要点 · 归纳
知识点一等腰三角形的性质与判定
概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
（1）两底角相等，即∠B＝∠C；（2）两腰相等，即 AB＝AC；性质（3）是轴对称图形，有一条对称轴，即 AD；（4）“三线合一”（即顶角的①__平_分__线___、底边上的中线和底边上的高互相重合）
• （2）若图形中含折叠，考虑用折叠的性质，然后在直角三角形中，设未知量，列方程求解．
• （3）若所求为线段和（或可转化为线段和的形式），考虑用证全等转化到直角三角形中求解.
1227/9/2021
12/9/2021
122/9/2021
重难点2 直角三角形的多解题重点例3 （2018·宜春模拟）如图，Rt△ABC 纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点 D 在边 BC 上，以 AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB′D，AB′与边 BC 交于点 E.若△DEB′为直角三角形，则 BD 的长是__2_或__5___.

两年中考模拟2020年中考数学：等腰三角形与直角三角形(学生版)

第四篇图形的性质专题18等腰三角形与直角三角形知识点名师点晴等腰三角形等腰三角形的性质理解等腰三角形的性质,并能解决等腰三角形的有关计算等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法,会证明一个三角形是等腰三角形等边三角形等边三角形的性质理解等边三角形的性质等边三角形的判定掌握等边三角形的判定方法,会证明一个三角形是等边三角形直角三角形直角三角形的性质理解直角三角形的有关性质直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法,会证明一个三角形是直角三角形勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理归纳1：等腰三角形基础知识归纳：1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°．2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．基本方法归纳：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角（或直角）,但顶角可为钝角（或直角）． ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ,底边长为b ,则2b ＜a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ,底角为∠B 、∠C ,则∠A =180°—2∠B ,∠B =∠C =2180A ∠-︒ 注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题,并证明角相等的问题．【例1】（2019内蒙古包头市,第10题,3分）已知等腰三角形的三边长分别为a 、b 、4,且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2=0的两根,则m 的值是（）A ．34B ．30C ．30或34D ．30或36归纳 2：等边三角形基础知识归纳：1．定义三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°3．判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【例2】（2019四川省宜宾市,第7题,3分）如图,∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心,∠EOF 的两边与△ABC的边交于E,F,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）A．32B．235C．33D．34归纳3：直角三角形基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角互余．（2）在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半．基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形．（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定,在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,它的逆命题不能直接使用．【例3】（2019山东省东营市,第14题,3分）已知等腰三角形的底角是30°,腰长为23,则它的周长是．归纳4：勾股定理基础知识归纳：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即：a2+b2=c2；基本方法归纳：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法,通常与直角三角形的性质结合起来考查．【例4】（2019北京,第12题,2分）如图所示的网格是正方形网格,则∠P AB+∠PBA= °（点A,B,P是网格线交点）．【2019年题组】一、选择题1．（2019四川省内江市,第9题,3分）一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2﹣8x+15=0的一根,则此三角形的周长是（）A．16B．12C．14D．12或162．（2019宁夏,第5题,3分）如图,在△ABC中AC=BC,点D和E分别在AB和AC上,且AD=AE．连接DE,过点A的直线GH与DE平行,若∠C=40°,则∠GAD的度数为（）A．40°B．45°C．55°D．70°3．（2019山西省,第5题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直线a∥b,顶点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC与点E,若∠1=145°,则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°4．（2019衢州,第7题,3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定,OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°5．（2019湖北省荆州市,第5题,3分）如图,矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在∠MON的边OM,ON上,若OA=OC,要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC,BD交于点E,作射线OE,则射线OE 平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角,②矩形的对角线互相平分,③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6．（2019湖南省常德市,第7题,3分）如图,在等腰三角形△ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．267．（2019湖南省长沙市,第12题,3分）如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD55BD的最小值是（）A．25B．45C．53D．108．（2019辽宁省丹东市,第7题,3分）等腰三角形一边长为2,它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根,则k的值是（）A．8B．9C．8或9D．129．（2019台湾,第4题,3分）图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成,其中正三角形面积为a,矩形面积为b．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱,则图2中直角柱的表面积为何？（）A．4a+2b B．4a+4b C．8a+6b D．8a+12b10．（2019甘肃省天水市,第8题,4分）如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为（）A．（1,1）B．（3C．3,1）D．33）11．（2019内蒙古赤峰市,第14题,3分）如图,小聪用一张面积为1的正方形纸片,按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠,使四个顶点重合,展开后沿折痕剪开,把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作,当完成第2019次操作时,余下纸片的面积为（）A ．22019B ．201812C ．201912 D ．20201212．（2019台湾,第9题,3分）公园内有一矩形步道,其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式,其中正方形地砖为连续排列且总共有40个．求步道上总共使用多少个三角形地砖？（）A ．84B ．86C ．160D ．16213．（2019四川省内江市,第10题,3分）如图,在△ABC 中,AB =2,BC =3.6,∠B =60°,将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△ADE ,当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时,则CD 的长为（）A ．1.6B ．1.8C ．2D ．2.614．（2019四川省成都市,第5题,3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起,若∠1=30°,则∠2的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°15．（2019四川省眉山市,第11题,3分）如图,在矩形ABCD 中,AB =6,BC =8,过对角线交点O 作EF ⊥AC 交AD 于点E ,交BC 于点F ,则DE 的长是（）A．1B．74C．2D．12516．（2019四川省绵阳市,第10题,3分）公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125,小正方形面积是25,则（sinθ﹣cosθ）2=（）A．15B．55C．355D．9517．（2019滨州,第10题,3分）满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为（）A．AB41=,BC=4,AC=5B．AB：B C：A C=3：4：5C．∠A：∠B：∠C=3：4：5D．|cosA12-|+（tanB33-）2=018．（2019聊城,第11题,3分）如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,下列结论中错误的是（）A．AE+AF=AC B．∠BEO+∠OFC=180°C．OE+OF2=BC D．S四边形AEOF12=S△ABC19．（2019江苏省苏州市,第10题,3分）如图,在△ABC中,点D为BC边上的一点,且AD=AB=2,AD⊥AB．过点D作DE⊥AD,DE交AC于点E．若DE=1,则△ABC的面积为（）A．42B．4C．25D．820．（2019浙江省宁波市,第9题,4分）已知直线m∥n,将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置,其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1=25°,则∠2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°21．（2019浙江省宁波市,第12题,4分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和22．（2019浙江省湖州市,第9题,3分）在数学拓展课上,小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形,P是其中4个小正方形的公共顶点,小强在小明的启发下,将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀,把它剪成了面积相等的两部分,则剪痕的长度是（）A．22B．5C．352D．1023．（2019海南,第12题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4．点P是边AC上一动点,过点P 作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为（）A．813B．1513C．2513D．321324．（2019湖北省咸宁市,第2题,3分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．