苏教版高中数学(选修2-1)1.2《简单的逻辑连接词》word同步测试题

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苏教版数学高二-选修2-1试题 1.2简单的逻辑联结词

苏教版数学高二-选修2-1试题 1.2简单的逻辑联结词

1.2 简单的逻辑联结词一、基础过关1. 若命题p :x ∈A∩B ,则綈p 为____________________________.2. 已知命题q :若a ,b 都是奇数,则a +b 不是偶数,命题q 的否定为_____________,命题q 的否命题为_______________________________________________________.3. 若“x ∈或x ∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x 的取值范围是__________.4. 命题p :x =π是y =|sin x|的一条对称轴,q :2π是y =|sin x|的最小正周期.下列命题:①p ∨q ;②p ∧q ;③綈p ;④綈q.其中真命题有________个.5. 若命题p :不等式ax +b>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x>-b a ,命题q :关于x 的不等式(x -a)(x -b)<0的解集为{x|a<x<b},则“p ∧q”“p ∨q”“綈p”形式的复合命题中的真命题是________.6. 分别用“p ∧q”“p ∨q”“綈p”填空,并指出命题的真假:(1)命题“方程2x -12x -1=1没有实根”是________形式,该命题是________; (2)命题“5是偶数或5是奇数”是________形式,该命题是________;(3)命题“中国既是俄罗斯的邻国,也是越南的邻国”是________形式,该命题是________;(4)命题“A⃘(A ∪B)”是________形式,该命题是______.7. 判断下列命题的真假:(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边;(2)x =±1是方程x 2+3x +2=0的根.二、能力提升8. “p ∧q 是真命题”是“p ∨q 是真命题”的__________条件.9. 若集合P ={1,2,3,4},Q ={x|x≤0或x≥5,x ∈R },则P 是綈Q 的____________条件.10.已知p :x 2-x≥6,q :x ∈Z ,若“p ∧q”“綈q”都是假命题,则x 的值组成的集合为____________.11.已知命题p :将函数y =sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3的图象;命题q :函数y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π6·cos ⎝⎛⎭⎫π3-x 的最小正周期为π,则下列命题“p ∨q”“p ∧q”“綈p”中真命题的个数是________.12.设命题p :12≤x≤1,命题q :x 2-(2a +1)x +a 2+a≤0,若綈p 是綈q 的必要不充分条件,则实数a的取值范围是__________.13.写出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”以及“非p”形式的命题,并判断它们的真假.(1)p:5是有理数,q:5是整数;(2)p:不等式x2-2x-3>0的解集是(-∞,-1),q:不等式x2-2x-3>0的解集是(3,+∞).三、探究与拓展14.已知p:函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,q:函数y=4x2+4(m-2)x +1大于零恒成立.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.答案1. x ∉A 或x ∉B(也可写为:x ∉A∩B)2. 若a 、b 都是奇数,则a +b 是偶数 若a ,b 不都是奇数,则a +b 是偶数3. [1,2)4.2 5.綈p6. (1)綈p 假命题 (2)p ∨q 真命题(3)p ∧q 真命题 (4)綈p 假命题7. 解 (1)这个命题是“p 且q”的形式,其中p :等腰三角形顶角的平分线平分底边, q :等腰三角形顶角的平分线垂直于底边,因为p 真q 真,则“p 且q”为真,所以该命题是真命题.(2)这个命题是“p 或q”的形式,其中p :1是方程x 2+3x +2=0的根,q :-1是方程x 2+3x +2=0的根,因为p 假q 真,则“p 或q”为真,所以该命题是真命题.8. 充分不必要 9.充分不必要10.{-1,0,1,2}11.212.⎣⎡⎦⎤0,12 13.解 (1)p 或q :5是有理数或5是整数;p 且q :5是有理数且5是整数;非p :5不是有理数.因为p 假,q 假,所以p 或q 为假,p 且q 为假,非p 为真.(2)p 或q :不等式x 2-2x -3>0的解集是(-∞,-1)或不等式x 2-2x -3>0的解集是(3,+∞);p 且q :不等式x 2-2x -3>0的解集是(-∞,-1)且不等式x 2-2x -3>0的解集是(3,+∞);非p :不等式x 2-2x -3>0的解集不是(-∞,-1).因为p 假,q 假,所以p 或q 为假,p 且q 为假,非p 为真.14.解 若函数y =x 2+mx +1在(-1,+∞)上单调递增,则-m 2≤-1, ∴m≥2,即p :m≥2;若函数y =4x 2+4(m -2)x +1恒大于零,则Δ=16(m -2)2-16<0,解得1<m<3,即q :1<m<3.因为p 或q 为真,p 且q 为假,所以p 、q 一真一假,当p 真q 假时,由⎩⎪⎨⎪⎧m≥2m≥3或m≤1, 得m≥3,当p 假q 真时,由⎩⎨⎧m<21<m<3, 得1<m<2.综上,m 的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}.。

高中数学苏教版选修2-1学案:1.2 简单的逻辑联结词含解析

高中数学苏教版选修2-1学案:1.2 简单的逻辑联结词含解析

1.2 简单的逻辑联结词1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,能用“或”、“且”、“非”表示相关的数学内容.(重点)2.“p或q”、“p且q”、“非p”命题的真假判断.(难点)3.非p与否命题的区别.(易错点)[基础·初探]教材整理1 逻辑联结词阅读教材P例1以上部分,完成下列问题.101.逻辑联结词命题中的“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词.2.命题构成的形式判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)联结词“且”表示同时具有的意思.( )(2)“p或q”有两层含义:要么是p不是q,要么是q不是p.( )(3)联结词“非”与日常用语中的“不是”、“否定”、“全盘否定”、“问题的反面”等词语等价.( )(4)由“p且q为假命题”可得“p为假命题”.( )【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×教材整理2 含逻辑联结词命题的真假判断阅读教材P10~P11思考以上部分,完成下列问题.一般地,“p或q”、“p且q”与“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表来表示:命题p:{2}∈{2,3},q:{2}⊆{2,3},则下列对命题的判断,正确的是________(填上所有正确的序号).①p或q为真;②p或q为假;③p且q为真;④p且q为假;⑤非p为真;⑥非q为假.【解析】p假,q真,故p或q为真,p且q为假,非p为真,非q为假.【答案】①④⑤⑥[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:解惑:疑问2:解惑:疑问3:解惑:[小组合作型]、“非p”形式的命题.①p:梯形有一组对边平行,q:梯形有一组对边相等.②p:-1是方程x2+4x+3=0的解,q:-3是方程x2+4x+3=0的解.(2)指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题.①方程2x2+1=0没有实数根;②12能被3或4整除.【精彩点拨】弄清含逻辑联结词的命题的形式,构造新命题或分解新命题为简单命题.【自主解答】(1)①p且q:梯形有一组对边平行且有一组对边相等.p或q:梯形有一组对边平行或有一组对边相等.非p:梯形没有一组对边平行.②p且q:-1与-3是方程x2+4x+3=0的解.p或q:-1或-3是方程x2+4x+3=0的解.非p:-1不是方程x2+4x+3=0的解.(2)①是“非p”形式,其中p:方程2x2+1=0有实根.②是“p或q”形式,其中p:12能被3整除;q:12能被4整除.用联结词构造新命题的注意点1.利用逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成新命题,关键是正确理解这三个逻辑联结词的含义.2.构成新命题时,在不引起歧义的前提下,有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词,如李明是班长兼体育委员,就省略了“且”.。

苏教版选修(2-1)1.2《简单的逻辑连接词》word同步测试

苏教版选修(2-1)1.2《简单的逻辑连接词》word同步测试

简单的逻辑联结词练习(1) 一、填空题(每小题5分,共40分)1.(2010·安徽)命题“对任何x ∈R ,|x -2|+|x -4|>3”的否定是________. 2.命题p :a 2+b 2<0(a ,b ∈R ),q :a 2+b 2≥0(a ,b ∈R ).下列结论正确的是________.①“p 或q ”为真 ②“p 且q ”为真 ③“p ⌝”为假 ④“q ⌝为真”3.下列4个命题:p 1:∃x ∈(0,+∞),⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ;p 2:∃x ∈(0,1),log 12x >log 13xp 3:∀x ∈(0,+∞),⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x ;p 4:∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,13,⎝ ⎛⎭⎪⎫122<log 13x . 其中的真命题是________.4.(2010·江苏盐城中学高三月考)命题p :存在实数m ,使方程x 2+mx +1=0有实数根则“非p ”是________.5.(2010·湖南)下列命题中的假命题是________.①∃x ∈R ,lg x =0 ②∃x ∈R ,tan x =1 ③∀x ∈R ,x 3>0 ④∀x ∈R,2x>06.(2010·徐州一中质检)将a 2+b 2+2ab =(a +b )2改写成全称命题是________.①∃a ,b ∈R ,a 2+b 2+2ab =(a +b )2②∃a <0,b >0,a 2+b 2+2ab =(a +b )2③∀a >0,b >0,a 2+b 2+2ab =(a +b )2④∀a ,b ∈R ,a 2+b 2+2ab =(a +b )27.(2009·浙江)已知命题p :∃x ∈R ,x 2+1x2≤2,命题q 是命题p 的否定,则命题p 、q 、p∧q 、p ∨q 中是真命题的是________.8.若命题“∃x ∈R ,x 2+ax +1<0”是真命题,则实数a 的取值范围是________.二、解答题(共30分)9.(本小题满分14分)已知条件p:x2-x≥6;q:x∈Z.求x的取值组成的集合M,使得当x∈M时,“p∧q”与“q ”同时为假命题(“p∧q”表示“p且q”).10.(本小题满分16分)已知命题p:方程a2x2+ax-2=0在[-1,1]上有解;命题q:只有一个实数满足不等式x2+2ax+2a≤0.若p,q都是假命题,求a的取值范围.简单的逻辑联结词练习(2)一、填空1.已知命题p :∃x ∈R ,使tan x =1,命题q :x 2-3x +2<0的解集是{x |1<x <2},下列结论:①命题“p ∧q ”是真命题;②命题“p ∧p ⌝”是假命题;③命题“p ⌝∨q ”是真命题;④命题“p ⌝∨p ⌝”是假命题.其中正确的是________.2.(2010·南京市高三第二次模拟考试)已知下列三个方程:x 2+4ax -4a +3=0,x 2+(a -1)x +a 2=0,x 2+2ax -2a =0至少有一个方程有实根,则实数a 的取值范围是________. 3.已知两个命题r (x ):sin x +cos x >m ,s (x ):x 2+mx +1>0.如果对∀x ∈R ,r (x )与s (x ) 有且仅有一个是真命题.则实数m 的取值范围是________.4.(2010·淮安模拟)已知当∀x ∈R 时,不等式a +cos 2x <5-4sin x +5a -4恒成立,则实数a 的取值范围是________. 二、解答题5.(本小题满分14分)已知p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负实根;q :方程4x +4(m -2)x +1=0无实根,若p 或q 为真,p 且q 为假,求m 的取值范围.6.已知函数f (x )=x 2,g (x )=x -1.(1)若∃x ∈R 使f (x )<b ·g (x ),求实数b 的取值范围;(2)设F (x )=f (x )-mg (x )+1-m -m 2,且|F (x )|在[0,1]上单调递增,求实数m 的取 值范围.。

高中数学(苏教版 选修2-1)学业分层测评第1章 常用逻辑术语 1.2 Word版含答案

高中数学(苏教版 选修2-1)学业分层测评第1章 常用逻辑术语 1.2 Word版含答案

学业分层测评(建议用时:分钟)[学业达标]一、填空题.已知命题:∈∩,则非是.【解析】根据数集的定义知,非是∉或∉.【答案】∉或∉.若是真命题,是假命题,则下列说法正确的是.①且是真命题;②或是假命题;③非是真命题;④非是真命题.【解析】∵真假,∴非为真命题.【答案】④.命题:已知,为实数,若+=,则,都为;命题:若>,则>.给出下列命题:①且;②或;③非;④非.其中,真命题是.(填所有真命题的序号)【解析】真假,所以或为真,非为真.【答案】②④.由命题:是的约数,:是的约数,构成的()“或”形式的命题是;()“且”形式的命题是;()“非”形式的命题是.【答案】()是或的约数()是的约数且是的约数()不是的约数.设命题:若>,则<;命题:<⇔<.给出下列四个复合命题:①;②;③或;④且.其中真命题的个数有个. 【导学号:】【解析】令=,=-,则>,所以命题是假命题;命题显然是真命题,所以命题或是真命题,命题且是假命题,所以真命题的个数为.【答案】.若命题“且(非)”为真,则在命题“且”、“或”、“”、“非”中,真命题的个数有个.【解析】∵“且(非)”为真,∴真假.∴或为真.【答案】.设命题:函数=的最小正周期为;命题:函数=的图象关于直线=对称,则下列判断:①为真;②非为假;③且为假;④或为真.其中正确的是(填序号).【解析】由题意得命题是假命题,命题是假命题,因此只有③正确.【答案】③.设有两个命题::关于的不等式++>对一切∈恒成立,:函数=-(-)在上是减函数,若“且”为真命题,则实数的取值范围是.【解析】对于:Δ=-<,即-<<;对于:->,即<.因为且为真命题,所以实数的取值范围是-<<.【答案】-<<二、解答题.分别指出下列各组命题构成的“且”、“或”、“非”形式的命题的真假.():一次函数是单调函数,:一次函数是奇函数;():是素数,:是奇数;():函数=-+没有零点,:不等式-+≥恒成立;():四条边相等的四边形是正方形,:有一个角是直角的四边形是正方形.【解】()∵是真命题,为假命题.∴且为假命题,或为真命题,非为假命题.()∵是假命题,是真命题.∴且是假命题,或为真命题,非为真命题.()∵是真命题,是真命题.。

2018-2019学年高中苏教版数学选修2-1第1章常用逻辑用语1.2简单的逻辑联结词作业

2018-2019学年高中苏教版数学选修2-1第1章常用逻辑用语1.2简单的逻辑联结词作业

309教育网 309教育资源库 1.2 简单的逻辑联结词[基础达标]1.若命题p :0是偶数,命题q :2是3的约数,则下列命题中为真的是________.① p 且q ;②p 或q ;③﹃p ;④﹃p 且﹃q .解析:因为命题p 真,命题q 假,所以“p 或q ”为真.答案:②2.4名学生参加一次数学竞赛,每人预测情况如下:甲:如果乙获奖,那么我就没获奖;乙:甲没有获奖,丁也没有获奖;丙:甲获奖或者乙获奖;丁:如果丙没有获奖那么乙获奖.竞赛结果只有1人获奖且4人预测恰有3人正确,则________获奖.解析:若甲获奖,则甲、丙对,乙,丁错;若乙获奖,则甲、乙、丙、丁都对;若丙获奖,则甲、乙、丁对,丙错;若丁获奖,则甲对,乙、丙、丁错,因此学生丙获奖了.答案:学生丙3.已知命题p :所有有理数都是实数,命题q :正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是________.① ﹃p 或q ;②p 且q ;③﹃p 且﹃q ;④﹃p 或﹃q .解析:不难判断命题p 为真命题,命题q 为假命题,从而上述叙述中只有﹃p 或﹃q 为真命题.答案:④4.已知命题p 1:函数y =2x -2-x 在R 上为增函数,p 2:函数y =2x +2-x 在R 上为减函数,则在命题q 1:p 1或p 2;q 2:p 1且p 2;q 3:﹃p 1或p 2;q 4:p 1且﹃p 2中,真命题有________.解析:易知p 1是真命题;对p 2,取特殊值来判断,如取x 1=1<x 2=2,得y 1=52<y 2=174;取x 3=-1>x 4=-2,得y 3=52<y 4=174,故p 2是假命题.由此可知,q 1真,q 2假,q 3假,q 4真.答案:q 1,q 45.若p 、q 是两个命题,且“p 或q ”的否定是真命题,则p 、q 的真假性是________. 解析:由p 或q 的否定是真命题,知p 或q 为假命题,因此p 、q 为假命题. 答案:p 假q 假6.对于命题p 、q ,若p 且q 为真命题,则下列四个命题:①p 或﹃q 是真命题;②p 且﹃q 是真命题;③﹃p 且﹃q 是假命题;④﹃p 或q 是假命题.其中真命题是________.解析:∵p 且q 真,则p 真,q 真,∴﹃p 假,﹃q 假,所以只有①③为真命题. 答案:①③7.给出两个命题:p :|x |=x 的充要条件是x 为正实数,q :奇函数的图象一定关于原点对称,则﹃p ∧q 为________命题(填“真”、“假”).解析:∵p 为假命题,∴﹃p 为真命题,又∵q 为真命题,故﹃p ∧q 为真命题.答案:真。

高中数学选修2-1同步练习题库:简单的逻辑联结词(填空题:容易)

高中数学选修2-1同步练习题库:简单的逻辑联结词(填空题:容易)

