特殊与一般思想在高考数学中的应用

合集下载

特殊与一般的思想在解题中的运用

直线Ａ：Ｑ的方程是Ｙ：
交点为｜ｓ（４，、／丁）．
一、／丁，
若Ｐ（，一孚），Ｑ（－，孚），
由对称性可知交点为（４，一、／）．
由此我们发现两点的横坐标都为４，因此我们猜测若点ｓ在同一条直线上，则直线只能为ｆ：＝４．到此，问题并没有解决，
ｆ等＋：得（ｍ，，＋１）＋：４，【＝ｍｙ＋１
．
显然需要较强的技巧，很多学生是无法完成的．解法３通过特殊探路，猜测一般问题的结果，再给予证明，显得自然、合理．这里，特殊与一般的思想有了价值，有了用武之地．事实上，特殊与一般的思想还是解答某些解答题的绿色通道，比如，在数列中我们熟悉的归纳、猜想、证明，就是特殊
所以ｃ＝、／丁，ｂ：一ｃ＝１．
取＝０，ｍ＝、／，此时Ｐ（Ｏ，、／丁），Ｑ（４，、／丁），以为直径的圆为（一２）＋（ｙ一、／丁）＝４，交轴于点Ｍ（１，０），
Ｍ２（３，０）；
，
／／
＼＼、
Ｑ
图２
半径ｒ：
ｋ／（４＝１，￣／
一
一
ｖ＼
ｍ
４）＋［一（舭＋ｍ）］，
所以圆方程为（一辈ｙ一
｛（４＋
（一１）＝０，
）２＝１・
（１）求椭圆Ｃ的方程；（２）设直线＝ｍｙ＋１与椭圆Ｃ交于Ｐ、Ｑ两点，直线Ａ。Ｐ

从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的应用

从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的应用摘要：从特殊到一般思想方法是一种重要的解题策略，同时也是一种重要的思维方法。

本文从四个方面论述了从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的具体应用。

关键词：数学思想方法特殊化不完全归纳法现实中，人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或结果推广到一般问题之上，从而获得一般性问题的解决。

这种从特殊到一般的数学思想方法也称之为特殊化方法，它作为一种化归策略，在解决数学问题中有着广泛的应用，其基本思想却很简单：相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决。

现在通过实例论述从特殊到一般的数学思想方法在解决数学问题中的具体应用。

一、在指示数学解题方向中的应用众多数学问题都具有各自的特殊性，依据“普遍性存在于特殊性之中”的普遍规律，把那些题目的结论不明确，通过“退”即将问题的条件特殊化，找到结论，从而明确解题方向。

运用这种特殊化能使这类问题的解法变得简洁、明快。

例1：如图，设△ABC三边上的高分别为ha,hb,hc,△ABC内的任一点P到三边BC、CA、AB的距离分别是da,db,dc，则＋＋为定植。

图１图2分析：当△ABC为任意三角形时，难以确定＋＋的值。

现设原命题为真，即＋＋为定值成立。

将条件特殊化，设△ABC为正三角形，则＋＋为定值也必定成立，如图，在正△ABC中，由P的任意性，取P为垂心H，依据正三角形四心合一的性质知＋＋＝，从而预测＋＋=1（定值）。

