9.2二次根式的加减法

《二次根式加减法》学法指导

《二次根式加减法》学法指导一、二次根式的加减：二次根式加减运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式．方法与整式运算中的合并同类项类似．如，合并同类项：a a a 452-+＝a )452(-+＝3a ；合并被开方数相同的二次根式：43－53＋73＝（4－5＋7）3＝63．㈠熟练掌握二次根式的加减运算法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．（二次根式的加减可归结为“一化二找三合并”：即①“化”：化成最简二次根式；②“找”：找出被开方数相同的二次根式；③“合并”：合并被开方数相同的二次根式．）例1．（2008·南京）计算12－3的结果是．解析：首先将不是最简二次根式的项（如12）化成最简二次根式；然后，找出被开方数相同的二次根式；最后，合并被开方数相同的二次根式．解：12－3＝23－3＝3温馨提示：①这的“合并”与多项式中的合并同类项类似．合并的只是根式外部的因式，而不1，而不是0．㈡二次根式合并注意事项二次根式加减运算要注意以下几点：①加法的运算律仍然适用于二次根式的运算；②被开方数不相同的二次根式不能合并，如（例2）233+，应为最终结果； ③运算结果要化成最简形式．例2．计算24352332++--解析：每个二次根式都是最简二次根式，可直接识别出：32-与35，23-与24被开方数相同，因此可直接进行合并．解：24352332++--＝()352+-＋()243+-＝33＋2温馨提示：本题中2与33被开方数不同，不能再进行合并，避免出现2＋3＝5的错误．例3．（2008·临沂）计算29328++的结果是（）解析：本题中的每个二次根式都不是最简二次根式，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．解：29328++＝22＋42＋223＝(2＋4＋23)2＝2215．温馨提示：运算结果要化成最简形式，如：2215不能写成2217．二、二次根式的混合运算：整式的运算法则和乘法公式在二次根式的运算中同样适用.例4．（2008·长春）计算：22)8321464(÷+- 解析：本题有括号，且括号内是加减运算，所以先把括号内的各项化成最简二次根式，再合并．解：22)8321464(÷+-＝22)262264(÷+-＝22)2464(÷+＝232+ 温馨提示：64和24已经不能再合并了，所以再进行乘除法运算，应用了分配律．例5．（2008·上海）+解析：本题有括号、乘除还有加减，观察会发现括号内已经不能合并了，可以用类似整式运算中的单项式乘多项式的法则进行运算，另外要根据分式的性质将分母化成有理数．3+-＋4＝(13-+4＝4温馨提示：二次根式的运算和整式的运算类似，在这运用了多项式的乘法以及乘法公式，这些法则公式和法则在这仍然适用．尤其是平方差公式在这的应用十分广泛．三、二次根式的化简求值：例6．（2008·烟台）已知2,2a b = ）A 、3B 、4C 、5D 、6解析：仔细观察待求得代数式回想学过的乘法公式可以得到：22a b +＝2()2a b ab +-，再看条件，a b +＝2)2)+＝ab ＝2)2)⨯＝1，所以5，故选C温馨提示：二次根式的化简求值是对二次根式的加减乘除和乘法公式等内容的综合运用，希望同学们能在能熟练掌握，并能灵活运用．四、小试牛刀：1. ）A B C D 2．(2008山东聊城)下列计算正确的是（）A ．=B =C 3=D 3=-3．(2008重庆)计算28-的结果是（）A ．6B ．6C ．2D ．24．（2008安徽芜湖））Ａ．6到7之间Ｂ．7到8之间Ｃ．8到9之间Ｄ．9到10之间5是可以合并的，那么a ＝6．(2008湖北荆门)计算：27124148÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+＝_________． 7．(2008大连）是一个简单的数值运算程序，若输入x 的值为3，则输出的数值为_____8．(2008湖北荆州）已知a参考答案：1．B; 2．C; 3．D; 4．C; 5．5; 6． 23; 72．; 8．解：因为20a -≥，而20a ≥所以20a =，即0a =将其代入原式得=0=。

二次根式的加减法知识讲解

二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．解：．例2、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．例3、计算下列各题：．思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．例4、计算下列各题．解：例5、化简：总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样则为1，继续运算可避免错误．例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．解：，于是即a＋b=3∴a=2，b=1或a=1，b=2，故x=222，y=888或x=888，y=222．∴x＋y=1110，总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．思路分析：由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．解：原等式两边分别乘以，得两式相加得，所以．A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A．B．C．D．2、下列计算正确的是( )A．B．C．D．3、下列各式化简结果不正确的是（）A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）A．B．C．D．5、计算等于（）A．·1 B．3C．D．6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）A．A B．BC．A、B的中点D．不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．8、若成立，则xy的值为______．9、若，则______．10、已知正数a、b，有下列结论：(1)若a=1，b=1，则；(2)若，则；(3)若a=2，b=3，则；(4)若a=1，b=5，则．根据以上几个命题提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则______．三、解答题11、计算或化简下列各题：12、计算：13、已知，求代数式的值．14、计算．[15、先观察下列等式，再回答问题：（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．一．选择题DDCBDB二．填空题7、△ABC的周长大于6且小于10．8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．9、．10、=13．三．解答题11.12.13..14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为（2）换元法：设，两边同时平方得，所以x2=10，又因为x＞0，所以，即．15.。

