多因素型期权定价模型的研究_吴云

第32卷第1期2002年1月　东南大学学报(自然科学版)JOURNA L OF S OUTHE AST UNIVERSITY (Natural Science Edition )V ol 132N o 11Jan.2002多因素型期权定价模型的研究吴　云 何建敏(东南大学经济管理学院,南京210096)摘要:先介绍了标准期权即Black 2Scholes 单因素期权定价模型及其解析解,然后在多个标的变量的情况下,通过调整Black 2Scholes 期权定价模型的基本假设条件,推导了一种新型期权定价模型———多因素型期权定价模型,并结合边界条件,给出了基于2个标的变量的彩虹期权的解析解;并对此进行了扩展,推导出支付股票红利的多因素型期权定价模型,从而解决了多因素条件下的模型描述问题;最后给出了一个彩虹期权实例进行分析,验证了所得结论的有效性.关键词:Black 2Scholes 期权定价模型;新型期权;多因素型期权定价模型中图分类号:F830.9 文献标识码:A 文章编号:1001-0505(2002)0120143204Study on a multi 2factor option pricing modelWu Y un He Jianmin(C ollege of Econom ics and M anagement ,S outheast University ,Nanjing 210096,China )Abstract :　Firstly ,the Black 2Scholes option pricing m odel ,i.e.single 2factor option pricing m odel is introduced.With the changes of the hypotheses ,a kind of ex otic option pricing m odel —a multi 2factor option pricing m odel is then derived ,and with the boundary conditions ,the analytic s olution of a rainbow option based on tw o underlying variables is given.In addition ,the m odel is extended ,and a multi 2factor option pricing m odel with the dividend is derived.At last ,an exam ple is provided which indicates the va 2lidity of the conclusion.K ey w ords :　Black 2Scholes option pricing m odel ;ex otic option ;multi 2factor option pricing m odel　收稿日期:2001204216.　作者简介:吴　云(1974—),男,博士生;何建敏(联系人),男,教授,博士生导师. 近年来,在金融领域期权变得越来越重要,许多交易所正在进行大量的期货和期权交易.期权是一种金融衍生工具,其价值依附于其他更基本的标的变量.1997年的N obel 经济学奖授给了美国经济学家R obert C.Merton 和Myron S.Scholes ,以表彰他们在期权定价上的开创性的贡献.他们创立和发展了Black 2Scholes 期权定价模型(Black 2Scholes option pricing m odel ),为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价变动定价的期权定价奠定了理论基础.国际金融衍生市场除交易人们广为熟悉的欧式、美式期权之外,还涌现了大量由标准期权变化、组合、派生出的新品种,即新型期权.近年发展起来的多因素型期权就是其中的一种.比如,彩虹期权(rainbow option )、篮子期权(basket option )等都属于此类[1,2].本文研究这种新型期权的定价模型———多因素型期权定价模型.1　Black 2Scholes 期权定价模型期权是一种特殊的金融证券,它赋予持有人在特定时期以确定的条件购买或售出一种资产的权利[3].看涨期权是以某一确定的价格买入一项资产的权利;看跌期权是以某一确定的价格出售一项资产的权利.期权可被执行的最后日期叫到期日或期满日(expiry date );期权被执行时支付给资产的价格叫做执行价格(exercise price )或敲定价格(strikeprice).美式期权(American option)可在到期日之前任何时间都能被执行,而欧式期权(European op2 tion)只能在到期日才能被执行[3].为推导Black2Scholes期权定价模型,作了以下假设[4,5]:①没有交易费用和税收;②不存在无风险的套利机会,无风险利率r为常数;③股票价格符合布朗运动规律;④股票不支付股息且允许卖空;⑤欧式期权;⑥证券可无限细分且证券交易是连续的.基于上述假设,Black和Scholes首先推导出基于不支付红利的欧式股票期权的定价模型.