证明：连结PA、PB、PC，在△ABC和△PBC中，BC为同底（图1），∴＝，同理，＝，＝，将此三式相加得＋＋=1，原命题成立。

二、在一般性命题检验中的应用由于一般性总是寓于特殊性之中，所以命题在特殊情形下为假，则它在一般情况下也假，从而通过特殊化就能达到对命题结论的检验和判断。

我们往往从问题的特性入手，考察合乎条件的特殊情形，比如：特殊植、特殊位置、特例等进行特殊化处理。

2、数学思想方法之特殊与一般含答案

数学思想方法之特殊与一般1．特殊化思想对于某个一般性的数学问题，对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，那么可以先解决它的特殊情况，即从即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想. 2．一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，先解决一般情形，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想. 一、一般问题特殊化一、一般问题特殊化【例1】设三棱柱111ABC A B C -的体积为,,V P Q 分别是侧棱11,AA CC 上的点，且1P A QC =，则四棱锥B APQC -的体积为的体积为（Ａ）16V （Ｂ）14V （Ｃ）13V （Ｄ）12V 【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算. 方法一常规方法如图2-18,因为1P A QC =，所以PQ 将三棱柱的侧面11AAC C 分成面积相等的两个梯形，从而11B APQCB P AC Q VV--=.又1111133B A BC VV V -==柱体，且三棱柱111ABC A B C -被分成两个四棱锥B APQC -与11B PAC Q -以及三棱锥111B A B C -三部分，所以13B APQCV V -=. 方法二特殊化的方法. 仔细分析题目的已知条件会发现，仔细分析题目的已知条件会发现，三棱柱的形态没给出具体限制，三棱柱的形态没给出具体限制，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；是一般的三棱柱；侧棱11,AA CC 上的两点,P Q 只有1P A QC =的要求，而没有具体位置的限制.从选项来看，所求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定，用特殊化方法求解本题可以体现出快捷的特点.首先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱，其次还可以将点,P Q 分别为11,AA CC 的中点；也可以使点P 趋近于点A ，点Q 趋近于点1C ，即使10P A QC =®，使四棱锥特殊化为三棱锥，实际上，这种处理方法也包含有极限的思想.经过特殊化处理后，再求解几何体的体积就要简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想，用特殊的方AB CA 1B 1C 1PQ]p p p p p]4p6p aD B A y C o E 二、特殊问题一般化二、特殊问题一般化【例5】（04）已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -=（Ａ）b （Ｂ）b - （Ｃ）1b （Ｄ）1b- 【分析及解】为了说明本题所体现的出来的数学思想方法，我们先来看解决本题的三种方法. 方法一常规方法本题所研究的函数是确定的，其函数解析式已知且不含有参数如果把,a b 看成是两个母用字母表则表示的数，则它是它们也是确知确定的，已知的的.于是由()f a b =，得1lg 1ab a-=+.又1()lg 1a f a a +-=-，那么为求得()f a -的值，实际上就是求1lg 1aa+-怎样用关于b 的解析式来表示，就是求1lg 1a a +-与1lg 1aa -+的关系.到此，不难发现，有1111lg lg()lg 111a a aa a a-+--==--++，于是()f a b -=-. 方法二一般化方法如果我们探究()f a 与()f a -的关系，产生猜想：如果()f x 是奇函数或偶函数，那么由()f a 的值求()f a -的值就会变得相当简单.()f x 具有奇偶性吗？具有奇偶性吗？()f x 的定义域为{11}x x -<<，关于原点对称.在定义域内任取x 和x -有1111()()lg lg lg()lg101111x x x xf x f x x x x x-+-++-=+=×==+-+-. 所以()f x 是定义域()1,1-内的奇函数，于是()()f a f a b -=-=-. 练习题1．（北京卷）对任意的锐角b a ,，下列不等式关系中正确的是（A ）b a b a sin sin )sin(+>+ （B ） b a b a cos cos )sin(+>+ （C ）b a b a sin sin )cos(+<+ （D ）b a b a cos cos )cos(+<+ 答案：（D ）. 提示，取特殊值，令==b a 30°，再令==b a 1°. 2．（天津卷）已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列，其首项分别为11,b a ，且*,,51111N b a b a Î=+，设n b n a c =（*N n Î），则数列{}n c 的前10项和等于项和等于（A ）55 （B ） 70 （C ）85 （D ）100答案：（C ）. 提示，取特殊数列，令11=a ，得41=b ，3,+==n b n a n n ，所以3+=n c n. 4．（上海卷）若关于x 的不等式4)1(42+£+k x k 的解集是M ，则对任意实数k ，总有总有（A ）M M ÎÎ0,2 （B ）M M ÏÏ0,2 （C ）M M ÏÎ0,2（D ）M M ÎÏ0,2 答案：（A ）. 提示，取特殊值，令0=k ，得4£x . 5．（福建卷）已知1=OA ，3=OB ，0=·OB OA ，点C 在AOB Ð内，且30=ÐAOC ，设),(R n m OB n OA m OC Î+=，则n m 等于等于（A ）31 （B ）3 （C ）33（D ）3 答案：（B ）. 提示，提示，取特殊位置，由取特殊位置，由0=·OB OA ，将点C 取在直角△AOB 的斜边AB 上.6．（辽宁卷）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为a ，则=a c o s __________.答案：36. 提示，取特殊图形，求正方体的体对角线与各个面所成角的余弦值. 9（福建）．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ¢¢>>，，则0x <时（时（）A ．()0()0f x g x ¢¢>>，B ．()0()0f x g x ¢¢><，C ．()0()0f x g x ¢¢<>，D ．()0()0f x g x ¢¢<<，（提示：取2(),()f x x g x x ==）8、（全国1理9）设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0=0，，如果平面向量b 1、b 2、b 3满足| b i |=2| a i |，且a i 顺时针旋转30以后与b i 同向，其中i=1i=1、、2、3则（则（））A 、-b 1+b 2+b 3=0B 、b 1-b 2+b 3=0C 、b 1+b 2-b 3=0D 、b 1+b 2+b 3=0 （提示：因为a 1+a 2+a 3=0，所以a 1、a 2、a 3构成封闭三角形，不妨设其为正三角形，则b i 实际上是将三角形顺时针旋转30后再将其各边延长2倍，仍为封闭三角形，故选D 。

数学中的一般化与特殊化例谈

数学中的一般化与特殊化例谈何华兴(无锡高等师范学校，江苏无锡 214001)摘要:本文通过一组实例探讨“一般化”和“特殊化”这两种解题的基本策略，分析它们的适用条件，并介绍相关的思维过程、步骤和应用技巧。

关键词:一般化特殊化一般化与特殊化是人类认识事物的两个重要侧面，也是解题的两种基本策略，它们相辅相成，是辩证的统一。

在多数场合，特殊问题简单、直观，容易认识，容易把握。

但是，也有一些场合，特殊问题的个别特性可能会掩盖事物的本质属性，给解题带来困难，而直接求解相应的一般性问题，反而来得简便、明快、奇巧。

一、平起平坐互为因果通常情况下，特殊不能代替一般；但有时，特殊命题确实能与一般命题等价。

利用特殊与一般等价解决问题，有两种基本形式：其一是特殊借助于一般使问题获得解决；其二是一般借助于特殊使问题获得解决。

例1下列两个命题是否等价?为什么?命题1 设a i ＞0(i=1,2,…,n)，则12n a a a n +++当且仅当a 1=a 2=…=a n时，等号成立。

命题2设a i ＞0(i=1,2,…,n)，且a 1a 2…a n =1，则a 1+a 2+…+a n ≥n ，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立。