九年级数学二次根式的加减知识精讲

初三数学二次根式的加减【本讲主要内容】二次根式的加减 1. 同类二次根式 2. 二次根式的加减 3. 二次根式的混合运算【知识掌握】【知识点精析】一. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．注意：（1）判断几个二次根式是否同类二次根式，必须首先将二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同．（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关．二. 二次根式的加减法（l ）二次根式的加减，就是合并同类二次根式．（2）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数与被开方数不变．（3）二次根式的加减法的一般步骤： ①将每一个二次根式化成最简二次根式； ②找出其中的二次根式； ③合并同类二次根式．注意：①非同类二次根式不能合并；②二次根式的系数是带分数时，要写成假分数的形式．三. 二次根式的混合运算二次根式的混合运算就是二次根式的加、减、乘（包括乘方）、除的混合运算．注意：1. 运算过程中注意运算顺序，利用运算法则．整式混合运算的运算律在二次根式的混合运算中仍然适用．2. 注意化简，包括条件的化简、所求算式的化简和最后结果的化简．【解题方法指导】★同类根式例1. （1）（2003年某某省黄冈市中考题）多项选择题：下列各式经过化简后与--273x 是同类二次根式的是（）A.3x 27B.27x 3- C.--1933x D.3x -（2）（2002年某某市中考题）多项选择题：在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A. 2和12B. 2和21 C. 3ab ab 4和D.1a 1a +-和（3）（2001年某某省某某市中考题）选择题：下列各式中，与8是同类二次根式的是（）A.2.0 B. 8.0 C. 12 D. 18（4）（1989年全国初中数学联赛试题）选择题：已知最简根式b a 7b a 2a -+与是同类根式，则满足条件的a 、b 值（） A. 不存在 B. 只有一组 C. 有二组 D. 多于二组（5）（2002年某某省中考题）如果最简根式3b b a -和22b a -+是同类根式，那么a 、b 的值是（）A. 2b ,0a ==B. 0b ,2a ==C. 1b ,1a =-=D. 2b ,1a -==（6）（2001年中考题）填空题：当=x ________时，最简二次根式3x 57-与7x 45+是同类根式．分析：紧扣同类二次根式的条件：化成最简二次根式后被开方数相同．解：（1）由已知得x 3x 3x 27,0x 3-=--∴<33x 27,0x 27∴< 无意义，排除A ．x 39x 27x 3--=-∴，x 3313x ,x 39x x 3913-=--=--∴选B 、C 、D ．（2）3212= ，2∴和12不是同类二次根式．显然1a 1a +-和不是同类二次根式．2221=， 212和∴是同类二次根式． ab |b |b ab ab ,ab 2ab 423=⋅== ， 3ab ab 4和∴是同类二次根式．故选B 、C （注：本题是多项选择题）（3）5528.0,55511022.0,228===== ， 2318,3212==，18∴与8是同类二次根式，故选D ．（4）由同类二次根式的定义，得⎩⎨⎧=-=+2b a 7b a 2 解之，得⎩⎨⎧==1b ,3a 这是唯一的一组解．故选B ．（5）由同类二次根式定义，得⎩⎨⎧+-==-2a b 2b 3,2a b 解得a b ==⎧⎨⎩02,.故选A ．（6）由同类二次根式定义，得 7x 43x 5+=- 解之，得10x =点评：判断两个二次根式是不是同类二次根式，必须先将它们都化为最简二次根式，然后再看这些最简二次根式的被开方数是不是相同，如果被开方数完全相同，那么它们就是同类二次根式，否则就不是同类二次根式．注意：判断两个二次根式是否为同类二次根式，一定要把它们化成最简根式．【考点突破】【考点指要】二次根式的概念及其运算在中考说明中是C 级知识点，它们常与整式、分式综合在一起，以选择题、填空题、计算题等题型出现在中考题中，大约占有4—8分左右．解决这类问题需熟练掌握二次根式的概念和运算法则．【典型例题分析】例1. 选择题：（1）（2006年某某省中考题）下列计算正确的是A.228=- B.14931227=-=- C. 1)52)(52(=+-D.23226=- （2）（2006年某某市中考题）已知实数a 、b 、c 满足2b c ,1b a 2222=+=+，2c a 22=+，则ac bc ab ++的最小值为（）A.25 B. 321+ C. 21- D. 321-解：（1）A. 左式2222=-=，正确．B. 左式13333233≠=-=，不正确．C. 左式1154≠-=-=，不正确．D. 左式231232)123(222226≠-=-=⋅-=，不正确．答案：∴选A ．（2）由已知中三个式子相加，得25c b a 222=++（4），用（4）式分别减已知式得，21b ,21a ,23c 222===，则26c ±=，22a ±=，22b ±=，再代入ac bc ab ++，讨论可得ac bc ab ++的最小值为321-．答案：D ．例2. 计算：（1）（2006年市中考题）10)21()2006(|3|12-+---+（2）（2006年某某市中考题）3|3|)15(201--+-+-（3）（2006年某某省中考题）2818)212(2--+⨯（4）（2006年某某市中考题）02)36(|221|8)3(----+-- （5）（2003年市中考题）计算：0)13(8121-+-+（6）（2002年某某省中考题）计算：21122-++（7）（2000年某某市中考题）计算：)3223)(3223(1313+---+（8）（2000年某某省中考题）计算：211)223(23822+--+⨯-（9）计算：11322572767311145+-----++- （10）（2001年某某市中考题）计算：32a a 9a 3a--+ 分析：在进行计算时，应先将式子中的二次根式化简，如进行加减法时应先将各根式化为最简根式，进行除法运算时先分母有理化或约分化简．解：（1）原式13321332+=+-+= （2）原式2333121=-++=（3）原式=+--=--=-=213222232322312()（4）原式9111222291=-+-+=（5）0)13(8121-+-+212212-=+--=（6）21122-++1122212122=--+=--+=（7）)3223)(3223(1313+---+])32()23[(2)13(222--+=)1218(32--+= 43-=（8）211)223(23822+--+⨯-2112928)12(1229224--+-=---+⨯-=11-=（9）11322572767311145+-----++-)311(2527)27(2273114--+-+--++= 737-=（10）由所给算式知0a >a 3a 2a 3a 3aaa )32(a 3a a3a 32aa 9a 3a 2⋅--+=+-+=--+∴a 3a a 3-+= a =点评：这类二次根式的混合运算计算题一直是中考的重点，要求在计算时，注意题目的特点，确定运算顺序，根据二次根式的性质化简二次根式，特别是正确地进行分母有理化，使运算合理、正确、简便．例3. 求代数式的值：（1）（2006年某某市中考题）先化简，再求值：已知251x -=，求x1x -的值．（2）（2006年某某市中考题）先化简，再求值：x1x )x 11(2-÷+，其中，2x =．（3）（2006年某某省中考题）先化简，再求值： )b a (a b b 1b a 1++++，其中215b ,215a -=+= （4）（2006年某某省某某市中考题）已知21x +=，求1x x1x 1x 2x 22---++的值．（5）（2006年某某省某某市中考题）已知21x +=，求1x x1x x x 2+÷+-的值．（6）（2006年某某回族自治区中考题）2a =，求)1a 11a 1(+--a 1a 2-的值．（7）（2006年某某省某某市中考题）先化简，再求值：)b a 2()b a (a 2)b a 2(222+----．其中13b ,13a -=+=．