指派问题的匈牙利解法

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指派问题的解法

指派问题的解法总结

问题引入：在工作的时候，常常需要对一些人进行工作安排，由于某些条件的限制，

每个人只能进行一种工作，怎么安排才能使得总工作时间最小。我们把这一类问题称

为指派问题。在这里，我只对人和工作刚好一对一的指派问题的解法进行总结，而对

于不是一对一的，则可以通过文献1中的一些方法进行变换。

目前问题解法的总结。

1：最广泛应用的解法：匈牙利算法。

算法简介：库恩（fW．W．Kuhn)于1955年提出了指派问题的解法．他引用了匈牙利数学家康尼格一个关于矩阵中0元素的定理：系数矩阵中独立0元素的最多个数等

于覆盖所有0元素的最少直线数。这个解法称为匈牙利解法。

匈牙利算法虽是运用最广泛的算法，但其操作过程却过于复杂。在划0的时候也不方

便记忆，对于初学者来说掌握不便。于是国内很多学者对指派问题给出了几个较简单，方便易记的算法。

2：指派问题新解法——目标值子矩阵法。

算法描述：任取变量矩阵X某一行中的最小元素，为该行元素目标值的最优解(但

不一定是系统目标函数的最优解)，应该是系统目标函数满意解中的一个元素，记作

a11 划去a11 所在的行和列，取剩下的子矩阵中某一行的最小元素，记作a22。依次

类推，直到最后一个元素a nn．这些元素相加得系统目标函数的一个满意解，此为一

次运算．第二次运算取变量矩阵X中含a 以外的任一行，做与上面相同运算，又可以

得到系统的第二个满意解．相同地，对于n行做n次运算，共得到系统的n个满意解，系统的最优解即应该是这 n个满意解当中的最小值．若第i的最小元素在前面以被取

用过，则在进行第i的运算时，不选取该元素，取该行中未被选用过的元素中最小的一个进行运算。

指派问题匈牙利算法最大值

指派问题是一个优化问题，旨在确定如何将 n 个任务分配给 n 个人员，以便完成总成本最小或总利润最大。匈牙利算法是解决指派问题的经典算法之一，通过寻找增广路径来找到最大权值的匹配。

在指派问题中，我们有一个 n x n 的成本矩阵，其中的每个元素表

示将特定任务分配给特定人员的成本或利润。问题的目标是找到一种分配方式，使得总成本最小或总利润最大。

匈牙利算法是一种基于图论的算法，它通过构建二分图和寻找增广路径来解决指派问题。算法的核心思想是通过不断改进当前的匹配，直到找到最优解。

具体来说，匈牙利算法的步骤如下：

1. 初始化一个空的匹配集合。

2. 对于每个任务，找到一个未被分配的人员，并将其分配给该任务。如果该任务没有未被分配的人员，则考虑将其他任务分配给当前人员，并将当前任务分配给其它人员。

3. 如果存在一个未被匹配的任务，寻找一条从该任务出发的增广路径。增广路径是一条交替经过匹配边和非匹配边的路径，起点和终点都是未匹配的任务。

4. 如果存在增广路径，则改进当前的匹配，即通过将增广路径上的

非匹配边变为匹配边，并将增广路径上的匹配边变为非匹配边。5. 重复步骤3和步骤4，直到不存在增广路径为止。

匈牙利算法的运行时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 是任务或人员的数量。该算法可以找到指派问题的最优解，并且在实践中表现良好。

