2019版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算课后作业理

合集下载

2019版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算课件文-文档资料

典例2 已知集合 A＝{x|x<－3 或 x>7}，B＝{x|x<2m－ 1}，若 B⊆A，则实数 m 的取值范围是__(－__∞__，__－__1_]_．
方法技巧解决集合概念问题的一般思路
1．研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．见典例 1,2.
经典题型冲关
题型 1 集合的基本概念
典例1 (2016·四川高考)设集合 A＝{x|－2≤x≤2}，Z 为
整数集，则集合 A∩Z 中元素的个数是( )
A．3
BHale Waihona Puke 4C．5D．6本题用列举法．
解析 A 中包含的整数元素有－2，－1,0,1,2，共 5 个，
所以 A∩Z 中的元素个数为 5.故选 C.
第1章集合与常用逻辑用语
1．1 集合的概念与运算
基础知识过关
[知识梳理]
1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号 ∈或∉ 表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
自然数
有理数
C．(0,4)
D．(3,4)
解析集合 B＝(0,4)，故 A∪B＝(－3,4)．故选 B.
(2)若集合 A＝[2,3]，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，则 A∩B＝
()
A．{2,3} B．∅
C．(2,3)

全国版2019版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算课件

5． [2018· 重庆模拟]已知集合 A＝{x∈N|πx<16}， B＝{x|x2 －5x＋4<0}，则 A∩(∁RB)的真子集的个数为( A．1 C．4
解析
)
B．3 D．7
因为 A＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x
＋4<0}＝{x|1<x<4}，故∁RB＝{x|x≤1 或 x≥4}，故 A∩(∁RB) ＝{0,1}，故 A∩(∁RB)的真子集的个数为 3.故选 B.
N*(或 N＋)
整数有理实数集 Z 数集 Q 集 R
考点 2 关系相等子集
集合间的基本关系文字语言符号语言
表示
集合 A 与集合 B 中的所 A⊆B 且 B⊆A 有元素相同 A 中任意一个元素均为 B 中的元素
A⊆B 或 B⊇A
⇔A＝B
表示关系
文字语言 A 中任意一个元素均为
符号语言
4．[2017· 全国卷Ⅰ]已知集合 A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( ) A．A∩B＝{x|x<0} C．A∪B＝{x|x>1}
解析
B．A∪B＝R D．A∩B＝∅
∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．
又 A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选 A.
(2)已知集合 A＝{m＋2,2m2＋m}，若 3∈A，则 m 的值
3 － 2 为________ ．
【变式训练 1】
*

(1)[2018· 昆明模拟]若集合 A＝{x|x2－
4 9x<0，x∈N }，B＝ y ∈N*，y∈N*，则 A∩B 中元素的个 y

高三数学第一轮复习1.1 集合的概念与运算

B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}
∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6}. ∵C={x∈R|-1≤x≤5}, ∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.
B解析-21-关闭关闭答案第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
≥ <
2��, -1
或
�� + 3 2�� >
≥ 4,
2��,解得
a<-4
或
2<a≤3.
综上可得,实数 a 的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).
(-∞,-4)∪(2,+∞)
图(1) 图(2)
关闭
解析答案
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-19-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.判定集合间的基本关系有两种方法.方法一:化简集合, 从表达式中寻找集合的关系;方法二:用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系.
2.解决集合间的基本关系的常用技巧:(1)若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,则常用Venn图求解.
()
A.A=B
B.A∩B=⌀
C.A⊆B
D.B⊆A
思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间的基本关系
的常用技巧有哪些? 关闭
∵A={x|y=ln(x+3)},∴A={x|x>-3}.
又B={x|x≥2},∴B⊆A.

2019高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念及运算练习理

§1.1集合的概念及运算命题探究考纲解读分析解读 1.理解、掌握集合的表示方法,能够判断元素与集合、集合与集合之间的关系.2.能够正确处理含有字母的讨论问题,掌握集合的交、并、补运算和性质.3.要求具备数形结合的思想意识,会借助Venn图、数轴等工具解决集合运算问题.4.命题以集合的运算为主,其中基本知识和基本技能是高考的热点.5.本节在高考中分值为5分左右,属于中低档题.五年高考考点一集合的含义与表示1.(2017课标全国Ⅱ,2,5分)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( )A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}答案 C2.(2016四川,1,5分)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )A.3B.4C.5D.6答案 C3.(2013山东,2,5分)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )A.1B.3C.5D.9答案 C4.(2017江苏,1,5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为. 答案 1考点二集合间的基本关系1.(2015重庆,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( )A.A=BB.A∩B=⌀C.A⫋BD.B⫋A答案 D2.(2013江苏,4,5分)集合{-1,0,1}共有个子集.答案8考点三集合的基本运算1.(2017课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀答案 A2.(2017课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( )A.3B.2C.1D.0答案 B3.(2017天津,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}答案 B4.(2017山东,1,5分)设集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则M∩N=（）A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)答案 C5.(2016课标全国Ⅱ,2,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}答案 C6.(2016天津,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}答案 D7.(2014课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=()A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)答案 A教师用书专用(8—24)8.(2017北京,1,5分)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}答案 A9.(2017浙江,1,5分)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P∪Q=()A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)答案 A10.(2017山东,1,5分)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=()A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)答案 D11.(2016课标全国Ⅲ,1,5分)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)答案 D12.(2016北京,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=()A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}答案 C13.(2016浙江,1,5分)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=( )A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)答案 B14.(2016山东,2,5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)答案 C15.(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}答案 A16.(2015天津,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁U B=( )A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}答案 A17.(2015福建,1,5分)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于( )A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.⌀答案 C18.(2015四川,1,5分)设集合A={x|(x+1)(x-2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=()A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}答案 A19.(2015广东,1,5分)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M∩N=()A.{1,4}B.{-1,-4}C.{0}D.⌀答案 D20.(2014课标Ⅱ,1,5分)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}答案 D21.(2014辽宁,1,5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D22.(2014浙江,1,5分)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A=( )A.⌀B.{2}C.{5}D.{2,5}答案 B23.(2015江苏,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为.答案 524.(2016江苏,1,5分)已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则A∩B=.答案{-1,2}三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一集合的含义与表示1.(2018广东茂名化州二模,1)设集合A={-1,0,1},B={x|x>0,x∈A},则B=( )A.{-1,0}B.{-1}C.{0,1}D.{1}答案 D2.(2017河北冀州第二次阶段考试,1)若集合A={x|x2-7x<0,x∈N*},则集合B=中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 D考点二集合间的基本关系3.(2018四川成都龙泉一中月考,2)已知集合A=,B={x|ax+1=0},且B⊆A,则a的取值组成的集合为( )A.{-3,2}B.{-3,0,2}C.{3,-2}D.{3,0,-2}答案 D4.(2017河南南阳、信阳等六市一模,1)已知集合A={(x,y)|y-=0},B={(x,y)|x2+y2=1},C=A∩B,则C的子集的个数是( )A.0B.1C.2D.4答案 C考点三集合的基本运算5.(2018豫南豫北第二次联考,1)已知集合A={y|y=2x},B={x|y=},则A∩B=()A.{y|y>1}B.{y|y≥1}C.{y|y>0}D.{y|y≥0}答案 B6.(2018江西重点中学第一次联考,1)已知集合M=,则∁R M=( )A.{x|-1<x<1}B.{x|-1<x≤1}C.{x|x<-1或x≥1}D.{x|x≤-1或x≥1}答案 C7.(2017广东惠州第三次调研,1)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{0,1,2}B.{0,1}C.{1,2}D.{1}答案 D8.(2017河南濮阳第二次检测,13)已知集合A={-1,a},B={3a,b},若A∪B={-1,0,1},则a= .答案0B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018广东茂名化州二模,1)若集合A={0,1},B={y|y=2x,x∈A},则(∁R A)∩B=()A.{0}B.{2}C.{2,4}D.{0,1,2}答案 B2.(2018吉林榆树第一高级中学第三次模拟,1)设全集U={1,3,5,6,9},A={3,6,9},则图中阴影部分表示的集合是( )A.{1,3,5}B.{1,5,6}C.{6,9}D.{1,5}答案 D3.(2018四川南充一诊,2)已知集合A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|x=1},则A∩B中的元素有( )A.1个B.1个或2个C.至多1个D.可能2个以上答案 C4.(2017湖南永州二模,2)已知集合P={x|-1≤x≤1},M={a},若P∩M=⌀,则a的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.[1,+∞)C.[-1,1]D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案 D5.(2017河北唐山摸底,1)已知集合A⊆{1,2,3,4,5},且A∩{1,2,3}={1,2},则满足条件的集合A的个数为( )A.2B.4C.8D.16答案 B6.(2016江西南昌十所省重点中学二模,2)设集合A=,B={x|y=ln(x2-3x)},则A∩B中元素的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 A二、填空题(共5分)7.(2017江西九江地区七校联考,14)设A,B是非空集合,定义A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知M={y|y=-x2+2x,0<x<2},N={y|y=2x-1,x>0},则M⊗N= .答案∪(1,+∞)C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 与集合元素有关问题的解题方略1.(2016湖南衡阳八中一模,1)已知集合A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则集合B的子集个数为( )A.3B.4C.7D.8答案 D方法2 集合间的基本关系的解题方法2.(2017河北衡水中学七调,1)已知集合A={x|log2x<1},B={x|0<x<c},若A∪B=B,则c的取值范围是( )A.(0,1]B.[1,+∞)C.(0,2]D.[2,+∞)答案 D3.(2018河北衡水中学模拟,13)已知含有三个实数的集合既可表示成,又可表示成{a2,a+b,0},则a2 017+b2 017等于.答案-1方法3 集合的基本运算的解题方法4.(2017安徽淮北第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},那么a的取值为( )A.a=B.a≤C.a=-D.a≥答案 C5.(人教A必1,一,1-1A,7,变式)设全集U={x∈N|x≤8},集合A={1,3,7},B={2,3,8},则(∁U A)∩(∁U B)=( )A.{1,2,7,8}B.{4,5,6}C.{0,4,5,6}D.{0,3,4,5,6}答案 C方法4 求解集合新定义问题的技巧6.(2018陕西西安长安质检,2)若x∈A,且∈A,则称A是伙伴关系集合,集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A.31B.7C.3D.1答案 B7.(2017湖北武昌一模,1)设A,B是两个非空集合,定义集合A-B={x|x∈A,且x∉B}.若A={x∈N|0≤x≤5},B={x|x2-7x+10<0},则A-B=( )A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,5}答案 D。