简单的逻辑联结词(填空题:容易)1、若命题“存在,使"是假命题,则实数m的取值范围为。

2、已知命题,则对应的集合为___________.3、把命题“”的否定写在横线上4、命题“,”的否定是5、命题“”的否定是.6、下列命题:①动点到两定点的距离之比为常数,则动点的轨迹是圆;②椭圆的离心率是;③双曲线的焦点到渐近线的距离是b;④已知抛物线上两点,且OA⊥OB (O是坐标原点),则.所有正确命题的序号是_______________.7、写出命题“,使得”的否定形式是8、已知命题p:x 1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0,则命题p的否定是9、命题“”的否定是 .11、若命题是假命题,则实数的取值范围是12、已知命题,,则为13、给定下列命题:①“”是“”的充分不必要条件;②;③④命题的否定.高考资¥源@网其中真命题的序号是14、命题,则该命题的否定是。

15、若ab=0,则a=0 b=0.(用适当逻辑连接词“或”、“且”、“非”填空).16、命题“上单调递增”的否定是17、命题的否定为18、若是的充分不必要条件,则q是p的_____________条件.19、已知命题:,则 .20、若命题“”是假命题,则实数的取值范围是 .21、命题p:函数有极大值和极小值;命题 q:抛物线的焦点坐标为(1,0)。

若p或q为真命题,p且q为假命题,则实数的取值范围是_ _。

22、命题“,使成立”是假命题,则实数的取值范围为23、已知命题P:“对∈R,m∈R,使”,若命题是假命题,则实数m 的取值范围是_________。

24、已知命题,,则为▲ .36025、命题。

则命题的否定是_________________________.26、给出下列命题:①存在实数,使②若、是第一象限角,且,则③函数是偶函数④函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,其中正确序号是 ___________________________(把正确命题的序号都填上)27、命题“若,则的逆否命题是(填“真命题”或“假命题”。

高中数学选修2-1同步练习题库:简单的逻辑联结词(简答题:一般)

高中数学选修2-1同步练习题库:简单的逻辑联结词(简答题:一般)

简单的逻辑联结词(简答题:一般)1、已知:“直线与圆相交”;:“方程的两根异号”.若为真,为真,求实数的取值范围.2、已知命题,;命题:关于的不等式的解集为.若为真,为假,求实数的取值范围.3、已知R,命题:对任意,不等式恒成立;命题:存在,使得成立.(1)若为真命题,求的取值范围;(2)若且为假,或为真,求的取值范围;4、命题p:关于x的不等式的解集为;命题q:函数为增函数.命题r:a满足.(1)若p∨q是真命题且p∧q是假题.求实数a的取值范围.(2)试判断命题¬p是命题r成立的一个什么条件.5、已知命题函数在上单调递增,命题,.若或为真,且为假,求实数的取值范围.6、已知命题;命题:函数有两个零点,且一个零点比大,一个零点比小,若为真命题,为假命题,求实数的取值范围.7、:,;:关于的方程有实数根;若为真,为假,求实数的取值范围.8、已知命题,,命题.(Ⅰ)分别求为真命题,为真命题时,实数的取值范围;(Ⅱ)当为真命题且为假命题时,求实数的取值范围.9、设:实数满足,其中;:实数满足.(1)若,且为真,求实数的取值范围;(2)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.10、已知命题方程表示双曲线,命题点在圆的内部.若为假命题,也为假命题,求的取值范围.11、已知命题且,命题恒成立,若为假命题且为真命题,求的取值范围.12、已知命题,命题。

(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;(2)若m=5,“”为真命题,“”为假命题,求实数x的取值范围。

13、已知p:对任意q:存在若“p或q”为真,“p且q”为假.求实数的取值范围.14、已知命题p:“两个正实数x,y满足,且x+2y>恒成立",命题q:“函数在上是减函数”,(1)若命题(2)若“或为假”,求实数的取值范围.15、设命题p:实数x满足x2-4Ax+3A2<0,其中A.>0;命题q:实数x满足x2-5x+6≤0.(1)若A=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q成立的必要不充分条件,求实数A的取值范围.16、已知命题:方程表示焦点在y轴上的椭圆;命题:双曲线的离心率, 若有且只有一个为真, 求的取值范围.17、已知命题且,命题恒成立,若为假命题且为真命题,求的取值范围.18、设,已知:函数有零点,(Ⅰ)若为真命题,求的取值范围;(Ⅱ)若为假命题,求的取值范围.19、已知命题函数在区间单调递增,命题函数定义域为,若命题“且”为假,“或”为真,求实数的取值范围.20、已知命题,命题表示焦点在轴上的双曲线.(1)命题为真命题,求实数的取值范围;(2)若命题“”为真,命题“”为假,求实数的取值范围.21、已知实数满足,其中实数满足.(1)若,且为真,求实数的取值范围;(2)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.22、已知,函数在上单调递减.(1)若为假命题,求实数的取值范围;(2)若为真命题,为假命题,求实数的取值范围.23、已知函数的定义域为.如果命题“为真,为假”,求实数的取值范围.24、已知命题方程有两个不等的负根,命题方程无实根,若为真,为假,求的取值范围.25、已知命题和命题.若“且”与“非”同时为假命题,求实数的值.26、已知命题,;命题关于的方程有两个相异实数根.(1)若为真命题,求实数的取值范围;(2)若为真命题,为假命题,求实数的取值范围.27、设命题函数的值域为;命题对一切实数恒成立,若命题“”为假命题,求实数的取值范围.28、设命题p:方程表示双曲线;命题q:x0∈R,x02+2mx0+2﹣m=0(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;(3)求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围.29、已知函数(其中),.(Ⅰ)若命题“”是真命题,求的取值范围;(Ⅱ)设命题:;命题:.若是真命题,求的取值范围.30、已知命题有两个不等的负根,命题q:方程无实根,若为真,为假,求m的取值范围.31、已知p:∀x∈R,不等式x2﹣mx+>0恒成立,q:椭圆+=1的焦点在x轴上,若“p或q”为真,“p且q”为假,求实数m的取值范围.32、已知命题:方程表示焦点在轴上的椭圆;命题:双曲线的离心率;若为真,且为假,求实数的取值范围.33、(2015秋•济南校级期末)设命题p:椭圆,(a>0)的焦点在x轴上;命题q:a>0时,不等式ax2﹣ax+1>0对∀x∈R恒成立.若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求a的取值范围.34、已知命题“”,命题“”.若命题“”是真命题,求实数的取值范围.35、已知,设命题:函数为减函数.命题:当时,函数恒成立.如果命题“”为真命题,“”为假命题,求实数的取值范围.36、已知,且,设命题函数在上单调递减,命题曲线与轴交于不同的两点,如果是假命题,是真命题,求的取值范围.37、已知,命题“”为真,“”为真,求实数的取值范围.38、已知:,不等式恒成立,:椭圆的焦点在轴上.若命题p∧q为真命题,求实数m的取值范围.39、已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”,命题“方程表示双曲线”.(1)若是真命题,求实数的取值范围;(2)若是真命题,求实数的取值范围;(3)若“”是真命题,求实数的取值范围.40、(本小题满分12分)设命题函数的值域为;命题不等式对一切均成立.(1)如果是真命题,求实数的取值范围;(2)如果命题“”为真命题,且“”为假命题,求实数的取值范围.41、(本小题满分10分)设命题p:函数的定义域为R, 命题q:双曲线的离心率,(1)如果p是真命题,求实数的取值范围;(2)如果命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,求实数的取值范围.42、(本小题满分14分)已知命题:实数满足,命题:实数满足方程表示焦点在轴上的椭圆,若是的充分不必要条件,求的取值范围.43、(本小题12分)已知,命题:,恒成立,命题:,直线与椭圆有公共点,求使得为真命题,为假命题的实数的取值范围.44、(本小题满分12分)设有两个命题,命题P:不等式的解集是;命题:函数在定义域中是增函数,(1)若为真命题时,求a的取值范围;(2)若为真命题时,求a的取值范围.45、(本题满分12分)设命题:函数在上是增函数,命题:,如果是假命题,是真命题,求的取值范围.46、已知,设命题函数是上的单调递减函数;命题:函数的定义域为.若“”是真命题,“”是假命题,求实数的取值范围.47、已知命题,,命题,若命题“”是真命题,求实数a的取值范围.48、(本小题满分12分)命题:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,:函数f(x)=(3-2a)x是增函数.若为真,为假.求实数a的取值范围.49、已知有两个不相等的负实数根,方程无实数根. (Ⅰ)若为真,求实数的取值范围;(Ⅱ)若为假为真,求实数的取值范围.50、(本小题满分12分)已知有两个不等的负数根,函数在上是增函数。

苏州市高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》检测(含答案解析)

苏州市高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》检测(含答案解析)

