相似三角形解题方法步骤(教师版)

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教师风采大赛课题：相似三角形中等积式的证明技巧(教师版)

教学内容概要

证明等积式常用的方法是添平行线或寻找相似三角形，本节课主要探讨如何用相似的方法证明等积式。

一，直接寻找相似三角形

等积式转换成等比式，用三点定形法寻找三角形，证明三角形相似

【例1】如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D作AB的垂线交AC于E，交BC的延长线于F，求证：DC2=DE⋅DF

证明：△DCE与△DCF相似

二，等量代换法

等积式先转换成等比式，寻找可能相似的三角形，当找不到三角形或无法证明三角形相似，需要根据已知条件找到与原比例式中某条线段相等的一条线段替换，重新寻找三角形。

【例2】如图在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF与点F，证明：BP2=PE⋅PF

联结PC，可证明PC=PB，证明△PCE与△PCF相似

三，等比代换法

当用前两种方法寻找不到可以代换的线段时，可考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，然后再用三点定形法确定三角形。

【例3】如图，△ABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC 延长线于H，求证：DF2=FG⋅FH

先证明△AFD与△BFD相似，得到等积式DF2=AF⋅BF，再证明△AFH与△BFG相似

【练习】

1、如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120°

求证：（1）AB⋅AC=AD⋅BC （2）DE2=DB⋅CE

（2）用AD与AE替换DE，证明△ABD与△ACE相似

2、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边CB、DC延长线上的点，且BE=CF，联结AE、FB，FB的延长线交AE于点M，求证：

相似三角形教案

一、教学目标

1. 理解相似三角形的定义和性质。

2. 学会寻找相似三角形，并利用相似三角形的性质解决问题。

3. 培养学生的观察、分析和推理能力。

二、教学重点和难点

1. 理解相似三角形的概念和性质。

2. 寻找相似三角形，并利用相似三角形的性质解决问题。

三、教学内容和过程安排

1. 引入

教师通过示意图向学生介绍相似三角形的概念，让学生理解相似三角形的定义和性质。

2. 转换与探索

教师给出几对相似三角形，让学生通过观察和比较，找出它们相似的特点和规律，并总结相似三角形的判定条件。

3. 性质归纳

教师引导学生总结相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等，并提供一些练习题供学生练习。

4. 应用与拓展

教师出示一些实际问题，让学生利用相似三角形的性质解决问

题，并引导学生思考相似三角形在实际生活中的应用。

四、教学方法

1. 教师讲解法：通过讲解相似三角形的概念和性质，引导学生理解和掌握相关知识。

2. 案例分析法：通过分析实际问题的解题过程，让学生理解相似三角形的应用。

3. 合作学习法：让学生分组讨论和解答问题，通过合作学习提高学生的思维能力和团队合作能力。

五、教学评价和反思

通过本节课的学习，学生能够理解相似三角形的概念和性质，能够寻找相似三角形并利用相似三角形的性质解决问题。教师可以通过练习题和课堂讨论来评价学生的学习情况。在反思中，教师可以思考教学中的不足之处，为今后的教学改进提供参考。

六、拓展延伸

1. 学生可以使用几何绘图软件或尺规作图工具来练习寻找相似三角形。

2. 学生可以通过实际观察和测量来寻找相似三角形，并验证相似三角形的性质。

三角形相似(含方法步骤)

.相似三角形及相似条件

1.【基础知识】

1-1三角对应相等，三边对应成比例的三角形，叫相似三角形 1-2判定定理：定理1.两个角对应相等的两个三角形相似定理2.三边对应成比例的两个三角形相似

定理3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

1-3相似性质：相似三角形对应高的比，对应角的角平分线的比对应边的比周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方

2. 【知识应用】题目要直接证明相似，边成比例或求边的比值，周长，面积的比值方法：2-1.从问题中找出要证明的两个三角形，若没有则需作辅助线构造三角形

2-2.若条件中出现角相等或平行线，垂线的，优先考虑用定理1 2-3.若条件中出现边长或边的比，则考虑定理2和定理3

2-4再根据所选定的定理，看还差什么条件，到已知中去找或者到图形中去找隐含条

件，如对顶角，公共角，直角，公共边等从而证明出相似

注意：1.写对应边比例式时，要遵循“横纵一致原则”即，横向看所有处在分子位置的边必须是属于同一个三角形，处在分母位置的边亦然，纵向看分子分母必须是一组对应边 2.在证明边成比例时，如果按步骤2-1仍然无法找到符合的三角形，则一般情况考虑用两组相似三角形，找出一个比例中间量，利用中间量证明边成比例 3.【综合应用】题目问边长

