相似三角形解题方法步骤(教师版)
相似三角形六大证明技巧
相似三角形六大证明技巧一、AA（角角）相似准则这是最常用的相似三角形证明方法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两个三角形如果两个角相等，那么第三个角也必然相等，从而保证了两个三角形的形状相同。
二、SAS（边角边）相似准则如果两个三角形的两边分别成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两边成比例且夹角相等，可以保证两个三角形的形状相同。
三、SSS（边边边）相似准则如果两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为三边成比例，可以保证两个三角形的形状相同。
四、HL（斜边和直角边）相似准则这个准则适用于直角三角形。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为斜边和直角边成比例，可以保证两个直角三角形的形状相同。
五、等比三角形如果两个三角形的对应边成等比，那么这两个三角形相似。
这是因为等比关系可以保证两个三角形的形状相同。
六、共线相似如果两个三角形有一条边共线，且这条边上的两个点分别与另一个三角形的两个点对应，那么这两个三角形相似。
这是因为共线关系可以保证两个三角形的形状相同。
相似三角形六大证明技巧一、AA（角角）相似准则这是最常用的相似三角形证明方法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两个三角形如果两个角相等，那么第三个角也必然相等，从而保证了两个三角形的形状相同。
二、SAS（边角边）相似准则如果两个三角形的两边分别成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两边成比例且夹角相等，可以保证两个三角形的形状相同。
三、SSS（边边边）相似准则如果两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为三边成比例，可以保证两个三角形的形状相同。
四、HL（斜边和直角边）相似准则这个准则适用于直角三角形。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为斜边和直角边成比例，可以保证两个直角三角形的形状相同。
相似三角形证明技巧窍门(汇总整编)
相似三角形证明技巧窍门(汇总整编)相似三角形证明技巧窍门(汇总整编)相似三角形是几何学中的一个重要概念，通过相似三角形的性质可以帮助我们解决很多几何问题。
本文将总结整理各种相似三角形的证明技巧，以便读者在解题时能够灵活运用。
一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状但不同大小的两个三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应角相等，并且对应边的比例相等。
二、边长比例证明技巧当我们需要证明两个三角形相似时，可以从边长的比例入手。
以下是几种常见的边长比例证明技巧：1. 直接证明：如果我们可以直接计算出两个三角形各边的比例，且它们相等，则可以直接得出两个三角形相似。
例：已知三角形ABC和DEF，且AB/DE = BC/EF = AC/DF，我们可以直接得出三角形ABC和DEF相似。
2. 两边成比例证明：当两个三角形的两边对应成比例，并且它们夹角相等时，可以得出两个三角形相似。
例：已知三角形ABC和DEF，且AB/DE = BC/EF，∠B = ∠E，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
3. 三边成比例证明：当两个三角形的三边对应成比例时，可以得出两个三角形相似。
例：已知三角形ABC和DEF，且AB/DE = BC/EF = AC/DF，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
三、角度证明技巧除了边长的比例证明技巧外，角度的证明也是判断相似三角形的重要手段。
以下是几种常见的角度证明技巧：1. 角度对应证明：当两个三角形的对应角相等时，可以得出两个三角形相似。
例：已知三角形ABC和DEF，∠A = ∠D，∠B = ∠E，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
2. 角度和内角和证明：当两个三角形的内角和相等时，可以得出两个三角形相似。
例：已知三角形ABC和DEF，∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
3. 夹角和内角和证明：当两个三角形的夹角和相等时，可以得出两个三角形相似。
(完整版)相似三角形最全讲义(教师版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d cb a =4、比例外项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：c da b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ΛΛ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
专题 相似三角形一线三等角模型(老师版)
专题04相似三角形重要模型－一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（）A．3B．5C．2【答案】C，设90DFN DNF ∠+∠=︒MFH ∠90D MHD ∠=∠=︒在MFH MF MH FH 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5【分析】（1）由90DPC A B ∠=∠=∠=︒可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP BPC ∽即可解决问题；（2）由DPC A B α∠=∠=∠=可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP 性质即可解决问题；（3）证明ABD DFE ∽△△,求出4DF =，再证EFC DEC ∽△△(1)如图2，在53⨯个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；图3，在Rt APC △中，90A ∠=，AC AP >，延长AP 至点B ，使AB AC =，作A ∠的等联角，⊥（2）①PCF是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C作CN BE由折叠得AC CM =，90CMP CME A ︒∠==∠=，12∠=∠AC AB =，A PBD N ∠︒=∠=∠，∴四边形ABNC 为正方形CN AC CM∴=又CE CE =，()Rt HL CME CNE ∴≌△34∴∠=∠，而12390∠+∠+∠+︒，90CPF ∠=︒例5.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．【答案】(1)见解析(2)41577y x =-+(3)4或372+【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE =∠DAC ，且∠ADC =∠BEC =90°，可得结论；（2）过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴NF ⊥x 轴，由（1）的结论可得：△NFO ∽△OEM ，可得NF OF NO OE ME MO==，可求点N 坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．(1)解：理由如下，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，又∵∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠BCE ＝∠DAC ，且∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ；(2)解：如图，过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴，NF ⊥x 轴，由（1）可得：△NFO ∽△OEM ，∴NF OF NO OE ME MO==，∵点M （2，1），∴OE ＝2，ME ＝1，∵tanα＝ON OM ＝32，∴3212NF OF ==，∴NF ＝3，OF ＝32，∴点N （32-，3），∵设直线CD 表达式：y ＝kx +b ，∴12332k b k b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴47157k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线CD 的解析式为：y ＝-47x +157；（3）若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使∵D 和B 不重合，∴45AED ∠<︒，又45ADE ∠=︒，90DAE ∠>︒，∴AD AE ≠≠DE ．FE ；（2）若3,4AB AD ==16∵3,4AB AD ==，∴BD AB =∵DF AE ⊥，∴12ABD S AB =△∴341255AB AD AF BD ⋅⨯===，∴1695BF BD DF =-=-=，∵A ．()9,3B ．(9,2【答案】D 【分析】过C 作CE ⊥x 轴于E ，根据矩形的性质得到而得出△BCE ∽△ABO ，根据相似三角形的性质得到结论．【详解】解：过C 作CE ⊥x 轴于∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB ∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°∵90AOB BEC ∠=∠=︒，∴△∴CE CB BE BO AB AO==，∵4OB =∵AB=2BC ，∴BC=1AB=4，∵＝4．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．【答案】54【分析】先证明ABF GAE ∽，得到AB BF GA AE =，进而即可求解．【详解】∵在正方形ABCD 中，AF ⊥EG ，∴∠AGE +∠GAM =90°，∠FAB +∠GAM =90°，∴∠FAB =∠AGE ，又∵∠ABF =∠GAE =90°，∴ABF GAE ∽，∴AB BF GA AE =，即：5511BF =-，∴BF =54．故答案是：54．【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明ABF GAE ∽，是解题的关键．5．（2023·浙江九年级专题练习）如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，3BD =，将ADE V 沿直线DE 翻折得到FDE V ，当点F 落在边BC 上，且4BF CF =时，DE AF ⋅的值为．【答案】9833【分析】根据△ABC 为等边三角形，△ADE 与△FDE 关于DE 成轴对称，可证△BDF ∽△CFE ，根据BF =4CF ，可得CF =4，根据AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，可得DE ⊥AF ，根据S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF ，进而可求9833DE AF ⋅=．【详解】解：如图，作△ABC 的高AL ，作△BDF 的高DH ，DAE的函数关系式△∽△(1)求证：ABF FCE【答案】(1)见解析(2)CE长为【分析】（1）根据矩形的性质得到用角之间的互余关系推出(1)求证：BEG CDE△∽△；(2)求AFG 【答案】(1)证明见解析(2)9【分析】（1）先根据正方形的性质可得证；90 NAF CAD∠+∠= ANE DCE∠=∠，D D∠=∠，EDC∴∴343DE=，DE∴【解决问题]若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．，(1)若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．①如图1，当FEC∠=②如图2，当2tan3FCE∠=时，求AF的长；(2)如图3，延长CF，DA交于点证：AE AF=．【答案】(1)①详见解析；②6AF=(2)详见解析①90ADC BAD FEC∠=∠=︒，∴AEF CED∠+∠AEF ECD∴∠=∠，AEF DCE∽△，②如图，延长DA交于点G，作GH CE⊥，垂足为且CED GEH∠=∠，CED∴△2,1CD DE==，5CE∴=，5290EDC EHG ∠=∠=︒设,AD CD a GE DE ===x y t t a n ∴==，2,t x n ∴=在Rt CHG △中，sin FCE ∠①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点②在①中所画图形中，AB B '∠=______︒．【问题解决】如图2，在Rt ABC △中，190BC C =∠=︒，，延长CA 到D ，使1CD =，将斜边90︒到AE ，连接DE ，求ADE ∠的度数．②由作图可知，AB AB '=，90BAB '∠=︒∴'ABB 是等腰直角三角形，∴45AB B '∠=︒，故答案为：45；【问题解决】如图2中，过点E 作EH CD ⊥交CD 的延长线于H ．∵90C BAE H ∠=∠=∠=︒，∴90B CAB ∠+∠=︒，90CAB EAH ∠+∠=︒，∴B EAH ∠=∠，∵AB AE =，∴()AAS ABC EAH ≌，∴BC AH EH AC ==，，∵BC CD =，∴CD AH =，∴DH AC EH ==，∴45EDH ∠=︒，∴135ADE ∠=︒．【拓展延伸】如图3中，连接AC ，∵AE BC BE EC ⊥=，，即AE 垂直平分BC ，∴AB AC =，将ABD △绕点A 逆时针旋转得到ACG ，连接DG ．则BD CG =，∵BAD CAG ∠=∠，∴BAC DAG ∠=∠，∵AB AC AD AG ==，，∴ABC ACB ADG ∠∠∠===∴ABC ADG ∽△△，∵2=AD AB ，∴24DG BC ==，(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k =-<，AD y ⊥轴，将BC 绕点B 顺时针旋转∵DA y ⊥轴，∴90DAO AOB DHO ∠=∠=∠=∴四边形DAOH 为矩形，∴2DH AO OB ===，由题可得，90CBD ∠=︒，∴90CBO DBH ∠+∠=︒，又∵90DBH BDH ∠+∠=︒，∴CBO BDH ∠=∠，在CBO 与BDH △中，90COB BHD OB HD CBO BDH ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)CBO BDH ≌，∴CO BH =，令0x =，则22y kx k k =-=-，∴(0,2)C k -，∴2BH CO k ==-，∴22OH OB BH k =+=-，∴(22,2)D k -；（3）如图2，连接CD ，取CD 中点N ，连接AN ，BN ，则在Rt ACD △中，AN CN DN ==，同理，BN CN DN ==，∴AN CN DN BN ===，∴A ，C ，B ，D 四点共圆，∴,ABC ADC CDB OAB ∠=∠∠=∠，∵,90OA OB AOB =∠=︒，∴45OAB OBA ∠=∠=︒，∵345ABC BDO ∠-∠=︒，∴()345ADC BDC CDO ∠-∠-∠=︒，∴2AOD ADC ∠=∠，在AD 上取一点M ，使MD MC =则MCD ADC ∠=∠，∴2AMC ADC AOD ∠=∠=∠，∴tan tan AMC AOD ∠=∠，∴AC AD AM AO=，AM x =，22,MC MD k x AC ==--∵222MC AM AC =+，∴222(22)(22)k x x k --=++，∴41k x k =-，∴2222421k k k +-=-，解得，13k =-，∴直线BC 解析式为：13y x =-+设直线OD 解析式为：y mx =，把8(,2)3D 代入得823m =，∴34m =，则直线OD 解析式为：34y x =，第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图21EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD 第二步，分别以点E，F为圆心，大于GAD ∠=∠=∠由（1）（2）可得NAM CAM B18．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =或3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342x x =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，∴90CED DCE ∠+∠=︒．∵EF CE ⊥，∴90CED AEF ∠+∠=︒，∴DCE AEF ∠=∠，∴AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC 是直角二角形．∴132BM CM GM BC ====．∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中，5AM ==．∴AG GM +的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，∴()11422MN BF x ==-．∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM =，由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又∵3GM =，∴2AG =．∴()21342x x =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB==，由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又∵3GM =，∴3543GH MH ==．∴125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =．∴1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，∴164y y -=，解得3y =或3∵036<+<，036<-<，∴3DE =或3DE =．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．。
人教版相似三角形的判定(9)
作业布置 习题 知识技能
探究1 知识要点
两角对应相等，两三角形相似.