总之，指派问题是一个重要的优化问题，而匈牙利算法是一种解决指派问题的经典算法。通过构建二分图并寻找增广路径，匈牙利算法可以找到指派问题的最优解。

匈牙利法求解指派问题

任务 E
J
G
R
人员
甲
2
15 13
4
乙 10 4 14 15
丙
9
14 16 13
丁
7
8 11 9
匈牙利算法的步骤：
第一步：使分配问题的系数矩阵经变换，在各行各列中都出现0元素：
➢从系数矩阵的每行元素减去该行的最小元素。
➢再从所得系数矩阵的每列元素减去该列的最小元素。
若某行已经有0元素，就不必再减了。
4
乙 10 4 14 15
丙
9
14 16 13
丁
7
8 11 9
类似有：有n项加工任务，怎样分配到n台机床上分别完成；有n 条航线，怎样指定n艘船分别去航行….. 等。
表中数据称为效益矩阵或系数矩阵，其元素大于零，表示分配第 i人去完成第j 项任务时的效益（或时间、成本等）。
引入0-1变量xij=1分配第i人去完成第j 项任务，xij=0不分配第i人去完
如何安排讲座的日程，使不能出席的学生总数最少？
解：这是一个不平衡的的分配问题，需虚设一个讲座，且Ci,5=0 , i=1,2,..,5
生态学能源运输生物虚设工程讲座
一 50 40 60 20 0
二 40 30 40 30 0
三 60 20 30 20 0

分配问题指派问题与匈牙利法课件

可进行分配：令圈0位置的决策变量取值为1，其他为0
0 13 7 0
6
0
6
9
0 5 3 2
0
1
0
0
0 0 0 1
0
1
0
0
1 0 0 0
0
0
1
0
（3）判断独立零元素的个数可能出现三种情况
2.存在未标记过的零元素，但它们所在的行和列中，未被标记过的零元素的个数均至少有两个。
3.不存在未被标记过的零元素，但圈0的个数<n
15 14
12 10
6
9
12
8
7
6 7 14 6 10
6
9
12
10
6
0 3 0 11 8
0 0 6 6 2
0
1
2
1
0
0 0 5 0 4
0
2
3
4
0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1
0
0
0
0
0 0 0 1 0
0
0
0
0
1
分配方案A=7+9+分6配+问6题指+派6问=题3与匈4牙利法课件
⑧对矩阵的每列：当该列有直线覆盖时，令vj=-k；
当该列无直线覆盖时，令 vj=0 。

指派问题的最优解法

指派问题是一个最优化问题，在给定若干个任务和执行者（或机器）的情况下，要求将每个任务指派给一个执行者，并使得总体的执行成本或者效益最优。指派问题可以用匈牙利算法（Hungarian algorithm）或者KM算法（Kuhn-Munkres algorithm）来求解，这两个算法是目前被广泛采用的指派问题

求解方法。

匈牙利算法是一个具有全局优势的贪心算法，它通过不断优化当前的局部选择，最终得到全局最优解。其基本思想是通过给任务和执行者之间的边标注权重，然后选取最小权重的边进行指派，如果发现某个任务或者执行者已经被指派，就将其它相关的边进行更新，并继续寻找最小权重的边进行指派，直到所有的任务都得到指派。

KM算法是匈牙利算法的一种更加高效的变体。它首先将指派

问题转化为一个最大权匹配问题，然后通过不断调整边的权重，使得每次迭代都可以找到一个指派边的增广路径，并更新相应的匹配结果。KM算法的核心思想是通过对匹配结果进行调整，减小局部优势并增加全局优势。

无论是匈牙利算法还是KM算法，在最坏情况下的时间复杂

度都是O(n^3)，其中n表示任务和执行者的数量。这两个算

法的主要区别在于实现的复杂度和算法的效率，KM算法相对

于匈牙利算法来说具有更好的性能。

除了匈牙利算法和KM算法之外，还有一些其他的指派问题

求解方法，例如启发式搜索、遗传算法等。这些方法一般适用于指派问题的规模比较大、复杂度比较高的情况下，但是相对于匈牙利算法和KM算法，它们的效率和准确性可能会有所降低。

总之，指派问题的最优解法可以通过匈牙利算法或者KM算法来求解，具体选择哪一种方法可以根据问题的规模和复杂度来决定。

求解指派问题的匈牙利算法.doc

3.2 求解指派问题的匈牙利算法

由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家D.Konig 提出的更为简便的解法—匈牙利算法。算法主要依据以下事实：如果系数矩阵)(ij c C =一行（或一列）中每一元素都加上或减去同一个数，得到一个新矩阵)(ij b B = ，则以C 或B 为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。