（8）（2006年某某省课改实验区中考题）先化简，再求值： 1x 1)1x x 1x x 2(2-÷+--，其中12x -= 解：（1）已知251x -=25)25)(25(25+=+-+=，4)25(25x1x =--+=-（2）原式1x 1)1x )(1x (x x 1x -=-+⋅+= 当时2x =，原式121-==12+（3）原式abba )b a (ab )b a ()b a (ab b b)a(a ab 22+=++=++++=5215215b a =-++=+ 1215215ab =-⨯+=∴原式5abba =+=（4）原式1x x)1x )(1x ()1x (2---++==+---x x xx 111 1x 11x x 1x -=--+=当21x +=时，原式2212111x 1=-+=-= （5）原式1x x1x 1x )1x (x -=+⋅+-=当21x +=时，原式21211x =-+=-=（6）原式=+-+-+⋅+-=[()()]()()a a a a a a a a1111112当2x =时，原式222a 2=== （7）原式ab 2b a 2ab 2a 2b ab 4a 422222-=--+-+-= 当13b ,13a -=+=时原式422)13)(13(2-=⨯-=-+-= （8）原式1)1x )(1x ()1x )(1x ()1x (x )1x (x 2-+⋅-+--+=x3x xx x 2x 2222+=+-+=当12x -=时，原式)12(3)12(x 3x 22-+-=+=23231222=-++-=【综合测试】一. 选择题：1. （市海淀区）在下列二次根式中与2是同类二次根式的是（） A. 8 B. 10 C. 12 D. 272. 化简372-的结果是（） A.72-B. 72+C. 372()-D. 372()+3. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的一组是（） A. 32ab 和32ab cB. 27498b a ab和 C.3234a b 和2343a bD.b a 2和2ab4. 已知x =-32，那么x x+1的值等于（） A. 23 B. -23 C. 22 D. -225. 若y y x y 24410++++-=，则xy 的值等于（）A. -6B. -2C. 2D. 66. （2001年某某市中考题）如果表示a b ,两个实数的点在数轴上的位置如下图所示，那么化简||a b a ab b -+++222的结果等于（）． A. 2aB. 2bC. -2aD. -2bb a 0二. 填空题1. （2002年某某省某某市中考题）能使等式aa a a +=+33成立的a 的取值X 围是_______．2. 若||a b a b -+++124与互为相反数，则()a b +=2004__________．3. 最简二次根式831221x x 与+是同类二次根式，则x 的值为______． 4. 化简M x x x x =++--+12144922的结果是________．三. 化简：1. （2001年某某市中考题）132132-++；2. （2002年某某市中考题）已知||a a =-，化简||()1222-+-+a a a3. 设18≤≤x ，化简：x x 21025-+四. 求代数式的值：1. （某某市）化简并求值：()()()m n m n m n +++-23；其中m n ==21，．2. （某某市课改实验区）先化简，再求值：()x x x x +--÷--115141，其中x =-524． 3. （某某省课改实验区）课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当2253x -，分别等于，73+时，求代数式x x x x x 22211221-+-÷-+的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．4. （某某回族自治区课改实验区）已知a =2，求代数式()111112a a a a--+⋅-的值． 5. （某某市课改实验区）先化简，再求值：()211112x x x x x --+÷-，其中x =-21．五. 比较大小1. 比较175186--与的大小；2. 比较15141413--与的大小；3. 比较6776与的大小；4. 比较310522++与的大小．【综合测试答案】一. 选择题：1. A2. B3. D4. A5. A6. D分析：根据数轴上的点与原点的位置关系，判断该数的正、负；根据两数的对应点的相互位置关系，判断这两个数的大小关系．解：由图可知b a <<0， ∴->+<a b a b 00，∴原式=-++=-++||()||||a b a b a b a b 2b 2)b a (b a -=+--=故选D ．二.1. 解：等式a a aa +=+33成立的条件是 a a ≥+>⎧⎨⎩030，，即a a ≥>-⎧⎨⎩03，即a ≥0 故答案为a ≥0．2. 解析： ||a b a b -+++124与互为相反数．∴-++++=||a b a b 1240而||a b a b -+≥++≥10240，，∴-+=++=⎧⎨⎩a b a b 10240，∴=-=-⎧⎨⎩a b 21∴+=--=-=()()()a b 200420042004200421333. 答案为1.4. 分析：容易看出M x x =+--||||17，而且x R ∈，所以应按上题“点评”中（2）的方法，用两个零点-1和7，把数轴分成三类进行讨论．解：M x x =+--()()1722=+--||||x x 17-17（1）当x <-1时，x x +<-<1070，， M x x =-+--=-()()178；（2）-≤<17x 时，x x +≥-<1070，，M x x x =+--=-()()1726；（3）当x ≥7时，x x +>-≥1070，， M x x =+--=()()178∴=-<---≤<≥⎧⎨⎪⎩⎪M x x x x 81261787,(),,(),()三.1. 解：原式=+-++--+323232323232()()()()=+-+--=++-=323232323232232222()()()()2. （2002年某某市中考题）已知||a a =-，化简：a 2)2a (|a -1|2+-+ 分析：先由||a a =-确定a 的符号．解： -=≥a a ||0，∴≤a 0∴原式a 2|2a ||a 1|+-+-= =-+-+()()122a a a=33. 设18≤≤x ，化简：x x 21025-+ 解： x x x 2210255-+=-()，且18≤≤x∴由下图可知1 5 8当58≤≤x 时，有x -≥50；当15≤<x 时，有x -<50因此，x x x 2210255-+=-()⎩⎨⎧≤≤-≤≤-=)5x 1(x 5)8x 5(5x四. 1. 原式=++++--=-m mn n m mn mn n m n 22222223322 当m n ==21，时，原式=-=-=2224222()2. 原式=---⋅--=+x x x x x 21151144当x =-524时，原式=-+=5244523. 原式=-+-⋅+-=()()()()x x x x x 111121122 当37,225,3x +-分别为时，原式=124. 原式=+--+-⋅+-=a a a a a a a a1111112()()()()()当a =2时，原式==2225. 原式=21111111x x x x x x x x ()()()()()()+--+-⋅+- =+x x 23当x =-21时，原式=-+-=()()2132122五. 1. 比较175186--与的大小．分析：分子相同，正常思路，可比较分母的大小，但分母大小不易看出．方法：分母有理化法．解：175752-=+186862-=+，分母均为2，将分子比大小即可．7528620+-+< ∴-<-1751862. 比较15141413--与的大小．分析：可将分母看成1，进行分子有理化．方法：分子有理化法．解：151411514-=+141311413-=+，显然分子相同，比较分母大小即可．15141413+>+，分子相同时分母大的值反而小．word11 / 11 ∴-<-151414133. 比较67与76的大小．方法：比较被开方数法．解： 67736252=⨯=∴=⨯=76649294∴<252294 即6776<4. 比较310+与522+的大小．方法：比较两数的平方法．注：这两数须都大于0．解： ()310310230132302+=++=+ ()52258410132402+=++=+ 显然230240<∴+<+1323013240 即310522+<+。