√ 角 A
角A
如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，
那么，△ABC ∽△ A′B′C′.
A
A′
你能证明吗？BFra bibliotekC B′
C′
可要仔细哟！
应用
已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC=AD : AB, ∴ AB2 = AD ·AC. ∵ AD=2, AC=8, ∴ AB =4.
那么，△ABC∽△A′B′C′.
B′
边S
√ 边 S
边S A′
C′
A
B
C
画一画
任意画一个三角形，再画一个三 角形，使它的各边长都是原来三角 形各边长的k倍，度量这两个三角形 的对应角，它们相等吗？这两个三 角形相似吗？与同桌交流一下，看 看是否有同样的结论.
已知 A： B 和 A C 在 'B 'C '中 AB， BC AC.
求证: △ ABC∽△ A'B'C'.
证明：在线段A'B（ ' 或它的延长线
A'B'
A
B'C' A'C'
A'
上）截取A'DAB，过点D再作
DE∥B'C'交 A'C'交于 E， 点可 B 得 C D
E
A'DE ∽A'B'C'.
A'∴D DE A'E. A'B' B'C' A'C'
相似三角形解题方法、步骤教师
相似三角形解题方法、步骤（教师版）作者: 日期: 2-4 -9上（ 5）相似三角形解题方法、技巧、步骤相似三角形解题方法、技巧、步骤「一、 相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等 形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广•因而 学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别;相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础.二、 相似三角形（1）三角形相似的条件： ①；②；③.三、 两个三角形相似的六种图形：^1过上的高求证只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔 加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1 ）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件 最简单；2） 再而先找一对内角对应相等， 且看夹角的两边是否对应成比例； 3） 若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角 相等，两三角形相似a ）已知｛找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对_知两边成比例，两三角形相似上』边对应成比例，两个直角三角形相似「找另一角两角对应相等，两三角形相似c ） P 己知］找两边对应成比例判定定—或判定定理 戋顶角对应相等判定定_找底角对应相等判定定_ 找底和腰对应成比例判定定_3△ sA 2，3,则 dsA 3）g似形的传有若五、“三点定形法”定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代 表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形， 若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横 定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线 段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明 这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而 去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并 不好， 例1、 求证： ,即由有关线段的三个不同的端点来确应当运用基本规律去解决问题。
九年级同步第5讲：相似三角形的判定(二)-教师版
ABCA 1B 1C 1相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习．重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．1、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．相似三角形的判定（二）内容分析知识结构模块一：相似三角形判定定理3知识精讲ABC DEF AB CD EF【例1】 根据下列条件判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，如果是，那么用符号表示出来．（1）2AB cm =，3BC cm =，4CA cm =，10DE cm =，15EF cm =，20FD cm = （2）1AB cm =，2BC cm =， 1.5CA cm =，6DE cm =，4EF cm =，8FD cm =．【难度】★【答案】（1）相似，ABC DEF ∆∆∽．（2）相似，ABC EFD ∆∆∽． 【解析】略．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时注意表示相似时对应点的位置．【例2】 如图，在边长为1个单位的方格纸上，有ABC ∆与DEF ∆．求证：ABC ∆∽FDE ∆．【难度】★ 【答案】略．【解析】由图知：1BC =，2AC =，5AB =，2DE =，2EF =，10DF =．22BC AC AB DE EF DF ===，∴ABC FDE ∆∆∽．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3．【例3】 如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点．求证：DEF ∆∽ABC ∆． 【难度】★ 【答案】略． 【解析】D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，∴12DE AB =，12FE BC =，12DF AC =．∴2AB BC AC DE EF DF===，∴DEF ∆∽ABC ∆． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和三角形中位线的性质．例题解析AB CDEAB CD【例4】 ABC ∆的边长分别为a 、b 、c ，111A B C ∆的边长分别为a 、b 、c ，则ABC ∆与111A B C ∆（选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似．【难度】★★ 【答案】不一定．【解析】若a b c ==时，相似；若a 、b 、c 中有两个不等，那么它们就不相似． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时穿插了分类讨论的思想．【例5】 如图，点D 为ABC ∆内一点，点E 为ABC ∆外一点，且满足AB BC ACAD DE AE ==．求证：ABD ∆∽ACE ∆．【难度】★★【答案】略．【解析】AB BC ACAD DE AE == ∴A B C A D E ∆∆∽． ∴BAC DAE ∠=∠， 即BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠．∴BAD CAE ∠=∠．AB ACAD AE= ∴ABD ∆∽ACE ∆． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识．【例6】 如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =，23CD =，4AD =．求证：ABC ∆∽ACD ∆．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =．∴112AB AC ==，∴在Rt ABC ∆中，3BC =．23CD =，4AD =， ∴12A B A C B C A C A D C D ===，∴ABC ∆∽ACD ∆． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和直角三角形的勾股定理知识．ABCDEF【例7】 已知：如图，在t R ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，4BC =，点D 在BC 边上，且CAD B ∠=∠． （1）求AD 的长；（2）取AD 、AB 的中点E 、F ，联结CE 、CF 、EF ．求证：CEF ∆∽ADB ∆． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】（1）90ACB ∠=︒，CAD B ∠=∠，CAD CBA ∴∆∆∽ ∴CD AC AD AC CB AB==． ∴2AC CD CB =∙ ∴1CD =．∴在Rt ADC ∆中，5AD =．（2）点E F 、分别是AD 、AB 的中点，∴12EF BD =． 在Rt ADC ∆、Rt ABC ∆中，12CE AD =，12CF AB =． ∴12CE CF EF AD AB BD ===，∴CEF ∆∽ADB ∆．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3、直角三角形的性质和三角形中位线等知识．【例8】 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，点E是AD 的中点．（1）求证：CDE ∆∽EAB ∆；（2）CDE ∆与CEB ∆有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）证明：过点C 作CF AB ⊥，垂足为F ，如图． 9090A CFB ∠=∠=，，//AD CF ∴．又//AB CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形．又90A ∠=，∴平行四边形AFCD 是矩形． 1AF CD AD CF ∴===，，1BF ∴=．在Rt FBC ∆中，2222CF BC BF =-=，22AD ∴=． 点E 是AD 的中点 2E D E A ∴==．∴22DE CD AB AE ==又90D A ∠=∠=，∴CDE ∆∽EAB ∆．（本题还可用其它方法证明）（2）CDE ∆与CEB ∆相似．在Rt DCE ∆中，223CE DC DE =+=， 在Rt CBF ∆中，226BE AE AB =+=，3CE BE CBCD DE CE===， ∴C D E ∆∽CEB ∆． 【总结】本题考查了梯形及相似三角形的判定，着重考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用能力．本题实际上是“一线三直角”模型．ABCD EF1、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例9】 在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中，90C F ∠=∠=︒．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由． （1）55A ∠=︒，35D ∠=︒；（2）9AC =，12BC =，6DF =，8EF =； （3）3AC =，4BC =，6DF =，8DE =； （4）10AB =，8AC =，15DE =，9EF =． 【难度】★【答案】（1）相似，两三角形有两组角对应相等，故相似； （2）相似，两三角形两边对应成比例且夹角相等，故相似；（3）不相似，两三角形两边对应成比例且有一角相等，但此角不是夹角，故不相似； （4）相似，斜边和直角边对应成比例，故相似． 【解析】略．【总结】本题考查了相似三角形的判定方法，要灵活运用．模块二：直角三角形相似的判定定理知识精讲例题解析ABC A 1B 1C 1ABC DABDCABCD【例10】 如图，在ABC ∆和111A B C ∆中，AD BC ⊥，1111A D B C ⊥，垂足为D 和1D ，且111111AC AB ADAC A B A D ==． 求证：ABC ∆∽111A B C ∆． 【难度】★ 【答案】略． 【解析】证明：AD BC ⊥，1111A D B C ⊥，∴11190ADC A D C ∠=∠=．又111111AC AB ADAC A B A D ==， ∴111Rt ADC Rt A D C ∆∆∽，∴1C C ∠=∠．同理可得：1B B ∠=∠， ∴ABC ∆∽111A B C ∆．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法．【例11】 如图，四边形ABCD 中，90BAC ADC ∠=∠=︒，AD a =，BC b =，AC ab =．求证：DC BC ⊥．【难度】★ 【答案】略． 【解析】证明：AD a =，BC b =，AC ab =，∴2AC AD BC =∙． ∴AC BCAD AC=． 又90BAC ADC ∠=∠=，∴ADC CAB ∆∆∽． ∴ACD B ∠=∠．又90B ACB ∠+∠=，∴90ACD ACB ∠+∠=．∴D C B C ⊥．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识．ABCDABCDF G【例12】 如图，AB AD ⊥，BD DC ⊥，且2BD AB BC =．求证：ABD DBC ∠=∠．【难度】★ 【答案】略． 【解析】证明：AB AD ⊥，BD DC ⊥，∴90BAD BDC ∠=∠=．2BD AB BC =， ∴BC BDBD AB=．∴BAD BDC ∆∆∽． ∴A B D D B C ∠=∠．