一、选择题1.已知命题p :若实数,x y 满足330x y +=,则,x y 互为相反数;命题q :若0a b >>,则11a b<.下列命题p q ∧,p q ∨,p ⌝,q ⌝中,真命题的个数是( ) A .1B .2C .3D .42.已知实数0x >,0y >,则“1xy <”是“1133log log 0x y +>”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 3.若命题p 是真命题,命题q 是假命题,则下列命题一定是真命题的是( )A .p ∧qB .¬p ∨qC .¬p ∧qD .¬p ∨q ⌝ 4.已知a ,b 是两条直线,则“a ,b 没有公共点”是“a ,b 是异面直线”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件5.已知命题p :在ABC 中,若A B >,则cos cos A B <,命题q :()0,x ∃∈+∞,sin x x >,则下列命题中为真命题的是( )A .p q ∧B .()p q ⌝∧C .()p q ∨⌝D .()()p q ⌝∧⌝6.下列四个命题中,真命题的个数是( ) ①命题“若ln 1x x +>,则1x >”;②命题“p 且q 为真,则,p q 有且只有一个为真命题”; ③命题“所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1”;④命题“已知22,,4a b R a b ∈+≥是2a b +≥的充分不必要条件”. A .1B .2C .3D .47.下列四种说法中,错误的个数是( )①命题“x ∃∈R ,20x x ->”的否定是“x ∀∈R ,20x x -≤”; ②命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件; ③“若22am bm <,则a b <”的逆命题为真; ④若实数x ,[]0,1y ∈,则满足221x y +>的概率为4π. A .0个B .1个C .2个D .3个8.下列说法正确的是( ).A .若数列{}n a 为等差数列,则数列{}1n n a a ++为等差数列B .若14m ≤-,则函数2()lg lg f x x x m =+-无零点C .在ABC ∆中,若sin 2A <,则04A π<<D .直线m ⊄平面α,直线n ⊂平面α,则“//m n ”是“//m α”的充要条件9.下列有关命题的说法错误的是( ) A .“若22am bm <,则a b <”的逆命题为假命题B .命题“如果()()150x x +-=2=”的否命题是真命题C .若p q ∧为假命题,则p 、q 均为假命题D .若p q ∨为假命题,则p 、q 均为假命题 10.下列命题中正确的是( ) A .“12m =”是“直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互平行”的充分不必条件B .“直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的充分条件C .已知a 、b 、c 为非零向量,则“a b a c ⋅=⋅”是“b c =”的充要条件D .p :存在x ∈R ,2220130x x ++≤.则p ⌝:任意x ∈R ,2220130x x ++> 11.命题p :函数1()(0)f x x x x=+>最小值是2;命题q :若1ab >,则a b >.下列说法正确的是( ) A .p 或q 为真 B .p 且q 为真 C .p 或q 为假D .非p 为真12.记不等式()()22124x y -+-≤表示的平面区域为D .命题p :()x y D ∀∈,,28x y +≤;命题q :(),x y D ∃∈,21x y +≤-.下面给出了四个命题:①p q ∨;②p q ⌝∨;③p q ∧⌝;④p q ⌝∧⌝.这四个命题中,所有真命题的编号是( ) A .①③B .②④C .②③D .①④二、填空题13.已知{}|13A x x =-<<, {}11|B x x m =-<<+,若x B ∈成立的一个必要不充分条件是x A ∈,则实数m 的取值范围是_______________.14.已知2:230p x x --<,:1q m x m <<+,若p 是q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是________. 15.给出下列命题:①纯虚数z 的共轭复数是z -; ②若120z z -=,则12z z =;③若12R z z +∈,则1z 与2z 互为共轭复数; ④若120z z -=,则1z 与2z 互为共轭复数. 其中正确命题的序号是_________. 16.给出下列命题:①已知a ,b 是正数,且11a ab b+>+,则a b >; ②命题“x R ∃∈,使得2210x x -+<”的否定是真命题; ③将()1023化成二进位制数是()210111;④某同学研究变量x ,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,他得出一个结论:y 与x 负相关且 4.326 4.5y x =--,其中正确的命题的序号是__________(把你认为正确的序号都填上).17.若命题“p :x R ∀∈,2210ax x ++>”是假命题,则实数a 的取值范围是______. 18.给出下列命题:①命题“若21x =,则1x =”的否命题为“若21x =,则1x ≠”; ②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件;③x R ∃∈命题“,使得210x x +-<”的否定是:“x R ∀∈,均有210x x -->”; ④命题“若x y =,则 sin sin x y =”的逆否命题为真命题 其中所有正确命题的序号是________.19.命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定是__________.20.已知命题p :存在[]0,1x ∈,使得0x a e -≥成立,命题:q 对任意x ∈R ,240x x a ++> 恒成立,若命题p q ∧⌝是真命题,则实数a 的取值范围是______________.三、解答题21.若函数()y f x =满足“存在正数λ,使得对定义域内的每一个值1x ,在其定义域内都存在2x ,使12()()f x f x λ=成立”,则称该函数为“依附函数”.(1)分别判断函数①()2x f x =,②2()log g x x =是否为“依附函数”,并说明理由; (2)若函数()y h x =的值域为[,]m n ,求证:“()y h x =是‘依附函数’”的充要条件是“0[,]m n ∉”.22.命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的实数根, 命题:q 方程244210()x m x +++=无实数根.若“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题.求m 的取值范围.23.定义:如果存在实数x ,y 使c xa yb =+,那么就说向量c 可由向量a b ,线性表出.给出命题:p :空间三个非零向量a b c ,,中存在一个向量可由另两个向量线性表出.q :空间三个非零向量a b c ,,共面.判断p 是q 的什么条件,并证明你的结论. 24.已知集合{}{}222430(0),540A x x ax a a B x x x =-+≤>=-+≥,若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.25.已知集合{}211A x a x a =-<<+,{}01B x x =≤≤.(1)在①1a =-,②0a =,③1a =,这三个条件中选择一个条件,求AB ;(2)若“x A ∈”是R x B ∈的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 注:(1)中如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.26.已知集合{}12A x x =-≤≤,{}22210B x x mx m =-+-≤.(1)命题p :x A ∈,命题q :x B ∈,且p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围;(2)若x A ∀∈,243x m x +≥+恒成立,求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】根据条件分别判断两个命题的真假,结合复合命题的真假关系,进行判断,即可判定. 【详解】由题意,例如0x y ==时,此时330x y +=,所以命题p 为假命题;命题q :中当0a b >>时,110b a a b ab --=<成立,所以11a b<,所以命题q 为真命题,所以命题p q ∧假命题;p q ∨为真命题;p ⌝为真命题;q ⌝为假命题,真命题的个数是2个,故选B. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判断,其中解答中先判定命题,p q 的真假,再结合复合命题的真假关系判定真假是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.2.C解析:C 【分析】 由不等式111333log log log 0x y xy +=>,求得01xy <<,结合充要条件的判定方法,即可求解. 【详解】由题意,实数0x >,0y >,不等式111333log log log 0x y xy +=>,解得01xy <<, 所以实数0x >,0y >,则“1xy <”是“1133log log 0y +>”的充要条件. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定,以及对数的运算性质,其中解答中熟记充要条件的判定方法,以及熟练应用对数的运算性质是解答的关键,着重考查推理与运算能力,属于基础题.3.D解析:D 【分析】根据命题q 是假命题,命题p 是真命题,结合复合命题真假判断的真值表,可判断出复合命题的真假,进而得到答案. 【详解】∵命题q 是假命题,命题p 是真命题, ∴“p ∧q”是假命题,即A 错误; “¬p ∨q”是假命题,即B 误; “¬p ∧q”是假命题,即C 错误; “p q ⌝∨⌝ ”是真命题,故D 正确错; 故选D . 【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假,熟练掌握复合命题真假判断的真值表,是解答的关键.4.B解析:B 【分析】根据异面直线的定义及充分条件、必要条件的概念求解即可. 【详解】因为a ,b 没有公共点,a ,b 可能平行也可能异面, 所以“a ,b 没有公共点”成立推不出“a ,b 是异面直线”, 反之,“a ,b 是异面直线”可以推出“a ,b 没有公共点”成立, 所以“a ,b 没有公共点”是“a ,b 是异面直线”的必要不充分条件, 故选:B 【点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件的判定,异面直线的概念,属于中档题.5.C解析:C 【分析】由函数cos y x =在(0,)π上的单调性即可判断p 为真命题;当(0,)2x π∈时,令()sin f x x x =-,利用导数判断函数()f x 在(0,)2π上的单调性从而证明sin x x <,当[,)2x π∈+∞时,根据图象判断sin x x <,即可确定q 为假命题,利用复合命题的真假判断规则进行判断即可.【详解】命题p :在ABC 中,,(0,)A B π∈,因为函数cos y x =在(0,)π上单调递减,所以若A B >,则cos cos A B <,命题p 为真命题.命题q :令()sin f x x x =-,当(0,)2x π∈时,cos 10y x '=-<,函数()sin f x x x=-在(0,)2π上单调递减,所以()(0)0f x f <=,即sin x x <;当[,)2x π∈+∞时,由下图可知sin x x <,所以q 为假命题.所以()p q ∨⌝为真命题. 故选:C 【点睛】本题考查复合命题的真假判断,涉及正、余弦函数的图象与性质,利用导数证明不等式,属于中档题.6.C解析:C 【分析】①令()ln f x x x =+,研究其单调性判断.②根据“且”构成的复合命题定义判断.③根据幂函数()af x x =的图象判断.④由()222222a ba b a b a b +=++≥+,判断充分性,取特殊值1a b ==判断必要性. 【详解】①令()ln f x x x =+,()110f x x=+>',所以()f x 在{}1,+∞上递增 所以()()1f x f >,所以1x >,故正确. ②若p 且q 为真,则,p q 都为真命题,故错误.③因为所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1,故正确.④因为()2222224a ba b a b a b +=++≥+≥,所以2a b +≥,故充分性成立,当1a b ==时,推不出224a b +≥,所以不必要,故正确.故选:C 【点睛】本题主要考查命题的真假判断,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.7.C解析:C 【分析】根据题意,①②说法正确,若0m =③错误,根据古典概型④概率应该为14π-.【详解】命题“x ∃∈R ,20x x ->”的否定是“x ∀∈R ,20x x -≤”,所以①正确;命题“p q ∨为真”即p ,q 至少有一个为真,不能推出命题“p q ∧为真”,命题“p q ∧为真”则p ,q 全为真,能够推出命题“p q ∨为真”,所以命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件,所以②正确;“若22am bm <,则a b <”的逆命题是:若a b <,则22am bm <,当0m =时不成立,所以该逆命题不是真命题,所以③不正确;若实数x ,[]0,1y ∈,有序数对(),x y 对应平面内的点形成的区域面积为1,如图:其中扇形区域不满足221x y +>,面积为4π,深色区域符合题意, 则满足221x y +>的概率为14π-,所以④不正确.故选:C 【点睛】此题考查命题的真假判断,涉及全称命题的否定,含有逻辑连接词的命题真假判断,不等式的性质辨析,求几何概型,涉及知识面比较广.8.A解析:A 【分析】A:利用等差数列的定义进行判断;B:令lg t x =,则2()f t t t m =+-,结合二次函数的零点存在问题,进行判断;C:结合正弦函数,可解不等式,进而可判断A 的取值范围;D:判断由“//m n ”是否能推出“//m α”,再判断由“//m α”是否能推出“//m n ”. 【详解】解:数列{}n a 为等差数列,不妨设数列{}n a 通项公式为n a pn q =+,则1(1)n a p n q pn p q +++=++=.122n n n b a a pn p q +∴=+=++则1232n b pn p q +=++.12n n b b p +∴-=与n 无关. 故数列{}1n n a a ++为等差数列,A 正确. 令lg t x =,则2()f t t t m =+-,当14m =-时, 21()04f t t t =++=此时12t =-,即10x =函数函数2()lg lg f x x x m =+-有零点,B 错误.由正弦函数图像可知,若sin 2A <,则04A π<<或34A ππ<<,C 错误. 当“//m α”时,直线n ⊂平面α,不一定有“//m n ”,所以D 项错误.故选:A . 【点睛】本题考查了等差数列的定义,考查了函数的零点与方程的根,考查了三角函数不等式,考查了充分必要条件的判断.判断一个数列是否为等差数列,可利用等差数列的定义,即判断后一项与前一项的差是否为一个常数;求解三角函数不等式时,常常结合三角函数的图像进行求解;判断两个命题的关系时,通常分为两步,判断由p 是否能推出q ,以及判断由q 是否能推出p .9.C解析:C 【分析】写出逆命题和否命题,判断正误,根据或和且的命题真假判断命题真假得到答案. 【详解】逆命题为:若a b <,则22am bm <,当0m =是不成立,故为假命题,A 正确;否命题为:如果()()150x x +-≠2≠,为真命题,B 正确; 若p q ∧为假命题,则p 、q 不同时为真,C 错误; 若p q ∨为假命题,则p 、q 均为假命题,D 正确; 故选:C . 【点睛】本题考查了逆命题和否命题,或和且命题的判断,意在考查学生的推断能力.10.D解析:D 【分析】由两直线平行与系数的关系式求得m 判断A;由线面垂直的判定定理判断B ;由平面向量的数量积的运算判断C ;写出特称命题的否定判断D ,综合可得答案. 【详解】解:由直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互平行⇔223203220m m m m m ⎧+--=⎨-+--≠⎩()()()(),可得m =“12m =”是“直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互平行”的既不充分也不必条件,故A 错误;直线l 垂直平面α内无数条直线不一定有直线垂直平面,故“直线l 垂直平面α内无数条直线”不是“直线l 垂直于平面α”的充分条件,故B 错误;a 、b 、c 为非零向量,由“a b a c ⋅=⋅”不能得到“b c =”,反之由“b c =”能够得到“a b a c ⋅=⋅”,故“a b a c ⋅=⋅”是“b c =”的必要不充分条件,故C 错误;p :存在x ∈R ,2220130x x ++≤.则p ⌝:任意x ∈R ,2220130x x ++>,故D 正确; 故选:D. 【点睛】本题主要考查命题真假的判断,涉及全称命题与特称命题的否定的书写、充分必要条件的判断等知识点,属于中档题.11.A解析:A 【分析】求出函数()f x 的最小值判定p 的真假;举例说明命题q 为假,再由复合命题的真假判断得答案. 【详解】 由0x >时,得1122x x x x+⋅=(当且仅当1x x =,即1x =时取等号),∴命题p 为真命题;当4a =-,2b =-,满足1ab>,但a b <,故命题q 是假命题. p ∴或q 为真;p 且q 为假;非p 为假.故选:A . 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,考查不等式的性质,考查复合命题的真假判断,是基础题.12.B解析:B 【分析】画出平面区域D ,直线28x y +=和直线21x y +=-,根据图像判断出命题p 和命题q 的真假,从而得到答案. 【详解】平面区域为D 满足不等式()()22124x y -+-≤,画出其图像如图所示,再画出直线28x y +=和直线21x y +=-,根据图像可得存在(),x y D ∈,在直线28x y +=的上方, 所以命题p :()x y D ∀∈,,28x y +≤,是假命题, 不存在(),x y D ∈,在直线21x y +=-的下方 所以命题q :(),x y D ∃∈,21x y +≤-,是假命题.所以①p q ∨为假命题;②p q ⌝∨为真命题;③p q ∧⌝为假命题;④p q ⌝∧⌝为真命题. 故选:B.【点睛】本题考查判断含有逻辑联结词命题的真假,根据不等式画可行域,判断点是否在可行域内,属于中档题.二、填空题13.【分析】先依题意判断集合B 是集合A 的真子集再讨论集合B 是否空集求参数m 的取值范围即可【详解】因为成立的一个必要不充分条件是所以推不出且可推出故集合B 是集合A 的真子集当时即集合A 的真子集符合题意;当时 解析:{}|2m m <【分析】先依题意判断集合B 是集合A 的真子集,再讨论集合B 是否空集求参数m 的取值范围即可. 【详解】因为x B ∈成立的一个必要不充分条件是x A ∈,所以x A ∈推不出x B ∈,且x B ∈可推出x A ∈,故集合B 是集合A 的真子集.当11m +≤-时即2m ≤-,B =∅集合A 的真子集,符合题意;当11m +>-时即2m >-,要使集合B 是集合A 的真子集,则需13m +<,即2m <,故22m -<<;综上,实数m 的取值范围是2m <.故答案为:{}|2m m <.【点睛】结论点睛:本题考查必要不充分条件的应用,一般可根据如下规则判断:(1)若p 是q 的必要不充分条件,则q 对应集合是p 对应集合的真子集;(2)若p 是q 的充分不必要条件, 则p 对应集合是q 对应集合的真子集;(3)若p 是q 的充分必要条件,则p 对应集合与q 对应集合相等;(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件, q 对的集合与p 对应集合互不包含. 14.【分析】解一元二次不等式求得根据是的必要不充分条件求得的取值范围【详解】由解得所以由于是的必要不充分条件所以解得所以的取值范围是故答案为:【点睛】本小题主要考查根据必要不充分条件求参数考查一元二次不 解析:[]1,2-【分析】解一元二次不等式求得p ,根据p 是q 的必要不充分条件求得m 的取值范围.【详解】由()()223310x x x x --=-+<,解得13x .所以:p ()1,3-.由于p 是q 的必要不充分条件,所以113m m ≥-⎧⎨+≤⎩, 解得12m -≤≤.所以m 的取值范围是[]1,2-.故答案为:[]1,2-【点睛】本小题主要考查根据必要不充分条件求参数,考查一元二次不等式的解法,属于中档题. 15.①④【分析】对于①根据纯虚数和共轭复数的定义可知正确;对于②由得出再由复数相等和共轭复数的定义可知不一定有可知②不正确;对于③则可能均为实数但不一定相等或与的虚部互为相反数但实部不一定相等即可判断出解析:①④【分析】对于①,根据纯虚数和共轭复数的定义可知正确;对于②,由120z z -=得出12z z =,再由复数相等和共轭复数的定义,可知不一定有12z z =,可知②不正确;对于③,12R z z +∈,则12,z z 可能均为实数,但不一定相等,或1z 与2z 的虚部互为相反数,但实部不一定相等,,即可判断出③;对于④,由120z z -=得出12z z =,则1z 与2z 互为共轭复数,则④正确;综合得出答案.【详解】解:根据纯虚数和共轭复数的定义,可知命题①显然正确;对于②,若120z z -=,只能得到12z z =,不一定有12z z =,所以命题②不正确; 对于③,若12R z z +∈,则12,z z 可能均为实数,但不一定相等,或1z 与2z 的虚部互为相反数,但实部不一定相等,则1z 与2z 不一定互为共轭复数,所以命题③不正确;由120z z -=得出12z z =,则1z 与2z 互为共轭复数,可知命题④正确; 所以正确命题的序号是①④.故答案为:①④.【点睛】本题考查复数相关命题的真假,考查对复数的概念中实数、虚数、纯虚数以及相等复数和共轭复数的特征的理解,属于基础题. 16.②③④【分析】①中作差法即可判断命题为假;②中完全平方式非负性判断命题为真;③中熟悉进制规则详见解析;④中回归方程的正负相关性即可得出命题为真【详解】①中作差法可知:∵ab 是正数∴可知①错;②中命题解析:②③④【分析】①中作差法即可判断命题为假;②中完全平方式非负性判断命题为真;③中熟悉进制规则,详见解析;④中回归方程的正负相关性即可得出,命题为真.【详解】①中作差法可知:1(1)(1)01(1)(1)a a a b a b b a b b b b b b++-+--==>+++ ∵a ,b 是正数,∴b a >,可知①错;②中命题的否定为:“x R ∀∈,使得2210x x -+≥”,即“x R ∀∈,使得2(1)0x -≥”显然为真命题,故②正确;③中则,∵()43210(2)1023120212121210111=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,故③正确;④中,∵y 与x 负相关,∴所求回归直线方程中x 前面的系数为负数,符合常理,故④正确.故答案为:②③④.【点睛】本题通过对命题的判断,考查了学生对不等式,进制,回归方程等等知识的掌握程度,相对来讲比较综合,需要学生有较强逻辑思维,且数学知识掌握牢固,为中等难度题型. 17.【分析】若命题p :∀x ∈Rax2+2x+1>0是假命题则a =0或a <0或进而得到实数a 的取值范围【详解】若命题p :∀x ∈Rax2+2x+1>0是假命题则∃x ∈Rax2+2x+1≤0当a =0时y =2x解析:(],1-∞【分析】若命题“p :∀x ∈R ,ax 2+2x +1>0”是假命题,则a =0,或a <0,或0440a a ⎧⎨=-≥⎩>,进而得到实数a 的取值范围.【详解】若命题“p :∀x ∈R ,ax 2+2x +1>0”是假命题,则∃x ∈R ,ax 2+2x +1≤0,当a =0时,y =2x +1为一次函数,满足条件;当a <0时,y =ax 2+2x +1是开口朝下的二次函数,满足条件;当a >0时,y =ax 2+2x +1是开口朝上的二次函数,则函数图象与x 轴有交点,即△=4﹣4a ≥0,解得:0<a ≤1 综上可得:实数a 的取值范围是:(],1-∞故答案为:(],1-∞【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了二次函数的图象和性质,难度中档. 18.④【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断②利用充分条件和必要条件的定义判断③利用特称命题的否定判断④利用逆否命题的等价性进行判断【详解】解:①根据否命题的定义可知命题若则的否命题为若则所以解析:④【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断.②利用充分条件和必要条件的定义判断.③利用特称命题的否定判断.④利用逆否命题的等价性进行判断.【详解】解:①根据否命题的定义可知命题“若21x =,则1x =”的否命题为“若21x ≠,则1x ≠”,所以①错误.②由2560x x --=得1x =-或6x =,所以②“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件,所以②错误.③根据特称命题的否定是全称命题得命题“x R ∃∈,使得210x x +-<”的否定是:“x R ∀∈,均有210x x +-”,所以③错误.④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确,所以命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题为真命题,所以④正确.故答案为④.【点睛】本题主要考查命题的真假判断,以及四种命题的真假关系的判断,比较基础. 19.【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题的否定命题:故答案为:【点睛】本题主要考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系是基础题 解析:2210x R x x ∀∈-+<,【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.【详解】因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定命题:2210x R x x ∀∈-+<,,故答案为:2210x R x x ∀∈-+<,.【点睛】本题主要考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,是基础题.20.【分析】先确定各命题为真时实数的取值范围再根据复合命题真假得各命题真假最后求交集得结果【详解】命题:存在使得成立所以最小值1即所以;命题对任意恒成立所以;因为命题是真命题所以是真命题是假命题即【点睛 解析:[]1,4a ∈【分析】先确定各命题为真时实数a 的取值范围,再根据复合命题真假得各命题真假,最后求交集得结果.【详解】命题p :存在[]0,1x ∈,使得0x a e -≥成立,所以x a e ≥的最小值1,即所以1a ≥; 命题:q 对任意x R ∈,240x x a ++> 恒成立,所以24404a a ,-; 因为命题p q ∧⌝是真命题,所以p 是真命题,q 是假命题,即14a ≤≤【点睛】本题考查命题真假以及不等式恒成立与存在性问题,考查基本分析转化与求解能力,属中档题.三、解答题21.(1)①是,②不是;理由详见解析(2)详见解析.【分析】(1)①可取1λ=,说明函数()2x f x =是“依附函数”; ②对于任意正数λ,取11x =,此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解,说明2()log g x x =不是“依附函数”; (2)先证明必要性,再证明充分性,即得证.【详解】(1)①可取1λ=,则对任意1x ∈R ,存在21x x =-∈R ,使得12221x x ⋅=成立, (说明:可取任意正数λ,则221log x x λ=-)∴()2x f x =是“依附函数”,②对于任意正数λ,取11x =,则1()0g x =,此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解,∴2()log g x x =不是“依附函数”. (2)必要性:(反证法)假设0[,]m n ∈,∵()y h x =的值域为[,]m n ,∴存在定义域内的1x ,使得1()0h x =,∴对任意正数λ,关于2x 的方程12()()h x h x λ=无解,即()y h x =不是依附函数,矛盾,充分性:假设0[,]m n ∉,取0mn λ=>,则对定义域内的每一个值1x ,由1()[,]h x m n ∈,可得1[,][,]()m n h x n m λλλ∈=, 而()y h x =的值域为[,]m n ,∴存在定义域内的2x ,使得21()()h x h x λ=,即12()()h x h x λ=成立, ∴()y h x =是“依附函数”.【点睛】本题主要考查函数的新定义,考查充分必要条件的证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.3m ≤-或2m >或21m -≤<-【分析】根据题意可知,p q 命题一个是真命题,一个是假命题;先求出两个命题都为真时参数的范围,再分类讨论,先交后并即可.【详解】若p 真:则可得240m =->,解得2m >或2m <-, 若q 真:则可得()2162160m =+-<,解得3<1m -<-. 因为“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,故可得,p q 一个是真命题,一个是假命题.当p 真q 假,则2m >或2m <-,且3m ≤-或1m ≥-,解得3m ≤-或2m >. 当p 假q 真222131m m m -⎧⇒-<-⎨-<<-⎩∴3m ≤-或2m >或21m -≤<-.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围问题,属基础题.23.充分不必要条件,证明见解析.【分析】利用给出的定义、向量共面定理即可判断出关系.【详解】p :空间三个非零向量a ,b ,c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出.q :空间三个非零向量a ,b ,c 共面.p 是q 的充分不必要条件.证明如下:若空间三个非零向量a ,b ,c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出,不妨设c xa yb =+,则由向量共面定理知,a ,b ,c 共面,即p q ⇒,反之不成立,例如,三个非零向量a ,b ,c 共面,且//a b ,而c 与a ,b 不共线,则c 无法用a ,b 线性表示.p ∴是q 的充分不必要条件.【点睛】本题考查了向量共线共面定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.24.[)10,4,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦.【分析】先化简两个集合,再根据充分必要性得到A 是B 的真子集,再列式计算即可.【详解】 解:{}{}224303(0)A x x ax a x a x a a =-+≤=≤≤>, {}2540{1B x x x x x =-+≥=≤或4}x ≥,因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,所以A 是B 的真子集,故310a a ≤⎧⎨>⎩或40a a ≥⎧⎨>⎩,103a ∴<≤或4a ≥, ∴实数a 的取值范围是[)10,4,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】结论点睛:本题考查充分不必要条件的判断,一般可根据如下规则判断:(1)若p 是q 的必要不充分条件,则q 对应集合是p 对应集合的真子集;(2)若p 是q 的充分不必要条件, 则p 对应集合是q 对应集合的真子集;(3)若p 是q 的充分必要条件,则p 对应集合与q 对应集合相等;(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件, q 对的集合与p 对应集合互不包含. 25.(1)答案见解析;(2),11,2 【分析】(1)本题可将a 的值代入集合A 中,然后通过并集的相关性质即可得出结果; (2)本题首先可通过集合B 求出集合B R ,然后通过x A ∈得出集合A 不是空集,最后通过题意得出集合A 是集合B R 的真子集,即可列出不等式并通过计算得出结果. 【详解】(1)选择①:当1a =-时,()3,0A =-,因为[]0,1B =,所以(]3,1A B ⋃=-.选择②:当0a =时,()1,1A =-,因为[]0,1B =,所以(]1,1A B ⋃=-.选择③:当1a =时,()1,2A =,因为[]0,1B =,所以[)0,2A B ⋃=. (2)因为{}01B x x =≤≤,所以()(),01,R B =-∞⋃+∞, 因为x A ∈,所以集合{}211A x a x a =-<<+不是空集, 即211a a -<+,解得2a <,因为“x A ∈”是R x B ∈的充分不必要条件,所以集合A 是集合B R 的真子集,即10a +≤或211a -≥,解得1a ≤-或1a ≥,综上所述,实数a 的取值范围为,11,2. 【点睛】关键点点睛:若命题p 是命题q 的充分不必要条件,则命题p 中元素所组成的集合是命题q 中元素所组成的集合的真子集,若命题p 是命题q 的必要不充分条件,则命题q 中元素所组成的集合是命题p 中元素所组成的集合的真子集,考查计算能力,是中档题. 26.(1)[]0,1;(2)254,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】(1)求出集合B ,由题意可得出B A ,可得出关于实数m 的不等式组,由此可解得实数m 的取值范围;(2)由参变量分离法可知,不等式234m x x ≥-++对任意的[]1,2x ∈-恒成立,利用二次函数的基本性质求出函数234y x x =-++在区间[]1,2-上的最大值,由此可解得实数m 的取值范围.【详解】(1)解不等式22210x mx m -+-≤,即()21x m -≤,解得11m x m -≤≤+, 所以,{}11B x m x m =-≤≤+.由于p 是q 的必要非充分条件,则B A ,所以1112m m -≥-⎧⎨+≤⎩,解得01m ≤≤, 因此,实数m 的取值范围是[]0,1;(2)由x A ∀∈,都有243x m x +≥+,得234m x x ≥-++,[]1,2x ∈-, 令223253424y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭,[]1,2x ∈-, 当32x =时,y 取最大值为254,所以,254m ≥. 因此,实数m 的取值范围是254,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查利用必要不充分条件求参数的取值范围,同时也考查了利用一元二次不等式在区间上恒成立求参数,关于恒成立问题的几种常见解法总结如下:1.参变分离法,将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题;2.主元变换法,把已知取值范围的变量作为主元,把求取值范围的变量看作参数;3.分类讨论,利用函数的性质讨论参数,分别判断单调性求出最值;4.数形结合法,将不等式两端的式子分别看成两个函数,作出函数图象,列出参数的不等式求解.。