2019年高考数学(理科)一轮复习通用版：第一单元集合与常用逻辑用语

第一单元集合与常用逻辑用语第1课集__合[过双基]1．集合的含义及表示(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉. (3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．(4)常用数集的记法：自然数集N ，正整数集N *或N ＋，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 2．集合间的基本关系A B 或B A3．集合的基本运算(1)集合A 是其本身的子集，即A ⊆A ；(2)子集关系的传递性，即A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ；(3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∩∅＝∅，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U . [小题速通]1．(2018·江西临川一中期中)已知集合A ＝{2,0,1,8}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有的元素之和为( )A ．2B ．－2C ．0D. 2解析：选B 若k 2－2＝2，则k ＝2或k ＝－2，当k ＝2时，k －2＝0，不满足条件，当k ＝－2时，k －2＝－4，满足条件；若k 2－2＝0，则k ＝±2，显然满足条件；若k 2－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k 2－2＝8，则k ＝±10，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±10，所以集合B 中的元素之和为－2，故选B.2．(2018·河北武邑中学期中)集合A ＝{x |x 2－7x <0，x ∈N *}，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪6y∈N *，y ∈A 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D A ＝{x |x 2－7x <0，x ∈N *}＝{x |0<x <7，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪6y ∈N *，y ∈A ＝{1,2,3,6}，则B 中元素的个数为4个． 3．(2017·黄冈三模)设集合U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{x ∈N |x 2－5x ＋4<0}，则∁U A 等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,4}D ．{1,3,4}解析：选B 因为集合U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{x ∈N |x 2－5x ＋4<0}＝{x ∈N |1<x <4}＝{2,3}，所以∁U A ＝{1,4}．4．(2017·天津高考)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}解析：选B A ∪B ＝{1,2,4,6}，又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}． 5．(2017·衡水押题卷)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋2)，x ∈A }，则A ∩B 为( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(1,2)D ．[1,2]解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，所以B ＝{y |y ＝log 2(x ＋2)，x ∈A }＝{y |1≤y ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ≤2}．[清易错]1．在写集合的子集时，易忽视空集．2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．3．在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，易忽略A ＝∅的情况．1．(2018·西安质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M ，且2x ∉M }的子集的个数为( )A ．8B ．4C ．3D ．2解析：选B 由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个，故选B.2．已知全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|,2}，∁U A ＝{a ＋3}，则实数a 的值为________．解析：∵∁U A ＝{a ＋3}，∴a ＋3≠2且a ＋3≠|a ＋1|且a ＋3∈U ，由题意，得a ＋3＝3或a ＋3＝a 2＋2a －3，解得a ＝0或a ＝2或a ＝－3，又∵|a ＋1|≠2且A U ，∴a ≠0且a ≠－3，∴a ＝2. 答案：23．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，集合B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数m 组成的集合是________．解析：由题意知A ＝{2,3}，又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . 当m ＝0时，B ＝∅，显然成立；当m ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1m ⊆{2,3}，所以1m ＝2或1m ＝3，即m ＝12或13.故m 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，13.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，13[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度集合的基本概念 5年5考集合的表示、集合元素的性质集合间的基本关系 5年2考子集概念集合的基本运算 5年12考交、并、补运算，多与不等式相结合集合的基本概念[典例] (1)设集合，b ∈B }，则M 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)(2018·厦门模拟)已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．[解析] (1)∵a ∈A ，b ∈B ，∴x ＝a ＋b 为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8，共4个元素．(2)因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6. [答案] (1)B (2)(5,6] [方法技巧]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．[即时演练]1．(2018·莱州一中模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2＋2x －3≤0}，B ＝{C |C ⊆A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C A ＝{x ∈N |(x ＋3)(x －1)≤0}＝{x ∈N |－3≤x ≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B 中元素的个数为4，选C.2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.答案：－32集合间的基本关系[典例] (1)a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，0]∪[3，＋∞)C ．[0,2]D ．[0,3](2)已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若B ⊆(A ∩B )，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)∵C ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋1≤3，解得0≤a ≤2，故实数a 的取值范围为[0,2]．(2)因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A . ①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1]． [答案] (1)C (2)(－∞，－1] [方法技巧]已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Ve nn 图帮助分析．[即时演练]1．设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若B ⊆A ，则m ＝________.解析：由已知得A ＝{x |x ＝－2或x ＝－1}， B ＝{x |x ＝－1或x ＝－m }．因为B ⊆A ，当－m ＝－1，即m ＝1时，满足题意；当－m＝－2，即m＝2时，满足题意，故m＝1或2.答案：1或22．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，实数a的取值范围是(c，＋∞)，则c＝________.解析：由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.答案：41．(2017·山东高考)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝l n(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)解析：选D由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．2．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝()A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：选A根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．角度二：交、并、补的混合运算3．设全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩(∁U B)＝()A．(0,2] B．(－1,2]C．[－1,2]D．[2，＋∞)解析：选D 因为A ＝{x |x >0}，B ＝{x |－1<x <2}，所以∁U B ＝{x |x ≤－1或x ≥2}，所以A ∩(∁U B )＝{x |x ≥2}．4．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<2x <4}，B ＝{x |x －1≥0}，则A ∪(∁U B )＝________. 解析：A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则∁U B ＝{x |x <1}，所以A ∪(∁U B )＝{x |x <2}．答案：{x |x <2}角度三：集合运算中的参数范围5．(2017·上海高考)设集合A ＝{x ||x －2|≤3}，B ＝{x |x <t }，若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是________．解析：因为集合A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x <t }，且A ∩B ＝∅，所以t ≤－1，即实数t 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1] 角度四：集合的新定义问题6．设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )＝( )A ．PB ．M ∩PC ．M ∪PD ．M解析：选B 设全集U ，由题意可得M －P ＝M ∩(∁U P )，所以M －(M －P )＝M ∩P .7．对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M ，对于两个集合A ，B ，定义集合A ΔB＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A ΔB 的结果为________．解析：由题意知当x ∈A 且x ∉B 或x ∈B 且x ∉A 时，有f A (x )·f B (x )＝－1成立，所以A ΔB ＝{1,6,10,12}．答案：{1,6,10,12} [方法技巧]解集合运算问题4个注意点(1)看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)应用数形常用的数形结合形式有数轴和Ve nn 图．(4)创新性问题以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅解析：选A∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故选A.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝() A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选C因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．3．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝()A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析：选A将集合A与集合B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.4．(2014·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{ x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝() A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}解析：选B因为B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，所以A∩B＝{2}，故选B.5．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D.A⊆B解析：选B因为集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－5＜x ＜5}＝R，故选B.一、选择题1．(2017·北京高考)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}解析：选A 由集合交集的定义可得A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．2．设集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |2x ∈N }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 因为A ＝{x |－3<x <3}，B ＝{x |2x ∈N }，所以由2x ∈N 可得A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1，32，2，52，其元素的个数是6.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.4．设集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |x >0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，3) C ．(0,3)D ．(－1,3)解析：选A 因为集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x >0}，所以A ∪B ＝{x |x >－1}．5．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．6．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是( )A ．7B ．10C ．25D ．52解析：选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}．由x ∈A ∩B ，可知x 可取0,1；由y ∈A ∪B ，可知y 可取－1,0,1,2,3. 所以元素(x ，y )的所有结果如下表所示：所以A *B 中的元素共有10个．7．(2017·吉林一模)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B 中只有一个元素，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]解析：选B 由题意知，集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，画出数轴(如图所示)．若A ∩B 中只有一个元素，则0≤a <1，故选B.8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}．由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．二、填空题9．(2018·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析：由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.综上可知，实数a 的值为1或－18.答案：1或－1810．已知集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x －1≥1}．若A ∩B 是集合{x |x ≥a }的子集，则实数a 的取值范围为________．解析：∵由x －1≥1，得x ≥2，∴B ＝{x |x ≥2}．∵A ＝{x |1≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}．若集合A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}是集合{x |x ≥a }的子集，则a ≤2.答案：(－∞，2]11．(2018·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种；②这三天售出的商品最少有________种．解析：设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知：①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)．②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)．由于⎩⎪⎨⎪⎧ 16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，所以0≤y ≤14.所以(43－y )mi n ＝43－14＝29.答案：①16 ②29三、解答题13．已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }．(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．解：(1)因为m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}，所以A ∪B ＝{x |－1<x <4}．(2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．当B ＝∅时，则m ≥1＋3m ，得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A ，须满足⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解得m >3. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． 14．记函数f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B .(1)求A ；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：(1)由2－x ＋3x ＋1≥0，得x －1x ＋1≥0，解得x <－1或x ≥1，即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．(2)由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0，∵a <1，∴a ＋1>2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)，∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1，即a ≥12或a ≤－2， ∵a <1，∴12≤a <1或a ≤－2， ∴实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1.1．已知定义域均为{x |0≤x ≤2}的函数f (x )＝x e x －1与g (x )＝ax ＋3－3a (a >0)，设函数f (x )与g (x )的值域分别为A 与B ，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[1，＋∞) 解析：选B 因为f ′(x )＝1－x e x －1，所以f (x )＝x ex －1在[0,1)上是增函数，在(1,2]上是减函数，又因为f (1)＝1，f (0)＝0，f (2)＝2e，所以A ＝{x |0≤x ≤1}；由题意易得B ＝[3－3a,3－a ]，因为[0,1]⊆[3－3a,3－a ]，所以3－3a ≤0且3－a ≥1，解得1≤a ≤2.2．设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4}，那么集合A 中满足条件“x 21＋x 22＋x 23＋x 24≤4”的元素个数为( )A ．60B ．65C ．80D ．81解析：选D 由题意知，每一个元素都有3种取法，所以元素的个数为34＝81.第2课命题及其关系__充分条件与必要条件[过双基]1．命题2．(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件[1．命题“若a >b ，则ac >bc ”的逆否命题是( )A ．若a >b ，则ac ≤bcB ．若ac ≤bc ，则a ≤bC ．若ac >bc ，则a >bD ．若a ≤b ，则ac ≤bc解析：选B由逆否命题的定义可知，答案为B.2．已知命题p：对于x∈R，恒有2x＋2－x≥2成立；命题q：奇函数f(x)的图象必过原点，则下列结论正确的是()A．p∧q为真B．(綈p)∨q为真C．p∧(綈q)为真D．(綈p)∧q为真解析：选C由指数函数与基本不等式可知，命题p是真命题；当函数f(x)＝1x时，是奇函数但不过原点，则可知命题q是假命题，所以p∧(綈q)是真命题，故选C.3．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是() A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3)解析：选A法一：设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以Q P，因此a≥1.法二：令a＝－3，则q：x>－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B、C；同理，取a＝－4，排除D，选A.4．已知命题p：x≠π6＋2kπ，k∈Z；命题q：si n x≠12，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B令x＝5π6，则si n x＝12，即p⇒/ q；当si n x≠12时，x≠π6＋2kπ或5π6＋2kπ，k∈Z，即q⇒p，因此p是q的必要不充分条件．[清易错]1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．1．“若x，y∈R且x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是()A．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y全不为0B．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2＋y2＝0D．若x，y∈R且xy≠0，则x2＋y2＝0解析：选B原命题的条件：x，y∈R且x2＋y2＝0，结论：x，y全为0.否命题是否定条件和结论．即否命题：“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”．2．设a ，b ∈R ，函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1)，则f (x )>0恒成立是a ＋2b >0成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 充分性：因为f (x )>0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b >0，f (1)＝a ＋b >0，则a ＋2b >0，即充分性成立；必要性：令a ＝－3，b ＝2，则a ＋2b >0成立，但是，f (1)＝a ＋b >0不成立，即f (x )>0不恒成立，则必要性不成立．所以答案为A.[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度四种命题的相互关系及真假判断5年1考与复数有关的命题的真假判断充分条件、必要条件未考查命题的相互关系及真假性 [典例] 0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定(2)原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的依次判断正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假[解析] (1)命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．(2)原命题是：“若a n ＋1<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{a n }为递减数列，n ∈N *，则a n ＋1<a n ”为真命题，所以否命题也为真命题．[答案] (1)B (2)A[方法技巧]命题的关系及真假判断(1)在判断命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．[即时演练]1．已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③解析：选A 命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确．2．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C 易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．充分、必要条件的判定[典例] (1)(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设α：1≤x ≤3，β：m ＋1≤x ≤2m ＋4，m ∈R ，若α是β的充分条件，则m 的取值范围是________．[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.(2)若α是β的充分条件，则α对应的集合是β对应集合的子集，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤1，2m ＋4≥3，解得－12≤m ≤0. [答案] (1)C (2)⎣⎡⎦⎤－12，0 [方法技巧]充要条件的3种判断方法即设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q 的充要条件[1．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y >1，∴x ＋y >2，即p ⇒q . 而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3>2，但不满足x >1且y >1，即q ⇒/ p ．故p 是q 的充分不必要条件．2．已知m ，n ∈R ，则“mn <0”是“抛物线mx 2＋ny ＝0的焦点在y 轴正半轴上”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若“mn <0”，则x 2＝－n m y 中的－n m>0，所以“抛物线mx 2＋ny ＝0的焦点在y 轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线mx 2＋ny ＝0的焦点在y 轴正半轴上”，则x 2＝－n m y 中的－n m >0，即mn <0，则“mn <0”成立，故是充要条件.＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1， ∴条件p 对应的集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1. 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，∴条件q 对应的集合为Q ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．法一：用“直接法”解题綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <12，綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，即B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1，∴0≤a ≤12. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 法二：用“等价转化法”解题∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴根据原命题与逆否命题等价，得p 是q 的充分不必要条件．∴p ⇒q ，即P Q ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1，解得0≤a ≤12.即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. [答案] ⎣⎡⎦⎤0，12 [方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的2个注意点(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时演练]1．(2018·安阳调研)已知p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．若p 是綈q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，∴∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}．∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，∴m >5或m <－3.答案：(－∞，－3)∪(5，＋∞)2．若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－11．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：选C 当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0.综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件．2．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“si n θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6，故si n θ<12.由si n θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．故“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“si n θ<12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒si n θ<12，而当si n θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“si n θ<12”的充分而不必要条件． 3．(2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“| a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．4．(2015·陕西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.5．(2015·重庆高考)“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵x ＞1⇒log 12 (x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，∴“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的充分而不必要条件．一、选择题1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α＝π4 D ．若tan α≠1，则α≠π4解析：选D 逆否命题是将原命题中的条件与结论都否定后再交换位置即可．所以逆否命题为：若tan α≠1，则α≠π4. 2．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C．否命题真D．逆否命题真解析：选D对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.3．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“0<b<1”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交可得|b|2<1，所以－2<b<2，因此，“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”⇒/ “0<b<1”，但“0<b<1”⇒“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”．故选C.4．命题p：“∀x>e，a－ln x<0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≤1 B．a<1C．a≥1 D．a>1解析：选B由题意知∀x>e，a<ln x恒成立，因为ln x>1，所以a≤1，故答案为B.5．a2＋b2＝1是a si nθ＋b cos θ≤1恒成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为a2＋b2＝1，所以设a＝cos α，b＝sin α，则a sin θ＋b cos θ＝si n(α＋θ)≤1恒成立；当a sin θ＋b cos θ≤1恒成立时，只需a sin θ＋b cos θ＝a2＋b2sin(θ＋φ)≤a2＋b2≤1即可，所以a2＋b2≤1，故不满足必要性．6．若向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若“a⊥b”，则a·b＝(x－1，x)·(x＋2，x－4)＝(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝2x2－3x－2＝0，则x＝2或x＝－12；若“x＝2”，则a·b＝0，即“a⊥b”，所以“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件．7．在△ABC中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B在△ABC中，当A＝B时，sin A－sin B＝cos B－cos A显然成立，即必要性成立；当sin A－sin B＝cos B－cos A时，则sin A＋cos A＝sin B＋cos B，两边平方可得sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2，即充分性不成立．则在△ABC 中，“sin A －sin B ＝cos B －cos A ”是“A ＝B ”的必要不充分条件．8．设m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中不正确的是( ) A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件 B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件解析：选C 由垂直于同一条直线的两个平面平行可知，A 正确；显然，当m ⊂α时，“m ⊥β”⇒“α⊥β”；当m ⊂α时，“α⊥β”⇒/ “m ⊥β”，故B 正确；当m ⊂α时，“m ∥n ”⇒/ “n ∥α”， n 也可能在平面α内，故C 错误；当m ⊂α时，“n ⊥α”⇒“m ⊥n ”，反之不成立，故D 正确．二、填空题9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．答案：210．下列命题正确的序号是________．①命题“若a >b ，则2a >2b ”的否命题是真命题；②命题“a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是真命题； ③若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件； ④方程ax 2＋x ＋a ＝0有唯一解的充要条件是a ＝±12.解析：①否命题“若2a ≤2b ，则a ≤b ”，由指数函数的单调性可知，该命题正确；②由互为逆否命题真假相同可知，该命题为真命题；由互为逆否命题可知，③是真命题；④方程ax 2＋x ＋a ＝0有唯一解，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4a 2＝0，a ≠0，求解可得a ＝0或a ＝±12，故④是假命题．答案：①②③11．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2. 答案：(2，＋∞) 12．给出下列四个结论： ①若am 2<bm 2，则a <b ；②已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，若变量y 与z 正相关，则x 与z 负相关； ③“已知直线m ，n 和平面α，β，若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β”为真命题； ④m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充分不必要条件．其中正确的结论是________(填序号)．解析：由不等式的性质可知，①正确；由变量间相关关系可知，当变量y 和z 是正相关时，x 与z 负相关，故②正确；③由已知条件，不能判断α与β的位置关系，故③错误；④当m ＝3时，直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直；当直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直时，(m ＋3)m －6m ＝0，则m ＝3或m ＝0，即m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充分不必要条件，则④正确．答案：①②④ 三、解答题13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.1．下列四个命题中，①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”； ②“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件；③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0且n ≠0”；⑤对空间任意一点O ，若满足OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点一定共面．其中真命题的为________．(填序号)解析：①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”，故①正确；②x ＝4⇒x 2－3x －4＝0；由x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1或x ＝4. ∴“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分不必要条件，故②正确；③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”，是假命题，如m ＝0时，方程x 2＋x －m ＝0有实根，故③错误；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故④错误；⑤∵34＋18＋18＝1，∴对空间任意一点O ，若满足OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点一定共面，故⑤正确．答案：①②⑤2．已知p ：－x 2＋4x ＋12≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)． (1)若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________； (2)若“綈p ”是“綈q ”的充分条件，则实数m 的取值范围为________．解析：由题知，p 为真时，－2≤x ≤6，q 为真时，1－m ≤x ≤1＋m ，令P ＝{x |－2≤x ≤6}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． (1)∵p 是q 的充分不必要条件，∴P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >6或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥6，解得m ≥5， ∴实数m 的取值范围是[5，＋∞)．(2)∵“綈p ”是“綈q ”的充分条件，∴“p ”是“q ”的必要条件， ∴Q ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤6，m >0，解得0<m ≤3，∴实数m 的取值范围是(0,3]．答案：(1)[5，＋∞) (2)(0,3]第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[过双基]1．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断2．全称量词与存在量词3．全称命题和特称命题否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)[1．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题的是()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：选C当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．2．若命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则在下列命题中真命题的是()A．p∧(綈q) B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧q解析：选A由指数函数的性质可知，命题p是真命题，则命题綈p是假命题；显然，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，即命题q是假命题，命题綈q是真命题．所以命题p∧(綈q)是真命题．3．命题“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”的否定为()A．∃x0∈R，x20＋x0＋1≥0 B．∃x0∈R，x20＋x0＋1<0C．∀x∈R，x2＋x＋1≤0 D．∀x∈R，x2＋x＋1<0解析：选B原命题∀x∈R，x2＋x＋1≥0为全称命题，所以原命题的否定为：∃x0∈R，x20＋x0＋1<0.4．若命题p：∃x0，y0∈Z，x20＋y20＝2 018，则綈p为()A．∀x，y∈Z，x2＋y2≠2 018B．∃x0，y0∈Z，x20＋y20≠2 018C．∀x，y∈Z，x2＋y2＝2 018D．不存在x，y∈Z，x2＋y2＝2 018解析：选A原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p：∀x，y∈Z，x2＋y2≠2018.[清易错]1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再。