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识．【例13】 如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ．求证：CF CA CG CB =．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：CD AB ⊥，DF AC ⊥，∴90ADC CFD ∠=∠=．又DCF DCA ∠=∠， ∴DCF ACD ∆∆∽． ∴DC CF AC DC=，即2DC CA CF =∙．同理可得：2DC CG CB =∙， ∴CF CA CG CB =．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识．【例14】 已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是．【难度】★★ 【答案】73．【解析】解：如右图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=， CD AB ⊥于点D ，AE EB =．设3AD x =，4BD x =，12CD =．易证Rt ADC Rt CDB ∆∆∽，得DC BDAD DC=，得2DC AD DB =∙，所以21234x x =∙解得23x =，7143AB x ==，而12CE AB =，所以73CE =． 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了直角三角形斜边上的中线等相关知识．A BCDEFABCDEFM【例15】 如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD // BC ，BC CD =，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=︒．将BEC ∆绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，连接EF 交CD 于点M ．已知5BC =，3CF =，求:DM MC 的值．【难度】★★【答案】43．【解析】解：由旋转的性质得：BEC DFC ∆≅∆， 且90BCD ECF ∠=∠=．903BEC ECF EC FC ∴∠=∠===，，5BC CD ==．∴180ECF DFC ∠+∠=， ∴//EC DF ．∴DM DFMC EC=．在Rt DCF ∆中，224DF DC CF =-=．∴43DM MC =． 【总结】本题考查了旋转的性质，三角形一边的平行线等相关知识．【例16】 如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，求证：CEF ∆∽CBA ∆．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：CD AB ⊥，DE AC ⊥，∴90ADC CED ∠=∠=．又DCE DCA ∠=∠， ∴DCE ACD ∆∆∽． ∴DC CF AC DC=，即2DC CA CE =∙． 同理，可得：2DC CF CB =∙．∴CA CE CF CB ∙=∙， 即 CF CEAC CB =．又FCE BCA ∠=∠， ∴CEF CBA ∆∆∽．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．ABCD EF【例17】 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），CF BE ⊥于点F ，连接DF ． （1）求证：2CB BF BE =； （2）求证：BF AE FD BA =．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：（1）90ACB ∠=，CF BE ⊥，∴90ACB CFB ∠=∠=．又CBF CBE ∠=∠，∴CBF EBC ∆∆∽． ∴CB BEBF CB=，∴2CB BF BE =∙．（2）90ACB ∠=，CD BA ⊥，∴90ACB CDB ∠=∠=．又CBD CBA ∠=∠，∴CBD ABC ∆∆∽． ∴CB ABBD CB=，即2CB BD BA =∙． ∴BF BE BD BA ∙=∙， ∴FB BD BA BE= 又ABE FBD ∠=∠，∴FBD ABE ∆∆∽． ∴FB FDBA AE=．∴BF AE FD BA ∙=∙．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．【例18】 求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】已知：如图，AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A B C ∆边BC 、11B C 上的中线，且111111AC AB ADAC A B A D ==．求证：ABC ∆∽111A B C ∆． 证明：分别延长AD 、11A D 到点1E E 、． 使得1111DE AD D E A D ==，． ∴111122AE AD A E A D ==，．AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A B C ∆边BC 、11B C 上的中线，∴1111BD DC B D D C ==，．111111ADB ADC A D B A D C ∠=∠∠=∠， ， ∴ADB EDC ∆≅∆，111111A D B E D C ∆≅∆ ∴1111BAD E B A D E ∠=∠∠=∠，．111111AC AB AD AC A B A D ==，∴111111AC AB AEAC A B A E ==． ∴111AEC A E C ∆∆∽，∴1111E E CAD C A D ∠=∠∠=∠， ∴111BAD B A D ∠=∠ ，∴111BAC B AC ∠=∠．又1111AB ACA B AC =， ∴111ABC A B C ∆∆∽． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法，并且考查学生通过倍长中线来转化边角的方法．ABCDEF【例19】 如图，在Rt BDC ∆中，点E 在CD 上，DF BC ⊥于F ，DG BE ⊥于G ．求证：FG BC CE BG =．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：联结GF ． 90BDC ∠=，DF BC ⊥， ∴90BDC DFB ∠=∠=．又CBD FBD ∠=∠， ∴DBF CBD ∆∆∽． ∴DB BF BC DB=， ∴2D B B F B C =∙． 90EDB ∠=，GD BE ⊥， ∴90DGB EDB ∠=∠=．又EBD GBD ∠=∠， ∴GBD DBE ∆∆∽． ∴DB EBBG DB=， ∴2DB BG BE =∙． ∴BF BC BG BE ∙=∙， 即FB BGBE BC=． 又GBF EBC ∠=∠， ∴GBF CBE ∆∆∽．∴GB FG BC CE=， ∴FG BC CE BG ∙=∙． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识，综合性较强，需要通过多次相似证的结论成立．【例20】 如图，90CAB ∠=︒，AD CB ⊥，ACE ∆、ABF ∆是正三角形．求证：DE DF ⊥．【难度】★★★ 【答案】略． 【解析】证明：ACE ∆、ABF ∆是正三角形，∴AC CE AB AF ==，，6060FAB ACE ∠=∠=，．AD BC ⊥， ∴90BDA ADC ∠=∠=． ∴90CAD ACD ∠+∠=．90BAC ∠=， ∴90BAD DAC ∠+∠=． B A D D C A ∴∠=∠． ∴DBA DAC ∆∆∽． ∴C D A C A D A B =． ∴C D E CA D A F =．FAB BAD DCA ACE ∠+∠=∠+∠， ∴F A D D C E ∠=∠．∴FAD ECD ∆∆∽． ∴A D F E D C ∠=∠．90ADE EDC ∠+∠=， ∴90ADF EDA ∠+∠=． ∴D E D F⊥． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、等边三角形的性质等知识．BCD EFGAB CDEP1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．【例21】根据下列条件，能判定ABC ∆和DEF ∆相似的个数是（）．（1）35ABC ∠=︒，75ACB ∠=︒，80EDF ∠=︒，35DEF ∠=︒； （2）3AB =，2BC =，30ABC ∠=︒，6DE =，4EF =，30EDF ∠=︒；（3）2AB =，3BC =，4AC =，12DE =，13EF =，14DF =；（4）6AB =，2CB =，2AC =，3DE =，1EF =，2DF =． （A ）1个 （B ）2个（C ）3个（D ）4个【难度】★ 【答案】A【解析】（1）（2）（3）不相似，（4）相似 【总结】本题考查了三角形相似的判定知识．【例22】 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出ABP ∆与ECP ∆相似的是（ ）．（A ）APB EPC ∠=∠ （B ）90APE ∠=︒ （C ）P 是BC 的中点 （D ）:2:3BP BC =【难度】★ 【答案】C 【解析】略．【总结】本题考查了三角形相似的判定知识．模块三：相似三角形的判定综合知识精讲例题解析ABCDEFGH123ABCD【例23】 已知ABC ∆中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 是角平分线，求证：ABC ∆∽BCD ∆．【难度】★【答案】略． 【解析】证明：36AB AC A =∠=，，∴72ABC ACB ∠=∠=．又BD 是角平分线， ∴36ABD DBC ∠=∠=．∴A DBC ∠=∠， A B C B C D ∠=∠，∴ABC BCD ∆∆∽．【总结】本题考查了三角形相似的判定知识，此三角形是黄金三角形．【例24】 在ABC ∆中，12AB =，15AC =，D 为AB 上一点，3ABBD=，在AC 上取一点E ，得到ADE ∆，若ADE ∆与ABC ∆相似，则AE =．【难度】★★ 【答案】10或325． 【解析】若ADE ∆与ABC ∆相似，则分两种情况：ABC ADE ∆∆∽或ABC AED ∆∆∽，得AD AE AB AC =或AD AEAC AB =，即可得解． 【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点，注意分类讨论．【例25】 如图，四边形ABDC 、CDFE 、EFGH 是三个正方形，则123∠+∠+∠的值为多少？【难度】★★ 【答案】90．【解析】解：设正方形ABDC 、CDFE 、 EFHG 的边长为1．则2AD =，5AF =，1DF =，2HD =，10AH =． ∴2AD DH AHDF AD AF===， ∴A D H F D A ∆∆∽． ∴3D A F ∠=∠． 四边形ABDC 是正方形， ∴A B B D =． ∴145∠=．又21DAF ∠+∠=∠， ∴231∠+∠=∠． ∴12390∠+∠+∠=．【总结】灵活运用相似三角形的判定定理来转化角度是解本题的关键．ABCDEABCDEN M【例26】 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE EB =，1MN =，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM 为何值时，AED ∆与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似．【难度】★★ 【答案】当CM 为55或255时，ADE ∆与以 M 、N 、C 为顶点的三角形相似． 【解析】解：四边形ABDC 是正方形， ∴2AB AD ==． 又AE EB =， ∴1AE =．在Rt CMN ∆中，222MN CM CN =+．① 当55CM = 时，255CN =，∴5AE AD CM CN ==， ∴A D E C N M ∆∆∽；② 当255CM =时，55CN =，∴5AE AD CN CM ==， ∴A D E C M N ∆∆∽． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及正方形的性质相关知识点．【例27】如图，AB AC =，2AC AD AE =，求证：BC 平分DBE ∠．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：AB AC =，2AC AD AE =∙，∴2AB AD AE =∙， 即AB AEAD AB=．又A A ∠=∠， ∴ABD AEB ∆∆∽．∴ABD E ∠=∠． 又AB AC =， ∴A B D D B C A C ∠+∠=∠．又CBE E ACB ∠+∠=∠， ∴C B D C B E ∠=∠．即BC 平分DBE ∠．【总结】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质．【例28】 如图，在ABC ∆中，M 在AB 上，且8MB =，12AB =，16AC =，在AC 上求作一点N ，使AMN ∆与原三角形相似，并求AN 的长．【难度】★★ 【答案】3AN =或163． 【解析】解：如右图，要使AMN ∆与原三角形相似，有两种情况：128A B B M ==，，∴4AM =．① 当//MN BC 时，AMN ABC ∆∆∽． ∴A M A N AB AC =，即41216AN =，∴163AN =． ② 当MN 与BC 不平行时，ANM ABC ∆∆∽． ∴AM AN AC AB =，即41612AN=，∴3AN =．∴3AN =或163． 