25．（2019湖北省黄石市,第8题,3分）如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED=（）A．125°B．145°C．175°D．190°26．（2019辽宁省朝阳市,第7题,3分）把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,若∠B=25°,∠D=58°,则∠BCE的度数是（）A．83°B．57°C．54°D．33°27．（2019辽宁省锦州市,第7题,2分）在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,M是对角线BD上的动点,过点M作ME ⊥BC于点E,连接AM,当△ADM是等腰三角形时,ME的长为（）A．32B．65C．32或35D．32或65二、填空题28．（2019四川省宜宾市,第16题,3分）如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A、C、E在同一直线上,AD 与BE、BC分别交于点F、M,BE与CD交于点N．下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）．①AM=BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC+∠FNC=180°；④111 MN AC CE=+29．（2019自贡,第18题,4分）如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,∠α、∠β如图所示,则cos（α+β）= ．30．（2019江苏省连云港市,第15题,3分）如图,将一等边三角形的三条边各8等分,按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来,这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内,每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始,按顺时针方向）,如点A的坐标可表示为（1,2,5）,点B的坐标可表示为（4,1,3）,按此方法,则点C的坐标可表示为．31．（2019江苏省镇江市,第8题,2分）如图,直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b上,边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形,∠A=20°,则∠1= °．32．（2019浙江省温州市,第16题,5分）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO=4分米．当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时,点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处,则B'E'﹣BE为分米．33．（2019湖北省荆门市,第15题,3分）如图,在平面直角坐标系中,函数ykx（k＞0,x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA,AB分别交于点M,N,且OM=2MA,若AB=3,那么点N的横坐标为．34．（2019湖北省黄冈市,第16题,3分）如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8,点M为AB的中点,若∠CMD=120°,则CD的最大值是．35．（2019辽宁省锦州市,第16题,3分）如图,边长为4的等边△ABC,AC边在x轴上,点B在y轴的正半轴上,以OB为边作等边△OBA1,边OA1与AB交于点O1,以O1B为边作等边△O1BA2,边O1A2与A1B交于点O2,以O2B为边作等边△O2BA3,边O2A3与A2B交于点O3,…,依此规律继续作等边△O n﹣1BA n,记△OO1A的面积为S1,△O1O2A1的面积为S2,△O2O3A2的面积为S3,…,△O n﹣1O n A n﹣1的面积为S n,则S n=．（n≥2,且n为整数）36．（2019广安,第13题,3分）等腰三角形的两边长分别为6cm,13cm,其周长为cm．37．（2019四川省成都市,第12题,4分）如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为．38．（2019广西桂林市,第17题,3分）如图,在平面直角坐标系中,反比例ykx=（k＞0）的图象和△ABC都在第一象限内,AB=AC52=,BC∥x轴,且BC=4,点A的坐标为（3,5）．若将△ABC向下平移m个单位长度,A,C两点同时落在反比例函数图象上,则m的值为．39．（2019新疆,第14题,5分）如图,在△ABC中,AB=AC=4,将△ABC绕点A顺时针旋转30°,得到△ACD,延长AD交BC的延长线于点E,则DE的长为．40．（2019江苏省徐州市,第18题,3分）函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有个．41．（2019湖南省常德市,第14题,3分）如图,已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,点D在AC边上,将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD',且点D'、D、B三点在同一条直线上,则∠ABD的度数是．42．（2019甘肃省白银市,第17题,4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= ．43．（2019贵州省毕节市,第17题,5分）如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD．若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为度．44．（2019内蒙古通辽市,第15题,3分）腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为．45．（2019四川省巴中市,第15题,4分）如图,等边三角形ABC内有一点P,分別连结AP、BP、CP,若AP=6,BP=8,CP=10．则S△ABP+S△BPC=．46．（2019四川省广元市,第13题,3分）如图,△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是．47．（2019四川省泸州市,第16题,3分）如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,点E在边CB上,CE=2EB,点D在边AB上,CD⊥AE,垂足为F,则AD的长为．48．（2019山东省威海市,第13题,3分）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1=23°,则∠2=°．49．（2019山东省威海市,第17题,3分）如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接AC,BD．若∠ACB=90°,AC=BC,AB=BD,则∠ADC=°．50．（2019枣庄,第17题,4分）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上．若AB=2,则CD= ．51．（2019山东省淄博市,第17题,4分）如图,在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中,将B角折起,使点B落在AC边上的点D（不与点A,C重合）处,折痕是EF．如图1,当CD12=AC时,tanα134=；如图2,当CD13=AC时,tanα2512=；如图3,当CD14=AC时,tanα3724=；……依此类推,当CD11n=+AC（n为正整数）时,tanαn= ．52．（2019山西省,第15题,3分）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=10cm,点D为△ABC内一点,∠BAD=15°,AD=6cm,连接BD,将△ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为cm．53．（2019广西,第18题,3分）如图,AB与CD相交于点O,AB=CD,∠AOC=60°,∠ACD+∠ABD=210°,则线段AB,AC,BD之间的等量关系式为．54．（2019江苏省宿迁市,第17题,3分）如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C 在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是．55．（2019湖北省鄂州市,第15题,3分）如图,已知线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°,P点是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,则BP= ．56．（2019湖南省株洲市,第13题,3分）如图所示．在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E、F分别为MB、BC的中点,若EF=1,则AB= ．57．（2019湖南省株洲市,第18题,3分）如图所示,在平面直角坐标系xOy中,在直线x=1处放置反光镜Ⅰ,在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ,缺口为线段AB,其中点A（0,1）,点B在点A上方,且AB=1,在直线x=﹣1处放置一个挡板Ⅲ,从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后,通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上,则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为．58．（2019湖南省邵阳市,第17题,3分）公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是．59．（2019西藏,第15题,3分）若实数m 、n 满足|m ﹣3|4n +-=0,且m 、n 恰好是直角三角形的两条边,则该直角三角形的斜边长为．60．（2019贵州省毕节市,第19题,5分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,点B 在ED 上,AB ∥CF ,∠F =∠ACB =90°,∠E =45°,∠A =60°,AC =10,则CD 的长度是．61．（2019贵州省铜仁市,第16题,4分）如图,在△ABC 中,D 是AC 的中点,且BD ⊥AC ,ED ∥BC ,ED 交AB 于点E ,BC =7cm ,AC =6cm ,则△AED 的周长等于 cm ．62．（2019辽宁省丹东市,第13题,3分）如图,在△ABC 中,∠C =90°,DE 是AB 的垂直平分线,AD 恰好平分∠BAC ．若DE =1,则BC 的长是．63．（2019辽宁省大连市,第13题,3分）如图,△ABC 是等边三角形,延长BC 到点D ,使CD =AC ,连接AD ．若AB =2,则AD 的长为．64．（2019辽宁省抚顺市,第17题,3分）如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CA =CB =2,D 是△ABC 所在平面内一点,以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形是平行四边形,则BD 的长为．65．（2019黑龙江省鸡西市,第9题,3分）一张直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,点D为BC边上的任一点,沿过点D的直线折叠,使直角顶点C落在斜边AB上的点E处,当△BDE是直角三角形时,则CD的长为．66．（2019黑龙江省齐齐哈尔市,第16题,3分）等腰△ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD12=AC,则等腰△ABC底角的度数为．三、解答题67．（2019内蒙古呼和浩特市,第18题,6分）如图,在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a=6,b=8,c=12,请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若()12a b caa b c c++=-+,求证：△ABC是直角三角形．68．（2019四川省巴中市,第18题,8分）如图,等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上,分别过点A、B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D．（1）求证：EC=BD；（2）若设△AEC三边分别为a、b、c,利用此图证明勾股定理．69．