二次根式的加减法则和定义

二次根式的加减法则和定义
二次根式的加减法则是什么，二次根式的定义又是什么呢？需要了解的小伙伴们看过来，下面由小编为你精心准备了“二次根式的加减法则和定义”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
二次根式的加减法
（1）同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

（2）合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

（3）二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

二次根式的乘除法
二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最简二次根式。

(1)乘法运算：两个数的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

(2)除法运算：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。

定义
一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。

判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。

二次根式的运算

二次根式的运算在数学中，二次根式是由数字和根号组成的表达式，其中根号表示取平方根的运算。

二次根式的运算是解决数学问题和实际应用中常见的操作之一。

本文将介绍二次根式的基本运算法则，并举例说明。

1. 二次根式的加法和减法二次根式的加法和减法遵循以下规则：(a√n) ± (b√n) = (a ± b)√n其中a和b为实数，n为正数。

通过将两个二次根式的系数相加或相减，保持根号下的数不变，可以进行加法或减法运算。

例如：3√2 + 5√2 = 8√24√3 - 2√3 = 2√32. 二次根式的乘法二次根式的乘法遵循以下规则：(a√n) × (b√m) = ab√(n×m)其中a、b、n和m为实数，且n和m均为正数。

乘法运算中，将两个根式的系数相乘，并将根号下的数相乘，得到新的根式。

例如：2√3 × 5√2 = 10√(3×2)3. 二次根式的除法二次根式的除法遵循以下规则：(a√n) ÷ (b√m) = (a/b)√(n/m)其中a、b、n和m为实数，且n和m均为正数。

除法运算中，将两个根式的系数相除，并将根号下的数相除，得到新的根式。

例如：(8√2) ÷ (4√2) = 8/4 = 2(3√6) ÷ (√3) = 3/1 = 34. 二次根式的化简化简二次根式是将复杂的根式转化为最简形式的过程。

化简的方法包括约分、提取公因式、合并同类项等。

例如：√8 = √(4×2) = 2√2√18 = √(9×2) = 3√25. 二次根式的有理化有理化二次根式是将分母中包含根号的式子转化为分母不含根号的形式。

有理化的方法包括乘以恰当的有理数等。

例如：1/(3 + √5) = (1/(3 + √5)) × ((3 - √5)/(3 - √5)) = (3 - √5)/(9 - 5) = (3 -√5)/4综上所述，二次根式的运算包括加法、减法、乘法、除法、化简和有理化等基本操作。