(新教材)高中数学苏教版选修2-1全册同步练习(含解析)

(新教材)高中数学苏教版选修2-1全册同步练习(含解析)

课时分层作业(十四)(建议用时:40分钟)[基础达标练]一、选择题1.以q 为公比的等比数列{a n }中,a 1>0,则“a 1<a 3”是“q >1”的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件A [等比数列{a n }中,若a 1>0,则a 1<a 3,可得q 2>1,即q >1或q <-1;若q >1,则有q 2>1,所以a 1q 2>a 1,即a 1<a 3,所以“a 1<a 3”是“q >1”的必要不充分条件.]2.已知p :x +y ≠-2,q :x ,y 不都是-1,则p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件A [因为p :x +y ≠-2,q :x ≠-1或y ≠-1,所以綈p :x +y =-2,綈q :x =-1且y =-1,因为綈q ⇒綈p 但綈p 綈q ,所以綈q 是綈p 的充分不必要条件,即p 是q 的充分不必要条件.故选A.]3.函数f (x )=⎩⎨⎧log 2x ,x >0,-2x +a ,x ≤0,有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A .a <0B .0<a <12 C.12<a <1 D .a ≤0或a >1 A [因为函数f (x )过点(1,0),所以函数f (x )有且只有一个零点⇒ 函数y =-2x +a (x ≤0)没有零点⇒ 函数y =2x 的图象(x ≤0)与直线y =a 无公共点.由数形结合可知a ≤0或a >1,根据集合之间的关系{a |a <0}{a |a ≤0或a >1},可知选A.]二、填空题4.已知α,β是两个不同的平面,直线a⊂α,直线b⊂β,p:a与b无公共点,q:α∥β,则p是q的________条件.[解析]α∥β⇒a,b无公共点,反之不成立.故p是q的必要不充分条件.[答案]必要不充分5.给出下列三个命题:①“a=0”是“函数f(x)=x3+ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件;②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件;③“a>b”是“2a>2b”的充分不必要条件.其中正确命题的序号为________.[解析]对于①,当a=0时,f(x)=x3+ax2=x3为奇函数.即“a=0”⇒“f(x)=x3+ax2(x∈R)为奇函数.”若f(x)=x3+ax2(x∈R)为奇函数,则任意x∈R,都有f(-x)=(-x)3+a(-x)2=-f(x)=-x3-ax2成立,即2ax2=0对任意x∈R都必成立,所以a=0.故“f(x)=x3+ax2(x∈R)为奇函数”⇒“a=0”.综上所述,可知“a=0”是“函数f(x)=x3+ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件,是正确的;对于②,因为“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件,故②错误;对于③,因为指数函数y=2x是R上的单调增函数,所以“a>b”是“2a>2b”的充要条件,故③错误.[答案]①6.函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数的充要条件是________(填序号).①b≥0;②b>0;③b<0;④b≤0.[解析]∵函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数,∴根据二次函数+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数的的性质得出:-b2≤0,b≥0,∴函数y=x2充要条件是b≥0,故填①.[答案] ①7.如果x ,y 是实数,那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的________条件.[解析] 充分性:“x ≠y ”不一定能推出“cos x ≠cos y ”,如x =0,y =2π,此时cos x =cos y .必要性:“cos x ≠cos y ”一定能推出“x ≠y ”,所以“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件.[答案] 必要不充分8.若条件p :|x |≤2,条件q :x ≤a ,且p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________.[解析] 由题意可知p :-2≤x ≤2,q :x ≤a .p 是q 的充分不必要条件,所以a ≥2.[答案] [2,+∞)三、解答题9.若方程x 2-mx +2m =0有两根,求其中一根大于3,一根小于3的充要条件.[解] 方程x 2-mx +2m =0对应的二次函数f (x )=x 2-mx +2m ,则方程x 2-mx +2m =0有两根,其中一根大于3,一根小于3的充要条件是f (3)<0,即32-3m +2m <0,解得m >9.故其中一根大于3,一根小于3的充要条件是(9,+∞).10.已知p :x 2-4x -5≤0,q :|x -3|<a (a >0).若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.[解] 解不等式x 2-4x -5≤0,得-1≤x ≤5,解不等式|x -3|<a (a >0),得-a +3<x <a +3,设A ={x |-1≤x ≤5},B ={x |-a +3<x <a +3},因为p 是q 的充分不必要条件,从而有A B .故⎩⎪⎨⎪⎧-a +3<-1,a +3>5,解得a >4.所以实数a 的取值范围是(4,+∞).[能力提升练]1.设p:x2-x-20>0,q:1-x2|x|-2<0,则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A[不等式x2-x-20>0的解集A={x|x<-4或x>5},不等式1-x2|x|-2<0的解集B={x|x>2或x<-2或-1<x<1},由于A B,所以p⇒q且q p,所以p是q的充分不必要条件.故选A.]2.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件.[解析]若函数f(x)在[0,1]上是增函数,则根据f(x)是偶函数可知f(x)在[-1,0]上是减函数,结合f(x)的周期为2可知f(x)在[3,4]上是减函数.反过来,若函数f(x)为[3,4]上的减函数,则根据f(x)的周期为2,可知f(x)为[-1,0]上的减函数.因此“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件.[答案]充要3.“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的________条件.[解析]①当k>4,b<5时,一次函数y=(k-4)x+b-5的大致图象如图.②若一次函数y=(k-4)x+b-5交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,当x=0时,y=b-5<0,∴b<5.当y=0时,x=5-bk-4>0.∵b<5,∴k>4.故“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的充要条件.[答案]充要4.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.[证明]必要性:∵a+b=1,即b=1-a,∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.充分性:∵a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.∵ab≠0,∴a≠0且b≠0,∴a2-ab+b2≠0,故a+b=1.综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 课时分层作业(十五)(建议用时:40分钟)[基础达标练]一、选择题1.下列命题中为全称命题的是()A.过直线外一点有一条直线和已知直线平行B.矩形都有外接圆C.存在一个实数与它的相反数的和为0D.0没有倒数B[命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”,是全称命题.故选B.]2.下列命题中为存在性命题的是()A.所有的整数都是有理数B.三角形的内角和都是180°C.有些三角形是等腰三角形D.正方形都是菱形C[A,B,D为全称命题,而C含有存在量词“有些”,故为存在性命题.] 3.下列命题中,是全称命题且是真命题的是()A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0B.菱形的两条对角线相等C.∀x∈R,x2=xD.对数函数在定义域上是单调函数D[A中的命题是全称命题,但a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,故是假命题;B中的命题是全称命题,但是假命题;C中的命题是全称命题,但x2=|x|,故是假命题;很明显D中的命题是全称命题且是真命题,故选D.]二、填空题4.命题“∀x>0,x2+x>0”的否定是________.[解析]因为全称命题的否定是存在性命题,所以命题“∀x>0,x2+x>0”的否定是“∃x>0,x2+x≤0”.[答案]∃x>0,x2+x≤05.已知命题p:∃x∈N,x2<4,则非p为________.[解析]因为存在性命题的否定是全称命题,所以非p为∀x∈N,x2≥4.[答案]∀x∈N,x2≥46.对任意x>3,x>a恒成立,则实数a的取值范围是________.[解析]因为x>3时,x>a恒成立,所以a≤3.[答案](-∞,3]7.若命题“∃x∈R,使得x2+(a-1)x+1≤0”为假命题,则实数a的取值范围是________.[解析]由条件知,“∀x∈R,x2+(a-1)x+1>0”为真命题,即(a-1)2-4<0,解得-1<a<3.[答案](-1,3)8.对下列命题的否定说法错误的是________.①p:能被2整除的数是偶数,非p:存在一个能被2整除的数不是偶数;②p:有些矩形是正方形,非p:所有的矩形都不是正方形;③p:有的三角形为正三角形,非p:所有的三角形不都是正三角形;④p:∃x∈R,x2+x+2≤0,非p:∀x∈R,x2+x+2>0.[解析]根据含有一个量词的命题的否定知③错误.[答案]③三、解答题9.写出下列命题的否定并判断其真假.(1)p:所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;(2)p:每一个非负数的平方都是正数;(3)p:存在一个三角形,它的内角和不等于180°;(4)p:有的四边形没有外接圆;(5)p:某些梯形的对角线互相平分.[解](1)非p:存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除,假命题.(2)非p:存在一个非负数的平方不是正数,真命题.(3)非p:任意三角形的内角和都等于180°,真命题.(4)非p:所有的四边形都有外接圆,假命题.(5)非p:所有梯形的对角线都不互相平分,真命题.10.已知命题p:“至少存在一个实数x0∈[1,2],使不等式x2+2ax+2-a >0成立”为真,试求参数a的取值范围.[解]法一:由题意知,x2+2ax+2-a>0在[1,2]上有解,令f(x)=x2+2ax +2-a,则只需f(1)>0或f(2)>0,即1+2a+2-a>0或4+4a+2-a>0.整理得a>-3或a>-2,即a >-3.故参数a 的取值范围为(-3,+∞).法二:非p :∀x ∈[1,2],x 2+2ax +2-a >0无解,令f (x )=x 2+2ax +2-a ,则⎩⎨⎧ f (1)≤0,f (2)≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧1+2a +2-a ≤0,4+4a +2-a ≤0,解得a ≤-3. 故命题p 中,a >-3.即参数a 的取值范围为(-3,+∞).[能力提升练]1.有四个关于三角函数的命题:p 1:∀x ∈R ,sin 2x 2+cos 2x 2=12; p 2:∃x ,y ∈R ,sin(x -y )=sin x -sin y ;p 3:∀x ∈[0,π],1-cos 2x 2=sin x ; p 4:sin x =cos y ⇒x +y =π2. 其中的假命题是( )A .p 1,p 4B .p 2,p 4C .p 1,p 3D .p 2,p 3A [∵∀x ∈R ,均有sin 2x 2+cos 2x 2=1,而不是12,故p 1为假命题.当x ,y ,x -y 有一个为2k π(k ∈Z)时,sin x -sin y =sin(x -y )成立,故p 2是真命题.∵cos2x =1-2sin 2x ,∴1-cos 2x 2=1-1+2sin 2x 2=sin 2x .又x ∈[0,π]时,sin x ≥0,∴∀x ∈[0,π],均有1-cos 2x 2=sin x ,故p 3是真命题.当sin x =cos y ,即sin x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-y 时,x =2k π+π2-y 或x +⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-y =(2k +1)π,即x +y =2k π+π2或x -y =2k π+π2(k ∈Z),故p 4为假命题.故选A.] 2.下列命题中,是假命题的是 ( )A .∃m ∈R ,使f (x )=(m -1)xm 2-4m +3是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减B .∀a >0,函数f (x )=(ln x )2+ln x -a 有零点C .∃α,β∈R ,使cos(α+β)=cos α+sin βD .∀φ∈R ,函数f (x )=sin(2x +φ)都不是偶函数D [∵f (x )为幂函数,∴m -1=1,∴m =2,∴f (x )=x -1,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减,故A 中的命题为真命题;∵y =(ln x )2+ln x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫-14,+∞,∴∀a >0,方程(ln x )2+ln x -a =0有解,即函数f (x )有零点,故B 中的命题为真命题;当α=π6,β=2π时,cos(α+β)=cos α+sin β成立,故C 中的命题为真命题;当φ=π2时,f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π2=cos 2x 为偶函数,故D 中的命题为假命题.]3.若命题“∀x ≥1,x 2≥a ”的否定为真命题,则实数a 的取值范围为________.[解析] 命题“∀x ≥1,x 2≥a ”的否定为“∃x ≥1,x 2<a ”为真命题,所以a ∈(1,+∞).[答案] (1,+∞)4.已知命题p :∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0,命题q ∶∃x ∈R ,x 2+2ax +2-a =0.若命题“p 和q ”都是真命题,求实数a 的取值范围.[解] ∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0,即a ≤x 2,当x ∈[1,2]时恒成立,∴a ≤1.∃x ∈R ,x 2+2ax +2-a =0,即方程x 2+2ax +2-a =0有实根,∴Δ=4a 2-4(2-a )≥0.∴a ≤-2或a ≥1.又p 和q 为真,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1,a ≤-2或a ≥1, ∴a ≤-2或a =1. 课时分层作业(十六)(建议用时:40分钟)[基础达标练]一、选择题1.已知点M 到两个定点A (-1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2,则动点M 的轨迹是( )A 一个椭圆B .线段ABC .线段AB 的垂直平分线D .直线ABB [定值2等于|AB |,故点M 只能在线段AB 上.]2.“ab <0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件A [当方程表示双曲线时,一定有ab <0,反之,当ab <0时,若c =0, 则方程不表示双曲线.]3.已知F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=2a ,当a 为3或5时,点P 的轨迹分别是( )A .双曲线和一条直线B .双曲线和一条射线C .双曲线的一支和一条直线D .双曲线的一支和一条射线D [依题意得|F 1F 2|=10,当a =3时,2a =6<|F 1F 2|,故点P 的轨迹为双曲线的一支;当a =5时,2a =10=|F 1F 2|,故点P 的轨迹为一条射线.故选D.]二、填空题4.已知双曲线的焦点为F 1,F 2,双曲线上一点P 满足|PF 1-PF 2|=2.若点M 也在双曲线上,且MF 1=4,则MF 2=________.[解析] 由双曲线的定义可知,|MF 1-MF 2|=2.又MF 1=4,所以|4-MF 2|=2,解得MF 2=2或6.[答案] 2或65.已知点A (-1,0),B (1,0).曲线C 上任意一点P 满足PA →2-PB →2=4(|PA →|-|PB →|)≠0.则动点P 的轨迹是________.[解析] 由条件可化简为PA +PB =4,因为4>2=AB , 所以曲线C 是椭圆. [答案] 椭圆6.若点P 到直线x =-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹为______.(填“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”)[解析] 由题意P 到直线x =-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P 的轨迹为一条抛物线.[答案] 抛物线7.已知平面上定点F 1,F 2及动点M ,命题甲:|MF 1-MF 2|=2a (a 为常数),命题乙:点M 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线,则甲是乙的________条件.[解析] 根据双曲线的定义,乙⇒甲,但甲D 乙,只有当0<2a <|F 1F 2|时,其轨迹才是双曲线.故甲是乙的必要不充分条件.[答案] 必要不充分8.△ABC 的顶点A (0,-4),B (0,4),且4(sin B -sin A )=3sin C ,则顶点C 的轨迹是________.[解析] 运用正弦定理,将4(sin B -sin A )=3sin C 转化为边的关系,即4⎝ ⎛⎭⎪⎫b2R -a 2R =3×c 2R ,则AC -BC =34AB =6<AB .显然,顶点C 的轨迹是以A ,B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3).[答案] 以A ,B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3) 三、解答题9.已知动点M 的坐标(x ,y )满足方程2(x -1)2+2(y -1)2=(x +y +6)2,试确定动点M 的轨迹.[解] 方程可变形为(x -1)2+(y -1)2|x +y +6|2=1,∵(x -1)2+(y -1)2表示点M 到点(1,1)的距离,|x +y +6|2表示点M 到直线x +y +6=0的距离. 又由(x -1)2+(y -1)2|x +y +6|2=1知点M 到定点(1,1)的距离等于点M 到直线x +y+6=0的距离.由抛物线的定义知点M 的轨迹是抛物线.10.一炮弹在某处爆炸,在F 1(-5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5 000,0)处晚30017s ,已知坐标轴的单位长度为1 m ,声速为340 m/s ,爆炸点应在什么样的曲线上?[解] 由声速为340 m/s ,可知F 1,F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017=6 000(m),且小于F 1F 2=10 000(m),因此爆炸点在以F 1,F 2为焦点的双曲线上,又因为爆炸点离F 1处比F 2处更远,所以爆炸点应在靠近F 2处的双曲线一支上.[能力提升练]1.已知点P (x ,y )的坐标满足(x -1)2+(y -1)2-(x +3)2+(y +3)2=±4,则动点P 的轨迹是________.[解析] 方程表示点到(1,1)和(-3,-3)两点的距离差,∵4<(1+3)2+(1+3)2,∴点P 的轨迹是双曲线.[答案] 双曲线2.已知椭圆上一点P 到两焦点F 1,F 2的距离之和为20,则PF 1·PF 2的最大值为________.[解析] 由条件知PF 1+PF 2=20,∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1+PF 22 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫202 2=100.当且仅当PF 1=PF 2时取得等号.[答案] 1003.如图,一圆形纸片的圆心为O ,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使M 与F 重合,然后抹平纸片,折痕为CD ,设CD 与OM 交于点P ,则点P 的轨迹是________.[解析] 连接FP (图略),∵M ,F 关于直线CD 对称, ∴PF =PM ,∴PF +PO =OP +PM =OM (定值). ∵OM >OF ,∴点P 的轨迹是以F ,O 为焦点的椭圆. [答案] 以F ,O 为焦点的椭圆4.在△ABC 中,B (-6,0),C (0,8),且sin B ,sin A ,sin C 成等差数列. (1)顶点A 的轨迹是什么?(2)指出轨迹的焦点和焦距.[解] (1)由sin B ,sin A ,sin C 成等差数列,得sin B +sin C =2sin A .由正弦定理可得AB +AC =2BC .又因为BC =10,所以AB +AC =20,且20>BC , 所以点A 的轨迹是椭圆(除去直线BC 与椭圆的交点). (2)椭圆的焦点为B ,C ,焦距为10.课时分层作业(十七)(建议用时:40分钟)[基础达标练]一、选择题1.已知椭圆x 210-m +y 2m -2=1的长轴在y 轴上.若焦距为4,则m 等于( )A .4B .7C .5D .8 D [将椭圆的方程转化成标准形式为y 2(m -2)2+x 2(10-m )2=1.由题意知m -2>10-m >0,即6<m <10.由(m -2)2-(10-m )2=22,解得m =8,满足题意.]2.已知椭圆x 28+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上,则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A .8B .2 2C .10D .42 A [由椭圆的定义得, |PF 1|+|PF 2|=2a =42,∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|+|PF 2|22=8(当且仅当|PF 1|=|PF 2|时取等号).3.过椭圆4x 2+y 2=1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ,B 两点,则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A .2B .4C .8D .22B [因为椭圆方程为4x 2+y 2=1,所以a =1.根据椭圆的定义,知△ABF 2的周长为|AB |+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=(|AF 1|+|AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=4a =4.]二、填空题4.若方程x 2m -y 2m 2-2=1表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数m 的取值范围是________.[解析] ∵方程x 2m -y 2m 2-2=1表示焦点在y 轴上的椭圆,将方程改写为y 22-m 2+x 2m =1,∴有⎩⎪⎨⎪⎧2-m 2>m ,m >0,解得0<m <1. [答案] (0,1)5.设P 是椭圆x 216+y 212=1上一点,点P 到两焦点F 1,F 2的距离之差为2,则△PF 1F 2是________三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”)[解析] 不妨设PF 1>PF 2,由条件知PF 1-PF 2=2,又PF 1+PF 2=2a =8,解得PF 1=5,PF 2=3.又∵F 1F 2=2c =216-12=4,∴F 1F 22+PF 22=PF 21, 故△PF 1F 2是直角三角形. [答案] 直角6.设F 1,F 2是椭圆4x 249+y 26=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,则△PF 1F 2的面积为________.[解析] 根据椭圆定义有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,|PF 1|+|PF 2|=7,因此|PF 1|=4,|PF 2|=3.又因为|F 1F 2|=5,因此△PF 1F 2为直角三角形,S △PF 1F 2=12×3×4=6.[答案] 67.过点(3,- 5 )且与椭圆y 225+x 29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.[解析] 椭圆y 225+x 29=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c =4.由椭圆的定义知,2a =(3-0)2+(-5+4)2+(3-0)2+(-5-4)2,解得a =2 5.由c 2=a 2-b 2,可得b 2=4,所以所求椭圆的标准方程为y 220+x24=1.[答案] y 220+x 24=18.椭圆x 212+y 23=1的一个焦点为F 1,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点M 在y 轴上,那么点M 的纵坐标是________.[解析] 设椭圆的另一焦点为F 2,由条件可知PF 2∥OM ,∴PF 2⊥x 轴.设P 点纵坐标为y ,则由x 212+y 23=1,得y =±32,∴点M 的纵坐标为±34. [答案] ±34三、解答题9.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且PF 1→⊥PF 2→,若△PF 1F 2的面积为9,求b 的值.[解] 如图所示,PF 1⊥PF 2,F 1F 2=2c , 根据椭圆的定义可知,PF 1+PF 2=2a ,在Rt △F 1PF 2中,PF 21+PF 22=4c 2. 又S △PF 1F 2=12PF 1·PF 2=9,即PF 1·PF 2=18.∴(PF 1+PF 2)2=PF 21+PF 22+2PF 1·PF 2=4c 2+36=4a 2, ∴4a 2-4c 2=36,即a 2-c 2=9,即b 2=9,∴b =3.10.求符合下列条件的参数的值或取值范围.(1)若方程x 2+ky 2=2表示焦点在x 轴上的椭圆,求k 的取值范围; (2)若椭圆8k 2x 2-ky 2=8的一个焦点为(0,7),求k 的值. [解] (1)原方程可化为x 22+y 22k =1.∵其表示焦点在x 轴上的椭圆,∴⎩⎪⎨⎪⎧k >0,2k <2,解得k >1.故k 的取值范围是(1,+∞).