（2019四川省达州市,第20题,7分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3．（1）尺规作图：不写作法,保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线,垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中,求DE的长．70．（2019山东省菏泽市,第23题,10分）如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图1,连接BE,CD,BE的廷长线交AC于点F,交CD于点P,求证：B P⊥CD；（2）如图2,把△ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时,连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,若BC=62,AD=3,求△PDE的面积．【2018年题组】一、选择题1．（2018浙江省湖州市,第5题,3分）如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°2．（2018兰州,第5题,4分）如图,AB∥CD,AD=CD,∠1=65°,则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．70°3．（2018贵州省安顺市,第6题,3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是（）A．12B．9C．13D．12或94．（2018辽宁省丹东市,第5题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB与点E,已知△BCE的周长为10,且BC=4,则AB的长为（）A．3B．4C．5D．65．（2018辽宁省营口市,第6题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,在同一平面内,将△ABC绕点A 顺时针旋转到△AB1C1的位置,连接BB1,若BB1∥AC1,则∠CAC1的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°6．（2018台湾省,第11题,3分）如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为何？（）A．115B．120C．125D．1307．（2018山东省德州市,第12题,4分）如图,等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心,∠FOG=120°,绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB、BC于D、E两点,连接DE,给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于433；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2018四川省达州市,第8题,3分）如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为（）A．32B．2C．52D．39．（2018广西梧州市,第7题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,△AB'C'与△ABC关于直线EF对称,∠CAF=10°,连接BB',则∠ABB'的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°10．（2018江苏省宿迁市,第6题,3分）若实数m、n满足等式|m﹣4n =0,且m、n恰好是等腰△ABC 的两条边的边长,则△ABC的周长是（）A．12B．10C．8D．611．（2018广西玉林市,第9题,3分）如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC 为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直12．（2018浙江省台州市,第10题,4分）如图,等边三角形ABC边长是定值,点O是它的外心,过点O任意作一条直线分别交AB,BC于点D,E．将△BDE沿直线DE折叠,得到△B'DE,若B'D,B'E分别交AC于点F,G,连接OF,OG,则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B'FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值13．（2018兰州,第7题,4分）如图,边长为4的等边△ABC中,D、E分别为AB,AC的中点,则△ADE的面积是（）A3333B C24 ．．D．314．（2018福建省A,第5题,4分）如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°15．（2018辽宁省鞍山市,第7题,3分）如图,在等边三角形ABC中,AE=CD,CE与BD相交于点G,EF⊥BD于点F,若EF=2,则EG的长为（）A．334B．433C．332D．416．（2018内蒙古包头市,第8题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE．若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为（）A．17.5°B．12.5°C．12°D．10°17．（2018吉林省长春市,第8题,3分）如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,∠ABC=90°,CA⊥x轴,点C在函数y=kx（x＞0）的图象上,若AB=2,则k的值为（）A．4B．22C．2D．218．（2018四川省内江市,第12题,3分）如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B,C的坐标分别为（2,1）,（6,1）,∠BAC=90°,AB=AC,直线AB交y轴于点P,若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称,则点A'的坐标为（）A．（﹣4,﹣5）B．（﹣5,﹣4）C．（﹣3,﹣4）D．（﹣4,﹣3）19．（2018四川省凉山州,第3题,4分）如图,数轴上点A对应的数为2,AB⊥OA于A,且AB=1,以O为圆心,OB 长为半径作弧,交数轴于点C,则OC长为（）A．3B．2C．3D．520．（2018四川省南充市,第8题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD 的中点,若BC=2,则EF的长度为（）A．12B．1C．32D321．（2018四川省攀枝花市,第4题,3分）如图,等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上,若a∥b,∠1=30°,则∠2的度数为（）A ．30°B ．15°C ．10°D ．20°22．（2018四川省泸州市,第8题,3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ,较短直角边长为b ．若ab =8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（）A ．9B ．6C ．4D ．323．（2018四川省绵阳市,第11题,3分）如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,CA =CB ,CE =CD ,△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上,若AE 2=,AD 6=,则两个三角形重叠部分的面积为（）A ．2B ．32-C ．31-D ．33-24．（2018山东省东营市,第10题,3分）如图,点E 在△DBC 的边DB 上,点A 在△DBC 内部,∠DAE =∠BAC =90°,AD =AE ,AB =AC ．给出下列结论：①BD =CE ；②∠ABD +∠ECB =45°；③BD ⊥CE ；④BE 2=2（AD 2+AB 2）﹣CD 2．其中正确的是（）A ．①②③④B ．②④C ．①②③D ．①③④25．（2018山东省枣庄市,第10题,3分）如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形,线段AB 的端点都在小矩形的顶点上,如果点P 是某个小矩形的顶点,连接P A 、PB ,那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个26．（2018山东省枣庄市,第12题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F．若AC=3,AB=5,则CE的长为（）A．32B．43C．53D．8527．（2018山东省淄博市,第11题,4分）如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为（）A．4B．6C．43D．828．（2018山东省淄博市,第12题,4分）如图,P为等边三角形ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为（）A．25394+B．25392+C．18253+D．3182+29．（2018山东省滨州市,第1题,3分）在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为（）A．5B．6C．7D．830．（2018山东省莱芜市,第8题,3分）在平面直角坐标系中,已知△ABC为等腰直角三角形,CB=CA=5,点C（0,3）,点B在x轴正半轴上,点A在第三象限,且在反比例函数y=kx的图象上,则k=（）A．3B．4C．6D．1231．（2018山东省菏泽市,第3题,3分）如图,直线a∥b,等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上,若∠1=30°,则∠2的度数是（）A．45°B．30°C．15°D．10°32．（2018山东省青岛市,第6题,3分）如图,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点．沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F．已知EF=32,则BC的长是（）A．322B．32C．3D．3333．（2018山西省,第8题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为（）A．12B．6C．62D．6334．（2018广西贺州市,第10题,3分）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为（）A．32B．33C．6D．6235．（2018江苏省南通市,第5题,3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．3,4,5B．2,3,4C．4,6,7D．5,11,1236．（2018江苏省扬州市,第7题,3分）在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC37．（2018江苏省扬州市,第8题,3分）如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③38．（2018浙江省温州市,第10题,4分）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为（）A．20B．24C．994D．53239．（2018海南省,第12题,3分）如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,∠BAC=30°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1,连接BC1,则BC1的长为（）A．6B．8C．10D．1240．（2018湖北省孝感市,第10题,3分）如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE ⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（3﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5B．4C．3D．241．（2018湖北省荆州市,第4题,3分）如图,两条直线l1∥l2,Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,顶点A、B分别在l1和l2上,∠1=20°,则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°42．（2018湖北省荆门市,第11题,3分）如图,等腰Rt△ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为（）。