高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合与集合的运算公开课课件省市一等奖完整版

方法 3 与集合有关的新概念问题的解题策略
与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题,它是化归思想的具体运用,这类试题的特点是:通过给出新的数学概念或新的运算方法,在新的情境下完成某种推理证明,这是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型. 解此类题的一般思路: 1.理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则的含义. 2.利用学过的数学知识进行逻辑推理. 3.对选项进行筛选、验证、定论. 例4 (2016浙江名校协作体测试,8)在n元数集S={a1,a2,…,an}中,设x(S)=
A∩A=A A∪A=A ∁U⌀=U
3.两个常用结论 A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=B⇔A⊆B. 4.设有限集合A,card(A)=n(n∈N*),则 (1)A的子集个数是⑧ 2n ; (2)A的真子集个数是⑨ 2n-1 ; (3)A的非空子集个数是⑩ 2n-1 ; (4)A的非空真子集个数是 2n-2 .
⑥ A⫋B(或B⫌A)
集合相等
集合A与集合B中元素相同,那么 A=B 就说集合A与集合B相等
Venn图表示
考点二集合的运算
1.集合间的运算
名称
自然语言描述
ห้องสมุดไป่ตู้
符号语言表示
并集
对于两个给定集合A、B,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集补集
对于两个给定集合A、B,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的未知元素
集合与其中元素的排列顺序无关,如{a,b,c}与{b,c,a}是相同的集合.这个特性通常被用来判断两个集合的关系

(通用版)2019版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语1第1讲集合及其运算教案理

第1讲集合及其运算集合的含义与表示集合间的基本关系集合的基本运算理解命题的概念.了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.理解全称量词和存在量词的意义. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法A B(或B A )判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ，B ，C 表示同一个集合．( )(2)若a 在集合A 中，则可用符号表示为a ⊆A .( ) (3)若A B ，则A ⊆B 且A ≠B .( )(4)N*N Z .( )(5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×(教材习题改编)已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D答案：B(教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝( )A．{x|3≤x<5} B．{x|2≤x≤3}C．{3，4} D．{3，4，5}解析：选C.因为A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}＝{x∈Z|x≥3}，所以A∩B＝{3，4}．(2017·高考江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即实数a的值为1.答案：1(教材习题改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁R A)∩B＝________．解析：因为∁R A＝{x|x<3或x≥7}，所以(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．答案：{x|2<x<3或7≤x<10}集合的概念[典例引领](1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( )A．1 B．3C．6 D．9(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．【解析】(1)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2. 故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.【答案】 (1)C (2)－32[通关练习]1．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4. 2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．设集合A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A ，3∉A ，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2<1，（3－a ）2≥1 即⎩⎪⎨⎪⎧1<a <3，a ≤2或a ≥4，所以1<a ≤2.答案：1<a ≤2集合间的基本关系[典例引领](1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)由题意知A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，则B A . (2)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 【答案】 (1)B (2)(－∞，3]1.在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅.2.若将本例(2)中的集合A 改为：A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．[通关练习]1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个．2．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的范围为________．解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m >0时，因为A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}．当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述m 的范围为m ≤1. 答案：m ≤1集合的基本运算集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．高考对集合运算的考查主要有以下两个命题角度：(1)集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数的值(范围)．[典例引领]角度一集合间的交、并、补运算(1)(2017·高考天津卷)设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1，2，4} C ．{1，2，4，6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}(2)(2018·南昌市第一次模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，集合B ＝{y |y ＝x ＋1}，那么A ∩(∁U B )＝( ) A ．∅ B ．(0，1] C ．(0，1)D ．(1，＋∞)【解析】 (1)A ∪B ＝{1，2，4，6}，(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}，选项B 符合．(2)由题知，A ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}＝(0，＋∞)，B ＝{y |y ＝x ＋1}＝{y |y ≥1}＝[1，＋∞)，所以A ∩(∁U B )＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0，1)．【答案】 (1)B (2)C角度二已知集合的运算结果求参数的值(范围)(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1，0} C ．{1，3}D ．{1，5}(2)(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{x ∈R |12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[12，1]C ．[23，＋∞)D ．(1，＋∞)【解析】 (1)因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1，3}，选择C. (2)因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥12a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.【答案】 (1)C (2)A(1)集合基本运算的求解策略①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．③根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．(2)集合的交、并、补运算口诀交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．[通关练习]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}解析：选 C.由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，故选C.2．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}解析：选D.依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁R A＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D.3．(2018·河北衡水中学第七次调研)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c}，若A∪B＝B，则c的取值范围是( )A．(0，1] B．[1，＋∞)C．(0，2] D．[2，＋∞)解析：选 D.A＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以c≥2，所以c∈[2，＋∞)，故选D.集合中的创新问题[典例引领](1)定义集合的商集运算为AB ＝{x |x ＝m n，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{x |x ＝k 2－1，k ∈A }，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9(2)如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．【解析】 (1)由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13}，则B A ∪B ＝{0，12，14，16，1，13，2}，共有7个元素，故选B. (2)由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A ∩B ＝{0，6}．【答案】 (1)B (2){0，6}解决集合创新型问题的方法(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．[通关练习]1．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________．解析：由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)2．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“单一元”，给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．解析：符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．答案：6集合运算的性质(1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅. (3)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A .(4)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .(5)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.(6)若集合A 中含有n 个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.易错防范(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．(3)防范空集．在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．1．(2017·高考北京卷)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－2或x >2}，则∁U A ＝( ) A ．(－2，2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C.由已知可得，集合A 的补集∁U A ＝[－2，2]．2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x<1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅解析：选A.集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}，所以A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}．故选A. 3．已知集合A ＝{x ∈R |x －1x＝0}，则满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选C.解方程x －1x＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以A ＝{1，－1}，又A ∪B ＝{－1，0，1}，所以B ＝{0}或{0，1}或{0，－1}或{0，1，－1}，集合B 共有4个．4．已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }，则A ∩B 的真子集个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：选C.由题意，得B ＝{0，1，2，3，2}，所以A ∩B ＝{0，1，2}，所以A ∩B 的真子集个数为23－1＝7.故选C.5．(2018·云南省第一次统一检测)设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x |2x －5>0}，则集合A 与集合B 的关系是( ) A ．B ⊆A B ．B ⊇A C ．B ∈AD ．A ∈B解析：选A.因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝{x |x >52}，所以B ⊆A ，故选A.6．(2018·陕西西安模拟)已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是( ) A ．M ＝N B ．M ∩N ＝N C ．M ∪N ＝ND ．M ∩N ＝∅解析：选B.因为集合M ＝{－1，0，1}．N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，所以N ＝{－1，0}，所以集合M ∩N ＝N .故选B.7．(2018·河南百校联盟联考)若集合A ＝{x |y ＝lg(3x －x 2)}，B ＝{y |y ＝1＋4x ＋1，x ∈A }，则A ∩∁R B 等于( )A ．(0，2]B ．(2，3)C ．(3，5)D ．(－2，－1)解析：选A.因为A ＝(0，3)，所以B ＝(2，5)，所以A ∩∁R B ＝(0，2]．故选A.8．(2018·湖北武昌模拟)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0，1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，5}解析：选 D.因为 A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}＝{x |2<x <5}，A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，所以A －B ＝{0，1，2，5}．故选D.9．(2018·长沙市统一模拟考试)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．1或2解析：选B.当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅.故a 的值为2，选B.10．(2018·安徽省两校阶段性测试)设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．(－∞，32)B ．(1，32)C ．[1，32)D ．(32，3]解析：选B.A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝{x |1<x <32}，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{x |1<x <32}．故选B.11．(2018·安徽淮北第二次模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋2a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若集合M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，那么a 的取值为( ) A ．a ＝12B ．a ≤12C ．a ＝－12D ．a ≥12解析：选C.因为log 2(x －1)<1，所以x －1>0且x －1<2，即1<x <3，则N ＝{x |1<x <3}，因为U ＝R ，所以∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，又因为M ＝{x |x ＋2a ≥0}＝{x |x ≥－2a }，M ∩∁U N ＝{x |x＝1或x ≥3}，所以－2a ＝1，得a ＝－12.故选C.12．(2018·豫北名校联考)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ⊗Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P ⊗Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝12.故P ⊗Q ＝{0，－12，12}，该集合中共有3个元素，所以选B.13．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝________．解析：由于A ∪B ＝{x |x ≤0，或x ≥1}，结合数轴，∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．答案：{x |0<x <1}14．设全集S ＝{1，2，3，4}，且A ＝{x ∈S |x 2－5x ＋m ＝0}，若∁S A ＝{2，3}，则m ＝________．解析：因为S ＝{1，2，3，4}，∁S A ＝{2，3}, 所以A ＝{1，4}，即1，4是方程x 2－5x ＋m ＝0的两根，由根与系数的关系可得m ＝1×4＝4. 答案：415．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A ∩(∁I B )＝________．解析：因为集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，所以∁I B ＝{0，1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．答案：{1}16．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}⊆B ，所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)1．(2018·山东烟台调研)已知集合M ＝{x |x ＝k π4＋π4，k ∈Z }，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π8－π4，k ∈Z ，则( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∪N ＝M解析：选B.由题意可知，M ＝{x |x ＝（2k ＋4）8π－π4，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n π8－π4，n ∈Z ，N ＝{x |x ＝2k π8－π4或x ＝（2k －1）8π－π4，k ∈Z }，所以M ⊆N ，故选B.2．(2018·宁夏银川二中考试)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0，1] B ．[1，＋∞) C ．(0，1)D ．(1，＋∞)解析：选 B.法一：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.法二：因为A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，取c ＝1，则B ＝(0，1)，所以A ⊆B 成立，可排除C ，D ；取c ＝2，则B ＝(0，2)，所以A ⊆B 成立，可排除A.3．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1，0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0，1)．答案：(－∞，－1]∪(0，1) 4．若集合A 具有以下性质：(1)0∈A ，1∈A ；(2)x ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A ，则称集合A 是“完美集”，给出以下结论：①集合B ＝{－1，0，1}是“完美集”； ②有理数集Q 是“完美集”；③设集合A 是“完美集”，若x ，y ∈A ，则x ＋y ∈A ； ④设集合A 是“完美集”，若x ，y ∈A ，则xy ∈A ；⑤对任意的一个“完美集”A ，若x ，y ∈A ，且x ≠0，则y x∈A . 其中正确结论的序号是________．解析：①－1∈B ，1∈B ，但是－1－1＝－2∉B ，B 不是“完美集”； ②有理数集满足“完美集”的定义；③0∈A ，x ，y ∈A ，0－y ＝－y ∈A ，那么x －(－y )＝x ＋y ∈A ；④对任意一个“完美集”A ，任取x ，y ∈A ，若x ，y 中有0或1时，显然xy ∈A ，若x ，y 均不为0，1，而1xy＝12xy ＋12xy ＝1（x ＋y ）2－x 2－y 2＋1（x ＋y ）2－x 2－y2，x ，x －1∈A ，那么1x －1－1x ＝1x （x －1）∈A ，所以x (x －1)∈A ，进而x (x －1)＋x ＝x 2∈A .结合前面的算式，知xy ∈A ；⑤x ，y ∈A ，若x ≠0，那么1x ∈A ，那么由④得yx∈A .故填②③④⑤. 答案：②③④⑤5．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3，5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R |ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z .解：(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋c ×3＋15＝0，c ＝－8，所以B ＝{x ∈R |x 2－8x ＋15＝0}＝{3，5}，又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3，5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7即6x 2＋9x －8≤7，所以2x 2＋3x －5≤0，所以－52≤x ≤1，所以P ＝{x |－52≤x ≤1}，所以P ∩Z ＝{x |－52≤x ≤1}∩Z ＝{－2，－1，0，1}．6．(2018·徐州模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