【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点．【例29】如图，EM AM ⊥，CE DE =．求证：2ED DM AD CD =．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：过点E 作EH CD ⊥于点H ，得90EHD ∠=．EC ED =，EH CD ⊥，∴12DH CD =．EM AM ⊥，∴90M ∠=． ∴E H D M∠=∠． 又EDH MDA ∠=∠， ∴EHD AMD ∆∆∽．∴DM AD DH ED=， 即DM ED DA HD ∙=∙．∴12DM ED DA CD ∙=∙，即2ED DM DA CD ∙=∙．【总结】本题考查了相似三角形的判定及等腰三角形的性质等相关知识．ABCDEFABCDEF【例30】 如图，在ABC ∆和DEF ∆中，90A D ∠=∠=︒，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似，并说明为什么；（2）能否分别过点A 、D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC ∆分割成的两个三角形与DEF ∆分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．【难度】★★★【答案】（1）不相似，一组角相等，但夹它的两边不对应成比例，故不相似；（2）能，理由略．【解析】（2）题分割如下：作BAM E ∠=∠交BC 于点M ，作EDN B ∠=∠交EF 于点N ，可证明BAM DEN ∆∆∽，再证明另一对也相似即可．【总结】本题考查了相似三角形的判定知识．【例31】 如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC边上，BEF ∆沿着直线EF 翻折后与DEF ∆重合，设CD x =，BF y =．试问DFC ∆是否有可能与ABC ∆相似，如有可能，求出CD 的长；如不可能，说明理由．【难度】★★★【答案】DFC ∆有可能与ABC ∆相似，此时65CD =或23． 【解析】解：翻折后，BF DF =．当DFC ABC ∆∆∽时，DFC C B ∠=∠=∠．BF DF CD x ∴===，2CF x =-．CD CF CA CB ∴=，即232x x -=． 65x ∴=； 当DFC ACB ∆∆∽时，FDC C B ∠=∠=∠，1BF DF CF ∴===．CD CF CB CA ∴=，即213x =． 23x ∴=． ∴65CD =或23． 【总结】本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）等的相关知识．ABCDEF 【例32】 如图，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 上的一点，BD 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F ．（1）当点D 在边AC 上移动时，DEF ∆中哪一个角的大小始终保持不变？并求出它的度数；（2）当点D 在边AC 上移动时，ADE ∆与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程．又问：当点D 移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？ （3）若等边三角形ABC 的边长为6，2AD =，试求:BE BF 的值．【难度】★★★【答案】（1）EDF ∠始终不变，且等于60；（2）ADE CFD ∆∆∽．证明略；当点D 移动到AC 中点处时，这两个三角形的相似比为1；（3）45BE BF =．【解析】（1）翻折前后对应角相等；（2）相似比为1，说明ADE CFD ∆≅∆，得DE DF =． 又DB EF ⊥，所以DB 垂直平分EF ，得BD 平分ABC ∠，则ABC ∆是等边三角形，进而得出结论；（3）45AED CFD C BE DE BF DF C ∆∆===．【总结】本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）、相似三角形的性质等的相关知识．A BCD E FGHK【习题1】 如图，网格里面有许多三角形．在下列所列出的各三角形之中，不能够与ABC ∆ 相似的是（ ）（A ）BCD ∆ （B ）BDE ∆（C ）BFG ∆（D ）FGH ∆【难度】★ 【答案】A【解析】三边对应成比例，两三角形相似． 【总结】本题考查了相似三角形的判定知识．【习题2】 下列命题中，说法正确的个数是（ ）（1）有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似； （4）两边对应成比例的两个三角形相似． （A ）1个 （B ）2个（C ）3个（D ）4个【难度】★ 【答案】B【解析】（1）（2）正确；（3）错误，举反例如下图，ABC ∆是等边三角形，CG AB ⊥于点G ，DEF ∆是顶角为120的等腰三角形，FH ED ⊥交ED 的延长线于点H ，ACG DFH ∆∆∽，但ABC ∆与DEF ∆不相似；（4）错误．【总结】本题考查了相似三角形的判定知识．随堂检测ABC DEF ABCDEF【习题3】 如图，AC BD ⊥，DE AB ⊥，AC 与ED 交于点F ，3BC =，1FC =，5BD =，则AC =．【难度】★ 【答案】6．【解析】由ACB DCF ∆∆∽，得CF CDCB AC=． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质知识，此图是比 较重要的相似基本模型．【习题4】 在ABC ∆中，点G 为重心，若BC 边上的高为6，求点G 到BC 的距离． 【难度】★★ 【答案】2．【解析】解：如图，联结AG 并延长交BC 于点D ，分别作GE BC ⊥、 A F B C ⊥于点E 、F ．由题知，6AF =．点G 为重心， ∴13DG DA =． 又//GE AF ， ∴G E D GA F D A=． ∴2GE =． 【总结】本题考查了重心的知识，构造相似形来解答问题．【习题5】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，E 为AC 上一点，CF BE ⊥ 于F ，联结DF ．求证：BD DFBE AE=． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：90ACB ∠=，CF BE ⊥， ∴90ACB CFB ∠=∠=．又CBF CBE ∠=∠， ∴CBF EBC ∆∆∽．∴CB BE BF CB=，即2CB BF BE =∙． 同理，得：2CB BD BA =∙． ∴B F B E B D B A ∙=∙， ∴F B B DB A B E=． 又ABE FBD ∠=∠， ∴FBD ABE ∆∆∽． ∴B D F DB E A E=． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．ABCDEABCDEO【习题6】 已知梯形ABCD 中，AB // CD ，90B ∠=︒，3AB =，6CD =，12BC =，点E在BC 边上自B 点向C 点移动，求使得ABE ∆与ECD ∆相似的BE 的值．【难度】★★【答案】4或632±．【解析】解：由题知：90B C ∠=∠=． ABE ∆与ECD ∆相似，分两种情况：设BE x =．（1）ABE DCE ∆∆∽，得：AB BEDC CE=， 即3612x x=-，解得4x =； （2）ABE ECD ∆∆∽，得：AB BEEC DC=， 即3126x x =-，得212180x x -+=， 解得632x =±；综上：BE =4或632±．【总结】本题考查了相似三角形的性质，着重考查学生分类讨论思想的应用．【习题7】 如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 与BD 相交于点O ，过点B 作BE //CD 交CA 的延长线于点E ，求证：2OC OA OE =．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】//AD CB ， ∴C O B OO A O D=． //BE CD ， ∴C OD OO E O B=．∴CO OAOE OC=， ∴2O C O A O E =∙． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理的应用．A BCPQ【习题8】 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8BC cm =，6AC cm =，点P 从B 出发，沿 BC 方向以2cm/s 的速度移动到C 点，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1cm/s 的速度移动到A 点．若点P 、Q 分别同时从B 、C 出发，经过多少时间CPQ ∆与CBA ∆相似？【难度】★★【答案】125t =或3211时，CPQ ∆与CBA ∆相似．【解析】设经过t 秒CPQ ∆与CBA ∆相似，则 2BP t =，CQ t =，∴82CP t =-．要使CPQ ∆与CBA ∆相似，有两种情况：①当CPQ CBA ∆∆∽，∴CP CQCB CA=，即8286t t -=，∴125t =； ②当CPQ CAB ∆∆∽，∴CP CQCA CB=， 即8268t t -=。
相似三角形的数学技巧与方法
相似三角形的数学技巧与方法相似三角形是数学中的重要概念，它们在几何学、代数学以及实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍相似三角形的定义、性质，以及解决相似三角形问题的技巧和方法。
1. 相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。
它们的对应角度相等，对应边长之比也相等。
根据这个定义，我们可以得出一些重要的性质：1.1 AA相似定理（角-角-相似定理）：如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似。
1.2 SAS相似定理（边-角-边相似定理）：如果两个三角形的两个边分别成比例，并且夹角也相等，则这两个三角形相似。
1.3 SSS相似定理（边-边-边相似定理）：如果两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
通过这些相似三角形的定理，我们可以快速判断两个三角形是否相似，为后续的计算和解题提供便利。
2. 相似三角形的解题技巧与方法在解决相似三角形的问题时，我们可以运用一些常用的技巧和方法，下面将介绍其中的几种。
2.1 比例关系的运用在相似三角形中，对应边长之比相等是一个关键。
因此，我们常常可以通过设置未知数和建立等式来解题。
比如，已知两个三角形相似，可以设对应边的长度分别为x和y，则可以列出等式：x/y = a/b （a和b为已知边长）利用这个等式，我们可以求解未知数x和y的值，进而得到相似三角形中其他未知量的值。
2.2 辅助线的引入在一些相似三角形问题中，我们可以通过引入辅助线来简化问题或构造比例关系。
常见的辅助线有中线、高线、角平分线等。
例如，当我们需要证明两个三角形相似时，可以从某个角出发引入角平分线，将大三角形分割成多个小三角形，从而利用相似三角形的性质推导出结论。
2.3 海伦公式的应用当已知三角形的边长关系但角度未知时，可以考虑使用海伦公式来求解。
海伦公式是求解三角形面积的常用公式，它可以通过三角形的边长计算出面积。
在相似三角形中，由于边长之比相等，可以将已知三角形与未知三角形的边长带入海伦公式，从而解出未知三角形的面积或其他参数。
(完整版)相似三角形解题方法、步骤(教师版)
相似三角形解题方法、技巧、步骤 一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形(1)三角形相似的条件： ①；②；③.三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证:BAACAF AE =（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。
初中数学中考[图形的认识]第4讲相似三角形(教师版)
![初中数学中考[图形的认识]第4讲相似三角形(教师版)](https://img.taocdn.com/s3/m/1e70c4324028915f814dc23e.png)
【知识梳理】【方法技巧】1、判定三角形相似的基本思路：一是条件中若有一组等角，可再找一组等角（找相等的角时注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角或者同角的补角）或找夹这组等角的两组对应边成比例；二是条件中若有两组对应边成比例，可找夹角相等或计算第三组对应边的比，考虑三组对应边成比例（具体方法如下：首先把三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等）。
2、解决圆中的相似问题时，要充分运用圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的性质等找出角之间的关系，进而利用相似三角形的判定定理及性质求解。
3、相似三角形的基本模型：（1）“A ”字型（2）“X ”字型（3）“K ”字型（4）旋转型：符合旋转型的两个三角形，常用“两边成比例及夹角相等”来证明相似BBB CB C CQ DBA（5）母子型：在“母子三角形”中，应用公共边可得到关于三条线段的乘方式，由此可证明相似问题中的等积式。
4、位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形（2）两个图形的每组对应顶点的连线都经过同一点5、关于位似的警示点：（1）位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形（2）位似图形可能在位似中心的同侧，也可能在位似中心的两侧，因此作一个图形关于某点的位似图形往往有两个。