中考数学复习考点知识专题讲义第15讲三角形及其性质

图3
证明：∵BD，CA 分别是∠PBA 和∠MAB 的平分线，
∴∠DBA＝12∠PBA，∠BAC＝12∠MAB．
∵∠PBA＝∠AOB＋∠BAM，∠DBA＝∠BAC＋∠C， ∴12∠PBA＝12∠AOB＋12∠BAM.
∴∠DBA＝12∠AOB＋12∠BAM＝45°＋∠BAC． ∴45°＋∠BAC＝∠BAC＋∠C．
A．DC＝DE C．S△CDE＝14S△ABC
B．AB＝2DE D．DE∥AB
三角形的三边关系例 2 小亮想用长度均为偶数的三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为 10 cm 和 4 cm，第三根木棒的长度可以是多少？
解：根据三角形的三边关系，得 10－4＜第三根木棒＜10＋4，即 6＜第三根木棒＜14. 又∵第三根木棒的长度为偶数， ∴第三根木棒的长度可以为 8 cm，10 cm，12 cm.
学霸笔记 1．三角形中遇到有关高线的问题时要注意分析高的位置，准确画出符合题意的图形，必要时进行分类讨论． 2．中位线的常见构造方法：①连或找中点，得到中位线；②连中点不得中位线时，另取中点；③连线构造中位线的背景图形—三角形． 3．有关中点问题模型的构造及应用
模型一：多个中点出现或平行线＋中点(或过中点作平行线)常考虑构造三角形的中位线
7．(2019·百校联考一改编) 探索三角形的内(外)角平分线所成角的规律如图 1，已知点 P 是△ABC 的内角平分线 BP 与 CP 的交点，点 M 是△ABC 的外角
平分线 BM 与 CM 的交点，则有规律：(1)∠P＝90°＋12∠A；(2)∠M＝90°－12∠A．
证明：(1)∵BP，CP 是△ABC 的内角平分线， ∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2. ∵∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)(依据 1)， ∴∠A＝180°－2(∠1＋∠2)．

中考数学同步练习第4单元课时4等腰三角形与直角三角形

课时4 等腰三角形与直角三角形一、基础巩固1．(2019·山西)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，直线a ∥b ，顶点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 与点E ，若∠1＝145°，则∠2的度数是(C)A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°第1题图第2题图 2．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，则下列结论一定成立的是(C)A ．BC ＝ECB ．EC ＝BE C ．BC ＝BED ．AE ＝EC3．若等腰△ABC 的周长是50 cm ，一腰长为x cm ，底边长为y cm ，则y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围是(C)A ．y ＝50－2x (0＜x ＜50)B ．y ＝12(50－2x )(0<x <50)C ．y ＝50－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫252<x <25 D ．y ＝12(50－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫252<x <254．(2019·成都)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC 上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为__9__.第4题图第5题图5．(2019·攀枝花)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE 是AC边上的中线，且BD＝CE.求证：(1)点D在BE的垂直平分线上；(2)∠BEC＝3∠ABE.解：(1)连接DE，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∴DE＝CE，∵BD＝CE，∴BD＝DE，∴点D在BE的垂直平分线上；(2)∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∵∠ADE＝∠DBE＋∠DEB，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，∵∠BEC＝∠A＋∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE.二、能力提升6．若(a －1)2＋|b －2|＝0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为(A)A ．5B ．4C ．3D ．4或57．(2019·台湾)如图，△ABC 中，AC ＝BC ＜AB .若∠1、∠2分别为∠ABC 、∠ACB 的外角，则下列角度关系正确的是(C)A ．∠1＜∠2B ．∠1＝∠2C ．∠A ＋∠2＜180°D ．∠A ＋∠1＞180°第7题图第8题图 8．(2019·大连)如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 到点D ，使CD ＝AC ，连接AD .若AB ＝2，则AD 的长为 23 .【笔记】∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠BAC ＝∠ACB ＝60°， ∵CD ＝AC ，∴∠CAD ＝∠D ，∵∠ACB ＝∠CAD ＋∠D ＝60°，∴∠CAD ＝∠D ＝30°，∴∠BAD ＝90°，∴AD ＝AB tan 30°＝233＝2 3. 9．如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，且CD ＝CB ，点E 为BD 的中点，点F 为AC 的中点，连结EF 交CD 于点M ，连接AM .(1)求证：EF ＝12AC ；(2)若∠BAC ＝45°，求线段AM 、DM 、BC 之间的数量关系．解：(1)∵CD ＝CB ，E 为BD 的中点；∴CE ⊥BD ，∴∠AEC ＝90°.又∵F 为AC 的中点，∴EF ＝12AC .(2)∵∠BAC ＝45°，∠AEC ＝90°，∴∠ACE ＝∠BAC ＝45°，∴AE ＝CE .又∵F 为AC 的中点，∴EF ⊥AC ，∴EF 为AC 的垂直平分线，∴AM ＝CM ，∴AM ＋DM ＝CM ＋DM ＝CD .又∵CD ＝CB ，∴AM ＋DM ＝BC .三、应用拓展10．(2019·甘孜州)直线上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AD ＝7，AB ＝2，若AB ，BC ，CD 可构成以BC 为腰的等腰三角形，则BC 的长为__2或2.5__.【笔记】如图∵AB ＝2，AD ＝7，∴BD ＝BC ＋CD ＝5，∵BC 作为腰的等腰三角形，∴BC ＝AB 或BC ＝CD ，∴BC ＝2或2.5.11．(2019·武汉模拟)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，AD ＝BD ，BE ⊥AD 于点E ，则AE BC 的值为12.解图解：过A 作AN ⊥BC 于N ，则BN ＝CN ，∵AD ＝BD ，∴∠DAB ＝∠DBA ，∵BE ⊥AD ，∴∠E ＝∠ANB ＝90°，在△ABN 与△BAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠E＝∠ANB ∠BAE ＝∠ABNAB ＝BA ，∴△ABN ≌△BAE (AAS)，∴AE ＝BN ，∴AE ＝BN ＝12BC ，∴AE BC ＝12.12．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB ＝100°，∠BOC ＝α，D 是△ABC 外一点，且△BOC ≌△ADC ，连接OD .(1)△COD 是什么三角形？说明理由；(2)当α为多少度时，△AOD 是直角三角形？(3)当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？解：(1)△COD是等边三角形，理由如下：∵△BOC≌△ADC，∴CO ＝CD，∠BCO＝∠ACD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠OCD＝∠ACB＝60°；∴△COD是等边三角形；(2)∵△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∵△AOD是直角三角形，∴∠AOD＝90°，∴∠α＝360°－110°－90°－60°＝100°；(3)①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO.∵∠AOD＝360°－∠AOB－∠COD－α＝360°－100°－60°－α＝200°－α，∠ADO＝α－60°，∴200°－α＝α－60°，∴α＝130°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.∵∠AOD＝200°－α，∠ADO＝α－60°，∴∠OAD＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝40°，∴α－60°＝40°，∴α＝100°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD.∵200°－α＝40°，∴α＝160°，当α＝150°时，△AOD也是直角三角形．综上所述：当α的度数为130°，100°，150°或160°时，△AOD是等腰三角形．四、权威预测13．(2019·邢台二模)我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形，(1)如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠ABC＝105°，过B作一直线交AC于D，若BD把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠BDA的度数是__130°__.(2)已知在△ABC中，AB＝AC，过顶点和顶点对边上一点的直线，把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠A的最小度数为180°7.【笔记】(1)根据题意得DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝25°，∴∠BDA＝180°－25°×2＝130°.故答案为130°；(2)如图所示：AB＝AC，AD＝BD，BC＝CD，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A，∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝2∠A，∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝3∠A，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝3∠A，∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴7∠A＝180°，∴∠A＝180°7.。