利用上述性质，可将原系数阵C 变换为含零元素较多的新系数阵B ，而最优解不变。若能在B 中找出n 个位于不同行不同列的零元素，令解矩阵中相应位置的元素取值为1，其它元素取值为零，则所得该解是以B 为系数阵的指派问题的最优解，从而也是原问题的最优解。

由C 到B 的转换可通过先让矩阵C 的每行元素均减去其所在行的最小元素得矩阵D ，D 的每列元素再减去其所在列的最小元素得以实现。

下面通过一例子来说明该算法。

例7 求解指派问题，其系数矩阵为

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=16221917171822241819211722191516C 解将第一行元素减去此行中的最小元素15，同样，第二行元素减去17，第三行元素减去17，最后一行的元素减去16，得

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=06310157124074011B 再将第3列元素各减去1，得

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=****20531005711407301B 以2B 为系数矩阵的指派问题有最优指派

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛43124321 由等价性，它也是例7的最优指派。

有时问题会稍复杂一些。

例8 求解系数矩阵C 的指派问题

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=61071041066141512141217766698979712C 解：先作等价变换如下

指派问题的匈牙利法

获得初始解：圈零/划零操作
将时间矩阵C的每一行都减去相应行的最小元素和每一列都减去相应列的最小元素，使每一行和每一列都含有零；从最少零数的行或列开始，将“零”圈起来，并划去它所在行和所在列的其它零；反复做2），直到所有零被圈起或被划掉为止。得到初始解。判断是否为最优解：圈起的零的个数是否等于n。
8 0 5 0 9 4 3 4 0 3 8 5
圈零划零
0 11 2 0
8 0 5 0 9 4 3 4 0 3 8 5
得最优解
将圈起的零改为1，其它元素改为0，即得最优解如下
0 0 （xij ) = 0 1
最小总时间为22。
0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
例二、例二、有一份中文说明书，需译成英、有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种
文字，分别记作A、、、。现有甲、文字，分别记作、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？
4 0 2 3
5 9 0 1 5 4 0 9 3 7 6 0
4 0 2 3
5 4 0 1 0 4 0 4 3 7 1 0

指派问题匈牙利算法步骤

匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的经典算法。以下是匈牙利算法的步骤：

初始化：创建一个二分图，并将所有边的匹配状态初始化为未匹配。

选择一个未匹配的左侧顶点作为起始点，开始进行增广路径的寻找。

在增广路径的寻找过程中，首先选择一个未访问的左侧顶点作为当前路径的起点。

针对当前路径的起点，依次遍历与其相邻的右侧顶点。

对于每个右侧顶点，如果该顶点未被访问过，则标记为已访问，并判断该顶点是否已匹配。

如果该右侧顶点未匹配，则找到了一条增广路径，结束路径的寻找过程。

如果该右侧顶点已匹配，将其与之匹配的左侧顶点标记为已访问，并继续寻找与该左侧顶点相邻的右侧顶点，构建新的路径。

如果当前路径无法找到增广路径，则回溯到上一个路径的起点，并继续寻找其他路径。

当所有的路径都无法找到增广路径时，算法结束。

根据最终得到的匹配结果，即可得到二分图的最大匹配。

这些步骤描述了匈牙利算法的基本流程。具体实现时，可以采用递归或迭代的方式来寻找增广路径，通过标记顶点的访问状态来进行路径的选择和回溯。算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V是顶点的数量，E是边的数量。

指派问题的匈牙利解法

1、把各行元素分别减去本行元素的最小值；然后在此基础上再把每列元素减去本列中的最小值。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 4 3 2 04 0 5 0 01 2 3 2 03 7 7 1 08 11 0 3 06 10 12 9 610 6 14 7 67 8 12 9 610