(2)原方程可化为x 21k 2+y 28-k=1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-8k >0,-8k >1k 2,-8k -1k 2=7,即⎩⎪⎨⎪⎧k <0,k <-18,k =-1或k =-17.故k 的值为-1或-17.[能力提升练]1.以圆(x -1)2+y 2=1的圆心为椭圆的右焦点,且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32的椭圆的标准方程为( )A.x 23+y 24=1 B.x 24+y 23=1 C.4x 29+y 2=1 D .x 2+4y 29=1 B [由已知c =1,且焦点在x 轴上, 设椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2-1=1,将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32代入求得a 2=4或a 2=14(舍去).故所求椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.]2.已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P 到两焦点的距离分别为5,3,过P 且与x 轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,则椭圆的方程为________.[解析] 由题意知椭圆焦点在x 轴上,设所求的椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b>0),由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a =5+3,(2c )2=52-32,解得a =4,c =2,b 2=12. 故所求方程为x 216+y 212=1.[答案] x 216+y 212=13.“mn >0”是“方程mx 2+ny 2=1表示的曲线是椭圆”的________条件. [解析] 由方程mx 2+ny 2=1,得x 21m +y 21n=1,所以要使 方程mx 2+ny 2=1表示的曲线是椭圆,则⎩⎪⎨⎪⎧1m >0,1n >0,m ≠n ,即m >0,n >0且m ≠n .所以“mn >0”是“方程mx 2+ny 2=1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.[答案] 必要不充分4.已知椭圆的标准方程为x 225+y 2m 2=1(m >0),焦距为6,求实数m 的值.[解] ①当椭圆焦点在x 轴上时, 由2c =6,得c =3.由椭圆的标准方程为x 225+y 2m 2=1(m >0),得a 2=25,b 2=m 2, 所以m 2=25-9=16. 因为m >0,所以m =4.②当椭圆焦点在y 轴上时,由2c =6,得c =3. 由椭圆的标准方程为x 225+y 2m 2=1(m >0),得a 2=m 2,b 2=25, 所以m 2=25+9=34. 因为m >0,所以m =34.综上所述,实数m 的值为4或34.课时分层作业(十八)(建议用时:40分钟)[基础达标练]一、选择题1.已知椭圆x 225+y 2m 2=1(m >0)的左焦点为F 1(-4,0),则m 等于( )A .2B .3C .4D .9B [由题意知25-m 2=16,解得m 2=9,又m >0,所以m =3.]2.已知椭圆C 的短轴长为6,离心率为45,则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为 ( )A .9B .1C .1或9D .以上都不对C[⎩⎪⎨⎪⎧b =3,c a =45,a 2=b 2+c 2,解得a =5,b =3,c =4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a +c =9或a -c =1.] 3.若直线mx +ny =4和圆O :x 2+y 2=4没有交点,则过点P (m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点个数为( )A .2B .1C .0D .0或1 A [由题意,得4m 2+n 2>2,所以m 2+n 2<4,则-2<m <2,-2<n <2,所以点P (m ,n )在椭圆x 29+y 24=1内,则过点P (m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1有2个交点.故选A.]二、填空题4.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为32,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为________.[解析] 由题意得2a =12,c a =32,所以a =6,c =33,b =3.故椭圆方程为x 236+y 29=1. [答案] x 236+y 29=15.椭圆x 2m +y 24=1的离心率为12,则实数m 的值为________.[解析] 当椭圆的焦点在x 轴上时,a 2=m ,b 2=4,且m >4,则e 2=c 2a 2=1-b 2a 2=1-4m =14,∴m =163; 当椭圆的焦点在y 轴上时,a 2=4,b 2=m ,且0<m <4, 则e 2=c 2a 2=1-b 2a 2=1-m 4=14,∴m =3. [答案] 3或1636.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (-a ,0),B (0,b )的直线的距离等于b7,则椭圆的离心率为________. [解析] 由题意知直线AB 的方程为x -a +yb =1,即bx -ay +ab =0.左焦点为F (-c,0),则|-cb +ab |a 2+b 2=b 7. ∴7(a -c )=a 2+b 2,∴7(a -c )2=a 2+b 2=a 2+a 2-c 2=2a 2-c 2,即5a 2-14ac +8c 2=0, ∴8e 2-14e +5=0,解得e =12或e =54.又∵0<e <1,∴e =12.[答案]127.某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动,卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点).卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至 1 700 km ,近月点(距离月球表面最近的点)高度是200km ,月球的半径约是1 800 km ,且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上,此时小椭圆轨道的离心率是________.[解析] 可设小椭圆的长轴长为2a ,焦距为2c ,由已知得 2a =1 700+2×1 800+200,∴a =2 750. 又a +c =1 700+1 800,∴c =750. ∴e =c a =7502 750=311.[答案]3118.过椭圆x 2+2y 2=4的左焦点作倾斜角为30°的直线,交椭圆于A ,B 两点,则弦长AB =________.[解析] 椭圆左焦点为(-2,0), ∴直线方程为y =33(x +2), 由⎩⎨⎧y =33(x +2),x 2+2y 2=4得5x 2+42x -8=0,∴x 1+x 2=-425,x 1x 2=-85,∴弦长AB =⎝ ⎛⎭⎪⎫1+13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫-4252-4×⎝ ⎛⎭⎪⎫-85=165. [答案] 165三、解答题9.若椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,点P 是椭圆上的一点,P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点,P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线,且左焦点与左顶点的距离等于10-5,试求椭圆的离心率及其方程.[解] 令x =-c ,代入x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),得y 2=b 2⎝⎛⎭⎪⎫1-c 2a 2=b 4a 2,∴y =±b 2a . 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-c ,b 2a ,椭圆的右顶点A (a,0),上顶点B (0,b ).∵OP ∥AB ,∴k OP =k AB ,∴-b 2ac =-b a ,∴b =c .而a 2=b 2+c 2=2c 2,∴a =2c ,∴e =c a =22.又∵a -c =10-5,解得a =10,c =5,∴b =5, ∴所求椭圆的标准方程为x 210+y 25=1.10.设直线y =x +b 与椭圆x 22+y 2=1相交于A ,B 两个不同的点.(1)求实数b 的取值范围; (2)当b =1时,求|AB |.[解] (1)将y =x +b 代入x 22+y 2=1,消去y ,整理得3x 2+4bx +2b 2-2=0.①因为直线y =x +b 与椭圆x 22+y 2=1相交于A ,B 两个不同的点,所以Δ=16b 2-12(2b 2-2)=24-8b 2>0, 解得-3<b < 3.所以b 的取值范围为(-3,3). (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 当b =1时,方程①为3x 2+4x =0.解得x 1=0,x 2=-43.所以y 1=1,y 2=-13.所以|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=423. [能力提升练]1.已知以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x +3y +4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )A .32B .26C .27D .42C [设椭圆的方程为mx 2+ny 2=1(m ≠n >0),联立⎩⎪⎨⎪⎧mx 2+ny 2=1x +3y +4=0,消去x ,得(3m +n )y 2+83m m y +16m -1=0,Δ=192m 2-4(16m -1)(3m +n )=0,整理得3m +n =16mn ,即3n +1m =16 ①.又由焦点F 1(-2,0),F 2(2,0)在x 轴上,得1m -1n =4②,联立①②,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =17n =13,故椭圆的方程为x 27+y 23=1,所以长轴长为27.故选C.]2.若A 为椭圆x 2+4y 2=4的右顶点,以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,则该三角形的面积为________.[解析] 由题意得,该三角形的两直角边关于x 轴对称,且其中一边在过点A (2,0),斜率为1的直线上,且此直线的方程为y =x -2,代入x 2+4y 2=4,得5x 2-16x +12=0,解得x 1=2,x 2=65.把x =65代入椭圆方程,得y =±45,所以三角形的面积S =12×85×⎝ ⎛⎭⎪⎫2-65=1625.[答案]16253.过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ,且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ,若13<k <12,则椭圆离心率的取值范围是________.[解析] 因为13 <k <12,所以点B 在第一象限.由题意可知点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,b 2a .因为点A 的坐标为(-a ,0), 所以k =b 2a -0c +a,所以13<b 2a -0c +a <12.又因为b 2=a 2-c 2,所以b 2a -0c +a =b 2ac +a 2=a 2-c 2a 2+ac=a -c a =1-e ,所以13 <1-e <12,解得12<e <23,故椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12,23. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,234.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (3,1)在椭圆上,△PF 1F 2的面积为2 2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点Q 在椭圆C 上,且∠F 1QF 2=π3,求QF 1·QF 2的值;(3)设直线y =x +k 与椭圆C 相交于A 、B 两点,若以AB 为直径的圆经过坐标原点,求实数k 的值.[解] (1)∵椭圆过点P (3,1), ∴9a 2+1b2=1. 又S △PF 1F 2=12×2c ×1=22,解得c =2 2.又a 2=b 2+c 2解得a 2=12,b 2=4,∴椭圆的标准方程为x 212+y 24=1.(2)当∠F 1QF 2=π3时,有⎩⎨⎧QF 1+QF 2=2a =43,QF 21+QF 22-2QF 1·QF 2cos π3=(2c )2=32,∴QF 1·QF 2=163.(3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎨⎧x 212+y 24=1,y =x +k得4x 2+6kx +3k 2-12=0,故x 1+x 2=-3k2,x 1x 2=3k 2-124,y 1y 2=k 2-124.∵以AB 为直径的圆经过坐标原点,∴OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=k 2-6=0,解得k =±6, 此时Δ=120>0,满足条件,因此k =± 6.课时分层作业(十九)(建议用时:40分钟)[基础达标练]一、选择题1.双曲线x 2a +y 2a -1=1的焦距为( )A .1B .2C .22a -1D .21-2aB [∵a (a -1)<0,∴0<a <1,方程化为标准方程为x 2a -y 21-a=1,∴c 2=a +1-a =1,∴焦距2c =2.]2.若双曲线x 24-y 212=1上的一点P 到它的右焦点的距离为8,则点P 到它的左焦点的距离是 ( )A .4B .12C .4或12D .6 C [由题意知c =4+12=4,设双曲线的左焦点为F 1(-4,0),右焦点为F 2(4,0),且|PF 2|=8.当P 点在双曲线右支上时,|PF 1|-|PF 2|=4,解得|PF 1|=12;当P 点在双曲线左支上时,|PF 2|-|PF 1|=4,解得|PF 1|=4,所以|PF 1|=4或12,即P 到它的左焦点的距离为4或12.]3.设F 1,F 2是双曲线x 2-y 224=1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且3|PF 1|=4|PF 2|,则△PF 1F 2的面积等于( )A .42B .8 3C .24D .48 C [由⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|-|PF 2|=2,3|PF 1|=4|PF 2|,可解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|=8,|PF 2|=6.又由|F 1F 2|=10可得△PF 1F 2是直角三角形, 则S △PF 1F 2=12|PF 1|×|PF 2|=24.]二、填空题4.焦点分别是(0,-2),(0,2),且经过点P (-3,2)的双曲线的标准方程是________.[解析] 由题意,焦点在y 轴上,且c =2,可设双曲线方程为y 2m -x 24-m =1(0<m <4),将P (-3,2)代入,解得m =1.因此所求双曲线标准方程为y 2-x 23=1. [答案]y 2-x 23=1 5.已知双曲线x 2-y 2=1,点F 1,F 2为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若PF 1⊥PF 2,则PF 1+PF 2的值为________.[解析] 不妨设P 在双曲线的右支上,因为PF 1⊥PF 2,所以(22)2=PF 21+PF 22,又因为|PF 1-PF 2|=2,所以(PF 1-PF 2)2=4,可得2PF 1·PF 2=4,则(PF 1+PF 2)2=PF 21+PF 22+2PF 1·PF 2=12,所以PF 1+PF 2=2 3.[答案] 236.已知双曲线x 29-y 216=1上一点M 的横坐标为5,则点M 到左焦点的距离是________.[解析] 由于双曲线x 29-y 216=1的右焦点为F (5,0),将x M =5代入双曲线可得|y M |=163,即双曲线上一点M 到右焦点的距离为163,故利用双曲线的定义可求得点M 到左焦点的距离为2a +|y M |=6+163=343. [答案]3437.已知双曲线x 216-y 225=1的左焦点为F ,点P 为双曲线右支上的一点,且PF 与圆x 2+y 2=16相切于点N ,M 为线段PF 的中点,O 为坐标原点,则|MN |-|MO |=________.[解析] 设F ′是双曲线的右焦点,连接PF ′(图略),因为M ,O 分别是FP ,FF ′的中点,所以|MO |=12|PF ′|.由双曲线方程知a 2=16,b 2=25, ∴c 2=a 2+b 2=16+25=41, 又|FN |=|OF |2-|ON |2=5,且由双曲线的定义知|PF |-|PF ′|=8,故|MN |-|MO |=|MF |-|FN |-12|PF ′|=12(|PF |-|PF ′|)-|FN |=12×8-5=-1.[答案] -18.若圆x 2+y 2-4x -9=0与y 轴的两个交点A ,B 都在双曲线上,且A ,B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为________.[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2-4x -9=0,x =0,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =0,y =3或⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =-3.∵圆x 2+y 2-4x -9=0与y 轴的两个交点A ,B 都在双曲线上,且A ,B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分,∴A (0,-3),B (0,3),且a =3,2c =18, ∴b 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1822-32=72,∴双曲线方程为y 29-x 272=1.[答案] y 29-x 272=1三、解答题9.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)a =4,经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-4103; (2)经过点(3,0),(-6,-3). [解] (1)当焦点在x 轴上时, 设所求标准方程为x 216-y 2b2=1(b >0),把A 点的坐标代入,得b 2=-1615×1609<0,不符合题意;当焦点在y 轴上时,设所求标准方程为y 216-x 2b 2=1(b >0),把A 点的坐标代入,得b 2=9, ∴所求双曲线的标准方程为y 216-x 29=1.(2)设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1(mn <0), ∵双曲线经过点(3,0),(-6,-3), ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m +0=1,36m +9n =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =19,n =-13,∴所求双曲线的标准方程为x 29-y 23=1.10.已知F 1,F 2是双曲线x 29-y 216=1的两个焦点,P 是双曲线左支上的点,且PF 1·PF 2=32,试求△F 1PF 2的面积.[解] 双曲线的标准方程为x 29-y 216=1,可知a =3,b =4,c =a 2+b 2=5.由双曲线的定义,得|PF 2-PF 1|=2a =6,将此式两边平方,得PF 21+PF 22-2PF 1·PF 2=36, ∴PF 21+PF 22=36+2PF 1·PF 2=36+2×32=100.在△F 1PF 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=PF 21+PF 22-F 1F 222PF 1·PF 2=100-1002PF 1·PF 2=0,∴∠F 1PF 2=90°,∴S △F 1PF 2=12PF 1·PF 2=12×32=16.[能力提升练]1.已知双曲线的一个焦点坐标为(6,0),且经过点(-5,2),则双曲线的标准方程为 ( )A.x 25-y 2=1 B.y 25-x 2=1 C.x 225-y 2=1 D.x 24-y 22=1 A [依题意可设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),则有⎩⎨⎧a 2+b 2=6,25a 2-4b 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=5,b 2=1,故双曲线标准方程为x 25-y 2=1.]2.设椭圆C 1的离心率为513,焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为__________________________________________.[解析] 对于椭圆C 1,∵长轴长2a 1=26,∴a 1=13, 又离心率e 1=c 1a 1=513,∴c 1=5.由题意知曲线C 2为双曲线,且与椭圆C 1共焦点, ∴c 2=5.又2a 2=8,∴a 2=4,b 2=c 22-a 22=3,又焦点在x 轴上,故曲线C 2的标准方程为x 216-y 29=1.[答案] x 216-y 29=13.已知双曲线的两个焦点F 1(-5,0),F 2(5,0),P 是双曲线上一点,且PF 1→·PF 2→=0,PF 1·PF 2=2,则双曲线的标准方程为________.[解析] 由题意可设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0).由PF 1→·PF 2→=0,得PF 1⊥PF 2. 根据勾股定理得PF 21+PF 22=(2c )2,即PF 21+PF 22=20.根据双曲线定义,有PF 1-PF 2=±2a . 两边平方并代入PF 1·PF 2=2,得20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1.故双曲线的标准方程是x24-y2=1.[答案]x24-y2=14.2008年5月12日,四川汶川发生里氏8.0级地震,为了援救灾民,某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品,今要把这批药品沿道路PA,PB 送到矩形灾民区ABCD中去,已知PA=100 km,PB=150 km,BC=60 km,∠APB=60°,试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线?并求出其方程.[解]矩形灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA和PB送药一样远近.依题意,界线是第三类点的轨迹.设M 为界线上的任一点,则PA +MA =PB +MB ,MA -MB =PB -PA =50(定值),所以界线是以A ,B 为焦点的双曲线的右支的一部分.如图,以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,设所求双曲线方程的标准形式为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),因为a =25,2c =|AB | =1002+1502-2×100×150×cos 60°=507,所以c =257,b 2=c 2-a 2=3 750, 故双曲线的标准方程为x 2625-y 23 750=1.注意到点C 的坐标为(257,60),故y 的最大值为60,此时x =35,故界线的曲线方程为x 2625-y 23 750=1(25≤x ≤35,y >0).课时分层作业(二十)(建议用时:40分钟)[基础达标练]一、选择题1.若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( )A.5 B .5 C.2 D .2 A [由题意得b =2a ,又a 2+b 2=c 2,∴5a 2=c 2. ∴e 2=c 2a 2=5,∴e = 5.] 2.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长为4,离心率为5,则双曲线的标准方程为( )A.x 24-y 216=1 B .x 2-y 24=1 C.x 22-y 23=1 D .x 2-y 26=1 A [∵双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长为4,∴a =2,又∵e =ca =5,∴c =25,∴b =c 2-a 2=20-4=4.则双曲线的标准方程x 24-y 216=1.]3.已知a >b >0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2-y 2b 2=1,C 1与C 2的离心率之积为32,则C 2的渐近线方程为 ( ) A .x ±2y =0 B.2x ±y =0 C .x ±2y =0D .2x ±y =0A [由题意知e 1=c 1a ,e 2=c 2a , ∴e 1·e 2=c 1a ·c 2a =c 1c 2a 2=32.又∵a 2=b 2+c 21,c 22=a 2+b 2,∴c 21=a 2-b 2, ∴c 21c 22a 4=a 4-b 4a 4=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4,即1-⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4=34,解得b a =±22,∴b a =22.令x 2a 2-y 2b 2=0,解得bx ±ay =0,∴x ±2y =0.] 二、填空题4.若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率为________.[解析] 由2a +2c =4b ,得a +c =2b =2c 2-a 2,即a 2+2ac +c 2=4c 2-4a 2,得5a 2+2ac -3c 2=0,(5a -3c )·(a +c )=0,即5a =3c ,e =c a =53.[答案] 535.已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5∶4,则双曲线的标准方程是________.[解析] 双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x 轴上,且a =3,焦距与虚轴长之比为5∶4,即c ∶b =5∶4,解得c =5,b =4,则双曲线的标准方程是x 29-y 216=1.[答案] x 29-y 216=16.当双曲线C :x 2m 2-y 22m +4=1(-2<m <0)的焦距取得最小值时,双曲线C 的渐近线方程为________.[解析] 由题意可得c 2=m 2+2m +4=(m +1)2+3, ∴当m =-1时,焦距2c 取得最小值, 此时双曲线C 的标准方程为x 2-y 22=1。