中考数学复习讲义课件第4单元第18讲等腰三角形与直角三角形

图2 [分析]∵点 D 是 BC 边的中点，∴BD＝DC．又△ABC 的周长为 20，∴AB ＋AC＋BC＝20，∴AB＋BD＝10.又 AD＝6，∴AB＋BD＋AD＝16.即△ABD 的周长为 16；
(4)如图 3，若∠A＝36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，求证：AD＝BC．
图3 [分析]根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝72°，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC＝36°，∠BDC＝72°，根据等腰三角形的判定即可得到结论．
(2)写出∠BEC 与∠BDC 之间的关系，并说明理由．解：∠BEC＋∠BDC＝110°. 理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β. 在△ABE 中，α＝∠A＋∠ABE＝40°＋∠ABE. ∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝α. ∴∠ABC＝∠ABE＋α＝∠A＋2∠ABE＝40°＋2∠ABE. 在△BDC 中，∵BD＝BC，∴∠BDC＋∠BCD＋∠DBC＝2β＋40°＋ 2∠ABE ＝ 180 ° . ∴ β ＝ 70 ° － ∠ABE. ∴ α ＋ β ＝ 40 ° ＋ ∠ABE ＋ 70° － ∠ABE＝110°，即∠BEC＋∠BDC＝110°.
18．(2021·包头)某工程队准备从 A 到 B 修建一条隧道，测量员在直线 AB 的同一侧选定 C，D 两个观测点，如图．测得 AC 长为322km，CD 长为34( 2 ＋ 6)km，BD 长为32km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°(A，B，C，D 在同一水平面内)．
(1)求 A，D 两点之间的距离；解：过 A 作 AE⊥CD 于 E，则∠AEC＝∠AED＝90°. ∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°. ∴CE＝12AC＝34 2，AE＝ 3CE＝34 6. ∴DE＝CD－CE＝34( 2＋ 6)－34 2＝34 6.

(宜宾专版)2019年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第4章第15讲等腰三角形与直角三角形(精讲)练习