《二次根式的加减法》

学习建议
掌握基础知识
01 了解二次根式的定义
二次根式是一种数学表达式，表示对一个数或式子进行开方运算。
02 理解平方根和算术平方根的概念
平方根是一个数，可以使得这个数的平方等于1；算术平方根是一个正数，可以使得这个正数的平方等于这个正数本身。
03 掌握二次根式的性质和运算法则
二次根式的性质包括被开方数是非负数，算术平方根具有非负性等；运算法则包括加减法、乘除法、幂运算等。
03
错题纠正
错题原题
错误题目
计算 $\sqrt{12} + \sqrt{18}$
学生错解
$\sqrt{12} + \sqrt{18} = 6 + 3 = 9$
错题原因分析
• 学生没有掌握二次根式加减法的运算法则，直接将同类二次根式相加，忽略了根号内数值的合并。
正确解题过程
• 正确解答：$\sqrt{12} + \sqrt{18} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$
随堂练习题目
计算 $\sqrt{32} + \sqrt{20}$。计算 $\sqrt{49} - 3\sqrt{4}$。
计算 $2\sqrt{2} - \sqrt{3}$。计算 $2\sqrt{12} + \sqrt{3}$。
随堂练习答案
$\sqrt{32} + \sqrt{20} =
01 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$。
知识点回顾
二次根式的加减法运算规则
先化简，再合并同类二次根式。
常见错误纠正方法
牢记运算法则，先进行根号内数值的运算，再进行根号的合并。
04

二次根式的加减法(第二课时)

二次根式的加减法（第二课时）概述在数学中，二次根式是指以根号形式表示的含有平方根的表达式。

二次根式的加减法是对这样的表达式进行求和或求差的操作。

本文将介绍二次根式的加减法的基本概念和步骤，并通过一些例子来帮助读者理解和掌握这个重要的数学技巧。

二次根式的定义二次根式是形如√a或a√b的表达式，其中a和b是实数，且b大于0。

其中，a√b的形式称为含有系数的二次根式，√a的形式称为不含有系数的二次根式。

二次根式的加法二次根式的加法是指对两个二次根式进行求和的操作。

要执行二次根式的加法，需要满足以下两个条件：1.两个二次根式的根号下的数目和根号前的系数必须相同。

2.如果两个二次根式的根号前的系数不同，需要将它们化为相同的琍（即通分），再进行求和。

例子1我们以一个简单的例子来说明二次根式的加法：√3 + 2√3要求这两个根式的和，首先我们注意到根号下的数目都是3，根号前的系数分别是1和2。

由于这两个系数不同，我们需要将它们化为相同的分母。

这里我们可以将第一个根式的系数2改为2的平方，即2√3 = √12，然后再进行求和。

√3 + √12现在根号前的系数相同了，我们可以将根号下的数目相加。

√3 + √12 = 3√3所以，√3 + 2√3 = 3√3我们再来看一个复杂一些的例子：3√5 + 2√7 - √5对于这个表达式，我们首先注意到根号下的数目有两个5和7，根号前的系数分别是3、2和-1。

这里我们需要将这些根式化为相同的分母。

首先，将第一个根式和最后一个根式化为相同的表达式：3√5 - √5 = 2√5现在，我们重新整理一下表达式：2√5 + 2√7因为根号下的数目相同而且根号前的系数也相同，所以将它们相加即可：2√5 + 2√7 = 4√5 + 2√7所以，3√5 + 2√7 - √5 = 4√5 + 2√7二次根式的减法二次根式的减法是指对两个二次根式进行求差的操作。

要执行二次根式的减法，需要满足以下两个条件：1.两个二次根式的根号下的数目和根号前的系数必须相同。

初二数学二次根式的加减运算

初二数学二次根式的加减运算在数学中，二次根式是一种特殊的代数表达式，可以用来表示平方根。

初二学生在学习数学时会接触到二次根式的加减运算，这是一项基础且重要的运算。

本文将详细介绍初二数学中二次根式的加减运算，并提供相关的例题和解析，以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

一、二次根式的基本概念二次根式是指形如√a的数表达式，其中a为非负实数。

当a为正实数时，√a表示其平方根；当a为零时，√a等于0；当a为负实数时，√a无意义，记为不存在。

二、二次根式的加减运算规则1.同类项相加减：当二次根式的底数和指数均相同时，可以进行加减运算。

2.不同类项的加减：当二次根式的底数或指数不同，或者二次根式与常数项相加减时，无法进行加减运算，需要进行化简或转换为同类项后再进行运算。

三、二次根式的加减运算步骤与例题分析下面通过具体的例题来说明二次根式的加减运算步骤及注意事项：例题1：计算√5 + √20 - 2√5。

解析：首先将√5和2√5视为同类项，合并得到3√5；然后将√20展开为√4 × √5，进一步化简为2√5；最后进行合并，得到5√5。

例题2：计算√3 - (√2+ √5) 。

解析：这是一个不同类项的减法运算，无法直接计算，需要进行化简。

先将√2 + √5展开为√(2×5) = √10，然后再进行减法运算：√3 - √10 。

由于二次根式√3和√10的底数不同，无法继续进行加减运算，但可以保留原样。

所以最终结果为√3 - √10。

例题3：计算3√(5 + 2√3) - √(5 - 2√3) 。

解析：这是一个较为复杂的二次根式加减运算，需要仔细观察。

首先，要注意括号内的二次根式是一个整体。

我们将5 + 2√3 视为一个二次根式，记为A，将 5 - 2√3 视为另一个二次根式，记为B，然后根据加减运算规则进行计算：3√A - √B 。

将A展开：√(2√3 × 2√3) = √(4×3) = √12 = 2√3 。

二次根式加减运算法则公式

二次根式加减运算法则公式1. 什么是二次根式？二次根式是指某个数的平方根，其中这个数可以是整数、分数或者解析式的形式。

例如√16、√(4/9)、√(x+1) 都是二次根式。

2. 二次根式加减法则对于二次根式的加减运算，需要遵循一定的法则，以下是二次根式加减法则：1. 对于同类项的二次根式，即根号里面的数相同的根式，可以直接合并，例如√2+√2=2√2。