高三数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念与运算精品课件

• (3)五个关系式A⊆B、A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB) ＝∅是两两等价的．
• 集合是高中数学的基础内容，也是高考数学的必考内容，难度不大，一般是一道选择题或填空题．通过对近两年高考试题的统计分析可以看出，对集合内容的考查一般以两种方式出现：一是考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算．
• (3){x|x2－ax－1＝0}和{a|方程x2－ax－1＝0有实根}的意义不同．{x|x2－ax－1＝0}表示由二次方程x2－ax－1＝0的解构成的集合，而集合{a|方程x2－ax－1＝0有实根}表示方程x2－ax－1＝0有实数解时参数a的范围构成的集合．
【变式训练】 1.现有三个实数的集合，既可以表示为a，ba，1，也可表示为{a2，a＋b,0}，则 a2 011＋b2 011＝________.
命题与量词、基本逻辑联结词
1.了解命题的概念． 2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 3.理解全称量词与存在量词的含义． 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
充分条件、
必要
条件 1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四
与命
种命题的相互关系．
题的 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
①集合 S＝{a＋b 3|a，b 为整数}为封闭集； ②若 S 为封闭集，则一定有 0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S⊆T⊆R 的任意集合 T 也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
序号结论
理由
• 【全解全析】对于任意整数 a1，b1，a2，b2，有 a1＋b1 3＋a2＋b2 3
B．{a|a≤2或a≥4}

教育最新2019版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算精选教案理

第1讲集合的概念与运算1．元素与集合(1)集合元素的特性：__确定性__、__互异性__、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作__a ∈A __；若b 不属于集合A ，记作__b∉A __.(3)集合的表示方法：__列举法__、__描述法___、图示法． (4)常见数集及其符号表示2．集合间的基本关系 __A B __或__B A __∅B 且B ≠∅3．集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示(2)三种运算的常见性质①A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . ②A ∩A ＝__A __，A ∩∅＝__∅__. ③A ∪A ＝__A __，A ∪∅＝__A __.④A ∩∁U A ＝__∅__，A ∪∁U A ＝__U __，∁U (∁U A )＝__A __. ⑤A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)集合{x 2＋x,0}中，实数x 可取任意值．( × ) (2)任何集合都至少有两个子集．( × )(3)集合{x |y ＝x －1}与集合{y |y ＝x －1}是同一个集合．( × ) (4)若A ＝{0,1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，则A ⊆B .( × ) 解析 (1)错误．由元素的互异性知x 2＋x ≠0，即x ≠0且x ≠－1． (2)错误．∅只有一个子集．(3)错误．{x |y ＝x －1}＝{x |x ≥1}，{y |y ＝x －1}＝{y |y ≥0}． (4)错误．集合A 是数集，集合B 是点集．2．(2017·浙江卷)已知集合P ＝{x |－1<x <1}，Q ＝{x |0<x <2}，那么P ∪Q ＝( A ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(1,2)解析根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1,2)．3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x<1}，则( A ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅解析集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}， ∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}．故选A ．4．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝22或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－22，则A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，有2个元素．5．已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，则∁R (A ∪B )＝__{x |x ≤2或x ≥10}__. 解析 ∵A ∪B ＝{x |2<x <10}，∴∁R (A∪B)＝{x |x ≤2或x ≥10}．一集合的基本概念集合元素性质的应用警示(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】 (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( C )A ．1B ．3C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( D ) A ．92 B ．98 C ．0D ．0或98解析 (1)∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2，1,2}．故集合B 中有5个元素．(2)当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.二集合的基本关系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【例2】 (1)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( C ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为__(－∞，3]__.解析 (1)因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C ．(2)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．三集合的基本运算集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．【例3】 (1)(2018·广东汕头期末)已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |x 2≤x }，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( C )A ．(－∞，0)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 (2)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( B )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}(3)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( B ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3D ．1或3解析 (1)因为A ＝{x |y ＝ln (1－2x )}＝{x |1－2x >0}＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12，B ＝{x |x (x －1)≤0}＝[0,1]，所以U ＝A ∪B ＝(－∞，1]，又A ∩B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，所以∁U (A ∩B )＝(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，故选C ．(2)∵2x (x －2)<1，∴x (x －2)<0，∴0<x <2，即A ＝{x |0<x <2}．又∵y ＝ln (1－x )， ∴1－x >0，∴x <1，即B ＝{x |x <1}，∴A ∩B ＝{x |0<x <1}．图中阴影部分表示∁A (A ∩B )， ∴∁A (A ∩B )＝{x |1≤x <2}，故选B ． (3)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴m ∈A ，∴m＝3或m＝m，解得m＝0或3，故选B．四集合中的创新题集合定义新情景的解决方法解决集合的新情景问题，应从以下两点入手：(1)正确理解创新定义，这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质是破解新定义型集合问题的关键，在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．【例4】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为( C)A．77 B．49C．45 D．30解析A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}＝{(－1，0)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(0，－1)}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，A⊕B表示点集．由x1＝－1,0,1，x2＝－2，－1,0,1,2，得x1＋x2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．同理，由y1＝－1，0,1，y2＝－2，－1,0,1,2，得y1＋y2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．当x1＋x2＝－3或3时，y1＋y2可以为－2，－1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点．当x1＋x2＝－2，－1,0,1,2时，y1＋y2可以为－3，－2，－1,0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点．故A⊕B共有2×5＋5×7＝45(个)元素．1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B ＝( C)A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析因为A∩B＝{1}，所以1∈B，即1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}，故选C．2．(2017·北京卷)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝( A) A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}解析由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}，故选A．3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，∵A ⊆C ⊆B ，∴满足条件的集合C 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个，故选D ．4．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝__{0}∪[2，＋∞)__.解析 A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |0<x <2}，则A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．易错点1 不注意检验集合元素的互异性错因分析：对于含字母参数的集合，根据条件求出字母的值后，容易忽略检验是否满足集合元素的互异性及其他条件．【例1】已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 2＋5a ，12，6a －1，且－3∈A ，求实数a 的值．解析 ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 2＋5a ，12，6a －1，且－3∈A ， ∴①当2a 2＋5a ＝－3时，2a 2＋5a ＋3＝0，解得a ＝－1或a ＝－32，其中a ＝－1时，2a 2＋5a ＝6a －1＝－3，与集合元素的互异性矛盾，舍去；a ＝－32时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，12，－125满足题意．②当6a －1＝－3时，a ＝－1，由①知应舍去．综上，a 的值为－32.【跟踪训练1】已知集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3，a －2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{－3}，求A ∪B .解析由A ∩B ＝{－3}知，－3∈B .又a 2＋1≥1，故只有a －3，a －2可能等于－3.①当a －3＝－3时，a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B (－3，－2,1)，A ∩B ＝(1，－3)，故a ＝0舍去．②当a －2＝－3时，a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝(－4，－3,2)，满足A ∩B ＝{－3}，从而A ∪B ＝{－4，－3,0,1,2}．易错点2 忽略空集错因分析：空集是个特殊集合．在以下四种条件中不要忽略B 是空集的情形：①B ⊆A ；②BA (A 非空)；③B ∩A ＝B ；④B ∪A ＝A .【例2】设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________.解析因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1．综上所述，所求实数a 的取值范围是{a |a ≤－1或a ＝1}．答案 (－∞，－1]∪{1}【跟踪训练2】 (2018·江西临川一中月考)已知集合A ＝{x |3≤3x≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值集合．解析 (1)∵3≤32≤27，即31≤3x ≤33，∴1≤x ≤3， ∴A ＝{x |1≤x ≤3}．∵log 2x >1，即log 2x >log 22，∴x >2，∴B ＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，∁R B ＝{x |x ≤2}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}． (2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，当C 为空集时，a ≤1；当C 为非空集合时，可得1<a ≤3. 综上所述，a ≤3.课时达标第1讲[解密考纲]本考点考查集合中元素的性质、集合之间的关系、集合的运算(一般以不等式、函数、方程为载体)，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在靠前的位置，题目难度不大．一、选择题1．(2018·河南郑州质量预测)设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U(A∩B)＝( A)A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{1,3,4} D．{2,3,4}解析因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U(A∩B)＝{1,2,3}，故选A．2．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C ＝( B)A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析A∪B＝{1,2,4,6}，(A∪B)∩C＝{1,2,4}，故选B．3．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( A)A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0<x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A．4．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( A) A．－3∈A B．3∉BC．A∩B＝B D．A∪B＝B解析由题知A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B，故选C．5．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( C)A．5 B．4C．3 D．2解析当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z ＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}中的元素个数为3，故选C．6．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是( B) A．1 B．2C．3 D．4解析由题意可知a1，a2∈M且a3∉M，所以M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．故选B．二、填空题7．设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <12，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12.解析因为N ＝[0,1]，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12. 8．若{3,4，m 2－3m －1}∩{2m ，－3}＝{－3}，则m ＝__1__.解析由集合中元素的互异性，可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝－3，2m ≠－3，2m ≠3，2m ≠4，所以m ＝1．9．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6<0}，B ＝{x |y ＝lg (x －a )}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__(－∞，－3]__.解析因为A ＝(－3,2)，B ＝(a ，＋∞)，A ⊆B ，所以a ≤－3. 三、解答题10．(2018·湖北武汉模拟)设集合A ＝{x |x 2－x －6<0}，B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得A ∩B ＝{x |0≤x <3}成立？若存在，求出a 的值及对应的A ∪B ；若不存在，说明理由．解析 A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |x ≥a }． (1)如图，若A ∩B ＝∅，则a ≥3，所以a 的取值范围是[3，＋∞)．(2)存在，如图，a ＝0时，A ∩B ＝{x |0≤x <3}，此时A ∪B ＝{x |x >－2}．11．已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．解析 (1)m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <4}． (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．①当B ＝∅，即m ≥1＋3m 时，得m ≤－12，满足B ⊆∁R A .②当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，小学+初中+高中小学+初中+高中则⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，1＋3m ≤－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，m >3，解得m >3.综上可知，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． 12．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x －1<8，C ＝{x |2x 2＋mx －m 2<0}(m ∈R )． (1)求A ∪B ；(2)若(A ∪B )⊆C ，求实数m 的取值范围．解析 (1)A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧ x |12<2x －1<8＝{x |0＜x <4}，则A ∪B ＝(－1,4)．(2)C ＝{x |2x 2＋mx －m 2<0}＝{x |(2x －m )(x ＋m )<0}．①当m >0时，C ＝⎝⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，由(A ∪B )⊆C 得⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≤－1，m 2≥4，解得m ≥8；②当m ＝0时，C ＝∅，不合题意；③当m <0时，C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m ，由(A ∪B )⊆C 得⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥4，m 2≤－1解得m ≤－4；综上所述，m ∈(－∞，－4]∪[8，＋∞)．。