14 17 9 712 15 7 8 4 此时每行及每列中肯定都有0元素了。

2、确定独立零元素，并作标记。

（1）、首先逐行判断是否有含有独立0元素的行，如果有，则按行继续处理；如没有，则要逐列判断是否有含有独立0元素的列，若有，则按列继续处理。若既没有含有独立0元素的行，也没有含有独立0元素的列，则仍然按行继续处理。

（2）在按行处理时，若某行有独立0元素，把该0元素标记为a ，把该0所在的列中的其余0元素标记为b ；否则，暂时越过本行，处理后面的行。把所有含有独立0元素的行处理完毕后，再回来处理含有2个以及2个以上的0元素的行：任选一个0做a 标记，再把该0所在行中的其余0元素及所在列中的其余0元素都标记为b 。

（3）在按列处理时，若某列有独立0元素，把该0元素标记为a ，把该0所在的行中的其余0元素标记为b ；否则，暂时越过本列，处理后面的列。把所有含有独立0元素的列处理完毕后，再回来处理含有2个以及2个以上的0元素的列：任选一个0做a 标记，再把该0所在列中的其余0元素及所在行中的其余0元素都标记为b 。

（4）、重复上述过程，即得到独立零元素（标记a 的“0”）

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b b a b b a 0

运筹学指派问题的匈牙利法

运筹学课程设计

指

派

问

题

的

匈

牙

利

法

专业：

姓名：

学号：

1.算法思想：

匈牙利算法的基本思想是修改效益矩阵的行或列，使得每一行或列中至少有一个为零的元素，经过修正后，直至在不同行、不同列中至少有一个零元素，从而得到与这些零元素相对应的一个完全分配方案。当它用于效益矩阵时，这个完全分配方案就是一个最优分配，它使总的效益为最小。这种方法总是在有限步內收敛于一个最优解。该方法的理论基础是：在效益矩阵的任何行或列中，加上或减去一个常数后不会改变最优分配。

2.算法流程或步骤：

1.将原始效益矩阵C的每行、每列各元素都依次减去该行、该列的最小元素，

使每行、每列都至少出现一个0元素，以构成等价的效益矩阵C’。

2.圈0元素。在C’中未被直线通过的含0元素最少的行（或列）中圈出一

个0元素，通过这个0元素作一条竖（或横）线。重复此步，若这样能圈出不同行不同列的n个0元素，转第四步，否则转第三步。

3.调整效益矩阵。在C’中未被直线穿过的数集D中，找出最小的数d，D

中所有数都减去d，C’中两条直线相交处的数都加的d。去掉直线，组成新的等价效益矩阵仍叫C’，返回第二步。

X=0，这就是一种最优分配。最低总

4.令被圈0元素对应位置的X ij=1,其余

耗费是C中使

X=1的各位置上各元素的和。

算法流程图：

3.算法源程序：

#include

typedef struct matrix

{

float cost[101][101];

int zeroelem[101][101];

float costforout[101][101];

指派问题——匈牙利法

定理6.2：设给定了以 C=(cij)为效率矩阵的指派问题 G，现将 C的元素cij 改变为： c’ij=cij- i-j，其中： i, j 为常数。则以C’=(c’ij) 为效率矩阵的指派问题G’ 与 G有相同的最优解。
约化矩阵：效率矩阵通过行或列同时加上（减去）一个常数得到的矩阵。
指派问题的性质定理的证明
若资源多，事件少，则增加一些虚拟事件，这些虚拟事件被资源实现的费用( 成本、效率)取值为0；
非标准形式的指派问题
(3) 一个资源可以做多件事的指派问题若某资源可以用来做几件事件，则
可将该资源化作相同的几个资源来接受指派，这几个“资源”做同一事件的费用（效率）系数取相同值； (4) 某一事件不允许由某一资源做的情况处理
指派问题的匈牙利解法—例
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 4 0 6 3 6 5
各行、列均有0元素
指派问题的匈牙利解法—例
Biblioteka Baidu
5 (0) 2 0 2
2
3
0 (0) 0
(0) 10 5 7 2
9
8 (0) 0 4
0 6 3 6 5
试派并划线
m4 l4
Cij= 0 5 3 1 -1 0 4 2 0 3 1 0
0001
1 0 1
2 0 2