分析：(1) 命题2是命题1的特殊情况, 由命题1当然能推出命题2。

(2)考察下列n，由于它们的积为1，故+…≥n ，即 12n a a a n +++∴由命题2能推出命题1。

由(1)，(2)可知，命题1与命题2等价。

这样，我们就发现了一件非常有趣的事情：有时特殊命题与一般命题等价。

这项发现并非只有理论上的价值。

事实上，既然有时“特殊命题与一般命题等价”，我们想要证明一般命题1，只要证明特殊命题2就可以了。

显然，证明命题2要比证明命题1来得容易(命题2可用数学归纳法证明)。

例2设a，b，c，d，e都是正整数，且满足a+b+c+d+e=abcde，求e的最大值。

分析：由条件等式的对称性，可知e的最大值也是a，b，c，d的最大值，对a、b、c、d、e进行排序，得到一个相应的特殊问题，从而便于放缩，使问题得解。

高考数学特殊与一般的思想

高考数学特殊与一般的思想由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一，对数学而言，这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研究的特殊与一般的思想.在高考中,会有意设计一些能集中体现特殊与一般的思想的试题,例如: (1) 由一般归纳法进行猜想的试题;(2) 由平面到立体,由特殊到一般进行类比猜想的试题; (3) 抽象函数问题; （4）定点,定值问题;(5) 用特殊化方法解选择题等.【分析及解】本题可以直接通过解不等式得到答案，也可以通过特殊化方法和估算求解，首先由集合B 可知，3-≠x ，因而排除(C)，再由B x ∉-=2，又可排除(A)，(B)，于是选(D).【分析及解】本题是一道抽象集合问题,直接求解有困难,但可以用特殊化策略解决问题.可以构造特例,例如设=1S {}{}{}4,2,3,2,2,132==S S , 则{}{},4,3,4,3,2,11==S C I I {}4,12=S C I , {}3,13=S C I , 经简单的计算,就可以排除(A),(B),(D).而由选择题的四选一的要求,可选(C).【分析及解】本题给出了一个求特殊的多项式的值的算法的运算次数的示范,要求归纳出求一般的多项式的值的运算的次数,这是对特殊与一般的思想和归纳抽象能力的考查.第一种算法, 计算0()n P x 的值共需要n n n +++-+1)1(Λ次运算,即()23+n n 次运算;第二种算法, 计算0()n P x 的值可以采用递推的方法.设计算0()n P x 的值的次数为n b ,则21+=-n n b b ,由{}n b 是等差数列及21=b 可得n b n 2=.【分析及解】解法一：（I ）;22111,111=-==b a 故 ;3821871,8722=-==b a 故.320,2013;421431,434433===-==b a b a 故故（II ）因231)34(3832)34)(34(=⨯=--b b ，2231222)34()34)(34(,)34()34(-=--=-b b b b故猜想.2,32}34{的等比数列公比是首项为=-q b n因2≠n a ，（否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾）,034,3436162038212)34(2,36162034368163421134).1(8162511111≠--=--=--=---=---=--=-≥-+=++++b b a a a b a a a a a b n a aa n n n n n n nn n n n nn 因故故2|34|=-q b n 确是公比为的等比数列.n n b b 23134,32341⋅=-=-故因, )1(34231≥+⋅=n b n n,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++=Λ2211故)152(313521)21(31)(2121-+=+--=++++=n n n b b b n n n Λ 解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）2342312)34(3832,38,34,32=⨯=-=-=-b b b b b b 因此故又因的等比数列公比是首项为猜想).1(81625,2231,2,32}{111≥-+=≠⋅=-=-+++n a a a a b b q b b nnn n nn n n n1222181625121121111----+=---=-++n n n n n n n a a a a a b b;3681036636816--=----=n n n n n a a a a a 3681636816211211111212-----=---=-++++++n n n n n n n n a a a a a a b b).(2361620368163624361n n n n n n n n b b a a a a a a -=--=-----=+,231,2}{,0321112n n n n n b b q b b b b ⋅=-=-≠=-++的等比数列是公比因从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---Λnn n n n n n n n n n n b a b a b a S b b a a b n +++=+=-=≥+⋅=+-=++++=--ΛΛ2211121,121211).1(342312)22(312)222(31故得由n b b b n ++++=)(2121Λ ).152(313521)21(31-+=+--=n nn n。

数学中的“特殊与一般”思想方法

ABCD 数学中的“特殊与一般”思想方法在数学学习的过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，经过证明后，成为一般性结论，又使用它们来解决相关的数学问题。

在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想的集中体现。

由特殊到一般、由一般到特殊的过程是认识事物的基本过程，数学也不例外。

所谓特殊与一般的思想包括两个方面：通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，再逐渐形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规律，形成公式，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，从实践到理论，这种认识事物的过程就是由特殊到一般的认识过程；在理论指导下，用已有的规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程就是由一般到特殊的认识过程。

由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程。

在数学高考中，对特殊与一般思想的考查方式主要有，利用一般的归纳法进行猜想；通过构造特殊函数、特殊数列、寻求特殊点、特殊位置关系；利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等。

高考特别注重利用选择题、填空题的特点，重点考查由特殊到一般的思想；利用解答题的严密性，重点考查由一般到特殊的思想，或综合考查特殊与一般的思想。

一．利用特殊情形判断一般性结论是否成立辩证法告诉我们：矛盾的一般性寓于特殊性之中。

相对于一般情形而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知。

解题时若能注意到问题的特殊性，进而分析考虑有无可能把待解决问题化归为某个特殊问题或极端情形，不仅是可行的，也是必要的。

例1．（2005年北京春季高考题）若不等式nnn a 1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a的取值范围是（）A ),2[23-B ),2(23-C ),3[23-D ),3(23-解析：当n 为正奇数时，不等式为n a 12+<-，又221>+n，所以要使不等式对任意正奇数n 恒成立，应有2≤-a ，即2-≥a ；当n 为正偶数时，不等式为n a 12-<，又2312112,≥-≤nn ，所以要使不等式对任意正偶数n 恒成立，应有23<a 。

从高考题谈重要的数学思想的渗透特殊与一般

从高考题谈谈重要的数学思想的渗透：特殊与一般由特殊到一般,再由一般到特殊是人们认识世界的基本过程之一，对事物的认识，由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。