如图： O A B C D OA B CD D CB AC D B A6、在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.【考点突破】考点1、基本概念与定理例1、如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（）A．=B．=3 C．=D．=变式1、已知=，那么的值为（）A．B．C．D．变式2、下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm、2cm、20cm、30cm B．1cm、2cm、3cm、4cmC．5cm、10cm、10cm、20cm D．4cm、2cm、1cm、3cm例2、△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16变式1、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．变式2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6例3、如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．变式1、如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c 于点D，E，F，若=，则=（）A．B．C．D．1例4、如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．变式1、如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C=∠E B．∠B=∠ADE C．D．例5、在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．变式2、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．考点2：位似例1、在平面直角坐标系中，△ABC顶点A（2，3）．若以原点O为位似中心，画三角形ABC 的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为（）A．B．C．D．变式1、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是．变式2、如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（）A．1B．2C．3D．4例2、已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半．则△ABC的面积等于（）A．24cm2B．12cm2C．6cm2D．3cm2变式1、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1B．2C．4D．8考点3：相似的应用例1、小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米变式1、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=4米，CA=2米，则树的高度为（）A．6米B．4.5米C．4米D．3米例2、如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D 在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC．如果BC=24m，BD=12m，DE=40m，则河的宽度AB约为（）A．20m B．18m C．28m D．30m变式1、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2cm，BC=14m，则楼高CD为（）m．A．10.5 B．12 C．13 D．15变式2、如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得A、B、D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，BC∥DE，DE=90米，BC=70米，BD=20米，则A、B两村间的距离为（）A．50米B．60米C．70米D．80米变式3、为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是（）A．75米B．25米C．100米D．120米考点3、常见相似模型例1、如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（）A．①②④B．②④⑤C．①②③④ D．①②③⑤变式1、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．=D．=例2、如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB=3，PB=2．则PC等于（）A．2 B．3 C．4 D．5变式1、如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为．例3、如图，在△ABC中，∠C=60°，以分别交AC，BC于点D，E，已知圆O的半径为．则DE的长为．变式1、如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA=2，PC=CD=3，则PB=（）A．6 B．7 C．8 D．9例4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（）A．CE=DE B．CE=DE C．CE=3DE D．CE=2DE变式1、如图，边长为4的正方形ABCD中有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF=1，则小正方形的边长为（）A．B．C．D．变式2、如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP △PCD（填：“≌”或“～”）（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设AE=t，△EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值．例5、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE 交AC于点E．写出相似三角形________________.变式1、等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别交边AB、AC于点E、F．（1）如图1，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长．例6、如图，在Rt△ABC中，CD是边AB上的高，若AC=4，AB=10，则AD的长为（）A．B．2 C．D．3变式1、如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD= ．变式2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是，AC 的长是．例7、如图，矩形EFHG的边GH在△ABC边BC上，其他两个顶点分别在边AB、AC上，已知△ABC 的边BC=120cm，BC边上的高AD为80cm；求：（1）当矩形EFHG是正方形时，求这个正方形的边长；（2）设EG的长为x cm，x为何值时，矩形EFHG的面积最大？并求面积的最大值．变式1、如图，锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y，则y与x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分层训练】<A组>1．△ABC∽△DEF，且相似比为2：1，△ABC的面积为8，则△DEF的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．162．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．75cm，115cm B．60cm，100cm C．85cm，125cm D．45cm，85cm3．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值为（）A．B．5 C．或5 D．无数个4．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）5．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米6．我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等（即每个“E”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得l1=14cm，l2=7cm，他选择了一张面积为4cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么下面四张正方形卡纸中，能够刚好剪得第①个大“E”形图的是（）A．面积为8cm2的卡纸B．面积为16cm2的卡纸C．面积为32cm2的卡纸D．面积为64cm2的卡纸7．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2），D（6，4），在第一象限内，画出以原点为位似中心，相似比为的位似图形A1B1C1D1，并写出各点坐标．8．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．<B组>1．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA 水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．九年级某班开展数学活动，活动内容为测量如图所示的电杆AB的高度．在太阳光的照射下，电杆影子的一部分（BE）落在地面上，另一部分（EF）落在斜坡上，站在水平面上的小明的影子为DG，已知斜坡的倾角∠FEH=30°，CD=1.6m，DG=0.8m，BE=2.1m，EF=1.7m，则电杆的高约为m．（精确到0.1，参考数据：，）3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．4．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）5．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．参考答案【考点突破】考点1、基本概念与定理例1、解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．故选：B．变式1、解：∵=，∴设a=2k，则b=3k，则原式==．故选B．变式2、解：A.1×30≠2×20，故本选项错误；B.3×2≠1×4，故本选项错误；C.5×20=10×10，故本选项正确；D.4×1≠3×2，故本选项错误；故选C．例2、解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．变式1、解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：A．变式2、解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，∴AD：BC=1：2；∵AD∥BC，∴△AOD～△BOC，∵AD：BC=1：2，∴S△AOD：S△BOC=1：4．故选：B．例3、解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AH=2，BH=1，BC=5，∴AB=AH+BH=3，∴，∴，故选D．变式1、解：∵a∥b∥c，∴==．故选B．例4、解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．变式1、解：∵∠1=∠2，∴∠DAE=∠BAC，A、添加∠C=∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；B、添加∠B=∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；C、添加=，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；D、添加=，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；故选D．例5、解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．A、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B、=，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D、==，对应边===，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；故选：D．变式2、解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为。
人教版相似三角形的判定
∠B=∠B'，求证: △ABC∽△A'B'C'
A'
几何语言：
∵ ∠A=∠A', ∠B=∠B'
∴ △ABC∽△A'B'C'
B'
C'
A
D
E
B
C
基础训练
1、下列图形中两个三角形是否相似？并说理由.