2019届高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语第一节集__合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：2．集合间的基本关系3．集合的基本运算(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(4)任何一个集合都至少有两个子集．()(5)若A B，则A⊆B且A≠B.()(6)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(7)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)√(7)×2．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝()A．{1,2,3,4}B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}解析：选A由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．3．(2017·北京高考)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝() A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}解析：选A由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}．4．(2017·北京高考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则∁U A＝() A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．[－2,2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C由已知可得，集合A的补集∁U A＝[－2,2]．5．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x ＝1或x ＝4. 答案：1或46．已知集合P ＝{2,3,4,5,6}，Q ＝{3,4,5,7}，若M ＝P ∩Q ，则M 的子集个数为________．解析：由题意可知，M ＝{3,4,5}，故M 的子集个数为23＝8. 答案：8考点一集合的基本概念 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．(2018·南昌模拟)已知集合M ＝{1,2}，N ＝{3,4,5}，P ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈M ，b ∈N }，则集合P 的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 因为a ∈M ，b ∈N ，所以a ＝1或2，b ＝3或4或5.当a ＝1时，若b ＝3，则x ＝4；若b ＝4，则x ＝5；若b ＝5，则x ＝6.同理，当a ＝2时，若b ＝3，则x ＝5；若b ＝4，则x ＝6；若b ＝5，则x ＝7，由集合中元素的特性知P ＝{4,5,6,7}，则P 中的元素共有4个．3．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.4．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，所以a ≠0，a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.5．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.答案：－32[怎样快解·准解]1．与集合中的元素有关的解题策略(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．常见易错探因第2题，第5题易忽视集合中元素的互异性而导致错误；第3题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形．考点二集合间的基本关系 (基础送分型考点——自主练透)1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A BD ．B A解析：选C 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C.2．(2018·烟台调研)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π4＋π4，k ∈Z ，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π8＋π4，k ∈Z ，则( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∪N ＝M解析：选B 由题意可知，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝(2k ＋4)π8－π4， k ∈Z ，＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2n π8－π4，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π8－π4或，x ＝(2k －1)π8－π4，k ∈Z ，所以M ⊆N ，故选B. 3．(2018·云南第一次检测)设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x |2x －5>0}，则集合A 与B 的关系是( )A ．B ⊆A B ．B ⊇AC ．B ∈AD ．A ∈B解析：选A 因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >52. 在数轴上标出集合A 与集合B ，如图所示，可知，B ⊆A . [题型技法]判断集合间关系的3种方法4．(2018·云南师大附中模拟)集合A ＝{x |x 2－a ≤0}，B ＝{x |x <2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．(－∞，4)C ．[0,4]D ．(0,4)解析：选B 集合A 就是不等式x 2－a ≤0，即x 2≤a 的解集．①当a <0时，不等式无解，故A ＝∅.此时显然满足A ⊆B .②当a ＝0时，不等式为x 2≤0，解得x ＝0，所以A ＝{0}．显然{0}⊆{x |x <2}，即满足A ⊆B .③当a >0时，解不等式x 2≤a ，得－a ≤x ≤a .所以A ＝[－a ，a ]．由A ⊆B 可得，a <2，解得0<a <4.综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{0}∪(0,4)＝(－∞，4)．故选B.5．已知a ∈R ，b ∈R ，若{a ，ln(b ＋1)，1}＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 018＋b 2 018＝________. 解析：由已知得a ≠0，ln(b ＋1)＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 018＋b 2 018＝1.答案：16．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，B ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若B ⊆(A ∩B )，则a 的取值范围为________．解析：因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1] [题型技法]利用集合间关系求解参数问题的策略1．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，则A ∩B ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(2,5]D ．[2,5]解析：选C 由x 2－6x ＋5≤0的解集为{x |1≤x ≤5}，得A ＝[1,5]．由x －2>0，解得x >2，故B ＝(2，＋∞)．把两个集合A ，B 在数轴上表示出来，如图，可知A ∩B ＝(2,5]．2．(2018·湖南湘潭模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ||x |<1}，N ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则集合∁U (M ∪N )＝( )A ．(－∞，－1]B ．(－1,2)C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A 解|x |<1，得－1<x <1，所以M ＝(－1,1)．集合N 中的代表元素为y ，所以该集合是函数y ＝2x ，x ∈R 的值域，即N ＝(0，＋∞)．从而M ∪N ＝(－1，＋∞)．因为U ＝R ，所以∁U (M ∪N )＝(－∞，－1]，故选A. 3.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2} 解析：选D 依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，选D.[解题师说]1．掌握“4种技巧”(1)先“简”后“算”：进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，区分数集与点集等．如求集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x <1的补集，要先进行化简，若直接否定集合P 中元素的性质特征，就会误以为∁R P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x≥1，导致漏解． (2)遵“规”守“矩”：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”，补集的运算要关注“你有我无”的元素．(3)活“性”减“量”：灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律，即∁U (M ∩N )＝(∁U M )∪(∁U N )，∁U (M ∪N )＝(∁U M )∩(∁U N )等简化运算，减少运算量．(4)借“形”助“数”：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍．(如典题领悟第1题)2．谨防“2种失误”(1)进行集合基本运算时要注意对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要注意端点值的取舍．(如典题领悟第2题)(2)求集合的补集时，既要注意全集是什么，又要注意求补集的步骤，一般先求出原来的集合，然后求其补集，否则容易漏解．(如典题领悟第3题、冲关演练第3题)[冲关演练]1．(2017·天津高考)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R|－1≤x ≤5}解析：选B A ∪B ＝{1,2,4,6}，又C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}．2．(2018·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1. 3．(2018·皖北协作区联考)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( )A.⎣⎡⎭⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：选D 因为A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 考点四集合的新定义问题 (重点保分型考点——师生共研)1．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{－1,1,2,3}，定义A #B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪z ＝x y ，x ∈A ，y ∈B ，则A #B 中元素的个数是( )A ．5B ．7C ．10D ．15解析：选B 因为x ∈A ，所以x 可取－1,0,1；因为y ∈B ，所以y 可取－1,1,2,3. 则z ＝xy的结果如下表所示：故A #B 中元素有－1，－12，－13，0，13，12，1，共7个，故选B.2．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意实数对(x 1，y 1)∈M ，都存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪y ＝1x ；②M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }； ③M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}； ④M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}．其中是“垂直对点集”的序号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选C 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0得OA ⊥OB .对于①，对任意A ∈M ，不存在B ∈M ，使得OA ⊥OB .对于②，当A 为点(1,0)时，不存在B ∈M 满足题意．对于③④，对任意A ∈M ，过原点O 可作直线OB ⊥OA ，它们都与函数y ＝e x －2及y ＝sin x ＋1的图象相交，即③④满足题意，故选C.3．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是( )A ．7B ．10C ．25D ．52解析：选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}．由x ∈A ∩B ，可知x 可取0,1；由y ∈A ∪B ，可知y 可取－1,0,1,2,3. 所以元素(x ，y )的所有结果如下表所示：[解题师说]与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．[冲关演练]1．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝0，12，14，16，1，13，则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素，故选B.2．(2018·武昌调研)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{x ∈N|0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}解析：选D 因为A ＝{x ∈N|0≤x ≤5}，所以A ＝{0,1,2,3,4,5}．解不等式x 2－7x ＋10<0，即(x －2)(x －5)<0，得2<x <5.所以B ＝(2,5)．因为A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，而3,4∈B,0,1,2,5∉B ，所以A －B ＝{0,1,2,5}，故选D.3．(2018·广东揭阳一模)非空数集A 若满足：(1)0∉A ；(2)若∀x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R|x 2＋ax ＋1＝0}； ②{x |x 2－4x ＋1<0}； ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝ln xx ，x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1∪(1，e]； ④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪y ＝⎩⎨⎧ 2x ＋25，x ∈[0，1)，x ＋1x ，x ∈[1，2].. 其中“互倒集”的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选C 对于①，当－2<a <2时为空集，所以①不是“互倒集”；对于②，{x |x 2－4x ＋1<0}＝{x |2－3<x <2＋3}，所以12＋3<1x <12－3，即2－3<1x <2＋3，所以②是“互倒集”；对于③，y ′＝1－ln x x 2≥0，故函数y ＝ln xx 是增函数，当x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1时，y ∈[－e,0)，当x ∈(1，e]时，y ∈⎝⎛⎦⎤0，1e ，所以③不是“互倒集”；对于④，y ∈⎣⎡⎭⎫25，125∪⎣⎡⎦⎤2，52＝⎣⎡⎦⎤25，52且1y ∈⎣⎡⎦⎤25，52，所以④是“互倒集”，故选C.(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}． 2．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B A ，B 两集合中有两个公共元素2,4，故选B.3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选C ∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.4．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A 且y ∈A 且x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：选D 由x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A ，得x －y ＝1或x －y ＝2或x －y ＝3或x －y ＝4，所以集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，所以集合B 有10个元素．5．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A解析：选B 因为A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，所以A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，所以B A ，故选B.6．已知集合A ＝{0,1,2m }，B ＝{x |1＜22－x ＜4}，若A ∩B ＝{1,2m }，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(0,1)解析：选C 因为B ＝{x |1＜22－x ＜4}，所以B ＝{x |0＜2－x ＜2}，所以B ＝{x |0＜x ＜2}．在数轴上画出集合B ，集合A ∩B ，如图1或图2所示，从图中可知，0＜2m ＜1或1＜2m ＜2，解得0＜m ＜12或12＜m ＜1，所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫12，1.故选C. 7．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}8．设集合A ＝{x |(x －a )2＜1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＜1，(3－a )2≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧1＜a ＜3，a ≤2或a ≥4，所以1＜a ≤2. 答案：(1,2]9．设A ，B 为两个集合，下列四个命题：①A ⃘B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ；②A ⃘B ⇔A ∩B ＝∅； ③A ⃘B ⇔B ⃘A ；④A ⃘B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B . 其中真命题的序号是________．解析：如果对任意x ∈A ，有x ∈B ，则A ⊆B ，若A 中至少有一个元素不在B 中，即存在x ∈A ，使得x ∉B ，则A 不是B 的子集．所以④是真命题．答案：④10．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4. 答案：(4，＋∞)B 级——中档题目练通抓牢1．(2018·湘中名校高三联考)已知集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z}，则A ∩B 等于( )A ．{2}B ．{2,8}C ．{4,10}D ．{2,8,10}解析：选B 因为集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}＝{x |－1＜x ＜12}，集合B 为被6整除余数为2的数．又集合A 中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A ∩B ＝{2,8}，故选B.2．(2018·河北衡水中学月考)设A ，B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )}，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ＞0}，则A ×B ＝( )A ．[0,1]∪(2，＋∞)B ．[0,1)∪[2，＋∞)C ．[0,1]D ．[0,2]解析：选A 由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]，所以A ×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．3．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．4．(2018·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ； ②若a 3∉A ，则a 2∉A ； ③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}5．已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，∵A ＝{x |－1<x <3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .∴0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]6．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． (1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}． (2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3. 故实数a 的取值范围是(2,3)．7．已知集合A ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值．(2)设集合P ＝{x ∈R|ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z. 解：(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋c ×3＋15＝0，解得c ＝－8，所以B ＝{x ∈R|x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}．又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7，即为6x 2＋9x －8≤7，所以2x 2＋3x －5≤0，所以－52≤x ≤1，所以P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－52≤x ≤1，所以P ∩Z ＝{－2，－1,0,1}． C 级——重难题目自主选做1．对于非空集合A ，B ，定义运算：A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．