2. 对于不同类项的二次根式，则不能直接合并，需要进行化简，即将其转化为同类项的形式后再合并。

3. 化简的方法一般有提公因式、有理化分母等，但需要保证等式两边的值相等。

3. 实例分析为了更好地了解二次根式加减法则，下面举几个例子进行分析：1. 化简√10+2√5-√80将√10 和√5 提取公因式得到√10+2√5-√80=√2(5+10-40)=√2(-25)=-5√2。

因此，√10+2√5-√80=-5√2。

2. 化简√(2/5)+√(3/20)先将分母提出来，即√(2/5)+√(3/20)=√(2)/√(5)+√(3)/√(20)。

然后将分母有理化，即分别用√(5) 和√(20) 乘以相应分子分母。

化简后的结果是：√(2)/√(5)+√(3)/√(20)=√(40)/5+√(15)/10。

3. 化简√3-√7+√12将√3和√12提取公因式，得到√3-√7+√12=√3+2√3-√7-2√3+√12=(√3+2√3+√12)-(2√3+√7)因此，√3-√7+√12=3√3-√7-2√3+√12=√3-√7+√12。

4. 总结二次根式是基础数学中的重要概念，对于二次根式的加减运算，也有一定的规则和方法。

只有掌握了二次根式的加减法则，才能更好地处理涉及到二次根式的问题。

二次根式加减法的步骤

二次根式加减法的步骤
二次根式加减法的步骤如下：
1.化简二次根式：首先，对每一个二次根式进行化简，确保它们都是
最简形式。

2.判断根式是否相同：检查化简后的二次根式，看它们是否具有相同
的被开方数。

如果相同，则它们是同类二次根式。

3.合并同类二次根式：对于同类二次根式，可以直接进行合并。

合并
时，系数相加，而根号部分保持不变。

4.进行二次根式的加减运算：如果二次根式不是同类的，则不能直接
合并。

此时，需要按照二次根式的加减法则进行计算。

5.检查结果：最后，检查合并后的二次根式是否是最简形式，如果不
是，则再次进行化简。

例如，对于二次根式8+18，首先化简得到22+32，然后合并同类项得到52。

注意：在进行二次根式的加减运算时，必须确保二次根式是最简形式，并且只有同类二次根式才能直接合并。

二次根式的运算

二次根式的运算在数学中，我们常常遇到二次根式的运算问题。

二次根式是指形如√a的数，其中a表示一个非负实数。

本文将详细介绍二次根式的加减乘除运算规则，并给出一些实例进行演示。

一、二次根式的加减运算对于两个二次根式的加减运算，我们需要保证它们的根数和被开方数相同。

下面是二次根式加减的基本规则：规则1：根号下的数相同，即根数和被开方数相同，才能进行加减运算。

规则2：二次根式加减运算时，只需对根号下的数进行加减运算，根号不变。

规则3：运算结果保持根号下的数不变，即根号下的数仍然是二次根式。

例如：（1）√2 + √3 = √2 + √3，因为根号下的数不同，无法进行运算。

（2）2√5 - 3√5 = （2 - 3）√5 = -√5，因为根号下的数相同，可以进行运算。

二、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算是指两个二次根式相乘的过程。

下面是二次根式乘法的基本规则：规则1：二次根式乘法运算时，只需对根号下的数进行乘法运算，根号不变。

规则2：运算结果保持根号下的数不变，即根号下的数仍然是二次根式。

例如：（1）√2 × √3 = √(2 × 3) = √6，根号下的数相乘得到新的根号下的数。

（2）2√5 × 3√5 = （2 × 3）√(5 × 5) = 6√25 = 30，根号下的数相乘得到新的根号下的数，但是根号下的数不变。

三、二次根式的除法运算二次根式的除法运算是指两个二次根式相除的过程。

下面是二次根式除法的基本规则：规则1：二次根式除法运算时，只需对根号下的数进行除法运算，根号不变。

规则2：运算结果保持根号下的数不变，即根号下的数仍然是二次根式。

例如：（1）√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3，根号下的数相除得到新的根号下的数。

（2）6√25 ÷ 3√5 = （6 ÷ 3）√(25 ÷ 5) = 2√5，根号下的数相除得到新的根号下的数，但是根号下的数不变。

二次根式的加法与减法课件

（3）3 3-2 2+ 3- 2 4 3-3 2
作业
❖ 习题9.2的1（3）（4）、2题
拓展提升
❖把二次根式 23-a与 8 分别化成最简二次根式后, 被开方式相同.
❖(1)如果a是正整数,那么符合条件的a有哪些? ❖(2)如果a是整数,那么符合条件的a有多少个?最大
值是什么?有没有最小值？
(3) 2 3
先化为最简二次根式，把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数, 根号及根号内部都不变。
你有什么发现？
归纳总结
二次根式加减法法则：
目标2.通过具体题目的运算，得到二次根式的加法与减法的运算步骤及注意问题.
m a n a =（m n) a
二次根式相加减，应先把各个二次根式化为最简二次根式，然后把其中的同类二次根式分别合并（. 不是同类二次根式的不能合并）.
2、4 2- 2=43 2 3、2+ 3= 5
× （）为结果的系数； × 2、指数和被开方式都不变；
（）3、不是同类二次根式的不能合并；
× 4、3 2- 1 2=2 51 22 （）4、系数是带分数的要化为假分数，若
× 2
22
是一个二次根式与一个多项式的积,则