B
A
A
A’
C
B
C B’
C’ D
(1) 不相似
(2) 相似
E
2、判断题：
√ ⑴ 底角相等的两个等腰三角形相似． （ ）ຫໍສະໝຸດ ADCE F
图１
（2）图２∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
（3）图１∵
AB ACBC DE DF EF
∴△ABC∽△DEF
（4）图１∵ AB AC
DE DF
∠A=∠D
A
D
E
B 图２
C
∴△ABC∽△DEF
观察
猜想：两角分别相等的两个三角形相似．
探究
判猜定想定：理：两角分别相等的两个三角形相似．
如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',
AB AC BC
小结
本节课我收获了……
作业: 1.必做题 P42第2 题中(2) 2.选做题 P43第7题
给我最大的快乐，不是已有 知识，而是不断的学习，不是已 有的东西，而是不断的获取，不 是已达的高度，而是继续不断的 攀登。
——高斯
27.2.1 相似三角形的判定
知识回顾
判定三角形相似的方法
（1）图１∵∠A=∠D, ∠B= ∠E, ∠C= ∠F
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧
用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧相似三角形是几何学中的一个重要概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧。
一、了解相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边的比值相等。
这意味着如果已知一个三角形的一组对应角相等，则可以通过确定比值来确定另一个三角形的对应边长。
二、确定相似三角形的条件在解决实际问题时，我们需要根据已知条件确定相似三角形的条件。
一般来说，常见的相似三角形条件有以下几种：1. AA相似条件：两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS相似条件：两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
3. SAS相似条件：两个三角形的一对对应边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。
三、应用相似三角形解决实际问题的步骤解决实际问题时，我们可以按照以下步骤使用相似三角形：1. 了解问题：仔细阅读问题，理解给出的条件和要求。
2. 绘制图形：根据问题中给出的信息，绘制出问题所描述的图形。
确保图形准确无误。
3. 确定相似三角形：根据给出的条件和已知信息，确定哪些三角形是相似的。
4. 建立比例关系：根据相似三角形的性质，建立相应的比例关系。
可以利用两个三角形中对应边的长度比值来建立等式。
5. 求解未知量：利用已知条件和建立的比例关系，求解问题中的未知量。
可以通过代入已知量和已知比例求解。
四、注意事项和技巧在应用相似三角形解决实际问题时，需要注意以下几点：1. 注意单位：在求解时，要根据问题中给出的单位进行计算，并给出相应的单位答案。
2. 注意精度：在计算中，要注意四舍五入和保留有效数字的规则，确保结果的精度符合要求。
3. 检查答案：在求解完毕后，要对结果进行检查，确保符合问题的要求和已知条件。
4. 灵活运用：在实际问题中，可以灵活运用相似三角形解决问题。
有时候需要通过构造相似三角形来求解难题。
综上所述，相似三角形是解决实际问题的有力工具。
相似三角形的求法
相似三角形的求法相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
在几何学中，相似三角形是一个重要的概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
相似三角形的求法有几种常见的方法，下面我们将逐一介绍。
一、比较边长比例法：我们需要比较两个三角形的对应边的比例是否相等。
如果两个三角形的对应边的比例相等，则它们是相似的。
具体步骤如下：1. 对两个三角形的对应边进行比较，比较边长可以通过测量或已知条件得到。
2. 比较两个三角形的对应边的比例是否相等。
如果比例相等，则两个三角形相似。
3. 如果两个三角形相似，可以通过已知的边长比例来确定未知边的长度。
二、对应角相等法：相似三角形还可以通过比较两个三角形的对应角是否相等来确定。
具体步骤如下：1. 对两个三角形的对应角进行比较，可以通过测量或已知条件得到。
2. 比较两个三角形的对应角是否相等。
如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
3. 如果两个三角形相似，可以通过已知的角度关系来确定未知边的长度。
三、边角对应法：在某些情况下，我们可以通过比较两个三角形的边角对应关系来确定它们是否相似。
具体步骤如下：1. 对两个三角形的边角进行比较，可以通过测量或已知条件得到。
2. 比较两个三角形的边角对应关系是否相等。
如果边角对应关系相等，则两个三角形相似。
3. 如果两个三角形相似，可以通过已知的边角关系来确定未知边的长度。
相似三角形的求法还有其他一些特殊情况，比如利用圆的切线与半径的关系、利用勾股定理等。
但以上提到的三种方法是最常见和基础的方法。
相似三角形在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在测量高塔的高度时，可以利用相似三角形的性质来计算。
又如，在计算不规则图形的面积时，可以利用相似三角形的面积比来简化计算过程。
相似三角形的求法是解决几何问题中的重要方法。
通过比较边长比例、对应角的相等关系以及边角的对应关系，我们可以确定两个三角形是否相似，并进一步计算未知边的长度或解决实际问题。
人教版相似三角形应用举例(4)
B E
┐ F
△ABO∽△AEF
平面镜
A
OB
OA
=
EF
AF
┐ O
OA ·EF OB =
AF
例2：如图是小玲设计用平面镜来测量某古城墙 高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜，光 线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙 CD的顶端C处.已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测 得AB=1.4米，BP=2.1米，PD=12米.那么该古 城墙CD的高度是__________米.
AC BC A'C ' B'C '
1.8m
B
3m C
1.8 3
A'
A'C ' 90
求得 A'C'=54m 答：这栋高楼的高度是54m.
?
B'
90m
C'
5. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的 这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和 AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大 致距离AB．
4
3. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置 上，求球拍击球的高度h.（设网球是直线运动）
2.4m C
A 5m
E
┏
0.8m
D
10m
？
┏ B
4.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高 楼的影长为90m，这栋高楼的高度是多少？
A 解： △ABC ∽ △A'B'C'
【解析】∵∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
初三数学相似三角形解题技巧
初三数学相似三角形解题技巧摘要：1.相似三角形的判定方法2.相似三角形的性质应用3.解题步骤与实例分析正文：相似三角形在初中数学中占有重要地位，掌握相似三角形的判定方法和性质对解决各类题目有很大帮助。
本文将为大家介绍相似三角形的解题技巧，帮助大家更好地运用这一知识点。
一、相似三角形的判定方法1.两角法：如果两个三角形有两个对应角相等，则这两个三角形相似。
2.边比例法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
3.面积比例法：如果两个三角形的面积成比例，则这两个三角形相似。
4.角-边-角法：如果两个三角形的一组对应角相等，且夹在这两个角之间的那组对应边成比例，则这两个三角形相似。
二、相似三角形的性质应用1.相似三角形的对应边成比例。
2.相似三角形的对应角相等。
3.相似三角形的面积比等于相似比的平方。
4.相似三角形的高成比例。
5.相似三角形的周长比等于相似比。
三、解题步骤与实例分析1.观察题目，找出已知条件和所求问题。
2.判断三角形是否相似，若相似，利用相似三角形的性质解题。
3.根据题目条件，运用相似三角形的判定方法，确定相似三角形的存在。
4.利用相似三角形的性质，将问题转化为简单的计算或几何问题。
5.进行计算或几何分析，得出最终答案。
实例：已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB/DE = 2，BC/EF = 3，求AC/DF。
解：由相似三角形的性质可知，三角形ABC与三角形DEF的对应边成比例。
因此，AC/DF = AB/DE × BC/EF = 2 × 3 = 6。
总之，掌握相似三角形的判定方法和性质，并能灵活运用这些知识解决实际问题，是提高初三数学解题能力的关键。
相似三角形的性质定理(3种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
相似三角形的性质定理（3种题型）【知识梳理】一、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 二、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比． 三、相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【考点剖析】题型一：相似三角形性质定理1例1.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长． 【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BEA B E B ∴=即11362E B =，114E B =【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．例2.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119A C =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长． 【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD A C A D ∴=即1296AD =，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 例3.求证：相似三角形对应高的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADkA D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高，11190BDA B D A ∴∠=∠=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质． 例4.求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的 中线．求证： 11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，1111AB CBkA B C B ==；又AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D B C =，∴11DB k D B =，1111AB BD A B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADkA B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．例5.求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠ 的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，111BAC B A C ∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B A C ∴∠=∠∠=∠，111BAD B A D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例 6.如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =． 求证：1111AD BEA DB E =【解析】AB C D EA 1E 1D 1 C 1B 1证明：1111AB ADA B A D =，又111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，111ABD A B D ∴∠=∠，又1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE AB E B A B ∴=，1111BE ADE B A D ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例7.如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ．【解析】解：BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE ∴=，又BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例8.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．【答案】2360cm ．AB C DEFABC D EFGH K【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm=−矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=，，GF AGBC AB ∴=,又AH 是高，90AHB ∴∠=，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴,DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC ∴+=,3813248x x −∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例9.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG 的边长．【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ，//DG BC ，DG AD APBC AB AH ∴==．406040x x −∴=，24x ∴=，∴正方形EFGD 的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系． 例10.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．ABCDEF GH P【答案】23(4)4x y x x =>−．【解析】解：如图， 矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠=，，GD AD BC AB ∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠=． DEC AHC ∴∠=∠， //DE AH ∴，DE BDAH AB ∴=， 1DG DEBC AH ∴+=， 641BC x ∴+=，64xBC x ∴=−，又12ABC S y BC AH ∆==，∴()2344x y x x =>−．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．题型二：相似三角形性质定理2例11.若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( )（A ）1:4 （B ）1:2 （C ）2:1 （D ）1:2【答案】B【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例12.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【答案】112015BC A B ==，．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==；又111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==．【总结】本题考查相似三角形的性质．例13.如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三 角形周长为2acm ，则5260a a −=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ． 【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例14.如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC ∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为．【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，AD 是BC 上的高，ABCD EF//EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=，312AEF C ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例15.如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【答案】152cm ．【解析】解：梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+−梯形， 31667PDC PDC C C ∆∆∴=+−，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例16.如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C 不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．【答案】247．【解析】解：CPQ PABQC C ∆=四边形，ABCD PABCPQCP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=−+−+， 5AB =，3BC =，90C ∠=，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=−+−+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB ，CP CQCA CB ∴=，∴643CP CP −=，247CP =． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．题型三：相似三角形性质定理3例17.（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【答案】（1）10000；（2）10．【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．例16.两个相似三角形的面积分别为5cm 2和16cm 2，则它们的对应角的平分线的比为（ ）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对．【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方． 【总结】本题考查相似三角形的性质．例18.如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【答案】36．ABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例19.如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又28ACD S cm ∆=，218ABC S cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例20.如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED 的面积相等，求AD :BD 的值．【答案】21+．ABCDABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCEDS S ∆=四边形，12ADE ABC S S ∆∆∴=，12AD AB ∴=，12121AD DB ∴==+−．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例21.如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【答案】3． 【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥，，90CDA BEC ∴∠=∠=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=， 30CBE CAD ∴∠=∠=，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．例22.如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ， 交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CFAD的值．A B CDEF【答案】21．【解析】解：//EF BD ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD ∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEG EBCGS S ∆=四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆，90ACD ACB ∴∠=∠=，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，则它们的周长比为（ ） A ．1:4 B ．1:2C ．1:16D ．以上答案都不对【答案】A【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比．【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，∴两个相似三角形的相似比为1:4， ∴周长的比为1:4．ABCDEFG故选A ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．在ABC 的边，ABC 的面积是A ．4B ．8【答案】A【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，先利用三角形面积公式计算出8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，再证明AGF ABC ∽，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x 的方程即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，∵ABC 的面积是32，8BC =， ∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−， ∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽， ∴GF AMBC AH = ， 888x x −∴= ，解得∶4x =，即这个正方形的边长是4． 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 3．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）已知两个相似三角形的相似比为49：，那么它们的面积比为（ ） A ．23： B ．818：C ．49：D ．1681：【答案】D【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案．【详解】解：两个相似三角形的相似比为49：， ∴它们的面积比1618：故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 九年级统考期中）已知ABC 的三边长分别为，DEF 的一边长，如果这两个三角形相似，那么DEF 的另两边长可能是（【答案】B【分析】根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意DEF 中为5cm 边长的对应边可能是6cm 或7.5cm 或9cm ，所以有三种情况．【详解】解：设DEF 的另两边为cm,cm x y ， 若DEF 中为5cm 边长的对应边为6cm ， 则：567.59x y==，解得：254x =，152y =； 若DEF 中为5cm 边长的对应边为7.5cm ，则：57.569x y ==，解得：4x =，6y =；若DEF 中为5cm 边长的对应边为9cm ， 则：5967.5x y ==，解得：103x =，256y =； 结合选项可得B 选项可选． 故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：三边对应成比例的三角形相似．解此题的关键要注意DEF 中为5cm 边长的对应边不确定，答案不唯一，要仔细分析，小心别漏解．九年级上海市华东模范中学校考期中）如图，在ABC 中，:ADEABCSS为（A ．3:5 【答案】C【分析】根据DE BC ∥可知ADEABC ，由:3:2AD DB =可知:3:5AD AB =,即相似比为3:5,再利用面积比是相似比的平方，即可判断求解． 【详解】解：∵DE BC ∥， ∴ADEABC ，∵:3:2AD DB =， ∴:3:5AD AB =，2239525ADE ABCSAD SAB ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．用到的知识为：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似，相似三角形对应边的比相等，都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．DEF 的最短边长为，那么DEF 的周长等于（126【答案】D【分析】由相似三角形的性质：周长的比等于相似比，求出相似比即可求得结果． 【详解】ABC DEF ∽，∴相似比为3193k ==，13ABC DEFC C∴=，33(356)42DEFABCCC ∴==⨯++=；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是关键．是ABC 的重心，四边形与ABC 面积的比值是（【答案】B【分析】连接DE ，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，从而得到ADE ACB △△∽，进而得到221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，继而得到13DEGBDESS =，14ADEABCSS =，可得1116212DEGABCABCSS S =⨯=，再由ADEDEGAEGD S SS=+四边形，即可．【详解】解：如图，连接DE ，∵点G 是ABC 的重心，∴点D ，E 分别为,AC AB 的中点，∴1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，∴ADE ACB △△∽， ∴12DG EG DE BG CG BC ===， ∴221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==， ∴13DEGBDES S =，14ADE ABCSS =，∴111326DEGABDABDS S S =⨯=， ∴1116212DEG ABCABCSS S =⨯=，∴1114123ADEDEGABCABCABCAEGD S SS S S S =+=+=四边形，即四边形AEGD 与ABC 面积的比值是13．故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． 二、填空题8．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）已知ABC 与DEF 相似，且ABC 与DEF 的面积比为1:4，若DEF 的周长为16，那么ABC 的周长等于________．【答案】8【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出ABC 与DEF 的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵相似三角形ABC 与DEF 面积的比为1:4， ∴它们的相似比为1:2，∴ABC 与DEF 的周长比为1:2， ∵DEF 的周长为16， ∴ABC 的周长等于8， 故答案为：8．【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．9．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）已知ABC ∽111A B C △，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，AB ：113A B =：4，BE 、11B E 分别是它们的对应角平分线，则BE ：11B E =______． 【答案】3：4【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可． 【详解】解：ABC ∽111A B C △，BE ∴：11B E AB =：113A B =：4，故答案为：3：4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，DE BC ∥，:2:3AE EC =，则:OE OB =________．【答案】2:5【分析】根据:2:3AE EC =可求出:2:5AE AC =，再根据三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：∵:2:3AE EC =，∴25AE AC =，∵DE BC ∥，∴25DE AE BC AC ==，且DEO CBO △∽△， ∴25OE DE OB CB ==， 故答案为：2:5．【点睛】本题主要考查比例的性质，相似三角形的性质，理解平行线的性质，相似三角形的性质是解题的关键．11．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4，如果DEF 的周长为24，那么ABC 的周长是___________．【答案】18【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比得:3:4ABCDEFCC=，又因为DEF 的周长是24，再建立方程即可．【详解】解：∵ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4， ∴:3:4ABCDEFCC=，∵DEF 的周长是24， ∴:243:4ABCC=∴ABC 的周长是18， 故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比． 12．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．【答案】24【分析】通过证明Rt Rt AFE HGB ∽，则AF BG EF HG ⨯=⨯，即可得到答案． 【详解】90C ∠=︒，正方形EFGH 的四个顶点在三角形的边上， 90A B ∴∠+∠=， 90B BHG ∠+∠=，Rt Rt AFE HGB ∴∽， =24AF BG EF HG ∴⨯=⨯．故答案为24．【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．，如果ABC 三边长分别是DEF 的两边长为【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】解：∵ABC DEF △△∽，∵ABC ，2，2，DEF 的两边长为1x∴21x ==，解得：x所以DEF ．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键．14．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）已知111ABC A B C :△△，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，11:3:5AB A B =，E 、1E 分别是边AC 、11AC 的中点，如果1BE =，那么11B E 的长为________． 【答案】53/213【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比列比例式求解即可．【详解】解答：解：∵11111:35ABC A B C AB A B =∽，:，∴对应中线BE 、11B E 的比值为35:，∴11135B E =::， ∴1153B E =． 故答案为：53．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比． 15．（2022秋·上海杨浦·九年级统考期中）如果两个相似三角形的面积比为3:4，那么它们对应高之比为__________．2 【分析】根据相似三角形的性质，两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，因为两个相似三角形的面积比为3:42；再结合两个相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：两个相似三角形的面积比为3:4，∴2，∴2，2．【点睛】本题考查相似三角形的性质应用，熟练掌握形式三角形面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比是解决问题的关键． 16．（2023·上海·一模）如果ABC ∽DEF ，且ABC 的三边长分别为3、4、5， DEF 的最短边长为6，那么DEF 的周长等于________．【答案】24【分析】先设DEF 的周长等于c ，再根据相似三角形周长的比等于相似比即可求出c 的值．【详解】解；设DEF 的周长等于l ，∵ABC ∽DEF ，ABC 的三边长分别为3、4、5，DEF 的最短边长为6， ∴33546c ++=，解得24c = ．故答案为：24．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比． 17．（2023·上海黄浦·统考一模）已知ABC 的三边长分别为2、3、4，DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，那么DEF 的最短边的长是______．【答案】12 【分析】先计算出ABC 的周长，进而得出相似比为16∶，进而得出答案． 【详解】解：∵ABC 的三边长分别为2、3、4，∴ABC 的周长为：9∵DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，∴ABC 与DEF 的周长比为95416=∶∶， ∴ABC 与DEF 的相似比为16∶， 设DEF 的最短边的长是x ，则：216x =∶∶，解得∶12x =．故答案为∶12．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．18．（2023·上海宝山·一模）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为 _____厘米．【答案】18【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．【详解】解：所求三角形的三边的比是2:3:4，设最短边是2x 厘米，则24=x ，解得2x =，因而另外两边的长是36x =厘米，48x =厘米．则三角形的周长是68418++=（厘米）．故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键． 19．（2022·上海·九年级专题练习）两个相似三角形的面积之比是 9:25， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米．【答案】3【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25∴两个三角形相似比为3:5设：另一三角形对应边上的高为x∴355x =，解得x=3 故答案为：3【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 20．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是______．【答案】【分析】过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，首先由勾股定理得出AB 的长，由面积法即可求出CM 的长，可证得CGF CAB ∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：如图：过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，AB ∴，1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△，∴AC BC CM AB ⋅∴===， ∵正方形DEFG 内接于ABC ，GF EF MN ∴==，GF AB ∥，CGF CAB ∴△∽△，CN GF CM AB ∴=，EF −=，解得：EF =，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 21．