设S= S(t)为股票在t时刻的价格,满足随机微分方程d S=μS d t+σS d z(1)式中,μ为股票的期望收益率;σ为波动率,度量收益的标准偏差,两者都假设为常数;d z是一个维纳过程,其详细的表达式为d z=φd t(2)式中,φ满足标准正态分布.假设f是基于S的某个看涨期权或其他期权的价格,根据IT O定理[6,7]得到d f=5f5SμS+5f5t+12σ2S252f5S2d t+5f5SσS d z(3)构造一个包含f(S,t)和S在内的证券组合,此证券组合的持有者卖空一份证券,买入数量为5f/5S的股票,则证券组合的价值为Π=-f+5f5S S(4)d t(d t趋于0)时间后,结合式(1)和(3),得到dΠ=-1252f5S2σ2S2+5f5t d t(5)结合无套利原理,可以得到5f5t+rS 5f5S+12σ2S252f5S2=rf(6)方程(6)即为Black2Scholes期权定价模型.对于到期日为T,执行价格为E的欧式看涨期权,边界条件为c=max(S T-E,0)(7)结合式(7),可以得到欧式看涨期权的解析解c=SN(d1)-E e-r(T-t)N(d2)(8)式中,N(・)表示均值为0,标准偏差为1的累积标准正态分布函数,其中d1=ln(S/E)+(r+σ2/2)(T-t)σT-td2=ln(S/E)+(r-σ2/2)(T-t)σT-t方程(6)有一个重要性质,即不包含受任何投资者的风险偏好影响的变量μ,方程中出现的变量为股票当前价格、股票价格方差、无风险利率和时间,这些变量都独立于风险偏好.这给出了一个重要的启示:如果方程中不存在风险偏好,那么风险偏好将不会对其解产生影响.因此,在对f进行定价时,可以使用任何一种风险偏好,可以假设:所有的投资者都是风险中性的.需要指出的是,在推导过程中,期权价值仅基于单个标的变量.2　基于两因素期权的定价模型假定有一个可交易证券,其价值决定于2个标的变量;其他假设条件与Black2Scholes期权定价模型的假设条件相同.令f是决定于2种股票标的变量S1,S2和时间t的期权的价格,满足以下随机微分方程:d S1=μ1S1d t+σ1S1d z1(9)d S2=μ2S2d t+σ2S2d z2(10)式中,μ1,μ2和σ1,σ2分别表示随机变量S1,S2的期望收益率和波动率;d z1和d z2是标准维纳过程.定义2个标的变量的相关性系数ρ12,结合IT O定理得到d z1d z2=ρ12d t(11)d S1d S2=σ1σ2S1S2d z1d z2(12)结合式(11)、(12),得到d S1d S2=σ1σ2S1S2ρ12d t(13)因此,对于f=f(S1,S2,t)有下式:d f=5f5t d t+5f5S1d S1+5f5S2d S2+12σ21S2152f5S21+2σ1σ2S1S2ρ1252f5S15S2+σ22S2252f5S22d t(14)构造一个包含f(S1,S2,t)和S1,S2在内的证券组合,此证券组合的持有者卖空一份证券,买入数量为5f5S1和5f5S2的股票,则证券组合的价值为Π=-f+5f5S1S1+5f5S2S2(15)d t(d t趋于0)时间后,结合式(9)、(10)和(14),得到dΠ=-5f5t+12σ12S1252f5S12+2σ1σ2S1S2ρ12×441东南大学学报(自然科学版)第32卷52f 5S 15S 2+σ22S 2252f5S 22d t(16)结合无套利原理,可以得到5f 5t +r 5f 5S 1S 1+r 5f 5S 2S 2+12σ12S 1252f S 12+2σ1σ2S 1S 2ρ1252f 5S 15S 2+σ22S 2252fS 22=rf (17)式(17)即为基于两因素的期权定价模型.一种基于2个标的变量的彩虹期权,即最大看涨期权[8,9](call on the maximum of tw o risky assets ),的边界条件为 c T =max (S 1T ,S 2T ,E )-E(18)式中,S 1T 和S 2T 分别为标的资产1和标的资产2的价格;E 为期权执行价格.结合式(17)和边界条件式(18)得出其解析解为c T =S 1t N (d 3)-N 2(-d1,d 3;ρ1)+ S 2t N (d 4)-N 2(-d 2,d 4;ρ2)+ E e-r (T -1)N 2(-d 1+σ1(T -t )1Π2, -d 2+σ2(T -t )1Π2;ρ)-E e -r (T -t )(19)而各参数分别是d 1=ln (S 1t ΠE )+(r +σ21Π2)(T -t )σ1(T -t )1Π2(20)d 2=ln (S 2t ΠE )+(r +σ22Π2)(T -t )σ2(T -t )1Π2(21)d 3=ln (S 1t ΠS 2t )+{σ21+σ22-2ρσ1σ2)Π2}(T -t )(σ21+σ22-2ρσ1σ2)1Π2(T -t )1Π2(22)d 4=ln (S 2t ΠS 1t )+{σ21+σ22-2ρσ1σ2)Π2}(T -t )(σ21+σ22-2ρσ1σ2)1Π2(T -t )1Π2(23)ρ1=ρσ2-σ1σ21+σ22-2ρσ1σ21Π2(24)ρ2=ρσ1-σ2σ21+σ22-2ρσ1σ21Π2(25)其中,N (・)和N 2(・)分别为一维和二维累积标准正态分布函数.3　多因素型期权定价模型前文已对基于两因素期权的定价模型进行了推导,下面对此进行扩展,推导基于多因素期权定价模型.