第十五讲等腰三角形与直角三角形宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.（2014·宜宾中考）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝ 1.5.2.（宜宾中考）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D.请你再添加一个条件，就可以确定△ABC 是等腰三角形.你添加的条件是答案不唯一，如BD ＝CD Ｗ.宜宾中考考点梳理等腰三角形及其性质和判定 1.等腰三角形（简称“三（4）等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；（5）面积：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（简写成“ 等角对等边2.等边三角形三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）（1）等边三角形三边相等（如（2）等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于（4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；（5）面积：＝34AB2（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于直角三角形及其性质和判定3.直角三角形4.等腰直角三角形线段的垂直平分线和角平分线5.线段的垂直平分线（1）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.如图，若OP垂直平分AB，则PA＝PB.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形（1）直角三角形的两个锐角（2）直角三角形斜边上的（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于（2）判定（性质定理的逆定理）：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.6.角平分线（1）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.如图，若∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定（性质定理的逆定理）：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（D）A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点2.如图，在△AB C中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（B）A.30°B.45°C.50°D.75°（第2题图）（第3题图）3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（B）A.40°B.36°C.30°D.25°4.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是10 Ｗ.Ｗ.5.在△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝5，则AB＝36.含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠1＝60°，以下三个结论中正确的是②③（写出所有正确结论的序号）.①AC＝2BC；②△B CD为正三角形；③AD＝BD.7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，ED⊥AB于点D，交AC于点E.（1）若BC＝3，AC＝4，求CD的长；（2）求证：∠1＝∠2.（1）解：∵∠ACB＝90°，BC ＝3，AC ＝4，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.∵CD 是AB 边上的中线，∴CD ＝12AB ＝2.5；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A ＋∠B＝90°.∵ED ⊥AB ，∴∠A ＋∠1＝90°，∴∠B ＝∠1.∵CD 是AB 边上的中线，∴BD ＝CD ，∴∠B ＝∠2，∴∠1＝∠2.8.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥BC ，交AC 于点E.（1）求证：DE ＝CE ；（2）若∠CDE＝35°，求∠A 的度数.（1）证明：∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠BCD ＝∠ECD.∵DE ∥BC ，∴∠EDC ＝∠BCD，∴∠EDC ＝∠ECD，∴DE ＝CE ；（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝35°，∴∠ACB ＝2∠ECD＝70°.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB＝70°，∴∠A ＝180°－70°－70°＝40°.中考典题精讲精练等腰三角形的性质和判定【典例1】如图，已知点D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BD ⊥CD ，∠A ＝∠ABD，若AC ＝6，BC ＝4，求BD 的长.【解析】延长BD 与AC 交于点E ，由题意可推出BE ＝AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC ＝CE ，AE ＝BE ＝2BD ，根据AC ＝6，BC ＝4，即可求出BD 的长.【解答】解：延长BD 与AC 交于点E.∵∠A ＝∠ABD，∴BE ＝AE.∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD.∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD ＝∠ECD，∴∠EBC ＝∠BEC，∴BC ＝CE.∵BE⊥CD，∴2BD ＝BE.∵AC＝6，BC ＝4，∴CE ＝4，∴AE ＝AC －EC ＝6－4＝2，∴BE ＝2，∴BD ＝1.直角三角形的性质和判定【典例2】如图1，△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，M 、N 分别是线段BC 、DE 的中点.（1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM 、ME ，猜想∠A 与∠DME 之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC 变为钝角△ABC，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.图1 图2【解析】（1）连结DM 、EM ，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DM ＝12BC ，EM ＝12BC ，从而得到DM ＝ME ，再根据等腰三角形的“三线合一”可得结论；（2）根据三角形的内角和定理可得∠AB C ＋∠ACB＝180°－∠A，再根据“等腰三角形两底角相等”表示出∠BMD＋∠CME，然后根据“平角等于180°”表示出∠DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC，再根据“等腰三角形两底角相等及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”表示出∠BME＋∠CMD，然后根据“平角等于180°”表示出∠DME，整理即可得解.【解答】（1）证明：连结DM 、EM.∵CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，点M 是BC 的中点，∴DM ＝12BC ，ME ＝12BC ， ∴DM ＝EM.又∵点N 为DE 的中点，∴MN ⊥DE ；（2）解：在△ABC 中，∠ABC ＋∠ACB＝180°－∠A.∵DM ＝EM ＝BM ＝CM ，∴∠BMD ＋∠CME＝（180°－2∠ABC ）＋（180°－2∠ACB）＝360°－2（∠ABC＋∠ACB）＝360°－2（180°－∠A）＝2∠A，∴∠DME ＝180°－2∠A；（3）解：（1）中的结论成立，（2）中的结论不成立.理由：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC.∵DM＝EM＝BM＝CM，∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2（180°－∠BAC）＝360°－2∠BAC，∴∠DME＝180°－（360°－2∠BAC）＝2∠BAC－180°.线段中垂线定理及其逆定理【典例3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF⊥AD交BC的延长线于点F.求证：∠FAC＝∠B.【解析】根据角的平分线的定义和平行线的性质，可得AE＝DE，则EF是AD的垂直平分线，又∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA＝∠B＋∠BAD，即可得证.【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠C AD.∴∠EDA＝∠BAD，∴AE＝ED.又∵EF⊥AD，∴EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA＝∠B＋∠BAD，∴∠FAC＝∠B.1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC.求证：点F是AB的中点.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE，∴∠AEF＝∠BAE，∴AF＝EF.又∵BE⊥AD，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠BEF＋∠AEF＝90°，∴∠ABE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴AF＝BF，∴点F为AB的中点.2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，垂足为D，若PC＝10，则PD等于（C）A .10B .5 3C .5D .2.53.如图，∠ABC ＝∠ADC＝90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点.求证：MN⊥BD.证明：连结BM 、DM.∵∠ABC ＝∠ADC＝90°，M 是AC 的中点，∴BM ＝DM ＝12AC. ∵N 是BD 的中点，∴MN ⊥BD.4.在△ABC 中，MP 、NO 分别垂直平分AB 、A C.（1）若BC ＝10 cm ，试求出△PAO 的周长；（2）若AB ＝AC ，∠BAC ＝110°，试求∠PAO 的度数；（3）在（2）中，若无“AB＝AC”的条件，你能求出∠PAO 的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.解：（1）∵MP、NO 分别垂直平分AB 、AC ，∴AP ＝BP ，AO ＝CO ，∴△PAO 的周长＝AP ＋PO ＋AO ＝BP ＋PO ＋CO ＝BC ，∵BC ＝10 cm ，∴△PAO 的周长为10 cm ；（2）∵AB＝AC ，∠BAC ＝110°，∴∠B ＝∠C＝12（180°－110°）＝35°. ∵MP 、NO 分别垂直平分AB 、AC ，∴AP ＝BP ，AO ＝CO ，∴∠BAP ＝∠B＝35°，∠CAO ＝∠C＝35°，∴∠PAO ＝∠BAC－∠BAP－∠CAO＝110°－35°－35°＝40°；（3）能.∵∠BAC ＝110°，∴∠B ＋∠C＝180°－110°＝70°.∵MP 、NO 分别垂直平分AB 、AC ，∴AP ＝BP ，AO ＝CO ，∴∠BAP＝∠B，∠CAO＝∠C，∴∠PAO＝∠BAC－∠BAP－∠CAO＝∠BAC－（∠B＋∠C）＝110°－70°＝40°.。

第四单元第十九讲等腰三角形与直角三角形++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)

过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是 ( C )
①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;
③△ADE的周长为AB+AC;④BD=CE.
A.③④
B.①②
C.①②③
D.②③④
(2)已知△ABC中,AB=AC=4,∠A=60°,则△ABC的周长为________.
股定理求解.
(4)折叠问题中求解线段长度问题,常常将某些条件汇集到一个直角三角形中,再
根据勾股定理列方程求解.
山东3年真题
38
1.(2023·菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+ 2 − − 3+|c-3 2|=0,
(4)在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半.
37
2.勾股定理常见应用与技巧:
(1)已知直角三角形的任意两个边长,可直接利用勾股定理求得第三条边长.
(2)已知三角形的三边长,可运用勾股定理的逆定理确定此三角形是否为直角三角
形.
(3)立体图形表面的最短路径问题,可将立体图形展开,构造直角三角形后利用勾
交AC于点D,如果DE垂直平分BC,那么∠A的度数为
A.31° B.62° C.87° D.93°
(C)
8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识要点
3.直角三角形的性质与判定
互余
直角三角形的两个锐角__________
性
斜边
30°角所对的直角边等于______的一半
质
斜边
直角三角形斜边上的中线等于__________的一半
平方和
勾股定理:直角三角形中两直角边的____________等于斜边的平方