对高中数学而言，这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研究的特殊与一般的思想。

在高考中，会设计一些构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程，由特殊到一般进行归纳法猜想和类比法猜想的试题。

1.取特殊数值典例1．（2008重庆卷,理6）若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈有()()()12121f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是（）(A) ()f x 为奇函数（B ）()f x 为偶函数(C) ()1f x +为奇函数（D ）()1f x +为偶函数分析：判断函数的奇偶性需要用定义，即找()f x 与()f x -之间的关系，由于()0x x +-=所以需要先求出()0f 的值，这时需要取特殊值120x x ==解答。

解：令120x x ==，得()01f =-，令12,x x x x ==-得()()2f x f x +-=-∴()()11f x f x -+=-⎡+⎤⎣⎦，∴()1f x +为奇函数，故选C答案：C评注：在对于抽象函数来说，常常通过取特殊值研究函数的奇偶性。

典例2.若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是 A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12分析：本题比较大小，可以取特殊值，也可以作差比较，还可以用基本不等式或排序不等式。

解法一：特殊值法.取12121312,,,4433a ab b ====，通过计算比较1122a b a b +最大。

例谈数学中的特殊与一般思想

Ａ（
Ｄ（１８，． ‘ ．ＡＢＣ
ＡＤ ’ ，
‘ ．
．
△ＡＥ △ＡＤＦ（Ａ．
积为—
Ｓ口边形ＡＢｃ￣＝Ｓ △ ＾８ｃ＋Ｓ △ ＾ＣＤ＝ ÷ＢＣ・ＡＥ＋
．
—
Ａ
Ｔ１ｎ ■ ｔｅ慧数学ｌｌｉｇｅｎｔｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
ＣＨＵＺＨｏＮＧＳＨＥｌ、ＩＧＳＨＩＪｌＥ
论依据和逻辑基础是：若一般情况下成项都是一个定值．也从侧面反映只要点尸
・
．
Ｅ√．四边形ＡＦＣＥ为正方形．
Ｊｓ四边形Ａ卫＝Ｓ正方形Ａ凡Ｅ＝１０２＝１００．
‘
．．
（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）
４９
如图６．过点Ａ作Ｆ上ＣＤ．交的延长
２），Ｂ（一２，１），所以＝３，ＰＢ＝３，ＡＰＡＢ的
ｎ
面积为．故选Ｃ．
２
正实数，且导＜，给出下列四个不等式：ｂｄ
① ③ ＜＜；； ② ④ ＜＜
）．
例３
（２０１３・济宁）如图２，在矩形
Ｄ，Ｅ上ＣＤ于点．若ＡＥ＝１０，求四边形线于Ｆ．连拗
ＡＢＣＤ的面积．
ｃ．
贝０ＡＤＦ＋／ＡＤＣ＝１８０ｏ．
‘
． ‘

特殊与一般思想在解填空题中的应用

ｙＹ
ｎ．２．１
）ｚ— ｌｚ＋２＋ｚｘ１
一
ｙ２
＋１≥ （ｙ：当２：：
Ｙ
Ｙ
时， “ ）取一” ．例２已知 △ＡＢＣ的三边长ｎ，，满足ｂｂＣ＋
２ｃ≤ ３，ａＣ＋２ ≤ ３，则ａｂ
例１已知正实数－，，满足２（ｚＹＩ－ｚｚ＋＋
土）一ｙｚ，则（＋）ｚ＋）的最小值为ｚ（
ｚＹ
分析初见此题，式子整理不当，陷入若会越化越繁的境地．实只需将条件式和目标式分其别展开，加观察，难进行整体消元，问题获稍不使解．果解题遇到困难，以从以下两个方向思如可考．一，其将特殊化，．令ｚ一１则条件式变化为１，＋＋一，目标式变化为（＋）１１（＋），
虑用数学归纳法来处理．
学生说，刚开始他不会做，来看了答案，后答
案上提示“＝２√ ＿１＜（一＝
√
）， ”借助提示他会）是如 ”
当＝１，时命题成立；
１１
做了，但是他不知道“１＜２√ 一＿＝＝（
（＋ｃｓ１。）
一ｓｎ问题获ｉ．
解．
例４在ＡＡＢ中，中线Ａ中点Ｅ任Ｃ过Ｄ
・
５４・
中学数学月刊
２１０２年第１０期
“ 列和＂数型不等式引发的思考

选、填题中数学思想方法的应用

学思想的应用
关键词：学思想方法数
选择题
填空题
应用
有些选、题直接解答比较困难，要借助图形来帮助理填需
快速、确地解决选择题和填空题，以为后面的解答准可
解，且由于答案的一般性，可以利用特殊图形的直观性来并还反映已知与目标之间的联系，出解答。作
ＢＣ．Ｉ＝１ＡＤＩ．
分析及解：出函数ｆｘ的图像，图像关于ｘｌ称，ｆ画（）该＝对且
（ ≥０，：Ｘ）令
则ＡＣ・＝ＡＤ
ｆｘ：（≥０，方程ｆ（）ｂ（）ｃ０化为ｔｂ＋＝（）ｔｔ）则 ‘ｘ＋ｆｘ＋＝转ｔｃ０＋Ａ
题赢得较多的思考时间，高考数学取得较好成绩的关键所是在。高考选、题比较注重对数学思想方法的考查，别是填特选、题中的压轴题。教师在教学中要注意对数学思想方法填的灌输，针对性地选题加强这方面的练习；生要多了解、有学多实践数学思想方法：固掌握 “ 基 ” 特别是深刻理解基牢双，本概念。下面我就用具体的例子来说明选、题中数学思想填
方法的应用。特殊与一般的数学思想的应用
一