已知非空集合M ＝{x |a ＜x ＜b }，N ＝{x |c ＜x ＜d }，其中a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab ＜cd ＜0，则M ⊕N ＝( )A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a )∪(d ，b )C ．(c ，a )∪[b ，d )D ．(a ，c ]∪[d ，b )解析：选D 由M ＝{x |a ＜x ＜b }，得a ＜b .又ab ＜0，∴a ＜0＜b .同理可得c ＜0＜d ，由ab ＜cd ＜0，c ＜0，b ＞0可得a c ＞db ，∴a －c c ＞d －b b .又∵a ＋b ＝c ＋d ，∴a －c ＝d －b ，∴d －b c ＞d －bb ，∵c ＜0，b ＞0，∴d －b ＜0，因此a －c ＜0，∴a ＜c ＜0＜d ＜b ，∴M ∩N ＝N ，∴M ⊕N ＝{x |a ＜x ≤c 或d ≤x ＜b }＝(a ，c ]∪[d ，b )．故选D.2．已知k 为合数，且1＜k ＜100，当k 的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为k 的“衍生质数”．(1)若k 的“衍生质数”为2，则k ＝________；(2)设集合A ＝{P (k )|P (k )为k 的“衍生质数”}，B ＝{k |P (k )为k 的“衍生质数”}，则集合A ∪B 中元素的个数是________．解析：(1)依题意设k ＝10a ＋b (a ∈N *，b ∈N)，则a ＋b ＝2，又a ∈N *，b ∈N ，则a ＝2，b ＝0，故k ＝20；(2)由(1)知“衍生质数”为2的合数有20，同理可推“衍生质数”为3的合数有12,21,30，“衍生质数”为5的合数有14,32,50，“衍生质数”为7的合数有16,25,34,52,70，“衍生质数”为11的合数有38,56,65,74,92，“衍生质数”为13的合数有49,58,76,85,94，“衍生质数”为17的合数有98，所以集合A 有7个元素，集合B 有23个元素，故集合A ∪B 中有30个元素．答案：20 30(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C ∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.2．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A解析：选B 因为A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，所以A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，所以B A .3.(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2,3,5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( )A ．147B ．140C ．130D ．117解析：选B 由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，不与y ＝3，y ＝5时有相同的元素，当y ＝3，x ＝5,15,25，…，95时，与y ＝5，x ＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140.4.(2018·河北衡水调研)已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选D A ＝{x |log 2x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以c ≥2. 5.(2018·河北正定中学月考)已知集合P ＝{y |y 2－y －2>0}，Q ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}．若P ∪Q ＝R ，且P ∩Q ＝(2,3]，则a ＋b ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．1解析：选A P ＝{y |y 2－y －2>0}＝{y |y >2或y <－1}．由P ∪Q ＝R 及P ∩Q ＝(2,3]，得Q ＝[－1,3]，所以－a ＝－1＋3，b ＝－1×3，即a ＝－2，b ＝－3，a ＋b ＝－5，故选A.6．设集合A ＝{x |(x －a )2＜1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＜1，(3－a )2≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧1＜a ＜3，a ≤2或a ≥4，所以1＜a ≤2. 答案：(1,2]7．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}8.设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝______________. 解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}， ∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}．答案：{x |－3＜x ≤－1}9.(2018·江西玉山一中月考)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵3≤3x ≤27，即31≤3x ≤33，∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}．∵log 2x >1，即log 2x >log 22，∴x >2，∴B ＝{x |x >2}．∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}． ∴∁R B ＝{x |x ≤2}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}． (2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，C ⊆A . 当C 为空集时，满足C ⊆A ，a ≤1；当C 为非空集合时，可得1<a ≤3.综上所述，a ≤3.实数a 的取值范围是(－∞，3]．10．已知集合A ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值．(2)设集合P ＝{x ∈R|ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z. 解：(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋c ×3＋15＝0，解得c ＝－8，所以B ＝{x ∈R|x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}．又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7，即为6x 2＋9x －8≤7，所以2x 2＋3x －5≤0，所以－52≤x ≤1，所以P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－52≤x ≤1，所以P ∩Z ＝{－2，－1,0,1}． B 级——拔高题目稳做准做1．对于非空集合A ，B ，定义运算：A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．已知非空集合M ＝{x |a ＜x ＜b }，N ＝{x |c ＜x ＜d }，其中a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab ＜cd ＜0，则M ⊕N ＝( )A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a )∪(d ，b )C ．(c ，a )∪[b ，d )D ．(a ，c ]∪[d ，b )解析：选D 由M ＝{x |a ＜x ＜b }，得a ＜b .又ab ＜0，∴a ＜0＜b .同理可得c ＜0＜d ，由ab ＜cd ＜0，c ＜0，b ＞0可得a c ＞db ，∴a －c c ＞d －b b .又∵a ＋b ＝c ＋d ，∴a －c ＝d －b ，∴d －b c ＞d －bb ，∵c ＜0，b ＞0，∴d －b ＜0，因此a －c ＜0，∴a ＜c ＜0＜d ＜b ，∴M ∩N ＝N ，∴M ⊕N ＝{x |a ＜x ≤c 或d ≤x ＜b }＝(a ，c ]∪[d ，b )．故选D.2.设平面点集A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎭⎫(y －x )⎝⎛ y －1x≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )A.34π B.35π C.47π D.π2解析：选D 不等式(y －x )·⎝⎛⎭⎫y －1x ≥0可化为⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x ≤0.集合B 表示圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A ∩B 所表示的平面区域如图所示．曲线y ＝1x ，圆(x －1)2＋(y －1)2＝1均关于直线y ＝x 对称，所以阴影部分占圆面积的一半，即为π2.3.已知集合A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1}， B ＝(－∞，1]∪[4，＋∞)，由已知A ∩B ＝∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥1，a ＋1≤4，所以2≤a ≤3.答案：[2,3]4．(2018·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ； ②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}5.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)因为A ∩B ＝[0,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.所以m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，因为A ⊆∁R B ，所以m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．6.若集合M ＝{x |－3≤x ≤4}，集合P ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． (1)证明M 与P 不可能相等；(2)若集合M 与P 中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m 的取值范围．解：(1)证明：若M ＝P ，则－3＝2m －1且4＝m ＋1，解得m ＝－1且m ＝3，不成立．故M 与P 不可能相等．(2)若P M ，当P ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1<4，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3<2m －1，m ＋1≤4，m ＋1≥2m －1，解得－1≤m ≤2；当P ＝∅时，有2m －1>m ＋1，解得m >2，即m ≥－1；若M P ，则⎩⎪⎨⎪⎧－3≥2m －1，4<m ＋1，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3>2m －1，4≤m ＋1，m ＋1≥2m －1，无解．综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是P M ，此时必有m ≥－1，即实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充要条件1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－8<0”是命题．()(2)一个命题非真即假．()(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.()(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()(5)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．3．在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由正弦定理知asin A＝bsin B＝2R(R为△ABC外接圆半径)．若sin A>sin B，则a 2R >b 2R，即a >b ，所以A >B ；若A >B ，则a >b ，所以2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B ，所以“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的充要条件．4．(2018·唐山一模)若x ∈R ，则“x >1”是“1x <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当x >1时，1x <1成立，而当1x <1时，x >1或x <0，所以“x >1”是“1x<1”的充分不必要条件，选A.5．“若a <b ，则ac 2<bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析：原命题：“若a <b ，则ac 2<bc 2”，这是假命题，因为若c ＝0时，由a <b ，得到ac 2＝bc 2＝0，不能推出ac 2<bc 2.逆命题：“若ac 2<bc 2，则a <b ”，这是真命题，因为由ac 2<bc 2得到c 2>0，所以两边同除以c 2，得a <b ，因为原命题和逆否命题的真假性相同，逆命题和否命题的真假性相同，所以真命题的个数是2.答案：26．设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的________条件．解析：a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，若a ⊥b ，则a·b ＝0，即(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，解得x ＝2或x ＝－12， ∴x ＝2⇒a ⊥b ，反之a ⊥b ⇒x ＝2或x ＝－12， ∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．答案：必要不充分考点一四种命题的相互关系及真假判断 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]1．(2018·武汉模拟)对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列叙述正确的是() A．否命题是“正弦函数是分段函数”B．逆命题是“分段函数不是正弦函数”C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”D．以上都不正确解析：选D原命题可写成“若一个函数是正弦函数，则该函数不是分段函数”，否命题为“若一个函数不是正弦函数，则该函数是分段函数”，逆命题为“若一个函数不是分段函数，则该函数是正弦函数”，逆否命题为“若一个函数是分段函数，则该函数不是正弦函数”，可知A、B、C都是错误的，故选D.2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题解析：选A可以考虑原命题的逆否命题，即a，b都小于1，则a＋b<2，显然为真．其逆命题，即若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2为假，如a＝1.2，b＝0.2，则a＋b<2.3．命题“已知a>1，若x>0，则a x>1”的否命题为()A．已知0<a<1，若x>0，则a x>1B．已知a>1，若x≤0，则a x>1C．已知a>1，若x≤0，则a x≤1D．已知0<a<1，若x≤0，则a x≤1解析：选C命题中，“已知a>1”是大前提，在四种命题中不能改变；“x>0”是条件，“a x>1”是结论．由于命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，故该命题的否命题为“已知a>1，若x≤0，则a x≤1”．故选C.[怎样快解·准解]1．判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(如第2题逆命题的真假判断)(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．(如第2题原命题的真假判断) 2．谨防3类失误(1)如果原命题是“若p ，则q ”，则否命题是“若綈p ，则綈q ”，而命题的否定是“若p ，则綈q ”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．(2)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写．(如第1题)(3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．(如第3题)考点二充分、必要条件的判断 (重点保分型考点——师生共研)1．(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2.∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．2．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由2－x ≥0，得x ≤2，由|x －1|≤1，得0≤x ≤2.∵0≤x ≤2⇒x ≤2，x ≤2⇒/ 0≤x ≤2，故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．3．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1，或y ≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．4．(2018·江西鹰潭中学月考)设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是()A．x<0 B．x<0或x>4C．|x－1|>1 D．|x－2|>3解析：选C依题意，f(x)>0⇔x2－4x>0⇔x<0或x>4.又|x－1|>1⇔x－1<－1或x－1>1，即x<0或x>2，而{x|x<0或x>4} {x|x<0或x>2}，因此选C.[解题师说]1．熟记判断充分、必要条件的3种方法(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．[冲关演练]1．(2018·安徽两校阶段性测试)设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D ∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D.2．对于直线m ，n 和平面α，β，m ⊥α成立的一个充分条件是( )A ．m ⊥n ，n ∥αB ．m ∥β，β⊥αC ．m ⊥β，n ⊥β，n ⊥αD ．m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α解析：选C 对于选项C ，因为m ⊥β，n ⊥β，所以m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α，故选C.3．(2018·湖南湘中名校联考)“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由log 2(2x －3)<1⇒0<2x －3<2⇒32<x <52，4x >8⇒2x >3⇒x >32，所以“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件，故选A.考点三根据充分、必要条件求参数的范围 (重点保分型考点——师生共研)1．(2018·保定模拟)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 2．(2018·石家庄模拟)已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：法一：由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴綈p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}，设A ＝{x |x >10或x <－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴綈q 对应的集合为{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}，设B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9，∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．法二：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，又由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}，设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，N M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．答案：[9，＋∞)[解题师说]1．解题“2关键”(1)把充分、必要条件转化为集合之间关系．(2)根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．2．解题“1注意”求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(如典题领悟第2题)[冲关演练]1．(2017·湖北新联考四模)若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]解析：选D ∵x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，∴(－1,4) (2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.2．(2018·广州模拟)已知p ：(x ＋3)(x －1)>0，q ：x >a 2－2a －2，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．[－1,3]解析：选C 由p ：(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1，要使得綈p 是綈q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，即q ⇒p ，p ⇒/ q ．所以a 2－2a －2≥1，解得a ≤－1或a ≥3，故选C.(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．3．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．4．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C依题意，若A⊆C，则∁U C⊆∁U A，若B⊆∁U C，可得A∩B＝∅；若A∩B ＝∅，不妨令C＝A，显然满足A⊆C，B⊆∁U C，故满足条件的集合C是存在的．5．命题p：“若x2<1，则x<1”的逆命题为q，则p与q的真假性为()A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假解析：选B q：若x<1，则x2<1.∵p：x2<1，则－1<x<1.∴p真，当x<1时，x2<1不一定成立，∴q假，故选B.6．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件。