中考数学复习第15讲全等三角形

第十五讲全等三角形宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.（2019·宜宾中考）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＋∠CAE＝∠DAC＋∠CAE.∴∠CAB＝∠EAD.在△ABC与△ADE中，∵AB＝AD，∠CAB＝∠EAD，AC＝AE，∴△ABC≌△ADE（S.A.S.）.∴∠C＝∠E.2.（2018·宜宾中考）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D.求证：CB＝CD.中考复习证明：∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠ACD.在△ABC与△ADC中，∵∠B＝∠D，∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∴△ABC ≌△ADC（A.A.S.）.∴CB＝CD.3.（2017·宜宾中考）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求证：BE ＝CF.证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F.在△ABC和△DEF中，∵∠A＝∠D，∠ACB＝∠F，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（A.A.S.）.∴BC＝EF.∴BC－CE＝EF－CE，中考复习即BE＝CF.4.（2016·宜宾中考）如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC，∴∠DAB＝∠CBA.在△ADB与△BCA中，∵∠DBA＝∠CAB，AB＝AB，∠DAB＝∠CBA，∴△ADB≌△BCA（A.S.A.）.∴BC＝AD.5.（2015·宜宾中考）如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE.求证：∠A＝∠D.证明：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE，即∠DCE＝∠ACB.在△ACB与△DCE中，∵AC＝DC，BC＝EC，∠ACB＝∠DCE，∴△ACB≌△DCE （S.A.S.）.∴∠A＝∠D.宜宾中考考点梳理全等三角形的概念及性质1.能够完全重合的两个三角形是全等三角形.2.全等三角形的对应边相等，对应角相等.三角形全等的判定3.判定三角形全等的方法有S.A.S.（基本事实）、A.S.A.（基本事实）、S.S.S.（基本事实）、A.A.S.；判定两个直角三角形全等的特定方法有H.L.Ｗ.4.三角形全等的证明思路（已知边或角对应相等）⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角—S.A.S.找直角—H.L.找另一边—S.S.S.已知一边一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边：找任意角—A.A.S.边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边—S.A.S.找夹边的另一角—A.S.A.找边的对角—A.A.S.已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边—A.S.A.找对边—A.A.S.【温馨提示】（1）“S.A.S.、A.S.A.、S.S.S.、A.A.S.”适用于所有三角形，而“H.L.”只适用于直角三角形全等的判定.（2）“S.S.A.”和“A.A.A.”不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与.（3）证明三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置上.（4）灵活运用“截长补短法”添加辅助线可以构造全等三角形.1.（2019·宜宾中考）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE＝1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF＝DA.41B.42C.5 2D.213（第1题图）（第2题图）2.三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数是（D）A.90°B.120°C.135°D.180°3.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合.过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线.这种做法的依据是利用“S.S.S.”证明△COM≌△CONＷ.4.如图是标准跷跷板的示意图.横板AB的中点过支撑点O，且绕点O只能上下转动.如果∠OCA＝90°，∠CAO＝25°，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为50°Ｗ.（第4题图）（第5题图）5.如图，∠C＝∠D＝90°，可使用“H.L.”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加的一个条件是AC＝AD（或BC＝BD）Ｗ.6.（2019·南充中考）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.（1）求证：△AOD≌△OBC；（2）若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数.解：（1）证明：∵点O是线段AB的中点，∴AO＝BO.∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC.在△AOD与△OBC中，∵AO＝BO，∠AOD＝∠OBC，OD＝BC，∴△AOD≌△OBC（S.A.S.）；（2）解：由（1）可知∠BOC＝∠A，∴OC∥AD.∴∠DOC＝∠ADO＝35°.中考典题精讲精练全等三角形的性质和判定【典例1】如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝42°，求∠BDE的度数.【解析】（1）根据三角形的内角和及对顶角的性质得出∠2与∠BEO的关系，然后结合已知条件及图形找到判定这两个三角形全等的条件即可；（2）由（1）可得EC＝ED，∠C＝∠BDE，根据等腰三角形的性质即可求∠C的度数，可得∠BDE的度数.【解答】（1）证明：在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOE，∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO.∴∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∵∠A＝∠B，AE＝BE，∠AEC＝∠BED，∴△AEC≌△BED（A.S.A.）；（2）解：∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°，∴∠BDE＝∠C＝69°.直角三角形的判定及应用【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AQ上运动，问点P运动到AC上什么位置时，△APQ才能和△ABC全等？【解析】本题要分情况讨论：①Rt△PAQ≌Rt△BCA，此时AP＝BC＝5 cm，可据此求出P点的位置；②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合.【解答】解：可分以下两种情形：①当点P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，∴△ABC和△APQ都是直角三角形.在Rt△QPA和Rt△ABC中，∵AP＝BC，PQ＝BA，∴Rt△QPA≌Rt△ABC（H.L.）.此时AP＝BC＝5 cm；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，在Rt△QAP和Rt△BCA中，∵AP＝CA，PQ＝AB，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（H.L.）.此时AP＝AC＝10 cm.综上所述，当P运动到使AP＝BC＝5 cm或点P与点C重合时，△APQ才能和△ABC全等.1.如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE.若BE＝10 m，BF＝3 m，则FC的长度为4m.2.如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，连结BD，∠BCD＝∠BDC，过点C作CE⊥BD，垂足为点E.（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若AD＝3，DE＝2，求△BCD的面积.（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC.∵CE⊥BD，∠A＝90°，∴∠A＝∠BEC＝90°.∵∠BCD＝∠BDC，∴BC＝BD.在△ABD 和△ECB 中，∵∠A ＝∠BEC ，∠ADB ＝∠EBC ，BD ＝CB ， ∴△ABD ≌△ECB （A .A .S .）；（2）解：由（1）知，△ABD ≌△ECB ，则BE ＝AD ＝3，AB ＝EC ，∴BD ＝BE ＋DE ＝3＋2＝5. ∴AB ＝EC ＝BD 2－AD 2＝52－32＝4.∴S △BCD ＝12BD·EC ＝12×5×4＝10.3.如图，AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，EF 过点C ，BE ⊥EF 于点E ，DF ⊥EF 于点F ，BE ＝DF.求证：Rt △BCE ≌Rt △DCF.证明：连结BD.∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB. ∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°， ∴∠CBD ＝∠CDB.∴BC ＝DC. ∵BE ⊥EF ，DF ⊥EF ， ∴∠E ＝∠F ＝90°.在Rt △BCE 和Rt △DCF 中， ∵BC ＝DC ，BE ＝DF ，∴Rt △BCE ≌Rt △DCF （H .L .）.请完成《精练本》第39～40页作业。