数学学习中特殊与一般的思想

数学学习中特殊与一般的思想（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如工作报告、致辞讲话、条据书信、合同范本、规章制度、应急预案、心得体会、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as work reports, speeches, policy letters, contract templates, rules and regulations, emergency plans, insights, teaching materials, essay encyclopedias, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!数学学习中特殊与一般的思想数学学习中特殊与一般的思想来了数学是解决实际问题的一种工具。

六大数学思想之五：特殊与一般最新修正版

高中数学六大思想之五：特殊与一般1．什么是特殊化思想：对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.2．什么是一般化思想：当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.特殊与一般的思想方法主要表现在如下几方面:1.特殊问题一般化：在解决数学问题的过程中，我们思考一个问题，有时可以跳出它的范围去思考比它更一般的问题，有时一般的问题比特殊的问题更易于解决或解决了一般的问题就得到了许多类似问题的结果.因此只要解决了一般性的问题，特殊性的问题也就迎刃而解了.esp1：求证：sin70°+sin10°>sin100°>sin70°-sin10°. 【分析】此题按照一般解法去做，要分别证明两个不等式.经观察发现，此题中涉及的三个角之和恰为１８０°，这提醒我们将问题放到三角形中研究，所证问题转化为：sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.而三角形中最常用的不等关系就是“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，实现边角关系相互转化的常用工具是“正弦定理”和“余弦定理”.解：在△ＡＢＣ中，设∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别是a、b、c，则得a+b>c>a-b.由正弦定理得=k，故ksinＡ＋ksinB>ksinC>ksinA-ksinB，所以sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.特殊地：将Ａ＝７０°、Ｂ＝１０°、Ｃ＝１００°代入上面的不等式即得所求证的结论2. 一般问题特殊化：esp2: 如图１，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中，已知面ＡＢＣＤ是边长３的正方形，ＥＦ∥ＡＢ，ＥＦ与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积可能为（）.解：本题的图形是多面体，需要对其进行必要的分割.连ＥＢ、ＥＣ，得四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ和三棱锥Ｅ－ＢＣＦ，这当中，四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ的体积易求＝×３×３×２＝６，又因为一个几何体积的体积应大于它的部分体积，所得ＶＥ－ＡＢＣＤ以不必计算三棱锥Ｅ－ＢＣＦ的体积，就可以排除Ａ，Ｂ，Ｃ，故选Ｄ.３. 特殊问题特殊化：对具体的问题，给出另一种解释，其目的是为了使问题中的对象进入某一领域，以便利用此领域的知识及方法来解决给定的问题.esp3: 求函数的最大值与最小值.一般解法：∵对一切x∈R，２－sinx≠0都成立，∴函数的定义域为Ｒ.由∵函数的定义域为Ｒ，∴函数的最大值与最小值分别为：，-；特殊解法：把函数值看成由点Ａ（２，０）和点Ｐ（sinx，-cosx）构成直线的斜率（如图），由图易求函数的最大值与最小值分别为，－.4.取特殊数值：esp4：（2008重庆卷,理6）若定义在上的函数满足：对任意有,则下列说法一定正确的是（）(A) 为奇函数（B）为偶函数(C)为奇函数（D）为偶函数分析：判断函数的奇偶性需要用定义，即找与之间的关系，由于所以需要先求出的值，这时需要取特殊值解答。

高考数学思想解析：特殊与一般思想

3 v3 4 v3 v4 1 v3 v4 v1 v2
4 v4 3 v4 v3 2 v4 v3 v2 v1
n
（Ⅱ）当 n 128时，要使所有机器都得到 vi ，至少需要多少单位时间可 i1
完成计算？（结果不要求证明）
【分析及解】（Ⅰ）由 n 2 得到启发,当 n 4 时，在第一单位时间,1 号机与 2 号机互相读取,都得到 v1 v2 ,3 号机与 4 号机互相读取,都得到 v3 v4 .
在上的射影有可能是
① 两条平行直线
② 两条互相垂直的直线
③ 同一条直线
④ 一条直线及其外一点
在上面结论中,正确结论的编号是
(写出所有正确结论的编号)
【分析及解】这是一个命题判断题,本题判断的关键词是“有可能是”,即只
要找到一种正确的特殊的情况,就“有可能是”,反之,必须对于所有情况都不成立
才没有“可能是”.所以,对这道命题判断,其思维的依据就是特殊于一般的数学思
时取得最小值，即有
f 0 f 1， f 2 f 1 ，即 f 0 f 2 2 f 1故选 C 本题首先考虑的是一般性的结果：任意函数 f x 当 x 1时取得最小值,然后
再根据题目的要求,对特殊的函数值进行比较.
【例 2】(2008 江苏卷)请先阅读：在等式 cos 2x 2cos2 x 1（ x R ）的两边求导，得：
n
所以 n 1 xn-1 1 kCkn xk1 ． k2
（Ⅱ）证明这三个结论可以使用（Ⅰ）已经得到的一般性结论和方法.
n
n
（1）由（Ⅰ）的结果，有 n1 xn-1 n kCnk xk1 kCnk xk1 ，
k2
k 1

由特殊到一般方法在高数学习中的应用

由特殊到一般方法在高数学习中的应用【摘要】在高数学习中，特殊到一般方法起着重要的作用。

本文首先介绍了高数学习中的挑战以及特殊到一般方法的重要性。

然后详细解释了特殊到一般方法的定义，并探讨了它在微积分、线性代数、概率论和数学建模中的具体应用。

特殊到一般方法的全面性、灵活性和实用性也在结论部分得到了强调。

通过本文的阐述，读者可以更好地理解特殊到一般方法在高数学习中的应用价值，以及如何运用这一方法提升数学学习的效率与深度。

【关键词】关键词：高数学习、特殊到一般方法、微积分、线性代数、概率论、数学建模、全面性、灵活性、实用性1. 引言1.1 高数学习中的挑战高数学习通常包含大量的抽象概念和复杂的数学理论，对于学生来说需要具备较强的逻辑思维能力和抽象思维能力。