3-1.看已知边和要求边同时出现在哪些三角形中，从而确定出相似的两个三角形 3-2.根据【知识应用】的方法，证明相似

3-3利用对应边的比例关系，列出等式，解出所求

注意：列比例关系时，一定要是对应边，再者等式两边比的先后顺序也要一致【基础训练】

相似三角形教学方法

(经典版)

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叙言

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相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒。

一、相似、全等的关系

全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．

二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决

三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：

1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；

2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；

3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；

1、已知一对等角①找另一角，两角对应相等，两三角形相似；②找夹边对应成比例，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

2、已知两边对应成比例①找夹角相等，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

③找第三边也对应成比例，三边对应成比例，两三角形相似

3、已知可能的一个直角三角形①找一个直角，斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似；

②找另一角，两角对应相等，两三角形相似③找两边对应成比例判定定理1或判定定理4

4、与等腰三角形有关的①找顶角对应相等判定定理1

②找底角对应相等判定定理1 ③找底和腰对应成比例判定定理3

5、相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3

四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所

初中数学中考[图形的认识]第4讲相似三角形(教师版)

【知识梳理】

【方法技巧】

1、判定三角形相似的基本思路：一是条件中若有一组等角，可再找一组等角（找相等的角时注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角或者同角的补角）或找夹这组等角的两组对应边成比例；二是条件中若有两组对应边成比例，可找夹角相等或计算第三组对应边的比，考虑三组对应边成比例（具体方法如下：首先把三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等）。

2、解决圆中的相似问题时，要充分运用圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的性质等找出角之间的关系，进而利用相似三角形的判定定理及性质求解。

3、相似三角形的基本模型：

（1）“A ”字型

（2）“X ”字型

（3）“K ”字型

（4）旋转型：符合旋转型的两个三角形，常用“两边成比例及夹角相等”来证明相似

B C

B C C

Q D

（5）母子型：在“母子三角形”中，应用公共边可得到关于三条线段的乘方式，由此可证明相似问题中的等积式。

4、位似图形必须同时满足两个条件：

（1）两个图形是相似图形

（2）两个图形的每组对应顶点的连线都经过同一点

5、关于位似的警示点：

（1）位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形

（2）位似图形可能在位似中心的同侧，也可能在位似中心的两侧，因此作一个图形关于某点的位似图形往往有两个。如图： O A B C D O

A B C

D D C

B A

C D B A

6、在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.

相似三角形证明技巧(整理)

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

一、相似三角形

(1)三角形相似的条件：

①

；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.

三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：

1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；

找另一角两角对应相等，两三角形相似

找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似

找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似

找另一角两角对应相等，两三角形相似

找两边对应成比例判定定理2 找顶角对应相等判定定理1

找底角对应相等判定定理1

找底和腰对应成比例判定定理3

e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3

四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BA

初三数学相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

一、相似、全等的关系

全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形 (1)三角形相似的条件：

① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形：

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.

四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：

1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似

找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似

找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似

找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1

a)已知一对等

b)己知两边对应成比

c)己知一个直

d)有等腰关

找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3

e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3

五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

初三数学第19讲：相似三角形(教师版)

第十九讲相似三角形

一、相似三角形的性质

1.对应角相等，对应边的比相等.

2.对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.

3.周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

二、相似三角形的判定

1.定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.

2.平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似.

3.如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.

4.如果两个三角形两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

5.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.

6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似.