2019年宜宾中考总复习精练第4章第15讲等腰三角形与直角三角形

第十五讲等腰三角形与直角三角形1．(2019台州中考)如图，已知等腰三角形ABC ，AB ＝AC ，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是( C )A ．AE ＝ECB ．AE ＝BEC ．∠EBC ＝∠BACD ．∠EBC ＝∠ABE,(第1题图)),(第2题图))2．(2019烟台中考)某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE 与AB 的夹角为48°，若CF 与EF 的长度相等，则∠C 的度数为( D )A ．48°B ．40°C ．30°D ．24°3．(2019大庆中考)如图，△ABD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 中，∠DBC ＝90°，∠BCD ＝60°，DC 中点为E ，AD 与BE 的延长线交于点F ，则∠AFB 的度数为( B )A ．30°B ．15°C ．45°D ．25°,(第3题图)),(第5题图))4．(安顺中考)已知实数x ，y 满足|x －4|＋y －8＝0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( B )A ．20或16B ．20C ．16D ．以上答案均不对5．(2019大连中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( B )A ．2aB ．22aC ．3a D.433a 6．(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是( A )A ．5B ．6C ．7D ．87．(2019聊城中考)如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上．如果点P 是某个小矩形的顶点，连结PA ，PB ，那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是( B )A ．2B ．3C ．4D ．58．(内江中考)已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( B )A.32B.332C.32D．不能确定9．(2019株洲中考)如图所示，在△ABC中，∠B＝__25°__.,(第9题图)) ,(第10题图)) 10．(泰州中考)如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若α＝40°，则β等于__20°__．11．(2019常德中考)如图，已知Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是__0＜CD≤5__．,(第11题图)) ,(第12题图)) 12．(牡丹江中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连结AD，若AD＝4，则DC＝__5__．13．(2019淄博中考)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝14．(常州中考)如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O.(1)求证：OB＝OC；(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．解：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD，CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC＝∠BDC＝90°，∴△BEC≌△CDB，∴∠DBC＝∠ECB，BE＝CD.在△BOE和△COD中，∵∠BOE＝∠COD，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB＝90°，∴△BOE≌△COD，∴OB＝OC；(2)∵∠ABC＝50°，AB＝AC，∴∠A＝180°－2×50°＝80°.∵∠DOE＋∠A＝180°，∴∠BOC＝∠DOE＝180°－80°＝100°.15．(宁夏中考)在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE＝DC＝2.在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∠EDC＝60°，∴EF＝tan60°·DE＝2 3.16．(2019郴州中考)如图①，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6 cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE.(1)求证：△CDE是等边三角形；(2)如图②，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)如图③，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；(2)存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE，由(1)知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD＋4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2 3 cm，∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝23＋4；(3)存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由(1)可知，△CDE 是等边三角形， ∴∠DEB ＝60°，∴∠CEB ＝30°. ∵∠CEB ＝∠CDA，∴∠CDA ＝30°. ∵∠CAB ＝60°，∴∠ACD ＝∠ADC＝30°， ∴DA ＝CA ＝4，∴OD ＝OA －DA ＝6－4＝2， ∴t ＝2÷1＝2 s ；③当6＜t ＜10 s 时，由∠DBE＝120°＞90°， ∴此时不存在；④当t ＞10 s 时，由旋转的性质可知，∠DBE ＝60°，又由(1)知∠CDE＝60°，∴∠BDE ＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE ＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD ＝BC ＝4，∴OD ＝14 cm ， ∴t ＝14÷1＝14 s ，综上所述，当t ＝2或14 s 时，以D ，E ，B 为顶点的三角形是直角三角形．17．(六盘水中考)如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4…，若∠A＝70°，则∠A n－1A n B n －1的度数为( C )A.702n B.702n ＋1 C.702n －1 D.702n ＋22019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（）A ．8B ．6C ．4D ．22．在数学课上，甲、乙、丙、丁四位同学共同研究二次函数y ＝x 2﹣2x+c （c 是常数）．甲发现：该函数的图象与x 轴的一个交点是（﹣2，0）；乙发现：该函数的图象与y 轴的交点在（0，﹣4）上方；丙发现：无论x 取任何值所得到的y 值总能满足c ﹣y≤1；丁发现：当﹣1＜x ＜0时，该函数的图象在x 轴的下方，当3＜x ＜4时，该函数的图象在x 轴的上方．通过老师的最后评判得知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（）A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．①和④4．目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，国产芯片的最小工艺水平理论上是12纳米，已知1纳米910-=米，用科学记数法将12纳米表示为（）米 A.91210-⨯B.101.210-⨯C.81.210-⨯D.80.1210-⨯5．如图，直线l 1∥l 2，且分别与直线l 交于C 、D 两点，把一块含30o 角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=53o，则∠2的度数是( )A.93oB.97oC.103oD.107o6．如图，△ABC 中，G 、E 分别为AB 、AC 边上的点，GE ∥BC ，BD ∥CE 交EG 延长线于D ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是( )A ．AE EC ＝GEBCB ．AG AB ＝AEDB C ．CF CD ＝CECAD ．DG BC ＝BGBA7．如图1．已知正△ABC 中，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，y 关于x 的函数图象如图2，则△EFG 的最小面积为（）C.28．若a b <，则下列结论不一定成立的是（） A ．11a b -<-B ．22a b <C ．33a b ->- D ．22a b <9．下面给出四个命题：①各边相等的六边形是正六边形；②顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等；③顺次连结一个四边形各边中点所成的四边形是矩形，则原四边形是菱形；④正五边形既是中心对称图形又是轴对称图形其中真命题有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个10．如图，点A （0，2），在x 轴上取一点B ，连接AB ，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、AB 于点M 、N ，再以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点D ，连接AD 并延长交x 轴于点P ．若△OPA 与△OAB 相似，则点P 的坐标为（）A ．（1，0）B ．0）C ．（230） D ．（0）11．如图，AB A B ''=，A A '∠=∠，若ABC A B C '''∆≅∆，则还需添加的一个条件有( )A.1种B.2种C.3种D.4种12．如图，在大楼AB 正前方有一斜坡CD ，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A,C,E 在同一直线上.则斜坡CD 的长度为（）.A ．120B ．60C ．120-D ．120-二、填空题13．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+m ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_____． 14．已知反比例函数y ＝的图象经过点（2，﹣1），则k ＝_____．15．月球离地球近地点的距离为363300千米，数据363300用科学记数法表示是______．16．对于m ，n （n≥m）我们定义运算A n m ＝n （n ﹣1）（n ﹣2）（n ﹣3）…（n ﹣（m ﹣1）），A 73＝7×6×5＝210，请你计算A 42＝_____． 17．化简：239m m --＝_____．18．在直角△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，G 是重心，那么G 到斜边AB 中点的距离是___．三、解答题19021tan 60()2-+ 20．某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．（1）求表中a 的值；（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，但销售价格保持不变．商场购进了餐桌和餐椅共200张，应怎样安排成套销售的销售量（至少10套以上），使得实际全部售出后，最大利润与（2）中相同？请求出进货方案和销售方案．21．如图，大楼AC 的一侧有一个斜坡，斜坡的坡角为30°．小明在大楼的B 处测得坡面底部E 处的俯角为33°，在楼顶A 处测得坡面D 处的俯角为30°．已知坡面DE ＝20m ，CE ＝30m ，点C ，D ，E 在同一平面内，求A ，B 两点之间的距离．（结果精确到1m ≈1.73，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）22．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE 、BF ，交点为G ．求证：AE ⊥BF ．23．如图，以AB 为直径作半圆O ，点C 是半圆上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于E ，D 为BE 延长线上一点，且DE ＝FE ．（1）求证：AD 为⊙O 切线；（2）若AB ＝20，tan ∠EBA ＝34，求BC 的长．24．如图，抛物线P ：21(2)3y a x =+-与抛物线Q ：221()12y x t =-+在同一平面直角坐标系中（其中a ，t 均为常数，且t ＞0），已知点A （1，3）为抛物线P 上一点，过点A 作直线l ∥x 轴，与抛物线P交于另一点B．（1）求a的值及点B的坐标；（2）当抛物线Q经过点A时①求抛物线Q的解析式；②设直线l与抛物线Q的另一交点为C，求ACAB的值．25．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,动点D从点A出发,沿线段AC以每秒1个单位的速度向终点C运动,动点E同时从点B出发,以每秒2个单位的速度沿射线BC方向运动,当点D停止时,点E 也随之停止,连结DE,当C．D．E三点不在同一直线上时,以ED、EC我邻边作▱ECFD,设点D运动的时间为t(秒).(1)用含t的代数式表示CE的长度。

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