这对于一些学生来说是一种挑战，需要花费更多的时间和精力来理解和掌握。

高数学习中常常涉及到大量的数学公式和定理，需要学生具备扎实的基础知识和良好的记忆能力。

而且很多数学问题需要学生进行较为复杂的推导和计算，这就需要学生具备较强的数学运算能力和解决问题的能力。

高数学习中的一些概念和思想可能与学生之前所接触到的数学知识有所不同，需要学生具备较强的学习能力和适应能力，能够灵活地运用特殊到一般方法解决问题。

高数学习中的挑战主要表现在思维能力、记忆能力、运算能力和学习适应能力等方面。

只有克服这些挑战，才能更好地理解和掌握高等数学知识，提高数学学习的效果。

1.2 特殊到一般方法的重要性在高数学习中，特殊到一般方法的重要性不可忽视。

特殊到一般方法是一种重要的学习策略，通过从具体例子出发逐渐推广到一般情况，帮助学生逐步理解抽象、复杂的数学概念和定理。

这种方法在高数学习中具有以下重要性：特殊到一般方法能够激发学生的兴趣和动力。

通过具体问题的解决和推广，学生可以感受到数学的神奇和魅力，增强学习的积极性。

特殊到一般方法使数学不再是冰冷抽象的符号，而是具有生动性和实用性的知识体系。

2022年高考数学(新高考1卷)试卷分析

2022年高考数学(新高考1卷)试卷分析2022年高考数学分析试卷的特点是注重思想性与科学性的统一，强调数学应用与实际联系。

例如，第4题以我国南水北调工程为背景，考查学生的空间想象和运算求解能力，引导学生关注社会主义建设成果，增强社会责任感。

该试卷依据课程标准命题，深化基础考查，突出主干知识，创新试题设计，加强教考衔接，注重本原性方法，淡化特殊技巧，强调对通性通法的深入理解和综合运用。

例如，第16题体现特殊与一般的思想。

在选择题、填空题、解答题三种题型上都加强了对主干知识的考查。

例如，第12题要求学生在抽象函数的背景下，理解函数的奇偶性、对称性、导数等概念以及它们之间的联系，对数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养都有较高的要求。

该试卷注重创新试题形式，引导教学注重培养核心素养和数学能力，增强试题开放性，鼓励学生运用创造性、发散性思维分析问题和解决问题。

例如，第14题要求写出一个方程，结果不唯一，思路不同，所用时间有较大差异，体现了试题的开放性与灵活性。

该试卷加强学科核心素养考查，强化数学思想方法的渗透，深入考查关键能力，优化试题设计，发挥数学科高考的选拔功能。

例如，第22题重视基于数学素养的关键能力的考查，在数学知识、数学能力和创新思维层面都有所体现，具有较好的选拔功能。

2022年高考数学分析试卷的考点包括集合、不等式、复数、平面向量、立体几何、排列组合、概率与统计、三角函数、函数与导数、解析几何、数列等。

每个题目都涉及不同的命题点和模块，例如第4题考查集合的交集，第12题考查函数的奇偶性、对称性和导数等概念，第22题考查空间角。

试卷的题目设计注重创新，例如第14题要求学生写出一个方程，结果不唯一，思路不同，所用时间有较大差异，体现了试题的开放性与灵活性。

总之，2022年高考数学分析试卷的特点是注重思想性与科学性的统一，强调数学应用与实际联系，加强对主干知识的考查，创新试题设计，强化数学思想方法的渗透，深入考查关键能力，具有较好的选拔功能。

由特殊到一般方法在高数学习中的运用分析

由特殊到一般方法在高数学习中的运用分析摘要：一个良好的数学学习方法属于学好数学知识的首要条件，更是一项基本功，而基本功越扎实，学习者能够攀爬的高度便会越高。

对于高数而言，其具备着较强的严谨性以及抽象性，一个优秀的数学学习方法是提高学习高数知识效率和质量的重要手段。

因此，本文便针对由特殊到一般方法如何在高数学习中进行运用做出分析和探讨。

关键词：高数学习；特殊到一般；方法运用前言：通常情况下，人们在认识世界的过程中，都是从特殊到一般，然后再从一般到特殊。

对于数学知识而言，其是研究现实世界数量关系以及空间形式的一种科学知识，而对于现实世界当中事物的特殊性来说具备着一定的普遍性，同时个性当中也具备着一定的共性，这一点在高等数学当中便呈现出了特殊与一般之间的辩证关系。

在高等数学当中对这一思想方法进行科学合理的运用，有助于更好地掌握高数知识，推动学习质量和效率不断提高。

1.特殊到一般方法的领会对于高等数学而言，其属于中学数学的推陈出新，也可以看作是中学数学知识通过重新组合之后诞生的一些解决新问题的方法[1]。

因此想要学习高等数学，便需要对中学数学的内容进行回顾。

而结合高等数学教材的第一章以及第二章，来对中学数学的过程进行回顾，可以帮助学习者有效领会从特殊到一般的学习方法，从而使得学习者可以在充分了解“特殊到一般”这一思想方法的基础上，熟练地对其进行科学合理的利用。

例如：在对函数的概念进行学习时，可以先举出一个较为简单的做匀速直线运动的相应物体的实例，通过这一实例，充分认识到取值发生变化的量分别是变量时间以及路程，针对于时间的每一个值，相应的路程都会有一个唯一的值与其进行对应。