特作出以下假设:假定有一个可交易证券,其价值决定于n 个标的变量;其他假设条件与Black 2Scholes 期权定价模型的假设条件相同.基于上述假设,可以推导出基于多因素期权定价模型.设第i 种股票标的变量S i 遵从以下随机过程: d S i =μi S i d t +σi S i d z i(26)各变量定义同上.定义任意2个标的变量的相关性系数ρij ,结合IT O 定理得到d z i d z j =ρij d t(27)并且有d S i d S j =σi σj S i S j d z i d z j(28)结合式(27)、(28),得到d S i d S j =σi σj S i S j ρij d z i d z j(29)因此,对于f =f (S 1,S 2,…,S i ,…,S n ,t ),有下式: d f =5f5t d t +∑i5f5S i d S i +12∑i ,jσi σj S i S j ρij 52f5S i 5S j d t (30)同理,构造一个包含f =f (S 1,S 2,…,S i ,…,S n ,t )和S 1,S 2,…,S n 在内的证券组合,此证券组合的持有者卖空一份证券,买入数量为∑5f 5S i股票,则证券组合的价值为Π=-f +∑i5f5S iSi(31)d Π=-5f 5t +12∑i ,j σi σj S i S j ρij 52f5S i 5S j d t (32)结合无套利原理,可以得到5f 5t+∑ir 5f5SiS i+12∑i ,jσi σjS iS j ρij=r f (33)式(33)即所得到的基于多因素期权的定价模型.对于基于多个标的变量(大于2个)的期权定价模型,很难求出其解析解,通常采用数值解法,通过编写计算程序进行求解.易知,当i =j =2时,式(33)即为式(17),也就是说,基于两因素的期权定价模型是多因素型期权定价模型的一个特例.4　多因素型期权定价模型的扩展在以上的推导中,假设标的资产股票是无红利支付的,可以将以上分析扩展到基于支付连续红利收益的股票期权,即标的资产股票在每单位时间连续按比例发放红利.假设标的资产S i 为以红利率q i 支付连续红利的股票,股票价格服从式(1),结合式(31),构造资541第1期吴　云等:多因素型期权定价模型的研究产组合Π:Π=-f -∑iq i S i5f5S i+∑i5f5S iSi(34)d Π=-5f 5t -∑i q i S i 5f 5S +12∑i ,jσi σj S i S j ρij 52f5S i 5S j d t (35)结合无套利原理,可以得到5f5t+∑i(r -q i )5f 5S i S i +12∑i ,jσi σj S i S j ρij 52f5S i S j=r f(36)式(36)即为以红利率为支付股息的多因素型新型期权定价模型.当i =j =1时,式(36)简化为5f 5t +(r -q )5f 5S S +12σ2S 252f5S2=r f (37)式(37)即为支付股票红利的Black 2Scholes 期权定价模型.5　实例分析下面以彩虹期权为例进行分析.这是一种最基本的多因素期权.在期权市场中,人们常用色彩数来表示一个期权合同基于的标的资产的数目.为简单起见,讨论具有2种色彩即两因素的最大看涨彩虹期权定价.某种最大看涨彩虹期权,标的资产为2种股票S 1和S 2,S 1为40美元/股,S 2为30美元/股,2种股票之间的相关系数为0.2,股价的波动率均为25%,无风险利率r 为5%,3个月后到期,执行价格为40美元.即:σ1=σ2=0.25,r =0.05,T -t =3Π12=0.25,ρ=0.2,E =40,将这些值代入式(19)～(25),得到c T =40{N (0.955)-N 2(-0.1625,0.955;-0.1)}+30{N (-0.926)-N 2(2.139,-0.926;-0.1)}+40e -0.05×0.25{N 2(-0.0375,2.264;0.2)}-40e-0.05×0.25结合一维和二维累积标准正态分布函数,得到这种最大看涨彩虹期权的价格为c T =1.5美元这一价格对期权的多头和空头方具有很好的参考价值,并对他们的投资行为有良好的指导意义.6　结　论本文调整了Black 2Scholes 单因素期权定价模型的假设条件,将它推广到两因素和多因素的情况,建立了基于多个标的变量即多因素期权的定价模型,并将它们进一步推广到支付连续红利收益的情况,从而解决了多因素条件下的模型描述问题,文中的实例也说明了所得结论的有效性.可以看出,随着标的变量的增加,期权的定价模型越来越复杂,其求解也越来越复杂,这将在后续工作中加以深入分析和研究.参考文献(R eferences )[1]茅　宁.期权分析———理论与应用[M].南京:南京大学出版社,2000.418429.Mao Ning.Options analysis :theory and its application [M].Nanjing :Nanjing 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