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 1.2 简单的逻辑联结词

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1.分别用“p或q”“p且q”“非p”填空.(1)命题“15能被3或5整除”是________形式;(2)“3.5不是有理数”是________形式;(3)命题“李强是高一学生,也是共青团员”是________形式.答案:(1)p或q(2)非p(3)p且q2.已知全集U=R,A⊆U,B⊆U,如果命题p:a∈A∪B,则命题“非p”是________.解析:命题“p或q”的否定为“非p且非q”,所以a∉A∪B⇔a∈∁U B∩∁U A.答案:a∈∁U B∩∁U A3.若命题p:0是偶数,命题q:2是3的约数,则下列命题中为真的是________.①p∧q②p∨q③p④p∧q解析:因命题p真,命题q假,所以“p∨q”为真.答案:②4.如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题,那么________.(填序号)①命题p不一定是假命题②命题q一定是真命题③命题q不一定是真命题④命题p与命题q的真假相同解析:∵“p或q”为真,∴p与q至少有一个为真,又命题“非p”为真,∴p为假,故q一定为真.答案:②一、填空题1.由下列各组构成的命题中,p或q为真,p且q为假,非p为真命题的是________.①p:3+2=6;q:5>3;②p:3是偶数;q:4是奇数;③p:a∈{a,b};q:{a}{a,b };④p:Z R;q:N=N.解析:①中p假q真;②中p假q假;③中p真q真;④中p真q真.答案:①2.若p、q是两个命题,且“p或q”的否定是真命题,则p、q的真假性是________.解析:由p或q的否定是真命题,即p且q是真命题,因此p、q均为真命题,即p、q为假命题.答案:p假q假3.命题“若x=3,则|x|=3”的否定是________.答案:如果x=3,则|x|≠34.由命题p:6是12或24的约数,q:6是24的约数,构成的“p∨q”形式的命题是________,“p∧q”形式的命题是________,“p”形式的命题是________.答案:6是12或24的约数6是12的约数,也是24的约数6不是12且也不是24的约数5.命题p:0不是自然数,命题q:π是无理数,在命题“p∧q”“p∨q”“p”“q”中,假命题是________,真命题是________.解析:因为命题p假,命题q真,所以“p∧q”假,“p∨q”真,“p”真,“q”假.答案:“p ∧q ”“ q ” “p ∨q ”“ p ”6.下列各命题中,满足p ∨q 真,p ∧q 假, p 真的个数是________.①p :0=∅;q :0∈∅ ②p :在△ABC 中,若cos2A =cos2B ,则A =B ;q :y =sin x 在第一象限是增函数 ③p :a +b ≥2ab (a ,b ∈R );q :不等式|x |>x 的解集为(-∞,0)解析:①中p 假q 假;②中p 真q 真;③中p 假q 真,∴p ∨q 真,p ∧q 假, p 真的只有③.答案:17.已知命题p :集合{x |x =(-1)n ,n ∈N }只有3个真子集,q :集合{y |y =x 2+1,x ∈R }与集合{x |y =x +1}相等.则下列新命题:①p 或q ;②p 且q ;③非p ;④非q .其中真命题的个数为________.解析:命题p 的集合为{-1,1},只有2个元集,有3个真子集,故p 为真;q 中的两个集合不相等,故q 为假,因此有2个新命题为真.答案:28.若命题p :不等式4x +6>0的解集为{x |x >-32},命题q :关于x 的不等式(x -4)(x -6)<0的解集为{x |4<x <6},则“p 且q ”,“p 或q ”,“p ”形式的复合命题中的真命题是________.解析:因命题p 为真命题,q 为真命题,所以“ p ”为假命题,“p 或q ”,“p 且q ”为真命题.答案:“p 或q ”,“p 且q ”二、解答题9.分别指出下列各组命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“ p ”形式的命题的真假.(1)p :6<6.q :6=6.(2)p :梯形的对角线相等.q :梯形的对角线互相平分.(3)p :函数y =x 2+x +2的图象与x 轴没有公共点.q :不等式x 2+x +2<0无解.(4)p :函数y =cos x 是周期函数.q :函数y =cos x 是奇函数.解:(1)∵p 为假命题,q 为真命题,∴p ∧q 为假命题,p ∨q 为真命题, p 为真命题.(2)∵p 为假命题,q 为假命题,∴p ∧q 为假命题,p ∨q 为假命题, p 为真命题.(3)∵p 是真命题,q 为真命题,∴p ∧q 为真命题,p ∨q 为真命题, p 为假命题.(4)∵p 为真命题,q 为假命题,∴p ∧q 为假命题,p ∨q 为真命题, p 为假命题.10.已知p :{x |x +2≥0且x -10≤0},q :{x |1-m ≤x ≤1+m ,m >0};若 p 是 q 的必要条件,求实数m 的取值范围.解:法一:p 即{x |-2≤x ≤10},然后由 p :A ={x |x <2或x >10},q :B ={x |x <1-m 或x >1+m ,m >0}.因为p 是 q 的必要不充分条件,所以 q ⇒ p , p q. 所以B A ,画数轴分析知,B A 的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,1-m ≤2,1+m >10;或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,1-m <2,1+m ≥10.解得m ≥9,即m 的取值范围是{m |m ≥9}.法二:因为 p 是 q 的必要不充分条件,即 q ⇒ p ,所以p ⇒q ,所以p 是q 的充分不必要条件,而p :P ={x |-2≤x ≤10}.q :Q ={x |1-m ≤x ≤1+m ,m >0}.所以P Q ,即得⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,1-m ≤-2,1+m >10;或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,1-m <-2,1+m ≥10.解得m ≥9.即m 的取值范围是{m |m ≥9}.11.设命题p :函数f (x )=log a |x |在(0,+∞)上单调递增;命题q :关于x 的方程x 2+2x +log a 32=0的解集只有一个子集.若p 或q 为真, p 或 q 也为真,求实数a 的取值范围. 解:当命题p 是真命题时,应有a >1;当命题q 是真命题时,关于x 的方程x 2+2x +log a 32=0无解,所以Δ=4-4log a 32<0, 解得1<a <32. 由于p 或q 为真,所以p 或q 中至少有一个为真,又 p 或 q 也为真,所以 p 和 q 中至少有一个为真,即p 和q 中至少有一个为假,故p 和q 中一真一假.p 假q 真时,a 无解;p 真q 假时,a ≥32. 综上所述,实数a 的取值范围是a ≥32.。