这样一来，就可以将本身发生变化的量称作为自变量，由于自变量的变化而出现变化的量称之为因变量。

对于这种由初中数学知识反映出来的变量关系，便是最为朴素的函数关系，从而可以想到自变量的取值范围称之为定义域，而相应的因变量的取值范围称之为值域。

数学解题中怎样运用特殊与一般

数学解题中怎样运用特殊与一般数学解题中，特殊与一般是非常重要的概念。

特殊是指特定的条件或特定的情况，而一般是指普遍的情况或一般的规律。

在解决数学问题时，我们需要运用特殊与一般的方法，从而能更好的理解和解决问题。

一般解法最常适用于各种数学问题，因为大多数数学问题都可以被推广和简化为一个更一般的情况或规律。

一般解法可以让我们快速地找到规律并进行推广，并且可以避免过多的计算和推导。

一般解法可以让我们更好地理解数学问题的本质，找到通用的模式和规律。

不过，在有些情况下，一般解法并不是最好的解决方式。

特殊解法是一种特别的方法，用于解决一些具有特定条件或情况的问题。

特殊解法可以让我们更好地处理一些问题，并发现特殊情况下的特殊规律。

通过使用特殊解法，我们可以更好地理解数学的应用和实际问题，以及更好地理解特殊情况下的特殊规律。

下面是一些例子，展示如何运用特殊与一般的方法：一、平面几何中的特殊和一般情况在平面几何中，我们经常需要在特定的图形中寻找一般规律。

例如，在矩形中找到对角线长度的一般公式，我们可以利用特殊情况下的信息来得出：特殊情况：如果矩形变成一个正方形，那么对角线的长度可以用边长开方的形式表示。

一般情况：如果矩形不是正方形，那么它可以分解成若干个正方形。

在这种情况下，我们可以利用基本定理，即两个相似三角形的相应边比例相等，从而推导出一般公式：对角线长度等于矩形两边长的平方和的开方。

二、整数方程的特殊和一般情况在解决整数方程时，我们通常会使用数学归纳法来证明一般情况。

但是，在有些情况下，我们需要找到特殊情况下的解决方法。

例如，考虑以下整数方程：x^2+y^2=z^2我们可以将特殊情况下的解决方法推广到一般情况下。

特殊情况下，如果x和y是奇数，那么z是偶数。

在这种情况下，我们可以将x和y看作(2a+1)和(2b+1)，然后使用特殊情况下的方法得出：z^2=(2a+1)^2+(2b+1)^2=2a(a+1)+2b(b+1)+2a+2b+2=2(a+b)(a+b+1)+2因此，z是偶数。