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边BC AC 、上，ABE C ∠=∠，DE AB ∥，如果6AB =，9AC =，那么:BDE CDE S S △△的值是______．【答案】4:5【分析】根据已知证明ABE ACB ∽，得出4AE =，进而得出5EC =，根据DE AB ∥，根据平行线分线段成比例，得出45AE BD EC DC ==，即可求解． 【详解】解：∵BAE CAB ∠=∠，ABE C ∠=∠，∴ABE ACB ∽，∵6AB =，9AC =，∴AB AE AC AB =∴24AB AE AC ==，∴945EC AC AE =−=−=，∵DE AB ∥，∴45AE BD EC DC == ∴:BDE CDE S S △△=::4:5BD DC AE EC ==，故答案为：4:5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22．（2023·上海·一模）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为______．【答案】8+8【分析】根据 “优美梯形”的定义，得到ABD BDC ∽△△，从而得到90CBD BAD ∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，推出2BD AB CD =⋅，算出BD =再根据勾股定理，得到AD 、BC 的长，即可得到该直角梯形的周长．【详解】解：根据题意，作图如下，ABCD 为直角梯形，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，90ABD ADB ∴∠+∠=︒，90ADB BDC ∠+∠=︒，ABD BDC ∴∠=∠，直角梯形ABCD 是“优美梯形”，ABD BDC ∴∽，90CBD BAD ∴∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，2BD AB CD ∴=⋅，2AB =，4CD =，BD ∴，在Rt ABD 中，2AD ，在Rt BCD △中，BC =∴该梯形的周长2428AB BC CD DA =+++=++=+故答案为：8+【点睛】本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 23．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 相交于点O ，如果2ABC ACD S S =，那么COD S △：ABC S =______．【答案】1：3/13【分析】首先根据2ABC ACD S S =，可得AD ：1BC =：2；然后根据AOD ∴∽COB ，可得AO ：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，进而可得AOD S：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2，设AOD S k =，分别表达OCD S 和ABC S 进而可得结论．【详解】解：在梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC ACD S S =，AD ∴：1BC =：2；//AD BC ，AOD ∴∽COB ，AO ∴：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，AOD S∴：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2， 设AOD S k=，则4BOC S k =，2AOB OCD S S k ==， 6ABC AOB BOCS S S k ∴=+=， COD S ∴：2ABC S k =：61k =：3．故答案为：1：3．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．三、解答题24．（上海·九年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，AB ＝7，求CD 的长．【答案】143【详解】试题分析：由题意易得△COD ∽△AOB ，由此可得：CD DO AB BO =；由△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，可得：23DO BO =，再结合AB=7即可求得CD 的长.试题解析：∵AB ∥DC ，∴△COD ∽△AOB ， ∴CD DO AB BO =，∵△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6， ∴23DO BO =， ∴23CD DO AB BO ==， 又∵AB ＝7， ∴273CD =， ∴CD ＝143.【答案】20平方厘米【分析】根据两个相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，结合面积和即可求解．【详解】解：设两个三角形的面积分别为x ，y ，则有22365x y x y ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩，解得2045x y =⎧⎨=⎩；答：较小三角形面积为20平方厘米．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于对应边的比的平方．26．（2020秋·上海宝山·九年级统考阶段练习）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC ∆的边15BC =，高10AH =，求：正方形DEFG 的边长和面积．【答案】6，36【分析】由正方形的性质可得DG //BC ，不难证明ADG △∽ABC ，即DG AM BC AH =，设正方形的边长为x ，分别表示出对应边的长度并代入DG AM BC AH =求解，即可得出正方形的边长，即可得出正方形的面积． 【详解】设正方形的边长为x ，正方形DEFH ，AH ⊥BC ，∴DG=GF=MH=x ，DG //BC ，∴ADG=B ∠∠，AM=10－x ，在ADG △与ABC 中，ADG=BAC BAC B ∠=∠⎧⎨∠∠⎩，∴ADG △∽ABC ，∴DG AM BC AH =，∴101510x x −=， 解得：x=6，S=6×6=36．答：正方形的边长为6，面积为36．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，设正方形的边长为x ，根据相似比等于高之比列方程求解是解题关键．27．（上海·九年级阶段练习）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．【答案】48mm【分析】设正方形EF=EG=ID=x，根据正方形的性质，得到EF∥BC，△AEF∽△ABC，列出比例式EF AIBC AD=，代入计算即可．【详解】∵四边形EFHG是正方形，AD是高，∴ EF∥BC，四边形EGDI是矩形，∴ EG=ID，设正方形EF=EG=ID=x，∴△AEF∽△ABC，∴EF AI BC AD=，∵ BC＝120mm，高AD＝80mm，∴80 12080x x−=，解得x=48，故正方形的边长为48mm．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的性质是解题的关键．。
相似三角形如何求解题技巧
相似三角形如何求解题技巧相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例。
在求解相似三角形的题目时，可以运用以下几个技巧：1. 角的对应关系：相似三角形中，对应角是相等的。
可以通过已知的角度信息，推导出其他角度的大小关系，从而进一步求解问题。
2. 边的比例关系：相似三角形中，对应边是成比例的。
可以利用已知的边的长度信息，求解其他边的长度关系。
3. 高度的比例关系：当两个三角形相似时，它们的高度与底边的比例也是相等的。
这个性质可以用来求解两个相似三角形的高度。
4. 三角形面积的比例关系：相似三角形的面积比也等于边的比例的平方。
这个性质可以应用于求解两个相似三角形的面积比。
下面我们将通过例题来说明这些技巧的应用。
例题1：在三角形ABC中，角A=30°，角C=90°，并且AC=6 cm，BC=8 cm。
如果三角形DEF与三角形ABC 相似，且EF=10 cm，求DE的长度。
解析：根据已知条件，我们可以推导出角B的大小：角B = 180° - 30° - 90° = 60°。
由于三角形ABC与三角形DEF相似，所以对应边是成比例的。
因此，我们可以列出比例关系：AC/DE = BC/EF代入已知条件，得到：6/DE = 8/10解此方程，可得：DE = (6 x 10) / 8 = 7.5 cm分析：通过利用相似三角形的边的比例关系，我们可以求解出DE的长度。
例题2：在三角形ABC中，角A=30°，角B=60°，如图所示。
如果三角形DEF与三角形ABC相似，且面积比为16:25，求DE的长度。
解析：根据已知条件，我们可以推导出角C的大小：角C = 180° - 30° - 60° = 90°。
我们知道相似三角形的面积比等于边的比例的平方，所以我们可以得到：面积比 = (DE/AB)^2代入已知条件，得到：16/25 = (DE/AB)^2由于已知角A和角B的大小，我们可以利用正弦定理求解出AB的长度：AB/sinC = AC/sinBAB/sin90° = AC/sin60°AB = AC x sin90°/sin60°代入已知条件，得到：AB = 6 x 1/√3 = 2√3 cm解方程，可得：(DE/2√3)^2 = 16/25解得DE ≈ 2.65 cm分析：通过利用相似三角形的面积比和三角形的正弦定理，我们可以求解出DE的长度。
(完整版)相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形的判定数学教学教案(优秀6篇)
相似三角形的判定数学教学教案（优秀6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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相似三角形解题方法、技巧、步骤一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形(1)三角形相似的条件： ①；②；③.三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证:BAACAF AE =（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（“横定”还是“竖定”？） 例1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。
求证：CD 2=DE ·DF 。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（“横定”还是“竖定”？）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． 1、 等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。
然后再应用三点定形法确定相似三角形。
只要代换得当，问题往往可以得到解决。
当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1：如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE 2＝BE·CE ．分析：2、 等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
例2：如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于点F ．求证：AB DFAC AF=．a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
例3：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB 上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．求证：CD2＝DF·DG．小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替。
”同类练习：1．如图，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ADE=∠C求证：（1）△ADE∽△ACB; (2)AD·AB=AE·AC.（1题图）（2题图）2．如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120°求证：（1）△ADB∽△CEA;2、DE²=BD·CE;(3)AB·AC=AD·BC.3．如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，∠D=∠ECA.求证：AD·EC=AC·EB.（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）4．如图，AD为△ABC中∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线。
求证：FD²=FC·FB。
（此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。
）5．如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,求证：FC²=FG·EF.（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。
）6．如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F作FM∥BE交DE于M.求证：FM=CF.(注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。
此题用等比替代可以解决。
)7．如图，△ABC中，AB=AC,点D为BC边中点，CE∥AB,BE分别交AD、AC于点F、G，连接FC.求证：（1）BF=CF.(2)BF²=FG·FE.（练习题图）（8．如图，∠ABC=90°,AD=DB,DE⊥AB,求证：DC²=DE·DF.9．如图，ABCD为直角梯形，AB∥CD,AB⊥BC,AC⊥BD。
AD=BD，过E作EF∥AB交AD于F.是说明：（1）AF=BE;(2)AF²=AE·EC.10．△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E为AC中点。
求证：AB:AC=DF:AF。
11．已知，CE是RT△ABC斜边AB上的高，在EC延长线上任取一点P,连接AP,作BG⊥AP,垂足为G ，交CE于点D.试证：CE²=ED·EP.(注：此题要用到等积替代，将CE²用射影定理替代，再化成比例式。
)七、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．可用口诀：遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影和园幂．例1如图5在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF⊥AB于F，交AC的延长线于H，交BE于G，求证：(1)FG / F A＝FB / FH(2)FD是FG与FH的比例中项．1说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似．找相似三角形用三点定形法(在比例式中，或横着找三点，或竖着找三点)，若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换例2如图6，□ABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F，已知BE：EC＝3：1，S△FBE＝18，求：(1)BF：FD(2)S△FDA2说明：线段BF、FD三点共线应用平截比定理．由平行四边形得出两线段平行且相等，再由“平截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的平方，求出三角形的面积．例3如图7在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD 的中点，CM的延长线交AB于N．求：AN：AB的值；3说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡．当已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡．例4如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G．求证：AG 2＝AF×FC4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用“三点定形法”确定要证明的两个三角形相似．、例5如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE ⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F．(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．5说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似．再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长．例6如图10过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E．过点D作DM∥FC交AB于点M．(1)若S△AEF：S四边形MDEF＝2：3，求AE：ED；(2)求证：AE×FB＝2AF×ED6说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比．注意平截比定理的应用．例7己知如图11在正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时，△ADP与△QCP相似？7说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系．然后再确定顶点P所在的位置．本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解．例8己知如图12在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝900，AB＝7，AD＝2，BC＝3．试在边AB上确定点P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似．8说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系．然后再确定顶点P所在的位置．本题有多个位置，应注意计算，严防漏解．例11．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。