三、射影定理

在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要定理。

概述图中，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：BD²=AD·CD

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

1.灵活运用相似三角形的性质与判定，善于找相似三角形

2.结合条件和所求，能灵活关联相似三角形

3.掌握射影定理并能灵活运用

例1．若△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，则S△ABC：S△DEF=（）

A．1：3 B．1：9 C．1：D．1：1.5

考点：相似三角形的性质．

分析：由△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．

解答：解：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，

《相似三角形的判定—SAS判定定理》示范公开课教学PPT课件(定稿)【人教版九年级数学下册】

求证:△ABC ∽ △A'B'C'.
证明:在AB上取一点D，使 AD =A'B' ，过
点D作BC的平行线交AC于点E.
∴△ABC ∽△ADE
D
∴ AB = AC .且AD = A'B' ，
B
AD AE
∵ AB = AC ，
A'B' A'C'
∴ AC = AC .
AE A'C'
∴ AE=A'C'.
又∵∠A = ∠A' ，
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
猜想
猜想:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
A'
A
B
C
B'
C'
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
证明
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
A'
A
B
C
B'
C'
方法与步骤：先写出已知、求证，并画出图形，再写出证明过程，最后获得定理
∴
AB AB
AC AC
．
B
C
A'
又∵∠B=∠B'=90°， ∴△ABC∽△A'B'C'．

九年级同步第4讲：相似三角形的判定(一) - 教师版

相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解

相似三角形的定义、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2；重点是根据已知条件灵活运用这两种判定定理，以及这两者之间的相互结合．

1、相似三角形的定义

如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．

如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与

ABC ∆中， A A ∠=∠， ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠；

AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．

用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．

相似三角形的判定（一）

内容分析

知识结构

模块一：相似三角形判定定理1

知识精讲

A 1

B 1

C 1

根据相似三角形的定义，可以得出：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．

（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、相似三角形的预备定理

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则A D E ∆∽

ABC ∆．

3、相似三角形判定定理1

(word完整版)相似三角形证明技巧(整理)

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

一、相似三角形

(1）三角形相似的条件：

① ；② ；③ 。二、两个三角形相似的六种图形：

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形,从而使问题得以解决。

三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：

1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角两角对应相等，两三角形相似

找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似

找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似

找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似

找两边对应成比例判定定理2

a ）已知一对

b)己知两边对应成

c)己知一个

找顶角对应相等判定定理1

找底角对应相等判定定理1

找底和腰对应成比例判定定理3

e ）相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3

四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”;若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

相似三角形解题方法、步骤(教师版)

相似三角形解题方法、技巧、步骤一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形

(1)三角形相似的条件： ①；②；③.

三、两个三角形相似的六种图形：

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.

四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：

找另一角两角对应相等，两三角形相似

找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角

相等，两三角形相似

找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

找第三边也对应成比例三边对应

成比例，两三角形相似

找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似

找另一角两角对应相等，两三角形相似

找两边对应成比例判定定理1或判定定理

找顶角对应相等判定定理1

找底角对应相等判定定理1

找底和腰对应成比例判定定理3

e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3

(完整版)相似三角形证明技巧(整理)

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

一、相似三角形

(1)三角形相似的条件：

①

；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.

三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：

找另一角两角对应相等，两三角形相似

找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似

找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似

找另一角两角对应相等，两三角形相似

找两边对应成比例判定定理2 找顶角对应相等判定定理1

找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3

e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3

专题03 相似三角形模型解题-决胜中考数学之模型解题高分攻略(教师版)

解题模型一A字型

针对训练

1．（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；

（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．

【分析】（1）根据折叠的性质得出∠C=∠AED=90°，利用∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．

2．（2018•黄石）在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．

（1）如图1，若EF∥BC，求证：

（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．

【分析】（1）由EF∥BC知△AEF∽△ABC，据此得=，根据=（）2即可得证；

（2）分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，据此知△AFN∽△ACH，得=，根据=

即可得证；

（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，由重心性质知S△ABM=S△ACM、=，设=a，利用（2）中结论知==、==a，从而得

==+a，结合==a可关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．

相似三角形的证明

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

一、相似、全等的关系

全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形

(1)三角形相似的条件：① ；② ；③ .三、两个三角形相似的六种图形：

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.

四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：

1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；

找另一角

两角对应相等，两三角形相似

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

找第三边也对应成比例

三边对应成比例，两三角形相似

斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似

找另一角两角对应相等，两三角形相似

找两边对应成比例

1或判定定理

4 找顶角对应相等判定定理1

找底角对应相等1 找底和腰对应成比例3

e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3