2019版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念与运算课件文

C．{x|1<x≤2}
D．{x|1≤x≤2}
本题用转化法、数形结合法．
解析解不等式 x2－2x>0，即 x(x－2)>0，得 x<0 或 x>2，故 A＝{x|x<0 或 x>2}．集合 B 是函数 y＝lg (x－1)的定义域，由 x－ 1>0，解得 x>1 ，所以 B＝ {x|x>1} ．易知 ∁ UA＝ {x|0≤x≤2} ，所以 ( ∁ UA)∩B ＝ {x|0≤x≤2}∩{x|x>1} ＝ {x|1<x≤2}．故选 C.
UA)∪(∁UB)． (4)若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集个数为 2n
个，非空子集个数为 2n－1 个，真子集有 2n－1 个，非空真子集的个数为 2n－2 个．
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是 {1,4}．( × ) (2)若集合 A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝ x2}，则 A，B，C 表示同一个集合．( × ) (3)设集合 A＝{0,1}，若 B＝{x|x⊆A}，则 A⊆B.( × ) (4)设集合 A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2＝1}，若 A⊆B，则 a ＝1 或－1.( × )
冲关针对训练
1．(2017·天津高考)设集合 A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝
{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2}
B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析 A∪B＝{1,2,4,6}．又 C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．故选 B.

近年高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算课后作业理(2021年整理)

2019版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念与运算课后作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念与运算课后作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念与运算课后作业理的全部内容。

1．1 集合的概念与运算［基础送分提速狂刷练]一、选择题1．（2017·山西八校联考)已知集合A＝{x｜x2－2x－3≤0}，B＝｛x|0<x≤4}，则A∪B＝（)A．[－1，4] B．(0,3]C．（－1，0］∪（1,4］D．［－1,0］∪（1,4]答案A解析A＝{x｜x2－2x－3≤0｝＝{x|－1≤x≤3｝，故A∪B＝[－1，4]．故选A.2．(2018·石家庄质检）设集合A＝｛x|(x＋1)（x－3）<0}，B＝｛x|2〈x<4}，则A∩B＝（）A．｛x|－1〈x〈3} B．｛x｜－1〈x〈4｝C．｛x|1〈x<2｝D．｛x|2<x<3｝答案D解析因为A＝{x｜(x＋1）(x－3)<0}＝{x｜－1〈x〈3｝，所以A∩B＝｛x|2<x<3}．故选D。

3．已知集合M＝{－1，0，1},N＝{y错误!，则集合M∩N的真子集的个数是（)A．4 B．3 C．2 D．1答案B解析因为N＝{0,1，2},所以M∩N＝{0，1｝,其真子集的个数是3。

故选B。

4．（2018·济南质检)已知集合A＝{x｜x(x－1）〈0｝，B＝｛x|e x>1}，则(∁R A)∩B＝（）A．［1,＋∞) B．（0，＋∞）C．（0，1）D．[0,1］答案A解析依题意得，A＝｛x｜0〈x<1｝，则∁R A＝{x｜x≤0或x≥1｝，B＝｛x｜A）∩B＝{x｜x≥1｝＝[1，＋∞)．故选A.x>0},故(∁R5．若集合M＝｛x||x|≤1｝，N＝{y｜y＝x2,｜x|≤1｝，则( ）A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅答案C解析M＝{x||x｜≤1｝＝［－1,1］，N＝｛y｜y＝x2，|x|≤1}＝［0,1]，所以N⊆M.故选C.6．(2017·山西模拟)设全集U＝R，集合A＝{x∈N|x2<6x｝，B＝{x∈N｜3<x<8}，则如图阴影部分表示的集合是( )A．｛1，2，3,4，5}B．{1,2,3,6,7}C．｛3，4｝D．{4,5，6，7｝答案B解析∵A＝{x∈N|x2<6x}＝{x∈N｜0<x<6｝＝｛1，2，3，4，5}，B＝{x ∈N｜3<x<8｝＝｛4,5,6,7}，∴图中阴影部分表示的集合是｛1，2，3，6，7｝，故选B.7．（2018·中山模拟）已知集合A＝{x错误!y＝错误!｝,B＝{y错误!，则A∩B ＝（）A．(0，1］B．（0,1）C．（－∞，0] D．[0,1］答案B解析由y＝错误!得错误!解得0<x〈1，即A＝（0,1）．由y＝错误!x2－x ＋错误!＝错误!（x－1）2≥0，得B＝[0，＋∞)，故A∩B＝(0,1)．故选B。