5、a 5+b 5=（aa++bb）5 5 （）多项式加括号.
2.字母和字母的指数有何变化？不改变
3.不是同类项的能否合并？
不能合并
温故知新
目标1. 类比“合并同类项”的知识，推导二次根式的加法与减法运算法则。
2、化简下列二次根式
化成最简二次根式后，
8 __2__2__; 12 _2__3__; 被开方式相同的二次根
18 ___3 _2___; 27 _3_3___; 式

二次根式的加法与减法

40 12 5
2 5
2017.04.07
三、巩固训练： (1) 3 3 2 2 3 2 (2)
12
20

3 5

(3)
40 5
2 2 0.1 5
2 能力提高：（1） a b ab
1
b
a
0，b 0（2） 3 2 3
1 4
四、小结：本节课你收获了什么？
2017.04.07
9.2 二次根式的加法与减法姓名：小组：
学习目标： 1. 经历二次根式加法与减法法则的探究过程，体会数学的类比思想和简洁美。 2. 能正确的进行二次根式加法与减法的运算，并能说出运算过程中每一步的变形目的与依据。一、复习回顾
1. 我们学过的二次根式的性质有哪些？ 2．将下列二次根式化成最简二次根式： 8 32 12 48 27 0.1 a2 b
五、课堂检测： 1.1.以下二次根式：⑴ 12⑵ 22 ⑶ 27⑷ A.①和②B.②和③C.①和③D.③和④ 2.计算： ⑴5 3 + 5 − 2 3；⑵ 6 −
3 2 2 与 3
3的被开方数相同的二次根式有（）.
a 2 1 b 5 5
二、合作与探究 1.试一试，哪些式子还能继续简化？你还有什么发现？并尝试归纳二次根式加法与减法的法则. 2- 2= 2+ 12=
2.模仿课本 121 页例 2，用规范的步骤完成下题.并能说出运算过程中每一步的变形目的与依据。

9.2二次根式的加减法

1、同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2、合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
对应训练
• 将下列二次根式化成最简二次根式，然后找出其中被开方数相同的二次根式。
12
9.2 二次根式的加法与减法
• 一、问题引入
要用栅栏围成两个相邻的正方形羊圈，它们的面积分别为27平方米和48平方米，栅栏的长度为多少米？
大羊圈
小羊圈
• 思考：如何计算：
3 27 4 48
• 总结：
可先把它们分别化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 二、新知学习:
可类比“合并同类项”
2.P122 T2 T1、2
创新应用
• 如果a,b都是有理数，且满足
a 2b 2 4 (a b) 2
求a,b的值。
小结反馈
• 本节课学习的技能是…..
• 掌握的概念有…..
•三、分母有理化
I.分母是单项式
例3.化简 1 2 1 2 2 5
a a b ab b b b b
3
5 3 3
II.分母是多项式
可以利用平方差公式如：
1 a b a b a b a b ( a b)( a b )
分母中不能含有根号，且要变为最简。
27
8
1 2
1 48
3、二次根式的加减可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。例1、计算
1
54 24;
1 8 2 18 3 3 9

二次根式的加减法则

二次根式的加减法则
二次根式的加减法则是一种可以有效求解x平方+bx+c=0中x的值的方法，它是一种必学的数学知识，在学习数学过程中，也是一种非常重要的知识点，甚至是数学基本功之一。

因此，掌握二次根式的加减法则的计算方法，对于学习或理解数学的概念、结构以及计算方法等，将非常有用。

明确以下内容，了解二次根式的加减法则：
1. 二次根式的加减法则是什么？
二次根式的加减法则是一种非常有用的数学方法，用于求解二次方程的根。

- 1 -。

《二次根式的加减法》优质课件

《二次根式的加减法》优质课件
汇报人： 2024-01-01
目录
• 二次根式的加减法概述 • 二次根式的加减法运算技巧 • 二次根式的加减法应用实例 • 二次根式的加减法易错点解析 • 二次根式的加减法练习题与解
析
01
二次根式的加减法概述
二次根式的定义与性质
二次根式的定义
形如√a（a≥0）的代数式称为二次根式，其中√表示根号，a为被开方数。
最后进行加减运算
在完成括号内运算和同类二次根式合并后，进行加减运算。
进行同类二次根式的合并
将同类二次根式进行合并，得到最简二次根式。
02
二次根式的加减法运算技巧
合并同类二次根式
总结词
合并同类项是二次根式加减法的基础，有助于简化计算过程。
详细描述
在二次根式加减法中，如果两个或多个二次根式具有相同的被开方数，则它们是同类二次根式。合并同类二次根式的方法是将它们的系数相加减，根号部分不变。例如，将$sqrt{2} + sqrt{2}$简化为$2sqrt{2}$。
简化二次根式
总结词
简化二次根式是提高计算效率和准确性的关键步骤。
详细描述
简化二次根式的方法是通过因式分解、配方法等手段将被开方数化为最简形式。例如，将$sqrt{48}$简化为$4sqrt{3}$。此外，还需注意化简后二次根式的值是否与原式相等。
二次根式的性质
非负性、唯一性、
02
03
同类二次根式
只有同类二次根式才能进行加减运算。
合并同类二次根式
将同类二次根式进行合并，得到最简二次根式。
运算顺序
先进行括号内的运算，再进行加减运算，最后进行乘除运算。
二次根式的加减法运算顺序