苏教版高中数学选修2-1同步练测:1.2简单的逻辑联结词(含答案详解).docx

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.2 简单的逻辑联结词(苏教版选修2-1)建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题(本题共8小题,每小题6分,共48分)1.已知命题所有有理数都是实数;命题:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是______.①﹁;②;③﹁﹁;④﹁﹁2.下列各组命题中,满足“为真,为假,﹁为真”的是______.①.②在△中,若,则;在第一象限是增函数.③();不等式的解集是().④圆的面积被直线平分;.3.设α,β为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,mα,nβ,有两个命题:p:若m∥n,则α∥β;q:若m⊥β,则α⊥β,那么______.①“p或q”是假命题;②“p且q”是真命题;③“非p或q”是假命题;④“非p且q”是真命题.4.由命题“函数是减函数”与“数列是等比数列”构成的复合命题,则或为______,且为_____,非为_____.5.命题满足,命题函数可能为奇函数(为常数),则复合命题:①“或”;②“且”;③“非”中,真命题是______.6.已知命题:函数的定义域为();命题:若,则函数在()上是减函数,则下列结论:①命题“且”为真;②命题“或﹁”为假;③命题“或”为假;④命题“﹁且﹁”为假.其中错误的是_____.7.已知命题p:函数y=的值域为R,命题q:函数y=-是减函数.若p∨q 为真命题,p∧q为假命题,p为真命题,则实数a的取值范围是.8.已知命题p,q,“非p”为假命题是“p或q”为真命题的.二、解答题(本题共4小题,共52分)9.(本小题满分10分)已知p:“”,q:“”,若“p且q”为真命题,求x的取值范围.10.(本小题满分12分)分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题,并判断真假.(1)相似三角形周长相等或对应角相等;(2)9的算术平方根不是-3;(3)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 11.(本小题满分12分)写出由下列各组命题构成的“或”“且”“非”形式的新命题,并判断其真假.(1):2是4的约数,:2是6的约数;(2):矩形的对角线相等,:矩形的对角线互相平分;(3):方程的两个实数根的符号相同,:方程的两个实数根的绝对值相等.12.(本小题满分20分)已知命题方程在上有且仅有一解;命题:只有一个实数满足不等式.若命题“或”是假命题,求的取值范围.答题纸得分:___一、填空题1._________2.__________3._____4._____5._________6.__________7._____8._____二、解答题9.解:10.解:11.解:12.解:答案一、填空题1.④解析:不难判断命题为真命题,命题为假命题,从而只有﹁(﹁)为真命题.2.③解析:①中,均为假命题,不满足“”为真;②中,是真命题,则“﹁”为假,不满足题意;③中,是假命题,为真命题,“”为真,“”为假,“﹁”为真,故③正确;④中,是真命题,不满足“﹁”为真.3.④解析:显然命题p是假命题,则非p为真命题.由面面垂直的判定定理知命题q为真命题,所以“非p且q”是真命题.4.假假真解析:函数在()和()上分别为减函数,是假命题.因为时,数列不是等比数列,所以是假命题.所以或为假,且为假,非为真.5.①解析:因为,所以,所以,即命题p为真命题.又命题q为假命题,所以“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,“非p”为假命题.6.①②③解析:由,得,故命题为真,﹁为假.又由,得函数在()上是增函数,命题为假,﹁为真.所以命题“且”为假,命题“或﹁”为真,命题“或”为真,命题“﹁且﹁”为假.7. 1<a<2解析:因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p,q一真一假.又p为真命题,故p假q真.p真时,需4-4a≥0,即a≤1;q真时,需5-2a>1,即a<2.所以如果p假q真,需1<a<2.8.充分不必要解析:∵非p为假命题,∴p是真命题,∴p或q是真命题.当p或q为真命题时,p真q假或p假q真或p真q真.二、解答题9.解:若成立,则.若成立,则或若“且”为真命题,则真真,所以的取值范围是或10.解:(1)这个命题是“p∨q”的形式,其中p:相似三角形周长相等,q:相似三角形对应角相等.因为p假q真,所以“p∨q”为真.(2)这个命题是“p”的形式,其中p:9的算术平方根是-3.因为p假,所以“p”为真.(3)这个命题是“p∧q”的形式,其中p:垂直于弦的直径平分这条弦,q:垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧.因为p真q真,所以“p∧q”为真.11.解:(1)或:2是4的约数或2是6的约数,真命题;且:2是4的约数且2是6的约数,真命题;非:2不是4的约数,假命题.(2)或:矩形的对角线相等或互相平分,真命题;且:矩形的对角线相等且互相平分,真命题;非:矩形的对角线不相等,假命题.(3)或: 方程的两个实数根的符号相同或绝对值相等,假命题;且: 方程的两个实数根的符号相同且绝对值相等,假命题;非:方程的两个实数根的符号不相同,真命题.12.解:由,得()().显然,所以或.因为方程在上有且仅有一解,故,或,,所以或.因为只有一个实数满足不等式,所以,解得或.因为命题“或”是假命题,所以命题和都是假命题,所以的取值范围是或或或.。

1.2简单的逻辑联结词 作业2 2017-2018学年选修2-1 苏教版 word版(含参考答案)

1.2简单的逻辑联结词 作业2 2017-2018学年选修2-1 苏教版 word版(含参考答案)

主动成长夯基达标1.命题“存在实数x,使|x+1|≤0,且x 2<4”是( )A.“p 或q”的形式B.没有任何形式C.真命题D.假命题答案:C2.下列命题,其中假命题的个数为( )①5>4,或4>5 ②9≥3 ③命题“若a >b,则a+c >b+c”④命题“菱形的两条对角线互相垂直”( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案:A3.已知命题p:3≥3;q:3>4,则下列判断正确的是( )A.p 或q 为真,p 且q 为真,非p 为假B.p 或q 为真,p 且q 为假,非p 为真C.p 或q 为假,p 且q 为假,非p 为假D.p 或q 为真,p 且q 为假,非p 为假答案:D4.命题p:a 2+b 2<0(a 、b ∈R );命题q:a 2+b 2≥0(a 、b ∈R ),下列结论中正确的是( )A.“p 或q”为真B.“p 且q”为真C.“非p”为假D.“非q”为真解析:因为p 为假q 为真.所以“p 且q”为假;“p 或q”为真;“非p”为真;“非q”为假. 答案:A5.已知全集S=R ,A ⊆S,B ⊆S,若命题p :2∈(A ∪B),则命题“非p”是( ) A.2∉A B.2∈ B C.2∉A∩B D.2∈(A)∩(B)解析:因为p :2∈(A ∪B),所以非p :2∉(A ∪B),即2∉A 且2∉B,所以2∈A 且2∈B,故2∈(A)∩(B).答案:D6.已知命题p 、q,则“命题p 或q 为真”是“命题p 且q 为真”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:p 或q 为真包括p 、q 中有且只有一个为真,推不出p 且q 为真,反之能推出来. 答案:B7.命题p :0不是自然数,命题q:π是无理数,在命题“p 且q”“p 或q”“非p”“非q”中,假命题是_____,真命题是___________________.解析:因为命题p 假,命题q 真,所以“p 且q”假,“p 或q”真,“非p”真,“非q”假.答案:“p 且q”,“非q”“p 或q”,“非p”8.若命题p :不等式ax+b >0的解集为{x |x >ab -},命题q :关于x 的不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x |a <x <b},则“p 且q”“p 或q”“非p”中真命题是_____________________________.解析:因命题p 、q 均为假命题,所以“p 或q”“p 且q 为假命题,”非p“为真命题.答案:非p.9.有6名歌手参加电视歌曲大奖赛,组委会只设一名特别奖.观众A 、B 、C 、D 四人对于谁能获得特别奖进行了如下猜测:A 说:“不是1号就是2号能获得特别奖”.B 说:“3号不可能获得特别奖”.C 说:“4号、5号、6号都不可能获得特别奖”.D 说:“能获得特别奖的是4号、5号、6号中的一个”.比赛结果以布后表明,A 、B 、C 、D 四人中只有一个人猜对了.问:究竟是谁猜对了?究竟 是几号歌手获得了特别奖?解析:将四人所述命题依次记作P A 、P B 、P C 、P D ,则由四个命题的逻辑关系知:P D 与P C 一真一假,P D 与P B 同真同假,P D 与P A 可能同假但不可能同真.如下表所示,如果P D 为真,则P C 和P A 都必定为假,而P B 也为真,此时有B 、D 两人都猜对了,这与题意不符,所以P 应为假.D C10.已知p :方程x 2+mx+1=0有两个不等的负实根;q :方程4x 2+4(m-2)x+1=0无实根,若p 或q 为真,p 且q 为假,求m 的取值范围.分析:该题是方程与命题的综合题,涉及到一元二次方程的判别式和根与系数的关系,一元二次不等式及不等式组,p 或q 及p 且q 两类复合命题的真假判断.要解此题可先将p 和q 中的m 范围解出.然后再根据p 或q 为真,p 且q 为假知此命题是要p 和q 中,必一真一假,对m 的取值范围,可列不等式组求解.解析:p :⎩⎨⎧>>-=∆.0,042m m 解得m >2.q:Δ=16(m -2)2-16=16(m 2-4m+3)<0.∵p 或q 为真,p 且q 为假,∴p 为真,q 为假,或p 为假,q 为真.即⎩⎨⎧≥≤>;312m m m 或 或⎩⎨⎧<<≤.312m m 解得m≥3或1<m≤2.走近高考11.设有两个命题:①关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立;②函数f(x)=-(5-2a)x 是减函数.若命题有且只有一个是真命题,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,2)C.(-2,2)D.(2,25) 解析:若x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立,则-2<a <2.若f(x)=-(5-2a)x 是减函数,则a <2. 若①真②假,则a ∈∅,若①假②真,则a≤-2.故选A.答案:A12.命题p :x=π是y=|sinx |的一条对称轴q:2π是y=|sinx|的最小正周期.下列命题,其中真命题有( )①p 或q ②p 且q ③p ④qA.0个B.1个C.2个D.3个解析:由题意知p 真q 假,则只有①③正确.选C.答案:C13.已知命题p :方程a 2x 2+ax-2=0在[-1,1]上有解;命题q :只有一个实数x 满足不等式x 2+2ax+2a≤0,若命题“p 或q”是假命题,求a 的取值范围.解析:由a 2x 2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,显然a≠0,∴x=a2-或x=a 1. ∵x ∈[-1,1],故|a 2|≤1或|a 1|≤1, ∴|a|≥1.“只有一个实数满足x 2+2ax+2a≤0”.即抛物线y=x 2+2ax+2a 与x 轴只有一个交点,∴Δ=4a 2-8a=0,∴a=0或2,∴命题“p 或q 为真命题”时“|a|≥1或a=0”.∵命题“p 或q”为假命题,∴a 的取值范围为{a|-1<a <0或0<a <1}.。

2022-2021学年高中数学苏教版选修2-1学业分层测评1.2 简单的逻辑联结词

2022-2021学年高中数学苏教版选修2-1学业分层测评1.2 简单的逻辑联结词

学业分层测评(建议用时:45分钟)[学业达标]一、填空题1.已知命题p:x∈A∩B,则非p是________.【解析】依据数集的定义知,非p是x∉A或x∉B.【答案】x∉A或x∉B2.若p是真命题,q是假命题,则下列说法正确的是________.①p且q是真命题;②p或q是假命题;③非p是真命题;④非q是真命题.【解析】∵p真q假,∴非q为真命题.【答案】④3.命题p:已知x,y为实数,若x2+y2=0,则x,y都为0;命题q:若a2>b2,则a>b.给出下列命题:①p且q;②p或q;③非p;④非q.其中,真命题是________.(填全部真命题的序号)【解析】p真q假,所以p或q为真,非q为真.【答案】②④4.由命题p:6是12的约数,q:6是24的约数,构成的(1)“p或q”形式的命题是_________________________________________;(2)“p且q”形式的命题是_________________________________________;(3)“非p”形式的命题是__________________________________________.【答案】(1)6是12或24的约数(2)6是12的约数且是24的约数(3)6不是12的约数5.(2022·沈阳高二检测)设命题p:若a>b,则1a<1b;命题q:1ab<0⇔ab<0.给出下列四个复合命题:①p;②q;③p或q;④p且q.其中真命题的个数有________个. 【导学号:09390010】【解析】令a=1,b=-2,则1a>1b,所以命题p是假命题;命题q明显是真命题,所以命题p或q是真命题,命题p且q是假命题,所以真命题的个数为2.【答案】 26.若命题“p且(非q)”为真,则在命题“p且q”、“p或q”、“q”、“非p”中,真命题的个数有________个.【解析】∵“p且(非q)”为真,∴p真q假.∴p或q为真.【答案】 17.设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为π2;命题q:函数y=cos x的图象关于直线x =π2对称,则下列推断:①p为真;②非q为假;③p且q为假;④p或q为真.其中正确的是________(填序号).【解析】由题意得命题p是假命题,命题q是假命题,因此只有③正确.【答案】③8.设有两个命题:p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,q:函数y=-(5-2a)x在R上是减函数,若“且q”为真命题,则实数a的取值范围是________.【解析】对于p:Δ=4a2-16<0,即-2<a<2;对于q:5-2a>1,即a<2.由于且q为真命题,所以实数a的取值范围是-2<a<2.【答案】-2<a<2二、解答题9.分别指出下列各组命题构成的“p且q”、“p或q”、“非p”形式的命题的真假.(1)p:一次函数是单调函数,q:一次函数是奇函数;(2)p:9是素数,q:9是奇数;(3)p:函数y=x2-2x+2没有零点,q:不等式x2-2x+1≥0恒成立;(4)p:四条边相等的四边形是正方形,q:有一个角是直角的四边形是正方形.【解】 (1)∵p 是真命题,q 为假命题.∴p 且q 为假命题,p 或q 为真命题,非p 为假命题. (2)∵p 是假命题,q 是真命题.∴p 且q 是假命题,p 或q 为真命题,非p 为真命题. (3)∵p 是真命题,q 是真命题.∴p 且q 与p 或q 都是真命题,非p 是假命题. (4)∵p 是假命题,q 是假命题.∴p 且q 与p 或q 都是假命题,非p 是真命题.10.(2022·哈尔滨高二检测)设p :2∈{x ||x -a |>1};q :曲线 y =x 2+(2a -3)x +1与x 轴交于不同的两点,假如p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,求实数a 的取值范围.【解】 ∵2∈{x ||x -a |>1},∴|2-a |>1, ∴p :a >3或a <1,∵q :曲线y =x 2+(2a -3)x +1与x 轴交于不同的两点, ∴Δ>0,即(2a -3)2-4>0,∴q :a <12或a >52,由p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,知p ,q 一真一假,若p 真q 假,则12≤a <1;若p 假q 真,则52<a ≤3.∴实数a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪52<a ≤3或12≤a <1. [力量提升]1.(2022·杭州高二检测)命题p :直线y =2x 与直线x +2y =0垂直;命题q :异面直线在同一个平面上的射影可能为两条平行直线,则命题p 且q 为________命题(填“真”或“假”).【解析】 直线y =2x 与直线x +2y =0的斜率分别为k 1=2,k 2=-12,所以k 1k 2=-1,即两直线垂直,所以命题p 为真命题;正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中直线AD 1和B 1C 是异面直线,在平面ABCD 上的射影分别为AD ,BC ,且AD ∥BC ,所以命题q 为真命题,所以命题p 且q 为真命题.【答案】 真2.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可用符号表示为________.【解析】 依题意得非p :甲没有降落在指定范围,非q :乙没有降落在指定范围,因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(非p )或(非q ).【答案】 (非p )或(非q )(或填非(p 且q ))3.已知命题p 1:函数y =2x -2-x 在R 上为增函数,p 2:函数y =2x -2-x 在R 上为减函数,则在命题q 1:p 1或p 2,q 2:p 1且p 2,q 3:(非p 1)或p 2和q 4:p 1且 (非p 2)中,真命题有________.【解析】 ∵y =2x 在R 上为增函数,y =2-x 在R 上为减函数,∴y =2x -2-x 在R 上为增函数,∴p 1为真命题,p 2为假命题,故q 1:p 1或p 2为真命题,q 2:p 1且 p 2为假命题,q 3:(非p 1)或p 2为假命题,q 4:p 1且 (非p 2)为真命题.故真命题是q 1,q 4.【答案】 q 1,q 44.已知p :方程x 2+2ax +1=0有两个大于-1的实数根.q :关于x 的不等式ax 2-ax +1>0的解集为R .若“p 或q ”与“非q ”同时为真命题,求实数a 的取值范围. 【导学号:09390011】【解】 p :方程x 2+2ax +1=0有两个大于-1的实数根,等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4a 2-4≥0,x 1+x 2>-2,(x 1+1)(x 2+1)>0,⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1≥0,-2a >-2,2-2a >0,解得a ≤-1.q :关于x 的不等式ax 2-ax +1>0的解集为R ,等价于a =0或⎩⎨⎧a >0,Δ<0.由于⎩⎨⎧a >0,Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0,a 2-4a <0, 解得0<a <4,所以0≤a <4.由于“p 或q ”与“非q ”同时为真命题, 即p 真且q 假,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-1,a <0或a ≥4,解得a ≤-1.故实数a 的取值范围是(-∞,-1].。