数学学习中特殊与一般的思想

数学学习中特殊与一般的思想数学学习中特殊与一般的思想存在着重要的区别。

一般思想在解决数学问题时，通常借助已知的数学理论和方法进行分析和计算，从而得到结果。

这种思想能够帮助我们在日常问题中解决一般性的数学难题。

然而，当我们面对特殊性的数学问题时，一般思想往往无法直接应用，需要采用特殊思想来解决。

特殊思想在数学学习中是非常重要的，它可以帮助我们解决那些在一般思想下无法解决的问题。

特殊思想的核心思想是将具体的数学问题抽象化，通过发现问题中的特殊性质和规律，从而找到解决问题的方法。

特殊思想通常包括数学归纳法、反证法、构造法等。

数学归纳法是一种重要的特殊思想，它通过证明一个命题对某个特殊数值成立，从而证明它对所有数值都成立。

归纳法的基本思想是通过对已知范围内的数值进行分析，找出其中的规律，并且通过数学推理将其推广到整个数值范围上。

归纳法在解决数列、等式、不等式等问题时非常有用。

反证法是另一种常见的特殊思想，在解决某些问题时非常有效。

反证法的基本思想是假设问题的逆命题成立，即假设该命题不成立，然后通过推导和推理得出矛盾的结论。

通过证明逆命题不成立，就可以得出原命题的正确性。

反证法在证明唯一性、存在性等问题上非常常见。

构造法是一种通过构造具体示例来解决问题的特殊思想。

当一般思想无法得到问题的解时，我们可以尝试通过构造具体的数值或图形来发现问题的规律，并且以此为基础推导出问题的解。

构造法常用于证明性质、方程的解等问题。

特殊思想在数学学习中具有重要的地位和作用，它能够帮助我们深入理解数学原理和方法，并且拓展我们的思维方式。

通过灵活运用特殊思想，我们可以更好地解决数学问题，在数学学习中取得更好的成绩。

因此，在数学学习中，我们应该注重培养和发展特殊思想。

特殊思想在数学学习中的应用范围非常广泛。

无论是初等数学还是高等数学，特殊思想都扮演着重要的角色。

在初等数学中，特殊思想常常应用于解决问题、证明定理和推导结论。

例如，在解决方程的根与系数关系问题时，我们可以通过特殊构造一些方程，来观察方程的根与系数之间的关系。

例谈数学中的特殊与一般思想

例谈数学中的特殊与⼀般思想2019-05-20⼈们认识世界总是从特殊到⼀般，再从⼀般到特殊，数学研究也不例外. 对于⼀般情况下难以求解的问题，可以运⽤特殊化思想，取特殊值、特殊图形，从⽽使问题顺利求解. 本⽂结合⼀些例题来谈⼀下特殊与⼀般思想在数学中的运⽤.⼀、⽤“特殊化”思想解题“特殊”能在⼀定范围内反映或体现“⼀般”. 由于填空、选择题不要求严密完整的推理过程，若能⽤特殊化进⾏探索、猜想、验证，可以使解题过程简单，获取答案快速⽽且准确. ⽤特殊化⽅法解题的理论依据和逻辑基础是：若⼀般情况下成⽴，那么其包含于题⽬中的特殊情况也成⽴，这是⼀种巧法.1. 字母或⾓的取值特殊化【解析】这道题⽬要判断的四个不等式很“庞⼤”，⽤特殊值法可达到“秒杀”的效果. 因为【点评】在利⽤特殊化的⽅法解决问题时需要注意以下⼏点：（1）题⽬的答案必须是唯⼀确定的；（2）特殊值的选取必须符合题设条件；（3）特殊值的选取应尽可能简单，以便运算和⽐较.2. 点或图形位置特殊化例2 （2012·德州）如图1，两个反⽐例函数y=和y=-的图像分别是l1和l2. 设点P在l1上，PCx轴，垂⾜为C，交l2于点A，PDy 轴，垂⾜为D，交l2于点B，则PAB的⾯积为（）.A. 3B. 4C.D. 5【解析】在本题中，只要点P确定，那么A、B、C、D四点也就确定了. 本题给出的选项都是⼀个定值，也从侧⾯反映只要点P 在l1上，PAB的⾯积与点P的坐标⽆关. 不妨设点P的横坐标为1，那么P（1，1），A（1，-2），B（-2，1），所以PA=3，PB=3，PAB的⾯积为，故选C.例3 （2013·济宁）如图2，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上⼀动点，PEAC于E，PFBD于F，则PE+PF=______.【解析】这是⼀道与动点有关的问题. 以这种形式出现，最后结果肯定是⼀个定值. 既然点P在AD上运动，那么点P在线段AD 的任何位置PE+PF的值都不变. 因此可以让点P运动到点A，根据题意画出如图3所⽰的图形，此时PE=0，由AB=3，AD=4，可求出BD=5，利⽤ABD的⾯积可以求出PF=2.4，所以PE+PF=2.4.【点评】⽤特殊图形解决问题时，⼀定要注意特殊图形的选取必须要符合题设条件，且问题的答案必须是唯⼀确定的. 所以在构造特殊图形时，⼀般从以下⼏个⽅⾯来考虑：（1）线段上的特殊点⼀般取线段的中点或者端点，弧上的点⼀般选取弧的中点或端点；（2）线与线的位置关系可以特殊化为平⾏、垂直或重合；（3）任意四边形可特殊化为平⾏四边形、矩形、菱形或正⽅形.⼆、⽤“特殊⼀般特殊”思想解决问题1. 在中考中，经常会遇到探索规律的题⽬. 解决这类题⽬的⽅法是从简单、特殊、具体情形出发，通过特殊情况的研究，归纳出⼀般结论，有时还需⽤⼀般结论解决其他特殊情况.例4 （2013·淮安）观察⼀列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…则第2013个单项式是_______.【解析】本题先看系数变化规律：系数依次为1，3，5，7，9，11，…，2n-1；再看指数变化规律：x的指数依次是1，2，2，1，2，2，1，2，2，……可见三个单项式⼀个循环，故可得第2013个单项式的系数为4025；因为2013÷3=671，所以第2013个单项式的指数为2.因此第2013个单项式是4025x2. 本题体现了由特殊到⼀般再到特殊的思维过程.2. 在某些⼏何图形中，有些点和线的位置是在不断变化的，在这个变化过程中，却有⼀些线段的长度或⽐值、⾓的⼤⼩等存在着⼀定的关系. 解决这类问题，⼀般是从特殊情况⼊⼿，逐步分析、⽐较、讨论，从中发现规律或者解答⽅法，再⽤这个规律或解答⽅法解决其他类似问题.例5 （2012·河南）类⽐、转化、从特殊到⼀般等思想⽅法，在数学学习和研究中经常⽤到，如下是⼀个案例，请补充完整.原题：如图4，在平⾏四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上⼀点，BF的延长线交射线CD于点G. 若=3，求的值.（1）尝试探究在图4中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是______，CG和EH的数量关系是______，的值是______.（2）类⽐延伸如图5，在原题的条件下，若=m（m>0），则的值是______（⽤含有m的代数式表⽰），试写出解答过程.（3）拓展迁移如图6，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的⼀点，AE和BD相交于点F. 若=a，=b，（a>0，b>0），则的值是______（⽤含a、b的代数式表⽰）.【解析】第（1）题，按照题中的提⽰⽅法利⽤三⾓形相似不难求出AB=3EH，CG=2EH，=. 第（2）题是第（1）题的⼀般情况，因此可以仿照第（1）题添加相同的辅助线，过点E作EH∥AB交BG于点H，利⽤类似的⽅法求出=. 第（3）题把原题中的平⾏四边形变为了梯形，有了前⾯两题的解题经验，对于这种特殊情况，仍可添加类似的辅助线：过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H（如图7），依旧是利⽤相似求出=ab.【点评】运⽤“特殊⼀般特殊”的思想⽅法，能使数学问题化难为易，⽽且能加深同学们对数学知识的理解，同时还能打开解题思路.（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。

特殊与一般思想在高考数学中的应用

特殊与一般的思想在解题中的运用

从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的应用

2、数学思想方法之特殊与一般含答案

数学中的一般化与特殊化例谈

高考数学 特殊与一般的思想

数学中的“特殊与一般”思想方法

从高考题谈重要的数学思想的渗透特殊与一般

例谈数学中的特殊与一般思想

特殊与一般思想在解填空题中的应用

选、填题中数学思想方法的应用

数学学习中特殊与一般的思想

六大数学思想之五：特殊与一般最新修正版

高考数学思想解析：特殊与一般思想

由特殊到一般方法在高数学习中的应用

2022年高考数学(新高考1卷)试卷分析

由特殊到一般方法在高数学习中的运用分析

数学解题中怎样运用特殊与一般

数学学习中特殊与一般的思想

例谈数学中的特殊与一般思想

高考数学特殊与一般的思想