匈牙利法求解指派问题

第i人只能完成一项任务。
满足约束条件的解称为可行解可写成矩阵形式：
0100
0010 X=
1000
2000
称为解矩阵其各行各列元素之和为1。
匈牙利算法依据：
对同一工作i来说，所有机床的效率都提高或降低同一常数，不会影响最优分配；同样，对同一机床j来说,做所有工作的效率都提高或降低同一常数，也不会影响最优分配。
指派问题（分配问题）
(Assignment Problem)
例5 有一份中文说明书，需翻译成英、日、德、俄四种文字，分别记作E、J、G、R，现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书翻译成英、日、德、俄四种文字所需时间如下，问应该如何分配工作，使所需总时间最少？
任务 E
J
G
R
人员
甲
2
15 13
在打列中各元素都加上这最小元素2。
70202 4 3 000 08350 11 8 0 0 4 04143
重复第二步，寻找独立0元素。
70202 4 3 000 08350 11 8 0 0 4 04143
➢从只有一个0元素的行开始，给这个0 元素加圈，记
70202 4 3 000 08350 11 8 0 0 4 4 1 4 3
➢对没有的行，打；
➢对已打行中所有含0元素的列打；
➢再对打列中含0元素的行打；

指派问题与匈牙利解法

指派问题与匈⽛利解法

指派问题概述：

实际中，会遇到这样的问题，有n项不同的任务，需要n个⼈分别完成其中的1项，每个⼈完成任务的时间不⼀样。于是就有⼀个问题，如何分配任务使得花费时间最少。

通俗来讲，就是n*n矩阵中，选取n个元素，每⾏每列各有1个元素，使得和最⼩。

如下图：

指派问题性质：

指派问题的最优解有这样⼀个性质，若从矩阵的⼀⾏(列)各元素中分别减去该⾏(列)的最⼩元素，得到归约矩阵，其最优解和原矩阵的最优解相同．

匈⽛利法：

127979

89666

71712149

15146610

4107109

1.⾏归约：

每⾏元素减去该⾏的最⼩元素

50202

23000

010572

98004

06365

2.列归约：

每列元素减去该列的最⼩元素

50202

23000

010572

98004

06365

3.试指派：

(1)找到未被画线的含0元素最少的⾏列，即，遍历所有未被画线的0元素，看下该0元素所在的⾏列⼀共有多少个0，最终选取最少个数的那个0元素。

(2)找到该⾏列中未被画线的0元素，这就是⼀个独⽴0元素。对该0元素所在⾏和列画线。

50202

23000

010572

98004

06365

50202

23000

010572

98004

06365

50202

23000

010572

98004

06365

50202

23000

010572

98004

06365

(3)暂时不看被线覆盖的元素，重复(1)(2)直到没有线可以画。

(4)根据(2)找到的0元素个数判断，找到n个独⽴0元素则Success，⼩于n个则Fail.（本例⼦中，n=5，可以看到，第⼀次试指派之后，独⽴0元素有4个，不符合）

匈牙利法求解指派问题

第i人只能完成一项任务。
满足约束条件的解称为可行解可写成矩阵形式：
0100
0010 X=
1000
2000
称为解矩阵其各行各列元素之和为1。
匈牙利算法依据：
对同一工作i来说，所有机床的效率都提高或降低同一常数，不会影响最优分配；同样，对同一机床j来说,做所有工作的效率都提高或降低同一常数，也不会影响最优分配。
任务 E
J
G
来自百度文库
R
人员
甲
2
15 13
4
乙 10 4 14 15
丙
9
14 16 13
丁
7
8 11 9
匈牙利算法的步骤：
第一步：使分配问题的系数矩阵经变换，在各行各列中都出现0元素：
➢从系数矩阵的每行元素减去该行的最小元素。
➢再从所得系数矩阵的每列元素减去该列的最小元素。
若某行已经有0元素，就不必再减了。
2 15 13 4 2 10 4 14 15 4 (cij)= 9 14 16 13 9 7 8 11 9 7
0 13 7 0 606 9 053 2 010 0
0 13 11 2 6 0 10 11 057 4 014 2
42
第二步：进行试分配，以寻找最优解。
➢从只有一个0元素的行（或列）开始，给这个0元素加圈，记，然后划去所在的列（或行）的其他0元素，记作Ø。