高中数学1.2简单的逻辑连接词专项测试同步训练

高中数学1.2简单的逻辑连接词专项测试同步训练

高中数学1.2简单的逻辑连接词专项测试同步训练2020.031,复数z 满足511=++-z z ,那么z 的取值范围是 __ .2,复数11z i =-的共轭复数是_________.3,椭圆116922=+y x 上一动点P 到两焦点距离之和为A .10B .8C .6D .不确定4,复数),0(,,1321R b a ai b z bi a z z ∈>+=+==,且321,,z z z 成等比数列,则=2z .5,对应的点的轨迹是则在复平面内+且已知z z i z C z ,1621,1=++-∈__ . 6,已知z 为复数,z +2i 和2zi -均为实数,其中i 是虚数单位. (Ⅰ)求复数z ;(Ⅱ)若复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围.7,已知复数z x yi =+,其中实数,x y 满足方程222log 8(1log )x y i x y i ++-=-,则z =_ _.8,抛物线的顶点在原点,准线是x=4,它的标准方程是A .x y 162-=B .y x 162=C .y y 82-=D .y x 82=9,已知函数221)(x x x f +=,那么)4()31()3()21()2()1(i f i f i f i f i f f +++++)41(i f +=________________.10,①计算25(4)(2)i i i ++;②计算12831()()2213i i --+-. 11,复数z 满足||||2z i z i ++-=,则|1|z i ++的最小值是___________. 12,复数2(,12m i z m R i i -=∈+为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于第_____象限. 13,复数3(1)()1i a bi z i ++=-且||4z =,z 对应的点在第一象限,若复数0,,z z 对应的点是正三角形的三个顶点,求实数,a b 的值.14,下列结论正确的序号有_____________①函数关系是一种确定性关系; ②相关关系是一种非确定性关系③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法 ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。

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简单的逻辑连接词 同步练习一、选择题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 1. 下列命题中为简单命题的是 ( C )A .8或6是30的约数B .菱形的对角线垂直平分C .3是无理数D .方程210x x -+=没有实数根2. 有下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形;②“若xy=0,则0||||=+y x ”的逆命题;③“若a>b ,则a+c>b+c ”的否命题;④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题共有 ( B )A .1个B .2个C .3个D .4个3. 已知命题p :若实数x 、y 满足,022=+y x 则x 、y 全为0;命题q :若11,.a b a b><则 给出下列四个复合命题:①p 且q ,②p 或q ,③ ⌝ p ,④ ⌝ q .其中真命题的个数为 ( B )A .1B .2C .3D .44. 在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数可以是( B )A.1或2或3或4B.0或2或4C.1或3D.0或45. 若命题p :2n -1是奇数,q :2n +1是偶数,则下列说法中正确的是( A )A .p 或q 为真B .p 且q 为真C . 非p 为真D . 非p 为假二、填写题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.6. 命题A :底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥;命题A的等价命题B 可以是:底面为正三角形,且______________的三棱锥是正三棱锥.7. 由命题p :6是12的约数,q :6是24的约数,构成的“p 或q ”形式的命题是:_ ___,“p 且q ”形式的命题是__ _,“非p ”形式的命题是__ _.8. 指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题:(1)12是48与36的公约数; .(2)3是偶数或奇数; .(3)4的算术平方根不是-2; .(4)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. .三、解答题:本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9. 分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”的真假.(1)p : 梯形有一组对边平行;q :梯形有一组对边相等.(2)p : 1是方程0342=+-x x 的解;q :3是方程0342=+-x x 的解.(3)p : 不等式0122>+-x x 解集为R ;q : 不等式1222≤+-x x 解集为∅.(4)p : ∅⊂≠∈0:};0{q ∅ 10. 写出下列各组命题的“或”命题,并判断其真假①p :2=2;q :2>2.②p :正方形的对角线互相垂直;q :矩形的对角线互相平分.11. 关于x 的不等式22:(1)0p x a x a +-+>与指数函数2()(2),x f x a a =-若命题“p 的解集为(,)-∞+∞ 或()f x 在(,)-∞+∞ 内是增函数”是真命题,求实数a 的取值范围.12. 若a 、b 、c 均为实数,且2222,2,2236a x y b y z c z x πππ=-+=-+=-+,求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.13.已知命题p :方程012=++mx x 有两个不等的负实根, 命题q :方程01)2(442=+-+x m x 无实根.若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题:1.C 提示 简单命题是不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题,选择支A 、B 、D 中分别含有逻辑连结词“或”、“且”、“非”. 2.B 3.B 提示 ②、③为真命题. 4.B 提示 结合命题的等价关系进行判断. 5. A二、填空题:6【 答案】提示 此题是开放性题,答案不唯一,可以是“侧棱与底面所成角相等”;或“侧面与底面所成角相等;…….7【 答案】6是12或24的约数;6是12的约数,也是24的约数;6不是12的约数.8【 答案】(1)这个命题是p 且q 的形式,p :12是48的约数; q :12是36的约数.(2)这个命题是p 或q 的形式,p :3是偶数;q :3是奇数.(3)这个命题是非p 的形式,p :4的算术平方根是-2.(4)这个命题是p 且q 的形式,p :垂直于弦的直径平分这条弦;q :垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧.三、解答题:9. 【 解析】 ⑴∵ p 真,q 假, ∴“p 或q”为真,“p 且q”为假.⑵∵ p 真,q 真, ∴“p 或q”为真,“p 且q”为真.⑶∵ p 假,q 假, ∴“p 或q”为假,“p 且q”为假.⑷∵ p 真,q 假, ∴“p 或q”为真,“p 且q”为假,“非p ”为假.10. 【 解析】 【解】 ① p ∨q :(2=2)∨(2>2),即2≥2.(真)由于2=2是真命题,所以2≥2是真命题.②p ∨q :(正方形的对角线互相垂直)∨(矩形的对角线互相平分).由于两个命题都是真的,所以p ∨q 是真命题.11. 【 解析】 设使p 的解集为(,)-∞+∞ 的a 的集合为A ,使()f x 在(,)-∞+∞ 内是增函数的a 的集合为B ,则本题即求,A B 答案为11(,)(,)23-∞-+∞.12. 【 解析】 用反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即0a ≤,0,0b c ≤≤,则有0a b c ++≤.而222222236a b c x y y z z x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()222222x x y y z z π=-+-+-+()()()()2221113x y z π=-+-+-+-,所以 0a b c ++>,此与0a b c ++≤矛盾.故假设错误,从而原命题正确.说明 本题亦可直接转化为证明等价命题:0a b c ++>.13. 【 解析】由已知p ,q 中有且仅有一为真,一为假⎪⎩⎪⎨⎧>=⋅>⇒<-=+>∆01200:2121x x m m x x p . 310:<<⇒<∆m q .(1)若p 假q 真,则21213m m m ≤⎧⇒<≤⎨<<⎩;(2)若p 真q 假,则2313m m m m >⎧⇒≥⎨≤≥⎩或. 综上所述:(][)+∞⋃∈,32,1m .点评 本题在利用复合命题的真假条件时,实质上涉及到化归思想、分类讨论思想和集合的“交”、“并”、“补”运算.§1.2.简单的逻辑联结词(2)要点精讲逻辑联结词:非逻辑联词“非”的意义就是日常语言的“否定”.例如,把命题“7是21的因数”加以“否定”,就构成了新的命题:“不是‘7是21的因数’’’,即“7不是21的因数”.对命题p 加以否定,就得到一个新的命题,叫做命题p 的否定命题,记作⌝p ,读作“非p”. 否定命题的真值表如右.这就是说,⌝p 与p 不能同真或同假;其中一个为真, 另一个必假,它们是互为否定的.显然有⌝ (⌝p)=p .对“非”的理解,可联想到集合中的“补集”概念,若命题p 对应于集合P ,则命腰非p就对应着集合P 在全集U 中的补集C U P .“非”字有否定的意思,一个命题p 经过使用逻辑联结词“非”,就构成了复合命题“非p”,称为“命题p 的否定”,复合命题“p 或q”的否定为“非p 且非q”,复合命题“p 且q”的否定为“非p 或非q”.写一个命题p 的否定,往往需要对正面叙述的词语进行否定,常有的正面词语和它的否定到表如下:正面词语否 定 正面词语 否 定 等于不等于 都是 不都是(至少有一个不是) 大于不大于(或小于等于) 至多有一个 至少有两个 小于不小于(或大于等于) 至少有一个 一个也沒有 是不是典型题解析p ⌝ p 1 0 0 1【例1】写出下列各命题的否定命题,并判断其真假:p :3是方程x 2-9=0的根; q : 1)1(2-=-r :三角形的三个外角和等于360°.【分析】【解】 ⌝p : 3不是方程x 2-9=0的根;(假)⌝q : 1)1(2-≠-,或者⌝ q :1)1(2->-或1)1(2-<-;(真) ⌝r :三角形的三个外角和不等于360°.(假)【例2】已知命题p :无穷数列{a n }的前n 项和为S n ,若{a n }是等差数列,则点列{(n ,S n )}在一条抛物线上;命题q :若实数m >1,则mx 2+(2m ―2)x ―1>0的解集为(―∞,+∞),对于命题p 的逆否命题s 与命题q 的逆命题r ,下列判断正确的是 ( )A .s 是假命题,r 是真命题B .s 是真命题,r 是假命题C .s 是假命题,r 是假命题D .s 是真命题,r 是真命题【解】对于命题p ,当{a n }为常数数列时为假命题,从而其逆否命题s 也是假命题;由于使mx 2+(2m ―2)x ―1>0的解集为(―∞,+∞)的m 不存在,故命题命题q 的逆命题r 是假命题,于是应选(C).【例4】已知.0>c 设P :函数xc y =在R 上单调递减.Q :不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ,如果P 和Q 有且仅有一个正确,求c 的取值范围.【分析】本题主要考查集合、函数、不等式、绝对值等基本知识;考查分析和判断能力.解题突破口:用数轴表示两个集合, 这时如果P 和Q 有且仅有一个正确就一目了然.本题解题过程中蕴涵着分类讨论的数学思想和转化思想.【解】函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+ 22,2,|2|2,2,|2|2.|2|11121.,,0.,, 1.221(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为 规律总结1.对逻辑联结词“非”的理解,与判断含有“非”的命题的真假是分不开的.逻辑中的“非”与日常生 “非”的意义是不尽相同的,要直接讲清楚它们的意义,比较困难,例如,像4≥3与4≥4这样的关系式,初接触时,同学们可能不容易接受,大家应结合实例深刻体会.2.简单的逻辑联结词“非”. 为了进一步感受与理解“非”,可以适当联系集合与不等式的有关知识.集合中的“补”,与逻辑联结词 “非”密切相关.例如补集的定义分别是:C I A=(x |x ∈I 且x ∉A}.在一个命题前加“非”,是对这个命题进行否定,得到的是一个新的命题.3.命题的否定与否命题是不一样的,任何一个命题都有否定,但否命题只是“若…则…”形式命题的四种命题形式中的一种,不是“若…则…”形式的命题,就没有讨论否命题的可能.根据复合命题的真值表判断个复合命题的真假对于“p 或q”、“p 且q”、“非p”这三种形式的复台命题.可由构成它的简单命题的真假,通过真值表进行判断①复合命题“p 或q”,在p 、q 中至少有一个为真(包括两个同时为真)时,它是真命题;只有p 、q 都为假时才是假命题.我们可简述为“一真必真”②复台命题“p 且q ,只有在p 、q 都为真时,它才是真命题;p 、q 中有一个为假(包括两个同时为假)时,它就是假命题我们司简述为”一假必假”③复台命题“非p”,当p 为真时,它是假命题;当p 是假命题时,它是真命题.判断复合命题真假的基本程序是:(1)确定复合命题的构成形式(先找出逻辑联结词,后确定被联结的简单命题);(2)判断各个简单命题的真假;(3)结合真值表推断复合命题的真假.基础演练与综合应用一、选择题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.1. “至多三个”的否定为( B )A .至少有三个B .至少有四个C . 有三个D . 有四个2. “220a b +≠”的含义是( A )A .,a b 不全为0 B.,a b 全不为0C .,a b 至少有一个为0 D.a 不为0且b 为0,或b 不为0且a为03. 如果命题“非p”与命题“p 或q”都是真命题,那么 ( B )A .命题p 与命题q 的真值相同B .命题q 一定是真命题C .命题q 不一定是真命题D .命题p 不一定是真命题4. 如果命题“非p”与命题“p 或q”都是真命题,那么 ( B )A .命题p 与命题q 的真值相同B .命题q 一定是真命题C .命题q 不一定是真命题D .命题p 不一定是真命题5. 由下列各组命题构成“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,非“p ”为真的是( B ) A .=0:p ,∈0:q ∅ B .p :等腰三角形一定是锐角三角形,q :正三角形都相似C .{}a p : ≠⊂{}b a , ,{}b a a q ,:∈D .:,35:q p >12是质数二、填写题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.6. 在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是 (把符合要求的命题序号都填上).7. 命题{}{}{}{}:21,2,3,:21,2,3,p q ∈⊆则对复合命题的下述判断:①p 或q 为真;②p 或q为假;③p 且q 为真;④p 且q 为假;⑤非p 为真;⑥非q 为假.其中判断正确的序号是 (填上你认为正确的所有序号).8. 所给命题:①菱形的两条对角线互相平分的逆命题;②{}R x x x ∈=+,01|2= {}=0或 ;③对于命题:“p 且q ”,若p 假q 真,则“p 且q ”为假;④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件.其中为真命题的序号为 .三、解答题:本大题共5小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9. 写出下列命题的“非P”命题,并判断其真假:(1)若21,20m x x m >-+=则方程有实数根.(2)平方和为0的两个实数都为0.(3)若ABC ∆是锐角三角形, 则ABC ∆的任何一个内角是锐角.(4)若0abc =,则,,a b c 中至少有一为0.(5)若0)2)(1(=--x x ,则21≠≠x x 且 .10. 若三条抛物线()2222443,1,22y x ax a y x a x a y x ax a =+-+=+-+=+-中至少有一条与x 轴有公共点,求a 的取值范围.11. 写出下列命题的“非P”命题,并判断其真假:(1)若21,20m x x m >-+=则方程有实数根.(2)平方和为0的两个实数都为0.(3)若ABC ∆是锐角三角形, 则ABC ∆的任何一个内角是锐角.(4)若0abc =,则,,a b c 中至少有一为0.(5)若0)2)(1(=--x x ,则21≠≠x x 且12. 已知命题p :|x 2-x |≥6,q :x ∈Z ,且“p 且q ”与“非q ”同时为假命题,求x 的值.13*. 已知函数f (x )满足下列条件:(1)1()12f =;(2)()()()f xy f x f y =+;(3)()f x 的值域为[-1,1].试证:14不在f (x )的定义域内14*.已知p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负根;q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根.若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求m 的取值范围.§1.2.简单的逻辑联结词(2)参考答案一、选择题:1.B 2.A 3. B 4.B 5. B二、填空题:6.【 答案】② 7.【 答案】①④⑤⑥ 8.【 答案】②③④三、解答题:9. 【 解析】⑴若21,20m x x m >-+=则方程无实数根,(真);⑵平方和为0的两个实数不都为0(假);⑶若ABC ∆是锐角三角形, 则ABC ∆的任何一个内角不都是锐角(假);⑷若0abc =,则,,a b c 中没有一个为0(假);⑸若0)2)(1(=--x x ,则1=x 或2=x ,(真).10. 【 解析】 若按一般思维习惯,对三条抛物线与x 轴公共点情况一一分类讨论,则较为繁琐,若从其反面思考,先求“三抛物线均与x 轴无公共点的a 的范围”则很简单.由 ()()()()2122223444301404420a a a a a a ⎧∆=--+<⎪⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎪⎩解之,得312a -<<-,记3,,12I R A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 则所求a 的范围是 ∁[)3,1,2R A ⎛⎤=-∞--+∞ ⎥⎝⎦. 11. 【 解析】⑴若21,20m x x m >-+=则方程无实数根,(真);⑵平方和为0的两个实数不都为0(假);⑶若ABC ∆是锐角三角形, 则ABC ∆的任何一个内角不都是锐角(假);⑷若0abc =,则,,a b c 中没有一个为0(假);⑸若0)2)(1(=--x x ,则1=x 或2=x ,(真).12. 【 解析】 ∵p 且q 为假∴p 、q 至少有一命题为假,又“非q ”为假 ∴q 为真,从而可知p 为假.由p 为假且q 为真,可得:⎩⎨⎧∈<-Zx x x 6||2即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈->-<-Z x x x x x 6622 ∴⎪⎩⎪⎨⎧∈∈<<-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈>+-<--Z R Z x x x x x x x x 32060622故x 的取值为:-1、0、1、2.13. 【 解析】 证明 假设14在f (x )的定义域内,则1()4f 有意义,且1()[1,1]4f ∈-. 又由题设,得1()4f =[]1111()()()21,12222f f f ⋅=+=∉-,此与1()[1,1]4f ∈-矛盾. 故假设不成立,从而14不在f (x )的定义域内. 点评 运用反证法时常见词语的否定方式有:“在”⇒“不在”;“是”⇒“不是”;“都是”⇒“不都是”;“大于”⇒“不大于”;“所有的…”⇒“至少有一个不…”;“至少一个” ⇒“一个也没有”;“任意一个”⇒“存在某个不…”,等等.14*. 【 解析】若方程x 2+mx +1=0有两不等的负根,则⎩⎨⎧>>-=∆0042m m 解得m >2, 即p :m >2若方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根,则Δ=16(m -2)2-16=16(m 2-4m +3)<0解得:1<m <3.即q :1<m <3.因“p 或q ”为真,所以p 、q 至少有一为真,又“p 且q ”为假,所以p 、q 至少有一为假,因此,p 、q 两命题应一真一假,即p 为真,q 为假或p 为假,q 为真.∴⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312312m m m m m 或或 解得:m ≥3或1<m ≤2.。

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