2019版高考数学(理科,课标A版)一轮复习讲义：§11 集合的概念及运算.docx

第一章集合与常用逻辑用语命题探究§1.1集合的概念及运算考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 1 •集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系；②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题了解 2017课标全国 U,2;2016四川，1题★ ★★2 •集合间的基本关系① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；② 在具体情境中，了解全集与空集的含义2015 重庆，1; 2013江苏,4 选择题3 •集合的基本运算① 理解两个集合的并集弓交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集；③ 能使用韦恩（Verm ）图表达集合间的关系及运算as2017课标全国I ,1； 2016课标全国 I ,1； 2014 课标I ,1醪题 ★ ★★分析解读1 •理解、掌握集合的表示方法.能够判断元素与集合、集合与集合之间的关系2能够正确处理含有字母的讨论问题，掌握集合的交、并、补运算和性质.3 .要求具备数形结合的思想意识,会借助Venn 图、数轴等工具解决集合运算问题.4.命题以集合的运算为主,其中基本知识和基本技能是高考的热点.5.本节在高考中分值为5分左右,属于中低档题.能力要求） ------------------- 会僧绝对值不等式；理解正裟映数的性质；理解築合间的包含关系；理舗充分必要条件的盘义卢> 核心考点） -------------1.充分必製条件的判断 2绝对值不等式的解法 3止弦函数的图彖和性质〜命题规律〕 ------------------------ 以充分条件.必耍条件为栽休.考賁不等式的解法.零价转化思想■ 集合之间的关系，常以选择題的形式岀现，分值约为5分孕易错警示} 错解：B0<0<^.nRin 氐丄台-<+2jbt<0<?*2后，2 b b keZ.因为-乎+"”<氐尹2后 OeZ ）->（kX 讣反之不成立•所以为必耍不充分条件.（逻出关系与集合关系的转化岀错〉错因分析：命題的逻辑关系与集合何的包含关系紧密相关.一般来说 “小范国=> 大范圃” •错解中关系考出反r申储备知识） ----------------------充分条件•必耍条件与集合的关系：如果集合**1龙满圧条件从集合 B ・{xk 満足朵件从则仏⑴若*6,則p ・g,UPp 是q 的充分条件；（2）若4 = 則g*・即P 是g 的必要条件；⑶若“乩则勺•即刃切的充要条件；（4）若人创 1L 必人则p 址g 的既不充分也不必要条件(2017天津.4. 5分)的A. 充分何不必要条件B. 必要而不充分条件C.充要条件m ch 八 u 、思路分析化简两个Cl知不第何的关系.利用为义,即可得別结论F 式.结合集合之［分必耍条件的定孕解答过程】 ----------------------答案:A 解析：||林-卡計辽C 说心寻 <寻台0<氐罟， p«in &< } — -^+2/TK <9< § +2A ：x,址乙由（0.#烘罟*2后，舟+2耳的充分不必5?条件.解法二|e -誇|v 誇台0v6<W ^sin 6ky,当0 0时.8inO<y f 但不漏足卜誇|<誇，所以足充分不必耍条件.选AL ）•既不充分也不必耍条件没OER. M "I 亠二lv IT ■・址sin 火亠"12五年高考考点一集合的含义与表示1.（2017 课标全国U 25 分）设集合A二{124}后{xlx—x+nrf}.若ACB={1},则B=（）A.{1,-3}答案c2.（2016四川，1,5分）设集合gxl-20W2},Z为整数集，则集合AQZ中元素的个数是（）A.3B.4C.5D.6答案C3.（2013山东,2,5分）已知集合A二{0,1,2},则集合B={x-y lx^A,yWA}中元素的个数是（）A.lB.3C.5D.9答案C4.(2017江苏,1,5分)已知集合A二{l,2},B={a,a*3}.若ACB={1},则实数a的值为 __________答案1考点二集合间的基本关系1.(2015重庆,1,5分)已知集合A二{123}后{2,3},则( )A.A=BB.Ai^B=nC.AOBD.BOA答案D2.(2013江苏,4,5分)集合{・1,0,1}共有_______ 个子集.答案8考点三集合的基本运算1.(2017课标全国I ,1,5分)已知集合A={xlx<l},B={xl3x<l} )A.AHB=(xlx<0}B.AUB=RC.AUB=(xlx>l}D.AnB=D答案A2.(2017 课标全Bin,1,5 分)已知集合A={(x,y)lx2+y=l}»B={(x,y)ly=x},则ACB 中元素的个数为(A.3B.2C.lD.O答案B3.(2017 天津,1,5 分)设集合A={l,2,6)»B={2,4),C={xeR|-l<x<5} JU(AUB)nc=( )A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{xERI・lWxW5}答案B4.(2016 课标全国I ,1,5 分)设集合A={x I x2-4x+3<0},B={x 12x-3>0},则ACB=( )A. B. C. D.答案D5.(2016课标全国U ,2,5 分)已知集合A={l,2,3),B={xl(x+l)(x-2)<0,xez},MAUB=( )A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}答案C6.(2016 天津,1,5 分)已知集合A={l,2,3,4),B={yly=3x-2,xeA},J!!lAnB=( )A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}答案D7.(2014课标I ,1,5 分)已知集合A={xlx2-2x-3^0},B={xl-2^x<2),则ACB=( )A.[-2,-1]B.[-l,2)C.[-l,l]D.[l,2)答案A教师用书专用(8—24)8.(2017北京,1,5分)若集合A={xl-2<x<l},B={xlx<-1 或x>3},则AAB=( )A.(xl-2<x<-l}B.(xl-2<x<3)C.{xl-1<X<1}D.{xll<x<3}答案A9.(2017浙江,1,5 分)已知集合P={xl-l<x<l} ,Q={xl0<x<2}，则PUQ=( )A.(-1,2)B.(0,l)C.(-l,0)D.(l,2)答案A10.(2017山东,1,5分)设函数y二的定义域为A,函数y=ln(l -x)的定义域为B,则AAB=()A.(1,2)B.(l,2]C.(-2,l)D.[-2,l)答案D11.(2016课标全国皿,1,5分)设集^S={xl(x-2)(x-3)>0},T={xlx>0},则S(1T=()A.[2,3]B.(-°O,2]U[3,+OO)C.[3,+S)D.(0,2]U[3,+B)答案D12.(2016 北京，1,5 分)已知集合A={xllxl<2},B={-l,0,l,2,3},则AQB=( )A.(0,1)B.(0,l,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}答案C13.(2016 浙江,1,5 分)已知集合P二{xURIlWxW3},Q={xWRIx2p4}、则PU((R Q)=( )A.[2,3]B.(・2,3]C.[l,2)D.(・8,-2]U[1,+OO)答案B14.(2016 山东,2,5分)设集合A二{yly二2x,xER},B={xlx2-l<0},则AUB=( )A.(-1,1)B.(0,l)C.(-l,+°°)D.(0,+8)答案C15.(2015 课标n, 1,5 分)已知集合A={-2,-l,0,l,2),B={xl(x-l)(x+2)<0},则AQB=( )A.{-1,0} C.{-1,0,1} D.(0,l,2}答案A16.(2015 天津,1,5 分)已知全集U二{1,2,3,4,5,6,7,8},集合A二{2,3,5,6},集合,3,4,6,7},则集合 A 门血()A.{2,5}B.(3,6}C.(2,5,6}D.{2,3,5,6,8}答案A17.(2015福建，1,5分)若集合AMi,i2,i',r}(i是虚数单位)，隹{1,・1},则人门3等于()A.{-1}B.{1}C.(l,-1}D.口答案C18.(2015 四川，1,5 分)设集合A二{xl(x+l)(x-2)<0},集合B={xll<x<3),则AUB=( )A.(xI -l<x<3}B.(xI -1<X<1}C.(xIl<x<2}D.(xl2<x<3)答案A19.(2015 广东,1,5 分)若集合M={xl(x+4)(x+l)=0},N={xl(x-4)(x-l)=0},则MCN=( )A.{1,4}B.{-l,-4}C.{0}D.口答案D20.(2014课标II ,1,5 分)设集合归{0,l,2},N={xlx2.3x+2W0},5!!lMCN=( )A.{1}B.{2}C.(0,l}D.{1,2)答案D21.(2014 辽宁,1,5 分)已知全集U二R,A二{xlxW0},B={xlxMl},则集合]u(AUB)=( )A. {x 1x^0} BjxlxWl}C.{xlOWxWl}D.(xl0<x<l}答案D22.(2014 浙江，1,5 分)设全集U二{xWNIxM2},集合A二{x^NIx 空5},则[山二( )A.口B.{2}C.{5}D.{2,5}答案B23.(2015江苏,1,5分)已知集合A二{1,2,3}后{2,4,5},则集合人餌中元素的个数为_________ .答案524.(2016 江苏,1,5 分)已知集合A={-l,2,3,6},B={xl-2<x<3},则AAB= ___________ .答案{-1,2}三年模拟A组2016—2018年模拟•基础题组考点一集合的含义与表示1.(2018 广东茂名化州二模」)设集合A二{・101},B={xlx>0,xWA}^!lB=( )A.（-LO） C.（OJ） D.{1}答案D2・（2017河北冀州第二次阶段考试J）若集合A=（xlx2-7x<0, x丘N）则集合匸中元素的个数为（）A.lB.2C.3D.4答案D考点二集合间的基本关系3.（2018四川成都龙泉一中月考,2）已知集合A=,B= {xIax+1 =0},且BUA,则a的取值组成的集合为（）AJ-3,2} BJ-3,O,2} C.{3,・2} D・{3,0,・2}答案D4.(2017河南南阳、信阳等六市一模,1)已知集合A={ (x, y) I y • =0},B={ (x, y) I x2+y2= 1}，C=A C B,则C的子集的个数是( )A.OB.lC.2D.4答案c考点三集合的基本运算5.（2018豫南豫北第二次联考，1）已知集合A二{yIy二2*},B二{xIy=},则A门B=（A・{yly>l}答案BB.{yly>l}C.{yly>0} D・{ylyP0}6.（2018江西重点中学第一次联考，1 ）已知集合归，则帥二（）A.（XI - 1<X<1}B. {x I - l<x^l}C. {xlx<-l 或xMl}D.{xlxW・l 或xMl}答案C7.（2017广东惠州第三次调研,1）已知全集hR,集合A二{1,2,3,4,5},B= {x丘RIx鼻2},则图中阴影部分所表示的集合为（A.（0,l,2）B.（0,l）C.{1,2）D.{1）答案D8.（2017河南濮阳第二次检测,13）已知集合A=（-l,a},B={3a,b},gAUB={-l,0,l},则& _____________答案0B组2016—2018年模拟•提升题组（满分:35分时间:20分钟）一、选择题（每小题5分，共30分）1.（2018 广东茂名化州二模,1）若集合A二{0,1}后{yly 二2x,x^A},则（bA）QB=（）AJO} B•⑵ C.{2,4} D.{0丄2}答案B2.（2018吉林榆树第一高级中学第三次模拟J）设全集U二{1,3,5,6,9},A二{3,6,9}、则图中阴影部分表示的集合是（）A・{1,3,5}答案D3.（2018 四川南充一诊,2）已知集合A二{（x,y）ly=f（x）},B={（x,y）lx=l},则ACB 中的元素有（）A.1个B.1个或2个C.至多1个D.可能2个以上答案C4.（2017湖南永州二模,2）已知集合P二{xl JWxWl},归心},若PQM二□，则a的取值范围是（）C.[-l,l]D.（4,-1）U（1,+8）答案D5.（2017河北唐山摸底,1）已知集合AC （1,2,3,4,5},且AC{1,2,3}={1,2},则满足条件的集合A的个数为（）A.2B.4C.8D.16答案B6.（2016江西南昌十所省重点中学二模,2）设集合A=,B={xly=ln（x2-3x）},5!!jAnB中元素的个数是（）A.lB.2C.3D.4答案A 二、填空题（共5分）7.（2017江西九江地区七校联考,14）设A, B是非空集合淀义A®B={ x I x丘A U B且x电⑴B},已知壯{y I y=・x'+2x,0<x<2}, N二{y I y二2’ 则M®N二.答案U（l,+<XjC组2016—2018年模拟•方法题组方法1与集合元素有关问题的解题方略1.（2016湖南衡阳八中一模,1）已知集合A二{0,1} ,B={zlz二x+y,xWA,yWA}，则集合B的子集个数为（）A・3 B.4 C.7 D.8答案D方法2集合间的基本关系的解题方法2.（2017河北衡水中学七调,1）已知集合A二{x11 og2X<l},B={xl0<x<c}，若AUB=B,则c的取值范围是（）A.（0,1]B.[l,+oo）C.（0,2]D.[2,+oo）答案D3.（2018河北衡水中学模拟，13）已知含有三个实数的集合既可表示成,又可表示成{a2,a+b,0}，则a20,W0,7等于________答案方法3集合的基本运算的解题方法4.(2017安徽淮北第二次模拟,2)已知全集U=R，集合M={ x I x+2诈0} ,N={xll ogi( x・1 )<1}、若集合M C ((uN)二{x I x二1或x M 3},那么a的取值为()A. a=B.aWC. a=-D.aM答案C5.（人教 A 必1,—,1・1A,7,变式）设全集U={xWNIxW8},集合4{1,3,7},B={2,3,8},则（CuA）门（应）=（）A.{1,2,7,8}B.{4,5,6}C.{0,4,5,6}D.{0,3,456}答案C方法4求解集合新定义问题的技巧6.（2018陕西西安长安质检,2）若x & A,且& A侧称A是伙伴关系集合,集合归的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是A.31B.7C.3D.1答案B7.(2017湖北武昌一模,1)设A,B是两个非空集合淀义集合A・B={xlxUA,且x年B}.若A二{x£NI0WxW5> ,B={xl/・7x+l(kO},则4 B=()A.(0,1)B.{1,2)C.(0,l,2)D.(0,1,2,5}答案D。

高中数学一轮复习(含答案)1.1 集合

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A . (3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A .二、常用结论(1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B .(2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A .(4)补集的性质：A ∪∁U A ＝U ，A ∩∁U A ＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A .(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集．(6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B .考点一集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.(2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98. 3.（2018·厦门模拟）已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为_____________ 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P =｛3，4，5｝，故k 的取值范围为5<k ≤6.答案：（5，6］考点二集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( )A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．A BD ．B A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．[解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C. (2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2}，又B ⊆A ，∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4，故选C.(3)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A 不变，C ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为A ＝{1,2}，由题意知C ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．解析：若A ⊆B ，由⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞) 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2；②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意；③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)考点三集合的基本运算考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] (1)∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．(2)依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}． [答案] (1)C (2)D考法(二) 根据集合运算结果求参数[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－x －12>0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x >4}，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝( )A ．3B ．2C ．2或3D ．3或1[解析] (1)集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.(2)∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A. [答案] (1)B (2)A[题组训练]1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，而A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0}，B ＝{x |lg x <2}，则(∁R A )∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，100B.⎝⎛⎭⎫12，2C.⎣⎡⎭⎫12，100 D ．∅解析：选A 由题意得A ＝⎣⎡⎦⎤－1，12，B ＝(0,100)，则∁R A ＝(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，100. 3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1. [课时跟踪检测]1．(2019·福州质检)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2,6}B ．{3,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}解析：选A 因为A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0＜x ≤1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}，∴∁R B ＝{x |x ＜1}．∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}，∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∪N ＝M解析：选D 由题意可得，N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，所以M ∪N ＝M .5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x <2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1 D ．[－1,1]解析：选A ∵12≤2x <2，即2－1≤2x <212，∴－1≤x <12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0，即ln x ≤ln 1，∴0<x ≤1，∴B ＝{x |0<x ≤1}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又因为A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2.7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 答案：{－1,0}解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案：{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________．解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，13，(1，1)，所以A ∩B 中含有2个元素．法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．答案：212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．(1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3. 故实数a 的取值范围是(2,3)．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1．1 集合的概念与运算
[基础送分提速狂刷练]
一、选择题
1．(2017·山西八校联考)已知集合A ＝{x |x 2
－2x －3≤0}，B ＝{x |0<x ≤4}，则A ∪B ＝
( )
A ．[－1,4]
B ．(0,3]
C ．(－1,0]∪(1,4]
D ．[－1,0]∪(1,4]
答案 A
解析 A ＝{x |x 2
－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，故A ∪B ＝[－1,4]．故选A.
2．(2018·石家庄质检)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∩B ＝( )
A ．{x |－1<x <3}
B ．{x |－1<x <4}
C ．{x |1<x <2}
D ．{x |2<x <3}
答案 D
解析因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)<0}＝{x |－1<x <3}，所以A ∩B ＝{x |2<x <3}．故选D.
3．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{y ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫y ＝1＋sin πx 2，x∈M ，则集合M ∩N 的真子集的个数
是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
答案 B
解析因为N ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{0,1}，其真子集的个数是3.故选B.
4．(2018·济南质检)已知集合A ＝{x |x (x －1)<0}，B ＝{x |e x
>1}，则(∁R A )∩B ＝( )
A ．[1，＋∞) B．(0，＋∞)
C ．(0,1)
D ．[0,1]
答案 A
解析依题意得，A ＝{x |0<x <1}，则∁R A ＝{x |x ≤0或x ≥1}，B ＝{x |x >0}，故(∁R A )∩B ＝
{x |x ≥1}＝[1，＋∞)．故选A.
5．若集合M ＝{x ||x |≤1}，N ＝{y |y ＝x 2
，|x |≤1}，则( )
A ．M ＝N
B ．M ⊆N
C ．N ⊆M
D ．M ∩N ＝∅
答案 C
解析 M ＝{x ||x |≤1}＝[－1,1]，N ＝{y |y ＝x 2
，|x |≤1}＝[0,1]，所以N ⊆M .故选C.
6．(2017·山西模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈N |x 2
<6x }，B ＝{x ∈N |3<x <8}，则如图阴
影部分表示的集合是( )
A．{1,2,3,4,5}
B．{1,2,3,6,7}
C．{3,4}
D．{4,5,6,7}
答案B
解析∵A＝{x∈N|x2<6x}＝{x∈N|0<x<6}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈N|3<x<8}＝
{4,5,6,7}，
∴图中阴影部分表示的集合是{1,2,3,6,7}，故选B.
7．(2018·中山模拟)已知集合A＝{x| y＝－x2－x＋2
ln x
}，B＝{y⎪⎪
⎪
⎭
⎬
⎫
y＝
1
2
x2－x＋
1
2
，则A∩B
＝( )
A．(0,1] B．(0,1)
C．(－∞，0] D．[0,1]
答案B
解析由y＝－x2－x＋2
ln x
得
⎩⎪
⎨
⎪⎧－x2－x＋2≥0，
x>0且x≠1，
解得0<x<1，即A＝(0,1)．由y＝
1
2
x2－x＋
1
2
＝
1
2
(x－1)2≥0，得B＝[0，＋∞)，故A∩B＝(0,1)．故选B.
8．(2017·湖南长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠
∅，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．1或2
答案B
解析当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；
当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；
当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅，
所以a的值为2.故选B. 9．(2018·江西九江七校联考)设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，
且k∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg (36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
答案C
解析由36－x2>0可解得－6<x<6，又x∈N，故x可取0,1,2,3,4,5，故S＝
{0,1,2,3,4,5}．。