(完整版)二次根式的加减法

二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．解：．例2、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．例3、计算下列各题：．思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．例4、计算下列各题．解：例5、化简：总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样则为1，继续运算可避免错误．例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．解：，于是即a＋b=3∴a=2，b=1或a=1，b=2，故x=222，y=888或x=888，y=222．∴x＋y=1110，总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．思路分析：由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．解：原等式两边分别乘以，得两式相加得，所以．A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A．B．C．D．2、下列计算正确的是( )A．B．C．D．3、下列各式化简结果不正确的是（）A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）A．B．C．D．5、计算等于（）A．·1 B．3C．D．6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）A．A B．BC．A、B的中点D．不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．8、若成立，则xy的值为______．9、若，则______．10、已知正数a、b，有下列结论：(1)若a=1，b=1，则；(2)若，则；(3)若a=2，b=3，则；(4)若a=1，b=5，则．根据以上几个命题提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则______．三、解答题11、计算或化简下列各题：12、计算：13、已知，求代数式的值．14、计算．[15、先观察下列等式，再回答问题：（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．一．选择题DDCBDB二．填空题7、△ABC的周长大于6且小于10．8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．9、．10、=13．三．解答题11.12.13..14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为（2）换元法：设，两边同时平方得，所以x2=10，又因为x＞0，所以，即．15.。

二次根式的加减

⼆次根式的加减
◎⼆次根式的加减的定义
⼆次根式加减法法则：
先把式⼦中各项⼆次根式化成最简⼆次根式，然后再合并同类⼆次根式。

1、同类⼆次根式
⼀般地，把⼏个⼆次根式化为最简⼆次根式后，如果它们的被开⽅数相同，就把这⼏个⼆次根式叫做同类⼆次根式。

2、合并同类⼆次根式
把⼏个同类⼆次根式合并为⼀个⼆次根式就叫做合并同类⼆次根式。

3、⼆次根式加减时，可以先将⼆次根式化为最简⼆次根式，再将被开⽅数相同的进⾏合并。

例如：（1）；2+3=5（2）+2=3
4、注意：有括号时，要先去括号。

◎⼆次根式的加减的知识扩展
⼆次根式的加减：先把式⼦中各项⼆次根式化成最简⼆次根式，然后再合并同类⼆次根式。

◎⼆次根式的加减的特性
⼆次根式的加减注意:
①⼆次根式合并同类项与合并同类项类似,因此⼆次根式的加减可以对⽐整式的加减进⾏;
②⼆次根式加减混合运算的是指就是合并同类项⼆次根式,不是同类⼆次根式不能合并。

如+
是最简结果,不能再合并;
③⼆次根式进⾏加减运算时,根号外的系数因式须保留假分数形式,如，不能写成5
④合并同类⼆次根式后若系数为多项式,须添加括号。

◎⼆次根式的加减的教学⽬标
1、知道什么是同类⼆次根式。

2、掌握⼆次根式的加减法运算法则。

3、会进⾏⼆次根式的加减法运算。

4、认识数的拓展过程，感受事物的演绎过程，培养乐学、会学的思想。

◎⼆次根式的加减的考试要求
能⼒要求：理解
课时要求：60
考试频率：常考
分值⽐重：3。

二次根式的加减法

二次根式的加减法二次根式是指根号下含有变量的代数式，表现形式为√a ，其中 a 为非负实数。

在数学中，我们常常需要对二次根式进行加减运算。

本文将详细介绍二次根式的加减法规则，以及一些实用的求解技巧。

一、二次根式的基本性质在进行二次根式的加减法之前，我们需要了解一些二次根式的基本性质，以便于后续运算。

1. 同类项的概念在进行加减法运算时，我们需要保证参与运算的二次根式是同类项。

同类项指的是具有相同根指数和根数的项。

例如，√2 和2√2 就是同类项，因为它们的根指数都为 2，且都是根号下的 2 乘以某个系数。

2. 二次根式的合并在进行加减法运算时，我们可以通过合并同类项的方式简化计算。

合并同类项的基本原则是保留相同根指数和根数，将系数相加或相减。

3. 二次根式的乘法与除法对于二次根式的乘法和除法，我们可以使用以下规则进行计算：•乘法：二次根式的乘法可以通过将根号内的数相乘，并保留相同的根指数和根数，这相当于将系数相乘。

•除法：二次根式的除法可以通过将根号内的数相除，并保留相同的根指数和根数，这相当于将系数相除。

二、二次根式的加法运算二次根式的加法运算可以通过合并同类项的方式进行，具体步骤如下：1.检查所要相加的二次根式是否为同类项，即根指数和根数是否相同。

2.如果是同类项，将系数相加，并保留相同的根指数和根数。

3.如果不是同类项，无法进行直接加法运算，需要将它们转化为同类项后再进行相加。

下面举一个具体的例子来说明二次根式的加法运算：例：计算√2 + 2√2这里的√2 和2√2 是同类项，因为它们的根指数都为 2，且都是根号下的 2 乘以某个系数（1 和 2）。

根据同类项的合并原则，我们将系数相加得到最终结果，即√2 + 2√2 = 3√2 。

三、二次根式的减法运算二次根式的减法运算与加法运算相似，同样是通过合并同类项进行计算。

具体步骤如下：1.检查所要相减的二次根式是否为同类项，即根指数和根数是否相同。