软考指派问题计算

软考指派问题是一种常见的组合优化问题，通常涉及到将一组任务分配给一组工人，以最小化总成本或最大化总效益。解决指派问题的一种常见方法是使用匈牙利算法。

以下是使用匈牙利算法解决指派问题的基本步骤：

1. 创建代价矩阵：将问题抽象为一个二维矩阵，其中每个元素表示将某个任务分配给某个工人的成本或者效益。代价矩阵的大小为n行m列，其中n

表示任务的数量，m表示工人的数量。

2. 寻找增广路径：从代价矩阵中寻找增广路径，即从某一行或某一列出发，沿着矩阵的边缘移动，直到回到起始位置。在寻找增广路径的过程中，需要不断更新代价矩阵。

3. 构造增广矩阵：在增广路径上，将代价矩阵中对应位置的元素减去最小值，并将路径上的其他元素设置为最大值。这样构造的增广矩阵与原代价矩阵具有相同的行和列。

4. 求解最小二等分问题：将增广矩阵分为两个子矩阵，分别代表左半部分和右半部分。求解这两个子矩阵对应的最小二等分问题，即找到一个分割线，使得左半部分和右半部分的元素总和最小。

5. 确定最佳分配方案：根据最小二等分问题的解，确定最佳的分配方案。如果最小二等分问题的解为0，则说明已经找到了最优解；否则，需要重复步骤2-4，直到找到最优解。

通过以上步骤，可以求解指派问题并找到最优的分配方案。需要注意的是，指派问题的解并不一定是整数解，可能是小数或者分数。在实际应用中，需要根据具体问题和要求来确定是否需要取整或者进行其他处理。

2023年运筹学指派问题的匈牙利法实验报告

一、前言

运筹学是一门涉及多学科交叉的学科，其主要研究通过数学模型和计算机技术来提高生产和管理效率的方法和技术。其中，指派问题是运筹学中的重要研究方向之一。针对指派问题，传统的解决方法是匈牙利法。本文将基于匈牙利法，通过实验的方法来探讨2023年指派问题的发展。

二、指派问题

1.定义

指派问题是指在一个矩阵中指定每一行和每一列只选一个数，使得多个行和列没有相同的数，而且总和最小。

2.传统算法

匈牙利算法是一种经典的用于解决指派问题的算法。该算法基于图论的思想，用于寻找最大匹配问题中的最大流。匈牙利算法

的时间复杂度为 $O(n^3)$，但是，该算法仍然被广泛应用于实际问题求解。

三、实验设计

1.实验目的

本实验旨在探究匈牙利算法在指派问题中的应用以及其发展趋势，同时，通过对比算法运行速度来评估其效率和实用性。

2.实验原材料

本实验将采用Python语言来实现匈牙利算法，数据集选取为UCI Machine Learning Repository中的鸢尾花数据集。

3.实验步骤

步骤1：导入数据集，并进行数据预处理。

步骤2：计算每个样本在所有类别中的得分，并选取得分最高

的类别作为预测结果。

步骤3：使用匈牙利算法对预测结果进行优化，以求得更优的

分类方案。

步骤4：对比优化前后的分类结果，评估算法的实用性和效率。

四、实验结果

本实验的最终结果表明，匈牙利算法在指派问题中的应用具有

很好的效果。实验数据表明，经过匈牙利算法优化后，分类器的

准确率有了显著提高，分类结果更加精确。同时，通过对比算法